APOSTILA_DE_FSICA_1

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APOSTILA DE
FÍSICA GERAL E 
EXPERIMENTAL I
2
PARTE I
TEORIA
3
CAPITULO I
NOÇÕES DE CINEMÁTICA ESCALAR
MOVIMENTO UNIFORME
A cinemática é a parte da física que estuda o movimento dos corpos.
Denominamos por partícula , um corpo cujas dimensões são consideradas desprezíveis. 
Para estudarmos o movimento de uma partícula precisamos definir primeiramente a 
trajetória da partícula (caminho a ser percorrido pela partícula) na qual estabelecemos um 
sentido de percurso (sentido positivo) e fixamos uma origem O como referência.
 
A posição de uma partícula P, num certo instante t, é definida, em relação a origem O, 
pela abscissa s, ou seja, comprimento do arco da trajetória compreendido entre a origem 
e a posição da partícula:
s = OP
Se o arco é medido no sentido positivo da trajetória temos s > 0 e se medido no sentido 
oposto tem-se s < 0.
4
 
Se a partícula caminha no sentido positivo da trajetória o movimento é dito progressivo, e 
se caminha no sentido oposto, o movimento é dito regressivo.
 
 
No movimento progressivo a velocidade da partícula é positiva e no movimento regressivo 
ela é negativa.
5
Define-se como deslocamento ( s ) de uma partícula entre dois instantes t1 e t2, ou seja 
no intervalo de tempo t = t2 - t1, a diferença entre as abscissas que definem a sua 
posição nesses instantes:
s = s2 - s1
 
Define-se como velocidade escalar média da partícula entre dois instantes t1 e t2 à 
relação:
 
Em uma primeira etapa analisaremos apenas o caso em que a velocidade média da 
partícula se mantém constante, ou seja, o movimento é dito uniforme. Neste caso
 Vm = V = Cte 
Suponhamos que no instante to = 0 a partícula ocupa a posição definida pela abscissa so
(abscissa inicial) e no instante t a sua posição é definida pela abscissa s.
6
 
V.(t – to) = s - so
Ou ainda:
s = so + V.(t – to)
Quando to = 0 temos:
s = so + V.t
Esta última expressão define a posição do móvel em função do tempo. Denomina-se 
equações dos espaços ou abscissas. Em um diagrama cartesiano é representada por 
uma reta, onde o coeficiente angular representa a velocidade da partícula.
 
7
 
 
8
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Um corpo em movimento uniforme, no instante t
1
= 2s está no ponto A e no instante 
t
2
 = 6s está no ponto B. Determine:
a) a velocidade do corpo;
b)a posição do corpo em to = 0;
c) a equação dos espaços.
 
Resolução:
a)
s/m10V
4
40
26
1050
V
s6tes2t
m50Sem10S
tt
SS
t
s
VV
21
21
12
12
m













b)
m10S
S10S1020
S1020S1010.2
2
S10
10
02
S10
10
0tes2t
s/m10Vem10S
tt
SS
t
s
VV
0
00
00
00
01
1
01
01
m
















c)
.)I.S(t.1010S
)0t(1010S
:temosdoSubstituin
0t
s/m10V
m10S
)tt.(VSS
0
0
00






O termo S.I. indica que as unidades desta equação pertencem ao Sistema Internacional de 
Unidades.
9
2) Um móvel percorre uma trajetória retilínea e sua posição é dada pelo gráfico abaixo. 
Pede-se:
a) a equação dos espaços em função do tempo; 
b) o gráfico da velocidade do móvel em função do tempo.
 
 Resolução:
0 < t < 2 (s)
V = 6/2 = 3m/s
S = 0 + 3t
 
2 < t < 4 (s)
V = - 2/2 = -1m/s
S = 6 - 1(t - 2)
S = 6 - t + 2
 
4 < t < 5 (s)
V = -4/1 = -4m/s
S = 4 - 4( t - 4 )
S = 4 - 4t + 16
 
5 < t < 6 (s)
 V = 0
 
10
3) Um móvel A parte da origem O, em t = 0, e percorre o eixo ox co velocidade constante 
VA. Um segundo móvel B também parte da origem O dois segundos após a partida do 
móvel A e percorre o eixo oy com velocidade VB = 2VA. Sabe-se que no instante t = 5s 
a distância entre os móveis é d = 2 61 m. Pede-se:
a)as velocidades VA e VB;
b)o instante t onde a distância entre os dois móveis é 50m.
 
Resolução:
d
2
= SA
2
+ SB
2
SA = VA.t
SB = 0 + VB(t - 2)
VB = 2.VA
SB = 2.VA(t - 2)
d
2
= (VA.t)
2
+ [ 2.VA(t - 2)]
2
Substituindo-se um instante t = 5s e uma distância d = 612 m temos:
(2 61 ) = (V .5) + [ 2V (5 - 2)]2 A
2
A
2
244 = 25VA
2
+ 36VA
2
VA
2
= 244 / 61
VB = 2.2
Substituindo VA e VB na equação da distância temos:
d
2
= (2.t)
2
+ [ 4.(t - 2)]
2
Para uma distância d = 50m temos:
50
2
= 4.t
2
+ 16.( t - 2 )
2
11
2500 = 4.t
2
+ 16(t
2
– 4.t + 4)
20t
2
– 64.t - 2436 = 0
Resolvendo a equação temos:
t1 = 12,7517s
t2 = - 9,5517s
 
4) A velocidade de um móvel que percorre uma reta,varia com o tempo conforme o 
gráfico abaixo. Determine o gráfico das posições em função do tempo, sabendo que 
no instante t = 4s o móvel está na posição S = -12m.
 
Resolução:
V = s / t
4 < t < 8 (s)
 
S8 = -20m
8 < t < 10 (s)
 
 S10 = -32m
10 < t < 12 (s)
 V = 0
 S12 = -32m
12
12 < t < 14 (s)
 
 S14 = -24m
2 < t < 4 (s)
 
 S2 = -20m
0 < t < 2 (s)
 
 S0 = -32m
 
 
13
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) A velocidade de um móvel que percorre uma reta, varia com o tempo conforme o 
gráfico abaixo. Sabe-se que no instante t = 0 o móvel está na posição S = -10m. 
Pede-se:
a) qual as equações dos espaços deste móvel;
b) traçar o gráfico dos espaços em função do tempo.
Respostas:
a) S = -10 + 15t (S.I.) e S = 30 – 5t (S.I.) ;
b)
 
14
2) Um móvel percorre uma trajetória retilínea e suas posições variam com o tempo 
conforme o gráfico abaixo. Determinar:
a) as equações dos espaços em função do tempo.
b) o gráfico da velocidade em função do tempo.
Respostas:
a) S = 10 - 5t (S.I.) e S = -10 + 5t (S.I.)
b)
 
15
3) Uma partícula percorre uma trajetória retilínea e sua posição varia com o tempo 
segundo o gráfico abaixo. Pede-se:
a)as equações do espaço em função do tempo;
b)o gráfico da velocidade em função do tempo.
 
Respostas:
a) s = 10t (S.I.) ; s = 20 (cte) ; s = -5t + 40 (S.I.)
b)
 
16
4) A velocidade de uma partícula que se movimenta sobre uma trajetória retilínea, varia 
com o tempo segundo o gráfico abaixo. Sabe-se que no instante t = 0 a posição 
do móvel é S0 =-10m. Pede-se:
a) o gráfico do espaço em função do tempo;
b) a posição do móvel em t = 3s e t = 6s
 
Respostas:
a)
 
b) para t = 3s ==> S = 5m
 para t = 6s ==> S = 10m 
17
5) A velocidade de um móvel que percorre uma reta, varia com o tempo conforme o 
gráfico abaixo. Sabe-se que no instante t = 6s o móvel está na posição S = 20m. 
Pede-se:
a) a posição do móvel no instante t = 0;
b) traçar o gráfico dos espaços em função do tempo.
Respostas
a) S0 = -20m
b)
18
6) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniforme obedece no seu movimento o 
diagrama abaixo. Pede-se:
a) Instantes onde ele inverte o sentido do movimento
b) Instantes onde ele passa pela origem da trajetória
c) O deslocamento (Variação de espaço) total e em cada trecho
d) A classificação do movimento em cada trecho.
e) Esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo.
f) O espaço percorrido entre 0 e 7 segundos.
g) A equação horária dos espaços em cada trecho.
h) A posição do móvel para t = 4 segundos.19
7) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniforme obedece no seu movimento o 
diagrama abaixo. Pede-se:
a) Instantes onde ele inverte o sentido do movimento
b) Instantes onde ele passa pela origem da trajetória
c) O deslocamento (Variação de espaço) total e em cada trecho
d) A classificação do movimento em cada trecho.
e) Esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo.
f) O espaço percorrido entre 0 e 10 segundos.
g) A equação horária dos espaços em cada trecho.
h) A posição do móvel para t = 7 segundos. 
 
20
8) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniforme obedece no seu movimento o 
diagrama abaixo. Quando t = 2 segundos, sabe-se que o móvel encontra-se na posição de 20 
metros em sua trajetória. Pede-se:
a) Instantes onde ele inverte o sentido do movimento
b) Instantes onde ele passa pela origem da trajetória
c) O deslocamento (Variação de espaço) total e em cada trecho
d) A classificação do movimento em cada trecho.
e) Esboçar o gráfico do espaço em função do tempo.
f) O espaço percorrido entre 0 e 5 segundos.
g) A equação horária dos espaços em cada trecho.
 h) A posição do móvel para t = 4 segundos. 
21
9) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniforme obedece no seu movimento o 
diagrama abaixo. Sabe-se que aos 5 segundos ele está na posição de 20 metros na sua trajetória. 
Pede-se:
a) Instantes onde ele inverte o sentido do movimento
b) Instantes onde ele passa pela origem da trajetória
c) O deslocamento (Variação de espaço) total e em cada trecho
d) A classificação do movimento em cada trecho.
e) Esboçar o gráfico do espaço em função do tempo.
f) O espaço percorrido entre 0 e 7 segundos.
g) A equação horária dos espaços em cada trecho.
 h) A posição do móvel para t = 4 segundos. 
22
10) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniforme obedece no seu movimento o 
diagrama abaixo. Pede-se: 
a) Instantes onde ele inverte o sentido do movimento
b) Instantes onde ele passa pela origem da trajetória
c) O deslocamento (Variação de espaço) total e em cada trecho
d) A classificação do movimento em cada trecho.
e) Esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo.
f) O espaço percorrido entre 0 e 8 segundos.
g) A equação horária dos espaços em cada trecho.
 h) A posição do móvel para t = 4 segundos. 
 
23
11) Um móvel com trajetória retilínea obedece no seu movimento o diagrama abaixo. Pede-se: 
a) Instantes onde ele inverte o sentido do movimento
b) Instantes onde ele passa pela origem da trajetória
c) O deslocamento (Variação de espaço) total e em cada trecho
d) A classificação do movimento em cada trecho.
e) Esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo.
f) O espaço percorrido entre 0 e 16 segundos.
g) A equação horária dos espaços em cada trecho.
 h) A posição do móvel para t = 14 segundos. 
 
24
12) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniforme obedece no seu movimento o 
diagrama abaixo. Sabe-se que aos 6 segundos ele está na posição de 40 metros na sua trajetória. 
Pede-se:
a) Instantes onde ele inverte o sentido do movimento
b) Instantes onde ele passa pela origem da trajetória
c) O deslocamento (Variação de espaço) total e em cada trecho
d) A classificação do movimento em cada trecho.
e) Esboçar o gráfico do espaço em função do tempo.
f) O espaço percorrido entre 0 e 10 segundos.
g) A equação horária dos espaços em cada trecho.
 h) A posição do móvel para t = 8 segundos. 
25
EXERCÍCOS COMPLEMENTARES
1) Um corpo em movimento uniforme, no instante t1 = 2s está no ponto A e no instante 
t
2
 = 6s está no ponto B. Determine:
a) a velocidade do corpo;
b) a equação dos espaços;
c) a posição do corpo em to = 0.
 
2) Dois móveis A e B partem do mesmo ponto Po e percorrem o eixo ox. O móvel A tem 
velocidade constante VA = 12 m/s e inicia seu movimento em t = 0, e nquanto o móvel B 
parte 4 segundos depois e tem velocidade constante VB. Os móveis se encontram em um 
ponto P 10 segundos após a partida do móvel A . Pede-se:
a) a velocidade de B;
b) a posição do ponto P.
 
3) Dois móveis A e B partem da origem O e percorrem os eixos ox e oy 
respectivamente. O móvel A tem velocidade constante VA = 2m/s e parte em t = 0, 
enquanto o móvel B parte 2 segundos depois e tem velocidade constante VB. Sabendo-
se que 5 segundos após a partida do móvel A a distância entre A e B é d 2 61m
Pede-se:
a) a velocidade VB do móvel B;
b) o instante em que a distância entre os móveis é de 30m.
26
4) Uma partícula percorre uma trajetória retilínea e sua abscissa varia com o tempo 
segundo o gráfico abaixo. Pede-se:
a) as equações do espaço em função do tempo nos intervalos 
 0 t 2 ; 2 t 4 e 4 t 8     
b)o gráfico da velocidade em função do tempo.
 
5) A posição de um móvel sobre o eixo ox varia com o tempo de acordo com o gráfico 
abaixo. Pede-se:
a) a posição do móvel nos seguintes instantes:
 t = 1s ; t = 4s ; t = 5s ; t = 7s.
b) o gráfico da velocidade em função do tempo.
 
27
6) A velocidade de uma partícula que se movimenta sobre o eixo ox, varia com o tempo 
segundo o gráfico abaixo. Sabe-se que no instante t = 0 a abscissa do móvel é 
So = -10m. Pede-se:
a) o gráfico do espaço em função do tempo;
b) a posição do móvel em t = 3s e t = 6s
 
7) Dois móveis A e B partem simultaneamente da origem em t = 0. O móvel A passa 
a a percorrer o eixo ox enquanto o móvel B percorre o eixo oy. Suas velocidades 
variam com o tempo segundo os gráficos abaixo.
Determine a distância entre A e B no instante t = 3s.
 
28
8) A velocidade de um móvel varia com o tempo de acordo com o gráfico abaixo. Sabe-
se que em t = 4s a abscissa do móvel é S = 40m. Faça o gráfico da abscissa S em 
função do tempo t.
 
9) Dois móveis A e B percorrem pistas paralelas e partem simultaneamente, em t = 0, 
da mesma origem. Suas velocidades variam com o tempo segundo os gráficos abaixo 
representados.
Determine analiticamente e graficamente as posições em que os dois móveis se cruzam.
 
29
10) No exercício anterior, entende-se por velocidade relativa do móvel A em relação ao 
móvel B a diferença VA - VB entre os valores de suas velocidades escalares. 
Determine no referido exercício as velocidades relativas de A em relação a B nos 
instantes em que esses móveis se cruzam.
11) Dois móveis A e B percorrem trajetórias paralelas partindo da origem em t = 0. As 
velocidades desses móveis obedecem os gráficos abaixo representados. Determine as
posições em que os móveis se cruzam.
30
Respostas dos exercícios 1 até 11
1) a) V = 12,5m/s 
 b) s = -15 + 12,5t (S.I.) 
 c) So = -15m
2) a) VB = 20m/s
 b) Sp = 130m
 
3) a) VB = ± 4m/s
 b) t = 41,3s
4) a) s = 10t ; s = 20 (cte) ; s = -5t +40
 b)
 
5) a) para t = 1s ==> x = 20m
 para t = 4s ==> x = -40m
 para t = 5s ==> x = -20m
 para t = 7s ==> x = 20m
 b)
 
31
6) a)
 
 b) para t = 3s ==> x = 5m
 para t = 6s ==> x = 10m
7) d = 50m
8)
 
9) Os móveis se cruzam em t = 3,2s e t = 8s
10) Em t = 3,2s ==> VA/B = -12,5m/s em t = 8s ==> VA/B = 10m/s
11) Os móveis não se cruzam
32
12) Um móvel percorre uma reta e sua velocidade varia com o tempo de acordo 
com o gráfico abaixo. Determine:
a) o gráfico que fornece a posição do móvel em função do tempo, sabendo que 
em t = 3s o móvel tem abscissa x = 20m;
b) a lei horária do movimento em cada intervalo de tempo.
13) a abscissa de um móvel varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. 
Determine:
a) as equações que relacionam a posição do móvel em função do tempo; 
 x = x(t), em cada intervalo;
b) o gráfico da velocidade do móvel em função do tempo;
33
14) Um móvel A parte da origem em t = 0 e percorre o eixo ox, sentido positivo, 
com velocidade VA = 20m/s constante. Um segundo móvel B parte do ponto P( 
0;110 ) (em metros), em t = 0, e percorre o eixo oy com velocidade constante VB = 
-10m/s (movimento regressivo). Determinar:
a) as equações horárias dos movimentos A e B;
b) a distância entre os móveis no instante t = 20s;
c) o instante em que a distância entre os móveis A e B é 100m.
15) Dois móveis A e B partem da mesma origem em t = 0 e percorrem retas 
paralelas. Suas abscissas variam com o tempo segundo os gráficos abaixo. Pede-
se:
a) a distância entre os dois móveis em t = 2s;
b) a posição e o instante em que os móveis se cruzam;
c) os gráficos das velocidades dos móveis A e B em função do tempo;
d) o gráfico da velocidade relativa do móvel B em relação ao móvel A.
34
16) O movimento de uma partícula, em trajetória retilinea, é caracterizado pelas 
equações:
s = 15t (S.I.) , para 0  t  2s
s = -10t + 50 (S.I.) , para 2  t  7s
s = 4t - 48 (S.I.) , para 7  t  12s
Pede-se:
a) o gráfico da abscissa s em função do tempo;
b) o gráfico da velocidade do móvel em função do tempo.
17) Um móvel percorre uma reta e sua velocidade obedece o gráfico abaixo. 
Sabe-se que em t = 0 temos s = -20m. Pede-se:
a) o gráfico da abscissa s em função do tempo;
b) as equações dos espaços em função do tempo.
35
18) Uma partícula percorre uma trajetória retilínea e sua abscissa varia com o 
tempo segundo o gráfico abaixo. Pede-se:
a) as equações do espaço em função do tempo;
b) o gráfico da velocidade em função do tempo.
 
19) Dois móveis A e B partem simultaneamente da origem em t = 0. O móvel 
A passa a percorrer o eixo ox enquanto o móvel B percorre o eixo oy. Suas 
velocidades variam com o tempo segundo os gráficos abaixo. Determine a 
distância entre A e B no instante t = 5s
 
36
CAPITULO II
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
1) VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTÂNTANEA
Seja um móvel percorrendo uma trajetória qualquer O. No instante t1 o móvel se encontra 
na posição P1 de abscissa s1 e no instante t2 ele está na posição P2 de abscissa s2. A 
diferença de abscissass = s2 - s1 é o deslocamento do móvel no intervalo de tempo 
t = t2 - t1. Define-se como velocidade escalar média do móvel nesse intervalo de tempo 
a relação:
 
Entende-se por velocidade escalar instantânea do móvel o limite ao qual tende sua 
velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero, ou seja:
2) ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA.
Seja V1 a velocidade instantânea do móvel no instante t1 e V2 a sua velocidade 
instantânea no instante t2. A variação da velocidade do móvel no intervalo de tempo 
12 ttt  é 12 VVV  . Define-se como aceleração escalar média do móvel no 
respectivo intervalo de tempo t considerado, a relação:
37
A aceleração escalar instantânea do móvel é o limite da aceleração média quando o 
intervalo de tempot tende a zero, isto é:
Entende-se por movimento uniformemente variado todo aquele no qual a aceleração 
escalar é constante. Se a velocidade e a aceleração são de mesmo sinal (.V > 0) o 
movimento é dito acelerado e se elas forem de sinais opostos (.V < 0) o movimento é 
dito retardado.
Se a aceleração escalar é constante então a aceleração escalar média é igual à 
aceleração escalar instantânea ( limite de uma constante é a própria constante). Dessa 
forma podemos escrever:
Sendo V0 a velocidade do móvel no instante t0 e V a sua velocidade num instante t, 
podemos escrever:
Se em particular t0 = 0 , a velocidade V0 é denominada velocidade inicial do móvel e 
podemos escrever:
A expressão XVII é conhecida como equação da velocidade ou lei da velocidade no 
movimento uniformemente variado.
38
Representando-se a equação XVII em um gráfico cartesiano teremos uma reta:
A área A da figura destacada no gráfico, (fig - 1), representa o deslocamento S = S - So
do móvel no intervalo de tempo t = t – t0. Assim; para to = 0, vem:
De XVII tem-se: V = V0 + t . Substituindo em XVIII obtem-se:
Se o instante inicial (t0) for diferente de zero, temos:
A expressão XIX representa a equação horária dos espaços do movimento 
uniformemente variado, onde So é o espaço ou abscissa inicial do móvel, ou seja, indica a 
posição do móvel no instante t = 0 . A representação gráfica de S em função do tempo t 
em um diagrama cartesiano, é uma parábola.
39
Isolando-se o tempo t na equação XVII e substituindo em XIX vem:
A expressão XX é conhecida como equação de TORRICELLI, relaciona a velocidade com 
o espaço no movimento uniformemente variado ( = cte ).
40
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) A velocidade de uma partícula que se movimenta sobre uma trajetória retilínea, varia 
com o tempo segundo o gráfico abaixo. Sabe-se que no instante t = 0 a posição 
do móvel é S = 30m. Pede-se:
a) as equações das velocidades; 
b) as equações dos espaços; 
c)o gráfico da aceleração em função do tempo.
RESOLUÇÃO:
0 < t < 2(s)
to = 0
Vo = 0
 = 


02
020
10m/s
2
V = Vo + ( t - to )
V = 0 + 10( t - 0)
V = 10.t (S.I.)
2 < t < 6(s)
to = 2s
Vo = V2 = 20m/s
 = 


26
200
-5m/s
2
V = 20 - 5( t - 2)
V = 20 –5.t +10
V = 30 – 5.t (S.I.)
0 < t < 2(s)
So = 30m
S = 30 - 0( t - 0 ) + (10 / 2 )( t - 0 )2
S = 30 + 5t
2
p/t = 2s
S2 = 30 + 5.2
2
= 50m
2 < t < 4(s)
So = S2 = 50m
S = 50 + 20( t - 2 ) - (5 / 2 )( t - 2 )
2
S = 50 + 20t – 40 – 2,5( t
2
- 4t + 4)
S = 10 + 20t – 2,5t2 +10t – 10
S = 30t – 2,5t2 (S.I.)
41
2) Um móvel percorre uma reta e sua aceleração obedece ao gráfico abaixo. Sabe-se 
que para t = 0 a velocidade do móvel é -2m/s . Pede-se:
 a)as equações das velocidades
 b)o gráfico da velocidade em função do tempo; 
 c)a equação horária dos espaços sabendo que para t = 0 a é S0 = 10m. 
 
RESOLUÇÃO:
0 < t < 2(s)
to = 0
Vo = -2m/s
 = 4m/s2
V = Vo + ( t - to )
V = -2 + 4( t - 0)
V = -2 + 4t (S.I.)
p/ t = 2s
V2 = -2 + 4.2 = 6m/s
2 < t < 4(s)
to = 2s
Vo = V2 = 6m/s
 = 2m/s2
V = 6 + 2( t - 2)
V = 6 + 2t - 4
V = 2 + 2t (S.I.)
p/t = 4s
V4 = 2 + 2.4 = 10m/s
 
0 < t < 2(s)
So = 10m
S = 10 - 2( t - 0 ) + (4 / 2 )( t - 0 )2
S = 10 - 2t + 2t2
p/t = 2s
S2 = 10 - 4 + 2.22 = 14m
2 < t < 4(s)
So = S2 = 14m
S = 14 - 6( t - 2 ) + (2 / 2 )( t - 2 )2
S = 14 + 6t - 12 + t2 - 4t + 4
S = 6 + 2t + t2 (S.I.)
42
3) Um móvel percorre uma reta e sua aceleração obedece o gráfico abaixo. Sabe-se que 
para t = 0 a velocidade do móvel é -2m/s . Pede-se:
 a)as equações das velocidades
 b)o gráfico da velocidade em função do tempo; 
 c)a equação horária dos espaços sabendo que para t = 0 a é S0 = 10m. 
 
RESOLUÇÃO:
0 < t < 2(s)
t0 = 0
V0 = -2m/s
 = 4m/s2
V = V0 + (t – t0 )
V = -2 + 4( t - 0)
V = -2 + 4t (S.I.)
p/ t = 2s
V2 = -2 + 4.2 = 6m/s
2 < t < 4(s)
t0 = 2s
V0 = V2 = 6m/s
 = 2m/s2
V = 6 + 2( t - 2)
V = 6 + 2t - 4
V = 2 + 2t (S.I.)
p/t = 4s
V4 = 2 + 2.4 = 10m/s
43
4 < t < 6(s)
Como a aceleração neste trecho é nula, podemos concluir que se trata de um 
trecho movimento uniforme, logo a velocidade permanece constante.
V = 10m/s Cte
6 < t < 10(s)
t0 = 6s
V0 = V6 = 10m/s
 = -2m/s2
V = 10 - 2( t - 6)
V = 10 – 2.t + 12
V = 22 – 2.t (S.I.)
p/ t = 10
V10 = 22 - 2.10 = 2m/s
b)
0 < t < 2(s)
S0 = 10m
S = 10 - 2( t - 0 ) + (4 / 2 )( t - 0 )
2
S = 10 - 2t + 2t
2
p/t = 2s
44
S2 = 10 - 4 + 2.22 = 14m
2 < t < 4(s)
S0 = S2 = 14m
S = 14 - 6( t - 2 ) + (2 / 2 )( t - 2 )
2
S = 14 + 6.t - 12 + t
2
- 4t + 4
S = 6 + 2.t + t
2
 (S.I.)
p/ t = 4s
S4 = 6 + 2.4 + 4
2
= 30m
4 < t < 6(s)
M.U. ==> S = So + V( t - to )
S0 = S4 = 30m
S = 30 + 10( t - 4 )
S = -10 + 10t (S.I.)
p/ t = 6s
S6 = -10 + 10.6 = 50m
6 < t < 10(s)
S0 = S6= 50m
S = 50 - 10( t - 6 ) + (-2 / 2 )( t - 6 )
2
S = 50 + 10.t - 60 - t
2
+ 12.t - 36
S = - 46 + 22t - t
2
 (S.I.)
45
4) Um móvel percorre uma reta e sua velocidade varia com o tempo conforme o gráfico 
abaixo. Sabe-se que em t = 0 o móvel está na origem dos espaços e que sua 
velocidade média no intervalo 0 < t < 8(s) é Vm = 20m/s. Pede-se:
a) qual a sua velocidade máxima Vmax;
b) o gráfico da aceleração em função do tempo.
RESOLUÇÃO:
a) Vmax
Vm = S / t
O s no intervalo de 0 a 8 segundos corresponde a área entre o gráfico das velocidades e 
o eixos dos tempos, conforme ilustra a figura a seguir.
logo:
S = Vmax.(8 + 2) / 2
S = 5.Vmax
t = 8s
Vm = 5.Vmax / 8
20 = 5.Vmax /8
Vmax = 32m/s
46
b)  = v / t
0 < t < 2
= ( 32 - 0 ) / ( 2 - 0)
 = 16m/s2

2 < t < 4(s)
 = 0 (movimento uniforme)
4 < t < 8(s)
 = ( 0 - 32 ) / ( 8 - 4 )
 = -8m/s2
47
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) A aceleração de uma partícula, em movimento retilíneo, vária com o tempo de acordo 
com o gráfico abaixo. Sabe-se que para t = 0 tem-se Vo = 0 e So = 10m. Determinar:
a) o gráfico da velocidade em função do tempo;
c) as equações dos espaços.
Respostas:
a) 
b) S = 10 + 2t2 (S.I.) e S = -2 + 12t – t2 (S.I.)
48
2) A velocidade de uma partícula que se movimenta sobre uma trajetória retilínea, varia 
com o tempo segundo o gráfico abaixo. Sabe-se que no instante t = 0 a posição 
do móvel é S = -20m. Pede-se:
d) as equações das velocidades;
e) as equações dos espaços;
f) o gráfico da aceleração em função do tempo.
Respostas:
a) V = 10t (S.I.) e V = 30 – 5t (S.I.);
b) S = -20 + 5t2 (S.I.) e S = -50 + 30t – 2,5t2 (S.I.) ;
c) 
49
3) A velocidade de uma partícula varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. 
Determine a equação da velocidade e a lei horária dos espaços em cada intervalo de
tempo. Faça o gráfico de  = (t). Sabe-se que para t = 0, So=0.
Respostas: Para 0 ≤ t ≤ 2s ; S = 2,5t
2
(S.I.) ; V = 5t (S.I.) e  = 5m/s
2
 (cte.)
Para 2 ≤ t ≤ 4s ; S = 10t - 10 (S.I.) ; V = 10m/s (cte.) e  = 0
Para 4 ≤ t ≤ 8s ; S = -1,25t
2
+ 20t - 30 (S.I.) ; V = -2,5t + 20 (S.I.) e  = -2,5m/s
2
 (cte.) 
50
4) A aceleração de uma partícula obedece ao gráfico abaixo. Sabendo que para t = 0 sua 
velocidade é Vo = 10m/s, determine a equação da velocidade em cada intervalo de 
tempo e faça o gráfico de V = V(t).
Respostas: 
Para 0 ≤ t ≤ 2s ==> V = 10 - 10t (S.I.)
Para 2 ≤ t ≤ 4s ==> V = -10m/s (cte.)
Para 4 ≤ t ≤ 6s ==> V = 20t - 90 (S.I.)
Para 6 ≤ t ≤ 8s ==> V = 10t - 30 (S.I.)
51
5) Uma partícula move-se sobre uma reta e a sua velocidade obedece o gráfico abaixo. 
Sabe-se que o deslocamento do móvel no intervalo 0 ≤ t ≤ 6s é s = 60m. Determinar:
a) a velocidade máxima Vmax;
b) as equações das velocidades nos intervalos 0 ≤ t ≤ 2 (s) e 2 ≤ t ≤ 6 (s) 
c) o gráfico da aceleração em função do tempo.
Respostas:
a) Vmax = 20m/s;
b) V = 10t (S.I.) e V = 30 – 5t (S.I.) ;
c) 
52
6) A velocidade de uma partícula que se movimenta sobre uma trajetória retilínea, varia 
com o tempo segundo o gráfico abaixo. Sabe-se que no instante t = 6s a 
posição do móvel é S = 40m. Pede-se:
a) a posição no instante t = 0;
b) as equações dos espaços;
c) o gráfico da aceleração em função do tempo.
Respostas:
a) S0 = -20m
b) S = -20 + 10t + 2,5t2 (S.I.)
S = -50 + 40t – 5t2 (S.I.)
 S = 70 –20t + 2,5t2 (S.I.)
c)
53
7) A aceleração de uma partícula obedece ao gráfico abaixo. Sabendo que no instante t 
= 4s tem-se V = 10m/s, determine a equação da velocidade em cada intervalo de 
tempo e faça o gráfico de V = V(t).
Respostas:
V = -10 – 10t (S.I.) ; V = -70 + 20t (S.I.) ;
54
8) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniformemente Variado obedece no seu 
movimento o diagrama abaixo. Sabe-se que aos 2 segundos, ele está na posição de 40 metros 
em sua trajetória. Pede-se:
a) Instante em que a velocidade é máxima. 
b) Instante em que ele pára. 
c) A classificação do movimento em cada trecho.
d) Esboçar o gráfico da aceleração em função do tempo.
e) A equação horária da velocidade em cada trecho.
f) A equação horária dos espaços em cada trecho.
g) Esboçar o gráfico dos espaços.
h) Instante em que ele inverte o sentido do movimento
 
55
9) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniformemente Variado obedece no seu 
movimento o diagrama abaixo. Sabe-se que aos 6 segundos, ele está na posição de 50 metros 
em sua trajetória e com velocidade de 20 m/s. Pede-se: 
a) Instante em que a velocidade é máxima. 
b) Instante em que ele pára. 
c) A classificação do movimento em cada trecho.
d) Esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo.
e) A equação horária da velocidade em cada trecho.
f) A equação horária dos espaços em cada trecho.
g) Esboçar o gráfico dos espaços.
 h) Instante em que ele inverte o sentido do movimento 
 
56
10) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniformemente Variado obedece no seu 
movimento o diagrama abaixo. Sabe-se que aos 2 segundos, ele está na posição de 30 metros 
em sua trajetória. Pede-se:
a) Instante em que a velocidade é máxima. 
b) Instante em que ele pára. 
c) A classificação do movimento em cada trecho.
d) Esboçar o gráfico da aceleração em função do tempo.
e) A equação horária da velocidade em cada trecho.
f) A equação horária dos espaços em cada trecho.
g) Esboçar o gráfico dos espaços.
 h) Instante em que ele inverte o sentido do movimento
57
11) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniformemente Variado obedece no seu 
movimento o diagrama abaixo. Sabe-se que aos 4 segundos, ele está na posição de 10 metros 
em sua trajetória. Pede-se
a) Instante em que a velocidade é máxima. 
b) Instante em que ele pára. 
c) A classificação do movimento em cada trecho.
d) Esboçar o gráfico da aceleração em função do tempo.
e) A equação horária da velocidade em cada trecho.
f) A equação horária dos espaços em cada trecho.
g) Esboçar o gráfico dos espaços.
 h) Instante em que ele inverte o sentido do movimento
58
12) Um móvel com trajetória retilínea e em MUV obedece no seu movimento o diagrama abaixo. 
Quando t = 4 segundos, sabe-se que o móvel encontra-se na posição de 10 metros em sua 
trajetória e sua velocidade nesse mesmo instante é de 40 m/s. Pede-se:
a) Instante em que a velocidade é máxima. 
b) Instante em que ele pára. 
c) A classificação do movimento em cada trecho.
d) Esboçaro gráfico da velocidade em função do tempo.
e) A equação horária da velocidade em cada trecho.
f) A equação horária dos espaços em cada trecho.
g) Esboçar o gráfico dos espaços.
 h) Instante em que ele inverte o sentido do movimento.
59
13) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento Uniformemente Variado obedece no seu 
movimento o diagrama abaixo. Sabe-se que aos 6 segundos, ele está na posição de 50 metros 
em sua trajetória e com velocidade de 20 m/s. Pede-se:
a) Instante em que a velocidade é máxima. 
b) Instante em que ele pára. 
c) A classificação do movimento em cada trecho.
d) Esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo.
e) A equação horária da velocidade em cada trecho.
f) A equação horária dos espaços em cada trecho.
g) Esboçar o gráfico dos espaços.
 h) Instante em que ele inverte o sentido do movimento. 
60
14) Um móvel com trajetória retilínea e em Movimento obedece no seu movimento o diagrama 
abaixo. Sabe-se que aos 4 segundos, ele está na posição de 100 metros em sua trajetória e com 
velocidade de 50 m/s. Pede-se: 
a) Instante em que a velocidade é máxima. 
b) Instante em que ele pára. 
c) A classificação do movimento em cada trecho.
d) Esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo.
e) A equação horária da velocidade em cada trecho.
f) A equação horária dos espaços em cada trecho.
g) Esboçar o gráfico dos espaços.
h) Instante em que ele inverte o sentido do movimento. 
 
61
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) A velocidade uma partícula que se desloca sobre o eixo ox, varia com o tempo de 
acordo com o gráfico abaixo. Sabe-se que a abscissa em t = 0 é x = 10m. Determinar a 
equação dos espaços e a aceleração da partícula.
Resp:  = -5m/s2 
 x = 10 + 20t - 2,5t2 (S.I.)
2) Demonstre que em um movimento uniformemente variado a velocidade média entre 
dois instantes t1 e t 2 é igual à média das velocidades instantâneas nesses mesmos 
instantes, ou seja:
 Vm
V V
2
1 2

3) Uma partícula se desloca sobre uma reta com movimento uniformemente variado. No 
instante t1 = 2s sua velocidade é V1 = 10m/s e no instante t2 = 6s sua velocidade é V2 = 
-30m/s e a partícula encontra-se na abscissa S2 = 50m.
Determinar:
a) a velocidade média da partícula entre os instantes t1 e t2;
b) a aceleração da partícula;
c) a equação dos espaços;
d) as características do movimento.
Resp: a) Vm = -10m/s
b)  = - 10 m/s2
c) s = 50 + 30t - 5t
2
 (S.I.)
d) para 0 < t < 3s o movimento é progressivo e retardado
 para t > 3 o movimento é regressivo e acelerado.
62
4) Uma partícula move-se sobre uma reta com movimento uniformemente variado. Sabe-
se que para t1 = 1s sua velocidade é V1 = 20m/s e sua abscissa é s1 = 30m. No 
intervalo entre os instantes t1 = 1s e t2 = 4s a velocidade média do móvel é 35m/s.
Pede-se:
a) a velocidade inicial Vo e a abscissa inicial So;
b) a equação da velocidade da partícula;
c) a equação dos espaços.
Resp: a) V0 = 10m/s e S0 = 15m
b) V = 10 + 10t (S.I.)
c) s = 15 + 10t + 5t2 (S.I.)
5) A velocidade de uma partícula varia com o tempo conforme o gráfico abaixo. Sabe-se 
que no intervalo 0 < t < 10s o espaço percorrido pela partícula é igual a 100m e que a 
aceleração 1 para 0 < t < tm e a aceleração 2 para tm < 0 < 10s obedecem à relação 
1/2 = -3/2. Pede-se:
a) a velocidade máxima Vm atingida pela partícula no intervalo 0 < t < 10s;
b) o instante tm quando a velocidade é máxima.
c) as acelerações 1 e 2 ;
d) as equações da velocidade para 0 < t < tm e tm < t < 10s.
Resp: a) Vmax = 20 m/s
 b) tm = 4s
 c) 1 = 5m/s2 e 2 = -10/3 m/s2
 d) V = 5t (S.I.) ; V = -(10/3)t + 100/3 (S.I.)
63
6) A velocidade de uma partícula varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. Determine 
a equação da velocidade e a lei horária dos espaços em cada intervalo de tempo. Faça os 
gráficos de x = x(t) e  = (t). Sabe-se que para t = 0, S = So=0.
Resp: Para 0 < t < 2s ; x = 2,5t2 (S.I.) ; V = 5t (S.I.) e  = 5m/s2 (cte.)
Para 2 < t < 4s ; x = 10t - 10 (S.I.) ; V = 10m/s (cte.) e  = 0
Para 4 < t < 8s ; x = -1,25t2 + 20t - 30 (S.I.) ; V = -2,5t + 20 (S.I.)
 e  = -2,5m/s2 (cte.)
64
7) Uma partícula move-se sobre uma reta, partindo da origem em t = 0 e adquirindo em 
cada intervalo de tempo uma aceleração constante. Sabe-se que para 0 < t < 4s a sua 
velocidade média é Vm = 20m/s; para 4 < t < 8s sua aceleração é -5m/s
2
; para 8 < t < 12s 
sua aceleração é nula e finalmente para 12 < t < 16s sua velocidade média é nula. 
Esboçar os gráficos de V = V(t) e (t).
Resp:
65
8)Um móvel percorre uma reta e sua abscissa vária em função do tempo segundo o 
gráfico abaixo, representado por trechos de parábolas nos intervalos 0 < t < 2s e 
4 < t < 6s e por uma reta no trecho 2 < t < 4s, sendo a reta concordante com as duas 
parábolas. Pede-se:
a) a equação da velocidade do móvel em cada trecho;
b) o gráfico da velocidade em função do tempo;
c) o gráfico da aceleração em função do tempo.
Resp:
 a) Para 0 < t < 2s ==> V = 10 - 15t ( S.I.)
 Para 2 < t < 4s ==> V = -20 m/s Cte
 Para 4 < t < 6s ==> V = -80 + 15t
66
TESTE DE FIXAÇÃO
1) Duas partículas A e B se movimentam 
sobre uma mesma trajetória retilínea 
segundo o gráfico ao lado. Podemos 
afirmar que suas equações horárias são:
a) sA = 90 + 20 t e sB = 40 + 10 t 
b) sA = 20 + 90 t e sB = 10 + 40 t 
c) sA = 40 + 20 t e sB = 90 + 10 t 
d) sA = 40 + 20 t e sB = 10 + 90 t 
e) sA = 20 + 40 t e sB = 90 + 10 t 
2) Um objeto se desloca em movimento 
retilíneo uniforme durante 30 seg. A figura 
ao lado representa o gráfico do espaço em 
função do tempo. O espaço do objeto no 
instantes 30 seg. em metros será:
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
3) O gráfico representa a posição de uma 
partícula em movimento retilíneo em 
função do tempo. Assinale a alternativa 
correta:
a) entre 0 seg e 10 seg a aceleração vale 0,1 
m/s2
b) entre 10 seg e 20 seg a velocidade é de 
0,3 m/s
c) No instante t = 15 seg a velocidade é 0,2 
m/s
d) entre 0 seg e 20 seg a velocidade média é 
de 0,05 m/s
e) entre 0 seg e 30 seg a velocidade média é 
de 0,1 m/s
 
O gráfico ao lado refere-se aos testes de 
números: 
 4 , 5 e 6.
O gráfico do espaço em função do 
tempo a partir da origem O, sobre uma 
reta, é representado ao lado.
67
4) A velocidade escalar média do móvel entre 0 seg e 30 seg é:
a) nula b) 1 m/s c) – 1/3 m/s d) 1/3 m/s e) 3/2 
m/s
5) O móvel em velocidade escalar negativa entre:
a) 20 seg e 30 seg b) 10 seg e 20 seg c) 10 seg e 40 seg d) 0 seg e 10 seg e) nunca
6) O móvel em aceleração escalar nula :
a) nunca
b) só entre 10 seg e 20 seg
c) em todo o percurso representado no gráfico
d) só entre 0 seg e 10 seg
e) nenhuma das afirmativas anteriores é correta
7) Um móvel desloca-se em movimento 
uniforme cujo gráfico ( V x t ) está 
representado na figura ao lado. 
Determine a variação de espaço do 
móvel entre os instantes t = 2 ,0 seg e t’ 
= 3,0 seg 
a) zero d) 30 m
b) 10 m e) 40 m
c) 20 m
8) Um automóvel faz uma viagem em 6 
horas e sua velocidade escalar varia em 
função do tempo como mostra o gráfico 
ao lado. A velocidade escalar média do 
automóvel na viagem é:
a) 35 km/hd) 48 km/h
b) 40 km/h e) 50 km/h
c) 45 km/h
9) Para um móvel que parte do repouso, 
temos ao lado o gráfico de sua posição 
em função do tempo. A função horária 
que melhor representa o movimento do 
móvel é:
a) s = 16 + 6 t – 2 t2
b) s = 6 + 16 t – 5 t2
c) s = 16 t + 6 t2
d) s = 6 + 3 t2
e) s = 6 + 2,5 t2
68
Esta explicação refere-se as questões 10 e 11
Um ponto material se desloca com aceleração escalar constante e igual 1,0 m/s2 em uma trajetória 
retilínea. No instante t = 1,0 seg a velocidade do ponto material é nula. No início da contagem dos 
tempos, o ponto material estava a 0,70 m da origem dos espaços.
10) O gráfico da posição do ponto material em função do tempo é dado por:
e) nenhum dos anteriores
11) O gráfico da velocidade do ponto material em função do tempo é dado por:
e) nenhum dos anteriores
69
12) Um móvel é animado de movimento uniformemente variado segundo a função horária S = - 2 t + 
t2 (SI). A velocidade (V) e a aceleração () do movimento em função do tempo decorrido a partir do 
instante t0 = 0 , são representados graficamente por:
Instruções para as questões 13 e 14
Essas questões devem ser resolvidas 
com base no gráfico ao lado, onde se 
representa a velocidade escalar (V) em 
função do tempo (t).
13) Qual foi a aceleração escalar média do corpo entre os instantes t = 0 seg e t’ = 8 seg , em cm/s2 ?
a) 0,75 b) 1,1 c) 1,5 d) 2 e) 3,2
14) Qual foi a distância percorrida pelo corpo entre os instantes t = 0 seg e t’ = 8 seg , em cm ?
a) 8 b) 12 c) 24 d) 48 e) 96
15) Um móvel parte do repouso e 
desloca-se em movimento retilíneo 
sobre um plano horizontal. O gráfico ao 
lado representa a aceleração () do 
móvel em função do tempo (t). A 
velocidade do móvel no instante t = 5 
seg será:
a) 36 m/s d) 15 m/s
b) 6 m/s e) 30 m/s
c) 24 m/s
70
16) Um móvel em movimento retilíneo 
tem velocidade escalar (V) variando 
com o tempo (t) de acordo com o 
gráfico ao lado. Podemos afirmar que 
entre os instantes :
a) 0 e t1 o movimento é regressivo 
acelerado
b) t1 e t2 o movimento é progressivo 
acelerado
c) t2 e t3 o movimento é regressivo 
acelerado
d) t3 e t4 o móvel está parado
e) t4 e t5 o movimento é progressivo 
retardado
 
17) Um móvel está em movimento 
sobre um eixo orientado. No instante t = 
0 o móvel está na origem. A velocidade 
escalar V do móvel está representada no 
gráfico ao lado em função do tempo t. 
No instante t = 5 seg o móvel estará 
num ponto cuja distância à origem, em 
metros, é igual a:
a) 75 d) 65
b) 50 e) 80
c) 60
18) Três carros percorrem uma estrada 
plana e reta, com a velocidades 
variando em função do tempo de acordo 
com o gráfico ao lado. No instante t = 0 
seg os três carros passam por um 
semáforo. A 140 metros desse semáforo 
há outro sinal de trânsito. Qual dos 
carros ultrapassarão este segundo sinal?
a) nenhum dos três 
b) 2 e 3 
c) 1 e 3
d) 1 e 2
e) 1, 2 e 3
19) Um móvel em uma trajetória 
retilínea, parte do repouso e percorre 36 
metros em 6 seg com velocidade que 
varia conforme o gráfico ao lado. A 
máxima velocidade atingida pelo móvel 
foi de:
a) 15 m/s 
71
b) 12 m/
c) 9 m/s
d) 6 m/s
e) 3 m/s
20 O gráfico ao lado mostra a 
velocidade em função do tempo de dois 
automóveis A e B. 
Pelo gráfico podemos afirmar que:
a) para t = 10 seg as velocidades de A e 
B são iguais
b) de 0 a 10 seg o espaço percorrido por 
B foi 
 maior que o de A
c) ambos partiram do repouso
d) a aceleração de B é maior que de A
e) o espaço percorrido por B foi de 200 
metros 
 entre 0 e 10 seg
21) O gráfico representa a variação da velocidade com o tempo de um móvel em trajetória retilínea. 
Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) nas alternativas abaixo:
a) ( ) No trecho OA o movimento é uniformemente acelerado e com velocidade inicial nula.
b) ( ) A aceleração no trecho AB é igual a do trecho CD.
c) ( ) A aceleração no trecho OA é igual a do trecho BC.
d) ( ) A aceleração no trecho DE é o dobro da existente no trecho BC.
e) ( ) O espaço percorrido no trecho BC é a metade da que é percorrida no trecho DE.
f) ( ) A distância total percorrida nos 10 primeiros segundos é inferior a 30 metros.
22) O gráfico mostra a variação da 
velocidade com o tempo de um móvel 
em trajetória retilínea. A variação de 
espaço e a aceleração escalar média 
entre 0 e 10 seg foram respectivamente:
a) 110 m e – 3 m/s2
b) 110 m e 2 m/s2
c) 140 m e – 1,5 m/s2
d) 140 m e 2 m/s2
e) 110 m e – 1,5 m/s2
72
23) Dois carros A e B deslocam-se em uma 
mesma estrada reta, com a velocidade 
variando de acordo com o gráfico ao lado. 
Em t = 0 seg ambos se encontram no 
quilômetro zero.
Considere as afirmações:
I – B desloca-se com movimento 
uniformemente acelerado.
II – Entre t = 0 h e t = 2 h, o carro A 
percorreu 120 km e o carro B percorreu 240 
km.
III – O carro A alcança B no instante t = 2h.
IV – A velocidade de A cresce de 60 km 
em cada hora.
São corretas as afirmações:
a) III d) III e IV
b) I e III e) II, III e IV
c) II e IV
24) Dois móveis, A e B, separados no 
instante t = 0 por uma distância de 600 
metros, trafegam em sentido contrário 
ao longo da reta que os une. Suas 
velocidades variam conforme o gráfico 
ao lado.
No instante t = 50 seg pode-se afirmar 
que:
a) a distância entre A e B é de 875 m.
b) a distância entre A e B é de 575 m.
c) os móveis vão inverter o sentido do 
seu movimento
d) os móveis se cruzam na trajetória
e) a distância entre A e B é de 175 m
73
25) A velocidade escalar de uma 
partícula em movimento retilíneo que 
parte da origem, varia com o tempo
conforme o diagrama ao lado. O 
diagrama que melhor representa o 
espaço percorrido pela partícula em 
função do tempo é:
74
CAPITULO III
GRANDEZAS VETORIAIS - ESTÁTICA
1 - DEFINIÇÕES
Existem certas grandezas em Física que para ficarem caracterizadas necessitam de três 
elementos: um módulo, uma direção e um sentido. Denominam-se Grandezas Vetoriais e 
são representadas por um ente geométrico denominado vetor. O módulo ou intensidade 
indica o valor escalar dessa grandeza. São grandezas vetoriais as forças, as velocidades, 
as acelerações, os campos elétrico e magnético, o campo gravitacional e outros.
Um vetor V ou AB é representado por um segmento orientado.
r é a reta suporte do vetor e define sua direção; seu sentido é de A para B. O módulo ou 
intensidade do vetor é representado por:
Reta Orientada ou eixo é uma reta na qual se estabelece um sentido e uma origem O de 
referência.
A uma reta orientada costuma-se associar um vetor unitário ou versor u, cujo módulo é a 
unidade, que tem a mesma direção e sentido que a reta.
75
Um vetor V que tem a mesma direção e sentido que reta orientada pode ser representado 
pelo produto do seu módulo pelo versor da reta:
Dado um vetor podemos determinar o versor de sua direção:
2)COMPONENTES OU PROJEÇÃO DE UM VETOR SEGUNDO UMA DIREÇÃO (EIXO).
A componente do vetor V segundo a reta orientada ou eixo r é o segmento orientado A'B' 
, ou seja:
76
Se o vetor tiver sentido oposto ao eixo a sua componente segundo esse eixo é negativa.
Como 90o <  < 180o temos cos < 0;
Mas,  = 180o - ', logo cos = cos(180o - ') = - cos'
portanto:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
Sendo | V

| = 10 determine a projeção V

segundo o eixo e nos seguintes casos:
a)
RESOLUÇÃO:
77
b)
RESOLUÇÃO:
c)
RESOLUÇÃO:
d)
RESOLUÇÃO:
78
e)
RESOLUÇÃO:
3 - COMPONENTES CARTESIANAS DE UM VETOR
Seja um sistema plano de eixos cartesianos ox e oy. O versor do eixo ox é representadopor i e o do eixo oy por j .
Um vetor V terá uma componente Vx segundo o eixo oy e Vy segundo o eixo oy.
Assim:
Vx = projox V = A'B' = AC = | V | cos
 
Ou
Vx= projoxV = | V | cos = V cos
Vy = projoyV = A"B" = AD = | V | cos
 ou
Vy = projoyV = | V | cos = V cos
79
Lembrar que  = 90 -  portanto:
cos = cos(90o - ) = sen , ou seja, 
cos = sen
Por outro lado podemos determinar o módulo do vetor V:
O vetor poderá ser representado na forma cartesiana:
EXERCÍCIO:
Sabendo que | V1 | = 10 e | V2 | = 20 determinar:
a) as componentes de V1 e V2 nos eixos ox e oy;
b) as expressões cartesianas de V1 e V2 ;
c) a expressão cartesiana da soma S = V1 + V2
d) o módulo da soma S.
 
80
Resolução:
cos  = 4/5 = 0,8
sen  = 3/5 = 0,6
cos  = 3/5 = 0,6
sen  = 4/5 = 0,8
a) Para o vetor V1 temos:
V1x = projoxV1 = V1cos = 10 . 0,8 = 8
V1y= projoyV1 = V1cos = V1 sen = 10 . 0,6 = 6
Para o vetor V2 temos:
V2x = projoxV2 = - V2cos = - 20 . 0,6 = - 12
V2y = projoyV2 = V2cos = V2sen = 20 . 0,8 = 16
b)
V1 = V1x i

 + V1y j

 ou V1 = 8 i

 + 6 j

V2 = V2x i

+ V2y j

 ou V2 = - 12 i

 + 16 j

c)
S = V1 + V2 = 8 i

 + 6 j

 + ( -12 i

+ 16 j

) ou
S = -4 i

 + 22 j

d)
Em um caso mais geral poderemos representar um vetor segundo um sistema cartesiano 
de tres eixos ox, oy e oz, cujos versores são, respectivamente: i , j e k.
81
Neste caso o vetor terá três componentes cartesianas: Vx , Vy e Vz .
Vx = projoxV = OA = | V | cos = Vcos
Vy = projoyV = OB = | V | cos = Vcos
Vz = projozV = OC = | V | cos = Vcos
A expressão cartesiana do vetor neste caso será:
4 - FORÇAS CONCORRENTES
As forças são grandezas vetoriais, isto é são representadas por vetores, portanto aceitam 
o mesmo tipo de tratamento que dispensamos aos vetores.
Um conjunto de forças se dizem concorrentes quando as suas retas suportes ou linhas 
de ação passam todas por um mesmo ponto.
Na figura temos um conjunto de forças concorrentes no ponto O.
82
Define-se como resultante de um sistema de forças concorrentes, uma única força que 
produz o mesmo efeito que o conjunto, ou seja, uma força cuja linha de ação passa pelo 
ponto de concorrência e substitui todas as demais forças.
Vetorialmente falando a resultante de um sistema de n forças concorrentes será:
R = F1 + F2 + . . . . . + Fn
5 - DETERMINAÇÃO DA RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇA.
1o caso: duas forças de mesma direção e sentido.
| R | = | F1 | + | F2 |
2o caso: duas forças de mesma direção e sentidos opostos.
Sendo | F1 | > | F2 | temos | R | = | F1 | - | F2 |
3o caso: duas forças ortogonais.
83
4o caso: duas forças quaisquer ( regra do paralelogramo).
Aplicando-se a lei dos cossenos no triangulo OAC vem:
OC2 = OA2 + AC2 - 2. OA . AC. cos(180o - )
| R |2 = | F1|2 + | F2|2 - 2.| F1|.| F2|.(-cos)
Aplicando-se a lei dos senos no triangulo OAC vem:
84
Dessa relação podemos determinar 1
 
e 2 .
5o caso: o sistema é composto por três ou mais forças (teorema das projeções).
Neste caso poderemos aplicar a regra do paralelogramo de duas em duas forças até 
chegarmos na resultante ou então aplicarmos o teorema das projeções como veremos a 
seguir. Esta segunda opção é muito mais prática que a primeira.
O teorema das projeções nos afirma que a projeção da resultante de um sistema de força 
em um eixo é igual a soma algébrica das projeções nesse mesmo eixo, de todas as forças 
que participam do sistema. 
Assim:
projoxR = projoxF1 + projoxF2 +  + projoxFn
projoyR = projoyF1 + projoyF2 +  + projoyFn
Rx = F1x + F2x + . . . . . + Fnx
Ry = F1y + F2y + . . . . . + Fny
85
Exercício Resolvido:
Sendo | F1 | = 10N; | F2 | = 20N; | F3 | = 10N e | F4 | = 30N, determine a 
resultante do sistema de forças concorrentes abaixo esquematizado.
RESOLUÇÃO:
Rx = F1x + F2x + F3x + F4x
Rx = F1cos90
o + F2cos30
o - F3cos0
o + F4cos60
o
Rx = 10 . 0 + 20 . 0,87 - 10 . 1 + 30 . 0,5
Rx = 22,4N
Ry = F1y + F2y + F3y + F4y
Ry = F1cos0
o + F2cos60
o + F3cos90
o - F4cos30
o
Ry = 10 . 1 + 20 . 0,5 + 10 . 0 - 30 . 0,87
Ry = - 6,1N
Para determinar a inclinação da resultante:
tg = | Ry | / | Rx | = 6,1 / 22,4
ou tg = 0,272
 = arctan(0,272) = 15,22o
 = 15o 13'
Obs: A função “arctan” muitas vezes está representada nas calculadoras por: “tan-1” ou 
“atan”.
A resposta também poderá ser dada na forma cartesiana:
86
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO:
1) Duas forças concorrentes F1 e F2 são perpendiculares entre si, sua resultante tem 
intensidade R = 50N e sabe-se que F1 = 0,75F2. Determine as intensidades dessas 
forças e o angulo  que F1 faz com R.
RESPOSTAS: F1 = 30N
 F2 = 40N
  = 53o 8' 
2) Sabendo que R = 12N e que F1
 
= (3/5)F2; determine as intensidades de F1 , F2 e 
o ângulo  ?
 
RESPOSTAS:
F1 = 9N
F2= 15N
 = 36o 52'
87
3) Sendo F1= 60N e F2 = 80N determine F3 e o ângulo  de modo que a resultante 
dessas forças seja nula.
RESPOSTAS: F3 = 100N
  = 53o 8'
88
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Com base no esquema abaixo representado, determine a força resultante e o angulo que 
ela forma com a força F1.
RESPOSTAS:
R = 23,78N
α = 172,31o
89
2) Determine a força resultante, no esquema a seguir, utilizando o método das projeções.
RESPOSTAS:
R = 57,11N
α = 56,28o ( com a horizontal)
90
3) Determine a força resultante, no esquema a seguir, utilizando o método das projeções.
RESPOSTAS:
R = 20,81N
α = 39,76o ( com a horizontal)
91
4) Determine a força resultante, no esquema a seguir, utilizando o método das projeções.
92
5) Determine a força resultante, no esquema a seguir, utilizando o método das projeções.
93
6 - EQUILíBRIO DO PONTO MATERIAL
Entende-se como ponto material um corpo cujas dimensões são desprezíveis. É 
representado por um ponto ao qual associamos uma massa.
Um ponto material em repouso estará em equilíbrio quando é nula a resultante do 
sistema de forças que nele atuam. Assim, se R = 0, então:
Rx = 0 e Ry = 0
 ou
Rx = F1x + F2x + . . . . . + Fnx = 0
Ry = F1y + F2y + . . . . . + Fny = 0
Concluímos que se um ponto material está em equilíbrio, será nula a soma algébrica das 
projeções das forças que nele agem, tomadas em relação a um eixo qualquer.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1) Um corpo de peso P = 60N está em equilíbrio suspenso por dois fios AB e AC.
Determine a intensidade da força de tração em cada fio.
RESOLUÇÃO:
Adotando o sistema de eixos indicados na figura abaixo e projetando as forças nesses 
eixos obtém-se:
94
Rx = - T1 . cos0
o + T2 . cos60
o + P. cos90o = 0
-T1 + T2 . 0,5 = 0
ou T1 = 0,5T2 ( EQ. 1)
Ry = - T2 . cos30
o + T1 . cos90
o - P. cos0o = 0
Substituindo o valor T2 na equação 1 temos:
2) Uma esfera de peso P = 120N está apoiada em duas superfícies lisas que formam 
entre si um ângulo reto. Determine as reações de apoio exercidas sobre a esfera.
95
RESOLUÇÃO:
Como não há atrito da esfera com as superfícies as reações de apoio são normais aos 
apoios e conseqüentemente suas linhas de ação passam pelo centro da esfera conforme 
mostra a figura abaixo.
Projetando-se as forças nos eixos obtém-se:
Rx = N1cos30
o - N2cos60o + Pcos90o = 0
Ry = N1cos60
o + N2cos30
o - Pcos0o = 0
Substituindo 1 em 2 vem:
4N1 = 240
96
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) O sistema abaixo representado, encontra-se em equilíbrio na posição indicada. Sabe-se 
que o corpo 3 tem peso P3 = 500N. Determine o valor dos pesos dos corpos 1 e 2.
RESPOSTAS:
P1 = 673,4N
P2 = 765,82N
97
2) Determine o peso P2 . Sabe-se que o corpo P1 de peso P1 = 150N está em equilíbrio 
na posição indicada. Desprezar os pesos dos fios e das polias.
RESPOSTAS:
P2 = 113,06N
98
3) No sistema , em equilíbrio, representado na figura o corpo 2 tem peso P2 = 100N. Sabe-
se que as superfícies de apoio são perfeitamente lisas. Determine o peso do corpo 1 e a 
reação que o plano exerce sobre o corpo 2.
RESPOSTAS:
P1 = 64,28N
P2 = 86,6N
99
4) Determine o valor do Peso do corpo B para o sistema permanecer em equilíbrio. Pede-se ainda 
a reação da superfície do plano inclinado sobre o corpo A, sabendo-se que a superfície do plano 
inclinado é perfeitamente lisa. 
 Dado: PA = 100 N e PC = 30 N. 
 Resp.: PB = 80 N e NA = 103,62 N
100
5) Na figura abaixo, qual deve ser o Peso do corpo A, o Peso do corpo B e as forças 
tensoras, para o sistema permanecer em equilíbrio ?
Dado: PC = 400 N
Resp.: PA = 433,34 N ; PB = 772,72 N ; T1 = 363,61 N e T2 = 565,68 N
101
6) Determine o valor do Peso do corpo B para o sistema permanecer em equilíbrio. Pede-se ainda 
a reação da superfície do plano inclinado sobre o corpo A, sabendo-se que a superfície do plano 
inclinado é perfeitamente lisa. 
 Dados: PA = 30 N e PC = 10 N. 
 Resp.: PB = 46,61 N e NA = 11,55 N
102
7) Determine o valor do Peso do corpo B para que o sistema permaneça em equilíbrio. Pede-se 
ainda a reação da superfície do plano inclinado sobre o corpo A, sabendo-se que a superfície do 
plano inclinado é perfeitamente lisa. 
 Dado: PA = 400 N 
Resp.: PB = 199,98 N e NA = 356,41 N
 
103
8) Determine o valor do Peso do corpo C para que o sistema permaneça em equilíbrio. Pede-se 
ainda a reação da superfície do plano inclinado sobre o corpo B, sabendo-se que a superfície do 
plano inclinado é perfeitamente lisa. 
 Dado: PA = 100 N e PB = 300 N. 
Resp.: PC = 153,20 N e NA = 235,72 N
104
9) Na figura abaixo, qual deve ser o Peso do corpo A, as reações das superfícies sobre os corpos e 
as forças tensoras para o sistema manter-se em equilíbrio ? Sabe-se que as superfícies são 
perfeitamente lisas. 
Dado: PB = 300 N e PC = 200 N
Resp.: PA = 115,47 N ; NA = 57,74 N ; NC = 173,20 e T1 = T2 = 100 N
105
10) Determine o valor do Peso do corpo B para o sistema permanecer em equilíbrio. Pede-se ainda 
a reação da superfície do plano inclinado sobre o corpo A, sabendo-se que a superfície do plano 
inclinado é perfeitamente lisa. 
 Dado: PA = 300 N e PC = 100 N. 
Resp.: PB = 455,52 N e NA = 125,13 N
106
11) Determine o valor das Trações nos fios MO e NO para que o sistema permaneça em equilíbrio. 
Lembre-se que todas as polias são ideais.
 Dado: PA = 100 N , PB = 200 N e PC = 100 N. 
 
 
107
12) Uma barcaça se desloca por um canal puxada por cabos presos a dois rebocadores. 
Determine o valor da Força Resultante exercida na barcaça sob a ação das forças 
produzidas nos cabos pelos dois rebocadores A e B, conforme a figura abaixo, e o 
ângulo que ela forma com o cabo do rebocador A. Desconsidere qualquer tipo de 
atrito.
Dados: FA = 100 N e FB = 150 N
108
13) Determine as tensões nos fios, sabendo que o sistema abaixo está em equilíbrio.
RESPOSTAS:
TAC = 173,2051N
TAB = 100N
109
14) Na figura abaixo, qual deve ser o peso do corpo A para que o sistema mantenha-se 
em equilíbrio?
Dados : PB = 100N
RESPOSTAS:
PA = 70,7107N
110
15) Determine o peso P2 e a força tensora no fio OA sabendo que o corpo de peso 
P1 = 80N está em equilíbrio na posição indicada. Desprezar os pesos dos fios e das 
polias.
RESPOSTAS:
TOA= 40,00N
P2 = 138,56N
111
16) Determinar as forças tensoras nos fios, sabendo que o sistema abaixo está em 
equilíbrio.
 
RESPOSTAS:
TEC = 50,00N
TED = 86,60N
TCA = 57,74N
TCB = 28,87N
112
17) No sistema em equilíbrio representado na figura, o bloco A tem peso P1 = 100N; o 
bloco B peso P2 e a intensidade do peso do bloco C é P3 = 200N. Determine a 
intensidade da normal que o plano exerce sobre o bloco C e o peso do bloco B. 
RESPOSTAS:
P2 = 230,94N
NC = 142,26N
113
18) No sistema abaixo, em equilíbrio, determine:
a) o peso do corpo A;
b) a reação normal no corpo B.
Dado: PB = 300N
RESPOSTAS:
PA = 212,1320N
NB = 212,1320N
114
19) Um corpo de peso P = 20N está apoiado em um plano inclinado sem atrito. 
Determinar a reação normal que o plano exerce sobre o corpo e o peso P1 necessário 
para manter o corpo em equilíbrio na posição indicada.
RESPOSTAS:
N = 23,09N
P1= 11,55N
115
20) No sistema abaixo, qual deverá ser o angulo  , para que o mesmo se mantenha em 
equilíbrio?
RESPOSTAS:
 = 51o 44' 17"
116
CAPITULO IV
EQUILÍBRIO DE CORPOS EXTENSOS
Você já deve ter notado que a maçaneta de uma porta sempre fica na extremidade oposta à 
das dobradiças, o que torna mais fácil abri-la e fecha-la. Se a maçaneta estivesse perto da 
dobradiça, teríamos de aplicar uma força muito maior para mover a porta. De modo análogo, 
é mais fácil soltar um parafuso com uma chave inglesa de cabo longo do que uma de cabo 
curto.
O efeito de rotação de uma força em relação a um ponto depende da intensidade da força e 
de sua distância ao ponto onde ocorre a rotação, é caracterizado por uma grandeza chamada 
momento de uma força em relação a um ponto, que é medida multiplicando-se a 
intensidade da força F

pela distância d do ponto à linha de ação da força.
 d.FM
0/F

Por convenção, o momento é positivo quando a força F

tende a provocar rotação em torno 
do ponto O no sentido anti-horário, e é negativo quando tende a provocar rotação no 
sentido horário.
No SI de Unidades, o momento de uma força é medido em Newton x metro (N.m).
Equilíbrio Estático De Corpos Extensos
Vimos que um ponto material está em equilíbrio estático se a resultante das forças nele 
agentes é nula. No caso de um corpo extenso, além da condição   0F

, devemos impor, 
a fim de que o corpo não tenha rotação, a lei dos momentos:
Quando um corpo extenso pode girar em torno de um ponto O, ele se encontra em equilíbrio 
se a soma algébrica dos momentos das forças, agindo no corpo em relação a O, é nula:
0M
0/F
 
117
Portanto, dado um corpo extenso em equilíbrio, deve-se fazer um inventário completo das 
forças nele agentes e escolher um ponto O qualquer desse corpo. As condições para equilíbrio 
estático em relação ao ponto O são:
  0F

 
0M
0/F
 
Centro De Gravidade
Um corpo se comporta como se seu peso estivesse concentrado num único ponto G, 
denominado centro de gravidade.
O centro de gravidade G de qualquer corpo simétrico, de composição uniforme, coincide 
com seu centro geométrico.
Exemplos:
1) Para o sistema de força abaixo. Determinar:
a) o momento de cada uma das forças em relação ao ponto O;
b) o momento resultante em relação ao ponto O.
118
Resolução:
Neste exercício adotaremos os momentos no sentido anti-horário como sendo positivos e 
no sentido horário como sendo negativos.
Força F1 : Em relação ao ponto O, a força F1 tende a girar o corpo no sentido horário 
portanto temos:
m.N505.10d.FM 110/F1 

Força F2 : Em relação ao ponto O, a força F2 tende a girar o corpo no sentido anti-horário 
portanto temos:
m.N20010.20d.FM 220/F2 

Força F3 : Em relação ao ponto O, a força F3 tende a girar o corpo no sentido horário 
portantotemos:
m.N1505.30d.FM 330/F3 

Força F4 : A linha de ação da força F4 passa pelo ponto O, neste caso podemos afirmar que 
o momento de F4 em relação ao ponto O é nulo.
0M
0/F4

Força F5 : Em relação ao ponto O, a força F5 tende a girar o corpo no sentido horário 
portanto temos:
m.N50010.50d.FM 550/F5 

O momento resultante no ponto O corresponde a somatória dos momentos provocados por 
cada uma das forças, então temos:
m.N500M
500015020050M
MMMMMM
0/R
0/R
0/F0/F0/F0/F0/F0/R 54321


 
Como a somtória dos momentos resultou em um valor negativo, podemos afirmar que o 
momento resultante em relação ao ponto O é de 500N.m no sentido horário.
119
2) A barra abaixo esquematizada é homogênea, tem seção constante e tem peso próprio P = 
200N. Determine o valor das reações nos apoios. 
Resolução:
Primeiramente vamos esquematizar todas as forças que estão atuando na barra.
Obs: Inicialmente não se conhece os sentidos das reações dos apoios (VA, HA e VB) então, 
adota-se um sentido qualquer, se o mesmo estiver incorreto obteremos um valor negativo 
no calculo da força, indicando assim, que o sentido correto é o oposto ao adotado.
Como temos esforços na horizontal e na vertical é necessário aplicar a primeira condição de 
equilíbrio (  0F

) nas duas direções, temos então:
  0FH

N50FH
0FH
2A
2A


)1.eq(N150VV
0150V200V100
0FVPVF
0F
BA
BA
3BA1
V





120
Para aplicar a segunda condição ( 0M
0/F
  ) de equilíbrio é necessário escolher um 
ponto qualquer da barra. Neste exercício vamos utilizar o ponto A.
N110V
1050V56001000
7.15005.V3.200001.100M
MMMMMMMM
0M
B
B
BA/F
A/FA/FA/VA/PA/VA/HA/FA/F
A/F
32BAA1











Substituindo VB na equação 1 temos:
N260V
150110V
N150VV
A
A
BA



O fato do calculo do valor de VB resultar em um valor negativo indica que o sentido de VB
é para baixo ( contrário ao que foi adotado).
121
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Para o sistema de força abaixo. Determinar:
a) o momento de cada uma das forças em relação ao ponto O;
b) o momento resultante em relação ao ponto O.
122
2) Para o sistema de força abaixo. Determinar:
a) o momento resultante em relação ao ponto A;
b) o momento resultante em relação ao ponto B;
c) o momento resultante em relação ao ponto B.
Dados: AC = 5m ; CB = 3m
123
3) Para o sistema de força indicado determinar o momento resultante em relação ao ponto 
O.
DADOS : OA = 2m , OB = 1m , OC = 3m , OD = 2m e OE = 4m
124
4) Para o sistema de força abaixo. Determinar:
a) o momento resultante em relação ao ponto A;
b) o momento resultante em relação ao ponto B .
Dados: AC = 4m ; CB = 6m
125
5) Para o sistema de força abaixo. Determinar:
a) o momento resultante em relação ao ponto A;
b) o momento resultante em relação ao ponto B;
c) o momento resultante em relação ao ponto C;
d) o momento resultante em relação ao ponto D.
Dados: AB = CD = 2 m ; BC = 3 m
126
6) Para o sistema de força abaixo. Determinar:
a) o momento resultante em relação ao ponto C;
b) o momento resultante em relação ao ponto A .
Dados: AC = BC = 4m ; CD = 5m
127
7) No esquema abaixo, o peso da barra homogênea é de 50N. Sabendo que o sistema está 
em equilíbrio, determine a intensidade da força de tração no fio AB e o peso do corpo 
A.
Dado: PB = 40N.
128
8) No esquema abaixo, o peso da barra homogênea é de 50N e seu comprimento é de 
4m. Determine a que distancia do corpo A devemos prender o fio fazendo com que a 
barra fique suspensa na horizontal.
Dados: PA = 100N e PB = 50N.
129
9) A barra abaixo esquematizada é homogênea, tem seção constante e tem peso próprio P 
= 200N. Determine o valor das reações nos apoios.
130
10) A barra abaixo esquematizada é homogênea, tem seção constante, seu comprimento é L 
= 6m e tem peso próprio P = 50kN. Determine o valor das reações nos apoios.
131
11) A barra abaixo esquematizada é homogênea, de comprimento L = 8 m, tem seção 
constante e seu peso próprio é P = 100N. Determine o valor das reações nos apoios.
132
12) A barra abaixo esquematizada é homogênea, tem seção constante, seu comprimento é L 
= 6m e tem peso próprio P = 100N. Determine o valor das reações nos apoios.
133
13) No sistema abaixo em equilíbrio a barra AB, de comprimento L = 8m é homogênea, 
tem secção constante e peso P = 150N. Determinar a força tensora no fio BC e a reação 
exercida pelo pino, sobre a barra em A.
DADO: P1 = 100N
134
14) No sistema abaixo em equilíbrio a barra AB, de comprimento L = 3m é homogênea, 
tem secção constante e peso P = 100N, está apoiada na extremidade B sobre uma parede 
vertical perfeitamente lisa. Determinar a reação exercida pela parede e a reação exercida 
pelo pino, sobre a barra em A.
DADOS: P1 = 50N ; AC = 2m
135
15) No sistema abaixo em equilíbrio a barra AB, de comprimento L = 10m é homogênea, 
tem secção constante e peso P = 500N, está apoiada na extremidade B sobre uma parede 
vertical perfeitamente lisa. Determinar a reação exercida pela parede e a reação exercida 
pelo pino, sobre a barra em A.
DADOS: P1 = 200N ; P2 = 300N ; AC = 6m
136
16) No sistema abaixo em equilíbrio a barra AB, de comprimento L = 5m é homogênea, 
tem secção constante e peso P = 300N. Determinar a força tensora no fio CD e a reação 
exercida pelo pino, sobre a barra em A.
DADOS: P1 = 100N ; AC = 4m
137
PARTE II
LABORATÓRIO
138
BARICENTRO OU CENTRO DE GRAVIDADE
Se analisarmos um corpo qualquer sob a ação da atração da gravidade , podemos 
subdividir este corpo em infinitas partes, de maneira que cada parte tenha um 
infinitesimal de peso. A soma dos pesos infinitesimais de todas essas partes, ou seja, 
a resultante desses pesos, é o peso total do corpo e o seu ponto de aplicação 
denomina-se centro de gravidade ou baricentro desse corpo.
Pode-se admitir que o corpo se comporta como se seu peso estivesse concentrado 
num único ponto, o baricentro.
O Baricentro de qualquer corpo simétrico, de composição homogênea, coincide com 
seu centro geométrico.
Quando um corpo é apoiado ou suspenso pelo seu baricentro, fica em equilíbrio em 
qualquer posição em que for abandonado, é o chamado equilíbrio indiferente.
PROPRIEDADES DO BARICENTRO
1) Em todo corpo homogêneo que admite um eixo de simetria, o Baricentro 
obrigatoriamente se situa sobre este eixo. No caso de o corpo admitir dois ou 
mais eixos de simetria, o Baricentro estará localizado no cruzamento destes 
eixos.
2) O Baricentro pode corresponder a um ponto localizado fora da massa do corpo.
3) Qualquer que seja a posição ocupada pelo corpo, a linha de ação de seu peso 
passará pelo Baricentro.
4) Supondo o corpo situado em um campo gravitacional uniforme, o baricentro 
situa-se sempre na região do corpo aonde se concentra a maior parte de sua 
massa.
139
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Ao apresentarmos o resultado final de uma medição, só deverão constar nele os 
algarismos que apresentam um significado nessa medição.
Na apresentação de um resultado serão significativos todos os algarismos contados 
da esquerda para a direita, a partir do primeiro algarismo diferente de zero. Por 
exemplo:
O número 37,4372 tem seis algarismos significativos;
O número 3,042 tem quatro algarismos significativos;
O número 0,00372 tem três algarismos significativos;
O número 0,00070 tem dois algarismos significativos;
O número 3,4 x 10-8 tem dois algarismos significativos;
O número 0,304 tem três algarismos significativos;
CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO
Acabamos de ver que na apresentação de um resultado é comum termos que 
abandonar alguns algarismos que não mais apresentam significado físico nessa 
medição. Na eliminação desses algarismos devem ser seguidas as seguintes regras:
I) Se o algarismo a ser abandonado for maior do que 5 (cinco), o algarismo anterior 
deverá ser acrescido de uma unidade.
Exemplos (o algarismo sublinhado será a partir do qual faremos a eliminação)2,738 ===> 2,74
35,573 ===> 35,6
0,02764 ===> 0,028
4,984 ===> 5,0
4,757 ===> 4,76
140
II) Se o algarismo a ser abandonado for menor do que 5 (cinco) , ele é simplesmente 
cancelado sem interferir nos restantes.
Exemplo:
2,364 ===> 2,36
37,742 ===> 37,7
0,02634 ===> 0,026
0,037045 ===> 0,037
3,204332 ===> 3,20
III) Se o algarismo a ser abandonado for exatamente igual a 5 (cinco) , temos duas 
situações a considerar:
a) se o algarismo anterior ao 5 for ímpar, abandona-se o algarismo 5 e acrescenta-se 
uma unidade ao anterior.
Exemplos:
2,375 ===> 2,38
2,4352 ===> 2,44
0,0031531 ===> 0,0032
b) Se o algarismo anterior ao 5 for par, cancela-se o algarismo 5 sem qualquer 
alteração no anterior.
Exemplos:
2,745 ===> 2,74
2,8853 ===> 2,88
0,00453 ===> 0,004
141
Potência de 10
Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. 
Para isto guarde bem estas técnicas:
1) Para se elevar 10n (n inteiro e maior do que zero), é só acrescentar a quantidade 
de zeros, representada pelo expoente n, à direita do número 1.
Exemplos:
a) 102 = 100
b) 105 = 100000
c) 108 = 100000000
2) Para se elevar 10-n (n inteiro e maior do que zero), basta somente escrever a 
quantidade de zeros da potência à esquerda do número 1, colocando a vírgula 
depois do primeiro zero que se escreveu.
Exemplos de fixação:
a) 10-4 = 0,0001
b) 10-6 = 0,000001
c) 10-7 = 0,0000001
3) Decompondo números em potências de 10
Exemplos de fixação (números maiores que 1):
a) 300 = 3.100 = 3.102
b) 7000 = 7.1000 = 7.103
c) 10.000 = 1.10000 = 1.104
Exemplos de fixação (números menores que 1):
a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10-3
b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10-4
c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10-5
142
PESOS E MEDIDAS – HISTÓRICO
ANTIGUIDADE
Em nossa civilização atual, os processos de medição são bastante complexos, a fim de 
satisfazerem às necessidades da ciência a da tecnologia. Em épocas remotas, o homem 
utilizou processos simples, suficientes para a sua técnica primitiva.
Mas, quando começou a medir? Começou provavelmente quando ainda nem falava, pois 
poderia medir ou comparar um peixe com outro, a saber, qual o maior ou o menor. 
Também seria do seu conhecimento que uma certa quantidade de alimento saciava sua 
fome. Obviamente, eram maneiras intuitivas de medir.
A partir do momento em que o homem passou a viver em grupos e à proporção que esses 
aglomerados cresciam, a necessidade de medir aumentava ainda mais. As maneiras como 
mediam as grandezas eram bastante simples: usavam partes do próprio corpo, como o 
comprimento do pé, a largura da mão ou a grossura do dedo, o palmo e a passada.
Utilizavam ainda uma vara ou um bastão.
Com o surgimento das primeiras civilizações, tais processos não mais satisfaziam às 
necessidades dos homens, pois os mesmos sabiam constatar as diferenças daquelas partes 
para cada indivíduo. As construções de casas a navios, a divisão de terras e o comércio com 
outros povos exigiam medidas padrões, que fossem as mesmas em qualquer lugar. Assim, 
um mercador de tecidos da Babilônia poderia vender sua mercadoria em Jerusalém, usando 
uma vara padrão de tamanho aproximado ao da adotada lá.
Os povos antigos - os egípcios, os babilônios, os assírios, os chineses, os persas a os gregos 
possuíam padrões diferentes de comprimento. A unidade de comprimento dos babilônios 
era o dedo (aproximadamente 16mm). Usavam também o cúbito, que equivalia a 30 dedos. 
O pé e a polegada foram, em geral, para esses povos, as unidades padrões.
É interessante ressaltar que, segundo L.A. Sanches, os egípcios possuíam uma estranha 
medida denominada "polegada piramidal", encontrada na grande pirâmide de Quéops, junto 
143
ao Nilo, construída a 3 ou 4 mil a.C. Ao ser estudada, concluíram que o diâmetro da Terra 
mede um bilhão e meio destas polegadas. O cálculo do perímetro da base da pirâmide 
resulta 365 242 polegadas, resultado cujos algarismos exprimem exatamente o número de 
dias do ano solar (365,242 dias).
O homem também precisou pesar, ou melhor, comparar massas, pois peso e massa são 
duas grandezas diferentes, sendo o primeiro uma força resultante da atração gravitacional, 
como você verá mais adiante no seu curso de Física. Massa é a quantidade de matéria de 
um corpo, ou em termos mais físicos, é a resistência que ele oferece a uma força aplicada. 
O peso pode variar dependendo das condições e a massa é invariante no estado de repouso.
Nos primeiros tempos, o homem comparava a massa de dois corpos equilibrando-os um em 
cada mão. Até que surgiu a primeira máquina de comparação: uma vara suspensa no meio 
por uma corda. Os objetos eram pendurados nas suas extremidades e, se houvesse o 
equilíbrio, ou seja, se a vara ficasse na horizontal, eles possuíam a mesma massa.
Os povos antigos padronizaram centenas de diferentes pesos e medidas para atender às 
necessidades de suas civilizações.
O grão de trigo tirado do meio da espiga, provavelmente foi o primeiro elemento padrão de 
peso. Dos sistemas adotados, um deles propagou-se pela Europa toda e hoje ainda é usado 
pelos países de língua inglesa, após pequenas modificações: trata-se do sistema comercial 
chamado "avoirdupois", palavra francesa que significa "bens de peso".
144
Suas unidades são:
 grão (gr)
 dracma (dr)
 onça (oz)
 libra (lb)
 quintal (cwt)
 tonelada (t)
Com relação ao tempo, apesar de não poder segurá-lo ou guardá-lo, o homem conseguia 
medi-lo registrando as repetições dos fenômenos periódicos. Qualquer evento familiar 
servia para marcar o tempo: o período entre um e outro nascer do Sol, a sucessão das luas 
cheias, ou a das primaveras.
Você deve saber que, assim como os antigos, os índios contavam os anos por invernos ou 
verões, os meses por luas e os dias por sóis. Tais cálculos não eram muito exatos. As horas 
de claridade entre o nascer e o pôr do sol variam muito durante o ano. Já o período que vai 
de uma lua cheia a outra permanecia constante. Logo os homens perceberam tal fato e 
concluíram que a maneira mais exata de medir o tempo era baseando-se na periodicidade de 
eventos em corpos celestes.
O nosso ano é o período de tempo em que a Terra faz o seu movimento de translação em 
torno do Sol. Ele é, às vezes, chamado de ano astronômico, equinocial, natural ou solar. Os 
cientistas chamam-no geralmente de ano trópico e tem 365 dias, 5 horas, 48 minutos, 45 
145
segundos e 7 décimos. Como no calendário consideramos apenas 365 dias, a cada quatro 
anos, as horas e os minutos que sobram são reunidos, formando mais um dia, que aparece 
no ano bissexto.
O mês foi a primeira medida exata de tempo. Era calculado de uma lua cheia a outra e tinha 
exatamente 29 dias e meio. Entretanto, dividindo-se o ano em meses lunares, obtinha-se 12 
meses e uma sobra de 11 dias. Não havia relação exata entre o ano calculado pela 
translação da Terra em torno do Sole o mês lunar. Isto originava confusão ao iniciar um 
novo mês. Outras tentativas de divisões em relação a fenômenos naturais foram refutadas 
pela mesma razão. Júlio César, no ano 46 A.C. aboliu o ano lunar e adotou o ano solar de 
365 dias, com um dia a mais a cada quatro anos. Os meses eram baseados 
aproximadamente nos meses lunares, porém com duração diferente. Os imperadores 
romanos costumavam subtrair dias de alguns meses para adicioná-los a outros, seus 
favoritos.
A semana de 7 dias não tem relação exata com os corpos celestes e seus movimentos, 
embora a divisão do mês em quatro semanas tenha origem nas divisões que representavam 
as quatro fases da Lua.
O dia é estabelecido pelo período de rotação da Terra em torno do seu eixo.
A hora é a vigésima quarta parte do dia, não existindo, porém, relação entre os fenômenos 
naturais e as repetições de duração de uma hora: a divisão foi feita arbitrariamente e por 
conveniência.
O relógio de Sol, que consistia em um bastão espetado no chão no centro de um círculo, foi 
o primeiro instrumento para medir o intervalo de tempo. Uma hora possui 60 minutos e 
este, 60 segundos.