1 -Sinais---Introducao

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Sinais e Sistemas 
Conceitos Básicos 
 
Prof.: Fábio de Araújo Leite 
Discussão do Plano do Curso 
As 12 normas de convivência 
 
1. - Recomenda-se chegar à aula no horário estabelecido. 
2. – Evitar o uso do celular e colocar obrigatoriamente no silencioso durante as aulas, pois a participação ativa 
nas aulas é sempre incentivada. 
3. - As provas tem duração de no máximo 100 minutos. 
4. - Quem chegar com até 30 minutos de atraso em prova será autorizado a entrar desde que nenhum aluno 
tenha saído até aquele momento. Além disso, não ganhará tempo de compensação. 
5. - Depois de entregar a prova, o aluno não pode ficar no corredor das salas. 
6. - Não é permitida a ida ao banheiro durante a prova. 
7. - A prova deverá necessariamente ser preenchida por caneta esferográfica de tinta azul ou preta. Não 
serão aceitas reclamações à lápis. 
8. - Não é permitido durante a prova pedir qualquer material ao colega. 
9. - Não serão permitidas calculadoras gráficas, celulares ou qualquer outro dispositivo que permita 
comunicação. 
10. - A boa organização da apresentação é responsabilidade do aluno sendo objeto de avaliação, desta forma 
caso não seja possível compreender adequadamente as questões, estas serão consideradas sem efeito. 
11. - Não haverá atendimento individual durante a prova. 
12. - Qualquer violação do comportamento adequado será punida com as medidas administrativas previstas 
no regimento da faculdade. 
Os conceitos e a teoria de sinais e sistemas são 
necessários em quase todos os campos da engenharia 
elétrica e também em muitas disciplinas científicas de 
outras engenharia. Eles formam a base para estudos 
mais avançados em áreas como comunicação, 
processamento de sinais e sistemas de controle. 
Introdução 
Definições 
 Definições de Sinais e Sistemas: 
 
O Que é Um Sinal? 
O Que é um Sistema? 
Classificação de Sinais. 
Sinais 
 O que é um Sinal? 
 
 “Função de uma ou mais variáveis, o qual 
veícula informação sobre a natureza de um 
fenômeno físico”; 
Dependente de uma variável: 
Unidimensional; 
Dependente de uma ou mais variáveis: 
Multidimensional. 
Sinais 
 Exemplos de Sinais 
Sinais 
 Exemplos de Sinais 
Sinais 
 Exemplos de Sinais: Sinais utilizados no 
diagnóstico do estado de saúde de 
pacientes. 
 
 Batimentos Cardíacos; 
 Pressão Sanguínea; 
 Temperatura; 
 Nível de Glicose; 
 Índice de Colesterol. 
 
 
Sinais 
 Exemplos de Sinais: Sinais utilizados no diagnóstico do 
estado de saúde de pacientes. 
 
Sinais 
 Exemplos de Sinais: Sinais utilizados na 
Previsão do Tempo 
 
 Variações diárias de temperatura; 
 Umidade relativa do ar; 
 Velocidade e direção dos ventos; 
Sinais 
 Exemplos de Sinais: Sinais utilizados na 
Engenharia: 
 Corrente; 
 Tensão elétrica. 
 
 Sinais Elementares: 
 Função degrau unitário: u(t); 
 Função impulso unitário: δ(t); 
 Função exponencial: est . 
Sistemas 
 O que é um sistema? 
 
 Um sistema é definido como uma entidade que 
manipula um ou mais sinais para realizar uma 
função, produzindo novos sinais. 
Sistemas 
 Exemplo de Sistemas: Reconhecimento 
automático de voz. 
 
Sinal de entrada: Voz. 
Sistema: Computador. 
Sinal de saída: Identidade do locutor. 
 
Sistemas 
 Exemplo de Sistemas: Sistema de 
comunicação. 
 
Sinal de Entrada: Voz ou Dados. 
Sistema: Transmissor + Canal + Receptor. 
Sinal de Saída: Estimativa da Informação 
Original. 
Sistemas 
 Sistemas de Comunicações 
Sistemas 
 Sistemas de Comunicações 
Sistemas 
 Sistemas de Controle 
Sistemas 
 Sistemas de Controle 
Sistemas 
 Exemplo: Sistema de Aterrissagem de um Avião: 
 
 Sinal de Entrada: Posição desejada da Aeronave. 
 Sistema: Piloto + Avião. 
 Sinal de Saída: Posição da Aeronave. 
Sistemas 
 Outros Exemplos de Sistemas: 
 Motor elétrico; 
 Tratamento térmico aplicado na produção do Aço; 
 Telefone, TV e rádios; 
 Analise de mercados de ações; 
 Sensoriamento para avaliação de desmatamento. 
Análise Matemática de Sinais e 
Sistemas 
Classificação os Sinais 
Classificação dos Sinais 
 Um sinal é uma função que representa uma 
quantidade ou variável física e contém informações 
sobre o comportamento ou a natureza do fenômeno; 
 
 Matematicamente, um sinal é representado por uma 
função de uma variável independente t. Usualmente, 
t representa o tempo. Assim, um sinal é indicado por 
x(t). 
Classificação dos Sinais 
Classificação de Sinais 
Sinais de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto 
Classificação de Sinais 
Sinais de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto 
Classificação de Sinais 
Sinais de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto 
Classificação de Sinais 
Sinais de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto 
Classificação de Sinais 
Seqüência de números  Sinal Discreto 
Um sinal de tempo discreto pode 
representar um fenômeno para o 
qual a variável independente é 
inerentemente discreta. 
Amostras 
Intervalo de Amostragem 
Sinais Analógicos e Digitais: 
 
 Se um sinal de tempo contínuo x(t) pode assumir qualquer valor 
no intervalo contínuo (a,b), então o sinal é chamado sinal 
analógico; 
 Se um sinal de tempo discreto x[n] puder assumir apenas um 
número finito de valores distintos, então ele é chamado sinal 
digital. 
Sinais e Classificação de Sinais 
Sinais e Classificação de Sinais 
     tjxtxtx 21 
Onde x1(t) e x2(t) são sinais reais 
Um sinal x(t) é um sinal real se seu valor for um número real, e é um 
sinal complexo se seu valor for um número complexo. Sua forma 
geral é: 
Representa tanto uma 
variável contínua como 
uma discreta 
Sinais Reais e Complexos 
Sinais Determinísticos e Aleatórios 
 
 Sinais determinísticos são aqueles cujos valores estão 
completamente especificados em qualquer instante de tempo 
dado; 
 
 Sinais Aleatórios são aqueles que assumem valores aleatórios 
(randômicos) em qualquer tempo dado e devem ser 
caracterizados estatisticamente. 
Classificação de Sinais 
Exemplos de Sinais Determinísticos e Aleatórios 
Classificação de Sinais 
Classificação de Sinais 
Sinais Pares e Ímpares 
   
   
   
   txtx
txtx
txtx
txtx



 Funções Pares 
Funções Ímpares 
     
     txtxtx
txtxtx
oe
oe


Qualquer sinal pode ser expresso 
como a soma de dois sinais, um par e 
outro ímpar: 
Classificação de Sinais 
Sinais Pares e Ímpares 
Classificação de Sinais 
Sinais Periódicos e Não-Periódicos 
   
   
   
   nxmNnx
nxNnx
txmTtx
txTtx




Período 
Período 
Classificação de Sinais 
Sinais Periódicos e Não-Periódicos 
Classificação de Sinais 
Sinais Periódicos e Não-Periódicos 
Classificação de Sinais 
Sinais Periódicos e Não-Periódicos 
Classificação de Sinais 
Sinais Periódicos e Não-Periódicos 
Classificação de Sinais 
 
 
 
 
2
2
22/
2/
2
12
1
lim
1
lim
















N
Nn
N
n
T
TT
nx
N
P
nxE
dttx
T
P
dttxE
Sinais de Energia e de Potência 
Conteúdo de energia 
Potência média 
Conteúdo de energia 
Potência média 
Tempo Contínuo 
Tempo Discreto 




E
P
P
E
0
0
0 SINAL DE ENERGIA 
SINAL DE POTÊNCIA 
Classificação de SinaisSinais de Energia e de Potência 
 Transformação da Variável Independente: 
 
 Um conceito importante na análise de sinais e sistemas é o da 
transformação de um sinal; 
 Um exemplo simples e muito importante de transformação da 
variável independente, é um deslocamento no tempo; 
 Sinais relacionados dessa maneira surgem em aplicações como 
o radar, sonar e processamento de sinais sísmicos, em que 
diversos receptores em diferentes lugares observam um sinal 
transmitido por um meio (água, rocha, ar, etc.); 
 Nesse caso, a diferença no tempo de propagação do ponto de 
origem do sinal transmitido para quaisquer dois receptores 
resulta em um deslocamento do tempo entre os sinais nos dois 
receptores. 
 
Operações com Sinais 
 Transformação da Variável Independente: 
Operações com Sinais 
 Transformação da Variável Independente: 
Operações com Sinais 
 Transformação da Variável Independente: 
Operações com Sinais 
 Transformação da Variável Independente: 
Operações com Sinais 
 Transformação da Variável Independente: 
Operações com Sinais 
 Transformação da Variável Independente: 
Operações com Sinais 
 Transformação da Variável Independente: 
Operações com Sinais 
 Transformação da Variável Independente: 
Operações com Sinais 
Sinais Básicos de Tempo Contínuo 
 






0,0
0,1
t
t
tu
u(t) 
t 0 
1 
u(t-t0) 
t 0 
1 
t0 
 






0
0
0
,0
,1
tt
tt
ttu
Função Degrau Unitário 
Sinais Básicos de Tempo Contínuo 
Função Impulso Unitário (Delta de Dirac) 
t 
δ(t) 
0 t 
δ(t) 
0 t0 
Delta de Dirac 
Sinais Básicos de Tempo Contínuo 
 
 
     
   
 
     00
0
0
0
1
0
tdtttt
indefinido
dttt
dttt
dtt
t
b
a































0
0


t
t
0
0
0



a
ba
ba
0
0


b
ba
ou 
Função Generalizada 
Função Impulso Unitário (Delta de Dirac) 
ou 
Sinais Básicos de Tempo Contínuo 
       dtxtx  


     dtu
t
 
Função Impulso Unitário (Delta de Dirac) 
Qualquer sinal de tempo contínuo pode ser expresso como: 
A função degrau unitário pode ser expressa como: 
Sinais Básicos de Tempo Discreto 
Seqüência Degrau Unitário 
 






0,0
0,1
n
n
nu
u[n] 
n 0 
1 
u[n-k] 
n 0 
1 
k 
 






kn
kn
knu
,0
,1
Sinais Básicos de Tempo Discreto 
Seqüência Impulso Unitário 
n 
δ[n] 
0 n 
δ[n-k] 
0 k 
Delta de Dirac 
Sinais Básicos de Tempo Discreto 
Manipulações por meio do Impulso Unitário 
Sinais Básicos de Tempo Discreto 
Exponencial 
 
 
Sinais Básicos de Tempo Contínuo 
Exponencial 
 
 
Sinais Básicos de Tempo Contínuo 
Senoidal 
 
 
Sinais Básicos de Tempo Contínuo 
Senoidal 
 
 
Sinais Básicos de Tempo Contínuo 
Exponencial 
 
 
nAnx ][
Senoidal 
 
 
)cos(][   nAnx o
Sinais Básicos de Tempo Discreto 
Exponencial 
 
 
Sinais Básicos de Tempo Discreto 
Exponencial 
 
 
Sinais Básicos de Tempo Discreto 
Senoidal 
 
 
Sinais Básicos de Tempo Discreto 
Relação entre Sinais Senoidais e Sinais Exponenciais Complexos 
 
Sinais Básicos 
Relação entre Sinais Senoidais e Sinais Exponenciais Complexos 
 
Sinais Básicos 
Relação entre Sinais Senoidais e Sinais Exponenciais Complexos 
 
Sinais Básicos 
Relação entre Sinais Senoidais e Sinais Exponenciais Complexos 
 
Sinais Básicos de Tempo Contínuo 
Relação entre Sinais Senoidais e Sinais Exponenciais Complexos 
 
Sinais Básicos de Tempo Discreto 
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Representação de Sistema 
Sistema é um modelo matemático de um processo físico que relaciona o sinal 
de entrada (ou excitação) com o sinal de saída (ou resposta). O sistema é visto 
como uma transformação de x em y. 
xy T
T é um operador que representa uma regra bem definida pela 
qual x é transformado em y 
Sistema 
T 
x y 
Sistema 
T 
x(t) y(t) 
Sistema 
T 
x[n] y[n] 
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Sistemas de Tempo Contínuo e Discreto 
Contínuo 
Discreto 
Sistemas Contínuo no Tempo e 
Discreto no Tempo 
 Sistema Contínuo: É aquele cujos sinais de entrada e 
saída são contínuos no tempo (especificados para um 
intervalo contínuo de tempo). 
 Exemplo: O controle de um elevador. 
Sistemas Contínuo no Tempo e 
Discreto no Tempo 
 Sistema Discreto: É aquele cujos sinais de entrada e 
saída são discretos no tempo (especificados para 
instantes discretos de tempo). 
 Exemplo: Um computador digital, estudos 
populacionais, problemas de amortização, modelos 
de renda nacional, rastreamento por radar, etc. 
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Interconexões de Sistemas 
Interconexão em série 
Interconexão em paralelo 
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Interconexões de Sistemas 
Interconexão Série / paralelo 
Interconexão com realimentação 
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Sistemas com Realimentação 
 Sistema Instantâneo: É aquele no qual a saída em um 
determinado instante de tempo depende apenas da 
entrada neste mesmo instante de tempo. Este sistema é 
chamado de sistema sem memória. 
 Sistema sem memória: Condições iniciais sempre nulas. 
 
 Sistema Dinâmico: É aquele que a saída depende da 
entrada atual e da história do sistema (sistema com 
memória). 
 Sistema com memória: Condições iniciais pode ser diferentes de 
zero. 
 Um sistema cuja saída depende de informações dos últimos T 
instantes de tempo é chamado sistema de memória finita. 
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Sistemas com Memória e sem Memória 
Um sistema é dito sem memória se a saída em qualquer instante de 
tempo depende apenas da entrada naquele mesmo instante. Ex: resistor, 
a entrada é a corrente e a saída é a tensão. 
   
   tRitv
tRxty


Um exemplo de sistema com memória é um capacitor C 
     di
C
tv
t
 
1
Um exemplo de sistema de tempo discreto com memória é 
   


n
k
kxny
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Sistemas com Memória e sem Memória 
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Sistemas Causais e Não Causais 
Um sistema é chamado causal se sua saída y(t) em um tempo arbitrário t=t0 
depender apenas da entrada x(t) para t ≤ t0. Ou seja, a saída de um sistema 
causal não depende de seu valores futuros. 
 
Qualquer sistema do mundo real que opere em tempo real, tem que 
ser causal. 
 
Obs: Todos os sistemas sem memória são causais, mas não vice-versa. 
 
Exemplos de sistemas não-causais são: 
 
 
 
Obs: não-causais = sistema antecipativo. 
   
   nxny
txty

 1
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Sistemas Causais e Não Causais 
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Sistemas Lineares e Não Lineares 
Se o operador T satisfizer as duas condições seguintes, antão T é chamado 
operador linear e um sistema representado pelo operador T é chamado 
sistema linear. 
  2121
22
11
yyxx
yx
yx



T
T
T
Aditividade 
  yx  T
Homogeneidade (Escalamento ou Mudança de Escala) 
Sistemase Classificação de Sistemas 
Sistemas Lineares e Não Lineares 
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Sistemas Invariantes e Variantes no tempo 
Um sistema é chamado invariante no tempo se um deslocamento de tempo 
(retardo ou adiantamento) no sinal de entrada causa o mesmo deslocamento 
de tempo no sinal de saída. 
    
    knyknx
tytx


T
T 
Tempo Contínuo 
Tempo Discreto 
“Se o sistema é linear e invariante no tempo ele é um LIT “ 
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Sistemas Invariantes e Variantes no tempo 
O sistema é invariante no tempo ? 
 
 Supondo uma saída x2(t) 
 
 
 
 
 A saída correspondente a essa entrada é 
 
Sendo : 
 
A equação de y1(t) deslocada no tempo é: 
Como y2(t) = y1(t – t0), podemos concluir que 
o sistema é Invariante no tempo!! 
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Invertibilidade de Sistemas 
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Exemplo: Invertibilidade de Sistemas 
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Sistemas Estáveis 
Um sistema é chamado de estável com entrada limitada/saída limitada (BIBO - 
Bounded Input Bounded Output) se, para qualquer entrada limitada x ≤ k1 a saída 
y correspondente é também limitada e definida por y ≤ k2 . Ou seja, para qualquer 
sinal de entrada limitado implica em um sinal de saída também limitado. A 
estabilidade em sistemas físicos é geralmente resultante da presença de 
mecanímos que dissipam energia. 
Sistemas e Classificação de Sistemas 
Exemplos Sistemas Estáveis