Apostila Desenho Tecnico

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Disciplina de Geometria Descritiva e Desenho Técnico 
Professora Engª Civil Marta Mitiko K. de Siqueira 
Monitor Magno Luiz Vidotto 
 
 
Cascavel (PR) 2009 
Unioeste – Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
CCET – Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia 
 
 
Geometria Descritiva e Desenho Técnico – Parte 1 
 
 
ÍNDICE 
Capítulo 1 – Introdução ao Estudo do Desenho Técnico .................................................. 1 
 Definição de Desenho Técnico ......................................................................................................... 1 
 O que é Visão Espacial ..................................................................................................................... 1 
 A Origem do Desenho Técnico ......................................................................................................... 1 
 O Desenho Técnico e a Engenharia ................................................................................................. 2 
 Normalização ..................................................................................................................................... 3 
 Instrumentos e Acessórios ................................................................................................................ 4 
 Papel - Formatos e dobragem ........................................................................................................... 7 
 Exercícios de Coordenação .............................................................................................................. 9 
 Legendas ......................................................................................................................................... 10 
 Caligrafia Técnica – Letras e algarismos ......................................................................................... 10 
 Escalas ............................................................................................................................................. 17 
 Cotas ................................................................................................................................................ 18 
 Exercícios resolvidos ........................................................................................................................ 20 
 Exercícios propostos ........................................................................................................................ 21 
Capítulo 2 – Geometria Descritiva ................................................................................... 24 
 Introdução ........................................................................................................................................ 24 
 Projeção ortogonal de um ponto ...................................................................................................... 24 
 Determinação do ponto .................................................................................................................... 24 
 Classificação das projeções ............................................................................................................. 25 
 Estudo do Ponto ............................................................................................................................... 26 
 Épura .......................................................................................................................................... 27 
 Posições do Ponto ..................................................................................................................... 28 
 Coordenadas positivas e negativas ........................................................................................... 31 
 Ponto situado no plano bissetor ................................................................................................. 31 
 Pontos simétricos ....................................................................................................................... 32 
 Pontos simétricos em relação aos planos de projeção .............................................................. 32 
 Pontos simétricos em relação aos planos bissetores ................................................................ 33 
 Pontos simétricos em relação à linha de Terra .......................................................................... 33 
 Resumo ...................................................................................................................................... 34 
 Exercícios resolvidos .................................................................................................................. 35 
 Exercícios propostos .................................................................................................................. 37 
 Estudo da Reta ................................................................................................................................. 39 
 Determinação de uma reta ......................................................................................................... 40 
 Pertinência de ponto e reta ........................................................................................................ 41 
 Posições da reta ......................................................................................................................... 41 
 Traços de retas .......................................................................................................................... 44 
 Traços de reta de perfil .............................................................................................................. 45 
 
 Pertinência de ponto à reta de perfil .......................................................................................... 46 
 Exercícios resolvidos .................................................................................................................. 48 
 Exercícios propostos .................................................................................................................. 50 
 Estudo do Plano ............................................................................................................................... 51 
 Traços de plano .......................................................................................................................... 51 
 Posições do plano ...................................................................................................................... 51 
 Retas do plano ........................................................................................................................... 55 
 Exercícios resolvidos .................................................................................................................. 57 
 Exercícios propostos .................................................................................................................. 59 
Capítulo 3 – Projeções e Perspectivas ............................................................................ 60 
 Sistema de Projeções....................................................................................................................... 60 
 Projeções cilíndricas ou paralelas .............................................................................................. 60 
 Projeções cônicas ou perspectivas ............................................................................................ 60 
 Vistas Principais ............................................................................................................................... 62 
 Perspectivas .....................................................................................................................................65 
 Perspectiva cavaleira ................................................................................................................. 66 
 Perspectiva isométrica ............................................................................................................... 67 
 Como traçar perspectiva isométrica de circunferências ............................................................ 68 
 Cotagem em perspectiva ........................................................................................................... 68 
 Perspectiva cônica ..................................................................................................................... 69 
 Exercícios resolvidos ........................................................................................................................ 75 
 Exercícios propostos ........................................................................................................................ 76 
Bibliografia ......................................................................................................................... 79 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Descritiva e Desenho Técnico – Professora Marta Mitiko K. de Siqueira 
 
1 
 
Capítulo 1 – Introdução ao Estudo do Desenho Técnico 
 
Definição de Desenho Técnico 
 
O desenho técnico é uma forma de expressão gráfica que tem por finalidade a 
representação de forma, dimensão e posição de objetos de acordo com as diferentes 
necessidades requeridas pelas diversas modalidades de engenharia e também da 
arquitetura. 
 
Assim como a linguagem verbal escrita exige alfabetização, a execução e a interpretação da 
linguagem gráfica do desenho técnico exige treinamento específico, porque são utilizadas 
figuras planas (bidimensionais) para representar formas espaciais. Conhecendo-se a 
metodologia utilizada para elaboração do desenho bidimensional é possível entender e 
conceber mentalmente a forma espacial representada na figura plana. 
 
Na prática pode-se dizer que, para interpretar um desenho técnico, é necessário enxergar o 
que não é visível e a capacidade de entender uma forma espacial a partir de uma figura 
plana é chamada visão espacial. 
 
O que é Visão Espacial 
 
Visão espacial é um dom que, em princípio todos têm, da capacidade de percepção mental 
das formas espaciais. Perceber mentalmente uma forma espacial significa ter o sentimento 
da forma espacial sem estar vendo o objeto. Por exemplo, fechando os olhos pode-se ter o 
sentimento da forma espacial de um copo, de um determinado carro, da sua casa, etc. Ou 
seja, a visão espacial permite a percepção (o entendimento) de formas espaciais, sem estar 
vendo fisicamente os objetos. Apesar da visão espacial ser um dom que todos têm, algumas 
pessoas têm mais facilidade para entender as formas espaciais a partir das figuras planas. A 
habilidade de percepção das formas espaciais a partir das figuras planas pode ser 
desenvolvida a partir de exercícios progressivos e sistematizados. 
 
A Origem do Desenho Técnico 
 
A representação de objetos tridimensionais em superfícies bidimensionais evoluiu 
gradualmente através dos tempos. Conforme histórico feito por HOELSCHER, SPRINGER E 
DOBROVOLNY (1978) um dos exemplos mais antigos do uso de planta e elevação está 
incluído no álbum de desenhos na Livraria do Vaticano desenhado por Giuliano de Sangalo 
no ano de 1490. 
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No século XVII, por patriotismo e visando facilitar as construções de fortificações, o 
matemático francês Gaspar Monge, que além de sábio era dotado de extraordinária 
habilidade como desenhista, criou, utilizando projeções ortogonais, um sistema com 
correspondência biunívoca entre os elementos do plano e do espaço. O sistema criado por 
Gaspar Monge, publicado em 1795 com o título “Geometrie Descriptive” é a base da 
linguagem utilizada pelo Desenho Técnico. 
 
No século XIX, com a explosão mundial do desenvolvimento industrial, foi necessário 
normalizar a forma de utilização da Geometria Descritiva para transformá-la numa 
linguagem gráfica que, ao nível internacional, simplificasse a comunicação e viabilizasse o 
intercâmbio de informações tecnológicas. Desta forma, a Comissão Técnica TC 10 da ISO 
(Organização Internacional de Normalização) normalizou a forma de utilização da Geometria 
Descritiva como linguagem gráfica da engenharia e da arquitetura, chamando-a de Desenho 
Técnico. 
 
Nos dias de hoje a expressão “desenho técnico” representa todos os tipos de desenhos 
utilizados pela engenharia incorporando também os desenhos não projetivos (gráficos, 
diagramas, fluxogramas etc.). 
 
O Desenho Técnico e a Engenharia 
 
Nos trabalhos que envolvem os conhecimentos tecnológicos de engenharia, a viabilização 
de boas idéias depende de cálculos exaustivos, estudos econômicos, análise de riscos etc; 
que, na maioria dos casos, são resumidos em desenhos que representam o que deve ser 
executado ou construído ou apresentados em gráficos e diagramas que mostram os 
resultados dos estudos feitos. 
 
Assim, todo o processo de desenvolvimento e criação dentro da engenharia está 
intimamente ligado à expressão gráfica. O desenho técnico é uma ferramenta que pode ser 
utilizada não só para apresentar resultados como também para soluções gráficas que 
podem substituir cálculos complicados. 
 
Apesar da evolução tecnológica e dos meios disponíveis pela computação gráfica, o ensino 
de Desenho Técnico ainda é imprescindível na formação de qualquer modalidade de 
engenheiro, pois, além do aspecto da linguagem gráfica que permite que as idéias 
concebidas por alguém sejam executadas por terceiros, o desenho técnico desenvolve o 
raciocínio, o senso de rigor geométrico e o espírito de iniciativa e de organização. Assim, o 
aprendizado ou o exercício de qualquer modalidade de engenharia irá depender de uma 
forma ou de outra, do desenho técnico. 
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Normalização 
 
Para transformar o desenho técnico em uma linguagem gráfica foi necessário padronizar 
seus procedimentos de representação gráfica. Essa padronização é feita por meio de 
normas técnicas seguidas e respeitadas internacionalmente. As normas técnicas são 
resultantes do esforço cooperativo dos interessados em estabelecer códigos técnicos que 
regulem relações entre produtores e consumidores, engenheiros, empreiteiros e clientes. 
Cada país elabora suas normas técnicas e estas são acatadas em todo o seu território por 
todos os que estão ligados, direta ou indiretamente a este setor. No Brasil as normas são 
aprovadas e editadas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas – ABNT, fundada em 
1940. 
 
Para favorecer o desenvolvimento da padronização internacional e facilitar o intercâmbio de 
produtos e serviços entre as nações, os órgãos responsáveis pela normalização em cada 
país, reunidos em Londres, criaram em 1947 a Organização Internacional de Normalização 
(International Organization for Standardization – ISO). Quando uma norma técnica proposta 
por qualquer país membro é aprovada por todos os países que compõem a ISO, essa 
norma é organizada e editada como norma internacional. 
 
As normas técnicas que regulam o desenho técnico são normas editadas pela ABNT, 
registradas pelo INMETRO (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade 
Industrial) como normas brasileiras – NBR e estão em consonância com as normas 
internacionais aprovadas pela ISO. 
 
A execução de desenhos técnicos é inteiramente normalizada pela ABNT. Os 
procedimentos para execução de desenhos técnicos aparecem em normas gerais que 
abordam desde a denominação e classificação dos desenhos até as formas de 
representação gráfica, como é o caso da NBR 10647 – NORMA GERAL DE DESENHOTÉCNICO, bem como em normas específicas que tratam os assuntos separadamente, 
conforme os seguintes exemplos: 
 
NBR 10068 – Folha de desenho layout e dimensões; 
NBR 10582 – Apresentação da folha para desenho técnico; 
NBR 13142 – Desenho técnico – dobramento de cópias; 
NBR 8402 – Execução de caracteres para escrita em desenhos técnicos; 
NBR 8403 – Aplicação de linhas em desenhos – tipos de linhas; 
NBR 10067 – Princípios gerais de representação em desenho técnico; 
NBR 8196 – Desenho técnico – emprego de escalas; 
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NBR 10126 – Cotagem em desenho técnico; 
NBR 6158 – Sistema de tolerâncias e ajustes; 
NBR 6492 – Representação de projetos de arquitetura. 
 
Existem normas que regulam a elaboração dos desenhos e têm a finalidade de atender a 
uma determinada modalidade de engenharia. Como exemplo, pode-se citar: a NBR 6409, 
que normaliza a execução dos desenhos de eletrônica; a NBR 7191, que normaliza a 
execução de desenhos para obras de concreto simples ou armado; NBR 11534, que 
normaliza a representação de engrenagens em desenho técnico. 
 
Uma consulta aos catálogos da ABNT mostrará muitas outras normas vinculadas à 
execução de algum tipo ou alguma especificidade de desenho técnico. 
 
Instrumentos e Acessórios 
 
1. Lapiseira – O desenhista pode escolher entre o uso de lápis ou de lapiseira para 
executar o trabalho. A dureza do lápis ou lapiseira é especificada por números e letras, que 
indicam: mole, média e dura. 
 
Duras – São usadas quando se requer extrema precisão. As mais duras (5H – 4H) são 
empregadas em desenhos de engenharia, mas seu uso é restrito porque as linhas 
costumam ser muito fracas. 
 
Médias – Esses graus são usados para todos os fins em desenho técnico. Os graus mais 
moles (HB – B) servem para esboços técnicos, cabeças de seta, escrita e outros trabalhos a 
mão livre. 
 
Moles – São muito moles para serem usadas em desenhos de arquitetura. Seu uso para tal 
finalidade implica na obtenção de linhas grossas, imprecisas e que são difíceis de apagar. 
Esses graus são usados principalmente para desenho artístico de diversos tipos. 
 
2. Borracha – Apagar uma linha corretamente é tão importante quanto traçá-la de modo 
correto. Os instrumentos para apagar devem ser cuidadosamente escolhidos. Os de base 
vinílica são os mais recomendados e encontrados em vários tamanhos, inclusive na forma 
de lápis ou lapiseiras. 
 
3. Jogo de esquadros – São de material sintético, sem graduação ou rebaixados nas 
bordas. Os esquadros terão como comprimento da hipotenusa do esquadro de 45º e o 
cateto maior do esquadro de 30º e 60º coincidentes. Para o traçado das retas horizontais 
fixa-se com a mão esquerda o cabeçote da régua T contra a face esquerda da prancheta, 
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correndo a mão para a direita sobre a régua propriamente dita, detendo-a no lugar desejado. 
O lápis é levado da esquerda para a direita ao longo da régua. Para desenhar as retas 
verticais, apóia-se o esquadro sobre a régua, fixando-se simultaneamente com a mão 
ambos os instrumentos, traça-se de baixo para cima ao longo do esquadro e do lado 
esquerdo deste. Com a régua e jogo de esquadros de 45º, 30º e 60º traçam-se ângulos de 
90º e 45º, 30º e 60º, 75º e 15º isto é, todos os ângulos escalonados de 15º em 15º podem 
ser desenhados em todos os quadrantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Círculos de esquadros mostrando seu uso para o traçado de linhas inclinadas. Em cada caso, os 
esquadros devem apoiar-se na régua “T” ou “Paralela”. As setas mostram o sentido em que a linha é 
traçada. 
 
4. Escalímetro – Levam graduações em escalas diferentes em todas as seis faces da régua 
de seção transversal triangular com 30 cm de comprimento, gravadas fotoquimicamente e 
corpo em plástico injetado e lâmina em PVC. Aconselha-se não usar como guia para 
traçado de retas, apenas para marcar a dimensão requerida de comprimento ou abertura do 
compasso. 
 
5. Escovas de limpeza (ou pano macio) – Para remover adequadamente quaisquer 
partículas, assim como fiapos de borracha, grafites e poeiras da superfície de desenho, usa-
se uma escova ou pano macio. É parte do equipamento dos desenhistas, e remove 
partículas sem borrar as linhas já acabadas. 
 
6. Compasso – Material específico para traçar circunferência a lápis ou a tinta (adaptador 
de caneta, mina, lápis ou lapiseira). Os parafusos do compasso devem estar bem apertados 
para que as pontas não abram durante o trabalho. Para obtenção de circunferências 
maiores utilizam-se compassos próprios com prolongador, peça intermediária entre o braço 
do compasso e o adaptador de caneta ou lápis. 
 
7. Pranchetas de desenho – Poderão ser de madeira ou outro material isentas de juntas e 
deverão ter no lado esquerdo uma face completamente lisa, para adaptar à mesma a régua 
de cabeçote ou “T”, apoiadas sobre suportes ou mesa de tal modo que seja possível 
executar o trabalho comodamente. 
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8. Transferidores – São instrumentos utilizados para marcar ângulos de qualquer tamanho. 
Os mais comumente empregados são de material plástico com 180º ou 360º de extensão 
divididos de meio em meio grau. 
 
9. Gabaritos – São usados para finalidades comuns e específicas. Os mais comuns são 
gabaritos de círculos, elipses, arcos (curvaturas) e outros para transferir contornos ou linhas 
com indicação de acabamentos superficiais em um desenho. 
 
10. Curvas Francesas – Emprega-se curva francesa sempre que qualquer curva distinta da 
circunferência não seja possível traçá-la com compasso. Esse tipo de curva pode ser 
encontrado numa ampla variedade de tipo, tamanho e formas. 
 
11. Réguas de cabeçote ou “T” – Poderão ser de madeira ou associado com outro 
material sintético e devem de preferência abranger toda a largura da prancheta. O lápis ou 
caneta deslizará junto à face superior da régua, assim como servir de apoio para esquadros. 
 
12. Normógrafos – Instrumento usado para escrita nos projetos de engenharia, arquitetura 
e topografia. A primeira parte consiste de gabaritos (réguas), com sulcos na forma de letras, 
algarismos e outros caracteres. A segunda parte do conjunto é um suporte com dois braços, 
ligado a um pino, e outro, a uma pena, vulgarmente conhecida como “aranha”. Há também o 
normógrafo comum com formato de uma régua, com letras em sulcos vazados, nos quais se 
insere a pena da caneta ou ponta do lápis para reproduzir contorno de letras, algarismos, 
símbolos e outros caracteres. 
 
13. Programas de Computadores – São ferramentas mais complexas utilizadas para 
desenhos de engenharia e de arquitetura, e não dispensa em hipótese alguma o 
conhecimento de normas, e processos construtivos de geometrias de toda ordem, para 
elaboração de um desenho ou projeto. A qualidade na apresentação, agilidade e exatidão 
são seus maiores atributos, desde que o usuário tenha o domínio não só de informática, 
mas principalmente o embasamento técnico, ou seja, conhecimento prévio do que se 
necessita para obtenção do produto final. De nada vale um programa “software” com grande 
capacidade de resolução se o usuário não tiver conhecimento da seqüência construtiva para 
obtenção de um simples desenho ou até de um grande projeto. 
 
 
 
 
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Papel – Formatos e dobragem 
 
Papel para desenho é disponível em diversas larguras e em grandes rolos, ou também em 
folhas já recortadas. A espessura do papel depende da escala de pesos que se dá em 
gramas por metro quadrado (g/m2). De acordo com a NBR – 13142 (ABNT – Associação 
Brasileira de Normas Técnicas) os papéis a serem utilizados em desenhos técnicos deverão 
ter sempre os formatosda séria “A”. Os formatos derivam do formato “A0” que possui as 
dimensões de 841 mm x 1189 mm, ou seja, aproximadamente 1,00 m2. Dividindo 
sucessivamente por dois esta folha, forma-se a série de formatos “A” o que resulta tamanho 
de papel para: desenhos, formulários, cartas comerciais, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O espaço de utilização do papel fica compreendido por margens, que variam de dimensões, 
dependendo do formato usado. A margem esquerda, entretanto, é sempre de 25 mm, a fim 
de facilitar o arquivamento em pastas próprias. Os formatos das séries “A” são 
apresentadas no quadro a seguir e os respectivos dobramentos para possibilitar o 
arquivamento no formato final “A4” que é o tamanho das pastas e arquivos. 
 
 
 
FORMATOS DA 
SÉRIE “A” 
 
DIMENSÕES DA FOLHA NÃO 
RECORTADA (a x b) em 
milímetros 
 
FORMATO FINAL (a1 x b1) 
em milímetros 
 
MARGEM (m) em 
milímetros 
A0 
A1 
A2 
A3 
A4 
A5 
A6 
880 X 1230 
625 X 880 
450 X 625 
330 X 450 
240 X 330 
165 X 240 
120 X 165 
841 X 1189 
594 X 841 
420 X 594 
297 X 420 
210 X 297 
148 X 210 
105 X 148 
10 
10 
10 
10 
5 
5 
5 
Para arquivamento as folhas (pranchas) devem ser dobradas, sendo o formato final o A4. 
 
 
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Exercícios de Coordenação: 
 
No papel A4, fazer linhas paralelas de acordo com os exercícios abaixo: 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Legendas 
 
A legenda tem a finalidade de uniformizar as informações que devem acompanhar os 
desenhos. Os tamanhos e formatos das legendas obedecem à tabela dos formatos “A”. 
Recomenda-se que a legenda seja usada junto à margem, no canto inferior direito. Esta 
colocação é necessária para que haja boa visibilidade quando os desenhos são arquivados. 
A legenda deve possuir as seguintes informações principais, ficando, no entanto, a critério 
do escritório, o acréscimo ou a supressão de outros dados: 
 
a- Nome do escritório, Companhia etc.; 
b- Título do projeto; 
c- Nome do arquiteto ou engenheiro; 
d- Nome do desenhista e data; 
e- Escalas; 
f- Número de folhas e número da folha; 
g- Assinatura do responsável técnico pelo projeto e execução da obra; 
h- Nome e assinatura do cliente; 
i- Local para nomenclatura necessária ao arquivamento do desenho; 
j- Conteúdo da prancha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caligrafia Técnica – Letras e algarismos 
 
As letras e algarismos podem ser do tipo Fantasia utilizado em publicidade, embalagens, 
logotipos, etc., ou do tipo Técnico ou Bastão, normalizado pela ABNT NBR 8402. A 
caligrafia técnica normalizada são letras e algarismos feitos na vertical ou inclinados. 
Quando feita à mão livre deve-se dar preferência ao tipo inclinado, onde pequenos desvios 
da oblíqua serão menos notados, ao contrário do tipo vertical, onde logo se nota qualquer 
desvio. 
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Na execução das letras e algarismos são utilizadas pautas traçadas levemente, com um 
lápis bem apontado. Estas pautas são constituídas de três linhas paralelas. Uma para a 
base da letra, outra para a parte superior das maiúsculas e a terceira para a parte superior 
das minúsculas. Nas letras padronizadas, a altura da pauta das minúsculas é igual a 2/3 da 
altura da pauta das maiúsculas; portanto, a pauta das maiúsculas e a pauta inferior estão 
respectivamente 1/3 acima e 1/3 abaixo do corpo das letras. 
 
A maioria das letras pode ser desenhada a partir da construção de uma oval (base de 2/3 h), 
com exceção de algumas letras como, por exemplo, o M, m, W, w (base de 6/7h, h, 4/3h, h, 
respectivamente). 
 
Outros detalhes usados no desenho de letras: 
 
1. A espessura do traço é igual a 1/7 da altura 
2. Espaçamento: entre letras - 1/7 até 2/7h 
 entre as palavras - 4/7h 
 entre as bases das letras - 11/7h 
3. Nas letras inclinadas o ângulo é de 75º ou com inclinação de 25% em relação à vertical. 
 
Para o desenho de letras regulares, todas iguais, pode-se usar: 
 
- As letras perfuradas em chapas metálicas individual; 
- Chapa de plástico transparente com todas as letras do alfabeto; 
- Tipo aranha com réguas de letras gravadas (é o tipo mais caro e o que dá melhores 
resultados). 
 
Um dos melhores exercícios para o desenhista habituar-se a traçar letras e algarismos com 
rapidez e regularidade, é decalcar em papel transparente um texto escrito em Arial. 
 
Somente depois de conhecer bem o traçado das letras normalizadas é que o desenhista de 
arquitetura deve partir para criar sua própria “caligrafia” com letras de imprensa. 
 
 
 
 
 
 
 
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A seguir, exercitar a caligrafia técnica a partir da seqüência indicada nas letras e números: 
 
Desenhe cada número ou letra na quantidade de vezes possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Escalas 
 
Escala é a relação entre as dimensões representadas no desenho e as dimensões reais do 
objeto. 
 
A escala é representada pela relação: E = 1/n = D/R onde; 
E = Escala; 
n = denominador da fração escala; 
D = medida linear do desenho; 
R = medida linear real do objeto. 
 
Como o desenho técnico é utilizado para representação de máquinas, equipamentos, 
edifícios e até unidades inteiras de processamento industrial, é fácil concluir que nem 
sempre será possível representar os objetos em suas verdadeiras grandezas. Assim, para 
viabilizar a execução dos desenhos, os objetos grandes precisam ser representados com 
suas dimensões reduzidas, enquanto os objetos, ou detalhes, muito pequenos necessitarão 
de uma representação ampliada. 
 
Escala de redução – É utilizada quando as dimensões do objeto a ser desenhado são 
maiores em relação à folha que será utilizada para desenho. O denominador da fração 
escala indica quantas vezes o desenho é menor que o objeto real. Podem ser empregadas 
as escalas: (1:2) – (1:5) – (1:10) – (1:50) – (1:75) – (1:100) – (1:200) – (1:500) – (1:1000), 
etc... 
 
Escala de ampliação – É utilizada quando o objeto a ser desenhado tem dimensões muito 
pequenas. O numerador da fração escala indica quantas vezes o desenho é maior que o 
objeto real. Podem ser empregadas as escalas: (2:1) – (5:1)– (10:1), etc... 
 
No desenho de arquitetura geralmente só se usam escalas de redução, a não ser em 
detalhes, onde aparece algumas vezes a escala real. 
 
Obs.: As escalas devem ser lidas 1:50 (um por cinqüenta), 1:10 (um por dez), 10:1 (dez por um) 
etc. 
 
Escalas mínimas utilizadas no desenho de arquitetura: 
 
a. 1:100 para plantas baixa 
b. 1:200 para coberturas 
c. 1:500 para plantas de situação 
d. 1:50 para as fachadas e cortes 
e. 1:1000 a 1:2000 para plantas de localização 
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18 
 
A escolha de uma escala deve ter em vista: 
 
1. O tamanho do objeto a representar; 
2. As dimensões do papel; 
3. A clareza do desenho. 
 
Qualquer uma destas condições deve ser sempre respeitada, pois muito influenciará na boa 
apresentação do projeto. 
 
A indicação da escala não dispensará a indicação de cotas. As cotas deverão ser escritas 
em caracteres claros e que sejam facilmente legíveis. 
 
Cotas 
 
O desenho técnico, além de representar, dentro de uma escala, a forma tridimensional, deve 
conter informações sobre as dimensões do objeto representado. 
 
As dimensões irão definir as características geométricas do objeto, dando valores de 
tamanho e posição aos diâmetros, aos comprimentos, aos ângulos e a todos os outros 
detalhes que compõem sua forma espacial. 
 
A forma mais utilizada em desenho técnico é definir as dimensões por meio de cotas que 
são constituídas de linhas de chamada (extensão ou referência), linha de cota, setas e do 
valor numérico em uma determinada unidade de medida. As cotas representam sempre 
dimensões reais do objeto e não dependem, portanto, da escala em que o desenho está 
executado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As cotas devem ser escritas na posição horizontal, de modo que sejam lidas com o desenho 
em posição normal, colocando-se o leitor do lado direito da prancha. 
Geometria Descritiva e Desenho Técnico – Professora Marta Mitiko K. de Siqueira 
19 
 
Em desenhos de arquitetura, a seta é substituída por pontos (vazios ou cheios) ou traços 
inclinados a 45º na interseção entre a linha de extensão e de cota. 
 
 
 
 
 
 
Princípios Gerais: 
 
1. Tanto as linhas de chamada como as linhas de cota se desenham com traço contínuo 
fino. As linhas de chamada devem, em princípio, ser perpendiculares ao elemento a cotar, 
mas em certos casos, pode haver conveniência em que sejam desenhadas obliquamente, 
preferindo-se nesses casos inclinações de 60 ou 75 ; 
 
2. As linhas de cota não devem ser traçadas muito próximas das linhas de contorno, 
dependendo da distância a que se colocam as dimensões do desenho e do tamanho do 
algarismo das cotas; 
 
3. A seta propriamente dita deve ter um comprimento de 2 a 3 mm e sua largura pode ser 
calculada como 1/3 do comprimento ou, simplesmente, dando-se à extremidade um ângulo 
de 15º; 
 
4. Os ângulos serão medidos em graus, exceto em coberturas e rampas que se indicam em 
porcentagem (%); 
 
5. As linhas de cota paralelas devem ser espaçadas igualmente; 
 
6. Colocar as linhas de referência de preferência fora da figura; 
 
7. Evitar repetições de cota; 
 
8. Todas as cotas necessárias serão indicadas; 
 
9. Não traçar linha de cota como continuação de linha da figura; 
 
10. As cotas prevalecem sobre as medidas calculadas no desenho; 
 
11. As cotas de um desenho devem ser expressas na mesma unidade; 
 
12. A altura dos algarismos é uniforme dentro do mesmo desenho. Em geral usa-se de 1,5 a 
3 mm; 
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20 
 
 
13. No caso de divergência entre cotas de desenhos diferentes, prevalece a cota do 
desenho feito na escala maior; 
 
14. As linhas de cota são desenhadas paralelas à direção de medida. 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1. Se a representação de um edifício de 20 m (vinte metros) de altura em um formato 
de papel é feita usando-se a dimensão de 200 mm (duzentos milímetros), então em 
que escala foi desenhada esse edifício? 
 
Solução: 
 
E = 1/n = D/R = 200 mm/20 m, Se 20 m = 20000 mm, 
E = 1/n = 200 mm/20000 mm; simplificando-se teremos: 
E = 1/n = 1/100, ou seja, n = 100 (fração escala) 
 
Resposta: A escala usada foi 1:100 (um por cem), ou seja, o desenho foi reduzido 100 vezes 
 
2. Uma parede com comprimento igual a 3 m (300 cm) é representada no desenho com 
dimensão de 6 cm. Qual a escala do desenho? 
 
Solução: 
 
1/n = D/R 
1/n = 6 cm/3 m 
1/n = 6 cm/300 cm; simplificando-se teremos: 
1/n = 1/50, ou seja, n = 50 (fração escala) 
 
Resposta: A escala do desenho é 1:50 (um por cinqüenta), ou seja, o desenho foi reduzido 
50 vezes. 
 
3. Num desenho feito na escala 1:50 (um por cinqüenta), a aresta de um objeto mede 
1,5 cm de comprimento. Qual é a verdadeira grandeza do comprimento dessa aresta? 
 
Solução: 
 
1/n = D/R 
1/50 = 1,5 cm/R 
R = 1,5 cm x 50 
R = 75 cm 
 
Resposta: O comprimento dessa aresta na realidade é de 75 cm. 
 
 
 
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4. Cotar convenientemente a figura, indicando a escala. 
 
 Solução: 1/n = D/R 
 1/n = 2,5 cm/50 n = 20 (fração escala) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Escala 1:20 
 
Exercícios propostos 
 
1. Uma rua está desenhada com 15 mm de largura e mede 30 m. Qual a escala do 
desenho? 
 
2. Num projeto desenhado na escala 1:50 a altura de um prédio mede 28 cm. Qual a 
verdadeira grandeza dessa altura? 
 
3. Dado o segmento AB e sabendo-se que o mesmo foi desenhado utilizando-se a escala 
1:15, então qual teria sido o tamanho real do segmento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Um objeto é desenhado no formato A2 e em escala de 1:25. O desenho é em seguida, 
reduzido fotograficamente para o formato A4. Qual é a escala de redução dos formatos? 
Qual a nova escala do desenho? Qual o comprimento, na fotografia, de uma aresta de 
objeto que mede 5.20 m em seu tamanho real? 
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5. Construir uma legenda com os seus dados no formato A4, verificando os conteúdos 
mínimos. 
 
6. Cotar as figuras nas escalas indicadas (usar medidas em centímetros). 
A) 1:25 B) 1:75 C) 1:50 D) 1:25 E) 1:75 F) 1:50 
 
 
 
 
 
 
 A B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 C D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 E 
 
 F 
 
 
 
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7. Cotar convenientemente, indicando a escala (usar medidas em centímetros). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 2 – Geometria Descritiva 
 
 
Introdução 
 
 
A Geometria descritiva foi criada a partir de estudos sobre as projeções. Gaspar Monge, 
que viveu no século XVIII, foi quem criou os princípios das projeções a partir das operações 
de estereotomia, reunindo-as sob o nome de Geometria Descritiva,importante na formação 
de profissionais que trabalham com espaço e forma. E, portanto, base para desenho de 
máquinas e arquitetura. Esta geometria foi na época de Monge uma opção aos métodos 
empíricos. Os estudos feitos a partir da obra de Monge provocaram a sua evolução e 
também a descoberta de novas propriedades da geometria plana. 
 
No Brasil, esta geometria foi ensinada pela primeira vez na Real Academia Militar, criada por 
D. João VI. Esta academia começou seu funcionamento em 1º de abril de 1812. O primeiro 
professor de Geometria Descritiva, no Brasil, foi o 2º tenente José Vitorino dos Santos e 
Souza. O livro “Elementos de Geometria Descritiva” publicado por José Vitorino dos Santos 
e Souza, foi escrito com base na primeira edição da obra de Monge. 
 
Podemos entender a Geometria descritiva como sendo: “Uma ciência que estuda métodos 
de representações de figuras espaciais sobre um plano”. 
 
 
Projeção ortogonal de um ponto 
 
 
A projeção ortogonal de um ponto é o pé da perpendicular 
baixada do ponto ao plano. Assim, na figura 1, a é a 
projeção do ponto A sobre o plano α (alfa). Chama-se 
projetante de um ponto, a perpendicular baixada deste 
ponto ao plano de projeção. 
 
Obs.: Um ponto individualizado no espaço é representado por uma letra maiúscula do 
alfabeto latino e sua projeção por essa mesma letra, mas minúscula. 
 
Determinação do ponto 
 
Para que um ponto fique bem determinado, podemos empregar dois métodos diferentes: 
- método dos planos cotados; 
- método das projeções. 
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25 
 
No primeiro método, emprega-se apenas um plano de 
projeção e a cota do ponto. (Cota de um ponto é o 
comprimento da sua projetante). Nesse método, o plano de 
projeção é o plano horizontal tomado como plano de 
comparação e é chamado Plano Cotado porque nele se 
inscreve a cota do ponto (positiva acima e negativa abaixo 
desse plano). Uma reta, por exemplo, será representada 
pela sua projeção horizontal e pelas cotas de dois dos seus pontos. Assim, a reta AB figura 
2 seria representada pela projeção horizontal AB e as cotas dos dois pontos, significando, 
no caso, que o ponto A possui cota igual a duas unidades e o ponto B igual a três unidades. 
 
Quanto ao segundo método, para que um ponto fique bem 
determinado, uma só projeção não é suficiente, porque, 
conforme vemos na figura 3, o ponto a é a projeção no 
plano α, de qualquer ponto da perpendicular ilimitada ∆ 
(delta). Então para que um ponto fique bem determinado, 
emprega-se o método da dupla projeção, de Monge, que 
veremos pouco mais adiante, depois de estudarmos as 
projeções. 
 
Classificação das projeções 
 
Suponhamos (figura 4) um ponto A no espaço, um plano 
qualquer α e um observador em O. Se fizermos passar por 
A um raio visual partindo de O até encontrar o plano α, 
vemos que a será a projeção de A sobre o plano de 
projeção α, e a reta OAa será a projetante. O ponto O será 
o centro de projeção e esse sistema chama-se Cônico ou 
Perspectivo. 
 
Se considerarmos o ponto O lançado ao infinito, conservando-se o mesmo ponto A e o 
plano α, a projetante será paralela à uma direção ∆ (delta) e o sistema de projeção chama-
se Cilíndrico ou Paralelo. Neste caso, este ponto diz-se impróprio. As figuras 5 e 6 
esclarecem melhor ao considerarmos uma reta AB projetada no plano α, quando o centro de 
projeção está a uma distância finita ou não do plano, ficando assim bem caracterizadas as 
projeções cônicas ou cilíndricas respectivamente. 
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26 
 
Ainda no caso das projeções cilíndricas, elas podem ser oblíquas ou ortogonais conforme a 
direção de ∆ seja ou não perpendicular ao plano de projeção. A figura 7 nos mostra uma 
projeção cilíndrica ortogonal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo do Ponto 
 
 
Já conhecidas as diferentes projeções, podemos então dizer em que consiste o método da 
dupla projeção de Monge, para determinação de um ponto A. Consiste em determinar duas 
projeções ortogonais sobre dois planos perpendiculares H e V (horizontal e vertical). 
Considere os dois planos, ilimitados, perpendiculares entre si, cuja interseção se tem a 
chamada LINHA DE TERRA (representada por xy ou LT). Os dois planos, formam 4 
semiplanos, formando 4 regiões chamadas DIEDROS (figura 8). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HA - horizontal anterior, HP - horizontal posterior, VS - vertical superior, VI - vertical inferior. 
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27 
 
Para que se possam representar no plano, as figuras do espaço faz-se o rebatimento do 
plano vertical sobre o plano horizontal (no sentido anti-horário), o que consiste em fazê-lo 
girar em torno da linha de Terra, de modo que VS venha a ficar em coincidência com HP e 
VI com HA. Depois do rebatimento, temos a épura. 
 
Épura 
 
É a representação de uma figura do espaço pelas suas projeções, estando o plano vertical 
rebatido sobre o plano horizontal de projeção (figura 10). 
 
Obs.: Somente no 1o diedro, teremos as linhas visíveis (linha contínua), pois sendo opacos 
os semiplanos, é possível determinar as projeções em outros diedros por traço invisível 
(tracejado). 
 
Conceitos: 
 
1. Cota é a distância do ponto ao plano horizontal de projeção. 
2. Afastamento é a distância do ponto ao plano vertical de projeção. 
3. Linha de projeção (ou de chamada). É toda linha perpendicular à Linha de Terra, que 
une as projeções de um mesmo ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A - o ponto do espaço a’ - projeção vertical a - projeção horizontal m - abscissa do ponto 
 
 
 
Geometria Descritiva e Desenho Técnico – Professora Marta Mitiko K. de Siqueira 
28 
 
Posições do Ponto 
 
 
Em relação aos planos de projeção, o ponto pode ocupar nove posições diferentes: 
 
1a posição - No 1o diedro. 
A (m1, 2, 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a posição - No 2o diedro. 
B (m2, -3, 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3a posição - No 3o diedro. 
C (m3, -2, -3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4a posição - No 4o diedro. 
 
D (m4, 2, -3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5ª posição - O ponto está na VS. 
E (m5, 0, 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6a posição - O ponto está na VI. 
F (m6, 0, -2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7a posição - O ponto está na HA. 
G (m7, 3, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8a posição - O ponto está na HP. 
H (m8, -3, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9a posição - O ponto está na Linha de Terra. 
N (m9, 0, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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31 
 
Coordenadas positivas e negativas 
 
Na figura 29, Aa é a Cota e Aa’ é o Afastamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Cota positiva - Acima do plano horizontal de projeção (1o e 2o Diedros). 
b) Cota negativa - Abaixo do plano horizontal de projeção (3o e 4o Diedros). 
c) Afastamento positivo - À direita do plano vertical de projeção (1o e 4o Diedros). 
d) Afastamento negativo - À esquerda do plano vertical de projeção (2o e 3o Diedros). 
 
Na prática, o ponto é dado por suas coordenadas (Abscissa, Afastamento e Cota). 
 
Ponto situado no plano bissetor 
 
 
O plano bissetor é o plano que divide o 
diedro em duas partes iguais (figura 30). 
Só existem 2 planos bissetores : 
a) 1º bissetor, cortando os diedros 
impares (1º e 3º) e 
b) 2º bissetor, cortando os diedros pares 
(2º e 4º). 
Obs.: O ponto quando está situado no 
plano bissetor, tem coordenadas 
(afastamento e cota) iguais. 
 
 
 
 
 
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32 
 
Pontos simétricos 
 
 
Dois pontos A e B são simétricos em relação 
a um plano P, quando a reta por eles 
determinada é perpendicular ao plano e o 
ponto médio do segmento AB pertencer ao 
plano considerado (figura 31) 
 
O ponto B é o simétrico de A em relação ao 
plano P. (MA = MB) 
 
Pontos simétricos em relação aos planos de projeção 
 
Diz-se que um ponto B é simétrico a A em 
relação ao plano horizontal de projeção, 
quando possui o mesmo afastamento e a 
mesma abscissa, em grandeza e sentido, e a 
cota com o mesmo valor absoluto e sinal 
contrário (figura 32). 
Ex: A (1, 2, 3) B (1, 2,-3) 
 
 
 
 
Diz-se que um ponto C é simétrico a um ponto 
A em relação ao plano vertical de projeção, 
quando possui a mesma cota e a mesma 
abscissa em grandeza e sentido, e o 
afastamento com o mesmo valor absoluto e 
sinal contrário (figura 33). 
Ex: A (0,-3, 2) C (0, 3, 2) 
 
 
 
Geometria Descritiva e Desenho Técnico – Professora Marta Mitiko K. de Siqueira 
33 
 
Pontos simétricos em relação aos planos bissetores 
 
 
Na figura 34, a reta RI representa o 
primeiro bissetor e a reta RJ o segundo 
bissetor. O ponto A é simétrico a D em 
relação ao 10 bissetor se o ponto M for o 
ponto médio, isto é MA = MD. 
 
E o ponto E será simétrico a A em relação 
ao 20 bissetor, se N for o ponto médio, isto 
é NA = NE. 
Ex: A (0, 2, 4), D (0, 4, 2) e E (0, -4, -2) 
 
 
Pontos simétricos em relação à linha de Terra 
 
 
Na figura 35, o ponto B é simétrico a A em 
relação ao PH; e o ponto C, simétrico a B 
em relação ao PV. O ponto C será 
simétrico a A em relação à LT e tem-se 
então AR = RC. 
Ex: A (0, 2, 2), B (0, 2,-2) e C (0,-2,-2) 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: A simetria em relação à linha de terra é o produto das simetrias em relação aos planos 
horizontal e vertical e assim, para se obter o simétrico de um ponto dado em relação à linha 
de terra, pode-se efetuar a simetria em relação a um dos planos de projeção e a seguir a 
simetria desse último em relação ao outro plano. 
 
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Resumo 
 
 
Tabela 1. Regras para a representação de um ponto no espaço ou em épura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios resolvidos 
 
1. Represente em épura os pontos abaixo: 
A ( 1 , 4 , 4 ) B ( -1 , -2 , 3 ) 
 
Solução: (figuras 36 e 37) 
O ponto A está no 1º diedro; o ponto B está no 2º diedro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Represente os pontos C e D, indicando as suas posições no espaço e sua 
representação em épura: C (2 , 2 , -1) D ( 0 , 3 , 0) 
 
Solução: (figuras 38, 39, 40 e 41) 
O ponto C está no 4º diedro; o ponto D está na HA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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36 
 
3. Determine as coordenadas e represente em épura os pontos: 
E (5, ?, ?) está no 1º bissetor 
F (-1, ?, ?) está no 2º bissetor e tem afastamento negativo 
 
Solução: (figuras 42 e 43) 
Como os pontos E e F estão situados no plano bissetor, estes possuirão coordenadas 
(afastamento e cota) iguais, logo: 
E (5, 2, 2), F (-1, -3, 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Determine as coordenadas de um ponto G simétrico a H (3, 2, 4) em relação a HA. 
Represente-os no espaço. 
 
Solução: (figura 44) 
Como as projeções serão 
simétricas em relação a HA, 
logo: 
G (3, 2, -4) 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios propostos 
 
1. Dado os pontos: A (1.5; 0 ; 0), B (2, -3, 0) e C (4, 0, -7) 
- Trace a épura 
- Visualize-os no espaço, utilizando os diedros. 
 
2. Trace a épura dos pontos A e B, situados respectivamente no 1º e 2º bissetor. 
A (-2, ? , 5) e B (1, ? , 2) 
 
3. Represente as posições dos pontos A, B, C e D, conforme solicitado a seguir: 
- A no 1º diedro 
- B na VS 
- C no 2º diedro 
- D na HA 
 
4. Represente em épura os pontos abaixo: 
A ( 3, 5, 2) B (-3, -3, -6) C( 4, 0, -6) D (1; 1,5; 3) 
 
5. Trace a épura dos pontos A e B situados no plano bissetor, respectivamente no 3º e 4º 
diedros. 
A (2 , -3 , ? ) e B ( 0 , ? , -2 ) 
 
6. Trace a épura de um ponto no 2º diedro com cota igual a 1/3 do afastamento. 
 
7. Dê a épura de um ponto situado no 2º diedro mais perto do plano Horizontal do que do 
Plano Vertical. 
 
8. Dos pontos: A (3, -2, 5) B (0, -3, -6) C(1, 2, -5), trace a épura de cada ponto de acordo 
com o enunciado: 
- Simétricos em relação ao PV 
- Simétricos em relação ao PH 
- Simétricos em relação ao 1º bissetor 
- Simétricos em relação ao 2º bissetor 
 
9. Represente os pontos A e B, indicando as suas posições no espaço e sua representação 
em épura. 
A (-2, 4, -1) B (0 , 0 , 0) 
 
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10. Determine as coordenadas e represente em épura os pontos: 
A (0, ?, ?) está no 1º bissetor 
B (-4, ?, ?) está no 2º bissetor e tem afastamento negativo 
C (-4, ?, ?) está na VS 
D (-1, ?, ?) está na LT 
 
11. Represente em épura e localize os seguintes pontos: 
A (0 , 1 , 3) B (1, 0 , 1) C (2 , 2 , -2) D (3, 2 , 1) E ( 4, -1, -2) 
F (-1, 3 , 0) G (-2, 1, -2) H (-3, -2, -2) I (-4, -2, 3) J (-5 , 0, 0) 
 
12. Determine a cota do ponto A, sabendo-se que este se localiza no HA. Trace a épura 
desse ponto. A (2, 4, ?) 
 
13. Determine as coordenadas do ponto B que está localizado no HP. 
B (-2, -3, ?) 
 
14. O ponto B está no 2º diedro e o ponto A no 1º diedro. Estes pontos são simétricos a C e 
D (respectivamente) em relação ao PH. Represente a épura dos pontos A, B, C e D. 
C (0, -2, -3) D (3, 1, -2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Estudo da Reta 
 
A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de todos os seus pontos 
sobre esse plano. 
 
Seja na figura 45 a reta AD e o plano M. Baixando de todos os pontos da reta 
perpendiculares ao plano, os pés dessas perpendiculares dão lugar à projeção ortogonal da 
reta. Essas perpendiculares formam um plano P perpendicular ao plano M e que é o plano 
projetante da reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os pés das perpendiculares estão na interseção dos dois planos e a projeção da reta AD é, 
portanto essa interseção. 
 
A projeção de uma reta sobre um plano só deixa de ser uma reta, quando ela lhe for 
perpendicular, pois nesse caso a projeção será um ponto, como se vê na figura 46. Nesse 
caso a projeção da reta se reduz a um ponto porque as projetantes de todos os seus pontos 
se confundem com a própria reta. 
 
Quando uma reta for paralela a um plano (figura 47) a sua projeção sobre esse plano é igual 
e paralela à própria reta. Seja a reta AB paralela ao plano M cuja projeção nesse plano é a 
reta ab. As duas retas AB formam com as projetantes Aa e Bb um paralelogramo no qual 
AB = ab. Diz-se então que a reta se projeta em verdadeira grandeza (V.G.). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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40 
 
Quando uma reta for oblíqua a um plano (figura 48) a projeção é menor que a reta do 
espaço porque esta forma com sua projeção e as projetantes um trapézio retângulo em que 
a projeção no plano sendo perpendicular às bases é menor que a reta do espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja na figura 49 a reta AB perpendicular ao plano M. Suponhamos que a reta girando em 
torno de A ocupe as posições AB1, AB2 e AB3, cujas projeções no plano M serão 
respectivamente ab, ab1, ab2 e ab3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verifica-se que sua projeção na posição inicial era o ponto ab (a coincidentecom b) e que 
essa projeção torna-se ab1 quando o ponto B atinge a posição B1 e vai crescendo 
gradativamente à proporção que a reta vai diminuindo a sua inclinação sobre o plano. 
Quando a reta atinge a posição AB3 paralela ao plano, a sua projeção torna-se ab3. Por 
conseguinte, a projeção de uma reta sobre um plano é tanto maior quanto menor for sua 
inclinação sobre ele. 
 
Determinação de uma reta 
 
De um modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são 
conhecidas as projeções dessa reta sobre dois planos ortogonais. 
 
Sejam na figura 50 os dois planos P e M perpendiculares a ab e a’b’ respectivamente as 
projeções da reta AB cuja posição queremos determinar. Por ab faz-se passar um plano M, 
o mesmo acontecendo com a’b’ em relação a P. Cada um dos planos, que são os planos 
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41 
 
projetantes da reta nos respectivos planos de projeção, deve conter a reta do espaço, que 
será então a interseção desses dois planos projetantes. E como esses planos se cortam 
segundo AB, que é a única que tem ab e a’b’ como projeções, ela fica bem determinada. 
Para designar a reta cujas projeções são ab e a’b’ escreve-se: AB (figura 51). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pertinência de ponto e reta 
 
Um ponto pertence a uma reta, quando as projeções desse ponto estão sobre as projeções 
de mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal 
da reta e a projeção vertical também sobre a projeção vertical da reta. 
 
Obs.: Essa regra de ponto pertencer à reta sofre exceção quando se trata de reta de perfil, 
como veremos mais adiante (figuras 72 a 74). 
 
Posições da reta 
 
Em relação aos planos de projeção, a reta pode ocupar várias posições, posições essas que 
determinam nomes e propriedades particulares. 
 
a) Reta Qualquer 
 
É a reta oblíqua aos dois planos de projeção (figura 52). Sua épura é caracterizada por 
possuir ambas as projeções obliquas à linha de terra (figura 53). 
Ex: A (0, 1, 1) 
 B (2, 3, 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Reta Horizontal 
 
É a reta paralela ao plano horizontal e oblíqua ao plano vertical. Sua épura é caracterizada 
por possuir a projeção vertical paralela à linha de terra e a projeção horizontal oblíqua a 
essa mesma linha (figuras 54 e 55). A projeção horizontal representa a verdadeira 
grandeza. 
Ex: A (0, 1, 3) 
 B (2, 3, 3) 
 
 
 
 
 
 
 
c) Reta Frontal ou de Frente 
 
É a reta paralela ao plano vertical e oblíqua ao plano horizontal. Sua épura é caracterizada 
por possuir a projeção horizontal paralela à linha de terra e a vertical oblíqua a essa mesma 
linha (figuras 56 e 57). 
Ex: A (0, 3, 3) 
 B (2, 3, 1) 
 
 
 
 
 
 
 
d) Reta Fronto Horizontal 
 
É a reta paralela simultaneamente aos dois planos de projeção. Sua épura é caracterizada 
por possuir ambas as projeções paralelas à linha de terra (figuras 58 e 59). 
Ex: A (0, 3, 2) 
 B (2, 3, 2) 
 
 
 
 
 
 
 
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e) Reta Vertical 
 
É a reta perpendicular ao plano horizontal. Sua épura é caracterizada por possuir a projeção 
horizontal reduzida a um ponto e a vertical perpendicular à linha de terra (figuras 60 e 61). 
Ex: A (0, 2, 4) 
 B (0, 2, 2) 
 
 
 
 
 
 
 
f) Reta de Topo 
 
É a reta perpendicular ao plano vertical. Sua épura é caracterizada por possuir a projeção 
vertical reduzida a um ponto e a horizontal perpendicular à linha de terra (figuras 62 e 63). 
Ex: A (0, 2, 3) 
 B (0, 4, 3) 
 
 
 
 
 
 
 
g) Reta de Perfil 
 
É a reta perpendicular (ou ortogonal) à linha de terra. Sua épura é caracterizada por possuir 
as projeções perpendiculares à linha de terra (figuras 64 e 65). 
Ex: A (0, 1, 3) 
 B (0, 3, 1) 
 
 
 
 
 
 
 
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44 
 
Traços de retas 
 
Chama-se “traço de uma reta sobre um plano” o ponto em que essa reta fura ou atravessa 
esse plano. Conclui-se então que quando uma reta for paralela a um plano, não terá traço 
sobre esse plano. O traço sobre o plano P é o “traço vertical” e por convenção representa-se 
por V, e de modo idêntico o traço horizontal no plano M é representado por H. 
 
Seja na figura 66 a reta AB e o ponto V a interseção da reta AB no plano P. Para se obter o 
traço vertical V de uma reta, basta determinar o ponto da reta AB que tenha afastamento 
nulo. 
Ex: A (2; 1; 3) 
 B (0; 4; 1) 
 V (2,67; 0; 3,67) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em épura (figura 67), para se obter o traço vertical da reta rr’, é suficiente prolongar a 
projeção de nome contrário (projeção horizontal) até a linha de terra, onde fica determinado 
o ponto v que é a projeção horizontal do traço v’. De v, uma linha de chamada faz conhecer 
v’ como indica a épura. Este ponto v’ que coincide com o ponto objetivo V é um ponto da 
reta AB e seu afastamento é nulo. 
 
De modo idêntico obtém-se o traço horizontal e as figuras 68 e 69 esclarecem. 
Ex: A (2; 1; 3) 
 B (0; 4; 1) 
 H (1; 5,5; 0) 
 
 
 
 
 
 
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Na determinação dos traços de uma reta há um princípio imutável, sem exceção alguma: é 
que a projeção horizontal v do traço vertical V e a projeção vertical h’ do traço horizontal H 
estão sempre obrigatoriamente sobre a linha de terra, podendo as projeções v’ e h se 
situarem abaixo ou acima da linha de terra conforme a posição da reta, exceto é claro, 
quando a reta passa por MP, porque então tudo coincidirá com aquela linha. 
 
Obs.: A regra que acabamos de expor para a obtenção dos traços de uma reta, sofre 
exceção somente quando a reta é de perfil, como veremos mais adiante. 
 
Conclui-se que uma reta só possui os dois traços quando é oblíqua aos dois planos M e P 
(reta qualquer e reta de perfil). As demais retas, como horizontal, frontal, vertical e de topo, 
possuem, apenas um traço e finalmente a fronto horizontal, por ser paralela aos dois planos 
não possui traço nesses planos. 
 
 
Traços de reta de perfil 
 
Antes de resolvermos a questão na épura, vamos estudá-la no espaço (figura 70). 
 
Seja a reta AB e H e V os seus traços respectivamente sobre M e P. Utiliza-se, no estudo da 
reta de perfil, o rebatimento do plano de perfil que a contém que no caso é o triângulo HVv. 
Este rebatimento consiste em girá-lo 90º em sentido contrário aos ponteiros do relógio, até 
que fique em coincidência com 
o plano vertical P, sendo este 
giro feito em torno de sua 
interseção com o plano P, que 
no caso é Vv. Adota-se este 
sentido para que os diedros 
após o rebatimento se 
apresentem nas regiões já 
conhecidas. Com este 
rebatimento, os pontos A e B 
descreverão no espaço arcos 
de círculos horizontais e vem 
colocar-se em A1 e B1 
respectivamente sobre retas 
traçadas por a’ e b’ 
paralelamente à linha de terra. 
 
 
 
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46 
 
No plano horizontal o ponto A descreve um arco de círculo de raio av e vem cair em a1 do 
mesmo modo que o ponto b vem cair em b1; desses pontos a1 e b1 traçam-se no plano 
vertical as paralelas a Vv que determinam as posições A1 e B1 após o rebatimento. 
 
Vejamos agora a épura (figura 71). 
 
Seja AB dada por suas projeções a e a’ e b e b’. Opera-se como foi descrito fazendo-se 
centro em h’v e descrevendo os raios de círculo aa1 e bb1 até situar esses pontos em a1 e b1 
na linha de terra. Daí, por perpendiculares à linha de terra teremos os pontos A1 e B1 e, 
portanto a reta A1B1 nos encontros com as paralelas à linha de terra traçadas por a’ e b’ 
respectivamente.Teremos em A1B1 a verdadeira grandeza da reta dada e um v’v o seu traço 
vertical. No plano horizontal, o traço é h e para determiná-lo teremos de desfazer o 
rebatimento. Assim, prolongando a reta A1B1, teremos em h1 sobre a linha de terra o traço 
horizontal rebatido; então, com o mesmo centro em h’v e raio h’h1 descreve-se, em sentido 
contrário ao efetuado para o rebatimento, o arco h1h, sendo H o traço horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: É sempre a projeção horizontal que 
se rebate e no sentido contrário dos 
ponteiros, o que constitui REGRA GERAL. 
 
Pertinência de ponto à reta de perfil 
 
Já vimos que um ponto pertence a uma reta quando tem suas projeções sobre as projeções 
correspondente da reta, quando foi esclarecido que tal regra não se aplicava à reta de perfil. 
Com efeito, o ponto pode ter suas projeções sobre as projeções de mesmo nome da reta e a 
ela não pertencer. 
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47 
 
Na figura 72 temos uma reta de perfil dada pelas 
suas projeções e também as projeções de c e c’ de 
um ponto C sobre as projeções correspondentes 
da reta. Se a regra fosse verdadeira, o ponto C 
pertenceria à reta AB e o rebatimento nos mostra 
que o ponto não pertence à reta. 
 
Então, normalmente, para se saber se um ponto 
pertence a uma reta de perfil, opera-se o 
rebatimento como prática normal. Entretanto, sem 
utilizar rebatimento podemos também verificar se 
um ponto dado pertence a uma reta de perfil dada. 
Seja na figura 73 a reta AB dada pelas projeções e 
o ponto C também dado pelas projeções. 
 
Se a relação bc/ba = b’c’/b’a’ for verificada, o ponto 
pertence à reta e caso contrário não pertencerá. A 
citada relação é baseada no teorema: 
 
“A relação de dois vetores tomados sobre uma 
mesma reta ou sobre duas retas paralelas, é igual à 
relação de suas projeções cilíndricas”. Substituindo 
então, na mencionada relação, os segmentos pelos 
valores numéricos, tem-se: 
0,5/1,5 = 1/3 0,5X3 = 1X1,5 ou 1,5 = 1,5 
o que demonstra que o ponto pertence à reta. (O 
rebatimento confirmará a pertinência do ponto à reta). 
 
De forma idêntica, conhecidas as projeções de uma 
reta de perfil e uma das projeções de um ponto a ela 
pertinente, podemos determinar a outra projeção. 
Seja como exemplo a reta AB e o ponto C do qual 
só se conhece a cota (figura 74). Para se achar o 
afastamento (projeção horizontal), opera-se o 
rebatimento e determina-se a verdadeira grandeza 
em A1B1; a seguir, por c’ (projeção conhecida), traça-
se c’C1 situando-se C1 sobre A1B1 por se saber que 
o ponto é pertinente à reta. Desfazendo-se o 
rebatimento, obter-se-á a projeção c pedida, que 
estará sobre ab. 
 
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Exercícios resolvidos 
 
1. Dar a épura das retas AB e CD e defini-las quanto à posição. 
A (1, 2, 1) B (3, 1, 3) C (-3, -2, -2) D (0, -2, 3) 
 
Solução: (figuras 75 e 76) 
A reta AB é uma reta qualquer no 1º diedro. 
A reta CD é uma reta frontal (projeção horizontal paralela e projeção vertical obliqua à linha 
de terra). O ponto C está no 3º diedro e o ponto D no 2º diedro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Dada a reta AB pede-se: 
a) sua épura; 
b) seus traços; 
c) os diedros que ela atravessa; 
d) a sua posição no espaço; 
e) as coordenadas dos traços V e H. 
A (0; -2; -1) B (4; 2; 3) 
 
Solução: (figuras 77 e 78) 
a) Locados os pontos, têm-se em a’b’ e ab a épura pedida. 
b) De acordo com a regra já descrita, têm-se em v’ e h os traços da reta e suas respectivas 
projeções. 
c) Verifica-se na épura que a reta de projeções ab e a’b’ 
 - o segmento de projeções bv e b’v’ no 1º diedro; 
 - o segmento de projeções vh e v’h’ (segmento entre os traços) no 2º diedro; 
 - o segmento de projeções ah e a’h’ no 3º diedro. 
d) em conseqüência do item anterior, a figura 78 mostra a situação da reta no espaço. 
 
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49 
 
 H (1; 1; 0) V (2; 0; 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Traçar a épura de uma reta situada no 1º diedro, que atravesse o 2º e o 4º diedros. 
 
Solução: (figuras 79 e 80) 
No primeiro exercício desse tipo, estudaremos o raciocínio a seguir e traçando no espaço 
(figura 79) a posição da reta. Observamos que a reta atravessará o plano horizontal HA para 
passar ao 4º diedro, prolongando-a no sentido BA, isto é, de B para A; atravessará o plano 
vertical VS para passar para o 2º diedro, prolongando-a no sentido AB, ou seja, de A para B. 
Em épura (figura 80), basta que a reta tenha suas projeções de tal forma em relação à linha 
de terra, que os traços sejam determinados em sentidos contrários, isto é, prolongando-se a 
projeção vertical a’b’ no sentido de a’ para b’ e a projeção horizontal de b para a. Verifica-se, 
comparando-se as duas figuras, que a reta AB atravessa o plano vertical no sentido AB 
passando para o 2º diedro após o seu traço vertical V e o plano horizontal no sentido BA 
passando para o 4º diedro após o seu traço horizontal H. A (4; 3; 1) B (0; 1; 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios propostos 
 
1. Dê a épura e identifique o tipo de reta que passa por: 
 
a) A (1; 2; 1) e B ( 3; 1; 3) 
b) C (-3; -2; -3) e D(0; -2; 3) 
c) E (1; 2; 3) e F (5; 5; 3) 
d) G (2; 1; 4) e H (2; 4; 1) 
e) I (4; 2; 3) e J (4; 5; 3) 
f) K (1; 2,5; 1) e L (4; -1; 4) 
 
2. Dada a reta AB pede-se: a) sua épura; b) seus traços; c) os diedros que ela atravessa; 
d) a sua posição no espaço. 
A (-1; -3; -2) B (3; 3; 4) 
 
3. Um ponto A está situado no 2º bissetor. Pede-se traçar uma reta BC que contenha o 
ponto A. 
A (3; 1,5; ?) B (-0,5; 3; 2) C(5; ?; ?) 
 
4. Traçar a épura de uma reta qualquer AB, com o ponto A no plano HA e o ponto B no 
plano VS, e passando por um ponto C. 
C (2; 1; 1) 
 
5. Traçar a épura de uma reta situada no 1º diedro que atravesse o 4º e o 3º diedros. 
Calcular as coordenadas dos traços V e H. 
 
6. Traçar a épura de uma reta AB simétrica de CD em relação ao plano horizontal. 
C (1; 2; 3) D (6; 4; 1) 
 
7. Dada uma reta AB de perfil, pede-se: 
a) sua épura; 
b) seus traços; 
c) os diedros que ela atravessa; 
d) a sua posição no espaço. 
A (0; 3; -3) B(?; 1; 2) 
 
 
 
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51 
 
Estudo do Plano 
 
Traços de plano 
 
Chama-se traços de plano, à interseção desse plano com o plano de projeção. Um plano é 
geralmente designado por seus traços que são representados por letras maiúsculas do 
alfabeto e na linha de terra por uma letra grega , ou . 
Assim por exemplo o plano P P’ , entende-se que : 
P - traço horizontal (contém todos os traços horizontais “H” da reta) 
P’ - traço vertical (contém todos os traços verticais “V” da reta) 
E por convenção o traço horizontal é pronunciado em 1o lugar. 
 
Posições do plano 
 
Do mesmo modo que estudamos as posições das retas, veremos agora as posições dos 
planos, seus nomes e suas épuras. 
 
a) Plano Qualquer 
 
É o plano oblíquo dos dois planos de projeção (figura 81). Possui os dois traços distintos, 
concorrendo sobre a linha de terra em um mesmo ponto. Sua épura geralmente se 
apresenta como se vê na figura 82. Entretanto pela maneira do plano se situar no espaço, a 
épura pode aparecer em qualquer das posições indicadas na figura 83, pois o que 
caracteriza o plano é possuir os dois traços oblíquos à linha de terra, não importando como 
fiquem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Plano Horizontal 
 
Esse plano se apresenta como nos mostra a figura 84. Basta defini-lo“plano paralelo ao 
plano horizontal de projeção”. A épura (figura 85) é caracterizada por possuir apenas um 
traço, o vertical, e, paralelo à linha de terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Plano Frontal 
 
No espaço, se apresenta como nos mostra a figura 86. É o plano “paralelo ao plano vertical 
de projeção”. A épura (figura 87) é caracterizada por possuir também um traço apenas, o 
horizontal, e, paralelo à linha de terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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53 
 
d) Plano Vertical 
 
No espaço se apresenta como nos mostra a figura 88. É o plano perpendicular ao plano 
horizontal e oblíquo ao vertical. Sua épura (figura 89) é caracterizada por possuir o traço 
vertical perpendicular à linha de terra e o horizontal oblíquo à mesma linha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Plano de Topo 
 
No espaço se apresenta como nos mostra a figura 90. É o plano perpendicular ao plano 
vertical e oblíquo ao horizontal. Sua épura (figura 91) é caracterizada por possuir o traço 
horizontal perpendicular à linha de terra e o traço vertical oblíquo à mesma linha. É o inverso 
do plano vertical, anteriormente estudado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Plano de Perfil 
 
No espaço se apresenta como nos mostra a figura 92. É o plano perpendicular aos dois 
planos de projeção. Sua épura é caracterizada por possuir ambos os traços em 
coincidência, perpendiculares à linha de terra (figura 93). 
 
 
 
Geometria Descritiva e Desenho Técnico – Professora Marta Mitiko K. de Siqueira 
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g) Plano Paralelo à Linha de Terra 
 
O plano paralelo à linha de terra não tem nome especial. É apenas “um plano paralelo à 
linha de terra”, e aparece no espaço como nos indica a figura 94. Verifica-se que é um plano 
oblíquo aos dois planos de projeção, numa posição particular. Sua épura (figura 95) é 
caracterizada por possuir ambos os traços paralelos à linha de terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) Plano que passa pela Linha de Terra 
 
Nesse caso, conforme mostra a figura 96 os traços do plano coincidem com a linha de terra. 
Sua épura (figura 97) é caracterizada por possuir ambos os traços coincidentes com a linha 
de terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resumindo o estudo das posições dos planos, temos: 
 
a) Qualquer: Oblíquo aos dois planos de projeção. Traços oblíquos à linha de terra e 
concorrentes num mesmo ponto dessa linha. 
 
b) Horizontal: Paralelo ao plano horizontal de projeção. Só possui traço vertical e paralelo à 
linha de terra. 
 
c) Frontal: Paralelo ao plano vertical de projeção. Só possui traço horizontal e paralelo à 
linha de terra. 
 
d) Vertical: Perpendicular ao plano horizontal e oblíquo ao plano vertical de projeção. 
Traços distintos, sendo o vertical perpendicular à linha de terra e o horizontal oblíquo a essa 
linha. 
 
e) Topo: Perpendicular ao plano vertical e oblíquo ao plano horizontal de projeção. Traços 
distintos, sendo o horizontal perpendicular à linha de terra e o vertical oblíquo a essa linha. 
 
f) Perfil: Perpendicular aos dois planos de projeção. Traços numa mesma perpendicular à 
linha de terra. 
 
g) Paralelo à Linha de Terra: Os traços distintos, ambos paralelos à linha de terra. 
 
h) Passando pela Linha de Terra: Os traços do plano coincidem com a linha de terra 
 
Retas do plano 
 
Pertinência de reta e plano 
Uma reta pertence a um plano quando possui os seus traços sobre os traços 
correspondentes do plano. 
 
Retas de Plano Qualquer 
Um plano qualquer sendo oblíquo aos dois planos de projeção, poderá conter as retas que 
também sejam oblíquas a eles ou, no mínimo, a um deles pelo menos. Assim, poderá conter 
as seguintes retas: qualquer; frontal; horizontal. 
 
Retas de Plano Horizontal 
Como o plano horizontal é paralelo ao plano horizontal de projeção, só poderá conter as 
retas que também sejam paralelas ao plano horizontal e que são: horizontal; fronto 
horizontal; de topo. 
 
 
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56 
 
Retas do Plano Frontal 
 
Como o plano frontal é paralelo ao plano vertical de projeção, só poderá conter as retas que 
também forem paralelas ao mesmo plano e que são: frontal; fronto horizontal; vertical. 
 
Retas de um Plano Paralelo à Linha de Terra 
 
Sendo o plano paralelo à linha de terra, oblíquo aos dois planos de projeção, só poderá 
conter retas paralelas à linha de terra e oblíquos aqueles planos. Então, as retas que podem 
estar contidas em um plano paralelo à linha de terra são: qualquer; fronto horizontal; de 
perfil. 
 
Retas de um Plano Vertical 
 
Sendo o plano vertical perpendicular ao plano horizontal de projeção e oblíquo ao plano 
vertical, só poderá conter retas que sejam perpendiculares ao plano horizontal e oblíquos ao 
plano vertical. E essas retas são: qualquer; horizontal; vertical. 
 
Retas de um Plano de Topo 
 
Sendo o plano de topo perpendicular ao plano vertical de projeção e oblíquo ao horizontal, 
só poderá conter retas que sejam oblíquas ao plano horizontal e perpendiculares ao plano 
vertical e que são: qualquer; frontal; de topo. 
 
Retas de um Plano de Perfil 
 
Sendo o plano de perfil perpendicular aos dois planos de projeção, só poderá conter, como 
é evidente, retas que sejam perpendicular a horizontal ou a vertical e perpendicular á 
interseção deles, isto é, perpendicular à linha de terra. Tais retas são: de topo; vertical; de 
perfil. 
 
Retas de um Plano que passa pela Linha de Terra 
 
Um plano que passa pela linha de Terra, é um plano oblíquo aos dois planos de projeção, 
nessa posição particular como vimos na figura 108. Se ele estiver igualmente inclinado em 
relação aos planos de projeção, será então um plano bissetor. Esse plano só poderá conter 
retas que passem pela mesma linha que ele, isto é, retas que passem pela linha de terra ou 
paralelas a essa linha. 
 
Pertinência de ponto e plano 
“Um ponto pertence a um plano quando pertence a uma reta do plano.” 
 
Geometria Descritiva e Desenho Técnico – Professora Marta Mitiko K. de Siqueira 
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Exercícios resolvidos 
 
1. Dados os pontos A (3, 4, 6), B (-3, 4, 2) e C (-6, -4, 1), identifique o tipo de plano e dê 
as coordenadas de α. 
 
Solução: (figuras 98, 99, 100, 101 e 102) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PLANO QUALQUER 
 
 
 
 
 
 
 
 
8/3= 4/x x = 1,5 -6 + 1,5 = -4,5 3/1= 1,5/y y = 0,5 0,5 + 1,0 = 1,5 
V1 = (-4,5; 0; 1,5) 
 
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8/9= 4/x x = 4,5 -6 + 4,5 = -1,5 
 
 
 
 
 
 
5/9= y/4,5 y = 2,5 2,5 + 1,5 = 3,5 
 V2 = (-1,5; 0; 3,5) 
 
 
 
 
 
2/3 = 1,5/z z = 2,25 -4,5 - 2,25 = -6,75 
α = (-6,75; 0; 0) 
2. Dado os pontos A (-1, 4, 2) e B (2, 4, 6), identifique os possíveis planos que contém 
a reta AB. 
 
Solução: (figuras 103, 104 e 105) 
 
 PLANO DE TOPO PLANO FRONTAL PLANO QUALQUER 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios propostos 
 
1. Determinar os traços de plano P e P’ definido pela reta AB e pelo ponto C. 
A (2; 1; 3) B (5; 3; 1) C (6; 0; 2) 
 
2. Determinar os traços de um plano do qual se conhece uma reta AB e um ponto C. 
A (0; -0,5; 2,5) B (3,5; -1,5; 0) C (2; 2; -3) 
 
3. Dado os pontos A (0; 4; 1), B (2; 1; 3) e C (5,5; 0; 1,5), identifique o tipo de plano e dê as 
coordenadas de 
4. Dados os pontos A (5, 2, 6), B (0, 5, 2) e C (-3, -3, 1), identifique o tipo de plano e dê as 
coordenadas de α. 
 
5. Dados os pontos A (-1; 3; 5) e B (-6; 3; 2), identifique os possíveis