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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
para Concurso Público
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SÃO PAULO
EDITORA ATLAS S.A. _ 2007
Eduardo Penido
LIVRO DIGITAL
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
para Concurso Público
AFRFB – Auditor Fiscal da Receita Federal do Brasil
AFTE – Auditor Fiscal de Tributos Estaduais
AFTM – Auditor Fiscal de Tributos Municipais
TRF – Técnico da Receita Federal
Banco do Brasil
Caixa Econômica Federal
ACE – Analista de Comércio Exterior
AFCE – Analista de Finanças e Controle Externo
e outros concursos
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Penido, Eduardo
Matemática financeira para concurso público / Eduardo Penido. – – São Paulo: Atlas, 2007.
Bibliografia.
ISBN 978-85-224-4772-5
eISBN 978-85-224-6585-9
1. Matemática financeira 2. Matemática financeira – Concursos 3. Matemática 
financeira – Problemas, exercícios etc. I. Título.
07-2727 CDD-650.01513
Índice para catálogo sistemático:
1. Matemática financeira : Concursos 650.01513
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01203-904 São Paulo (SP)
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www.EditoraAtlas.com.br
© 2007 by Editora Atlas S.A.
Capa: Leandro Guerra
Composição: CriFer - Serviços em Texto
ABDR
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Sumário
Prefácio, xiii
Parte I – A Importância de Saber Calcular Juros, 1
1 Algumas Palavras sobre Concursos Públicos, 3
Informações úteis, 3
O concurso para AFRFB, 4
Uma dica essencial, 4
2 A Importância de Saber Calcular Juros (Dois Exemplos), 5
A importância de saber calcular juros, 5
1o Exemplo, 5
2o Exemplo, 6
3 Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira, 8
O conceito de juro, 8
Outros conceitos fundamentais, 9
Capital, 9
Montante, 9
Período, 9
O conceito de taxa de juros, 9
Taxa percentual, 10
Taxa unitária, 10
Parte II – Juros Simples, 11
4 O Cálculo do Montante em Juros Simples, 13
Demonstração gráfica dos juros simples, 13
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vi MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
O cálculo dos juros simples, 14
O cálculo do montante em juros simples, 14
Exercícios resolvidos, 15
Exercícios propostos, 17
5 Taxas em Juros Simples, 19
Taxas proporcionais, 19
Taxa nominal e taxa efetiva, 20
Taxa nominal, 20
Taxa efetiva, 20
Taxas equivalentes, 21
Aplicações das taxas proporcionais em juros simples, 22
Exercícios resolvidos, 22
Exercícios propostos, 24
6 Juros Comercial, Exato e Ordinário, 26
Ano civil e ano comercial, 26
A contagem de dias no ano civil, 26
A contagem de dias no ano comercial, 27
Juro comercial, 27
Juro exato, 28
Juro ordinário, 29
Exercícios resolvidos, 30
Exercícios propostos, 32
7 Prazo, Taxa e Capital Médios, 33
Prazo médio, 33
Taxa média, 34
Capital médio, 34
Capital médio a taxa constante, 34
Capital médio a prazo constante, 35
Exercícios resolvidos, 36
Exercícios propostos, 37
8 Descontos Simples: Racional, Comercial e Bancário, 38
Convenções em desconto, 38
Para que calcular descontos?, 39
Valor nominal, 39
Valor atual, 39
Desconto, 39
Desconto racional simples (por dentro), 39
Desconto comercial simples (por fora), 41
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Sumário vii
Taxa de juros efetiva no desconto comercial simples, 41
Desconto bancário, 43
Exercícios resolvidos, 43
Exercícios propostos, 48
9 Equivalência de Capitais em Juros Simples, 50
Data focal, 50
Equivalência de capitais em juros simples, 50
Exercício resolvido, 51
Exercício proposto, 52
10 Provas AFTN 1998, AFRF 2000, 2002 e 2003, e AFRFB 2005 – 
Questões de Juros Simples, 53
Parte III – Juros Compostos, 65
11 O Cálculo do Montante em Juros Compostos, 67
Uma diferença fundamental, 67
Demonstração gráfica dos juros compostos, 67
O cálculo do montante em juros compostos, 68
Taxa nominal e taxa efetiva, 70
Taxa nominal, 70
Taxa efetiva, 70
Capitalização contínua, 71
Exercícios resolvidos, 73
Exercícios propostos, 77
12 Taxas em Juros Compostos, 79
Taxas proporcionais, 79
Aplicações das taxas proporcionais em juros compostos, 79
Taxas equivalentes, 80
Uma diferença fundamental, 80
Quando o período da taxa equivalente é maior do que o da taxa conhecida, 80
Quando o período da taxa equivalente é menor do que o da taxa conhecida, 81
Taxa aparente, taxa de inflação e taxa real, 82
Taxa aparente, 83
Taxa de inflação, 83
Taxa real, 83
Cálculo da taxa em ambiente inflacionário, 83
Revisão geral dos tipos de taxas, 84
Em juros simples, 84
Em juros compostos, 85
Exercícios resolvidos, 87
Exercícios propostos, 92
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viii MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
13 Convenção Linear e Convenção Exponencial, 95
Períodos não inteiros, 95
Convenção linear, 95
Convenção exponencial, 97
Comparando as convenções linear e exponencial, 100
Exercícios resolvidos, 101
Exercícios propostos, 103
14 Descontos Compostos: Racional e Comercial, 104
Convenções em desconto, 104
Desconto racional composto (por dentro), 105
Desconto comercial composto (por fora), 106
Exercícios resolvidos, 107
Exercícios propostos, 109
15 Equivalência de Capitais em Juros Compostos, 110
Data focal, 110
Equivalência de capitais em juros compostos, 110
Propriedade fundamental da equivalência de capitais em juros compostos, 111
Exercícios resolvidos, 113
Exercícios propostos, 116
16 Anuidades ou Rendas Certas, 118
Conceitos em anuidades ou rendas certas, 118
Anuidades ou rendas certas, 118
Rendas certas postecipadas, 119
Rendas certas antecipadas, 119
Rendas certas diferidas, 119
Valor atual de uma série de rendas certas postecipadas, 120
Exemplo do valor atual de rendas certas postecipadas, 122
Valor futuro de uma série de rendas certas postecipadas, 123
Exemplo do valor futuro de rendas certas postecipadas, 126
Exercícios resolvidos, 127
Exercícios propostos, 132
17 Planos de Amortização de Empréstimos e Financiamentos, 135
Planos de amortização de empréstimos e financiamentos, 135
Sistema francês de amortização, 136
Exemplo sem carência, 137
Exemplo com carência e com pagamento de juros na carência, 139
Exemplo com carência e sem pagamento de juros na carência, 140
Tabela “Price”, 142
Exemplo sem carência, 143
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Sumário ix
Sistema de Amortização Constante (SAC), 144
Exemplo sem carência, 145
Exemplo com carência e com pagamento de juros na carência, 146
Exemplo com carência e sem pagamento de juros na carência, 148
Sistema de Amortização Misto (SAM), 150
Sistema Americano de Amortização, 151
Exemplo com pagamento de juros na carência, 151
Exemplo sem pagamento de juros na carência, 152
Exercícios resolvidos, 154
Exercícios propostos, 159
18 Avaliação de Alternativas de Investimento, 162
A importância de saber avaliar investimentos corretamente, 162
Entendendo o fluxo de caixa, 163
O método do Valor Presente Líquido (VPL), 164
Exemplo – VPL de investimento com retornos variáveis, 165
O método da Taxa Interna de Retorno (TIR), 167
Exemplo – TIR de investimento com retornos variáveis, 168
Custo efetivo de operações financeiras, 170
1o Exemplo – TIR de empréstimo pelo Sistema Francês com taxas, 170
2o Exemplo – TIR de empréstimo pelo SAC com taxas, 175
Exercícios resolvidos, 178
Exercícios propostos, 181
19 Provas AFTN 1998, AFRF 2000, 2002 e2003 e AFRFB 2005 – 
Questões de Juros Compostos, 183
Apêndice A – Progressões e Logaritmo, 213
Progressão aritmética, 214
Progressão geométrica, 215
Logaritmo, 216
Propriedades dos logaritmos, 216
Apêndice B – Tabelas Usadas nos Cálculos Financeiros, 219
Tabela I – Fator de acumulação de capital, 220
Tabela II – Fator de valor atual de uma série de pagamentos iguais, 221
Tabela III – Fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos iguais, 222
Tabela IV – Fator de atualização de capital, 223
Referências, 225
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Siglas, Abreviaturas e Convenções 
Matemáticas Utilizadas
a.d. – ao dia
a.m. – ao mês
a.b. – ao bimestre
a.t. – ao trimestre
a.q. – ao quadrimestre
a.s. – ao semestre
a.a. – ao ano
a.p. – ao período
⇒ – implica que
∴ – logo
⇔ – se e somente se
ACE-MICT – Analista de Comércio Exterior – MICT
AFCE-TCU – Analista de Finanças e Controle Externo – TCU
AFR-SP – Agente Fiscal de Rendas – Estado de São Paulo
AFRF – Auditor Fiscal da Receita Federal
AFRFB – Auditor Fiscal da Receita Federal do Brasil
AFTE-PI – Agente Fiscal de Tributos Estaduais – Piauí
AFTN – Auditor Fiscal do Tesouro Nacional
ATE-MS – Agente Tributário Estadual – Mato Grosso do Sul
ATM-Fortaleza – Auditor de Tributos Municipais – Fortaleza
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xii MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
Auditor-PI – Auditor – Secretaria da Fazenda do Estado do Piauí
CESPE – Centro de Seleção e de Promoção de Eventos da UnB
ESAF – Escola de Administração Fazendária
Escriturário-BB – Escriturário – Banco do Brasil S.A.
FCC – Fundação Carlos Chagas
FRE-AC – Fiscal da Receita Estadual – Acre
FTE-SC – Fiscal de Tributos Estaduais – Santa Catarina
Gerente-CEF – Gerente Júnior – Caixa Econômica Federal
IF-SP – Inspetor Fiscal – Município de São Paulo
UFSC – Universidade Federal de Santa Catarina
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Prefácio
Este livro destina-se, principalmente, àqueles que se preparam para concur-
sos públicos que exigem o conhecimento da matemática financeira.
Para tornar o estudo mais agradável, a teoria é apresentada de forma objeti-
va e o texto inclui fluxos e ilustrações em formato claro e didático, além de trazer 
as deduções de fórmulas essenciais ao aprendizado.
Mais ainda, procuro ir direto ao encontro do seu objetivo, que é o de entender e 
aprender a aplicar a matemática financeira para ter sucesso no concurso público 
almejado. Pensando nisto, incluí muitas dicas, além de exercícios dos principais 
concursos públicos do país, resolvidos e comentados.
Espero, assim, estar contribuindo para o aprendizado desta disciplina que 
é hoje, mais do que nunca, um conhecimento essencial para aprovação em vá-
rios concursos de alto nível, bem como para o sucesso pessoal e profissional de 
todos nós.
Bons estudos e boa prova!
Eduardo Penido
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Parte I
A Importância de Saber Calcular Juros
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4772_MFCP.indb 24772_MFCP.indb 2 12/7/2007 20:43:5412/7/2007 20:43:54
Algumas Palavras sobre 
Concursos Públicos
Estrutura do Capítulo
Informações Úteis
O Concurso para AFRFB
Uma Dica Essencial
Informações úteis
Caro leitor, gostaria de iniciar este livro dizendo-lhe que o seu sucesso no 
concurso público almejado depende principalmente de dois fatores:
• Primeiro fator: a sua determinação e postura positiva frente aos estudos.
• Segundo fator: a seleção de boas fontes de estudo, focadas no programa 
do concurso.
Portanto, veja que os dois principais fatores dependem unicamente de você. 
O primeiro fator é pessoal, e sei que você saberá encarar os estudos com determi-
nação e confiança. Quanto ao segundo fator, espero estar facilitando o seu suces-
so com este livro, pois ele está totalmente focado nos programas de matemática 
financeira dos principais concursos públicos.
Ou seja, você tem em suas mãos um texto que privilegia o aprendizado do 
que é essencial para conseguir aprovação no concurso almejado, e que se dirige 
aos candidatos com graduação em todas as áreas do conhecimento, mesmo na-
quelas em que a matemática não faz parte do currículo.
Características do livro:
• O texto possui várias ilustrações e fluxos de caixa com apresentação di-
dática e detalhada.
• A teoria e os exercícios incluem muitas dicas e comentários que vêm 
sempre precedidos do símbolo “+”.
• Várias questões dos principais concursos públicos são resolvidas e co-
mentadas.
1
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4 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
• Ao final de cada capítulo, a partir da Parte II, há uma lista de exercícios 
propostos.
• O apêndice A contém uma revisão sobre progressão aritmética, progres-
são geométrica e logaritmo, assuntos relacionados com o cálculo de ju-
ros e exigidos em alguns concursos.
• O apêndice B traz as principais tabelas utilizadas em matemática finan-
ceira, em formato semelhante ao que vem sendo utilizado nas provas 
dos últimos concursos.
O concurso para AFRFB
Este é, seguramente, um dos mais disputados concursos públicos do país, 
freqüentemente ultrapassando a marca de 100 candidatos por vaga.
Se este for o concurso para o qual você estuda, posso lhe dar algumas dicas 
úteis:
• O cargo se chamava, até 1998, AFTN; depois, até 2005, denominava-se 
AFRF. Com a “Super-Receita”, passou a ser AFRFB.
• O programa de matemática financeira dos últimos cinco concursos 
tem se mantido inalterado, ou seja, desde 1998, os tópicos exigidos 
são os mesmos.
• O programa dos últimos concursos está totalmente abrangido nos Ca-
pítulos 3 a 16.
• Os Capítulos 10 e 19 trazem, resolvidas e comentadas, todas as ques-
tões das provas dos últimos cinco concursos.
Outro fato interessante refere-se à periodicidade dos concursos para AFRFB. 
Nos últimos anos, eles ocorreram em: 1994, 1996, 1998, 2000, 2002, 2003 e 
2005. A partir destes dados, você pode constatar facilmente como tem sido a fre-
qüência dos concursos.
Uma dica essencial
Em matemática financeira, o leitor pode ter certeza de que pelo menos 
50% do acerto nas questões está no capricho e na colocação dos dados do pro-
blema de uma forma organizada.
Eu sugiro que você procure seguir os seguintes passos, que são os mesmos 
que utilizo neste livro e em meu dia-a-dia:
1o Passo: Coloque em destaque os dados fornecidos no enunciado do proble-
ma, e represente-os, sempre que necessário, em um fluxo de caixa.
2o Passo: Resolva o problema com organização e espaço adequado.
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A Importância de Saber 
Calcular Juros 
(Dois Exemplos)
Estrutura do Capítulo
A Importância de Saber Calcular Juros
1º Exemplo
2º Exemplo
A importância de saber calcular juros
Nos exemplos a seguir, não se preocupe em entender os cálculos, pois eles 
serão explicados mais adiante. Peço-lhe, apenas, que observe os resultados e veja 
como o conhecimento da matemática financeira pode ser útil para o nosso próprio 
dia-a-dia, além de contribuir para a aprovação no concurso que você almeja.
1o exemplo
Vou a uma loja e me interesso por um produto que custa, a vista, R$ 200,00. 
O vendedor, percebendo o meu interesse, mas, ao mesmo tempo, uma certa pre-
ocupação com o valor, oferece a seguinte condição opcional: com um acréscimo 
de apenas 5% sobre o preço a vista, posso pagar o produto em duas vezes, sendo 
uma entrada no ato da compra e a outra parcela após 1 mês. Qual a taxa de juros 
que está embutida na condição opcional oferecida pelo vendedor?Resolução:
• Acréscimo na 2a condição: 200,00 × 0,05 = R$ 10,00
• Cada pagamento (2a condição): (200,00 + 10,00) ÷ 2 = R$ 105,00
2
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6 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
Fluxos de caixa das duas condições:
0 prazo (meses) 
Valor a vista
= R$ 200,00
0 prazo (meses) 1
Entrada no ato
= R$ 105,00
2º Pagamento
= R$ 105,00
Comparação das duas condições:
prazo (meses)0 1
Valor economizado
no ato = R$ 95,00
Parcela adicional
paga = R$ 105,00
Calculando a incógnita:
• Na 2a condição de pagamento, deixo de pagar no ato da compra R$ 
95,00 (200,00 – 105,00).
• Por outro lado, pago mais uma parcela de R$ 105,00 um mês após a 
compra.
• O valor dos juros pagos em um mês, portanto, é igual a R$ 10,00 
(105,00 – 95,00).
• A taxa de juros da 2a condição (taxa efetiva) é calculada pela fórmula:
i = J
C × n
⇒ i = 10
95 × 1
⇒ i = 0,105 a.m. ∴ i = 10,5% a.m.
+ Observe que a taxa efetiva é igual a 10,5% ao mês, e não a 5%, que o 
vendedor usou para calcular as prestações.
2o exemplo
Vou fazer uma aplicação mensal de $ 100,00, a partir do próximo mês, para 
permitir, no futuro, que eu possa comprar minha casa. Supondo que a taxa men-
sal da aplicação é de 1%, quanto consigo acumular:
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A Importância de Saber Calcular Juros (Dois Exemplos) 7
a) Em 10 anos?
b) Em 20 anos?
c) Em 30 anos?
Resolução:
Neste 2o exercício não vamos demonstrar, por enquanto, o cálculo. Você 
aprenderá a fazê-lo na Parte III deste livro. Por enquanto, peço-lhe que observe 
o quadro a seguir, que traz as respostas na coluna da direita e, também, faz uma 
comparação entre os resultados obtidos na aplicação e o que se conseguiria com 
os mesmos depósitos caso não houvesse juros.
Prazo da 
aplicação
No de 
depósitos 
mensais
Valor do 
depósito
Poupança Acumulada
Sem juros Com juros de 1% a.m.
10 anos 120 $ 100,00 $ 12.000,00 $ 23.003,87
20 anos 240 $ 100,00 $ 24.000,00 $ 98.925,54
30 anos 360 $ 100,00 $ 36.000,00 $ 349.496,41
+ Percebeu a importância da matemática financeira? Este é apenas um dos cál-
culos que você aprenderá a fazer.
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Conceitos Fundamentais 
da Matemática Financeira
Estrutura do Capítulo
O Conceito de Juro
Outros Conceitos Fundamentais
Capital
Montante
Período
O Conceito de Taxa de Juros
Taxa Percentual
Taxa Unitária
O conceito de juro
O conceito fundamental da matemática financeira é o JURO, cujas defini-
ções são: rendimento do capital, ganho sobre o capital, remuneração do capital 
ou “aluguel” do capital.
Em outras palavras, se tenho determinado capital e vou permitir que uma 
pessoa o use por certo tempo, é justo que eu receba um “aluguel” dessa pessoa. 
É a este aluguel que damos o nome de JURO.
Portanto, JURO é a remuneração referente ao uso do CAPITAL por determi-
nado TEMPO.
Observe a representação gráfica a seguir:
0 1 2 3 n-1
n
M
CCapital
MontanteJuro J
N de Períodosº
3
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Conceitos Fundamentais da Matemática Financeira 9
Nesta figura, podemos constatar que o juro é representado pela letra J , e que 
ele significa a remuneração do capital após um determinado número de períodos.
Podemos observar, também, que existem outros conceitos essenciais para a 
matemática financeira. Vejamos.
Outros conceitos fundamentais
Capital
CAPITAL pode ser definido como a quantia inicial que se tem ou que se recebe.
Outras definições para o capital são: “principal”, “valor inicial”, “valor apli-
cado” ou “depósito inicial”.
Representamos o capital com a letra C , mas ele também pode ser identifi-
cado por P, de principal.
Montante
MONTANTE é o resultado que se tem da aplicação do capital, ou seja, é 
quanto se recebe ou se paga pelo “empréstimo” do capital.
O montante também pode ser chamado de “valor de resgate”, “capital + ju-
ros”, “valor final” ou “valor capitalizado”.
Representamos o montante pela letra M , mas ele também pode ser identifi-
cado pela letra S, do inglês sum (montante).
Período
PERÍODO é definido como sendo o espaço de tempo pelo qual o capital ficou 
aplicado. Este dado vem representado por um número de períodos que podem 
ser, por exemplo, dias, meses, trimestres ou anos.
Representamos o no de períodos pela letra n , mas ele também pode ser 
identificado pela letra t, de tempo.
O conceito de taxa de juros
Antes de começarmos a demonstrar o cálculo dos juros, a partir do próximo 
capítulo, precisamos de mais um conceito fundamental da matemática financei-
ra: TAXA DE JUROS.
TAXA DE JUROS é a relação entre o JURO e o CAPITAL, ou seja, é o fator que 
determina qual é a remuneração do capital em certo espaço de tempo. Então, a 
fórmula da taxa de juros, para um período, é a seguinte:
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10 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
i = J
C 
Adotamos a notação i , que vem do inglês interest (taxa), mas a taxa de ju-
ros também pode ser identificada pela letra j.
A seguir, veremos que a taxa de juros pode ser representada de duas formas 
e que é fácil passar de uma forma para outra.
Taxa percentual
TAXA PERCENTUAL é a taxa de juros que se refere a cem unidades de capital 
(percentual = por cem).
Esta é a maneira mais usual de se apresentarem as taxas de juros, e todos 
nós estamos habituados a ouvi-la:
• “A inflação do ano atingiu 6%” (seis por cento).
• “O rendimento das cadernetas de poupança no mês passado foi de 
0,8%” (zero vírgula oito por cento).
Taxa unitária
TAXA UNITÁRIA é a taxa que se refere a uma unidade de capital.
Esta é a forma que deve ser usada nas fórmulas para cálculo de juros, capital 
e montante apresentadas neste livro, bem como nos cálculos normalmente exis-
tentes na vida profissional.
Assim, ao nos depararmos com uma taxa na forma percentual, para inseri-
la nas fórmulas, devemos, antes, transformá-la em sua forma unitária, bastando 
dividi-la por cem:
EXEMPLOS DE TAXA DE JUROS
Forma PERCENTUAL Para transformar na forma unitária Forma UNITÁRIA
20% ao ano 20/100 0,2 ao ano
6% ao trimestre 6/100 0,06 ao trimestre
2% ao mês 2/100 0,02 ao mês
0,3% ao dia 0,3/100 0,003 ao dia
Inversamente, para transformar uma taxa unitária em sua forma percentual, 
deve-se multiplicá-la por cem.
Apesar de a TAXA PERCENTUAL ser mais usada em nossa comunicação coti-
diana, as fórmulas apresentadas neste livro (exceto aquelas referentes a médias 
e proporções) e os cálculos normalmente existentes na vida profissional usam a 
TAXA UNITÁRIA.
4772_MFCP.indb 104772_MFCP.indb 10 12/7/2007 20:43:5712/7/2007 20:43:57
Parte II
Juros Simples
4772_MFCP.indb 114772_MFCP.indb 11 12/7/2007 20:43:5712/7/2007 20:43:57
4772_MFCP.indb 124772_MFCP.indb 12 12/7/2007 20:43:5712/7/2007 20:43:57
O Cálculo do Montante 
em Juros Simples
Estrutura do Capítulo
Demonstração Gráfica dos Juros Simples
O Cálculo dos Juros Simples
O Cálculo do Montante em Juros Simples
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
Demonstração gráfica dos juros simples
No cálculo dos juros simples, os rendimentos ou ganhos J em cada perío-
do n são sempre os mesmos, pois os juros são sempre calculados sobre o capital 
inicial. Chama-se este regime de capitalização simples.
Graficamente, o regime de capitalização simples pode ser representado da 
seguinte forma:
0 2 31
C 1
M
2M
3M
1J
2J
3JReta
3J = 2J = 1J
n
DEMONSTRAÇÃO GRÁFICA DOS JUROS SIMPLES
4
4772_MFCP.indb 134772_MFCP.indb 13 12/7/2007 20:43:5712/7/2007 20:43:57
14 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
Por que o gráfico dos juros simples resulta em uma reta? Observe a dedução 
no próximo tópico.
O cálculo dos juros simples
Veja o exemplo a seguir, em que se demonstra o cálculo dos juros no regime 
de capitalização simples:Período Capital Inicial
Juros do Período
(i = 10%)
Juros 
Acumulados Montante
0 1.000,00 0,00 0,00 1.000,00
1 1.000,00 x 0,10 = 100,00 100,00 1.100,00
2 1.000,00 x 0,10 = 100,00 200,00 1.200,00
3 1.000,00 x 0,10 = 100,00 300,00 1.300,00
A dedução da fórmula dos juros de um período parte da própria definição de 
taxa de juros, dada no Capítulo 3:
Como i = J , então
C
J = C × i
Para achar os juros acumulados, basta multiplicar o capital e a taxa de juros 
pelo número de períodos: niCJ .
Esta é a fórmula básica para cálculo dos juros simples.
+ Em todos os cálculos, a taxa de juros i a ser utilizada nas fórmulas deve 
corresponder à mesma unidade de tempo n , ou seja, a taxa e o tempo de-
vem ser compatíveis entre si:
– para n em dias ⇒ i ao dia (a.d.);
– para n em meses ⇒ i ao mês (a.m.), e assim por diante.
+ Lembre-se de que, para cálculo de juros, capital e montante, a taxa de juros 
i deve ser utilizada em sua forma unitária.
O cálculo do montante em juros simples
Observe a representação abaixo, já vista no Capítulo 3:
4772_MFCP.indb 144772_MFCP.indb 14 12/7/2007 20:43:5812/7/2007 20:43:58
O Cálculo do Montante em Juros Simples 15
O CÁLCULO DO MONTANTE EM JUROS SIMPLES
0 1 2 3 n-1
n
M
CCapital
MontanteJuro J
N de Períodosº
Pela própria definição, o MONTANTE é: JCM
Mas, como demonstramos no tópico anterior: niCJ
Conseqüentemente, temos que: niCCM
Assim, colocando-se C em evidência, obtemos a fórmula para cálculo do 
montante em juros simples:
M = C × (1 + i × n)
+ Com a fórmula acima, pode-se resolver a maioria dos problemas de juros 
simples. Substitua corretamente os dados do problema, observando a com-
patibilidade das unidades, e depois ache a incógnita.
Exercícios resolvidos
1o) (Gerente-CEF/FCC–2001) Um certo capital, aplicado a juros simples du-
rante 15 meses, rendeu um determinado juro. Se aplicarmos o triplo desse 
capital à mesma taxa, em que prazo o juro obtido será igual ao dobro do ob-
tido na primeira aplicação?
A B C D E
5 meses
7 meses e 
meio
10 meses 12 meses 18 meses
Fórmula: niCJ
Rendimento da primeira aplicação: 151 iCJ
4772_MFCP.indb 154772_MFCP.indb 15 12/7/2007 20:43:5912/7/2007 20:43:59
16 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
Rendimento da segunda aplicação: 22 3 niCJ
Como J2 = 2 × J1 ⇒ 2 × J1 = 3 × C × i × n2 ⇒ J1 =
3 × C × i × n2
2
Igualando os dois J1 : C × i × 15 =
3 × C × i × n2
2
⇒
⇒ 2 × C × i × 15 = 3 × C × i × n2
Simplificando: 30 = 3 × n2 ⇒ n2 =
30
3
∴ n2 = 10 meses
Gabarito: C
2o) (FTE-SC/UFSC–1998) Dois capitais, em juros simples, estão entre si, as-
sim como 4 está para 6. Para que, em período de tempo igual, seja obtido 
o mesmo rendimento, a taxa de aplicação do menor capital deve superar 
a do maior em:
A B C D E
50% 60% 40% 20% 70%
Fórmula: niCJ
Rendimento do 1o capital: J1 = 4 × C × i1 × n ⇒ i1 =
J1
4 × C × n
Rendimento do 2o capital: J2 = 6 × C × i2 × n ⇒ i2 =
J2
6 × C × n
Dividindo o rendimento do 1o pelo 2o:
i1 =
J1
4 × C × n
i2 J2
6 × C × n
⇒
i1 = J1 × 6 × C × n
i2 4 × C × n J2
4772_MFCP.indb 164772_MFCP.indb 16 12/7/2007 20:44:0012/7/2007 20:44:00
O Cálculo do Montante em Juros Simples 17
Como 1J = 2J , o prazo n é o mesmo e C = C :
i1 = 1 × 6
i2 4 1
⇒
i1 = 6
i2 4
∴
i1 = 1,5 = 150%
i2
Se i1 equivale a 150% de i2, significa que i1 é 50% maior do que i2.
Gabarito: A
3o) (IF-SP–1998) Dois capitais foram investidos a juros simples em uma mesma 
data: um, no valor de R$ 6.250,00, foi aplicado à taxa de 2% a.m., e outro, 
no valor de R$ 6.000,00, à taxa de 2,5% a.m. Os montantes produzidos por 
esses capitais serão iguais ao completar-se um período de:
Cálculo do período:
1o capital ( i1 = 2% a.m. = 0,02 a.m. ): M1 = 6.250 × (1 + 0,02 × n)
2o capital ( i2 = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.): M2 = 6.000 × (1 + 0,025 × n)
Como M1 = M2 ⇒ 6.250 × (1 + 0,02 × n) = 6.000 × (1 + 0,025 × n)
⇒ 6.250 + 125 × n = 6.000 + 150 × n ⇒ 250 = 25 × n
∴ n = 
250
= 10 meses
25
Resposta: 10 meses
Exercícios propostos
1o) (Escriturário-BB/FCC–2006-3) Um televisor é vendido em uma loja onde o 
comprador pode escolher uma das seguintes opções:
I – R$ 5.000,00, a vista sem desconto
II – R$ 1.000,00 de entrada e um pagamento no valor de R$ 4.500,00 em 1 
(um) mês após a data da compra.
4772_MFCP.indb 174772_MFCP.indb 17 12/7/2007 20:44:0012/7/2007 20:44:00
18 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
A taxa de juros mensal cobrada pela loja no pagamento da segunda opção, 
que vence em 1 (um) mês após a data da compra, é de:
A B C D E
30% 25% 20% 15% 12,5%
Gabarito: E
2o) Qual é o valor de resgate de uma aplicação de $ 5.000,00 a uma taxa de ju-
ros simples de 0,1% a.d. por 40 dias?
Resposta: $ 5.200,00
3o) Calcule o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% a.m., resulta em juros 
de $ 180,00 após 6 meses.
Resposta: $ 2.000,00
4o Qual é o prazo de aplicação para uma quantia de $ 100.000,00, para obter-
mos $ 24.000,00 de juros a uma taxa de juros simples de 12% a.a.?
Resposta: 2 anos
5o) Qual é a taxa semestral a que devemos aplicar um capital para que, a juros 
simples, ele triplique em 2 semestres?
Resposta: 100%
4772_MFCP.indb 184772_MFCP.indb 18 12/7/2007 20:44:0112/7/2007 20:44:01
Taxas em Juros Simples
Estrutura do Capítulo
Taxas Proporcionais
Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Taxa Nominal
Taxa Efetiva
Taxas Equivalentes
Aplicações das Taxas Proporcionais em Juros Simples
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
Taxas proporcionais
TAXAS PROPORCIONAIS ( ip ) são definidas como sendo aquelas cujos quo-
cientes entre elas e seus respectivos períodos de capitalização n , colocados na 
mesma unidade de tempo, são iguais.
Veja a fórmula, que é simples: 
i1
=
i2
n1 n2
Vamos verificar se as seguintes taxas são proporcionais:
i1 = 10% a.m. i2 = 20% a.b. i3 = 30% a.t. i4 = 60% a.s. i5 = 120% a.a.
Se estas taxas forem proporcionais entre si, então:
i1
=
i2 =
i3 =
i4 =
i5
n1 n2 n3 n4 n5
Substituindo e lembrando que a unidade de tempo de n tem que ser a mes-
ma para todas as taxas:
5
4772_MFCP.indb 194772_MFCP.indb 19 12/7/2007 20:44:0212/7/2007 20:44:02
20 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
10%
=
20%
=
30%
=
60%
=
120%
= 10% a.m.
1 mês 2 meses 3 meses 6 meses 12 meses
Confirmamos, portanto, a proporcionalidade entre estas taxas.
Taxa nominal e taxa efetiva
Taxa nominal
TAXA NOMINAL (in) é uma taxa de juros cuja unidade de tempo não coinci-
de com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Em outras palavras, 
sempre que em uma operação financeira ou em um negócio a taxa contratada 
possuir uma unidade de tempo diferente da unidade de tempo dos períodos de 
capitalização, estaremos diante de uma TAXA NOMINAL.
Esta é uma convenção utilizada habitualmente no mercado financeiro, e 
seus dois exemplos mais notórios são a taxa de juros da caderneta de poupança 
e a taxa over (aplicações de um dia).
Sempre que nos depararmos com uma taxa nominal, devemos, antes, calcu-
lar a TAXA EFETIVA (ief ) da operação, que é obtida a partir da TAXA NOMINAL 
pelo método da proporcionalidade, visto no tópico anterior.
Taxa efetiva
A TAXA EFETIVA (ief ) é a taxa que realmente é utilizada nos cálculos, pois 
a sua unidade de tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capi-
talização.
Veja o seguinte exemplo: a taxa de juros da caderneta de poupança é de 6% 
a.a., capitalizados mensalmente. Ou seja, a taxa contratada é de 6 % ao ano, mas 
com os juros pagos a cada mês.
Se in = 6% a.a., com capitalização mensal, e a taxa efetiva é a proporcional 
mensal correspondente à taxa nominal, então:
6% a.a.
= ief
12 meses 1 mês
⇒ ief × 12 = 6 × 1 ⇒ ief =
6
12
∴ ief = 0,5% a.m.
Portanto, a fórmula para obtenção da taxa efetiva correspondente a uma 
taxa nominal é a seguinte (lembre-se de que a unidade de tempo de n tem que 
ser a mesma):
in
=
ief
nn nef
4772_MFCP.indb 204772_MFCP.indb 20 12/7/2007 20:44:0212/7/2007 20:44:02
Taxasem Juros Simples 21
+ Em todos os problemas de matemática financeira, você sempre deverá utili-
zar nos cálculos a taxa efetiva (nunca utilize a taxa nominal nas fórmulas).
Taxas equivalentes
Duas taxas são EQUIVALENTES (ieq) quando, aplicadas sobre o mesmo capi-
tal e pelo mesmo prazo, resultam no mesmo montante. Em outras palavras, para 
um mesmo prazo, o rendimento do capital inicial é igual qualquer que seja a taxa 
equivalente utilizada.
Veja a seguinte representação gráfica:
0 1 2 3 n-1 n
C
M
eqi
i i i ii
TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS SIMPLES
Pela definição de taxas equivalentes, temos que o montante resultará o mes-
mo independentemente da taxa utilizada, desde que o prazo de aplicação seja o 
mesmo. Então, vamos aplicar a fórmula para cálculo do montante em juros sim-
ples às duas taxas:
Para a taxa i : M = C × (1 + i × n)
Para a taxa ieq : M = C × (1 + ieq × 1)
Como os montantes, pela definição, são iguais:
C × (1 + i × n) = C × (1 + ieq × 1) ⇒ 1 + i × n = 1 + ieq × 1 ⇒
i × n = ieq × 1 ∴
i 
=
ieq
1 n
4772_MFCP.indb 214772_MFCP.indb 21 12/7/2007 20:44:0312/7/2007 20:44:03
22 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
Constatamos, portanto, que no regime de juros simples as taxas equivalentes 
são também proporcionais entre si.
Aplicações das taxas proporcionais em juros simples
Neste capítulo, vimos que a TAXA EFETIVA é obtida a partir da TAXA NOMI-
NAL pelo método da proporcionalidade. Constatamos, também, que as TAXAS 
EQUIVALENTES são proporcionais entre si.
Portanto, a proporcionalidade é a regra geral em juros simples: todas as ta-
xas são proporcionais entre si em relação aos seus períodos de capitalização.
+ A aplicação da propriedade da proporcionalidade das taxas no regime de ju-
ros simples facilita em muito a resolução dos problemas, pois você poderá 
obter a taxa exigida sempre através da regra de três simples.
Exercícios resolvidos
1o) (IF-SP–1998) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples e, ao 
final de 2 bimestres, produziu o montante de R$ 16.320,00. A taxa mensal 
dessa aplicação foi de:
Cálculo da taxa mensal:
n = 2 bimestres = 4 meses
M = C × (1 + i × n) ⇒ 16.320 = 15.000 × (1 + i × 4) ⇒
16.320 = 15.000 + 60.000 × i ⇒ i = 1.320
60.000
∴
∴ i = 0,022 a.m. = 2,2% a.m.
Resposta: 2,2% a.m.
2o) (IF-SP–1998) Em uma loja, um aparelho de som é vendido por R$ 1.800,00 
a vista. Nico comprou esse aparelho a prazo por R$ 2.250,00, dando R$ 
300,00 de entrada e o restante ao completar 3 meses. A taxa anual de juros 
simples cobrada nessa transação foi de:
4772_MFCP.indb 224772_MFCP.indb 22 12/7/2007 20:44:0312/7/2007 20:44:03
Taxas em Juros Simples 23
Fluxos de caixa das duas condições:
0 trimestres
Valor a vista
= R$ 1.800,00
0 trimestres1
Entrada no ato
= R$ 300,00
2º Pagamento
= R$ 1.950,00
Comparação das duas condições:
trimestres0 1
Valor economizado
no ato = R$ 1.500,00
Parcela adicional
paga = R$ 1.950,00
Cálculo da taxa de juros simples trimestral:
M = C × (1 + i × n) ⇒ 1.950 = 1.500 × (1 + i × 1) ⇒
1.950 = 1.500 + 1.500 × i ⇒ 450 = 1.500 × i ⇒ i = 450
1.500
∴
∴ i = 0,3 a.t. = 30% a.t.
Cálculo da taxa de juros simples anual (equivalente):
i1 = i2
n1 n2
⇒
30% a.t.
= i2 (% a.a.)
1 trim 4 trim
⇒ i2 =
4 × 30
1
∴ i2 = 120% a.a.
Resposta: 120% a.a.
3o) (IF-SP–1998) Um capital de R$ 10.000,00, aplicado à taxa de juros simples 
de 9% ao semestre, ao final de 1 ano e 9 meses produzirá o montante de:
Cálculo da taxa equivalente mensal à taxa semestral:
4772_MFCP.indb 234772_MFCP.indb 23 12/7/2007 20:44:0412/7/2007 20:44:04
24 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
i1 = i2
n1 n2
⇒
9% a.s.
= i2 (% a.m.)
6 meses 1 mês
⇒ i2 =
9 × 1
6
∴
∴ i2 = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.
Cálculo do montante:
n = 1 ano e 9 meses = 21 meses
M = C × (1 + i × n) ⇒ M = 10.000 × (1 + 0,015 × 21) ⇒
⇒ M = 10.000 × 1,315 ∴ M = R$ 13.150,00
Resposta: R$ 13.150,00
Exercícios propostos
1o) Calcule a taxa quadrimestral proporcional às seguintes taxas:
a) 21% a.a.
Resposta: i = 7% a.q.
b) 10% a cada cinco meses.
Resposta: i = 8% a.q.
c) 39% ao biênio.
Resposta: i = 6,5% a.q.
d) 6% a.t.
Resposta: i = 8% a.q.
2o) Considere um capital de $ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativamen-
te à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a., juros simples. Supondo um prazo de 
aplicação de 4 anos, verifique se as taxas são equivalentes.
Resposta: sim
4772_MFCP.indb 244772_MFCP.indb 24 12/7/2007 20:44:0412/7/2007 20:44:04
Taxas em Juros Simples 25
3o) Calcule a taxa mensal de juros simples equivalente à taxa de 12% ao semes-
tre e, depois, calcule os montantes resultantes da aplicação destas duas ta-
xas a um capital de $ 1.000,00, pelo prazo de 5 anos e 6 meses.
Respostas: i = 2% a.m. / M = $ 2.320,00
4o) Se um capital de $ 3.000,00 rendeu $ 900,00 de juros em 2 anos, qual é a 
taxa de juros equivalente trimestral?
Resposta: i = 3,75% a.t.
4772_MFCP.indb 254772_MFCP.indb 25 12/7/2007 20:44:0512/7/2007 20:44:05
Juros Comercial, Exato 
e Ordinário
Estrutura do Capítulo
Ano Civil e Ano Comercial
A Contagem de Dias no Ano Civil
A Contagem de Dias no Ano Comercial
Juro Comercial
Juro Exato
Juro Ordinário
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
Ano civil e ano comercial
É muito comum, nas aplicações financeiras e em muitos negócios comer-
ciais, que as taxas sejam expressas em termos anuais e os prazos sejam fixados 
em dias. Como para o curto prazo o regime de capitalização comumente adota-
do é o de juros simples, faz-se necessário calcular a taxa proporcional referente 
a 1 (um) dia.
Assim, existem duas convenções para a contagem de dias:
– ANO CIVIL: 365 ou 366 (anos bissextos) dias; e
– ANO COMERCIAL: 360 dias.
+ Quando, nos exercícios, não se mencionar o tipo de ano (civil ou comercial), 
considera-se sempre o ano comercial.
A contagem de dias no ano civil
A contagem de dias no ano civil retrata exatamente o calendário, isto é, os 
meses têm os dias exatos do calendário e, conseqüentemente, o ano terá 365 
dias (ou 366 dias, no caso de ano bissexto).
6
4772_MFCP.indb 264772_MFCP.indb 26 12/7/2007 20:44:0512/7/2007 20:44:05
Juros Comercial, Exato e Ordinário 27
Veja o seguinte exemplo: Qual o prazo decorrido de 12 de fevereiro a 6 de 
agosto de 2006, segundo o ano civil?
MESES DIAS DECORRIDOS OBSERVAÇÃO
Fevereiro 16 28 – 12 = 16
Março 31
Abril 30
Maio 31
Junho 30
Julho 31
Agosto 6
TOTAL 175 Prazo decorrido – ano civil
A contagem de dias no ano comercial
O ano comercial considera todos os meses com 30 dias (mês comercial) e, 
dessa forma, o ano tem 360 dias (12 × 30). A contagem de dias no ano comer-
cial é feita em duas etapas:
1a etapa: Multiplica-se o número de meses de data a data por 30.
2a etapa: Acerta-se para mais ou para menos o prazo encontrado, conforme 
a data final for maior ou menor do que a data inicial.
Observe o seguinte exemplo: Qual o prazo decorrido de 12 de fevereiro a 6 
de agosto de 2006, segundo o ano comercial?
1a etapa: De 12 de fevereiro a 12 de agosto = 6 meses × 30 dias = 
180 dias.
2a etapa: De 12 para 6 de agosto: menos 6 dias; logo: 180 – 6 = 
174 dias (prazo decorrido – ano comercial).
Juro comercial
O juro comercial é calculado da seguinte forma:
• O prazo decorrido leva em conta o ano comercial (360 dias).
• A taxa efetiva diária é calculada dividindo-se a taxa anual por 360.
4772_MFCP.indb 274772_MFCP.indb 27 12/7/2007 20:44:0512/7/2007 20:44:05
28 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
Observe a fórmula básica dos juros simples adaptada:
360
niC
J
××
=
a taxa i é colocada em termos
anuais (a.a.) e na forma unitária
JURO
COMERCIAL
o prazo n deve ser colocado em dias, 
seguindo o ano comercial (360 dias)
o divisor 360 transforma a taxa de 
anual (nominal) para diária (efetiva) 
+ Para se lembrar: o juro comercial, da mesma forma que as transações comer-
ciais, é mais prático e rápido – os meses têm todos 30 dias, o ano tem 360 
dias (anocomercial) e o divisor é igual a 360.
(Exemplo) Qual é o rendimento de um capital de $ 1.000,00, aplicado a uma 
taxa de juro comercial de 36% a.a., de 23 de março a 7 de maio?
Cálculo do prazo – 1a etapa: de 23 de março a 23 de maio: 
2 meses × 30 dias = 60 dias.
Cálculo do prazo – 2a etapa: de 23 a 7 de maio: menos 16 dias; 
logo: 60 – 16 = 44 dias (prazo decorrido).
Cálculo da taxa na forma unitária: i =
36% a.a.
100
∴ i = 0,36 a.a.
Cálculo do rendimento: J =
1.000 × 0,36 × 44
360
∴ J = $ 44,00
Juro exato
O juro exato é calculado da seguinte forma:
• O prazo decorrido leva em conta o ano civil (365 ou 366 dias).
• A taxa efetiva diária é calculada dividindo-se a taxa anual por 365 (ou 
366, se ano bissexto).
Observe a fórmula básica dos juros simples adaptada:
4772_MFCP.indb 284772_MFCP.indb 28 12/7/2007 20:44:0512/7/2007 20:44:05
Juros Comercial, Exato e Ordinário 29
365
niC
J
a taxa i é colocada em termos
anuais (a.a.) e na forma unitária
JURO
EXATO
o prazo n deve ser colocado em dias, 
seguindo o ano civil (365 ou 366 dias)
o divisor 365 ou 366 transforma a taxa
de anual (nominal) para diária (efetiva) 
+ Para se lembrar: o juro exato, conforme o próprio nome diz, faz todos os cál-
culos exatamente, ou seja, utiliza o ano civil (dias exatos do calendário) e o 
divisor da fórmula equivale ao número exato de dias do ano.
(Exemplo) Qual é o rendimento de um capital de $ 1.000,00, aplicado a uma 
taxa de juro exato de 36% a.a., de 23 de março a 7 de maio?
Cálculo do prazo:
MESES DIAS DECORRIDOS OBSERVAÇÃO
Março 8 31 – 23 = 8
Abril 30
Maio 7
TOTAL 45 prazo decorrido (ano civil)
Cálculo da taxa na forma unitária: i =
36% a.a.
100
∴ i = 0,36 a.a.
Cálculo do rendimento: J =
1.000 × 0,36 × 45
365
∴ J = $ 44,38
Juro ordinário
O juro ordinário é uma mescla dos dois tipos anteriores, sendo calculado da 
seguinte forma:
• O prazo decorrido leva em conta o ano civil (365 ou 366 dias), como 
no juro exato.
• a taxa efetiva diária é calculada dividindo-se a taxa anual por 360, como 
no juro comercial.
4772_MFCP.indb 294772_MFCP.indb 29 12/7/2007 20:44:0612/7/2007 20:44:06
30 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
Observe a fórmula básica dos juros simples adaptada:
360
niC
J
a taxa i é colocada em termos
anuais (a.a.) e na forma unitária
JURO
ORDINÁRIO
o prazo n deve ser colocado em dias, 
seguindo o ano civil (365 ou 366 dias)
o divisor 360 transforma a taxa de 
anual (nominal) para diária (efetiva) 
+ Para se lembrar: o juro ordinário é o que resulta no maior valor em compa-
ração com os outros dois tipos já vistos, pois o prazo n , que é multiplicador, 
é o do ano civil (maior do que o comercial), e o divisor 360 é o comercial 
(menor do que o exato).
(Exemplo) Qual é o rendimento de um capital de $ 1.000,00, aplicado a uma 
taxa de juro ordinário de 36% a.a., de 23 de março a 7 de maio?
Cálculo do prazo:
MESES DIAS DECORRIDOS OBSERVAÇÃO
Março 8 31 – 23 = 8
Abril 30
Maio 7
TOTAL 45 prazo decorrido (ano civil)
Cálculo da taxa na forma unitária: i =
36% a.a.
100
∴ i = 0,36 a.a.
Cálculo do rendimento: J =
1.000 × 0,36 × 45
360
∴ J = $ 45,00
Exercícios resolvidos
1o) (ATM-Fortaleza/ESAF–1998) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 
de fevereiro ao dia 24 de abril do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nes-
sas condições, calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcenta-
gem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda.
4772_MFCP.indb 304772_MFCP.indb 30 12/7/2007 20:44:0612/7/2007 20:44:06
Juros Comercial, Exato e Ordinário 31
A B C D E
4,70% 4,75% 4,80% 4,88% 4,93%
Cálculo do prazo:
MESES DIAS DECORRIDOS OBSERVAÇÃO
Fevereiro 18 28 – 10 = 18
Março 31
Abril 24
TOTAL 73 prazo decorrido (ano civil)
Taxa de juros na forma unitária: i = 24% a.a. = 0,24 a.a.
Cálculo do juro simples exato como porcentagem do capital inicial:
J = C × 0,24 × 73
365
⇒ J = C × 0,048 ∴
J
=0,048 = 4,80%
C
Gabarito: C
2o) Um capital de $ 2.500,00 foi aplicado à taxa de 36% a.a. em 12 de março de 
2005, e o resgate foi efetuado em 2 de junho de 2005. Qual foi o juro sim-
ples comercial recebido pelo aplicador?
Cálculo do prazo – 1a etapa: de 12 de março a 12 de junho: 
3 meses × 30 dias = 90 dias.
Cálculo do prazo – 2a etapa: de 12 de junho a 2 de junho: menos 10 dias; 
logo: 90 – 10 = 80 dias.
Cálculo da taxa na forma unitária: i =
36% a.a.
100
∴ i = 0,36 a.a.
Cálculo do rendimento: J =
2.500 × 0,36 × 80
360
∴ J = $ 200,00
Resposta: $ 200,00
4772_MFCP.indb 314772_MFCP.indb 31 12/7/2007 20:44:0712/7/2007 20:44:07
32 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
Exercícios propostos
1o) O preço a vista de um imóvel é $ 100.000,00. O comprador propõe pagar 
20% de entrada no ato e o restante em uma única parcela de $ 100.160,00, 
após 90 dias. Admitindo-se o regime de juros simples comerciais, a taxa de 
juros anual paga pelo comprador é:
Resposta: 100,8%
2o) Um capital de $ 1.000,00 rendeu $ 125,00 de juro a uma taxa de juros de 
30% a.a. Quais serão as datas de vencimento, para uma aplicação feita dia 
20 de março, se considerarmos o juro comercial e o juro exato?
Respostas:
juro comercial: 17 de agosto
juro exato: 19 de agosto
4772_MFCP.indb 324772_MFCP.indb 32 12/7/2007 20:44:0712/7/2007 20:44:07
Prazo, Taxa e Capital Médios
Estrutura do Capítulo
Prazo Médio
Taxa Média
Capital Médio
Capital Médio a Taxa Constante
Capital Médio a Prazo Constante
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
Prazo médio
Considerando C1, C2 e C3 capitais aplicados durante os prazos n1, n2 e n3, 
respectivamente, à mesma taxa de juros i , denomina-se prazo médio nm a mé-
dia ponderada dos capitais e dos prazos dados:
nm =
C1 × n1 + C2 × n2 + C3 × n3
C1 + C2 + C3
+ Para que calcular o prazo médio? O juro produzido pela soma dos capitais 
321 CCC ++ aplicados pelo prazo médio nm é o mesmo que a soma dos 
juros de cada capital aplicado pelo seu respectivo prazo (considerando-se a 
mesma taxa de juros).
Se os capitais forem iguais, a fórmula acima resulta na média aritmética dos 
prazos dados:
nm =
n1 + n2 + n3
3
7
4772_MFCP.indb 334772_MFCP.indb 33 12/7/2007 20:44:0712/7/2007 20:44:07
34 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
Taxa média
Considerando C1, C2 e C3 capitais aplicados pelas taxas i1, i2 e i3, respecti-
vamente, pelo mesmo prazo n , denomina-se taxa média im a média ponderada 
dos capitais e das taxas dadas:
im =
C1 × i1 + C2 × i2 + C3 × i3
C1 + C2 + C3
+ Para que calcular a taxa média? O juro produzido pela soma dos capitais 
321 CCC ++ aplicados pela taxa média im é o mesmo que a soma dos 
juros de cada capital aplicado pela sua respectiva taxa (considerando-se o 
mesmo prazo de aplicação).
Se os capitais forem iguais, a fórmula acima resulta na média aritmética das 
taxas dadas:
im =
i1 + i2 + i3
3
+ Como as fórmulas deste tópico calculam médias, as taxas podem estar em 
qualquer de suas duas formas: unitária ou percentual. Se as taxas forem co-
locadas na forma unitária, o resultado, naturalmente, estará na forma unitá-
ria, o mesmo ocorrendo com a forma percentual.
Capital médio
Considerando C1, C2 e C3 capitais aplicados durante os prazos n1, n2 e n3, e 
às taxas i1 , i2 e i3, respectivamente, denomina-se capital médio Cm a média pon-
derada dos capitais, dos prazos e das taxas dadas:
Cm =
C1 × i1 × n1 + C2 × i2 × n2 + C3 × i3 × n3
i1 × n1 + i2 × n2 + i3 × n3
Capital médio a taxa constante
Considerando C1, C2 e C3 capitais aplicados durante os prazos n1, n2 e n3 
respectivamente, à mesma taxa de juros i , denomina-se capital médio Cm a mé-
dia ponderada dos capitais e dos prazos dados:
4772_MFCP.indb 344772_MFCP.indb 34 12/7/2007 20:44:0812/7/2007 20:44:08
Prazo, Taxa e Capital Médios 35
Cm =
C1 × n1 + C2 × n2 + C3 × n3
n1 + n2 + n3
+ Para que calcular o capital médio a taxa constante? O juro produzido pela 
soma dos prazos 321 nnn ++aplicados sobre o capital médio Cm é o mesmo 
que a soma dos juros de cada capital aplicado pelo seu respectivo prazo.
Se os prazos também forem iguais, a fórmula acima resulta na média arit-
mética dos capitais dados:
Cm =
C1 + C2 + C3
3
Capital médio a prazo constante
Considerando C1, C2 e C3 capitais aplicados pelas taxas i1, i2 e i3, respecti-
vamente, pelo mesmo prazo n , denomina-se capital médio Cm a média pondera-
da dos capitais e das taxas dadas:
Cm =
C1 × i1 + C2 × i2 + C3 × i3
i1 + i2 + i3
+ Para que calcular o capital médio a prazo constante? O juro produzido pela 
soma das taxas 321 iii ++ aplicadas sobre o capital médio Cm é o mesmo 
que a soma dos juros de cada capital aplicado pela sua respectiva taxa.
Se as taxas também forem iguais, a fórmula acima resulta na média aritmé-
tica dos capitais dados:
Cm =
C1 + C2 + C3
3
+ Para se lembrar de todas as fórmulas de médias ponderadas:
• O dado que é constante não entra na fórmula.
• No numerador, faça o produto dos dados variáveis do mesmo grupo e, de-
pois, faça a soma de cada grupo.
• No denominador, faça o mesmo que no numerador, excluindo o dado va-
riável cuja média é buscada (no cálculo do prazo médio, exclua os prazos 
de cada grupo; no cálculo da taxa média, exclua as taxas de cada grupo, 
e assim por diante).
4772_MFCP.indb 354772_MFCP.indb 35 12/7/2007 20:44:1112/7/2007 20:44:11
36 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
Exercícios resolvidos
1o) (ATE-MS/ESAF–2001) Três capitais são aplicados a juros simples pelo mes-
mo prazo. O capital de R$ 3.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao mês, o capital 
de R$ 2.000,00 é aplicado a 4% ao mês e o capital de R$ 5.000,00 é aplicado 
a 2% ao mês. Obtenha a taxa média mensal de aplicação desses capitais.
A B C D E
3% 2,7% 2,5% 2,4% 2%
Cálculo da taxa média mensal:
im =
C1 × i1 + C2 × i2 + C3 × i3
C1 + C2 + C3
⇒
⇒ im =
3.000 × 3 + 2.000 × 4 + 5.000 × 2
3.000 + 2.000 + 5.000
⇒
⇒ im =
9.000 + 8.000 + 10.000
10.000
⇒ im =
27.000
10.000
∴ im = 2,7% a.a.
Gabarito: B
2o) (ATM-Fortaleza/ESAF–1998) Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e 
R$ 6.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos 
de 8, 5 e 9 meses, respectivamente. Obtenha o tempo necessário para que a 
soma desses capitais produza juros, à mesma taxa, iguais à soma dos juros 
dos capitais individuais aplicados nos seus respectivos prazos.
A B C D E
6 meses
6 meses e 
meio
7 meses
7 meses e 
dez dias
7 meses e 18 
dias
Cálculo do prazo médio:
4772_MFCP.indb 364772_MFCP.indb 36 12/7/2007 20:44:1212/7/2007 20:44:12
Prazo, Taxa e Capital Médios 37
nm =
C1 × n1 + C2 × n2 + C3 × n3
C1 + C2 + C3
⇒
⇒ nm =
8.000 × 8 + 10.000 × 5 + 6.000 × 9
8.000 + 10.000 + 6.000
⇒
⇒ nm =
64.000 + 50.000 + 54.000
24.000
⇒ nm =
168.000
24.000
∴ nm = 7 meses
Gabarito: C
Exercícios propostos
1o) Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são 
aplicados pelo regime de juros simples à taxa de 3% ao mês, durante dois, 
três, quatro e seis meses, respectivamente. Qual é o prazo médio de aplica-
ção destes capitais?
Resposta: quatro meses
2o) Considere três capitais aplicados nas seguintes condições: a metade a 10% 
a.a., a terça parte a 12% a.a. e o restante a 9% a.a. A que taxa única poderia 
empregar todo o capital a fim de obter o mesmo rendimento anual?
Resposta: 10,5% a.a.
4772_MFCP.indb 374772_MFCP.indb 37 12/7/2007 20:44:1212/7/2007 20:44:12
Descontos Simples: 
Racional, Comercial e Bancário
Estrutura do Capítulo
Convenções em Desconto
Para que Calcular Descontos?
Valor Nominal
Valor Atual
Desconto
Desconto Racional Simples (por dentro)
Desconto Comercial Simples (por fora)
Taxa de Juros Efetiva no Desconto Comercial Simples
Desconto Bancário
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
Convenções em desconto
Observe a seguinte representação gráfica, que contém as convenções adota-
das em desconto:
V
N
0 n-11 2
Valor
nominal
Valor atual
ou Valor
descontado
nº de períodos para
cálculo ( ) VN nn −
3
DDesconto
Vencimento
do título( ) Nn
n
data anterior ao
vencimento ( )Vn
CONVENÇÕES EM DESCONTO
8
4772_MFCP.indb 384772_MFCP.indb 38 12/7/2007 20:44:1212/7/2007 20:44:12
Descontos Simples: Racional, Comercial e Bancário 39
+ Compare esta representação com a ilustração constante de “O CÁLCULO DO 
MONTANTE EM JUROS SIMPLES”, Capítulo 4.
Para que calcular descontos?
É comum, no mercado financeiro, a realização de negócios com base em um 
valor futuro determinado, como é o caso de notas promissórias, cheques pré-da-
tados, letras de câmbio e outros títulos.
Se o aplicador necessitar de dinheiro antes de vencer o prazo da aplicação 
ou do título, deve-se antecipar o prazo: é a estas operações que chamamos de 
desconto.
Mas, antes, precisamos de alguns conceitos:
Valor nominal
VALOR NOMINAL N é o valor “de face” de um título ou compromisso com 
vencimento para uma data futura (valor futuro determinado).
+ Veja que o VALOR NOMINAL é análogo ao MONTANTE M .
Valor atual
VALOR ATUAL V é o valor que um título ou compromisso tem em uma data 
que antecede ao seu vencimento, ou seja, é o valor nominal descontado.
+ Veja que o VALOR ATUAL é análogo ao CAPITAL C .
Desconto
DESCONTO D é o valor que se deduz do título ou compromisso pela ante-
cipação do seu vencimento. Em outras palavras, é a diferença entre o valor no-
minal N e o valor atual (descontado) V de um título que seja saldado antes de 
seu vencimento: VND − .
+ Veja que o DESCONTO é análogo ao JURO J .
+ Lembre-se de que o número de períodos para cálculo do desconto deve ser 
igual à data de vencimento do título menos a data para a qual se quer ante-
cipar o valor: V(n − n )N .
Desconto racional simples (por dentro)
O DESCONTO RACIONAL SIMPLES DRS, também conhecido como DESCON-
TO SIMPLES “POR DENTRO”, é obtido aplicando-se a taxa de desconto ao valor 
4772_MFCP.indb 394772_MFCP.indb 39 12/7/2007 20:44:1312/7/2007 20:44:13
40 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
descontado do título. Desta forma, usamos a mesma fórmula para cálculo do mon-
tante em juros simples, que é apenas adaptada para as convenções de desconto:
Fórmula do VALOR NOM IN AL no
DESCONTO RAC ION AL SIMPLES
Fórmula do MONTANTE no JURO SIMPLES ( )niCM ×+×= 1
( )niVN ×+×= 1
Mas, nos cálculos de desconto, normalmente partimos do valor nominal do 
título, que é conhecido, para se chegar ao valor atual (descontado).
Desta forma, como: N = V × (1 + i × n) ⇒ V =
N
1 + i × n
Se o problema pedir o valor do desconto DRS, é só aplicar a definição 
VND − (válida para todos os descontos).
Substituindo o valor de V na definição de desconto, obtém-se o desconto 
racional simples em função de N :
Como D = N – V ⇒ DRS = N –
N
1 + i × n
∴ DRS =
N × i × n
1 + i × n
O desconto racional simples é análogo ao juro simples e, conseqüentemente, 
podemos adaptar a fórmula básica do juro simples (Capítulo 4) para relacionar 
o valor atual e o desconto:
Fórmula do DESCONTO RACIONAL 
SIMPLES em função do VALOR ATUAL
Fórmula básica do JURO SIMPLES niCJ
niVDRS
4772_MFCP.indb 404772_MFCP.indb 40 12/7/2007 20:44:1412/7/2007 20:44:14
Descontos Simples: Racional, Comercial e Bancário 41
+ Não é necessário saber todas as fórmulas acima, mas apenas a fórmula do 
valor nominal niVN 1 e a fórmula do desconto em função do valor 
atual niVDRS . Com estas duas fórmulas, pode-se resolver qualquer pro-
blema envolvendo o desconto racional simples.
+ A taxa de juros no desconto racional simples é a taxa efetiva ief da operação, 
pois é aplicada sobre o valor atual para se chegar ao valor nominal.
Desconto comercial simples (por fora)
O DESCONTO COMERCIAL SIMPLES DCS, também conhecido como DES-
CONTO SIMPLES “POR FORA”, é obtido multiplicando-se o valor nominal pela 
taxa de desconto e pelo prazo entre o vencimento do título e a data de antecipa-
ção, dentro do regime de juros simples.
Logo, a fórmula é, por definição:DRS = N × i × n
A partir da definição VND − (válida para todos os descontos), obtemos o 
valor atual ou descontado: DNV − CS.
Como V = N – DCS ⇒ V = N – N × i × n ∴ V = N × (1 – i × n)
+ A taxa de juros no desconto comercial simples não é a taxa efetiva da ope-
ração, pois é aplicada sobre o valor nominal.
+ Para se lembrar da relação entre os termos por dentro e por fora e os descon-
tos racional e comercial, respectivamente:
• O desconto comercial usa o valor nominal como base de cálculo, ou seja, o 
valor que está “por fora” do título, também chamado de valor “de face”.
• O desconto racional usa o valor atual como base de cálculo, valor este 
que não está explícito no documento, mas sim “por dentro” de seu valor 
nominal.
Taxa de juros efetiva no desconto comercial simples
A taxa de juros efetiva ief de qualquer operação financeira é aquela que é 
aplicada sobre o capital (valor atual) e resulta no montante (valor nominal).
4772_MFCP.indb 414772_MFCP.indb 41 12/7/2007 20:44:1512/7/2007 20:44:15
42 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
A taxa de juros no desconto comercial simples ic é aplicada sobre o valor no-
minal e, portanto, não representa a taxa efetiva da operação financeira.
Para obter a taxa efetiva a partir da taxa de desconto comercial simples, usa-
mos as seguintes fórmulas, já vistas neste capítulo:
O cálculo do valor atual, no desconto racional simples, utiliza a taxa efetiva:
V = N
1 + ief × n
A obtenção do valor atual, no desconto comercial simples, usa a taxa de 
desconto comercial (não efetiva):
V = N × (1 – ic × n)
Assim, igualando-se os valores atuais, obtemos a fórmula da taxa efetiva a 
partir da taxa de desconto comercial:
ief =
ic
1 – ic × n
Da mesma forma, obtemos a taxa de desconto comercial a partir da taxa 
efetiva:
ic =
ief
1 + ief × n
+ Pode-se obter a taxa de juros efetiva no desconto comercial simples a partir 
da fórmula básica de juros simples:
• Calculamos o DCS a partir da definição: niNDCS .
• Obtemos o V da regra geral de descontos: DNV − CS.
• Adaptamos a fórmula básica de juros simples (Capítulo 4) para os concei-
tos de desconto e, conhecidos V e DCS, calculamos a taxa efetiva na ope-
ração de desconto comercial simples:
J = C × i × n ⇒ DCS = V × ief × n ∴ ief =
DCS
V × n
4772_MFCP.indb 424772_MFCP.indb 42 12/7/2007 20:44:1612/7/2007 20:44:16
Descontos Simples: Racional, Comercial e Bancário 43
Desconto bancário
O DESCONTO BANCÁRIO DB é, por definição, o desconto comercial simples 
acrescido de uma taxa prefixada h, calculada pelo banco sobre o valor nominal, 
que independe do número de períodos de antecipação do título ou cheque a ser 
descontado: 
DB = DCS + N × h ⇒ DB = N × i × n + N × h ∴ DB = N × (i × n + h)
A partir da definição VND − (válida para todos os descontos), obtemos o 
valor atual ou descontado: DNV − B .
+ Da mesma forma que no desconto comercial simples, a taxa de juros no des-
conto bancário não é a taxa efetiva da operação. Como vimos, a taxa efetiva 
pode ser obtida a partir dos valores de DB e V :
• Calculamos o DB a partir da definição: hnND iB .
• Obtemos o V da regra geral de descontos: DNV − B .
• Chegamos à taxa efetiva na operação de desconto bancário, usando a fór-
mula básica de juros simples:
ief =
DB
V × n
Exercícios resolvidos
1o) (ACE-MICT/ESAF–1998) O desconto simples racional de um título descon-
tado à taxa de 24% ao ano, três meses antes de seu vencimento, é de R$ 
720,00. Calcular o valor do desconto correspondente caso fosse um descon-
to simples comercial.
A B C D E
R$ 43,20 R$ 676,80 R$ 720,00 R$ 763,20 R$ 12.000,00
Cálculo da taxa efetiva correspondente à taxa nominal:
in = ief
nn nef
⇒
24% a.a.
= ief 
4 trim. 1 trim.
⇒ ief =
24 × 1
4
∴
4772_MFCP.indb 434772_MFCP.indb 43 12/7/2007 20:44:1612/7/2007 20:44:16
44 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
∴ ief = 6% a.t. = 0,06 a.t.
Cálculo do valor nominal:
n = 1 trimestre
DRS = V × i × n ⇒ V =
DRS
i × n
⇒ V = 720,00
0,06 × 1
∴ V = R$ 12.000,00
N = V + D ⇒ N = 12.000,00 + 720,00 ∴ N = R$ 12.720,00
Cálculo do desconto comercial simples:
DCS = N × i × n ⇒ DCS = 12.720,00 × 0,06 × 1 ∴ DCS = R$ 763,20
Gabarito: D
2o) (FTE-SC/UFSC–1998) O valor nominal de um título de crédito descontado 
quatro meses e meio antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 6% 
ao ano que sofreu um desconto simples por fora no valor de R$ 225,00, vale:
A B C D E
R$ 100.000,00 R$ 1.000,00 R$ 10.000,00 R$ 40.000,00 R$ 30.000,00
Tornar a taxa de desconto comercial simples 6% a.a.i =C compatível com 
o prazo (meses):
6% a.a.
= ic (% a.m.)
12 meses 1 mês
⇒ ic =
6 × 1
12
∴ ic = 0,5% a.m. = 0,005 a.m.
Calcular o valor nominal:
D = N × i × n ⇒ N = D
i × n
⇒ N = 225,00
0,005 × 4,5
∴ N = R$ 10.000,00
Gabarito: C
4772_MFCP.indb 444772_MFCP.indb 44 12/7/2007 20:44:1712/7/2007 20:44:17
Descontos Simples: Racional, Comercial e Bancário 45
3o) (Gerente-CEF/FCC–2001) Um banco realiza operações de desconto utili-
zando a taxa de desconto simples de 2,8% a.m. A taxa efetiva mensal cobra-
da numa operação com prazo de 45 dias é de, aproximadamente:
A B C D E
4,05% 3,80% 2,90% 2,88% 2,69%
Cálculo da taxa efetiva mensal:
+ O prazo deve ser transformado de dias para meses, para ficar compatível 
com a taxa de juros.
n = 45 dias = 1,5 mês / ic = 2,8% a.m. = 0,028 a.m.
Fórmula: ief =
ic
1 – ic × n
⇒ ief =
0,028
1 – 0,028 × 1,5
⇒ ief =
0,028
0,958
∴
∴ ief = 0,029 a.m. = 2,9% a.m.
Gabarito: C
4o) (AFCE-TCU/ESAF–2000) Uma empresa desconta um título no valor de face 
de R$ 10.000,00 em um banco, trinta dias antes do vencimento, obtendo 
um desconto de 3% do valor nominal do título. Se o banco cobrasse ainda 
uma taxa de abertura de crédito de R$ 50,00 e 1% do valor nominal do títu-
lo como imposto financeiro, no momento do desconto do título, qual seria o 
custo do empréstimo, em termos de taxa de juros real paga pela empresa?
A B C D E
3,09% ao mês 4,00% ao mês 4,71% ao mês 4,59% ao mês 4,50% ao mês
Despesas do empréstimo:
• Desconto comercial:
ic = 3% a.m. = 0,03 a.m. / n = 30 dias = 1 mês
DCS = N × i × n ⇒ DCS = 10.000,00 × 0,03 × 1 ∴ DCS = R$ 300,00
4772_MFCP.indb 454772_MFCP.indb 45 12/7/2007 20:44:1812/7/2007 20:44:18
46 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
• Taxa de abertura de crédito: R$ 50,00
• Imposto Financeiro (IF ): i = 1% = 0,01
IF = N × i ⇒ IF = 10.000,00 × 0,01 ∴ IF = R$ 100,00
• Despesas totais: 300,00 + 50,00 + 100,00 = R$ 450,00
Cálculo do valor atual (descontado) do título:
D = N – V ⇒ V = N – D ⇒ V = 10.000,00 – 450,00 ∴
∴ V = R$ 9.550,00
Cálculo da taxa de juros efetiva (real):
+ Observe que no lugar do desconto D devem entrar as despesas totais:
ief =
D
V × n
⇒ ief =
450,00
9.550,00 × 1
∴ ief = 0,0471 a.m. = 4,71% a.m.
Gabarito: C
5o) (Escriturário-BB/FCC–2006-1) Uma empresa desconta em um banco um 
título com vencimento daqui a 4 meses, recebendo no ato o valor de R$ 
19.800,00. Sabe-se que a operação utilizada foi a de desconto comercial 
simples. Caso tivesse sido aplicada a de desconto racional simples, com a 
mesma taxa de desconto anterior i (i>0), o valor que a empresa receberia 
seria de R$ 20.000,00. O valor nominal deste título é de:
A B C D E
R$ 21.800,00 R$ 22.000,00 R$ 22.400,00 R$ 22.800,00 R$ 24.000,00
Cálculo do valor nominal pelo desconto comercial simples:
4772_MFCP.indb 464772_MFCP.indb 46 12/7/2007 20:44:1812/7/2007 20:44:18
Descontos Simples: Racional, Comercial e Bancário 47
V = N × (1 – i × n) ⇒ N = V
1 – i × n
⇒ N = 19.800
1 – i × 4
Cálculo do valor nominal pelo desconto racional simples:
N = V × (1 – i × n) ⇒ N = 20.000 × (1 – i × 4) ⇒
⇒ N = 20.000 + 80.000 × i
Como o valor de N é o mesmo:
19.800
= 20.000 + 80.000 × i
1 – i × 4
⇒
⇒ 19.800 = (1 – i × 4) × (20.000 + 80.000 × i)
⇒ 19.800 = 20.000 + 80.000 × i – 80.000 × i – 320.000 × i2
⇒ 19.800 = 20.000 – 320.000 × i2 ⇒ 320.000 × i2 = 200 ⇒ i2 = 1
1.600
Calculandoa raiz quadrada (por fatoração):
i = 1
40
∴ i = 0,025 a.m. = 2,5% a.m.
Substituindo i no cálculo de N pelo DCS:
N = 19.800
1 – i × 4
⇒ N = 19.800
1 – 0,025 × 4
⇒ N = 19.800
1 – 0,1
∴
∴ N = R$ 22.000,00
4772_MFCP.indb 474772_MFCP.indb 47 12/7/2007 20:44:1912/7/2007 20:44:19
48 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
Substituindo i no cálculo de N pelo DRS:
N = 20.000 + 80.000 × i ⇒ N = 20.000 + 2.000 ∴
∴ N = R$ 22.000,00
Gabarito: B
Exercícios propostos
1o) (ATE-MS/ESAF–2001) Uma nota promissória no valor nominal de R$ 
5.000,00 sofre um desconto comercial simples a uma taxa de desconto de 
4% ao mês. Qual o valor do desconto, dado que a nota foi resgatada três me-
ses antes do seu vencimento?
A B C D E
R$ 416,70 R$ 524,32 R$ 535,71 R$ 555,00 R$ 600,00
Gabarito: E
2o) (ATM-Fortaleza/ESAF–1998) Qual o valor hoje de um título de valor nomi-
nal de R$ 24.000,00, vencível ao fim de 6 meses, a uma taxa de 40% ao ano, 
considerando um desconto simples comercial?
A B C D E
R$ 19.200,00 R$ 20.000,00 R$ 20.400,00 R$ 21.000,00 R$ 21.600,00
Gabarito: A
3o) (IF-SP–1998) Uma nota promissória de valor nominal de R$ 7.200,00 foi 
resgatada 50 dias antes do vencimento, à taxa mensal de 2,4%, com descon-
to simples comercial. A taxa efetiva mensal cobrada nessa transação foi de:
Resposta: 2,5%
4772_MFCP.indb 484772_MFCP.indb 48 12/7/2007 20:44:1912/7/2007 20:44:19
Descontos Simples: Racional, Comercial e Bancário 49
4o) (IF-SP–1998) Um título com vencimento em 18/2/98 foi descontado em 
20/11/97. Se o desconto comercial simples foi de R$ 300,00 e a taxa mensal 
foi de 4%, o valor nominal desse título era:
Resposta: R$ 2.500,00
5o) (IF-SP–1998) Em uma operação de resgate de um título, a vencer em 4 me-
ses, a taxa anual empregada deve ser de 18%. Se o desconto comercial sim-
ples excede o racional simples em R$ 18,00, o valor nominal do título é:
Resposta: R$ 5.300,00
4772_MFCP.indb 494772_MFCP.indb 49 12/7/2007 20:44:2012/7/2007 20:44:20
Equivalência de Capitais 
em Juros Simples
Estrutura do Capítulo
Data focal
Equivalência de Capitais em Juros Simples
Exercício Resolvido
Exercício Proposto
Data focal
Em nossa vida prática, é comum precisar antecipar ou prorrogar títulos ou 
obrigações. Pode ser, também, que necessitemos de substituir um título por ou-
tro ou por vários, ou, ainda, pode ser que queiramos substituir vários títulos por 
um único.
Todos estes procedimentos podem ser calculados a partir de determinada 
taxa de juros, de forma que o resultado atenda às partes envolvidas: credor 
e devedor.
Mas, antes, precisamos do conceito de DATA FOCAL.
DATA FOCAL é a data que se considera como base de comparação dos valo-
res referidos a datas diferentes, ou seja, é a data para onde serão transportados 
os valores de entrada e saída de dinheiro com o objetivo de avaliação.
A DATA FOCAL também pode ser chamada de data de avaliação ou data de 
referência.
Equivalência de capitais em juros simples
Dois ou mais capitais, resgatáveis em datas distintas, serão equivalentes 
se, levados para determinada data focal à mesma taxa de juros, resultarem em 
valores iguais.
9
4772_MFCP.indb 504772_MFCP.indb 50 12/7/2007 20:44:2012/7/2007 20:44:20
Equivalência de Capitais em Juros Simples 51
Consideremos os seguintes capitais cujos valores e respectivas datas de res-
gate estão a seguir representados:
211
0
2C
3C
4C
1 2 3 4 5
213
314
415
-1
1C
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EM JUROS SIMPLES
Data Focal
No regime de juros simples e considerando a taxa de juros i , estes capitais 
serão equivalentes na data focal “1” se:
C1 × (1 + i × 2) =
C2
1 + i × 2
= C3
1 + i × 3
= C4
1 + i × 4
• Veja que não há novas fórmulas:
– Quando o capital se referir a uma data anterior à data focal, ele será capi-
talizado, utilizando a fórmula para cálculo do montante em juros simples 
(Capítulo 4).
– Quando o capital se referir a uma data posterior à data focal, ele será atua-
lizado (ou descontado), utilizando a fórmula para cálculo do valor atual 
no desconto racional simples (Capítulo 8).
• O cálculo da equivalência de capitais é extremamente útil na análise da 
viabilidade de projetos e no mercado financeiro, especialmente no regime 
de juros compostos, conforme vamos ver no Capítulo 15.
Exercício resolvido
1o) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 5.250,00 que vence 
dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 2.200,00, que vence dentro 
4772_MFCP.indb 514772_MFCP.indb 51 12/7/2007 20:44:2012/7/2007 20:44:20
52 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
de cem dias, e mais o capital de R$ 4.000,00, que venceu há quarenta dias, 
à taxa de juros simples de 0,1% ao dia.
Fluxo de caixa:
n (dias)0
..001,0..%1,0 dadai ==
R$ 5.250,00 
R$ 2.200,00 
C
40 50 100
R$ 4.000,00 
Cálculo do capital equivalente na data focal “0” (regime de juros simples):
C = 4.000 × (1 + 0,001 × 40) + 5.250 + 2.200
1 + 0,001 × 50 1 + 0,001 × 100
⇒
C = 4.000 × 1,04 + 5.250 + 2.200
1,05 1,10
⇒ C = 4.160 + 5.000 + 2.000 ∴
∴ C = R$ 11.160,00
Resposta: R$ 11.160,00
Exercício proposto
Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00, que ven-
ce dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 4.200,00, que vence dentro de 
cem dias, e mais o capital de R$ 4.000,00, que venceu há vinte dias, à taxa de 
juros simples de 0,4% ao dia.
Resposta: R$ 11.170,00
4772_MFCP.indb 524772_MFCP.indb 52 12/7/2007 20:44:2012/7/2007 20:44:20
Provas AFTN 1998, AFRF 2000, 
2002 e 2003, e AFRFB 2005 – 
Questões de Juros Simples
(AFTN/ESAF–1998) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples 
exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os 
juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos.
A B C D E
R$ 705,00 R$ 725,00 R$ 715,00 R$ 720,00 R$ 735,00
Cálculo do prazo:
MESES DIAS DECORRIDOS OBSERVAÇÃO
abril 18 30 – 12 = 18
maio 31
junho 30
julho 31
agosto 31
setembro 5
Total 146 prazo decorrido (ano civil)
Cálculo da taxa na forma unitária:
i = 18% a.a.
100
∴ i = 0,18 a.a.
Cálculo dos juros:
J = C × i × n
365
⇒ J = 10.000,00 × 0,18 × 146
365
∴ J = R$ 720,00
10
4772_MFCP.indb 534772_MFCP.indb 53 12/7/2007 20:44:2112/7/2007 20:44:21
54 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
Gabarito: D
(AFTN/ESAF–1998) Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitária anual 
equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês.
A B C D E
1,0 0,6 60,0 12,0 5,0
+ Em juros simples, as taxas equivalentes são proporcionais entre si.
Calculando a taxa equivalente (por proporcionalidade):
i1 = i2
n1 n2
⇒
5% a.m.
= ieq % a.a.
1 mês 12 meses
⇒ ieq =
5 × 12
1
∴ ieq = 60% a.a.
Passando a taxa anual para a forma unitária:
ieq =
60% a.a.
100
∴ ieq = 0,6 a.a.
Gabarito: B
(AFTN/ESAF–1998) Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 
foram aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 me-
ses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais.
A B C D E
Dois meses e 
vinte e um dias
Dois meses e 
meio
Três meses e 
dez dias
Três meses
Três meses e 
nove dias
Calculando o prazo médio:
nm =
C1 × n1 + C2 × n2 + C3 × n3
C1 + C2 + C3
⇒
nm =
20.000 × 4 + 30.000 × 3 + 50.000 × 2
20.000 + 30.000 + 50.000
⇒
4772_MFCP.indb 544772_MFCP.indb 54 12/7/2007 20:44:2112/7/2007 20:44:21
Provas AFTN 1998, AFRF 2000, 2002 e 2003, e AFRFB 2005 – Questões de Juros Simples 55
nm =
80.000 + 90.000 + 100.000
100.000
⇒ nm =
270.000
100.000
∴ ieq = 2,7 meses
+ Quando o problema não mencionar o tipo de ano (civil ou comercial), con-
sidera-se sempre o ano comercial: todos os meses com 30 dias.
Transformando a fração do mês em dias (por proporção):
1 mês
= 0,7 mês
30 dias x
⇒ x × 1 = 0,7 × 30 ∴ x = 21 dias
Prazo médio: 2 meses e 21 dias.
Gabarito: A
(AFTN/ESAF–1998) O desconto comercial simples de um título quatro meses an-
tes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerandouma taxa de 5% ao mês, 
obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples.
A B C D E
R$ 400,00 R$ 800,00 R$ 500,00 R$ 700,00 R$ 600,00
DCS = R$ 600,00 / n = 4 meses / i = 5% a.m. ∴ i = 0,5 a.m.
Substituindo os dados na fórmula do desconto comercial simples:
DCS = N × i × n ⇒ 600,00 = N × 0,05 × 4 ⇒ N =
600,00
0,05 × 4
∴
∴ N = 3.000,00
Calculado o valor nominal do título, achamos o valor descontado pelo des-
conto racional simples:
N = V × (1 + i × n) ⇒ 3.000,00 = V × (1 + 0,05 × 4) ⇒
4772_MFCP.indb 554772_MFCP.indb 55 12/7/2007 20:44:2212/7/2007 20:44:22
56 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
V = 3.000,00
1 + 0,05 × 4
∴ V = R$ 2.500,00
Encontrado o valor atual pelo desconto racional simples, calculamos o des-
conto:
D = N – V ⇒ DRS = 3.000,00 – 2.500,00 ∴ DRS = R$ 500,00
Gabarito: C
(AFRF/ESAF–2000) Os capitais de R$ 3.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 8.000,00 
foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao 
mês, 4% ao mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Calcule a taxa média de 
aplicação desses capitais.
A B C D E
4,83% ao 
mês
3,206% ao 
mês
4,4167% ao 
mês
4% ao mês
4,859% ao 
mês
Calculando a taxa média:
im =
C1 × i1 + C2 × i2 + C3 × i3
C1 + C2 + C3
⇒
im =
3.000 × 6 + 5.000 × 4 + 8.000 × 3,25
3.000 + 5.000 + 8.000
⇒
im =
18.000 + 20.000 + 26.000
16.000
⇒ im =
64.000
16.000
∴ im = 4% a.m.
+ Para o cálculo de médias e proporções, a taxa pode estar em qualquer de 
suas formas: unitária ou percentual. Naturalmente, o resultado estará na 
mesma forma utilizada.
Gabarito: D
4772_MFCP.indb 564772_MFCP.indb 56 12/7/2007 20:44:2212/7/2007 20:44:22
Provas AFTN 1998, AFRF 2000, 2002 e 2003, e AFRFB 2005 – Questões de Juros Simples 57
(AFRF/ESAF–2000) O desconto racional simples de uma nota promissória, cin-
co meses antes do vencimento, é de R$ 800,00, a uma taxa de 4% ao mês. 
Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto é, considerando o 
mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo.
A B C D E
R$ 960,00 R$ 666,67 R$ 973,32 R$ 640,00 R$ 800,00
DRS = R$ 800,00 / n = 5 meses / i = 4% a.m. ∴ i = 0,04 a.m.
Encontrando o valor atual:
DRS = V × i × n ⇒ 800,00 = V × 0,04 × 5 ⇒ V =
800,00
0,04 × 5
∴
∴ V = 4.000,00
Calculamos o valor nominal a partir da definição:
D = N – V ⇒ 800,00 = N – 4.000,00 ⇒ N = 800,00 + 4.000,00 ∴
∴ N = 4.800,00
Agora, para encontrar o desconto comercial simples, basta aplicar a sua de-
finição:
DCS = N × i × n ⇒ DCS = 4.800,00 × 0,04 × 5 ∴ DCS = R$ 960,00
Gabarito: A
(AFRF/ESAF–2002) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um 
banco na segunda-feira, dia 8. O não-pagamento no dia do vencimento im-
plica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma 
taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros sim-
4772_MFCP.indb 574772_MFCP.indb 57 12/7/2007 20:44:2212/7/2007 20:44:22
58 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
ples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do 
mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período.
A B C D E
R$ 2.080,00 R$ 2.084,00 R$ 2.088,00 R$ 2.096,00 R$ 2.100,00
Conta = R$ 2.000,00 / i = 0,2% ∴ i = 0,002 (por dia útil)
Multa fixa = 2% da conta ⇒ multa fixa = 2.000,00 × 0,02 ∴
∴ multa fixa = R$ 40,00
Cálculo dos dias úteis do dia 8 (2a feira) ao dia 22:
9/10/11/12 (3a a 6a feira) + 15/16/17/18/19 (2a a 6a feira) + 
22 (2a feira) = 10 dias úteis
Cálculo da taxa de permanência:
J = C × i × n ⇒ J = 2.000,00 × 0,002 × 10 ∴ J = R$ 40,00
Pagamento devido no dia 22: 2.000,00 + 40,00 + 40,00 = R$ 2.080,00
Gabarito: A
(AFRF/ESAF–2002) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 
4.000,00 são aplicados, respectivamente, às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao 
mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa mé-
dia proporcional anual de aplicação destes capitais.
A B C D E
4% 8% 12% 24% 48%
+ Observe que o problema pede a taxa média proporcional anual e que as ta-
xas de aplicação são mensais.
4772_MFCP.indb 584772_MFCP.indb 58 12/7/2007 20:44:2312/7/2007 20:44:23
Provas AFTN 1998, AFRF 2000, 2002 e 2003, e AFRFB 2005 – Questões de Juros Simples 59
Calculando a taxa média mensal:
im =
C1 × i1 + C2 × i2 + C3 × i3 + C4 × i4
C1 + C2 + C3 + C4
⇒
im =
7.000 × 6 + 6.000 × 3 + 3.000 × 4 + 4.000 × 2
7.000 + 6.000 + 3.000 + 4.000
⇒
im =
42.000 + 18.000 + 12.000 + 8.000
20.000
⇒ im =
80.000
20.000
∴
∴ im = 4% a.m.
Calculando a taxa média proporcional anual:
4% a.m.
= x (% a.a.)
1 mês 12 meses
⇒ x × 1 = 4 × 12 ∴ x = 48% a.a.
Gabarito: E
(AFRF/ESAF–2003) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 
3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas men-
sais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal 
de aplicação destes capitais.
A B C D E
2,9% 3% 3,138% 3,25% 3,5%
Calculando a taxa média mensal:
im =
C1 × i1 + C2 × i2 + C3 × i3 + C4 × i4
C1 + C2 + C3 + C4
⇒
im =
2.500 × 6 + 3.500 × 4 + 4.000 × 3 + 3.000 × 1,5
2.500 + 3.500 + 4.000 + 3.000
⇒
4772_MFCP.indb 594772_MFCP.indb 59 12/7/2007 20:44:2312/7/2007 20:44:23
60 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
im =
15.000 + 14.000 + 12.000 + 4.500
13.000
⇒ im =
45.500
13.000
∴
∴ im = 3,5% a.m.
Gabarito: E
(AFRF/ESAF–2003) Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 
1.000,00 cada uma, que vencem todo dia 5 dos próximos dez meses. Toda-
via, ela combina com o credor um pagamento único equivalente no dia 5 do 
décimo mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento, considerando ju-
ros simples de 4% ao mês.
A B C D E
R$ 11.800,00 R$ 12.006,00 R$ 12.200,00 R$ 12.800,00 R$ 13.486,00
Fluxo de caixa:
n (meses)1 2 3 9 100
i = 4% a.m. (juros simples) M
R = R$ 1.000,00 cada pagamento
i = 4% a.m. ∴ i = 0,04 a.m.
Usando a fórmula do montante em juros simples ( )niCM 1 calcu-
lamos os montantes de cada pagamento na data “10”:
M1 = R1 × (1 + 0,04 × 9) ⇒ M1 = 1.000,00 × 1,36 ∴ M1 = R$ 1.360,00
M2 = R2 × (1 + 0,04 × 8) ⇒ M2 = 1.000,00 × 1,32 ∴ M2 = R$ 1.320,00
4772_MFCP.indb 604772_MFCP.indb 60 12/7/2007 20:44:2312/7/2007 20:44:23
Provas AFTN 1998, AFRF 2000, 2002 e 2003, e AFRFB 2005 – Questões de Juros Simples 61
M3 = R3 × (1 + 0,04 × 7) ⇒ M3 = 1.000,00 × 1,28 ∴ M3 = R$ 1.280,00
+ Observe que os montantes de cada pagamento formam uma progressão arit-
mética (P.A.) com razão R$ 40,00r − (ver Apêndice A). Assim, podemos 
deduzir o valor dos montantes referentes aos 10 pagamentos:
M = M1 + M2 + M3 + M4 + M5 + M6 + M7 + M8 + M9 + M10 ⇒
M = 1.360 + 1.320 + 1.280 + 1.240 + 1.200 + 1.160 + 1.120 + 1.080 + 1.040 + 1.000
∴ M = R$ 11.800,00
+ Pode-se resolver este problema, também, através da fórmula da soma dos 
termos de uma P.A. (ver Apêndice A):
Sn =
n × (a1 + an)
2
⇒ M = 10 × (1.360 + 1.000)
2
⇒ M = 5 × 2.360 ∴
∴ M = R$ 11.800,00
Gabarito: A
(AFRFB/ESAF–2005) Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$ 
50.000,00, com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00, 
com prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los 
nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títu-
los por um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa 
de desconto comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo tí-
tulo, sem considerar os centavos, será igual a:
A B C D E
R$ 159.523,00 R$ 159.562,00 R$ 162.240,00 R$ 162.220,00 R$ 163.230,00
Fluxo de caixa:
4772_MFCP.indb 614772_MFCP.indb 61 12/7/2007 20:44:2412/7/2007 20:44:24
62 MATEMÁTICA FINANCEIRA para Concurso Público • Penido
n (meses)1 2 3 40
ci = 4% a.m. (desconto comercial simples)
T
R$ 50.000,00 
R$ 100.000,00 V
ic = 4% a.m. ∴ ic = 0,04 a.m.
Descontando os dois títulos para a data “0” (data em que Edgar propõe a 
substituição):
Fórmula: V = N × (1 – i × n)
1o título: V1 = 50.000,00 × (1 – 0,04 × 2) ⇒ V1 = 50.000,00 × 0,92 ∴
∴ V1