equações do 2º grau Resolução de problemas

Prévia do material em texto

Binômio de Newton 
Isaac Newton nasceu na pequena cidade inglesa de 
Lincolnshire em 4 de janeiro de 1643 e morreu em 31 de 
março de 1727. Ele foi um menino rebelde, mas você 
também seria se sua mãe o abandonasse em um colégio 
interno que ensinava gramática na maior parte do tempo... 
Essa não era a disciplina preferida do jovem Newton, que, 
como vamos ver, desenvolveu várias teorias que 
revolucionaram a matemática, física e astronomia. 
Em Cambridge, Isaac Newton foi o primeiro da classe. Formou-se em 1665 e teve que retornar 
a sua aldeia natal quando a universidade fechou devido ao surto de peste bubônica. Como a 
epidemia o impedia de sair de casa, o jovem se dedicou a rever tudo o que tinha aprendido na 
faculdade. A partir daí, ele não parou de pesquisar e realizar experimentos. Nessa época, 
Newton dava os primeiros passos rumo às descobertas mais importantes, como a 
decomposição da luz, o princípio da gravitação universal, desenvolvimentos matemáticos 
diversos e as chamadas três leis de Newton. 
Um problema é do 2º grau se, para a sua resolução, for 
formada uma equação do 2º grau. 
 
Na resolução de um problema ajuda: 
 
 Fazer um esquema ou desenho de modo a 
compreender melhor o enunciado; 
 
 Identificar os dados e a incógnita; 
 
 Formar a equação; 
 
 Resolver a equação; 
 
 Interpretar as soluções da equação no contexto do 
problema. 
 
h
tt
p
:/
/b
es
ta
n
im
at
io
n
s.
co
m
/B
o
o
ks
/t
ea
ch
er
-r
ea
d
in
g-
b
o
o
k-
an
im
at
io
n
.g
if
 
Ex.1) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 
63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem? 
Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que: 
 
3x2 equivale ao triplo do quadrado do número de filhos; 
63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos. 
 
Montando a sentença matemática obtemos: 
 
3x2 = 63 - 12x, que pode ser expressa como 3x2 + 12x - 63 = 0. 
 
Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax2 + bx + c = 
0, que é denominada equação do 2° grau. 
 
Primeiramente calculemos o valor de Δ: 
 
3x² + 12x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63 
Δ = b² – 4.a.c 
Δ = 12² – 4.3.(– 63) 
Δ = 144 + 756 
Δ = 900 
 
Como Δ é maior que zero, sabemos que a equação possui duas raízes 
reais distintas. Vamos calculá-las: 
 
3x² + 12x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63 
x = (– b  Δ)/2.a 
x1 = (– 12 + 900)/6 
x1 = (– 12 + 30)/6 
x1 = 18/6 
x1 = 3 
3x² + 12x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63 
x2 = (– 12 – 900)/6 
x2 = (– 12 – 30)/6 
x2 = – 42/6 
x2 = – 7 
 
 
 
 
A raízes encontradas são 3 e –7, mas como o número de filhos de uma 
pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz –7. 
 
 Portanto: Pedro tem 3 filhos. 
h
tt
p
:/
/w
w
w
.h
ea
th
er
sa
n
im
at
io
n
s.
co
m
/c
h
ild
re
n
/a
1
0
5
7
.g
if
 
http://www.heat
hersanimations.c
om/children/a10
58.gif 
http://www.
heathersanim
ations.com/c
hildren/a105
9.gif 
Ex.2) Uma tela retangular com área de 9600 cm2 
tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais 
são as dimensões desta tela? 
Se chamarmos de x a altura da tela, temos que: 
 
1,5x será a sua largura. 
Sabemos que a área de uma figura geométrica retangular é calculada 
multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura. 
 
Escrevendo o enunciado na forma de uma sentença matemática 
obtemos: 
 
x . 1,5x = 9600 
h
tt
p
:/
/w
w
w
.h
ea
th
er
sa
n
im
at
io
n
s.
co
m
/s
ch
o
o
l/
sc
5
2
.g
if
 
A sentença matemática x.1,5x = 9600, também pode ser expressa como: 
 
1,5x2 – 9600 = 0 
 
Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que terá duas 
raízes reais opostas, situação que ocorre sempre que o coeficiente b é 
igual a zero. Vamos aos cálculos: 
 
1,5x2 – 9600 = 0 
1,5x2 = 9600 
x2 = 9600/1,5 
x2 = 6400 
x =  6400 
x =  80 
 
 
 
 
As raízes reais encontradas são – 80 e 80. 
No entanto, como uma tela não pode ter dimensões negativas, 
devemos desconsiderar a raiz – 80. 
 
Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 
1,5 . 80 = 120. Portanto: 
 
Esta tela tem as dimensões de 80 cm de altura, por 120 cm de 
largura. 
 
Ex.3) Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De 
outro tipo de lanche, com o mesmo preço unitário, a 
quantidade comprada foi igual ao valor unitário de cada 
lanche. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$ 
8,00 de troco. Qual o preço unitário de cada produto? 
O enunciado nos diz que: 
 
 Os dois tipos de lanche têm o mesmo valor unitário. Vamos 
denominá-lo então de x; 
 
 De um dos produtos eu comprei 4 unidades e do outro eu 
comprei x unidades. 
 
 Recebi R$ 8,00 de troco ao pagar R$ 200,00 pela mercadoria. 
http://bestanimations.
com/Food/animated-
sandwich.gif 
Temos as informações necessárias para montarmos a seguinte equação: 
 
4 . x + x . x + 8 = 200 
 
Ou então: 
 
4x + x² + 8 = 200  x² + 4x – 192 = 0 
 
Como x representa o valor unitário de cada lanche, vamos solucionar a equação para descobrimos que valor é 
este: 
 
x² + 4x – 192 = 0 a = 1 b = 4 c = – 192 
Δ = b² – 4.a.c 
Δ = 4² – 4.1. (– 192) 
Δ = 16 + 768 
Δ = 784 
 
 
 
 
 
As raízes reais da equação são – 16 e 12. Como o preço não pode ser negativo, a raiz igual – 16 deve ser 
descartada. Assim: 
O preço unitário de cada produto é de R$ 12,00. 
 
x² + 4x – 192 = 0 a = 1 b = 4 c = – 192 
x = (– b  Δ)/2.a 
x1 = (– 4 + 784)/2 
x1 = (– 4 + 28)/2 
x1 = 24/2 
x1 = 12 
x2 = (– 4 – 784)/2 
x2 = (– 4 – 28)/2 
x2 = – 32/2 
x2 = – 16 
 
As raízes reais da equação são – 16 e 12. Como o preço não pode ser 
negativo, a raiz igual – 16 deve ser descartada. 
Assim, o preço unitário de cada produto é de R$ 12,00. 
Ex.4) O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é 
igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo. Quantos 
anos tem cada um deles? 
Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos: 
 
x – 5 será a idade de Paulo. 
O produto das idades é igual a 374, logo x . (x – 5) = 374. 
 
Esta sentença matemática também pode ser expressa como: 
 
x . (x – 5) = 374  x² – 5x = 374  x² – 5x – 374 = 0 
h
tt
p
:/
/w
w
w
.e
u
ro
o
sc
ar
.c
o
m
/g
if
s1
/e
sc
o
la
1
.h
tm
 
Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solucionar a 
equação: 
 
x² – 5x – 374 = 0 a = 1 b = – 5 c = – 374 
Δ = b² – 4.a.c 
Δ = (– 5)² – 4.1. (– 374) 
Δ = 25 + 1496 
Δ = 1521 
 
x = (– b  Δ)/2.a 
x1 = (5 + 1521)/2 
x1 = (5 + 39)/2 
x1 = 44/2 
x1 = 22 
x = (– b  Δ)/2.a 
x2 = (5 – 1521)/2 
x2 = (5 – 39)/2 
x2 = – 34/2 
x2 = – 17 
 
As raízes reais encontradas são – 17 e 22, por ser negativa, a raiz – 17 
deve ser descartada. 
 
Logo a idade de Pedro é de 22 anos. 
 
Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem então 17 
anos. 
Ex.5) Há dois números cujo triplo do quadrado é a 
igual 15 vezes estes números. Quais números são 
estes? 
Definindo a incógnita como x, temos: 
 
3x2 equivale ao triplo do quadrado do número; 
 
15x equivale a 15 vezes este número. 
 
http://bestanimations.com/Books/bo
y-reading-book-animation-3.gif 
Podemos escrever esta sentença da seguinte forma: 
 
3x2 = 15x 
 
Ou ainda como: 
 
3x2 – 15x = 0 
Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, como apenas o 
coeficiente c é igual a zero, sabemos que esta equação possui duas 
raízes reais. Uma é igual a zero e a outra é dada pelo oposto do 
coeficiente b dividido pelo coeficiente a. Resumindo podemos dizer 
que: 
 
3x² – 15x = 0 
x(3x – 15) = 0 
x = 0 
3x – 15 = 0 
3x = 15 
x = 15/3 
x = 5 
Assim sendo, os dois números são 0 e 5. 
Ex.6) Quais são as raízes da equação x² – 14x + 48 
= 0? 
Podemos resolver esta equação simplesmente respondendo esta 
pergunta: 
 
Quais são os dois números que somados totalizam 14 e que 
multiplicados resultam em 48? 
 
Sem qualquer esforço chegamos a 6 e 8, pois 6 + 8 = 14 e 6 . 8 = 48. 
 
Para simples conferência, vamos solucioná-la tambématravés da 
fórmula de Bháskara: 
 
 
 
 
 
 
 
 
As raízes da equação x2 - 14x + 48 = 0 são 6 e 8. 
 
h
tt
p
:/
/z
o
n
ad
ap
o
n
te
.c
o
m
.s
ap
o
.p
t/
gi
fs
/l
iv
ro
s/
liv
0
1
7
.g
if
 
x² – 14x + 48 = 0 a = 1 b = – 14 c = 48 
Δ = b² – 4.a.c 
Δ = (– 14)² – 4.1. 48 
Δ = 196 – 192 
Δ = 4 
 
x = (– b  Δ)/2.a 
x1 = (14 + 4)/2 
x1 = (14 + 2)/2 
x1 = 16/2  x1 = 8 
 
x2 = (14 – 4)/2 
x2 = (14 – 2)/2 
x2 = 12/2  x2 = 6 
 
 
 
 
 
 
 
• As raízes da equação x2 - 14x + 48 = 0 são 6 e 8. 
 
Substituindo os valores de y na expressão x2 = y obtemos as raízes da 
equação biquadrada: 
 
Para y1 = 36, temos: 
x² = y 
x² = 36 
x = 36 
x =  6 
 
Para y2 = – 16, como não existe raiz quadrada real de um número 
negativo, o valor de -16 não será considerado. 
 
Desta forma, as raízes da equação biquadrada x4 – 20x2 – 576 = 0 são 
somente: – 6 e 6. 
 
Ex.8) Pai e filho têm hoje 45 e 15 anos, respectivamente. 
Há quantos anos a idade do pai era igual ao quadrado da 
idade do filho? 
Em problemas como esse que envolvem tempo decorrido o sinal de 
menos (–), não significa “retirar” uma quantidade e sim, voltar no 
tempo. 
 
Representação algébrica das idades do pai e do filho, há x anos: 
 
idade do pai há x anos: 45 – x 
idade do filho há x anos: 15 – x 
 
Equalizando as informações “idade do pai era igual ao quadrado da 
idade do filho”: 45 – x = (15 – x)². 
h
tt
p
:/
/w
w
w
.h
ea
th
er
sa
n
im
at
io
n
s.
co
m
/s
ch
o
o
l/
sc
2
8
.g
if
 
Desenvolvendo a equação 45 – x = (15 – x)², obtemos: 
 
45 – x = 225 – 30x + x2 
x2 – 29x + 180 = 0 a = 1 b = – 29 c = 180 
Δ = b² – 4.a.c 
Δ = (– 29) ² – 4.1.180 
Δ = 841 – 720 
Δ = 121 
x = (– b  Δ)/2.a 
x1 = (29 + 121)/2 
x1 = (29 + 11)/2 
x1 = 40/2 
x1 = 20 
 
 
x2 – 29x + 180 = 0 a = 1 b = – 29 c = 180 
x2 = (29 – 121)/2 
x2 = (29 – 11)/2 
x2 = 18/2 
x2 = 9 
 
Analisando os resultados encontrados (20 e 9), o valor 20 não pode ser 
usado no problema, pois, nesse caso, o filho teria idade negativa! 
 
idade do pai há x anos: 45 – x 
idade do filho há x anos: 15 – x 
 
Portando, para x = 9 temos para idades: 36 e 6 anos. 
Ex.9) Um retângulo possui a medida de seu lado maior igual ao 
quádruplo do lado menor, e área medindo 256 m². Determine a 
medida de seus lados. 
Para calcularmos a área de uma região retangular devemos 
multiplicar o comprimento pela largura. 
 
4x . x = 256 
4x² = 256  x² = 256/4  x² = 64  x = 64  x = 8 
 
O lado de maior comprimento (4x) mede 32 metros e o de menor 
comprimento (x), 8 metros. 
256 m² x 
4x 
 
 
Ex.10) Num congresso havia 50 pessoas entre mulheres e 
homens. Descubra quantas mulheres e quantos homens 
estavam presentes, sabendo que o produto das quantidades 
dos dois grupos é igual 621 e que a quantidade de mulheres 
é maior do que a quantidade de homens. 
Sendo h: número de homens e m o número de mulheres no 
congresso, temos que: 
 
 h + m = 50 equivale ao total de pessoas no congresso; 
 h . m = 621 equivale ao produto das quantidades dos dois 
grupos. 
 
 
 
http://www.
fotosdahora.
com.br/gifs_
path/7190/o
lhos_7/ 
Montando a sentença matemática obtemos: 
 
h + m = 50  h = 50 – m 
h . m = 621 
Substituindo h por 50 – m na 2ª equação, temos: 
 
(50 – m).m = 621 
50m – m² – 621 = 0 x(-1) 
m² – 50m + 621 = 0 
a = 1 b = – 50 c = 621 
 = b² – 4.a.c 
 = (– 50)² – 4.1.621 
= 2500 – 2484 
= 16 
m = (– b  )/2.a 
m = (50  4)/2 
m1 = (50 + 4)/2 
m1 = 54/2 
m1 = 27 
 
m2 = (50 – 4)/2 
m2 = 46/2 
m2 = 23 
 
 
Como h + m = 50, e o número de mulheres é maior que o número de 
homens, então havia 27 mulheres e 23 homens no congresso.