Matematica Bernoulli Volume-1-3

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Volume 01
MATEMÁTICA
2 Coleção Estudo
Frente A
 01 3 Raciocínio lógico
 Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
 02 11 Potenciação e radiciação
 Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
Frente B
 01 17 Produtos notáveis e fatoração
 Autor: Luiz Paulo
 02 21 Divisibilidade, MDC e MMC
 Autor: Luiz Paulo
Frente C
 01 29 Teoria dos conjuntos
 Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
 02 37 Conjuntos numéricos
 Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
Frente D
 01 43 Noções primitivas de geometria plana
 Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
 02 49 Triângulos e pontos notáveis
 Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
Frente E
 01 57 Trigonometria no triângulo retângulo
 Autor: Frederico Reis
 02 63 Arcos e ciclo trigonométrico
 Autor: Frederico Reis
 03 69 Funções seno e cosseno
 Autor: Frederico Reis
 04 75 Funções tangente, cotangente, secante e cossecante
 Autor: Frederico Reis
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ár
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em
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FRENTE
3Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
Lógica (do grego logos) significa pensamento, ideia, 
argumento. Ela tem o objetivo primordial de garantir uma linha 
de pensamento que chegue a conhecimentos verdadeiros.
Podemos, então, dizer que a lógica nos ensina a lidar 
com os argumentos, raciocinando corretamente para 
não chegarmos a conclusões equivocadas. Estudaremos 
neste módulo alguns princípios complementares da lógica 
importantes para o estudo da Matemática.
PROPOSIÇÕES
Proposição é uma declaração (afirmativa ou negativa) que 
pode ser classificada como verdadeira ou falsa.
São proposições:
i) “A Bahia fica na região Nordeste.”
 É uma proposição verdadeira.
ii) “O dobro de três não é seis.”
 É uma proposição falsa.
iii) “Todo triângulo é equilátero.”
 É uma proposição falsa.
Não são proposições, pois não podemos classificar como 
verdadeiras ou falsas:
i) “Antônio gosta de salada?”
 É uma oração interrogativa.
ii) “Thiago, vá estudar para a prova de Biologia.”
 É uma oração imperativa.
iii) “2x + 3 = 1”
 É uma equação.
CONECTIVOS
A partir de proposições simples, podemos formar proposições 
mais complexas, por meio do emprego de símbolos lógicos, 
denominados conectivos. As proposições formadas com 
conectivos são chamadas proposições compostas.
Conectivo e
Pondo-se o conectivo e (representado pelo símbolo ∧) entre 
duas proposições simples A e B, obtemos uma proposição 
composta. Essa nova proposição é dita conjunção das 
proposições originais A e B, ou seja, é a proposição em que 
se declaram ao mesmo tempo A e B.
A conjunção é verdadeira quando A e B forem ambas 
verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então A ∧ B 
é falsa.
Exemplo 1
A: Cinco é ímpar. (verdadeira)
B: A água é incolor. (verdadeira)
A ∧ B: Cinco é ímpar e a água é incolor. (verdadeira)
Exemplo 2
A: Belo Horizonte é maior do que Goiânia. (verdadeira)
B: O Rio de Janeiro é maior do que São Paulo. (falsa)
A ∧ B: Belo Horizonte é maior do que Goiânia e o Rio de 
Janeiro é maior do que São Paulo. (falsa)
Conectivo ou
Pondo-se o conectivo ou (representado pelo símbolo ∨) 
entre duas proposições simples A e B, obtemos uma 
proposição composta. Essa nova proposição é denominada 
disjunção das proposições originais A e B, ou seja, é a 
proposição em que se declara verdadeira pelo menos uma 
das proposições A e B.
A disjunção é verdadeira quando ao menos uma das 
proposições A e B for verdadeira; somente se ambas forem 
falsas é que será falsa.
Exemplo 1
A: Aranhas são mamíferos. (falsa)
B: Cobras são répteis. (verdadeira)
A ∨ B: Aranhas são mamíferos ou cobras são répteis. 
(verdadeira)
Exemplo 2
A: O céu é azul. (verdadeira)
B: Triângulos não possuem diagonais. (verdadeira)
A ∨ B: O céu é azul ou triângulos não possuem diagonais. 
(verdadeira)
Raciocínio lógico 01 A
4 Coleção Estudo
Implicação
As palavras se e então, com as proposições A e B na 
forma “se A, então B”, determinam uma nova proposição, 
denominada condicional de A e B. Essa proposição, que 
também é chamada de implicação, indica-se por A ⇒ B, 
e pode ser lida de diversas maneiras, como:
i) Se A, então B.
ii) A implica B.
iii) A é condição suficiente para B.
iv) B é condição necessária para A.
Exemplo 1
A: Pedro foi ao Ceará.
B: Pedro foi ao Nordeste.
A ⇒ B: Se Pedro foi ao Ceará, então Pedro foi ao Nordeste. 
(verdadeira)
B ⇒ A: Se Pedro foi ao Nordeste, então Pedro foi ao Ceará. 
(falsa)
Exemplo 2
A: Mariana passou no vestibular do ITA.
B: Mariana estudou Matemática.
A ⇒ B: Se Mariana passou no ITA, então ela estudou 
Matemática. (verdadeira)
A ⇒ B: Estudar Matemática é condição necessária para 
passar no ITA. (verdadeira)
A condicional A ⇒ B é falsa somente quando A é verdadeira 
e B é falsa; caso contrário, A ⇒ B é verdadeira.
Observe que, se A for falsa, então a implicação será 
sempre verdadeira. Por exemplo:
•	 falsa ⇒ verdadeira, temos conclusão verdadeira.
 (5 é múltiplo de 3) ⇒ (5 > 3) (verdadeira)
•	 falsa ⇒ falsa, temos conclusão verdadeira.
 (3 = 2) ⇒ (6 = 4) (verdadeira)
A ideia é que se partirmos de uma proposição falsa 
podemos concluir qualquer coisa. Mas, a partir de uma 
proposição verdadeira, temos de deduzir outra verdadeira.
A recíproca de uma implicação A ⇒ B é a implicação B ⇒ A.
Exemplo 3
A: O triângulo ABC é equilátero.
B: O triângulo ABC é isósceles.
A ⇒ B: Se o triângulo ABC é equilátero, então é o triângulo 
ABC isósceles. (verdadeira)
B ⇒ A: Se o triângulo ABC é isósceles, então é equilátero. 
(falsa)
Equivalência
Equivalência entre as proposições A e B é a proposição 
indicada por A ⇔ B, pela qual se declara, ao mesmo tempo, 
que A ⇒ B e B ⇒ A. 
Portanto, A é a condição necessária e suficiente para B, 
e vice-versa.
QUANTIFICADORES
Já vimos que sentenças do tipo x + 2 = 5 (ou seja, 
sentenças com variáveis) não são proposições, já que não 
são verdadeiras ou falsas. Por isso, essas sentenças são 
chamadas de sentenças abertas. Há duas maneiras de 
transformar sentenças abertas em proposições: atribuindo 
valores específicos às variáveis ou utilizando um dos dois 
tipos de quantificadores que veremos a seguir.
Proposições envolvendo quantificadores também são 
chamadas de proposições quantificadas.
Quantificador universal
O quantificador universal é indicado pelo símbolo ∀, e deve 
ser lido “qualquer que seja”, “para todo” ou “para cada”.
Exemplo
Se x denota um número real, temos as proposições:
i) ∀ x: 2x > 0 (verdadeira)
ii) ∀ x: x + 3 = 1 (falsa)
Se x denota um estudante, podemos construir a proposição:
∀ x: x é inteligente. (falsa)
Escrevendo essa proposição em liguagem corrente, temos: 
“todo estudante é inteligente”.
Quantificador existencial
O quantificador existencial é indicado pelo símbolo ∃, 
e deve ser lido “existe”, “existe ao menos um” ou “existe um”.
Exemplo
Se x denota um número real, temos as proposições:
i) ∃ x: x + 2 = 5 (verdadeira)
ii) ∃ x: x2 + 1 < 0 (falsa)
Se x denota um estudante, podemos construir a proposição:
∃ x: x é inteligente. (verdadeira)
Escrevendo essa proposição em linguagem corrente, temos: 
“existe estudante inteligente”.
OBSERVAÇÃO
Há também um tipo de quantificador, indicado pelo 
símbolo ∃!, que significa “existe um único”.
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NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES
Negação de proposições simples
A negação de uma proposição A é simbolizada por ~A, 
que se lê “não A” ou, simplesmente, “negação de A”. Assim, 
se A é falsa, então ~A é verdadeira, e, se A é verdadeira, 
então ~A é falsa. Também podemos dizer que negar uma 
proposição acarreta inversão de seu valor lógico.
OBSERVAÇÃO
Para qualquer proposição A, é claro que ~(~A) e A têm 
o mesmo valor lógico.
Exemplo
A: 4 é primo. (falsa)
~A: 4 não é primo. (verdadeira)
Negação de proposições compostas
Para negarmos uma conjunção ou disjunção, devemos 
inverter o valor lógico de cada proposição e trocar “e” por 
“ou”, e vice-versa.
i) A negação da conjunção (A e B) é a disjunção 
(~A ou ~B).
ii) A negação da disjunção (A ou B) é a conjunção 
(~A e ~B).
Em símbolos, escrevemos:
~(A∧ B) ⇔ (~A) ∨ (~B)
~(A ∨ B) ⇔ (~A) ∧ (~B)
Exemplo
A: Marcos trabalha. (verdadeira)
B: Marcos joga tênis. (falsa)
A ∨ B: Marcos trabalha ou joga tênis. (verdadeira)
~(A ∨ B): Marcos não trabalha e não joga tênis. (falsa)
Negação de “todo”
Para tornarmos falsa a proposição “todo professor é alto”, 
devemos encontrar pelo menos um professor que não é alto. 
Portanto, seja a afirmação:
A: Todo professor é alto. (falsa)
Sua negação é:
~A: Existe (pelo menos um) professor que não é alto. 
(verdadeira)
~A: Nem todo professor é alto. (verdadeira)
Negação de “nenhum”
Analogamente, para negarmos a proposição “nenhum 
homem é fiel”, devemos encontrar pelo menos um homem 
que seja fiel. Temos, então:
A: Nenhum homem é fiel. (falsa)
~A: Existe (pelo menos um) homem fiel. (verdadeira)
~A: Algum homem é fiel. (verdadeira)
Negação de “algum” ou “existe”
A: Existe cachorro inteligente. (falsa)
Se houver um ou mais cachorros inteligentes, a proposição 
anterior é verdadeira. Para torná-la falsa, não pode haver 
cachorro inteligente. Portanto, a negação da proposição A é:
~A: Nenhum cachorro é inteligente. (verdadeira)
~A: Todo cachorro não é inteligente. (verdadeira)
CONTRAPOSITIVA DE UMA 
IMPLICAÇÃO
Definição
Dada uma implicação A ⇒ B, chamamos de contrapositiva 
dessa implicação a proposição ~B ⇒ ~A.
Uma implicação qualquer e sua contrapositiva sempre 
têm o mesmo valor lógico, como podemos perceber nos 
exemplos seguintes.
Exemplo 1
A: Jorge trabalha. (verdadeira)
B: Jorge estuda. (falsa)
A ⇒ ~B: Se Jorge trabalha, então não estuda. (verdadeira)
B ⇒ ~A: Se Jorge estuda, então não trabalha. (verdadeira)
Exemplo 2
A: Todo número primo é ímpar. (falsa)
B: Nenhum número par é primo. (falsa)
A ⇒ B: Se todo número primo é ímpar, então nenhum 
número par é primo. (verdadeira)
~B ⇒ ~A: Se algum número par é primo, então nem todo 
número primo é ímpar. (verdadeira)
Raciocínio lógico
6 Coleção Estudo
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (VUNESP-SP) Um jantar reúne 13 pessoas de uma mesma 
família. Das afirmações a seguir, referentes às pessoas 
reunidas, a única necessariamente VERDADEIRA é:
A) Pelo menos uma delas tem altura superior a 1,90 m.
B) Pelo menos duas delas são do sexo feminino.
C) Pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo 
mês.
D) Pelo menos uma delas nasceu num dia par.
E) Pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou fevereiro.
02. (UFSCar-SP) Em uma competição de queda de braço, 
cada competidor que perde duas vezes é eliminado. Isso 
significa que um competidor pode perder uma disputa 
(uma “luta”) e ainda assim ser campeão. Em um torneio 
com 200 jogadores, o número máxImo de “lutas” que 
serão disputadas, até se chegar ao campeão, é
A) 99 C) 299 E) 499
B) 199 D) 399
03. (UFMG–2007) Raquel, Júlia, Rita, Carolina, Fernando, 
Paulo, Gustavo e Antônio divertem-se em uma festa.
Sabe-se que
I) essas pessoas formam quatro casais; e
II) Carolina não é esposa de Paulo.
Em um dado momento, observa-se que a mulher de 
Fernando está dançando com o marido de Raquel, 
enquanto Fernando, Carolina, Antônio, Paulo e Rita estão 
sentados, conversando. Então, é CoRRETo afirmar que 
a esposa de Antônio é
A) Carolina. C) Raquel.
B) Júlia. D) Rita.
04. A negação da afirmação “Nenhuma pessoa lenta em 
aprender frequenta esta escola” é
A) “Todas as pessoas lentas em aprender frequentam 
esta escola.”
B) “Todas as pessoas lentas em aprender não frequentam 
esta escola.”
C) “Algumas pessoas lentas em aprender frequentam 
esta escola.”
D) “Algumas pessoas lentas em aprender não frequentam 
esta escola.”
E) “Nenhuma pessoa lenta em aprender não frequenta 
esta escola.”
05. (CEFET-RJ) Se os pais de artistas sempre são artistas, 
então
A) os filhos de não artistas nunca são artistas.
B) os filhos de não artistas sempre são artistas.
C) os filhos de artistas sempre são artistas.
D) os filhos de artistas nunca são artistas.
E) os filhos de artistas quase sempre são artistas.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (Fatec-SP–2007) Numa caixa, existem 10 moedas cujos 
valores somados totalizam R$ 1,00. Na caixa, existem 
moedas de um centavo e de cinco centavos, entre 
outras. É CoRRETo afirmar que na caixa devem existir, 
pelo menos,
A) uma moeda de dez centavos e duas de cinco centavos.
B) duas moedas de dez centavos e uma de cinco 
centavos.
C) duas moedas de vinte e cinco centavos e uma de cinco 
centavos.
D) duas moedas de vinte e cinco centavos e uma de dez 
centavos.
E) duas moedas de cinquenta centavos.
02. (Ibmec-SP–2007) Observe o slogan de uma cervejaria, 
utilizado em uma campanha publicitária:
“Se o bar é bom, então o chopp é Tathurana.”
Os bares Matriz e Autêntico oferecem a seus clientes 
chopp das marcas Tathurana e Karakol, respectivamente. 
Então, de acordo com o slogan anterior, pode-se 
concluir que
A) os dois bares são necessariamente bons.
B) o bar Matriz é necessariamente bom e o bar Autêntico 
pode ser bom ou não.
C) o bar Matriz é necessariamente bom e o bar Autêntico, 
necessariamente, não é bom.
D) o bar Matriz pode ser bom ou não e o bar Autêntico, 
necessariamente, não é bom.
E) os dois bares, necessariamente, não são bons.
Frente A Módulo 01
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03. (Cesgranrio) A figura a seguir mostra três dados iguais. 
O número da face que é a base inferior da coluna de dados
A) é 1. 
B) é 2. 
C) é 4.
D) é 6.
E) pode ser 1 ou 4.
04. (OEM-RJ) Alice, Beatriz, Célia e Dora apostaram uma 
corrida.
Alice disse: Célia ganhou e Beatriz chegou em segundo 
lugar.
Beatriz disse: Célia chegou em segundo lugar e Dora 
em terceiro.
Célia disse: Dora foi a última e Alice, a segunda.
Cada uma das quatro meninas disse uma verdade e 
uma mentira (não necessariamente nessa ordem). 
DETERmINE a ordem de chegada das meninas nessa 
corrida.
05. (FAAP-SP) Cláudia é mais velha do que Ana?
I. Roberta é quatro anos mais velha do que Cláudia e 
2 anos mais moça do que Ana.
II. A média das idades de Cláudia e Ana é 17 anos.
A) I é suficiente para responder, mas II não é.
B) II é suficiente para responder, mas I não é.
C) I e II juntas são suficientes para responder, mas 
nenhuma delas sozinha é suficiente.
D) Cada proposição é suficiente para responder.
E) Nenhuma das proposições é suficiente para responder.
06. (UFOP-MG–2008) Considere a afirmação: “Em um 
grupo de n pessoas, pode-se garantir que três delas 
aniversariam no mesmo mês”. O mENoR valor de n que 
torna verdadeira essa afirmação é
A) 3 B) 24 C) 25 D) 36
07. (UFV-MG–2008) Três jogadores decidiram jogar três 
partidas de um determinado jogo, no qual, em cada 
partida, há apenas um único perdedor. Combinaram 
que aquele que perdesse deveria pagar a cada um dos 
outros dois a quantia que cada ganhador possuía naquele 
momento. Ao final das três partidas, ocorreu que cada 
jogador perdeu uma única partida e que no final cada 
jogador ficou com R$ 8,00. É CoRRETo afirmar que o 
jogador que perdeu
A) a terceira partida, no final, perdeu R$ 4,00.
B) a primeira partida, no final, perdeu R$ 4,00.
C) a terceira partida, no final, ganhou R$ 4,00.
D) a primeira partida, no final, ganhou R$ 4,00.
08. (Unifor-CE–2009) Certo dia, o Centro Acadêmico de uma 
Faculdade de Medicina publicou a seguinte notícia:
“Todos os alunos serão reprovados em Anatomia!”
A repercussão dessa manchete fez com que a direção da 
faculdade interpelasse os responsáveis e deles exigisse, 
como forma de retratação, a publicação de uma negação 
da afirmação feita. Diante desse fato, a nota de retratação 
pode ter sido:
A) “Nenhum aluno será reprovado em Anatomia.”
B) “Algum aluno será aprovado em Anatomia.”
C) “Algum aluno será reprovado em Anatomia.”
D) “Se alguém for reprovado em Anatomia, então não 
será um aluno.”
E) “Todos os reprovados em Anatomia não são alunos.”
09. (OBM) Uma caixa contém 100 bolas de cores distintas. 
Destas, 30 são vermelhas, 30 são verdes, 30 são azuis e, 
entre as 10 restantes,algumas são brancas e as outras 
são pretas. O mENoR número de bolas que devemos 
tirar da caixa, sem lhes ver a cor, para termos a certeza 
de haver pelo menos 10 bolas da mesma cor, é
A) 31 D) 37 
B) 33 E) 38
C) 35 
Raciocínio lógico
8 Coleção Estudo
10. São verdadeiras as seguintes afirmações:
I. Todos os calouros são humanos.
II. Todos os estudantes são humanos.
III. Alguns estudantes pensam.
Dadas as quatro afirmações a seguir:
1. Todos os calouros são estudantes.
2. Alguns humanos pensam.
3. Nenhum calouro pensa.
4. Alguns humanos que pensam não são estudantes. 
Então, as sentenças que são consequências lógicas de 
I, II e III são
A) 2 
B) 4 
C) 2, 3
D) 2, 4
E) 1, 2
11. (Unimontes-MG) Em uma gincana, três crianças teriam 
de vestir camisetas azul, preta e branca, sendo uma 
cor para cada criança. Seus tênis apresentariam, cada 
par deles, uma dessas três cores. Fabrício usaria tênis 
azuis, somente Paulo usaria tênis e camiseta da mesma 
cor, e Pedro não usaria camiseta nem tênis brancos. 
As cores das camisetas de Fabrício, Paulo e Pedro seriam, 
respectivamente,
A) azul, branco e preto. 
B) preto, branco e azul. 
C) branco, preto e azul.
D) azul, preto e branco.
12. (UFJF-MG–2008) Uma empresa funciona nos turnos da 
manhã e da tarde. Um trabalhador dessa empresa dispõe 
de D dias para cumprir, precisamente, uma jornada de 
9 turnos. Nesses D dias, ele não foi trabalhar exatamente 
6 manhãs e exatamente 7 tardes. Qual é o valor de D?
A) 7 
B) 9 
C) 10
D) 11
E) 12
13. Alberto, Bernardo, Carlos e Diego foram jantar em 
companhia de suas esposas. No restaurante, sentaram-se 
ao redor de uma mesa redonda de forma que:
i) nenhum marido se sentou ao lado de sua esposa.
ii) em frente de Alberto se sentou Carlos.
iii) à direita da esposa de Alberto se sentou Bernardo.
iv) não havia dois homens juntos. 
Quem se sentou entre Alberto e Diego?
A) A esposa de Alberto.
B) A esposa de Carlos.
C) A esposa de Diego.
D) A esposa de Bernardo.
14. (CEFET-MG–2007) Considere as afirmativas:
I. “Se Paulo é médico, então Artur não é professor”.
II. “Se Paulo não é médico, então Bruno é engenheiro”.
Sabendo-se que Artur é professor, pode-se concluir, 
CoRRETAmENTE, que
A) Paulo é médico.
B) Bruno é engenheiro.
C) Artur é professor e Paulo é médico.
D) Paulo é médico ou Bruno não é engenheiro.
E) Artur é professor e Bruno não é engenheiro.
15. (UFRJ) João não estudou para a prova de Matemática; 
por conta disso, não entendeu o enunciado da primeira 
questão. A questão era de múltipla escolha e tinha as 
seguintes alternativas:
(A) O problema tem duas soluções, ambas positivas.
(B) O problema tem duas soluções, uma positiva e outra 
negativa.
(C) O problema tem mais de uma solução.
(D) O problema tem pelo menos uma solução.
(E) O problema tem exatamente uma solução positiva.
João sabia que só havia uma alternativa correta. 
Ele pensou um pouco e cravou a resposta certa. 
DETERmINE a escolha feita por João. JUSTIFIQUE 
sua resposta.
16. Eduardo mente nas quartas, quintas e sextas e diz a 
verdade no resto da semana. André mente aos domingos, 
segundas e terças e diz a verdade no resto dos dias. 
Se ambos dizem: “Amanhã é um dia no qual eu minto.”, 
que dia da semana será amanhã?
A) Sábado C) Quarta-feira
B) Terça-feira D) Sexta-feira
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SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2007) A diversidade de formas geométricas 
espaciais criadas pelo homem, ao mesmo tempo em que 
traz benefícios, causa dificuldades em algumas situações. 
Suponha, por exemplo, que um cozinheiro precise utilizar 
exatamente 100 mL de azeite de uma lata que contenha 
1 200 mL e queira guardar o restante do azeite em duas 
garrafas, com capacidade para 500 mL e 800 mL cada, 
deixando cheia a garrafa maior. Considere que ele não 
disponha de instrumento de medida e decida resolver 
o problema utilizando apenas a lata e as duas garrafas. 
As etapas do procedimento utilizado por ele estão ilustradas 
nas figuras a seguir, tendo sido omitida a 5ª etapa.
1 200 mL
1ª etapa
AZEITE
400 mL
2ª etapa
AZEITE
400 mL 300 mL
3ª etapa
AZEITE
900 mL 300 mL
4ª etapa
AZEITE
?
5ª etapa
AZEITE
100 mL
300 mL
6ª etapa
AZEITE
??
A
Qual das situações ilustradas a seguir corresponde à 
5ª etapa do procedimento?
100 mL 700 mL
400 mLAZEITE
A)
900 mL
300 mLAZEITE
D)
200 mL
200 mLAZEITE
B)
900 mL 200 mL
100 mLAZEITE
E)
400 mL
AZEITE
C)
Instrução: Texto para as questões 02 e 03.
Um armazém recebe sacos de açúcar de 24 kg para que 
sejam empacotados em embalagens menores. O único objeto 
disponível para pesagem é uma balança de dois pratos, sem os 
pesos metálicos.
02. (Enem–1998) Realizando uma única pesagem, é possível 
montar pacotes de
A) 3 kg. C) 6 kg. E) 12 kg.
B) 4 kg. D) 8 kg.
03. (Enem–1998) Realizando exatamente duas pesagens, 
os pacotes que podem ser feitos são os de
A) 3 kg e 6 kg. 
B) 3 kg, 6 kg e 12 kg. 
C) 6 kg, 12 kg e 18 kg.
D) 4 kg e 8 kg.
E) 4 kg, 6 kg e 8 kg.
04. (Enem–1999) Vinte anos depois da formatura, cinco 
colegas de turma decidem organizar uma confraternização. 
Para marcar o dia e o local da confraternização, 
precisam comunicar-se por telefone. Cada um conhece 
o telefone de alguns colegas e desconhece o de outros. 
No quadro a seguir, o número 1 indica que o colega da 
linha correspondente conhece o telefone do colega da 
coluna correspondente; o número 0 indica que o colega 
da linha não conhece o telefone do colega da coluna. 
Exemplo: Beto sabe o telefone do Dino que não conhece 
o telefone do Aldo.
Aldo Beto Carlos Dino Ênio
Aldo 1 1 0 1 0
Beto 0 1 0 1 0
Carlos 1 0 1 1 0
Dino 0 0 0 1 1
Ênio 1 1 1 1 1
O número mínimo de telefonemas que Aldo deve fazer 
para se comunicar com Carlos é
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Raciocínio lógico
10 Coleção Estudo
05. (Enem–2008) O jogo da velha é um jogo popular, originado 
na Inglaterra. O nome “velha” surgiu do fato de esse jogo 
ser praticado, à época em que foi criado, por senhoras 
idosas que tinham dificuldades de visão e não conseguiam 
mais bordar. Esse jogo consiste na disputa de dois 
adversários que, em um tabuleiro 3×3, devem conseguir 
alinhar verticalmente, horizontalmente ou na diagonal, 
3 peças de formato idêntico. Cada jogador, após escolher 
o formato da peça com a qual irá jogar, coloca uma peça 
por vez, em qualquer casa do tabuleiro, e passa a vez 
para o adversário. Vence o primeiro que alinhar 3 peças.
No tabuleiro representado anteriormente, estão 
registradas as jogadas de dois adversários em um dado 
momento. Observe que uma das peças tem formato de 
círculo e a outra tem a forma de um xis. Considere as 
regras do jogo da velha e o fato de que, neste momento, 
é a vez do jogador que utiliza os círculos. Para garantir 
a vitória na sua próxima jogada, esse jogador pode 
posicionar a peça no tabuleiro de
A) uma só maneira.
B) duas maneiras distintas.
C) três maneiras distintas.
D) quatro maneiras distintas.
E) cinco maneiras distintas.
06. (Enem–2009 / Anulada) O xadrez é jogado por duas 
pessoas. Um jogador joga com as peças brancas, o outro, 
com as pretas. Neste jogo, vamos utilizar somente a torre, 
uma das peças do xadrez. Ela pode mover-se para qualquer 
casa ao longo da coluna ou linha que ocupa, para frente 
ou para trás, conforme indicado na figura a seguir:
 
O jogo consiste em chegar a um determinado ponto sem 
passar por cima dos pontos pretos já indicados.
8
7
6
5
4
3
2
1
A B C D E F G H
Respeitando-se o movimento da peça torre e as suas 
regras de movimentação no jogo, qual é o menor número 
de movimentos possíveis e necessários para que a torre 
chegue à casa C1?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7
GABARITO
Fixação
01. C 04. C
02. D 05. A
03. A 
Propostos
01. A
02. D
03. C
04. A ordem de chegada é: Célia, Alice, Dora e Beatriz.
05. A
06. C
07. C
08. B
09. E 
10. A11. B
12. D
13. B
14. B
15. Alternativa D
16. C
Seção Enem
01. D 04. C
02. E 05. B
03. C 06. C
Frente A Módulo 01
FRENTE
11Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
POTÊNCIA DE EXPOENTE 
NATURAL
Definição
Dados um número real a e um número natural n, com 
n > 1, chama-se de potência de base a e expoente n o 
número an, que é o produto de n fatores iguais a a.
Dessa defi nição, decorre que:
a2 = a.a, a3 = a.a.a, a4 = a.a.a.a, etc.
an = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅a a a a
fatoresn
Dados um número real a, não nulo, e um número natural n,
chama-se de potência de base a e expoente –n o número a–n, 
que é o inverso de an.
a
a
n
n
− = 1
Por defi nição, temos ainda que a0 = 1 (sendo a ≠ 0) e a1 = a.
Propriedades
Se a ∈ , b ∈ , m ∈  e n ∈ , então valem as seguintes 
propriedades:
am.an = am + n
a
a
m
n
 = am – n, a ≠ 0
(a.b)n = an.bn
a
b
a
b
n n
n




= , b ≠ 0
(am)n = am.n
RAIZ ENÉSIMA ARITMÉTICA
Definição
Dados um número real não negativo a e um número 
natural n, n ≥ 1, chama-se de raiz enésima aritmética de a 
o número real e não negativo b tal que bn = a.
O símbolo an , chamado radical, indica a raiz enésima 
aritmética de a. Nele, a é chamado de radicando, e n, de índice.
an = b ⇔ bn = a e b ≥ 0
OBSERVAÇÕES
i) Da defi nição decorre ( ann ) = a, para todo a ≥ 0.
ii) Observemos na defi nição dada que:
Correto Incorreto
¹36 = 6 ¹16 = ±4
9
4
3
2
= 25
81
5
9
= ±
³–8 = –2 ¹0,09 = ±0,3
±¹49 = ±7 36
64
6
8
=
±
±
iii) Devemos estar atentos no cálculo da raiz quadrada 
de um quadrado perfeito:
a2 = |a|
Exemplos
1º) ( )−5 2 = |–5| = 5, e não ( )−5 2 = –5
2º) x2 = |x|, e não x2 = x
No conjunto dos números reais, temos situações distintas 
conforme n seja par ou ímpar.
i) Para n par:
Se a < 0, não existe raiz n-ésima de a.
 Exemplo: −5 não existe no conjunto dos números 
reais.
Potenciação e radiciação 02 A
12 Coleção Estudo
Se a = 0, a única raiz n-ésima é zero.
Exemplo: ¹0 = 0
Se a > 0, a única raiz n-ésima de a é an .
Exemplo: ¹4 = 2
ii) Para n ímpar:
 Qualquer que seja o número real a, existe uma única 
raiz n-ésima, que é indicada por an (ou an
1
, como 
veremos adiante).
Exemplos
1º) −83 = –2
2º) 13 = 1
Propriedades
Se a ∈ +, b ∈ +, m ∈ , n ∈ 
* e p ∈ *, temos:
a amn mpnp= ⋅⋅
. .a b a bn n n=
a
b
a
b
n
n
n
= (b ≠ 0)
( )a an m mn=
a anp np= ⋅
Se b ∈ + e n ∈ 
*, temos b a a bn nn. .= .
Exemplos
1º) 2 5 5 2 403 33 3= =.
2º) − = − = −3 2 2 3 182.
Assim, o coefi ciente do radical pode ser colocado no 
radicando com expoente igual ao índice do radical.
POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL
Definição
 Dados um número real a (positivo), um número inteiro 
p e um número natural q (q ≥ 1), chama-se de potência de 
base a e expoente 
p
q
 a raiz com índice q de ap.
a > 0 ⇒ a a
p
q pq= > 0
Sendo 
p
q
 > 0, defi ne-se 0
p
q = 0.
Exemplos
1º) 2 2 2 2 2 2
3
2 3 2= = =.
2º) 3 3
1
5 5=
Propriedades
As propriedades a seguir se verifi cam para as potências 
de expoente racional.
Assim, se a ∈ *+, 
p
q
 ∈ , r
s
 ∈ , então valem as seguintes 
propriedades:
a a a
p
q
r
s
p
q
r
s. =
+
a
a
a
p
q
r
s
p
q
r
s=
−
( . ) .a b a b
p
q
p
q
p
q=
a
b
a
b
p
q
p
q
p
q



 =
a a
p
q
r
s p
q
r
s( ) = .
RACIONALIZAÇÃO DE 
DENOMINADORES
Para facilitar cálculos, é comum eliminar raízes dos 
denominadores das frações, através de um processo 
chamado racionalização. 
Por exemplo, ao realizarmos a divisão 
1
2
, como ¹2 é
aproximadamente 1,41, teremos de efetuar 
1
1 41,
.
Porém, se racionalizarmos a fração dada (multiplicando 
numerador e denominador por ¹2 ), teremos:
1
2
1
2
2
2
2
2
= =.
E usando a mesma aproximação anterior, fi camos com a 
divisão 
1 41
2
,
, que é mais simples que a primeira.
De modo geral, para racionalizarmos uma fração 
com denominador apn , multiplicamos o numerador e o 
denominador por an pn − , pois − +a a apn n pn p n pn. −= = a.
Frente A Módulo 02
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
13Editora Bernoulli
Exemplos
1º) 
3
5
3
5
5
5
3 5
5
3 5
52
= = =.
2º) 
1
3
1
3
3
3
3
3
27
325 25
35
35
35
55
5
= = =.
Caso apareça no denominador de uma fração uma soma 
de radicais, devemos utilizar os produtos notáveis.
Vejamos alguns exemplos de racionalizações:
Exemplo 1
Quando o denominador é do tipo a + b ou a – b, e a e / ou b 
são raízes quadradas, lembrando que:
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
então devemos multiplicar numerador e denominador por 
a – b ou a + b, respectivamente. Assim:
1º) 2
5 1
2
5 1
5 1
5 1
2 5 1
5 1
5 1
22 2+
=
+
−
−
= −
−
= −.
( )
( )
2º) 
1
7 2
1
7 2
7 2
7 2
7 2
5−
=
−
+
+
= +.
Exemplo 2
Quando o denominador é do tipo a – b ou a + b, e um dos 
dois é uma raiz cúbica, lembrando que:
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
então devemos multiplicar o numerador e o denominador 
por a2 + ab + b2 ou a2 – ab + b2, respectivamente. Assim:
1
2 1
1
2 1
2 2 1
2 2 1
3 3
23 3 2
23 3 2−
=
−
+ +( ) 
+ +( ) 
. ⇒
1
2 1
2 2 1
2 13
23 3
33 3−
= + +
( )
−
 ⇒
1
2 1
4 2 1
3
3 3
−
= + +
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFLA-MG) O valor da expressão 10 10 10
10 10 10
2 1 1
2
2
2
n
m m
m
n n
( )− +
+
+
+( )
 é
A) 1 
B) 10 
C) 10 2
2m
n
. −
D) 10 2
2m
n
. +
E) 10–1
02. (UFMG) Uma fazenda tem uma área de 0,4 km2. Suponha 
que essa fazenda seja um quadrado, cujo lado mede 
 metros. O número  satisfaz a condição
A) 180 <  < 210 
B) 210 <  < 250 
C) 400 <  < 500 
D) 600 <  < 700
03. (UFV-MG) A expressão 7
7 + −a a
, em que a é um 
número real positivo, equivale a
A) 7 
B) ¹7 + a + ¹a 
C) ¹7
D) 
7
7
E) 1
04. (UFMG) O valor de m = ( )
, ...
.− −





−
3
1
0 444
3
2
2
3
2
84
 é
A) − 2
21 7
 
B) 
1
24
 
C) 
3
5
D) 
2
3
E) 
9
8
05. (UFMG) O valor de
m = (2¹8 + 3¹5 – 7¹2)(¹72 + ¹20 – 4¹2) é
A) 6 
B) 6¹6 
C) 16
D) 18
E) 12¹5
Potenciação e radiciação
14 Coleção Estudo
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFMG) Se a = 10–3, o valor de 0 01 0 001 10
100 0 0001
1, . , .
. ,
−
, em 
função de a, é
A) 100a 
B) 10a 
C) a 
D) 
a
10
02. (PUC Minas) O valor da expressão y = 8. 10 33 − .5.10–3 é
A) 40 D) 4.10–3
B) 40.102 E) 40.10–3
C) 40–2
03. (FUVEST-SP) Qual desses números é igual a 0,064?
A) 1
80
2





 D) 
1
800
2





 
B) 1
8
2





 E) 
8
10
3






C) 2
5
3






04. (UNIFEI-MG–2008) Sejam A x
y
B
y
x
e C
x
y
= = =,
2
3 6 . 
Então, o produto A.B.C é igual a
A) ³y 
B) ³x 
C) 
x
y
3
D) ³xy
05. (UFPel-RS) O valor da expressão 1
4
1
32
0 5 0 2




÷ 



, ,
 é
A) 0,125 D) 0,75
B) 0,25 E) 1
C) 0,5
06. (Cesgranrio) O número de algarismos do produto 
517.49 é igual a
A) 17 
B) 18 
C) 26
D) 34
E) 35
07. (UECE) Considerando os números a = 5 3
2
+
e 
b = 
5 3
2
−
, o valor de a2 – b2 é
A) 5¹3 
B) 2¹3 
C) 
3
2
D) 
3
4
08. (UFMG) Se a e b são números reais positivos tais que 
(a2 + b3)(a2 – b3) = 
2
3
3
7 – b6, pode-se afirmar que a
− 1
3 é 
igual a
A) 3 27 312 . − 
B) 3 27 312 − . 
C) 3 228 123 .
D) 3 228 123 − .
E) ( . )3 2 2144 −
09. (Mackenzie-SP) Se (2x.ky + 1.5t + 3).(2x – 1.ky.5t + 1)– 1 = 150, 
então k vale
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5
10. (Cesgranrio) Um número real x, que satisfaz 
¹35 < x < ¹39, é
A) 5,7 
B) 5,8 
C) 6 
D) 6,3
11. (FUVEST-SP) Qual é o valor da expressão 3 1
3 1
3 1
3 1
+
−
+ −
+
? 
A) ¹3 
B) 4 
C) 3
D) 2
E) ¹2
Frente A Módulo 02
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
15Editora Bernoulli
12. (PUC Minas) Se x e y=
+
=
−
2
3 2 2
56
4 2
, então x + y é 
igual a
A) 22 
B) 2¹2 
C) 8¹2
D) 2 + 8¹2
E) 160 + 4¹2
13. (Cesgranrio) Efetuando e simplificando 1
1
1
1+
+
−x x
, 
obtemos
A) 
1
1 2− x 
B) 
2
1 2− x 
C) 
1
1 − x
D) 
1
1 + x
E) 
2
1 − x
14. (UEL-PR) Seja M = 5
32 1 5










− ,
.(0,6)–2.
Efetuando-se as operações, tem-se que
A) M < −
5
3
 
B) –1 < M < 0 
C) 0 < M < 
1
3
D) 
1
2
 < M < 
4
5
15. (PUC-Campinas-SP) Efetuando-se a expressão adiante, 
obtém-se
14
125
3
5
11
25
3 + −
A) 
14 2
5
3 +
 
B) 
114
5
3 
C) 
6
5
D) 
4
5
E) 
3
5
16. (PUC-Campinas-SP) Simplificando-se a expressão 
2 3
1
5 2 6
2
+( ) +
+( ) , obtém-se
A) 10 
B) 25 
C) 10 – 2¹6
D) 10 + 2¹6
E) 10 – 4¹6
17. (PUC Rio) Seja a = 12(¹2 – 1), b = 4¹2 e c = 3¹3, então
A) a < c < b
B) c < a < b 
C) a < b < c
D) b < c < a
E) b < a < c
18. (UFV-MG) Dada a expressão
E = −




÷ −








 −



+ + 



−
−
1
2
1
2
1
2
2
1
3
4 3 6
7
3
. ,
é CoRRETo afirmar que o valor de 2E – 26 é
A) 28 D) –17
B) 54 E) –35
C) 80
19. (FUVEST-SP) O mENoR número inteiro positivo que 
devemos adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado 
de um número inteiro positivo é
A) 37 
B) 36 
C) 35
D) 34
E) 33
20. (UNIFESP-SP–2008) Se 0 < a < b, racionalizando o 
denominador, tem-se que:
1
a b
b a
b a+
= −
−
Assim, o valor da soma
1
1 2
1
2 3
1
3 4
1
999 1 000+
+
+
+
+
+ +
+
... é
A) 10¹10 – 1 D) 100
B) 10¹10 E) 101
C) 99
Potenciação e radiciação
16 Coleção Estudo
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2010) Um dos grandes problemas da poluição dos 
mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de 
jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão 
interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, 
cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões 
(107) de litros de água potável.
Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja 
(ed. 2 055), Claudia (ed. 555), National Geographic (ed. 93) 
e Nova Escola (ed. 208) (Adaptação).
Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem 
os óleos de frituras através dos encanamentos e 
consomem 1 000 litros de óleo em frituras por semana.
Qual seria, em litros, a quantidade de água potável 
contaminada por semana nessa cidade?
A) 102 C) 104 E) 109
B) 103 D) 105 
02. (Enem–1999) O diagrama seguinte representa a energia 
solar que atinge a Terra e sua utilização na geração 
de eletricidade. A energia solar é responsável pela 
manutenção do ciclo da água, pela movimentação do ar, 
e pelo ciclo do carbono que ocorre através da fotossíntese 
dos vegetais, da decomposição e da respiração dos seres 
vivos, além da formação de combustíveis fósseis.
Proveniente do Sol
200 bilhões de MW
Energia potencial
(chuvas)
Petróleo, gás
e carvão
Eletricidade
500 000 MW
Usinas hidroelétricas
100 000 MW
Usinas termoelétricas
400 000 MW
Aquecimento
do solo
Evaporação
da água
Aquecimento
do ar
Absorção
pelas plantas
De acordo com o diagrama, a humanidade aproveita, na 
forma de energia elétrica, uma fração da energia recebida 
como radiação solar correspondente a
A) 4 x 10–9 D) 2,5 x 10–3
B) 2,5 x 10–6 E) 4 x 10–2
C) 4 x 10–4
03. (Enem–2009 / Anulada) No depósito de uma biblioteca há 
caixas contendo folhas de papel de 0,1 mm de espessura, 
e em cada uma delas estão anotados 10 títulos de livros 
diferentes. Essas folhas foram empilhadas formando uma 
torre vertical de 1 m de altura. Qual a representação, em 
potência de 10, correspondente à quantidade de títulos 
de livros registrados nesse empilhamento?
A) 102 B) 104 C) 105 D) 106 E) 107
04. (Enem–2003) Dados divulgados pelo Instituto Nacional de 
Pesquisas Espaciais mostraram o processo de devastação 
sofrido pela Região Amazônica entre agosto de 1999 
e agosto de 2000. Analisando fotos de satélites, os 
especialistas concluíram que, nesse período, sumiu do 
mapa um total de 20 000 quilômetros quadrados de 
floresta. Um órgão de imprensa noticiou o fato com o 
seguinte texto:
“O assustador ritmo de destruição é de um campo de 
futebol a cada oito segundos.”
Considerando que um ano tem aproximadamente 32 x 106 s 
(trinta e dois milhões de segundos) e que a medida da 
área oficial de um campo de futebol é aproximadamente 
10–2 km2 (um centésimo de quilômetro quadrado), 
as informações apresentadas nessa notícia permitem 
concluir que tal ritmo de desmatamento, em um ano, 
implica a destruição de uma área de
A) 10 000 km2, e a comparação dá a ideia de que a 
devastação não é tão grave quanto o dado numérico 
nos indica.
B) 10 000 km2, e a comparação dá a ideia de que a 
devastação é mais grave do que o dado numérico 
nos indica.
C) 20 000 km2, e a comparação retrata exatamente o 
ritmo da destruição.
D) 40 000 km2, e o autor da notícia exagerou na 
comparação, dando a falsa impressão de gravidade 
a um fenômeno natural.
E) 40 000 km2 e, ao chamar atenção para um fato 
realmente grave, o autor da notícia exagerou na 
comparação.
GABARITO
Fixação
01. E 02. D 03. B 04. D 05. D
Propostos
01. D 05. E 09. C 13. E 17. A
02. D 06. B 10. C 14. D 18. A
03. C 07. A 11. B 15. D 19. A
04. B 08. A 12. A 16. A 20. A
Seção Enem
01. E 02. B 03. C 04. E
Frente A Módulo 02
FRENTE
17Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
PRODUTOS NOTÁVEIS
Os produtos notáveis são identidades que podem ser 
obtidas de maneira prática. Assim, como são muito frequentes 
no cálculo algébrico, iremos listar os principais:
i) Quadrado da soma de dois termos
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2
ii) Quadrado da diferença de dois termos
(a – b)2 = a2 – 2.a.b + b2
iii) Produto da soma pela diferença de dois termos 
(a + b)(a – b) = a2 – b2
iv) Cubo da soma de dois termos
(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
v) Cubo da diferença de dois termos
(a – b)3 = a3 – 3.a2.b + 3.a.b2 – b3
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Desenvolver os seguintes produtos notáveis:
A) 
a
b
3
2
−



Resolução:
 a b
a a
b b
a ab
3 3
2
3 9
2
3
2 2
2 2
– . .





 =





 − + ( ) = − + bb2
B) (x + 3y)(x – 3y)
Resolução:
 (x + 3y)(x – 3y) = (x)2 – (3y)2 = x2 – 9y2
02. (UNIMEP-SP) A diferença entre o quadrado da soma de 
dois números inteiros e a soma de seus quadrados não 
pode ser
A) 12 B) 6 C) 4 D) 2 E) 9
Resolução:
Sejam x e y dois números inteiros. Temos:
(x + y)2 – (x2 + y2) = x2 + 2xy + y2 – x2 – y2 = 2xy
Como o número obtido é par, temos que o único 
valor que não corresponde à expressão é 9. Portanto, 
a alternativa correta é a letra E.
FATORAÇÃO
Seja uma expressão algébrica escrita como uma soma de 
termos. Fatorar essa expressão significa escrevê-la na forma 
de um produto. Para tanto, existem determinadas técnicas, 
descritas a seguir:
Fator comum
Inicialmente, identificamos um termo comum a todas as 
parcelas da expressão. Em seguida, colocamos esse termo 
em evidência.
Exemplos
1º) ab + ac = a(b + c)
2º) 24x3y2 – 6x4y + 12x2y5 = 6x2y(4xy – x2 + 2y4)
Agrupamento
Às vezes, não é possível identificar, de início, um fator comum 
a todas as parcelas da expressão. Nesse caso, formamos dois 
ou mais grupos com um termo comum. Em seguida, colocamos 
em evidência um fator comum a todos os grupos. 
Exemplos
1º) ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y)
 = (x + y)(a + b)
2º) 8x2 – 4xz – 6xy + 3yz = 4x(2x – z) – 3y(2x – z)
 = (2x – z)(4x – 3y)
EXERCÍCIO RESOLVIDO
03. Fatorar a expressão a2 – 4ba + 3b2.
Resolução:
a2 – 4ba + 3b2 = a2 – ba – 3ba + 3b2
 = a(a – b) – 3b(a – b)
 = (a – b)(a – 3b)
Soma e diferença de cubos
Trata-se de identidades muito úteis em cálculo algébrico.
São elas:
i) Soma de cubos
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
ii) Diferença de cubos 
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Exemplo 
Fatorar a expressão x3 – 27.
Resolução:
x3 – 27 = x3 – 33 = (x – 3)(x2 + 3x + 9)
Produtos notáveis e fatoração 01 B
18 Coleção Estudo
Identificação de um produto notável
Exemplos
1º) x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 → Quadrado da soma.
2º) a4b2 – c6 = (a2b)2 – (c3)2 = (a2b + c3)(a2b – c3)
→ Produto da soma pela diferença.
3º) a3 – 3a2 + 3a – 1 = (a – 1)3 → Cubo da diferença.
Fatoração do trinômio da forma
ax2 + bx + c
Sejam x1 e x2 as raízes reais do trinômio ax
2 + bx + c,com a ≠ 0. Esse trinômio pode ser escrito na forma:
a(x – x1)(x – x2)
OBSERVAÇÃO
As raízes podem ser obtidas pela Fórmula de Bháskara:
x = − ±b
a
∆
2
, sendo ∆ = b2 – 4ac.
Exemplo 
Fatorar a expressão x2 – 5x + 6.
Resolução:
Cálculo das raízes:
∆ = (–5)2 – 4.1.6 = 25 – 24 = 1
x = 5 1
2
± ⇒ x1 = 2 e x2 = 3
Substituindo na forma fatorada, temos 1(x – 2)(x – 3).
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFMG–2006) Sejam x e y números reais não nulos tais 
que 
x
y
y
x2
2
2+ = − . Então, é CoRRETo afi rmar que
A) x2 – y = 0 C) x2 + y = 0
B) x + y2 = 0 D) x – y2 = 0
02. (UFV-MG) Simplifi cando-se a expressão x xy
x y y x
2
2 2
1 1+
−
−




 , 
em que x e y são números positivos e distintos, obtém-se
A) 
1
x
 B) 2y C) xy D) 
1
y
 E) 2x
03. (Mackenzie-SP) Se a a
1
2
1
2 10
3
+ =
−
, então a + a–1 vale
A) 
100
9
 B) 
82
3
 C) 
82
9
 D) 
100
82
 E) 
16
9
04. (Fatec-SP) Sabe-se que a2 – 2bc – b2 – c2 = 40 e 
a – b – c = 10 e que a, b e c são números reais. Então, 
o valor de a + b + c é igual a
A) 1 B) 2 C) 4 D) 10 E) 20
05. (UFV-MG) Sabendo-se que x + y = 15
7
 e x – y = 
1
14
,
qual é o valor da expressão seguinte?
( )( )
( )( )
( )x xy y x y
x y x xy y
x xy
x
2 2 3 3
2 2 2 2
22
2
+ + −
− + +
÷ −
A) 30 B) 
30
7
 C) 60 D) 
60
7
 E) 25
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. FAToRE:
A) mx + nx – px D) x8 – 1
B) 2ax2 – 32a E) m2 – mn – 3m + 3n
C) 4m3 – 6m2 F) x5 + 2x4 + x3
02. (PUC Minas) O resultado simplificado da expressão 
1 1 1 1
2 2m n m n
m n
mn
−



÷ −







÷ + é
A) 
1
2m
 
B) 
m n
n
+
 
C) 
m
n
D) 
m n
m
+
E) 1
03. FAToRE:
A) 4a2 – 9b2 E) m4 – 16n4
B) (x + y)2 – y2 F) 
1 1
2 2x y
−
C) (a + b)2 – (a – b)2 G) x2 + 2xy + y2
D) 1 – (x + y)2 H) x2 – 2xy + y2 – 1
04. FAToRE os seguintes trinômios do 2º grau:
A) x2 + 9x + 20 
B) x2 – 9x + 20 
C) y2 – 10y – 24 
D) t2 + 12t – 45
05. FAToRE:
A) x3 + 8 C) a3 – 1
B) a3 + 125 D) h3 – 64
06. Dado x2 + 12x
 = 6, CALCULE x + 
1
x
.
Frente B Módulo 01
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
19Editora Bernoulli
07. (Fatec-SP–2006) Se a, x, y, z são números reais tais que 
z = 
2 2
1
2
13 2 2
x y ax ay
a a a
a
a
− + −
− − +
+
−
÷ , então z é igual a
A) 
x y
a
−
− 1 D) 
x y
a
+
− 1
B) 
x y
a
−
−2 1 E) 
( )( )x y a
a
− +
−
1
1
C) 
x y
a
+
+ 1
08. (Unifor-CE) O número real 
y = 
3 3 6
4
4 4
2
3 2
2
2
2
x x x
x
x x
x x
+ −
−
+ − +
−
é equivalente a
A) 
3 2 4
2
3 2x x
x x
− +
−( ) D) 
3 2 2
2 1
2x x
x
− −
−( )
B) 
3 2 4 4
2
3 2x x x
x x
− − +
−( ) E) 
3 2 4
2
2x x
x
+ −
C) 
3 6 21
4
3x x− −
09. (FGV-SP) O valor da expressão y = 0 49
0 7
2,
,
−
+
x
x
 para 
x = –1,3 é
A) 2 B) –2 C) 2,6 D) 1,3 E) –1,3
10. (UFMG) Sejam a, b e c números reais e positivos tais que 
ab
b c
b bc
a+
= −
2
. Então, é CoRRETo afirmar que
A) a2 = b2 + c2
B) b = a + c
C) b2 = a2 + c2
D) a = b + c
11. (UFES) O número N = 2 0022.2 000 – 2 000.1 9982 é igual a
A) 2.106 D) 16.106
B) 4.106 E) 32.106
C) 8.106
12. (UFMG) Simplificando-se a expressão 
24 6 15 60
10 40 4 16
y xy x
x xy y
+ − −
− − + , obtém-se
A) − +
−
≠ ≠3 4
2 4
5
2
4
( )
( )
, ,
x
x
y x
B) − +
−
≠ ≠2 4
3 4
5
2
4
( )
( )
, ,
x
x
y x
C) 
2 4
3 4
5
2
4
( )
( )
, ,
x
x
y x
+
−
≠ − ≠
D) 
3 4
2 2
5
2
2
( )
( )
, ,
x
x
y x
−
+
≠ − ≠ −
E) − ≠ − ≠ −3
2
5
2
4, ,y x
13. (UFMG) Se a2 + 3b2 = 1
a
, a expressão (a + b)3 + (a – b)3 
é igual a
A) 2(1 – 3ab2) D) 1
B) 2a2 E) 2
C) 
1
a
14. (UFMG) Fatorando-se a expressão x4 – y4 + 2x3y – 2xy3, 
obtém-se
A) (x + y)2(x – y)2 D) (x +y)4
B) (x + y)(x – y)3 E) (x + y)3(x – y)
C) (x2 + y2)(x – y)2
15. (PUC Minas) A diferença entre os quadrados de dois 
números ímpares, positivos e consecutivos é 40. Esses 
números pertencem ao intervalo
A) [3, 9] C) [8, 14] E) [9, 11[
B) [4, 10] D) [10, 15] 
16. (UFES) CALCULE o valor da expressão:
[102 + 202 + 302 + ... + 1002] – [92 + 192 + 292 + ... + 992]
17. (FEI-SP) Simplificando a expressão representada a seguir, 
obtemos
( )a b ab a b
a b
2 2
3 3
2 2
1 1
1 1
+
−
−
A) a + b D) a2 + ab + b2
B) a2 + b2 E) b – a
C) ab
18. (FUVEST-SP) Sabendo que x, y e z são números reais e 
(2x + y – z)2 + (x – y)2 + (z – 3)2 = 0, então x + y + z é igual a
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
19. (FGV-SP–2010) Fatorando completamente o polinômio 
x9 – x em polinômios e monômios com coeficientes 
inteiros, o número de fatores será
A) 7 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
20. (PUC Rio) Se x2(1 – y)2 = y2(1 – x)2 e x ≠ y, então x + y 
será
A) x2 + y2 C) 2 E) 2y
B) xy D) 2xy 
21. (UFMG) A expressão x x x x
1
2
1
4
1
2
1
41 1− +



 + +



 é igual a
A) x x
1
4
1
2 1− + D) x x+ +
1
2 1
B) x x− +
1
2 1 E) N.d.a.
C) x x
1
2
1
4 1− +
Produtos notáveis e fatoração
20 Coleção Estudo
22. (UFOP-MG–2008) Simplificando a expressão
ax ay
x xy y
2 2
2 24 3
−
− +
para x ≠ y, obtém-se
A) 
a x y
x y
( )−
+ 3
 C) 
a x y
x y
( )+
− 3
B) 
x y
x y
−
+ 3
 D) 
x y
x y
+
− 3
23. (PUC Minas) Após simplificar a expressão 3 2 1
2 3 1
2
2
x x
x x
− −
− +
, 
com x ≠ 1, obtém-se
A) 
2 1
3 1
x
x
−
+
 D) 
2 1
3 1
x
x
+
−
B) 
3 1
2 1
x
x
+
−
 E) 
2 1
3 1
x
x
−
−
C) 
3 1
2 1
x
x
−
+
SEÇÃO ENEM
01. Em Matemática, verifica-se em várias situações uma 
correspondência entre um modelo algébrico e um modelo 
geométrico. Como exemplo, observe a figura a seguir:
b
b
a
a
A área da figura anterior corresponde ao produto notável
A) (a – b)2 D) (a + b)3
B) (a + b)2 E) (a – b)3
C) (a + b)(a – b)
02. Anselmo foi encarregado de calcular o valor da expressão 
A = 4 000.2062 – 4 000.2042, sem utilizar calculadora. Seu 
amigo Fernando recomendou a utilização de técnicas de 
fatoração, além do conhecimento dos produtos notáveis. 
Ao seguir o conselho de Fernando, Anselmo obteve
A) 3 280 000 D) 1 680 000
B) 360 000 E) 1 240 000
C) 2 380 000
GABARITO
Fixação
01. B 
02. D 
03. C 
04. C 
05. C
Propostos
01. A) x(m + n – p)
 B) 2a(x + 4)(x – 4)
 C) 2m2(2m – 3)
 D) (x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x – 1) 
 E) (m – n)(m – 3)
 F) x3(x + 1)2
02. E
03. A) (2a – 3b)(2a + 3b)
 B) x(x + 2y)
 C) 4ab
 D) (1 – x – y)(1 + x + y)
 E) (m + 2n)(m – 2n)(m2 + 4n2)
 F) 
1 1 1 1
x y x y
+




 −






 G) (x + y)2
 H) (x – y + 1)(x – y – 1)
04. A) (x + 5)(x + 4)
 B) (x – 5)(x – 4)
 C) (y – 12)(y + 2) 
 D) (t + 15)(t – 3)
05. A) (x + 2)(x2 – 2x + 4)
 B) (a + 5)(a2 – 5a + 25)
 C) (a – 1)(a2 + a + 1)
 D) (h – 4)(h2 + 4h + 16)
06. ±2¹2 15. C
07. A 16. 1 090
08. B 17. D
09. A 18. C
10. C 19. B
11. E 20. D
12. A 21. D
13. E 22. C
14. E 23. B
Seção Enem
01. B
02. A
Frente B Módulo 01
FRENTE
21Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
DIVISÃO EUCLIDIANA
O algoritmo da divisão de dois números inteiros D e d, 
com d ≠ 0, é representado da seguinte forma:
D d
r q
Em que 0 ≤ r < |d| e D = qd + r.
Portanto, q é o quociente, e r é o resto da divisão de D por d, 
e denotamos D por dividendo e d por divisor.
OBSERVAÇÃO
Quando temos o caso em que r = 0, então D = q.d e, assim, 
dizemos que D é um múltiplo de d ou d é um divisor de D.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Considere todas as divisões entre números naturais 
tais que o divisor é 13 e o resto é o triplo do quociente. 
Determinar a soma dos possíveis quocientes dessas 
divisões.
Resolução:
Sejam D o dividendo e q o quociente na situação descrita. 
Como o resto é o triplo do quociente, escrevemos: 
 D 13
3q q
Sabemos que o resto deve ser menor do que o divisor. 
Portanto, devemos encontrar todos os valores de q para 
os quais 3q < 13. Assim, temos:
Para q = 0 ⇒ 3q = 0 < 13
Para q = 1 ⇒ 3q = 3 < 13
Para q = 2 ⇒ 3q = 6 < 13
Para q = 3 ⇒ 3q = 9 < 13
Para q = 4 ⇒ 3q = 12 < 13
Para q = 5 ⇒ 3q = 15 > 13 (não convém)
Portanto, os possíveis valores de q são 0, 1, 2, 3 e 4. 
A sua soma é igual a 10.
Resposta: 10MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM 
NÚMERO NATURAL 
Sejam dois números inteiros a e b, em que b ≠ 0. O número 
a será múltiplo de b se existir um número inteiro m tal que:
a = m.b
Daí, dizemos que:
i) a é múltiplo de b, ou
ii) a é divisível por b, ou
iii) b é divisor de a, ou
iv) b divide a.
Número par
É todo número inteiro divisível por 2, ou seja, que pode 
ser escrito na forma 2n, com n ∈ .
Número ímpar
É todo número inteiro que não é divisível por 2, ou seja, 
que pode ser escrito na forma 2n + 1, em que n ∈ .
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando 
seu último algarismo é par.
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando 
a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 
quando o número formado pelos dois últimos algarismos 
é divisível por 4.
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando 
o último algarismo é 0 ou 5.
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando 
é divisível por 2 e por 3.
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 
quando o número formado pelos 3 últimos algarismos é 
divisível por 8.
Divisibilidade, MDC e MMC 02 B
22 Coleção Estudo
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando 
a soma de seus algarismos é divisível por 9.
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 
quando o seu último algarismo é 0.
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 
quando a soma dos algarismos de ordem ímpar menos a 
soma dos algarismos de ordem par é um número divisível 
por 11.
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 
quando é divisível por 3 e por 4.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02. (EPCAR-MG) Considere o número m = 488a9b, em que 
b é o algarismo das unidades e a é o algarismo das 
centenas. Sabendo-se que m é divisível por 45, o valor da 
soma a + b é
A) 7 
B) 9 
C) 16
D) 18
Resolução:
Um número é divisível por 45 se esse número é divisível 
por 9 e por 5. Para que m seja divisível por 5, temos de 
considerar duas possibilidades: b = 0 ou b = 5
i) Para b = 0, temos m = 488a90. Porém, m é divisível 
também por 9, ou seja, a soma
 4 + 8 + 8 + a + 9 + 0 = 29 + a
 deve ser divisível por 9. O múltiplo de 9 mais próximo 
de 29 é o número 36. Para que a soma seja igual a 
esse número, temos a = 7. 
ii) Para b = 5, temos m = 488a95. Porém, m é divisível 
também por 9, ou seja, a soma 
 4 + 8 + 8 + a + 9 + 5 = 34 + a
 deve ser divisível por 9. Como no caso anterior, 
a soma deve ser igual a 36. Portanto, a = 2. 
Em ambos os casos, temos a + b = 7.
Resposta: Letra A
NÚMEROS PRIMOS
Um número inteiro positivo é dito primo quando admite 
exatamente dois divisores positivos: o número 1 e 
ele mesmo.
Sendo P o conjunto dos números primos positivos, temos:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...}
OBSERVAÇÕES
i) Se um número possui mais de dois divisores positivos, 
ele é chamado de composto.
ii) O número 1 não é primo nem composto.
Reconhecimento de um 
número primo
Seja n um número inteiro positivo. Para verificarmos se n 
é primo, podemos proceder da seguinte forma:
i) Calculamos o valor de ¹n. 
ii) Verificamos se n é divisível por cada um dos números 
primos menores do que ¹n.
iii) Se n não é divisível por nenhum desses números 
primos, então n é primo. Caso contrário, n é 
composto. 
Exemplo
Verificar se 97 é primo.
¹97 = 9,85 (aproximadamente)
Os primos menores do que ¹97 são 2, 3, 5 e 7.
Observe que 97 não é divisível por nenhum desses 
números, ou seja, 97 é primo.
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES 
PRIMOS
Todo número natural maior do que 1 ou é primo ou pode 
ser escrito como um produto de fatores primos. Esse produto 
é obtido pela chamada decomposição em fatores primos ou, 
simplesmente, fatoração do número. 
Exemplo
Decompor em fatores primos o número 840.
 840 2
 420 2
 210 2
 105 3
 35 5
 7 7
 1 840 = 23.3.5.7
Frente B Módulo 02
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
23Editora Bernoulli
CÁLCULO DA QUANTIDADE DE 
DIVISORES DE UM NÚMERO 
NATURAL
i) Decompõe-se o número em fatores primos. 
ii) Tomam-se os expoentes de cada fator primo, e soma-se
1 a cada um deles. 
iii) Multiplicam-se os resultados anteriores. O produto é 
a quantidade de divisores positivos do número.
Exemplo
Determinar a quantidade de divisores de 360.
 360 2
 180 2
 90 2
 45 3
 15 3
 5 5
 1 23.32.51
Assim, a quantidade de divisores é:
(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4.3.2 = 24
MÁXIMO DIVISOR COMUM
(MDC)
O máximo divisor comum de dois ou mais números 
naturais é o maior número que é divisor de todos esses 
números. Para se obter o MDC entre dois ou mais números, 
deve-se:
i) Decompô-los em fatores primos.
ii) Tomar os fatores primos comuns com seus menores 
expoentes.
iii) Efetuar o produto desses fatores.
Exemplo
Calcular o máximo divisor comum dos números 90, 96 
e 54.
90 = 2.32.5 96 = 25.3 54 = 2.33
Daí, temos que MDC (90, 96, 54) = 2.3 = 6.
OBSERVAÇÃO
Dois números são ditos primos entre si quando o MDC 
entre eles é igual a 1.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
(MMC)
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números 
naturais é o menor número natural, excluindo o zero, que 
é múltiplo desses números.
Assim, para se obter o MMC entre dois ou mais números 
naturais, deve-se:
i) Decompô-los em fatores primos.
ii) Tomar todos os fatores primos comuns e não comuns 
com seus maiores expoentes.
iii) Efetuar o produto desses fatores.
Exemplo
Calcular o mínimo múltiplo comum dos números 90, 96 
e 54.
90 = 2.32.5 96 = 25.3 54 = 2.33
Daí, temos que o MMC (90, 96, 54) = 25.33.5 = 4 320.
OBSERVAÇÃO
Podemos também calcular o MMC de dois ou mais números 
através da chamada decomposição simultânea.
Refazendo o exemplo anterior, temos:
 90, 96, 54 2
 45, 48, 27 2
 45, 24, 27 2
 45, 12, 27 2
 45, 6, 27 2
 45, 3, 27 3
 15, 1, 9 3
 5, 1, 3 3
 5, 1, 1 5
 1, 1, 1 MMC (90, 96, 54) = 25.33.5 = 4 320
RELAÇÃO ENTRE O MMC
E O MDC
Sendo a e b dois números naturais, temos: 
[MMC (a, b)].[MDC (a, b)] = a.b
Divisibilidade, MDC e MMC
24 Coleção Estudo
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
03. Determinar a soma dos algarismos do menor número 
natural que, quando dividido por 2, 3, 5 ou 9, deixa 
sempre resto 1.
Resolução:
Seja x o número procurado. Logo, temos:
 x 2
 1 q1
 
 x 3
 1 q2
 
 x 5
 1 q3
 
 x 9
 1 q4
Em que q1, q2, q3 e q4 são os quocientes de cada uma dessas 
divisões. Podemos escrevê-las da seguinte forma:
x = 2q1 + 1 ⇒ x – 1 = 2q1 ⇒ x – 1 é múltiplo de 2
x = 3q2 + 1 ⇒ x – 1 = 3q2 ⇒ x – 1 é múltiplo de 3
x = 5q3 + 1 ⇒ x – 1 = 5q3 ⇒ x – 1 é múltiplo de 5
x = 9q4 + 1 ⇒ x – 1 = 9q4 ⇒ x – 1 é múltiplo de 9
Portanto, x – 1 é um múltiplo comum de 2, 3, 5 e 9. 
Como queremos o menor número x que satisfaz essas 
condições, então temos:
x – 1 = MMC (2, 3, 5, 9) = 90 ⇒ x – 1 = 90 ⇒ x = 91
A soma dos algarismos de x é 10.
Resposta: 10
04. Determinar o menor número natural que deixa restos 
3, 5 e 6 quando dividido por 5, 7 e 8, respectivamente.
Resolução:
Seja x o número procurado. Daí, temos:
 x 5
 3 q1
 
 x 7
 5 q2
 
 x 8
 6 q3
Em que q1, q2, q3 são os quocientes de cada uma dessas 
divisões. Logo, temos:
x = 5q1 + 3 ⇒
x + 2 = 5q1 + 3 + 2 ⇒
x + 2 = 5q1 + 5 ⇒
x + 2 = 5(q1 + 1)
Assim, como o resto é zero, então x + 2 é múltiplo de 5.
x = 7q2 + 5 ⇒
x + 2 = 7q2 + 5 + 2 ⇒
x + 2 = 7q2 + 7 ⇒
x + 2 = 7(q2 + 1)
Assim, como o resto é zero, então x + 2 é múltiplo de 7.
x = 8q3 + 6 ⇒
x + 2 = 8q3 + 6 + 2 ⇒
x + 2 = 8q3 + 8 ⇒
x + 2 = 8(q3 + 1)
Assim, como o resto é zero, então x + 2 é múltiplo de 8.
Como queremos o menor número x que satisfaz essas 
condições, então temos:
x + 2 = MMC (5, 7, 8) = 280 ⇒ x = 278
Resposta: 278
05. Em um terminal rodoviário, sabe-se que:
● a cada 50 minutos parte um ônibus da linha Amarela;
● a cada 30 minutos parte um ônibus da linha Verde;
● a cada 40 minutos parte um ônibusda linha Branca.
Considerando-se que às 8h houve uma partida simultânea 
de um ônibus de cada uma das três linhas, e considerando 
que o quadro de horários não sofrerá alterações, 
determinar a hora exata em que a próxima partida 
simultânea ocorrerá. 
Resolução:
O tempo da próxima partida simultânea deve ser 
igual ao mínimo múltiplo comum dos tempos de 
partida de cada uma das linhas. Assim, temos que 
MMC (50, 30, 40) = 600 minutos = 10 horas. 
Portanto, a próxima partida simultânea ocorrerá às 
8h + 10h = 18 horas.
Resposta: 18 horas
06. Uma sala retangular de dimensões 36 m e 40 m deverá 
ter o seu piso preenchido com placas idênticas, de formato 
quadrado e dimensões inteiras. Qual é o menor número 
de placas quadradas necessário para revestir esse piso 
nas condições dadas, de maneira que não haja cortes ou 
sobras de material?
Resolução:
Seja x a medida do lado de cada placa quadrada. Observe 
que, para que não haja sobra de material, a medida x 
deve ser um divisor de 36 e de 40. Para que tenhamos o 
menor número de placas, é necessário que a medida x 
seja a maior possível. Portanto, x = MDC (36, 40) = 4 m. 
O número de placas é obtido dividindo-se a área total da 
sala pela área de uma das placas quadradas.
Logo: 
36 40
4 4
.
.
 = 90 placas
Frente B Módulo 02
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25Editora Bernoulli
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (FEI-SP) Em uma sala retangular de piso plano nas 
dimensões 8,80 m por 7,60 m, deseja-se colocar ladrilhos 
quadrados iguais, sem necessidade de recortar nenhuma 
peça. A medida máxImA do lado de cada ladrilho é
A) 10 cm. D) 40 cm.
B) 20 cm. E) 50 cm.
C) 30 cm.
02. (UFMG) Entre algumas famílias de um bairro, foi 
distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 
borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior 
número possível de famílias fosse contemplado e todas 
recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo 
número de lápis e o mesmo número de borrachas, sem 
haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o número 
de cadernos que cada família ganhou foi
A) 4 C) 8
B) 6 D) 9
03. (UFC-CE–2009) O expoente do número 3 na decomposição 
por fatores primos positivos do número natural 1063 – 1061 
é igual a
A) 6 
B) 5 
C) 4
D) 3
E) 2
04. (UFMG) No sítio de Paulo, a colheita de laranjas ficou entre 
500 e 1 500 unidades. Se essas laranjas fossem colocadas 
em sacos com 50 unidades cada um, sobrariam 12 laranjas e, 
se fossem colocadas em sacos com 36 unidades cada um, 
também sobrariam 12 laranjas. Assim sendo, quantas 
laranjas sobrariam se elas fossem colocadas em sacos 
com 35 unidades cada um?
A) 4
B) 6
C) 7
D) 2
05. (UFU-MG) Considere a e b dois números inteiros, tais que 
a – b = 23, sendo b > 0. Sabendo-se que, na divisão de 
a por b, o quociente é 8 e o resto é o maior valor possível 
nessa divisão, então a + b é igual a
A) 29
B) 26
C) 32
D) 36
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (Cesgranrio) Certo botânico desenvolveu em laboratório 
3 variedades de uma mesma planta, V1, V2 e V3, que se 
desenvolvem cada uma a seu tempo, de acordo com a 
tabela a seguir. Plantando-se as 3 variedades no mesmo dia, 
confiando-se na exatidão da tabela, não ocorrendo nenhum 
fato que modifique os critérios da experiência tabulada e 
levando-se em conta que, a cada dia de colheita, outra 
semente da mesma variedade será plantada, o número 
míNImo de semanas necessário para que a colheita das 
três variedades ocorra simultaneamente será
Variedade
Tempo de 
germinação 
(em semanas, 
após o plantio)
Tempo de 
floração 
(em semanas, 
após a 
germinação)
Tempo para 
única colheita 
(em semanas, 
após a 
floração)
V1 4 3 1
V2 2 3 1
V3 1 2 1
A) 24 D) 12 
B) 18 E) 8
C) 16 
02. (UFMG) Seja N o menor número inteiro pelo qual se deve 
multiplicar 2 520 que o resultado seja o quadrado de um 
número natural. Então, a soma dos algarismos de N é
A) 9 C) 8
B) 7 D) 10
03. (UFJF-MG–2009) Em uma rodovia, a partir do 
quilômetro 40, a cada 3 km há postos de telefones SOS. 
Ocorreu um acidente no quilômetro 750 dessa rodovia. 
A distância do telefone SOS mais próximo do local do 
acidente é
A) 0,6 km. D) 1,2 km.
B) 0,8 km. E) 1,4 km.
C) 1 km.
04. (UNIFESP-SP–2006) Um número inteiro positivo m 
dividido por 15 dá resto 7. A soma dos restos das divisões 
de m por 3 e por 5 é
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
05. (UFU-MG) Se o máximo divisor comum entre os números 
144 e (30)p é 36, em que p é um inteiro positivo, então 
o expoente p é igual a
A) 1 B) 3 C) 4 D) 2
Divisibilidade, MDC e MMC
26 Coleção Estudo
06. (UFOP-MG–2006) O míNImo valor de m para que 
2m x 162 seja divisível por 72 é
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1
07. (UFV-MG) Seja x = 3 600. Se p é o número de divisores 
naturais de x, e q é o número de divisores naturais pares 
de x, então é CoRRETo afirmar que
A) p = 45 e q = 36 D) p = 45 e q = 12
B) p = 36 e q = 45 E) p = 16 e q = 34
C) p = 16 e q = 10
08. (Unicamp-SP) Uma sala retangular medindo 3 m por 
4,25 m deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados 
iguais. Supondo que não haja espaço entre ladrilhos 
vizinhos, pergunta-se:
A) Qual deve ser a dimensão máxima, em centímetros, 
de cada um desses ladrilhos para que a sala possa 
ser ladrilhada sem cortar nenhum ladrilho?
B) Quantos desses mesmos ladrilhos são necessários?
09. (UFU-MG) Dos divisores positivos de 1 800, quantos são 
múltiplos de 8?
A) 4 B) 9 C) 10 D) 8
10. (Unicamp-SP) Sejam a e b dois números inteiros positivos 
tais que MDC (a, b) = 5 e o MMC (a, b) = 105.
A) Qual é o valor de b, se a = 35?
B) ENCoNTRE todos os valores possíveis para (a, b).
11. (FCMMG) Seja x um número inteiro posit ivo. 
Sabendo-se que x satisfaz às seguintes condições: 
é múltiplo de 3; deixa resto 1 se dividido por 2; por 5 ou 
por 7; o menor valor de x, que satisfaz a essas condições, 
pertence ao intervalo
A) [100, 180] C) [280, 360] 
B) [190, 270] D) [370, 450]
12. (UFU-MG) Considere os números naturais ímpares 
1, 3, 5,..., 2 001. Se x = 1.3.5... .2 001. O algarismo que 
ocupa a ordem das unidades de x é
A) 7 C) 5
B) 3 D) 1
13. (UFMG) Considere-se o conjunto m de todos os números 
inteiros formados por exatamente três algarismos iguais. 
Pode-se afirmar que todo n ∈ M é múltiplo de
A) 5 D) 17
B) 7 E) 3
C) 13 
14. (UFES) Deseja-se acondicionar 2 004 bolas de tênis 
em caixas de mesma capacidade, de modo que cada 
caixa contenha o número de bolas determinado por sua 
capacidade. Dispõe-se de vários tipos de caixas, desde 
o tipo com capacidade para apenas uma bola até o tipo 
com capacidade para todas as bolas. Nessas condições, 
o número de todos os possíveis tipos de caixas para 
acondicionar as 2 004 bolas é
A) 12 B) 15 C) 24 D) 25 E) 30
15. (UFU-MG) Desenvolvendo o número 1065 – 92, iremos 
encontrar todos os algarismos que o compõem. Assim, 
pode-se afirmar que a soma desses algarismos é igual a
A) 575 B) 573 C) 566 D) 585
16. (PUC Minas) O mAIoR número que divide 200 e 250, 
deixando como restos 15 e 28, respectivamente, é
A) 37 B) 47 C) 57 D) 67
17. (FMC-RJ) Indique o número inteiro compreendido entre 
387 e 429 que, ao ser dividido por 3, 5 e 7, deixa sempre 
resto 2.
A) 436 B) 418 C) 398 D) 422
18. (UFU-MG) Entre os números naturais compreendidos 
entre 1 e 150, selecione todos aqueles que tenham 
exatamente três divisores positivos. A soma dos números 
selecionados é igual a
A) 87 B) 208 C) 121 D) 464
19. (PUC Minas) No dia 31 de julho do ano 2001, três 
aviões foram vistos sobrevoando juntos certa cidade. 
Um dos aviões sobrevoaram essa cidade de quatro em 
quatro dias, outro de doze em doze dias, e o terceiro, de 
quinze em quinze dias. O próximo dia, do ano de 2001, em 
que os aviões sobrevoaram juntos aquela cidade foi o dia
A) 01 de outubro. C) 29 de setembro.
B) 02 de outubro. D) 30 de setembro.
20. (UFMG) Sejam a, b, c números primos distintos,em 
que a > b. O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo 
comum de m = a2bc2 e n = ab2 são, respectivamente, 
21 e 1 764. Pode-se afirmar que a + b + c é igual a
A) 9 D) 42
B) 10 E) 62
C) 12 
21. (UFU-MG) Sabendo-se que 302 400 = 64.27.25.7, pode-se 
concluir que o número de divisores de 302 400 que são 
múltiplos de 6 é igual a
A) 36 B) 18 C) 168 D) 108
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27Editora Bernoulli
22. (FUVEST-SP) Uma senhora tinha entre trinta e quarenta 
ações de uma empresa para dividir igualmente entre 
todos os seus netos. Num ano, quando tinha 3 netos, se 
a partilha fosse feita, deixaria 1 ação sobrando. No ano 
seguinte, nasceu mais um neto e, ao dividir igualmente 
entre os quatro netos o mesmo número de ações, ela 
observou que sobrariam 3 ações. Nesta última situação, 
quantas ações receberá cada neto?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
23. (UFMG) O produto de um número inteiro positivo “a” de 
três algarismos por 3 é um número terminado em 721. 
A soma dos algarismos de “a” é
A) 12 D) 15
B) 13 E) 16
C) 14 
24. (UFU-MG) O número de três algarismos 2m3 é somado ao 
número 326, resultando no número de três algarismos 5n9. 
Sabendo-se que 5n9 é divisível por 9, m + n é igual a
A) 2 C) 4
B) 6 D) 8
25. (UFMG) Considerem-se todas as divisões de números 
inteiros positivos por 17, cujo resto é igual ao quadrado 
do quociente. A soma dos quocientes dessas divisões é
A) 10 D) 1 + 2 + ... + 17
B) 17 E) 12 + 22 + ... + 172
C) 172
26. (UFMG) Na divisão de dois inteiros positivos, o quociente 
é 16 e o resto é o maior possível. Se a soma do dividendo 
e do divisor é 125, o resto é
A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
C) 6 
27. (UFU-MG) Considere a sequência ordenada de letras 
AMOROMAMOROMAMOROM..., em que se observa que a 
posição 1 é ocupada pela letra A, a posição 2 pela letra 
m e assim por diante. Segundo esse padrão, podemos 
afirmar que a letra que ocupa a posição 2 001 é
A) O. C) A.
B) M. D) R.
28. (Cesgranrio) Seja n um número inteiro positivo tal que 2n 
é divisor de 150. O número de valores distintos de n é
A) 3 D) 6
B) 4 E) 8
C) 5 
29. (PUC Minas) Os números naturais a e b são tais que 
ab = 23.32.5 e 
a
b
 = 0,4. O máximo divisor comum de 
a e b é
A) 6 D) 12
B) 8 E) 30
C) 10 
30. (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num 
determinado instante. Um deles permanece 10 segundos 
fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro 
permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. 
O número mínimo de segundos necessários, a partir 
daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar 
juntos outra vez é
A) 150 C) 190
B) 160 D) 200
31. (UFU-MG) Uma empresa fabricou 9 000 peças do tipo A, 
2 700 peças do tipo B e 4 050 peças do tipo C. Sabendo-se 
que a avaliação de todas as peças pelo controle de 
qualidade foi realizada pelo menor número possível de 
funcionários e que cada funcionário avaliou apenas um 
tipo de peça e o mesmo número de peças que todos 
os demais, qual o número de funcionários utilizados no 
controle de qualidade?
32. (UFPE) Uma escola deverá distribuir um total de 1 260 bolas 
de gude amarelas e 9 072 bolas de gude verdes entre alguns 
de seus alunos. Cada aluno contemplado receberá o mesmo 
número de bolas amarelas e o mesmo número de bolas 
verdes. Se a escola possui 300 alunos e o maior número 
possível de alunos da escola deverá ser contemplado, qual 
o total de bolas que cada aluno contemplado receberá?
A) 38 D) 41
B) 39 E) 42
C) 40
33. (FUVEST-SP) Maria quer cobrir o piso de sua sala com 
lajotas quadradas, todas com lado de mesma medida 
inteira, em centímetros. A sala é retangular, de lados 2 m 
e 5 m. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados 
da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras. 
Quais são os possíveis valores do lado das lajotas?
34. (FUVEST-SP–2008) Sabendo que os anos bissextos 
são os múltiplos de 4 e que o primeiro dia de 2007 foi 
segunda-feira, o próximo ano a começar também em uma 
segunda-feira será
A) 2012 D) 2018
B) 2014 E) 2020
C) 2016
Divisibilidade, MDC e MMC
28 Coleção Estudo
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2005) Os números de identificação utilizados 
no cotidiano (de contas bancárias, de CPF, de Carteira 
de Identidade, etc.) usualmente possuem um dígito de 
verificação, normalmente representado após o hífen, 
como em 17 326-9. Esse dígito adicional tem a finalidade 
de evitar erros no preenchimento ou digitação de 
documentos.
Um dos métodos usados para gerar esse dígito utiliza os 
seguintes passos:
• Multiplica-se o último algarismo do número por 1, 
o penúltimo por 2, o antepenúltimo por 1, e assim 
por diante, sempre alternando multiplicações por 
1 e por 2;
• Soma-se 1 a cada um dos resultados dessas 
multiplicações que for maior do que ou igual a 10;
• Somam-se os resultados obtidos;
• Calcula-se o resto da divisão dessa soma por 10, 
obtendo-se assim o dígito verificador.
O dígito de verificação fornecido pelo processo anterior 
para o número 24 685 é
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
02. (Enem–2009) Para cada indivíduo, a sua inscrição no 
Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um 
número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, 
na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados 
dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são 
calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: 
os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela 
sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, 
o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, 
calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados 
das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, 
d1 é zero, caso contrário, d1 = (11 – r). O dígito d2 é 
calculado pela mesma regra, na qual os números a serem 
multiplicados pela sequência dada são contados a partir 
do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, 
isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das 
somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, 
d2 = (11 – s). Suponha que João tenha perdido seus 
documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa 
da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais 
eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que 
os nove primeiros algarismos eram 123 456 789. Neste 
caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, 
respectivamente,
A) 0 e 9 D) 9 e 1
B) 1 e 4 E) 0 e 1
C) 1 e 7
GABARITO
Fixação
01. D 
02. B 
03. E 
04. D 
05. A
Propostos
01. A
02. B
03. C 
04. B
05. D
06. C
07. A
08. A) 25 cm
 B) 204 ladrilhos
09. B
10. A) 15
 B) (15, 35); (35, 15); (5, 105); (105, 5)
11. A
12. C
13. E
14. A
15. A
16. A
17. D
18. B
19. C
20. C
21. D
22. B
23. E
24. B
25. A 
26. C 
27. A
28. D
29. A
30. D
31. 35
32. D
33. 1 cm, 2 cm, 4 cm, 5 cm, 10 cm, 20 cm, 25 cm, 
50 cm, 100 cm
34. D
Seção Enem
01. E
02. A
Frente B Módulo 02
FRENTE
29Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
Entendemos a ideia de conjuntos como qualquer coleção 
ou grupo de objetos ou símbolos (os quais chamamos de 
elementos).
Para indicar que x é um elemento de A, escrevemos x ∈ A 
(lê-se x pertence a A). Se x não pertence a A, indicamos 
x ∉ A.
As principais maneiras de representarmos um conjunto são:
i) Por meio da enumeração de seus elementos.
Exemplo
O conjunto dos dias da semana é:
S = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, 
sábado}
ii) Por meio de uma propriedade comum aos seus 
elementos.
 Exemplo
 A = {x ∈  | x < 7} que corresponde ao conjunto 
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
iii) Por meio do Diagrama de Venn (John Venn, lógico 
inglês, 1834-1923).
Exemplo
1
A
0
2
3
4
5
6
Admite-se a existência de conjuntos com um só elemento 
(conjuntos unitários) e de um conjunto sem elementos, 
denominado conjunto vazio, e representado por ∅ ou { }.
SUBCONJUNTOS
Dados os conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de 
A se,e somente se, todo elemento de B for elemento de A.
Notação: B ⊂ A (lê-se B está contido em A)
 
A
B
Diagrama de Venn
Sendo A e B conjuntos, tem-se que A ⊂ B e B ⊂ A se, 
e somente se, A = B.
OBSERVAÇÕES
i) Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que A 
é subconjunto de A, pois todo elemento de A é 
elemento de A.
ii) Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que o conjunto 
vazio é subconjunto de A, pois, se não o fosse, deveria 
existir pelo menos um elemento do conjunto vazio que 
não pertencesse a A (que é um absurdo).
Exemplo
Dado o conjunto A = {1, 2, 3, {3, 4}}, classifi car em 
verdadeira V ou falsa F cada uma das seguintes proposições.
A) ( ) A possui 4 elementos.
B) ( ) 1 ∈ A e 2 ∈ A
C) ( ) {1, 2} ⊂ A
D) ( ) {3, 4} ⊂ A
E) ( ) {{3, 4}} ⊂ A
O conjunto A possui 4 elementos, a saber, os números 
1, 2 e 3 e o conjunto binário {3, 4}; portanto, tem-se que 
1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∈ A e {3, 4} ∈ A.
{1, 2} ⊂ A, pois 1 e 2 são elementos de A.
{3, 4} ⊄ A, pois 4 não é elemento de A.
{{3, 4}} ⊂ A, pois {3, 4} é elemento de A.
Assim, a única proposição falsa é a letra D.
CONJUNTO DAS PARTES
Sendo A um conjunto fi nito, com n elementos, prova-se 
que o número de subconjuntos de A é 2n.
O conjunto de todos os subconjuntos de A é chamado o 
conjunto das partes de A, e será indicado por P(A).
Exemplo
Dado o conjunto A = {x, y, z}, obter o conjunto das 
partes de A.
Teoria dos conjuntos 01 C
30 Coleção Estudo
Resolução:
Como o número de elementos de A é 3, conclui-se que 
o número de seus subconjuntos é 23 = 8. Os subconjuntos 
de A são:
∅; {x}; {y}; {z}; {x, y}; {x, z}; {y, z}; A
Assim, o conjunto das partes de A é:
P(A) = {∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, A}
UNIÃO
Dados os conjuntos A e B em um universo U, chama-se 
união (ou reunião) de A com B ao conjunto dos elementos 
que pertencem a, pelo menos, um dos conjuntos A ou B.
A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ou x ∈ B}
A B
U
Exemplos
1º) {1, 2, 3, 4, 5} ∪ {4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
2º) {1, 2, 3, 4} ∪ ∅ = {1, 2, 3, 4}
Propriedades
A ∪ B = B ∪ A
B ⊂ A ⇒ A ∪ B = A
A ∪ ∅ = A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C
INTERSEÇÃO
Dados os conjuntos A e B em um universo U, chama-se 
interseção de A com B ao conjunto dos elementos comuns 
a A e B.
A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A e x ∈ B}
A B
U
Exemplos
1º) {1, 2, 3, 4} ∩ {4, 5} = {4}
2º) {1, 2, 3, 4} ∩ ∅ = ∅ 
Propriedades
A ∩ B = B ∩ A
B ⊂ A ⇔ A ∩ B = B
A ∩ ∅ = ∅
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C
(A ∩ B) ⊂ (A ∪ B)
DIFERENÇA
Dados os conjuntos A e B em um universo U, chama-se
diferença entre A e B, nessa ordem, ao conjunto dos 
elementos de A que não são elementos de B.
A − B = {x ∈ U | x ∈ A e x ∉ B}
A B
U
Exemplos
1º) {1, 2, 3, 4, 5} – {4, 5} = {1, 2, 3}
2º) {1, 2} – ∅ = {1, 2}
3º) ∅ – {1, 2} = ∅
Propriedades
(A – B) ⊂ A
A – ∅ = A 
∅ – A = ∅ 
A – (A ∩ B) = A – B
Exemplo
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7}, 
obter os conjuntos A ∩ B, A ∪ B, A – B e B – A.
Resolução:
A ∩ B = {3, 4}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A – B = {1, 2}
B – A = {5, 6, 7}
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Numa pesquisa escolar a respeito da leitura dos jornais 
A e B, constatou-se que:
i) 280 alunos leem somente um dos jornais. 
ii) 230 leem o jornal B.
iii) 100 leem os dois.
iv) 200 não leem o jornal A.
Quantos alunos foram entrevistados?
Frente C Módulo 01
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
31Editora Bernoulli
Resolução:
A
x z
w
y
B
U
Sendo x, y, z e w o número de elementos de cada região 
indicada no diagrama anterior, segue que:
x z
y z
y
z w
+ =
+ =
=
+ =






280
230
100
200
1
2
3
4
( )
( )
( )
( )
Das equações (3) e (2), tem-se que z = 130.
Substituindo z por 130 nas equações (1) e (4), obtêm-se, 
respectivamente, os valores de x e w: x = 150 e w = 70
O número total de alunos que foram entrevistados é: 
x + y + z + w = 450
COMPLEMENTAR
Chamemos de conjunto universo U o conjunto que 
contém todos os elementos do contexto no qual estamos 
trabalhando. No Diagrama de Venn a seguir, representamos 
o complementar de A em relação ao universo (indicado 
por C AU ou A).
A
U
A
Dados os conjuntos A e B, com B ⊂ A, chama-se de 
complementar de B em relação a A o conjunto:
C BA = {x ∈ A e x ∉ B} = A – B
A
B
Exemplo
Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4}. O complementar de 
B em relação a A é C BA = {1, 3}.
LEIS DE MORGAN
Podemos verificar, através do Diagrama de Venn, 
as seguintes igualdades:
i) (A ∪ B)C = AC ∩ BC
A B
U
ii) (A ∩ B)C = AC ∪ BC
A B
U
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFV-MG) Fez-se, em uma população, uma pesquisa de 
mercado sobre o consumo de sabão em pó de três marcas 
distintas: A, B e C. Em relação à população consultada 
e com o auxílio dos resultados da pesquisa tabelados 
a seguir:
marcas A B C A e B
A e 
C
B e 
C
A,B 
e C
Nenhuma 
delas
Nº de
consumidores 109 203 162 25 28 41 5 115
DETERmINE
A) o número de pessoas consultadas.
B) o número de pessoas que não consomem as marcas 
A ou C.
C) o número de pessoas que consomem pelo menos duas 
marcas.
D) a porcentagem de pessoas que consomem as marcas 
A e B, mas não consomem a marca C.
E) a porcentagem de pessoas que consomem apenas a 
marca C.
Teoria dos conjuntos
32 Coleção Estudo
02. (PUC Rio–2008) Um trem viajava com 242 passageiros, 
dos quais:
– 96 eram brasileiros,
– 64 eram homens,
– 47 eram fumantes,
– 51 eram homens brasileiros,
– 25 eram homens fumantes,
– 36 eram brasileiros fumantes,
– 20 eram homens brasileiros fumantes.
CALCULE
A) o número de mulheres brasileiras não fumantes;
B) o número de homens fumantes não brasileiros;
C) o número de mulheres não brasileiras, não fumantes.
03. (UFOP-MG–2008) Três frutas são consumidas por um 
grupo de 400 pessoas: laranja, banana e maçã. Dessas 
pessoas, 185 consomem laranja, 125 consomem laranja e 
banana, 130 consomem banana e maçã, 120 consomem 
laranja e maçã e 100 consomem laranja, banana e maçã. 
O número de pessoas que consomem banana é igual ao 
número de pessoas que consomem maçã. O número 
de pessoas que consomem maçã e não consomem 
laranja é de
A) 95 
B) 125 
C) 195
D) 245
04. (UFC–2007) Dos 1 150 alunos de uma escola, 654 gostam 
de Português, 564 gostam de Matemática e 176 não 
gostam de Português nem de Matemática. Sendo assim, 
a quantidade de alunos que gostam de Português e de 
Matemática é
A) 300 
B) 250 
C) 244 
D) 201
E) 122
05. (UFPE) Considere o seguinte “Diagrama de Venn”, que 
representa graficamente os conjuntos A, B e C, em que 
U representa o universo.
A
U
B
C
Assinale, entre as alternativas a seguir, o conjunto que é 
representado pela área tracejada no diagrama, em que 
a barra ( ) representa o complementar do conjunto em 
relação a U.
A) A ∩ B ∩ C D) A ∩ B ∩ C
B) A ∩ B ∩ C E) A ∪ B ∪ C
C) A ∪ B ∪ C
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFES) Se A = {–2, 3, m, 8, 15} e B = {3, 5, n, 10, 13} 
são subconjuntos de  (números in te i ros) , 
e A ∩ B = {3, 8, 10}, então
A) n – m ∈ A 
B) n + m ∈ B 
C) m – n ∈ A ∪ B
D) mn ∈ B
E) {m + n, mn} ⊂ A
02. (UFLA-MG) Um mapa geográfico é colorido em quatro 
cores, sendo os países vizinhos de cores diferentes. 
Considere os conjuntos:
A = {países coloridos de azul}
B = {países vizinhos de países coloridos de azul}
C = {países vizinhos de países coloridos de amarelo}
M = {todos os países do mapa}
Assinale a alternativa sempre CoRRETA.
A) A ∪ B = M 
B) B ∩ C = ∅ 
C) A ∩ B = ∅
D) B ∪ C = M
E) M – A = B
Frente C Módulo 01
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
33Editora Bernoulli
03. (UFRGS) O conjunto A é um subconjunto de B e A ≠ B, 
A ∪ (B – A) é
A) B 
B) A 
C) ∅ 
D) A – B
E) A ∩ B
04. (Cesesp-PE) Numa universidade, são lidos apenas dois 
jornais x e Y. 80% de seus alunos leem o jornal x e 60%, 
o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo 
menos um dos dois jornais, assinale a alternativa que 
corresponde ao percentual de alunos que leem ambos.
A) 80% 
B) 14% 
C) 40%
D) 60%
E)48%
05. (UFMG) Em uma escola, 5 000 alunos inscreveram-se 
para cursar as disciplinas A e B. Desses alunos, 2 825 
matricularam-se na disciplina A e 1 027, na disciplina B. 
Por falta de condições acadêmicas, 1 324 alunos não 
puderam matricular-se em nenhuma das disciplinas. 
O número de alunos matriculados, simultaneamente, nas 
duas disciplinas é
A) 156 
B) 176 
C) 297
D) 1 027
E) 1 798
06. (UFC) Sejam m e N conjuntos que possuem um único 
elemento comum. Se o número de subconjuntos de 
m é igual ao dobro do número de subconjuntos de N, 
o número de elementos do conjunto M ∪ N é
A) o triplo do número de elementos de m.
B) o triplo do número de elementos de N.
C) o quádruplo do número de elementos de m.
D) o dobro do número de elementos de m.
E) o dobro do número de elementos de N.
07. (UFU-MG) Num grupo de estudantes, 80% estudam 
inglês, 40% estudam francês e 10% não estudam 
nenhuma dessas línguas. Nesse grupo, a porcentagem 
de alunos que estudam ambas as línguas é
A) 25%. 
B) 50%. 
C) 15%.
D) 33%.
E) 30%.
08. (UFMG) Os conjuntos A, B e A ∪ B têm, respectivamente, 
10, 9 e 15 elementos. O número de elementos de A ∩ B é
A) 2 
B) 3 
C) 4 
D) 6 
E) 8
09. (FGV-SP) Numa universidade com N alunos, 80 estudam 
Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 
23 Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam 
nas três faculdades. Sabendo-se que essa universidade 
somente mantém as três faculdades, quantos alunos 
estão matriculados na universidade?
A) 304 
B) 162 
C) 146
D) 154
E) N.d.a.
10. (UFRN) Se A, B e C são conjuntos tais que C – (A ∪ B) = {6, 7} 
e C ∩ (A ∪ B) = {4, 5}, então C é igual a
A) {4, 5} 
B) {6, 7} 
C) {4, 5, 6}
D) {5, 6, 7}
E) {4, 5, 6, 7}
Teoria dos conjuntos
34 Coleção Estudo
11. (FGV-SP) Em certo ano, ao analisar os dados dos 
candidatos ao Concurso Vestibular para o Curso 
de Graduação em Administração, nas modalidades 
Administração de Empresas e Administração Pública, 
concluiu-se que
i) 80% do número total de candidatos optaram pela 
modalidade Administração de Empresas.
ii) 70% do número total de candidatos eram do sexo 
masculino.
iii) 50% do número de candidatos à modalidade 
Administração Pública eram do sexo masculino.
iv) 500 mulheres optaram pela modalidade Administração 
Pública.
O número de candidatos do sexo masculino à modalidade 
Administração de Empresas foi
A) 4 000 
B) 3 500 
C) 3 000
D) 1 500
E) 1 000
12. (UFU-MG–2006) De uma escola de Uberlândia, partiu uma 
excursão para Caldas Novas com 40 alunos. Ao chegar em 
Caldas Novas, 2 alunos adoeceram e não frequentaram as 
piscinas. Todos os demais alunos frequentaram as piscinas, 
sendo 20 pela manhã e à tarde, 12 somente pela manhã, 
3 somente à noite e 8 pela manhã, à tarde e à noite. 
Se ninguém frequentou as piscinas somente no período da 
tarde, quantos alunos frequentaram as piscinas à noite?
A) 16 
B) 12 
C) 14
D) 18
13. (FGV-SP) Simplificando a expressão X Y∩ ∪ ∩( ) ( )X Y , 
teremos
A) universo. 
B) vazio. 
C) X ∩ Y
D) X ∩ Y
E) X ∩ Y
14. (UFU-MG) Chamando de U o conjunto formado por todas 
as pessoas que moram em Uberlândia, de A o subconjunto 
de U formado pelas pessoas do sexo masculino e de B o 
subconjunto de U formado pelas pessoas que nasceram 
em Uberlândia, então duas maneiras equivalentes de 
representar o conjunto de pessoas do sexo feminino 
que moram em Uberlândia, mas que nasceram em outra 
cidade são
observação: Para todo subconjunto C de U, 
CC = {x ∈ U: x ∉ C}.
A) AC ∪ BC e (A ∪ B)C 
B) AC ∪ BC e (A ∩ B)C 
C) AC ∩ BC e (A ∩ B)C
D) AC ∩ BC e (A ∪ B)C
15. (UFOP-MG–2008) Se o conjunto A possui 67 elementos 
e o conjunto B possui 48 elementos, então o número de 
elementos do conjunto A ∩ B é, no máxImo,
A) 0 B) 115 C) 1 D) 48
16. (UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes 
dados:
i) 40% dos entrevistados leem o jornal A.
ii) 55% dos entrevistados leem o jornal B.
iii) 35% dos entrevistados leem o jornal C.
iv) 12% dos entrevistados leem os jornais A e B.
v) 15% dos entrevistados leem os jornais A e C.
vi) 19% dos entrevistados leem os jornais B e C.
vii) 7% dos entrevistados leem os três jornais.
viii) 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos 
três jornais.
Considerando-se esses dados, é CoRRETo afirmar que 
o número total de entrevistados foi
A) 1 200 C) 1 250
B) 1 500 D) 1 350
17. (UFU-MG) O número de conjuntos distintos, os quais 
contêm o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e estão 
contidos no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 
12, 13, 14, 15, 16}, é igual a
A) 16 C) 64
B) 32 D) 128
Frente C Módulo 01
M
A
TE
M
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TI
C
A
35Editora Bernoulli
18. (UEL-PR–2006) Um grupo de estudantes resolveu fazer 
uma pesquisa sobre as preferências dos alunos quanto ao 
cardápio do restaurante universitário. 9 alunos optaram 
somente por carne de frango, 3 somente por peixes, 
7 por carne bovina e frango, 9 por peixe e carne bovina e 
4 pelos três tipos de carne. Considerando que 20 alunos 
manifestaram-se vegetarianos, 36 não optaram por carne 
bovina e 42 não optaram por peixe, assinale a alternativa 
que apresenta o número de alunos entrevistados.
A) 38 D) 62
B) 42 E) 78
C) 58
19. (ITA-SP) Denotemos por n(X) o número de elementos de 
um conjunto finito x. Sejam A, B e C conjuntos tais que 
n(A ∪ B) = 8, n(A ∪ C) = 9, n(B ∪ C) = 10, n(A ∪ B ∪ C) = 11 
e n(A ∩ B ∩ C) = 2. Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a
A) 11 D) 18
B) 14 E) 25
C) 15
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2004) Um fabricante de cosméticos decide 
produzir três diferentes catálogos de seus produtos, 
visando a públicos distintos. Como alguns produtos 
estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam 
uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem 
para diminuir os gastos com originais de impressão. 
Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 
40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele 
verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 
terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em 
comum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando 
os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, 
para a montagem dos três catálogos, necessitará de um 
total de originais de impressão igual a
A) 135 
B) 126 
C) 118
D) 114
E) 110
Instrução: Texto para a questão 02.
Uma escola de Ensino Médio tem 250 alunos que estão 
matriculados na 1ª, 2ª ou 3ª séries. 32% dos alunos são 
homens e 40% dos homens estão na 1ª série. 20% dos 
alunos matriculados estão na 3ª série, sendo 10 alunos 
homens. Dentre os alunos da 2ª série, o número de 
mulheres é igual ao número de homens. A tabela a seguir 
pode ser preenchida com as informações dadas:
1ª 2ª 3ª Total
mulher a b c a + b + c
Homem d e f d + e + f
Total a + d b + e c + f 250
02. (Enem–1998) O valor de a é
A) 10 B) 48 C) 92 D) 102 E) 120
03. (Enem–2002) Um estudo realizado com 100 indivíduos 
que abastecem seu carro uma vez por semana em um 
dos postos x, Y ou Z mostrou que
• 45 preferem x a Y, e Y a Z;
• 25 preferem Y a Z, e Z a x;
• 30 preferem Z a Y, e Y a x.
Se um dos postos encerrar suas atividades, e os 
100 consumidores continuarem se orientando pelas 
preferências descritas, é possível afirmar que a liderança 
de preferência nunca pertencerá a
A) x. D) x ou Y.
B) Y. E) Y ou Z.
C) Z.
04. (Enem–2004) Antes de uma eleição para prefeito, certo 
instituto realizou uma pesquisa em que foi consultado 
um número significativo de eleitores, dos quais 36% 
responderam que iriam votar no candidato x; 33%, no 
candidato Y e 31%, no candidato Z. A margem de erro 
estimada para cada um desses valores é de 3% para mais 
ou para menos. Os técnicos do instituto concluíram que, 
se confirmado o resultado da pesquisa,
A) apenas o candidato x poderia vencer e, nesse caso, 
teria 39% do total de votos.
B) apenas oscandidatos x e Y teriam chances de vencer.
C) o candidato Y poderia vencer com uma diferença de 
até 5% sobre x.
D) o candidato Z poderia vencer com uma diferença de, 
no máximo, 1% sobre x.
E) o candidato Z poderia vencer com uma diferença de 
até 5% sobre o candidato Y.
Teoria dos conjuntos
36 Coleção Estudo
Instrução: Texto para as questões 05 e 06.
A vida na rua como ela é
O Ministério do Desenvolvimento Social e Combate à Fome 
(MDS) realizou, em parceria com a ONU, uma pesquisa nacional 
sobre a população que vive na rua, tendo sido ouvidas 31 922 
pessoas em 71 cidades brasileiras. Nesse levantamento, 
constatou-se que a maioria dessa população sabe ler e escrever 
(74%), que apenas 15,1% vivem de esmolas e que, entre os 
moradores de rua que ingressaram no Ensino Superior, 0,7% 
se diplomou. Outros dados da pesquisa são apresentados nos 
quadros a seguir:
Alcoolismo / drogas
Por que vive na rua?
Escolaridade
36%
Desemprego 30%
Problemas familiares 30%
Perda de moradia 20%
Decepção amorosa 16%
Superior completo ou incompleto 1,4%
Médio completo ou incompleto 7,0%
Fundamental completo ou incompleto 58,7%
N unca estudaram 15,1%
ISTOÉ, 07 maio 2008, p. 21 (Adaptação).
05. (Enem–2008) As informações apresentadas no texto são 
suficientes para se concluir que
A) as pessoas que vivem na rua e sobrevivem de esmolas 
são aquelas que nunca estudaram.
B) as pessoas que vivem na rua e cursaram o Ensino 
Fundamental, completo ou incompleto, são aquelas 
que sabem ler e escrever.
C) existem pessoas que declararam mais de um motivo 
para estarem vivendo na rua.
D) mais da metade das pessoas que vivem na rua e que 
ingressaram no Ensino Superior se diplomou.
E) as pessoas que declararam o desemprego como 
motivo para viver na rua também declararam a 
decepção amorosa.
06. (Enem–2008) No universo pesquisado, considere que P 
seja o conjunto das pessoas que vivem na rua por motivos 
de alcoolismo / drogas e Q seja o conjunto daquelas 
cujo motivo para viverem na rua é a decepção amorosa. 
Escolhendo-se ao acaso uma pessoa no grupo pesquisado 
e supondo-se que seja igual a 40% a probabilidade de que 
essa pessoa faça parte do conjunto P ou do conjunto Q, 
então a probabilidade de que ela faça parte do conjunto 
interseção de P e Q é igual a
A) 12%. C) 20%. E) 52%.
B) 16%. D) 36%.
GABARITO
Fixação
01. A) 500
 B) 257
 C) 84
 D) 4%
 E) 19,6%
02. A) 29
 B) 5
 C) 127
03. B
04. C
05. D
Propostos
01. A 
02. C 
03. A 
04. C 
05. B 
06. E 
07. E 
08. C 
09. B 
10. E 
11. C
12. C
13. C
14. D
15. D
16. B
17. C
18. C
19. D
Seção Enem
01. C 04. D
02. C 05. C
03. A 06. A
Frente C Módulo 01
FRENTE
37Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
CONJUNTO DOS NÚMEROS 
NATURAIS
Chama-se conjunto dos números naturais – símbolo  –
ao conjunto formado pelos números 0, 1, 2, 3, ... .
Assim:  = {0, 1, 2, 3, ...}
Destacamos o conjunto * =  – {0} = {1, 2, 3, ...} 
(conjunto dos números naturais não nulos).
No conjunto dos números naturais, é sempre possível 
efetuarmos a soma ou a multiplicação de dois números 
(essas operações estão defi nidas em ). Dizemos que 
o conjunto dos números naturais é fechado em relação 
à sua soma e à sua multiplicação. Porém, nem sempre 
sua subtração é possível. Por exemplo, 3 – 5 ∉ , daí a 
necessidade de um conjunto mais amplo.
CONJUNTO DOS NÚMEROS 
INTEIROS
Chama-se conjunto dos números inteiros – símbolo  – 
ao conjunto formado por todos os números naturais e pelos 
opostos.
Assim:  = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
No conjunto , distinguimos cinco subconjuntos notáveis:
i) + = {0, 1, 2, 3, ...} =  (conjunto dos inteiros não 
negativos).
ii) – = {0, –1, –2, –3, ...} (conjunto dos inteiros não 
positivos).
iii) * = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...} (conjunto dos inteiros 
não nulos).
iv) *+ = {1, 2, 3, ...} = * (conjunto dos inteiros 
positivos).
v) *– = {..., –3, –2, –1} (conjunto dos inteiros 
negativos).
A soma, subtração ou multiplicação de números inteiros 
sempre resulta em um número inteiro. O conjunto dos 
números inteiros () é, portanto, fechado em relação a 
essas operações.
Divisibilidade
Dizemos que o inteiro a, em que a ≠ 0, é divisor do 
inteiro b, ou que a divide b, se a divisão de b por a for 
exata, ou seja, resto zero.
Exemplos
1º) 2 é divisor de 6, pois 6 ÷ 2 = 3.
2º) 7 divide –21, pois –21 ÷ 7 = –3.
Quando a é divisor de b, com a ≠ 0, dizemos que 
“b é divisível por a” ou “b é múltiplo de a”.
Para um inteiro a qualquer, indicamos com D(a) o 
conjunto de seus divisores e com M(a) o conjunto de seus 
múltiplos.
Exemplos
1º) D(2) = {±2, ±1} 4º) M(2) = {0, ±2, ±4, ±6, ...}
2º) D(–3) = {±3, ±1} 5º) M(–3) = {0, ±3, ±6, ±9, ...} 
3º) D(0) = * 6º) M(0) = {0}
Dizemos que um número inteiro p é primo se p ∉ {–1, 0, 1} 
e D(p) = {–p, p, –1, 1}.
Exemplo
–2, 2, –3, 3, –5, 5, –7 e 7 são primos.
Dado um número q ∉ {–1, 1}, o inverso de q não existe 
em : 
1
q
 ∉ . Por isso, não podemos defi nir em  a operação 
de divisão. Introduziremos, então, o conjunto dos números 
racionais.
Conjuntos numéricos 02 C
38 Coleção Estudo
CONJUNTO DOS NÚMEROS 
RACIONAIS
Chama-se conjunto dos números racionais – símbolo  – 
ao conjunto das frações que podem ser reduzidas à forma 
a
b
, 
em que a ∈ , b ∈  e b ≠ 0.
No conjunto , destacamos 5 subconjuntos:
i) += conjunto dos racionais não negativos.
ii) – = conjunto dos racionais não positivos.
iii) * = conjunto dos racionais não nulos.
iv) *+ = conjunto dos números racionais positivos.
v) *– = conjunto dos racionais negativos.
Na fração 
a
b
, em que b ≠ 0, a é o numerador e b, 
o denominador. Se a e b são primos entre si, isto é, se 
MDC (a, b) = 1, então dizemos que 
a
b
 é uma fração irredutível. 
Assim, as frações 
2
3
3
7
7
15
, e são irredutíveis, mas 
6
10
 não é.
O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto 
números racionais ( ⊂ ), pois todo inteiro é uma fração 
com denominador 1.
Assim, 2 ∈ , pois 2 = 2
1
.
Números decimais
Notemos que todo número racional 
a
b
, com b ≠ 0, 
pode ser representado por um número decimal. Passa-se 
um número racional 
a
b
 para a forma de número decimal 
dividindo o inteiro a pelo inteiro b. Na passagem de uma 
notação para outra, podem ocorrer dois casos:
i) O número decimal tem uma quantidade finita de 
algarismos, diferentes de zero, isto é, uma decimal 
exata.
Exemplos
1º) 
2
1
2= 3º) 
1
50
0 020= ,
2º) 1
4
0 25= , 4º) 1 037
10 000
0 1037= ,
ii) O número decimal tem uma quantidade infinita de 
algarismos que se repetem periodicamente, isto é, 
uma dízima periódica.
Exemplos
1º) 2
3
 = 0,666... = 0,6 (período 6)
2º) 2
7
 = 0,285714285714... = 0,285714 (período 285714)
3º) 
11
6
 = 1,8333... = 1,83 (período 3)
Podemos notar, também, que todo número na forma de 
decimal exata ou de dízima periódica pode ser convertido 
à forma de fração 
a
b
 e, portanto, representa um número 
racional.
Quando a decimal é exata, podemos transformá-la em uma 
fração cujo numerador é o numeral decimal sem a vírgula e 
cujo denominador é o algarismo 1 seguido de tantos zeros 
quantas forem as casas decimais do numeral dado.
1º) 0,3 = 3
10
 3º) 4,236 = 4 236
1 000
2º) 0,17 = 17
100
 4º) 63,4598 = 634 598
10 000
Quando a decimal é uma dízima periódica, devemos 
procurar sua geratriz. A seguir, são dados alguns exemplos 
de como obter a geratriz de uma dízima periódica.
Exemplo 1
Obter a fração geratriz de 0,444... .
x
x
x x x=
=




⇒ − = ⇒ =0 444
10 4 444
10 4
4
9
, ...
, ...
Portanto, 0,444... = 
4
9
.
Regra Prática I
No numerador da fração, coloca-se aquilo que se repete 
(período); no denominador, tantos noves quantos forem os 
algarismos que se repetem. No exemplo anterior, só um 
algarismo (o quatro) se repete; por isso, coloca-se um só 9 
no denominador da fração.
Exemplo 2
0,2323232... = 
23
99
Exemplo 3
Obter a fração geratriz de2,4333... .
x = 2,4333...
100 243 333
10 24 333
100 10 219
219
90
x
x
x x x
=
=



⇒ − = ⇒ =
, ...
, ...
=
73
30
Regra Prática II
Para formar o numerador, junta-se a parte que não se 
repete com o período (243) e subtrai-se da parte que não 
se repete (24). No denominador, coloca-se um 9 para cada 
algarismo do período e um 0 para cada algarismo que não 
se repete, após a vírgula.
Exemplo 4
0,41777... = 
417 41
900
376
900
94
225
− = =
Frente C Módulo 02
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
39Editora Bernoulli
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Números irracionais
Existem números cuja representação decimal com infinitas 
casas decimais não é periódica. Por exemplo, o numeral 
decimal 0,1010010001... (em que o número de algarismos 
0 intercalados entre os algarismos 1 vai crescendo) é 
não periódico. Ele representa um número não racional 
(irracional).
Outros exemplos de números irracionais:
1º) 1,234567891011... 4º) 2
2º) 6,02002000... 5º) 5
3
3º) 34,56789101112... 6º) 1 3+
OBSERVAÇÕES
i) Dados a irracional e r racional não nulo, então:
α
α
α
α
+ 








⇒
r
r
r
r
são todos números irracion
.
aais.são todos números irracionais.
Exemplos
1º) ¹2 + 1 3º) 3¹2
2º) 3
2
 4º) 3
5
São números irracionais.
ii) A soma, subtração, multiplicação ou divisão de dois 
irracionais pode resultar em um racional ou em um 
irracional.
Exemplos
1º) ¹2 + ¹3 3º) ¹2 – ¹3
2º) ¹2.¹3 = ¹6 4º) 2
3
6
=
3
São números irracionais
Exemplos
1º) ¹2 + (1 – ¹2) = 1 3º) ¹3 – ¹3 = 0
2º) ¹2.¹8 = 4 4º) 8
2
= 2
São números racionais.
Números reais
Chama-se conjunto dos números reais – símbolo  – 
àquele formado por todos os números com representação 
decimal, isto é, as decimais exatas ou periódicas (que são 
números racionais) e as decimais não exatas e não periódicas 
(que são números irracionais).
Dessa forma, o conjunto dos números reais () é a união 
do conjunto dos números racionais () com o conjunto dos 
números irracionais.
No conjunto , destacamos cinco subconjuntos: 
i) += conjunto dos reais não negativos.
ii) – = conjunto dos reais não positivos.
iii) * = conjunto dos reais não nulos.
iv) *+ = conjunto dos reais positivos.
v) *– = conjunto dos reais negativos.
Intervalos reais
Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos:
i) Intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto:
]a, b[ = {x ∈  | a < x < b}
a b
ii) Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto:
[a, b] = {x ∈  | a ≤ x ≤ b}
 
a b
iii) Intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) 
de extremos a e b é o conjunto:
[a, b[ = {x ∈  | a ≤ x < b}
a b
iv) Intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) 
de extremos a e b é o conjunto:
]a, b] = {x ∈  | a < x ≤ b}
a b
Os números reais a e b são denominados, respectivamente, 
extremo inferior e extremo superior do intervalo.
Também são intervalos reais os “intervalos infinitos” assim 
definidos:
i) ]–∞, a[ = {x ∈  | x < a}
a
ii) ]–∞, a] = {x ∈  | x ≤ a}
a
iii) ]a, +∞[ = {x ∈  | x > a}
a
iv) [a, +∞[ = {x ∈  | x ≥ a}
a
Conjuntos numéricos
40 Coleção Estudo
CONJUNTO DOS NÚMEROS 
COMPLEXOS
Vimos que an ∈  qualquer que seja o real a não negativo. 
Assim, por exemplo, ¹5 e ³7 são números reais.
Se o índice da raiz for ímpar, os radicais da forma − an , 
em que a ∈ +, também representam números reais. É o caso, 
por exemplo, de −35 .
Por outro lado, se o radicando é negativo, e o índice da 
raiz é par, o radical − an não representa elemento de . 
Por exemplo, ¹–1 não é real, pois ¹–1 = x ⇒ –1 = x2, o que 
é impossível, pois se x ∈ , então x2 ≥ 0.
Para resolver esse problema com an , introduzimos o conjunto 
 dos números complexos, do qual  é um subconjunto.
RESUMO
Os conjuntos numéricos podem ser representados 
esquematicamente pela figura a seguir:
� � � � �
Observemos que  ⊂  ⊂  ⊂  ⊂ .
Notemos também que:
i)  –  = conjunto dos números inteiros negativos.
ii)  –  = conjunto dos números racionais não inteiros.
iii)  –  = conjunto dos números reais irracionais.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (PUC Rio) A soma 1,3333... + 0,16666... é igual a
A) 
1
2
 B) 
5
2
 C) 
4
3
 D) 
5
3
 E) 
3
2
02. (PUC-Campinas-SP) Considere os conjuntos:
, dos números naturais,
, dos números racionais,
+, dos números racionais não negativos,
, dos números reais.
O número que expressa
A) a quantidade de habitantes de uma cidade é um 
elemento de +, mas não de .
B) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de .
C) a velocidade média de um veículo é um elemento de , 
mas não de +.
D) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento 
de +.
E) a medida do lado de um triângulo é um elemento de .
03. (UFJF-MG) Marque a alternativa INCoRRETA a respeito 
dos números reais.
A) Se a representação decimal infinita de um número é 
periódica, então esse número é racional.
B) Se a representação decimal de um número é finita, 
então esse número é racional.
C) Todo número irracional tem uma representação 
decimal infinita.
D) Todo número racional tem uma representação decimal 
finita.
04. (UFMG) Considere x, y e z números naturais. Na divisão 
de x por y, obtêm-se quociente z e resto 8. Sabe-se 
que a representação decimal de 
x
y
 é a dízima periódica 
7,363636... . Então, o valor de x + y + z é
A) 190 B) 193 C) 191 D) 192
05. Assinale a afirmativa VERDADEIRA.
A) A soma de dois números irracionais positivos é um 
número irracional.
B) O produto de dois números irracionais distintos é um 
número irracional.
C) O quadrado de um número irracional é um número 
racional.
D) A raiz quadrada de um número racional é um número 
irracional.
E) A diferença entre um número racional e um número 
irracional é um número irracional.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFOP-MG–2009) A respeito dos números a = 0,499999... 
e b = 0,5, é CoRRETo afirmar:
A) b = a + 0,011111...
B) a = b
C) a é irracional e b é racional.
D) a < b
02. (UFJF-MG) Dados os intervalos A = [–1, 3), B = [1, 4], 
C = [2, 3), D = (1, 2] e E = (0, 2], consideremos o 
conjunto P = [(A ∪ B) – (C ∩ D)] – E. Marque a alternativa 
INCoRRETA.
A) P ⊂ [–1, 4] C) 2 ∈ P
B) (3, 4] ⊂ P D) 0 ∈ P
03. (UEL-PR) Observe os seguintes números.
I. 2,212121... IV. 3,1416
II. 3,212223... V. ¹–4
III. 
π
5
Assinale a alternativa que identifica os números irracionais.
A) I e II D) II e V
B) I e IV E) III e V
C) II e III
Frente C Módulo 02
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
41Editora Bernoulli
04. (Unifor-CE) Qual, entre os números seguintes, é racional?
A) π4 D) ³–0,064
B) ³0,1 E) 0 0164 ,
C) ³0,27
05. (UFG) Sejam os conjuntos:
A = {2n: n ∈ } e B = {2n – 1: n ∈ }
Sobre esses conjuntos, pode-se afirmar:
I. A ∩ B = ∅.
II. A é o conjunto dos números pares.
III. B ∪ A = .
Está CoRRETo o que se afirma em
A) I e II, apenas. D) III, apenas.
B) II, apenas. E) I, II e III.
C) II e III, apenas.
06. (Fatec–SP) Sejam a e b números irracionais. 
Das afirmações,
I. ab é um número irracional.
II. a + b é um número irracional.
III. a – b pode ser um número irracional.
pode-se concluir que
A) as três são falsas.
B) as três são verdadeiras.
C) somente I e III são verdadeiras.
D) somente I é verdadeira.
E) somente I e II são falsas.
07. (CEFET-MG–2008) Sejam p e q inteiros positivos de 
forma que a fração irredutível 
p
q
 seja igual à dízima 
0,656565... . O valor de y = 
p
q
q
p
−
+





 −
−
−








1
1
18
3 1
1
2
1
3
( )
 é
A) 
65
30
 B) 
5
27
 C) 
45
28
 D) 
1
20
 E) 
4
27
08. (UFMG–2006) Considere o conjunto de números racionais 
M = 
5
9
3
7
5
11
4
7
, , , 






. Sejam x o menor elemento de m e y 
o maior elemento de m. Então, é CoRRETo afirmar que
A) x = 
5
9
 e y =
4
7
 
B) x = 
3
7
 e y = 
5
9 
C) x = 
3
7
 e y = 
4
7
D) x = 
5
11
 e y = 
5
9
09. (UFC) Sejam x e y números reais, tais que
1
4
1
3
< <x , 2
3
3
4
< <y e A = 3x – 2y
Então, é CoRRETo afirmar que
A) 
4
3
5
2
< <AD) − < < −3
4
1
3
A
B) 
3
4
1< <A E) − < <
1
3
0A
C) − < < −
4
3
3
4
A
10. (PUC-SP) Um número racional qualquer
A) tem sempre um número finito de ordens (casas) 
decimais.
B) tem sempre um número infinito de ordens (casas) 
decimais.
C) não pode expressar-se na forma decimal exata.
D) nunca se expressa na forma de uma decimal inexata.
E) N.d.a.
11. (PUC-SP) Sabe-se que o produto de dois números 
irracionais pode ser um número racional. Um exemplo é
A) ¹12.¹3 = ¹36 D) ¹2.2 = ¹8
B) ¹4.¹9 = 6 E) ¹2.¹3 = ¹6
C) ¹3.1 = ¹3
12. (FGV-SP) Assinalando V ou F se as sentenças a seguir 
são VERDADEIRAS ou FALSAS,
1. ( )  ⊃  3. ( )  ∪  = 
2. ( )  ∩  =  4. ( )  ∩  ⊃ 
obtemos
A) F V F V D) F V V V
B) V V V V E) V V V F
C) F V V F
13. (UFJF-MG) Marque a alternativa INCoRRETA.
A) Se x e y são números racionais, então x + y é um 
número racional.
B) Se x e y são números irracionais, então x + y é um 
número irracional.
C) Se x e y são números racionais, então xy é um número 
racional.
D) Se x é um número racional e y é um número irracional, 
então x + y é um número irracional.
14. (FUVEST-SP) Dados dois números reais a e b que 
satisfazem as desigualdades 1 < a < 2 e 3 < b < 5, 
pode-se afirmar que
A) 
a
b
< 2
5
 D) 
1
5
1
2
< <a
b
B) 
a
b
> 2
3
 E) 
3
2
5< <a
b
C) 
1
5
2
3
< <a
b
Conjuntos numéricos
42 Coleção Estudo
15. (PUC Minas) Sendo A = {x ∈   –2 ≤ x < 3} e 
B = {x ∈   –2 < x ≤ 3}, é CoRRETo afirmar:
A) A ∪ B = A D) A ∩ B ⊂ 
B) A ∪ B ⊂  E) A ∩ B = B
C) A ∩ B = A
16. Sejam os conjuntos A = {x ∈ : x = 6n + 3, n ∈ } e 
B = {x ∈ : x = 3n, n ∈ }, então A ∩ B é igual a
A) {x ∈ : x é ímpar e múltiplo de 3}.
B) {x ∈ : x é par e múltiplo de 3}.
C) {x ∈ : x é múltiplo de 3}.
D) {x ∈ : x é múltiplo de 9}.
E) {x ∈ : x é ímpar}.
17. (FUVEST-SP) Na f igura, estão representados 
geometricamente os números reais 0, x, y e 1. 
Qual a posição do número xy?
0 1x y
A) À esquerda de 0. D) Entre y e 1.
B) Entre 0 e x. E) À direita de 1.
C) Entre x e y.
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2009) A Música e a Matemática se encontram na 
representação dos tempos das notas musicais, conforme 
a figura seguinte:
Semibreve 1
Mínima 1
2
Semínima 1
4
Colcheia 1
8
Semicolcheia 1
16
1
32
1
64
Fusa
Semifusa
Um compasso é uma unidade musical composta de 
determinada quantidade de notas musicais em que a 
soma das durações coincide com a fração indicada como 
fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de 
compasso for 
1
2
, poderia ter um compasso ou com duas 
semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo 
possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho 
musical de oito compassos, cuja fórmula é 
3
4
, poderia 
ser preenchido com
A) 24 fusas.
B) 3 semínimas.
C) 8 semínimas.
D) 24 colcheias e 12 semínimas.
E) 16 semínimas e 8 semicolcheias.
02. (Enem–2009 / Anulada) No calendário utilizado 
atualmente, os anos são numerados em uma escala 
sem o zero, isto é, não existe o ano zero. A Era Cristã se 
inicia no ano 1 depois de Cristo (d.C.) e designa-se o ano 
anterior a esse como ano 1 antes de Cristo (a.C.). Por essa 
razão, o primeiro século ou intervalo de 100 anos da era 
cristã terminou no dia 31 de dezembro do ano 100 d.C., 
quando haviam decorrido os primeiros 100 anos após o 
início da era. O século II começou no dia 1 de janeiro do 
ano 101 d.C., e assim sucessivamente. Como não existe 
o ano zero, o intervalo entre os anos 50 a.C. e 50 d.C., 
por exemplo, é de 100 anos. Outra forma de representar 
anos é utilizando-se números inteiros, como fazem os 
astrônomos. Para eles, o ano 1 a.C. corresponde ao ano 
0, o ano 2 a.C. ao ano −1, e assim sucessivamente. 
Os anos depois de Cristo são representados pelos números 
inteiros positivos, fazendo corresponder o número 1 ao 
ano 1 d.C. Considerando o intervalo de 3 a.C. a 2 d.C., 
o quadro que relaciona as duas contagens descritas 
no texto é:
Calendário 
atual
3 a.C. 2 a.C. 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C.
A)
Cômputo dos 
astrônomos
–1 0 1 2 3
Calendário 
atual
3 a.C. 2 a.C. 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C.
B)
Cômputo dos 
astrônomos
–2 –1 0 1 2
Calendário 
atual
3 a.C. 2 a.C. 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C.
C)
Cômputo dos 
astrônomos
–2 –1 1 2 3
Calendário 
atual
3 a.C. 2 a.C. 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C.
D) Cômputo dos 
astrônomos
–3 –2 –1 1 2
Calendário 
atual
3 a.C. 2 a.C. 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C.
E)
Cômputo dos 
astrônomos
–3 –2 –1 0 1
GABARITO
Fixação
01. E 02. D 03. D 04. C 05. E
Propostos
01. B 07. D 13. B
02. C 08. C 14. C
03. C 09. D 15. D
04. D 10. E 16. A
05. E 11. A 17. B
06. E 12. A 
Seção Enem
01. D 02. B
Frente C Módulo 02
FRENTE
43Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
Na geometria plana, ponto, reta e plano são conceitos 
primitivos. Neste texto, vamos designar pontos por letras 
maiúsculas (A, B, C, ...), retas por letras minúsculas 
(r, s, t, ...) e planos por letras gregas (a, β, γ, ...).
Em nosso estudo, faremos uso de alguns postulados 
(ou axiomas), que são verdades aceitas sem demonstração, 
e de teoremas (ou proposições), afirmações que podem ser 
demonstradas.
São exemplos de postulados:
P1) Numa reta, bem como num plano, há infinitos 
pontos;
P2) Dois pontos distintos determinam uma única reta que 
os contém;
P3) Três pontos distintos não colineares determinam um 
único plano que os contém.
São exemplos de teoremas, que serão demonstrados 
posteriormente:
T1) Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos 
é igual a 180º;
T2) Em qualquer quadrilátero, a soma dos ângulos 
internos é igual a 360º.
Segmento de reta
Dados dois pontos distintos, A e B, na reta r, a reunião 
desses dois pontos com o conjunto dos pontos que estão 
entre eles, em r, é o segmento de reta AB. 
A B
r
Semirreta
Dados dois pontos distintos, A e B, na reta r, define-se 
semirreta AB como a reunião dos pontos com origem em A 
e sentido para B.
A B
r
ÂNGULOS
Definição
Chama-se ângulo à reunião de duas semirretas de mesma 
origem, não contidas numa mesma reta (não colineares).
O
B
A
Indica-se: ∠ AOB, ∠ BOA, AOB, BOA ou O.
Nomenclatura: vértice o e lados OA e OB.
Ângulos consecutivos
Dois ângulos são consecutivos se eles possuem um lado 
em comum.
O
B
C
A
O
R
Q
P
Nas figuras, os ângulos AOB e BOC (assim como os POQ e ROQ) 
são consecutivos.
Ângulos adjacentes
Dois ângulos consecutivos, que não possuem ponto interior 
comum, são chamados de ângulos adjacentes.
O
B
A
C
Na figura, AOC e COB são ângulos adjacentes.
Noções primitivas de 
geometria plana
01 D
44 Coleção Estudo
Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares se, e somente se, a soma 
de suas medidas for 90º 
π
2
radianos





 . Dizemos, nesse caso, 
que um dos ângulos é o complemento do outro.
α
β
Dois ângulos
complementares
α + β = 90°
⇒
Ângulos suplementares
Dois ângulos são suplementares se, e somente se, a soma 
de suas medidas for 180° (p radianos). Dizemos, nesse caso, 
que um dos ângulos é o suplemento do outro.
α
β
Dois ângulos
suplementares
α + β = 180°
⇒
Exemplo
O suplemento do dobro de um ângulo excede em 30º o 
triplo do complemento desse ângulo. Determinar o ângulo.
Ângulo: x
Complemento do ângulo: 90º – x
Suplemento do dobro do ângulo: 180º – 2x
Equacionando, teremos:
180º – 2x = 30º + 3(90º – x) ⇒ x = 120º
Classificação
i) Ângulo reto é todo ângulo cuja medida é 90°.
ii) Ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto.
iii) Ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto.
α α
Ângulo reto
(90°)
Ângulo agudo
(α < 90°)
Ângulo obtuso
(α > 90°)
Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.)
Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um 
são as respectivas semirretas opostas aos lados do outro.
α β Ângulos opostos pelo
vértice (α = β)
⇒
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes 
(possuem a mesma medida).
RETAS PARALELAS CORTADAS 
POR UMA TRANSVERSAL
Duas retas r e s, paralelas distintas, e uma transversal t 
determinam oito ângulos geométricos,conforme a figura. 
Dois quaisquer desses ângulos ou são suplementares ou 
são congruentes.
t
r
a
c
b
d
e
g
f
h
s
r // s
Correspondentes
a e
b f
d h
c g
=
=
=
=






Alternos
b h
c e
externos
a g
d f
=
=



=
=










internos
Colaterais
b e
c h
externos
a f
d g
+ = °
+ = °



+ = °
+ = °







180
180
180
180


internos
OBSERVAÇÃO
Se uma reta transversal t determina com duas 
retas coplanares, r e s, ângulos alternos congruentes, 
então r // s.
Exemplo
Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas. Determinar a.
30º r
s
α
140º
Frente D Módulo 01
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
45Editora Bernoulli
Resolução:
Sejam os pontos A, B e C e o ângulo β.
Os ângulos 140º e β são suplementares, ou seja, β = 40º.
Trace a reta tracejada t paralela às retas r e s, passando 
por B. Seja D um ponto da reta t.
30º
D
C
A
B
r
t
s
α
140º
β = 40º
Os ângulos de medidas 30º e ABD são alternos internos, 
ou seja, ABD = 30º.
Os ângulos de medidas 40º e CBD são alternos internos, 
ou seja, CBD = 40º.
Assim: a = ABD + CBD = 70º
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. CALCULE:
A) O complemento de um ângulo mede 38°. 
Qual é esse ângulo?
B) 
2
3
 do complemento de um ângulo mais 
1
5
 do 
suplemento do mesmo ângulo perfazem 70°. 
Qual é esse ângulo?
02. A medida x de um ângulo tem 80º a mais que a medida 
de seu suplemento. DETERmINE x.
03. (UFU-MG) Dois ângulos consecutivos são complementares. 
Então, o ângulo formado pelas bissetrizes desses 
ângulos é
A) 20° 
B) 30° 
C) 35° 
D) 40° 
E) 45°
04. (VUNESP-SP) CALCULE em graus e minutos a medida do 
ângulo descrito pelo ponteiro dos minutos de um relógio, 
durante o tempo de 135 segundos.
05. (FUVEST-SP) Na figura a seguir, as retas r e s são 
paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. 
A medida, em graus, do ângulo 3 é
 
1
3
2
s
r
A) 50 D) 80
B) 55 E) 100
C) 60 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. Um ângulo excede o seu complemento em 48°. 
DETERmINE o suplemento desse ângulo.
02. O complemento da terça parte de um ângulo 
excede o complemento desse ângulo em 30°. 
DETERmINE o ângulo.
03. O suplemento do triplo do complemento da metade de um 
ângulo é igual ao triplo do complemento desse ângulo. 
DETERmINE o ângulo.
04. DETERmINE dois ângulos complementares tais que o 
dobro de um, aumentado da terça parte do outro, seja 
igual a um ângulo reto.
05. As bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam um 
ângulo de 52°. Se um deles mede 40°, qual é a medida 
do outro?
06. (UNAERP-SP) As retas r e s são interceptadas pela 
transversal t, conforme a figura. O valor de x para que 
r e s sejam paralelas é
4x + 30°
x + 20°
t
r
s
A) 20° D) 30° 
B) 26° E) 35°
C) 28°
Noções primitivas de geometria plana
46 Coleção Estudo
07. (PUC-SP) Um ângulo mede a metade de seu complemento. 
Então, esse ângulo mede
A) 30° B) 60° C) 45° D) 90° E) 68°
08. (UNIRIO-RJ) As retas r1 e r2 são paralelas. O valor do 
ângulo a, apresentado na figura a seguir, é
130°
α r1
r2
A) 40° B) 45° C) 50° D) 65° E) 130°
09. CALCULE os ângulos B e D, em que AB // DE e BC // DF.
A B
C
3x
E
D
F
2x + 5°
10. (Cesgranrio) As retas r e s da figura são paralelas cortadas 
pela transversal t. Se o ângulo B é o triplo de A, então 
B – A vale
t
r
A
B
s
A) 90° D) 75° 
B) 85° E) 60°
C) 80° 
11. (UEL-PR) Na figura a seguir, as medidas x, y e z são 
diretamente proporcionais aos números 5, 20 e 25, 
respectivamente.
x
y
O
z
O suplemento do ângulo de medida x tem medida igual a
A) 144° D) 82° 
B) 128° E) 54° 
C) 116° 
12. (FUVEST-SP) As retas t e s são paralelas. A medida do 
ângulo x, em graus, é
x
140°
t s
120°
A) 30 D) 60 
B) 40 E) 70
C) 50 
13. (Cesgranrio) Duas retas paralelas são cortadas por uma 
transversal, de modo que a soma de dois dos ângulos 
agudos formados vale 72°. Então, qualquer dos ângulos 
obtusos formados mede
A) 142° 
B) 144° 
C) 148° 
D) 150° 
E) 152°
14. (UFG) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas. 
A medida do ângulo b é
r4x
2x
b
120º
s
A) 100º D) 140º 
B) 120º E) 130º
C) 110º 
15. (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à 
terça parte do suplemento desse ângulo. Esse ângulo mede
A) 
7
8
π
 rad 
B) 
5
16
π
 rad 
C) 
7
4
π
 rad
D) 
7
16
π
 rad
E) 
5
8
π
 rad
Frente D Módulo 01
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
47Editora Bernoulli
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2009) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados 
brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI 
que partiu de Brasília-DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.
N
0 300 km
2
1
18 17
15
1. Manaus
2. Boa Vista
3. Macapá
4. Belém
5. São Luís
6. Teresina
7. Fortaleza
8. Natal
9. Salvador
Mapa do Brasil e algumas capitais
10. Rio de Janeiro
11. São Paulo
12. Curitiba
13. Belo Horizonte
14. Goiânia
15. Cuiabá
16. Campo Grande
17. Porto Velho
18. Rio Branco
14
13
DF
16
11
12
10
9
8
7
6
5
3
4
SIQUEIRA, S. Brasil Regiões. Disponível em: <www.santiagosiqueira.pro.br>. Acesso em: 28 jul 2009 (Adaptação).
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo 
de 135 graus no sentido horário com a rota Brasília-Belém, e pousou em alguma das capitais brasileiras. 
Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no 
sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um 
avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição 
dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em
A) Belo Horizonte, e, em seguida, embarcou para Curitiba.
B) Belo Horizonte, e, em seguida, embarcou para Salvador.
C) Boa Vista, e, em seguida, embarcou para Porto Velho.
D) Goiânia, e, em seguida, embarcou para o Rio de Janeiro.
E) Goiânia, e, em seguida, embarcou para Manaus.
02. (Enem–2009 / Anulada) Um decorador utilizou um único tipo de transformação geométrica para compor pares de cerâmicas 
em uma parede. Uma das composições está representada pelas cerâmicas indicadas por I e II.
I II III
Utilizando a mesma transformação, qual é a figura que compõe par com a cerâmica indicada por III?
 
C)A) B) D) E)
Noções primitivas de geometria plana
48 Coleção Estudo
03. (Enem–2009 / Anulada) Uma das expressões artísticas 
mais famosas associada aos conceitos de simetria 
e congruência é, talvez, a obra de Maurits Cornelis 
Escher, artista holandês cujo trabalho é amplamente 
difundido. A figura apresentada, de sua autoria, mostra 
a pavimentação do plano com cavalos claros e cavalos 
escuros, que são congruentes e se encaixam sem deixar 
espaços vazios.
Realizando procedimentos análogos aos feitos por Escher, 
entre as figuras a seguir, aquela que poderia pavimentar 
um plano, utilizando-se peças congruentes de tonalidades 
claras e escuras é
 
A) B) C) D) E)
04. (Enem–2009) As figuras a seguir exibem um trecho de 
um quebra-cabeças que está sendo montado. Observe 
que as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro 
da figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. As peças 
são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no 
tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de modo 
a completar os desenhos.
Peça 1
Figura BFigura A
Peça 2
Disponível em: <http://pt.eternityii.com>. 
Acesso em: 14 jul. 2009.
É possível preencher corretamente o espaço indicado pela 
seta no tabuleiro da figura A colocando a peça
A) 1 após girá-la 90° no sentido horário.
B) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário.
C) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário.
D) 2 após girá-la 180° no sentido horário.E) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário.
GABARITO
Fixação
01. A) 52º
 B) 30º
02. 130º
03. E
04. 13° 30’
05. E
Propostos
01. 111º
02. 45º
03. 80º
04. 36º e 54º
05. 64º ou 144º
06. B
07. A
08. A
09. O ângulo B vale 105°, e o ângulo D vale 75°.
10. A
11. A
12. E
13. B
14. A
15. D
Seção Enem
01. B 
02. B 
03. B e D 
04. C
Frente D Módulo 01
FRENTE
49Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
TRIÂNGULOS
Considere três pontos não colineares A, B e C. A união dos 
três segmentos de reta (AB, AC e BC) com extremidades nos 
três pontos é denominada triângulo ABC (indicação: ∆ ABC). 
Elementos
i) Vértices: São os pontos A, B e C.
ii) Lados: São os segmentos BC, AC e AB, de medidas 
a, b e c indicadas na fi gura.
iii) Ângulos internos: BAC, ABC e ACB.
A
a
b
c
B
C
O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos 
lados. Representamos o perímetro por 2p e o semiperímetro 
por p. Assim, no triângulo ABC anterior, tem-se:
2p = a + b + c e p = a b c+ +
2
Classificação
Quanto à medida dos seus ângulos internos, podemos 
classifi car os triângulos em:
Cateto (b)
Triângulo retângulo
(um ângulo interno reto)
Triângulo acutângulo
(três ângulos internos agudos)
Triângulo obtusângulo
(um ângulo interno obtuso)
Cateto
(c)
Hipotenusa
(a)
Sabemos que, pelo Teorema de Pitágoras, a2 = b2 + c2, 
ou seja, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados das medidas dos catetos.
Quanto à medida dos seus lados, podemos classifi car os 
triângulos em:
i) Triângulo equilátero: Os três lados são congruentes 
entre si, e os três ângulos medem 60º.
Triângulo equilátero
60º
�
�
�
60º
60º
ii) Triângulo isósceles: Possui pelo menos dois lados 
congruentes. O lado de medida diferente, caso exista, 
é chamado base, e o ângulo oposto à base é chamado 
ângulo do vértice. Os ângulos da base (opostos a 
lados de medidas iguais) são congruentes. Observe 
que todo triângulo equilátero é isósceles.
αα
xx
Triângulo isósceles
iii) Triângulo escaleno: Os três lados e os três ângulos 
são diferentes entre si.
Triângulo escaleno
Triângulos e pontos notáveis 02 D
50 Coleção Estudo
PONTOS NOTÁVEIS
Baricentro
Mediana de um triângulo é um segmento de reta que une 
um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Na figura, AM é mediana do triângulo ABC, relativa ao 
lado BC.
A
B M C��
Propriedades
i) As três medianas de um triângulo interceptam-se 
num mesmo ponto, chamado baricentro.
ii) O baricentro divide cada uma das medianas na 
proporção de 2 para 1 (do vértice ao ponto médio).
A
B M1
M3 M2
C
G
AG = 2.GM1
BG = 2.GM2
CG = 2.GM3
Incentro
Bissetriz interna de um triângulo é um segmento de reta 
que une um vértice ao lado oposto e divide o ângulo do 
vértice ao meio.
Na figura, AD é a bissetriz interna do triângulo ABC relativa 
ao vértice A, e BAD = DAC.
A
α α
B
D
C
Propriedades
i) As três bissetrizes internas de um triângulo 
interceptam-se num mesmo ponto, chamado incentro.
ii) O incentro é equidistante dos lados; portanto, é o 
centro da circunferência inscrita no triângulo ABC.
A
B
X
Z
O
Y
C
Circuncentro
Mediatriz de um lado de um triângulo é a reta perpendicular 
a esse lado pelo seu ponto médio. 
Na figura, ma é mediatriz do triângulo ABC, relativa ao 
lado BC.
A
B D
ma
C��
Propriedades
i) As três mediatrizes dos lados de um triângulo 
interceptam-se num mesmo ponto, chamado 
circuncentro.
ii) O circuncentro é equidistante dos vértices; 
portanto, é o centro da circunferência circunscrita 
ao triângulo ABC.
A
B
ma
mc
mb
C
O
Frente D Módulo 02
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
51Editora Bernoulli
Posição do circuncentro em 
relação a um triângulo
A) É interno, se o triângulo é acutângulo.
A
B C
O
B) É o ponto médio da hipotenusa, se o 
triângulo é retângulo.
A
B C
O
C) É externo, se o triângulo é obtusângulo.
A
B C
O
Ortocentro
Altura de um triângulo é o segmento de reta traçado de um 
vértice à reta suporte do lado oposto, perpendicularmente 
a esta.
Nesta figura, AD é a altura do triângulo ABC, relativa ao 
lado BC.
A
B D C
Propriedade
As três retas suportes das alturas de um triângulo 
interceptam-se num mesmo ponto, denominado ortocentro.
A
B
D
H
F
E
C
Posição do ortocentro em relação 
a um triângulo
A) É interno, se o triângulo é acutângulo.
A
B
H
C
B) É o vértice do ângulo reto, se o triângulo é retângulo.
H = B C
A
C) É externo, se o triângulo é obtusângulo.
A
H
C
B
OBSERVAÇÕES
i) Em um triângulo isósceles, o baricentro, o incentro, 
o circuncentro e o ortocentro são colineares.
A
CB � �
H
O
I
G
Triângulos e pontos notáveis
52 Coleção Estudo
ii) Em um triângulo equilátero, os quatro pontos notáveis 
são coincidentes.
H = O
G = I
A
30º
30º
30º
30º
DB � �
�
�
TEOREMAS
Soma dos ângulos internos de um 
triângulo
Considere um triângulo qualquer ABC cujos ângulos A, B 
e C têm medidas a, β e q, respectivamente.
A
B C
θβ
α
Traçando por A a reta DE paralela a BC, determinamos 
ângulos alternos internos congruentes.
θ
θ
β
β
AD E
B C
α
Como o ângulo DAE mede 180°, concluímos que:
a + β + q = 180º
Ângulo externo de um triângulo
A D
B
Ângulo externo
relativo ao vértice A
C
O ângulo BÂD é adjacente e suplementar de um ângulo 
interno do triângulo ABC; por isso, BÂD é chamado de ângulo 
externo desse triângulo.
Sendo a e β as medidas dos ângulos internos C e B, 
respectivamente, e indicando por ae a medida do ângulo 
externo relativo ao vértice A,
A
180˚– ae
ae
D
B
β
α
C
temos a + β + 180º – ae = 180° ⇒ ae = a + β, isto é:
A medida de um ângulo externo de um triângulo é 
igual à soma das medidas dos ângulos internos não 
adjacentes a ele.
Desigualdades nos triângulos
A) Dados dois lados de um triângulo, de medidas 
diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo.
C
C
B A
B Ac
a b
b < a < c ⇔ B < A < C
B) Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma 
dos outros dois.
C
B Ac
a b
a < b + c b < a + c c < a + b
As três desigualdades citadas são equivalentes a:
|b – c| < a < b + c
Frente D Módulo 02
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
53Editora Bernoulli
Área de um triângulo
Para calcularmos a área de um triângulo fazemos metade 
do produto de um dos lados (base) pela altura relativa a ele. 
No triângulo ABC a seguir, temos:
C
A B
altura
base
Área
base altura
ABC∆
=
.
2
Se o triângulo for retângulo e considerarmos como base 
um dos catetos, o outro cateto será a altura, e a área será 
igual ao semiproduto dos catetos:
CA
B
cateto
b
cateto
c
A
b c
ABC∆
=
.
2
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFU-MG) Na fi gura a seguir, o ângulo x, em graus, 
pertence ao intervalo
4x
3x 6x 2x
5x
A) (0°, 15°) 
B) (15°, 20°) 
C) (20°, 25°) 
D) (25°, 30°)
02. (UFMG) Observe a fi gura.
a 2a
2b
x
b
Nela, a, 2a, b, 2b e x representam as medidas, em graus, 
dos ângulos assinalados. O valor de x, em graus, é
A) 100 
B) 110 
C) 115 
D) 120
03. (UFES) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles 
mede 100°. Qual é a medida do ângulo agudo formado 
pelas bissetrizes dos outros ângulos internos?
A) 20° 
B) 40° 
C) 60° 
D) 80°
E) 140°
04. (PUC Minas) Na fi gura, o triângulo ABC é equilátero e está 
circunscrito ao círculo de centro o e raio 2 cm. AD é altura 
do triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de 
AE, em centímetros, é
A
D
B C
E
O
A) 2¹3 D) 5
B) 2¹5 E) ¹26
C) 3 
05. (UFPE) Na fi gura a seguir, DETERmINE o ângulo que é 
oposto ao lado de menor comprimento.
42O
96O
61O
61O
42O
58O
45O
45O
35O25
O
120O
Triângulos e pontos notáveis
54 Coleção Estudo
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UNITAU-SP) O segmento da perpendicular traçada de um 
vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é 
denominado
A) mediana. 
B) mediatriz. 
C) bissetriz.
D) altura.
E) base.
02. (UFU-MG) Considere o triângulo ABC, a seguir, e D 
um ponto no lado AC, tal que AD = BD = BC = 1 cm. 
Nesse caso, a relação existente entre os ângulosindicados 
a e β é
A B
C
α β
A) β + 2a = p C) β = 3a
B) β = 2a D) a – β = 
π
4
03. (UFMG) Observe a figura:
A B
C
D
E
BD é bissetriz de AB̂C, EĈB = 2.(EÂB) e a medida do 
ângulo EĈB é 80º. A medida do ângulo CD̂B é
A) 40º 
B) 50º 
C) 55º 
D) 60º
E) 65º
04. (UNIFESP-SP–2008) Tem-se um triângulo equilátero em 
que cada lado mede 6 cm. O raio do círculo circunscrito 
a esse triângulo, em centímetros, mede
A) ¹3 
B) 2¹3 
C) 4 
D) 3¹2
E) 3¹3
05. (Unimontes-MG–2009) Na figura a seguir, MNPQ é um 
quadrado, e NPR é um triângulo equilátero. O ângulo a 
mede
Q M
P N
R
α
A) 30º C) 75º
B) 15º D) 25º
06. (UFF-RJ) O triângulo MNP é tal que o ângulo M̂ = 80° 
e o ângulo P̂ = 60°. A medida do ângulo formado pela 
bissetriz do ângulo interno N com a bissetriz do ângulo 
externo P é
A) 20° 
B) 30° 
C) 40° 
D) 50°
E) 60°
07. (UFMG) Observe a figura:
 
A
B C F
140˚
D
E
Nessa figura, AB ≡ AC, BD é bissetriz de AB̂C, CE é 
bissetriz de BĈD e a medida do ângulo AĈF é 140º. 
A medida do ângulo DÊC, em graus, é
A) 20 
B) 30 
C) 40 
D) 50
E) 60
08. (FUVEST-SP) Na figura a seguir, AB = AC, D é o ponto 
de encontro das bissetrizes do triângulo ABC, e o ângulo 
D é o triplo do ângulo A. Então, a medida de A é
A
B
C
D
A) 18º D) 36º
B) 12º E) 15º
C) 24º 
Frente D Módulo 02
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
55Editora Bernoulli
09. (FUVEST-SP) Na figura, AB = BD = CD. Então,
A
x
y
B C
D
A) y = 3x 
B) y = 2x 
C) x + y = 180º 
D) x = y
E) 3x = 2y
10. (PUC-SP) Na figura, BC = CA = AD = DE. O ângulo CAD 
mede
A
B ED
40˚ 40˚
C
A) 10º D) 40º
B) 20º E) 60º
C) 30º 
11. (UFMT–2006) Deseja-se instalar uma fábrica num lugar 
que seja equidistante dos municípios A, B e C. Admita 
que A, B e C são pontos não colineares de uma região 
plana e que o triângulo ABC é escaleno. Nessas condições, 
o ponto onde a fábrica deverá ser instalada é o
A) centro da circunferência que passa por A, B e C.
B) baricentro do triângulo ABC.
C) ponto médio do segmento BC.
D) ponto médio do segmento AB.
E) ponto médio do segmento AC.
12. Se P é o incentro de um triângulo ABC e BP̂C = 125º, 
DETERmINE A.
13. O circuncentro de um triângulo isósceles é interno ao 
triângulo e duas mediatrizes formam um ângulo de 50º. 
DETERmINE os ângulos desse triângulo.
14. Na figura, ABCD é retângulo, m é o ponto médio de CD e o 
triângulo ABM é equilátero. Sendo AB = 15, CALCULE AP. 
D M C
P
A B
15. (VUNESP-SP) Considere o triângulo ABC da figura adiante. 
Se a bissetriz interna do ângulo B forma com a bissetriz 
externa do ângulo C um ângulo de 50°, DETERmINE a 
medida do ângulo interno A.
C
50˚A
B
16. (ITA-SP) Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. 
Sobre o lado AC desse triângulo, considere um ponto D 
tal que os segmentos AD, BD e BC são todos congruentes 
entre si. A medida do ângulo BÂC é igual a
A) 23° D) 40°
B) 32° E) 45°
C) 36° 
17. (Unificado-RJ) Na figura a seguir, os pontos A, B e C 
representam as posições de três casas construídas numa 
área plana de um condomínio. Um posto policial estará 
localizado num ponto P situado à mesma distância das 
três casas. Em Geometria, o ponto P é conhecido pelo o 
nome de
A
C
B
A) baricentro. D) incentro.
B) ortocentro. E) ex-incentro.
C) circuncentro.
18. (UFPE–2009) Na ilustração a seguir, AD e BD estão nas 
bissetrizes respectivas dos ângulos CAB e CBA do triângulo 
ABC, e EF, que contém D, é paralela a AB. Se AC = 12 
e BC = 8, qual o perímetro do triângulo CEF?
C
BA
E F
D
A) 16 D) 22
B) 18 E) 24
C) 20
Triângulos e pontos notáveis
56 Coleção Estudo
19. Se H é o ortocentro de um triângulo isósceles ABC de base 
BC e BĤC = 50°, DETERmINE os ângulos do triângulo.
20. (FUVEST-SP–2009) Na figura, B, C e D são pontos 
distintos da circunferência de centro o, e o ponto A é 
exterior a ela. Além disso,
I. A, B, C e A, o, D são colineares;
II. AB = OB;
III. COD mede a radianos.
A
B
C
DO
Nessas condições, a medida de ABO, em radianos, 
é igual a
A) p – α
4
B) p – α
2
C) p – 2
3
α
D) p – 3
4
α
E) p – 3
2
α
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2005) Quatro estações distribuidoras de energia 
A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado 
de 40 km de lado. Deseja-se construir uma estação central 
que seja ao mesmo tempo equidistante das estações 
A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D. 
A nova estação deve ser localizada
A) no centro do quadrado.
B) na perpendicular à estrada que liga C e D passando 
por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada.
C) na perpendicular à estrada que liga C e D passando 
por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada.
D) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, 
oposto a essa base.
E) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.
02. (Enem–2010) Em canteiros de obras de construção civil 
é comum perceber trabalhadores realizando medidas de 
comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por 
onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses 
canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. 
Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, 
três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras 
três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, 
conforme pode ser visto na figura, em que as estacas 
foram indicadas por letras.
B
P
A C
M
N
A região demarcada pelas estacas A, B, m e N deveria 
ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser 
calçada corresponde
A) à mesma área do triângulo AMC.
B) à mesma área do triângulo BNC.
C) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
D) ao dobro da área do triângulo MNC.
E) ao triplo da área do triângulo MNC.
GABARITO
Fixação
01. B 04. A
02. D 05. 58º
03. B 
Propostos
01. D 11. A 
02. C 12. 70º
03. D 13. 50°, 50° e 80° ou 50°, 65° e 65°
04. B 14. 10
05. B 15. 100°
06. C 16. C
07. C 17. C
08. D 18. C
09. A 19. 25°, 25° e 130°
10. B 20. C
Seção Enem
01. C 02. E
Frente D Módulo 02
FRENTE
57Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um 
ângulo reto.
Na fi gura, BAC é reto. Costumamos dizer que o triângulo 
ABC é retângulo em A.
B
A C
Em todo triângulo retângulo, os lados que formam o ângulo 
reto são denominados catetos, o lado oposto ao ângulo 
reto é chamado de hipotenusa, e os ângulos agudos são 
denominados complementares.
TEOREMA DE PITÁGORAS
Em todo triângulo retângulo, a soma dos 
quadrados das medidas dos catetos é igual ao 
quadrado da medida da hipotenusa.
Na fi gura, b e c são as medidas dos catetos; e a, a medida 
da hipotenusa. Daí, temos:
B
A b
a
c
C
c2 + b2 = a2
A demonstração formal do Teorema de Pitágoras pode ser 
feita a partir das relações métricas no triângulo retângulo. 
Oferecemos, aqui, apenas uma ideia de como se obter 
tal resultado, utilizando um quadrado (de lado b + c), 
subdividido em quatro triângulos retângulos (de lados 
a, b e c), e um quadrado menor (de lado a).
a
a
b
b
c
c
b
c
b c
a
a
Somando as áreas dos quatro triângulos retângulos e do 
quadrado menor, obtemos a área do quadrado maior. Logo:
4.bc
2
 + a2 = (b + c)2 ⇒ 2bc + a2 = b2 + 2bc + c2 ⇒
a2 = b2 + c2
Aplicações
Vamos deduzir, num quadrado, a relação entre as 
medidas d de uma diagonal e  de um lado e, num triângulo 
equilátero, a relação entre as medidas h de uma altura e  
de um lado.
Diagonal do quadrado
 
D C
d
A B
� �
�
�
No triângulo BCD, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
d2 = 2 + 2 ⇒
d2 = 22 ⇒
d = ¹2
Trigonometria no triângulo 
retângulo
01 E
58 Coleção Estudo
Altura do triângulo equilátero
 
C
A BH
h
��
�
2
�
2
No triângulo HBC, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
h2
2
2
2
+ 



=  ⇒
h2 2
2
4
= −  ⇒
h2
23
4
=  ⇒
h = � 3
2
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO
i) Seno: Em todo triângulo retângulo, o seno de um 
ânguloagudo é a razão entre a medida do cateto 
oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
ii) Cosseno: Em todo triângulo retângulo, o cosseno de 
um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto 
adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
iii) Tangente: Em todo triângulo retângulo, a tangente 
de um ângulo agudo é a razão entre a medida do 
cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto 
adjacente a esse ângulo.
Num triângulo ABC, retângulo em A, vamos indicar por 
B e C as medidas dos ângulos internos, respectivamente, 
de vértices B e C.
 
B
Ab
a
c
C
C
B
B C
seno (sen)
b
a
c
a
cosseno (cos)
c
a
b
a
tangente (tg)
b
c
c
b
Utilizando o quadrado e o triângulo equilátero, é possível 
construir uma tabela com os valores do seno, do cosseno e 
da tangente dos ângulos 30°, 45° e 60°.
a 30° 45° 60°
sen a
1
2
2
2
3
2
cos a
3
2
2
2
1
2
tg a
3
3
1 3
RELAÇÕES ENTRE SENO, 
COSSENO E TANGENTE
B A
ba
c
C
C
B
Na fi gura:
sen C = c
a
, cos C = b
a
, tg C = c
b
Dividindo sen B por cos B, obtemos:
sen
b
a
c
a
b
c
tg
B
B
B
cos
= =
tg a = sen α
αcos
Portanto, a tangente de um ângulo é o quociente entre o 
seno e o cosseno desse ângulo.
Frente E Módulo 01
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
59Editora Bernoulli
 Dividindo os membros de b2 + c2 = a2 por a2, temos:
b c
a
a
a
b
a
c
a
2 2
2
2
2
2 2
+ = ⇒





 +





 = 1
Substituindo b
a
 = sen B, e c
a
 = cos B, obtemos:
sen2 B + cos2 B = 1
Portanto, a soma dos quadrados do seno e do cosseno 
de um ângulo é igual a 1.
 Observamos ainda que sen B = cos C e sen C = cos B.
Portanto, o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno 
do complemento desse ângulo, e vice-versa.
sen2 a + cos2 a = 1
cos a = sen (90° – a)
sen a = cos (90° – a)
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFJF-MG) Um topógrafo foi chamado para obter a altura 
de um edifício. Para fazer isso, ele colocou um teodolito 
(instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do 
edifício e mediu um ângulo de 30°, como indicado na 
fi gura a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito está a 
1,5 metro do solo, pode-se concluir que, entre os valores 
a seguir, o que mELHoR aproxima a altura do edifício, 
em metros, é
30°
A) 112 D) 20
B) 115 E) 124
C) 117
Use os valores:
sen 30° = 0,5 cos 30° = 0,866 tg 30° = 0,577
02. (UFMG) Nesta fi gura, E é o ponto médio do lado BC do 
quadrado ABCD. A tangente do ângulo a é
D C
A B
E2α
A) 
1
2
B) 1
C) 2
D) 
3
2
03. (UFV-MG–2006) Um passageiro em um avião avista duas 
cidades A e B sob ângulos de 15° e 30°, respectivamente, 
conforme a fi gura a seguir.
Cidade A Cidade B
3 km
15° 30°
Se o avião está a uma altitude de 3 km, a distância entre 
as cidades A e B é
A) 7 km.
B) 5,5 km.
C) 6 km.
D) 6,5 km.
E) 5 km.
04. (UFMG) Observe a fi gura.
 
D C
BA
60°
Na fi gura anterior, o trapézio ABCD tem altura 2¹3 e bases 
AB = 4 e DC = 1. A medida do lado BC é
A) ¹14 
B) ¹13 
C) 4 
D) ¹15
Trigonometria no triângulo retângulo
60 Coleção Estudo
05. (UFOP-MG) Um observador vê um prédio segundo um 
ângulo a. Após caminhar uma distância d em direção ao 
prédio, ele passa a vê-lo segundo um ângulo β. Podemos 
afirmar que a altura h do prédio é
d
α β
h
A) 
d tg tg
tg tg
. .α β
β α−
B) 
d tg tg
tg tg
. .α β
α β−
C) 
d tg tg
tg tg
. .α β
β α+
D) d
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFJF-MG) Ao aproximar-se de uma ilha, o capitão de um 
navio avistou uma montanha e decidiu medir a sua altura. 
Ele mediu um ângulo de 30° na direção do seu cume, 
como indicado na figura. Depois de navegar mais 2 km 
em direção à montanha, repetiu o procedimento, medindo 
um novo ângulo de 45°. Então, usando ¹3 = 1,73, 
o valor que mais se aproxima da altura dessa montanha, 
em quilômetros, é
30°
2 km
45°
A) 2,1 
B) 2,2 
C) 2,5
D) 2,7
E) 3,0
02. (UFMG) Observe a figura.
30°
DC
A
E
B
Se a medida de EC é 80, o comprimento de BC é
A) 20 C) 8
B) 10 D) 5
03. (PUC Minas) A diagonal de um retângulo mede 10 cm, 
e os lados formam uma proporção com os números 3 e 4. 
O perímetro do retângulo, em cm, é de
A) 14 
B) 16 
C) 28 
D) 34 
E) 40
04. (CEFET-MG–2009) O projeto de um avião de brinquedo, 
representado na figura a seguir, necessita de alguns 
ajustes em relação à proporção entre os eixos AB e CD. 
Para isso, deve-se calcular o ângulo BAC do triângulo 
A, B e C.
34,6 cm
10 cm
A B
C
D
Considerando que o avião é simétrico em relação ao 
eixo CD e que ¹3 = 1,73, o valor de BÂC é
A) 30º D) 75º
B) 45º E) 90º
C) 60º 
05. (UNESP-SP–2008) Dado o triângulo retângulo ABC, cujos 
catetos são: AB = sen x e BC = cos x, os ângulos em 
A e C são
A) A = x e C = 
π
2
B) A = 
π
2
 e C = x
C) A = x e C = 
π
2
 – x
D) A = 
π
2
 – x e C = x
E) A = x e C = 
π
4
Frente E Módulo 01
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
61Editora Bernoulli
06. (UNESP-SP–2008) Dois edifícios, x e Y, estão um em 
frente ao outro, num terreno plano. Um observador, no 
pé do edifício x (ponto P), mede um ângulo a em relação 
ao topo do edifício Y (ponto Q). Depois disso, no topo do 
edifício x, num ponto R, de forma que RPTS formem um 
retângulo e QT seja perpendicular a PT, esse observador 
mede um ângulo β em relação ao ponto Q no edifício Y.
X
Y h
Q
R
TP
(figura fora de escala)
Sβ
α
10 m
Sabendo que a altura do edifício x é 10 m e que 
3 tg a = 4 tg β, a altura h do edifício Y, em metros, é
A) 
40
3
 
B) 
50
4
 
C) 30 
D) 40 
E) 50
07. (PUC RS) De um ponto A, no solo, visam-se a base B e 
o topo C de um bastão colocado verticalmente no alto de 
uma colina, sob ângulos de 30° e 45°, respectivamente. 
Se o bastão mede 4 m de comprimento, a altura da colina, 
em metros, é igual a
C
B
A
A) ¹3 
B) 2 
C) 2¹3
D) 2(¹3 + 1)
E) 2(¹3 + 3)
08. (PUC-SP–2008) Para representar as localizações de 
pontos estratégicos de um acampamento em construção, 
foi usado um sistema de eixos cartesianos ortogonais, 
conforme mostra a figura a seguir, em que os pontos F e m 
representam os locais onde serão construídos os respectivos 
dormitórios feminino e masculino e R, o refeitório.
(metros) y
x (metros)
M(30, 0)
F
R
30º
Se o escritório da coordenação do acampamento deverá 
ser equidistante dos dormitórios feminino e masculino e, 
no sistema, sua representação é um ponto pertencente 
ao eixo das abscissas, quantos metros ele distará do 
refeitório?
A) 10¹3 C) 9¹3 E) 8¹3
B) 10 D) 9 
09. (UFJF-MG) O valor de y = sen2 10° + sen2 20° + 
sen2 30° + sen2 40° + sen2 50° + sen2 60° + sen2 70° + 
sen2 80° + sen2 90° é
A) –1 B) 1 C) 2 D) 4 E) 5
10. (VUNESP-SP) A partir de um ponto, observa-se o topo de 
um prédio sob um ângulo de 30°. Caminhando 23 m em 
direção ao prédio, atingimos outro ponto de onde se vê o 
topo do prédio segundo um ângulo de 60°. Desprezando 
a altura do observador, a altura do prédio em metros é
A) entre 10 e 12. D) entre 18 e 19.
B) entre 12 e 15. E) maior que 19.
C) entre 15 e 18.
11. (UFOP-MG–2009) Uma ponte elevadiça está construída sobre 
um rio cujo leito tem largura igual a 80 m, conforme ilustra 
a figura. A largura  do vão entre as rampas dessa ponte, 
quando o ângulo de elevação das rampas é de 30º, é
80 m
30º 30º
40 m40 m
�
A) 50 – ¹3 C) 4(10 – 20¹3)
B) 4(20 – 10¹3) D) 20(4 – ¹3)
Trigonometria no triângulo retângulo
62 Coleção Estudo
12. (PUC-SP) Um dos ângulos de um triângulo retângulo é a. 
Se tg a = 2,4, os lados desse triângulo são proporcionais a
A) 30, 40, 50
B) 80, 150, 170
C) 120, 350, 370
D) 50, 120, 130
E) 61, 60, 11
13. (FUVEST-SP–2008) Para se calcular a altura de uma torre, 
utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: 
um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, 
a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em 
direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado 
entre o raio e o solo foi de a = 
π
3
 radianos. A seguir, 
o aparelho foi deslocado4 metros em direção à torre e o 
ângulo então obtido foi de β radianos, com tg β = 3¹3.
α β
É CoRRETo afirmar que a altura da torre, em metros, é
A) 4¹3 C) 6¹3 E) 8¹3
B) 5¹3 D) 7¹3 
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2006)
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
30 cm
30 cm
24 cm
90 cm
90 cm
Corrimão
Na figura anterior, que representa o projeto de uma 
escada de 5 degraus de mesma altura, o comprimento 
total do corrimão é igual a
A) 1,8 m. C) 2,0 m. E) 2,2 m.
B) 1,9 m. D) 2,1 m. 
02. (Enem–2010) Um balão atmosférico, lançado em 
Bauru (343 quilômetros a noroeste de São Paulo), na 
noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em 
Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, 
assustando agricultores da região. O artefato faz parte 
do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, 
França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do 
comportamento da camada de ozônio, e sua descida se 
deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. 
Acesso em: 02 maio 2010.
Balão
1,8 Km A 3,7 Km B
60O 30O
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão.
Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o 
avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km 
da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, 
e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou 
sob um ângulo de 30°. Qual a altura aproximada em que 
se encontrava o balão?
A) 1,8 km C) 3,1 km E) 5,5 km
B) 1,9 km D) 3,7 km
GABARITO
Fixação
01. C 04. B
02. A 05. A
03. C
Propostos
01. D 08. B
02. B 09. E
03. C 10. E
04. A 11. B
05. D 12. D
06. D 13. C
07. D
Seção Enem
01. D 02. C
Frente E Módulo 01
FRENTE
63Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
Dois pontos, A e B, de uma circunferência dividem-na em 
duas partes denominadas arcos; A e B são as extremidades 
de cada um desses arcos, que indicaremos por A¹B ou B¹A.
B
A
B
A
A¹B B¹A
Se A coincide com B, temos um arco de uma volta e um 
arco nulo.
 
A ≡ B
arco nulo
A ≡ B
arco de 1 volta
Se A e B são as extremidades de um mesmo diâmetro, 
temos um arco de meia-volta.
o: centro do círculo 
A
O
B
A¹B: arco de meia-volta
ÂNGULO CENTRAL
Todo ângulo coplanar com uma circunferência C, cujo 
vértice é o centro de C, é denominado ângulo central 
relativo a C.
O
B
A
C
A¹B: arco correspondente ao ângulo central
O arco de circunferência contido num ângulo central é 
chamado de arco correspondente a esse ângulo.
Como a todo ângulo central de C corresponde um 
único arco de C contido nesse ângulo, e a todo arco de C 
corresponde um único ângulo central de C, a medida de um 
ângulo central, relativo a uma circunferência, e a medida do 
arco correspondente, numa mesma unidade, são iguais.
O
B
A
C
m(AOB) = m(A¹B)
MEDIDAS DE ÂNGULOS
E ARCOS
Medida em graus
Dividindo-se uma circunferência em 360 partes congruentes 
entre si, cada um desses arcos é um arco de um grau (1°).
Dividindo-se um arco de 1° em 60 partes congruentes 
entre si, cada um desses arcos mede um minuto (1’).
Dividindo-se um arco de 1’ em 60 partes congruentes entre si, 
cada um desses arcos mede um segundo (1”).
Portanto, 1° = 60’ e 1’ = 60”.
Para um arco de circunferência com medida a graus, 
b minutos e c segundos, escrevemos a°b’c”.
Radiano
Arco de 1 radiano (rad) é o arco cujo comprimento é igual 
à medida do raio da circunferência que o contém.
arco 1 radr
r
r
O α
Arcos e ciclo trigonométrico 02 E
64 Coleção Estudo
Um modo de definirmos o ângulo de 1 radiano é 
caracterizando-o como o ângulo correspondente a um arco 
de comprimento igual ao do seu raio.
Indicando por a a medida, em radianos, de um arco de 
comprimento  contido numa circunferência de raio r, temos:
�
r
r
O α
a = 

r
É importante observar que a medida de um ângulo, 
em radianos, só é igual ao comprimento de seu arco se 
r = 1.
As medidas de arcos de circunferências em graus e em 
radianos são diretamente proporcionais:
360
2
180° = °
π π
 Esse fato nos possibilita obter uma forma de conversão 
de unidades através de uma regra de três simples:
 medida em graus medida em radianos
 a ________________ a
 180 ________________ p
a
180
= α
π
Arco orientado
Em Trigonometria, adotamos o sentido anti-horário de 
percurso como o positivo e o sentido horário de percurso 
como o negativo.
Todo arco de circunferência não nulo no qual adotamos um 
sentido de percurso é chamado de arco orientado.
Exemplos
1º) 
O
B
A
 2º) 
O
B
A
1º) o: centro do círculo
 Arco orientado A¹B tem medida π
2
 rad ou 90°
2º) o: centro do círculo
 Arco orientado B¹A tem medida – π
2
 rad ou –90°
Ciclo trigonométrico
O
1
A x
Toda circunferência orientada, de centro o e raio 
unitário, na qual escolhemos um ponto origem dos arcos, 
é denominada circunferência trigonométrica ou ciclo 
trigonométrico. Adotaremos como origem dos arcos o 
ponto A de interseção do ciclo com o semieixo positivo 
das abscissas Ox. 
No ciclo trigonométrico, a medida absoluta a, em radianos, 
de um arco e o comprimento  desse arco são iguais, pois 
a = 

r
 e r = 1.
Logo, podemos associar cada número real a um 
único ponto P do ciclo trigonométrico com o seguinte 
procedimento:
Se a = 0, tomamos P ≡ A.
Se a > 0, percorremos o ciclo no sentido anti-horário.
Se a < 0, percorremos o ciclo no sentido horário. 
A ≡ P A
P
P
A
m(A¹P) = 0 m(A¹P) = a > 0 m(A¹P) = a < 0
O ponto P é a imagem de a no ciclo trigonométrico.
Frente E Módulo 02
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
65Editora Bernoulli
Convenções
i) O sistema de coordenadas xOy divide a circunferência 
trigonométrica em quatro quadrantes:
y
B
O x
B'
A' A
1.º Q2.º Q
4.º Q3.º Q
ii) Será omitido o símbolo rad nos arcos trigonométricos 
em radianos.
iii) Como todo arco trigonométrico tem como extremidade 
um mesmo ponto, denotaremos o arco apenas pelo 
outro ponto.
Exemplos
1º) Partindo de A e percorrendo, no sentido anti-horário, 
um arco de comprimento 
π
5
, obtemos o arco de 
π
5
.
A
P
π
5
2º) Partindo de A e percorrendo, no sentido horário, um 
arco de comprimento 2, obtemos o arco –2.
A
P
–2
 Obtemos, assim, o ciclo trigonométrico em radianos 
e em graus.
π
2 π
3 π
4 π
6
2π
33π
45π
6
7π
6
5π
4 4π
3
5π
3
7π
4
11π
6
3π
2
0 ≡ 2π 180°
210°
150° 30°
135° 45°
120° 60°
330°
225° 315°
240° 300°
OO
1
270°
90°
0° ≡ 360°
6
5
4
3
2
π
ARCOS CÔNGRUOS
Consideremos P imagem de um arco de 30° no ciclo 
trigonométrico.
0° ≡ 360°
30°
P
O
30°
90°
270°
180°
No sentido anti-horário, dando 1, 2, 3, ... voltas 
completas, obtemos os arcos de 30° + 1.360° = 390°, 
30° + 2.360° = 750°; 30° + 3.360° = 1 110°, ..., todos 
associados a P.
Também no sentido horário, dando 1, 2, 3, ... voltas 
completas, obtemos os arcos de 30° – 1.360° = –330°, 
30° – 2.360° = –690°; 30° – 3.360° = –1 050°, ..., todos 
associados a P.
Logo, podemos associar ao ponto P infinitos arcos de 
medida positiva, bem como infinitos arcos de medida 
negativa. Tais arcos podem ser representados por:
30° + k.360°; k ∈  ou, em radianos, π
6
 + k.2p; k ∈ 
Como os arcos têm a mesma origem, A, e a mesma 
imagem, P, dizemos que eles são côngruos entre si ou, 
simplesmente, côngruos.
As medidas dos arcos côngruos a um arco de medida a 
são dadas por:
a + k.2p; k ∈  ou, em graus, a + k.360°; k ∈ 
Se 0 ≤ a < 2p (ou 0º ≤ a < 360º), o arco de medida a 
é a determinação principal ou a 1ª determinação 
não negativa desses arcos côngruos entre si.
Notemos que a diferença entre as medidas de dois arcos 
côngruos entre si é igual ao produto de um número inteiro 
por 2p (ou é múltiplo de 360°), isto é, sempre equivale a 
um número inteiro de voltas completas.
Exemplos
1º) Os arcos de medidas 
27
5
π
 e −
13
5
π
 são côngruos entre 
si, pois: 
27
5
13
5
27
5
13
5
π π π π− −





 = + = 8p = 4.2p
Arcos e ciclo trigonométrico
66 ColeçãoEstudo
2º) Os arcos de medidas 
27
7
π
 e 
6
7
π
 não são côngruos 
entre si, pois 
27
7
6
7
π π− = 3p (não é um produto de 
um inteiro por 2p).
3º) Os arcos de medidas 1 110° e 390° são côngruos 
entre si, pois: 1 110° – 390° = 720° = 2.360°
4º) Os arcos de medidas –30° e 320° não são côngruos 
entre si, pois –30° – 320° = –350° (não é múltiplo 
de 360°).
SIMETRIAS
Consideremos o ponto P1 associado à medida 30°, no ciclo 
trigonométrico.
AO
y
x
P1 (30°)
Pelo ponto P1, traçando três retas, uma delas perpendicular 
ao eixo das ordenadas, outra que passa pela origem do 
sistema, e a terceira perpendicular ao eixo das abscissas, 
obtemos os pontos P2, P3 e P4, respectivamente.
A
P1 (30°)
P4P3
P2
O
y
x
Os pontos P2, P3 e P4 são chamados de simétricos 
(ou correspondentes) do ponto P1 nos diversos quadrantes. 
E suas medidas x (0° ≤ x ≤ 360°) são:
P2) 180° – 30° = 150°
 
A
P1 (30°)(180° – 30°) P2
30° 30°
O
y
x
Analogamente, temos:
P3) 180° + 30° = 210°
 
A
P1 (30°)
(180° + 30°) P3
30°
30°
O
y
x
P4) 360° – 30° = 330°
 
A
P1 (30°)
P4 (360° – 30°)
30°
30°O
y
x
Temos, então:
A
P1 (30°)
P4 (360° – 30°)(180° + 30°) P3
(180° – 30°) P2
O
y
x
Generalizando, temos:
i) Sendo a uma medida em graus:
A
P1 (α)
P4 (360° – α)(180° + α) P3
(180° – α) P2
O
y
x
ii) Sendo a uma medida em radianos:
 
A
P1 (α)
P4 (2π – α)(π + α) P3
(π – α) P2
O
y
x
Frente E Módulo 02
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
67Editora Bernoulli
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (Unimontes-MG–2007) Quando os ponteiros de um 
relógio marcam 1h50min, qual a medida do ângulo central 
formado por eles?
A) 120° B) 115° C) 110° D) 95°
02. (FUVEST-SP) O perímetro de um setor circular de raio R 
e ângulo central medindo a radianos é igual ao perímetro 
de um quadrado de lado R. Então, a é igual a
A) π
3
 B) 2 C) 1 D) 2
3
π E) π
2
03. (UFSCar-SP) Se o ponteiro dos minutos de um relógio 
mede 12 centímetros, o número que mELHoR aproxima a 
distância em centímetros percorrida por sua extremidade 
em 20 minutos é (Considere p = 3,14)
A) 37,7 cm. D) 12 cm.
B) 25,1 cm. E) 3,14 cm.
C) 20 cm.
04. (FUVEST-SP) Um arco de circunferência mede 300° e seu 
comprimento é 2 km. Qual o número inteiro mais próximo 
da medida do raio, em metros?
A) 157 B) 284 C) 382 D) 628 E) 764
05. (PUC Minas) Um ângulo central de uma circunferência de 
raio 5 centímetros intercepta um arco de circunferência de 
24 centímetros de comprimento. A medida desse ângulo, 
em graus, é
A) 
757
π
 D) 
864
π
B) 
786
π
 E) 
983
π
C) 
805
π
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (FUVEST-SP) Considere um arco AB de 110° numa 
circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco 
A B' ' de 60° numa circunferência de raio 5 cm. Dividindo-se 
o comprimento do arco AB pelo do arco A B' ' (ambos 
medidos em cm), obtém-se
A) 11
6
 B) 2 C) 
11
3
 D) 22
3
 E) 11
02. (UFRGS-RS) As rodas traseiras de um veículo têm 
4,25 metros de circunferência cada uma. Enquanto as rodas 
dianteiras dão 15 voltas, as traseiras dão somente 12 voltas. 
A circunferência de cada roda dianteira mede
A) 2,125 metros. C) 3,4 metros.
B) 2,25 metros. D) 3,75 metros.
03. (PUC-SP) Na figura, têm-se 3 circunferências de centros 
A, B e C, tangentes duas a duas. As retas QC e PT são 
perpendiculares. Sendo 4 m o raio da circunferência maior, 
quantos metros devemos percorrer para ir de P a Q, 
seguindo as flechas?
A) 2p 
BAT PC
Q
B) 3p
C) 4p
D) 6p
E) 12p
04. (UFSJ-MG) Na figura a seguir, está representado um arco 
circular de espessura desprezível, em repouso, de 1 m de 
raio, sendo o diâmetro AB perpendicular ao diâmetro CD e 
A o ponto de contato do aro com a superfície lisa e reta.
B
A
DC
Considerando p = 3,14, é CoRRETo afirmar que, se o 
aro rolar, sem deslizar, ininterruptamente, para a direita, 
parando depois de 21,98 m, então a figura correspondente 
nesse momento é a que está na alternativa
A) A
B
CD
 C) C
D
BA
B) B
A
DC
 D) D
C
AB
05. (PUC Minas) Ao projetar prédios muito altos, os engenheiros 
devem ter em mente o movimento de oscilação, que é 
típico de estruturas de arranha-céus. Se o ponto mais 
alto de um edifício de 400 m descreve um arco de 0,5°, 
a medida do arco descrito por esse ponto, em metros, é
A) p D) 
10
9
π
B) 
3
4
π
 E) 
11
10
π
C) 
4
3
π
 
06. (UFRGS-RS) Os ponteiros de um relógio marcam duas horas 
e vinte minutos. O mENoR ângulo entre os ponteiros é
A) 45° B) 50° C) 55° D) 60° E) 65°
Arcos e ciclo trigonométrico
68 Coleção Estudo
07. (PUC-SP) João e Maria costumavam namorar atravessando 
um caminho reto que passava pelo centro de um canteiro 
circular, cujo raio mede 5 m. Veja a figura 1.
canteiro
P C
canteiro
caminho do passeio
Figura 1
Certo dia, após uma desavença que tiveram no ponto de 
partida P, partiram emburrados, e, ao mesmo tempo, para 
o ponto de chegada C. Maria caminhou pelo diâmetro do 
canteiro e João andou ao longo do caminho que margeava 
o canteiro (sobre o círculo), cuidando para estar sempre à 
“mesma altura” de Maria, isto é, de modo que a reta MJ, 
formada por Maria e João, ficasse sempre perpendicular 
ao diâmetro do canteiro. Veja a figura 2.
P C
J
M
Figura 2
Quando a medida do segmento PM, percorrido por Maria, 
for igual a 7,5 = 5 + 
5
2
 metros, o comprimento do arco de 
circunferência P¹J, percorrido por João, será igual a
A) 
10
3
π




 m . D) 
2
3
π




 m . 
B) 2p m. E) 
π
3





 m .
C) 
5
3
π




 m .
08. (UFOP-MG) Um ciclista de uma prova de resistência deve 
percorrer 500 km em torno de uma pista circular de raio 
200 m. O número aproximado de voltas que ele deve dar é
A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 500
09. (UniBH-MG) Considerando p = 3,14, o número de 
voltas completas que uma roda de raio igual a 40 cm, 
incluindo o pneu, dará para que o automóvel se desloque 
1 quilômetro será de
A) 290 B) 398 C) 2 000 D) 3 980
10. (UFC-CE) Um relógio marca que faltam 15 minutos para as 
duas horas. Então, o mENoR dos dois ângulos formados 
pelos ponteiros das horas e dos minutos mede
A) 142°30’ C) 157°30’ E) 127°30’
B) 150° D) 135° 
11. (UFPA) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos 
de um relógio em 50 minutos?
A) 
16
9
π
 B) 
5
3
π
 C) 
4
3
π
 D) 
4
2
π
 E) 
3
3
π
12. (UFMG) A medida, em graus, de um ângulo que mede 
4,5 rad é
A) 
4 5,
π C) 
810
π E) 810p
B) 4,5p D) 810 
13. (PUC RS) Em uma circunferência de 5 cm de raio, marca-se 
um arco de 8 cm de comprimento. Em radianos, esse 
arco vale
A) 5p B) 8p C) 8 D) 
8
5
 E) 
8
5
π
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2004) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, 
o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, 
conseguiu realizar a manobra denominada “900”, 
na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta 
no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” 
refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em 
torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a
A) uma volta completa. D) duas voltas e meia.
B) uma volta e meia. E) cinco voltas completas.
C) duas voltas completas.
02. (Enem–2009) Considere um ponto P em uma circunferência 
de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal 
de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que 
o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância 
d ≤ r sobre a circunferência.
y
xO
rP
Q
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância 
dada por
A) r 1 −





sen
d
r
. D) r sen
r
d





 .
B) r 1 −





cos
d
r
. E) r cos
r
d





 .
C) r 1 −





tg
d
r
.
GABARITO
Fixação
01. B 02. B 03. B 04. C 05. D
Propostos
01. C 04. A 07. A 10. A 13. D
02. C 05. D 08. D 11. B 
03. D 06. B 09. B 12. C 
Seção Enem
01. D 02. B
Frente E Módulo 02
FRENTE
69Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
FUNÇÃO PERIÓDICA
Uma função y = f(x)é periódica, de período p, se existe 
p ∈ , p > 0, tal que f(x + p) = f(x), para todo x pertencente 
ao domínio da função.
FUNÇÃO SENO
No ciclo trigonométrico a seguir, a é a medida do ângulo 
AOP, e o triângulo OP1P é retângulo.
 
AC P1O
1
α
α
B
y
x
D
P
Utilizando a defi nição de seno para ângulos agudos num 
triângulo retângulo, podemos escrever:
sen a = PP
OP
1 , em que OP = 1, e P1P é a ordenada de P, ou seja:
sen a = ordenada de P
A função seno é a função, de  em , que para todo 
número a associa a ordenada do ponto P (imagem de a no 
ciclo trigonométrico).
sen:  → : a → sen a = OP2 
A(1, 0)
C(–1, 0)
P2
O
1
α
α
B(0, 1)
y
x
D(0, –1)
P
Dizemos também que OP2 é o seno de AOP ou de A¹P.
sen AOP = sen A¹P = OP2
O eixo Oy passa a ser denominado, então, como eixo 
dos senos.
GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO 
(SENOIDE)
¹3
2
¹2
2 1
2
π
6
π
2
3π
2
π
3
π
4
1
–1
O x2ππ
y
A imagem da função seno é o intervalo [–1, 1], isto é, 
–1 ≤ sen x ≤ 1, para todo x real.
A função seno é periódica, e seu período é 2p. 
SINAL
Vamos analisar o sinal de sen a quando P (imagem de a 
no ciclo trigonométrico) pertence a cada um dos quadrantes. 
Eixo dos senos:
O
+
–
–
+
α
α
α
α
sen
Funções seno e cosseno 03 E
70 Coleção Estudo
VALORES NOTÁVEIS
O
sen
1
2
1
2
π
6
π
6
5π
6
7π
6
11π
6
π
6
π
6
π
6
O
sen
π
4
π
4
3π
4
5π
4
7π
4
π
4
π
4
π
4
¹2
2
¹2
2
O
sen
2π
3
4π
3
5π
3
π
3
π
3
π
3
π
3
π
3
¹3
2
¹3
2
SENOS DE ARCOS CÔNGRUOS
Qualquer que seja o número real a, os arcos de medida a 
e a + 2kp, k ∈ , têm a mesma origem A e a mesma 
extremidade P. Logo:
sen (a + 2kp) = sen a, k ∈ 
Exemplos
1º) sen 750° = sen 390° = sen 30° = 
1
2
2º) A determinação principal do arco de medida 
29
3
π
 rad 
mede 
5
3
π
 rad. Então, sen 
29
3
π
 = sen 
5
3
π
 = − 3
2
.
FUNÇÃO COSSENO
No ciclo trigonométrico a seguir, a é a medida do ângulo 
agudo AOP, e o triângulo OP1P é retângulo.
O
y
xP1
P
α
α
A(1, 0)C(–1, 0)
1
D(0, –1)
B(0, 1)
Utilizando a defi nição de cosseno para ângulos agudos 
num triângulo retângulo, podemos escrever:
cos a = OP
OP
1, em que OP = 1, e OP1 é a abscissa de P, ou seja:
cos a = abscissa de P
A função cosseno é a função, de  em , que para todo 
número a associa a abscissa do ponto P (imagem de a no 
círculo trigonométrico).
cos:  → : a → cos a = OP1
O
y
xP1
P
α
α
A(1, 0)C(–1, 0)
1
D(0, –1)
B(0, 1)
Dizemos, também, que OP1 é o cosseno de AOP ou de 
A¹P, e indicamos:
cos AOP = cos A¹P = OP1
O eixo Ox passa a ser denominado, então, como eixo dos 
cossenos.
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO 
(COSSENOIDE)
¹3
2
¹2
2 1
2
π
6
π
2
3π
2
π
3
π
4
1
–1
O x2π
π
y
A imagem da função cosseno é o intervalo [–1, 1], isto é,
–1 ≤ cos x ≤ 1, para todo x real.
A função cosseno é periódica, e seu período é 2p.
Frente E Módulo 03
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
71Editora Bernoulli
SINAL
Vamos analisar o sinal de cos a quando P (imagem de a no 
ciclo trigonométrico) pertence a cada um dos quadrantes.
O
+
–
–
+
α
α
α
α
cos
VALORES NOTÁVEIS
O
cos
5π
6
7π
6
11π
6
π
6
π
6
π
6
π
6
π
6
¹3
2
¹3
2
O
3π
4
5π
4
7π
4
π
4
π
4
π
4
π
4
π
4
¹2
2
¹2
2
cos
cos
O
1
2
1
2
2π
3
4π
3
5π
3
π
3
π
3
π
3
π
3
π
3
COSSENOS DE ARCOS CÔNGRUOS
Qualquer que seja o número real a, os arcos de medidas a 
e a + 2kp, k ∈ , têm a mesma origem A e a mesma 
extremidade P. Logo:
cos (a + 2kp) = cos a, k ∈  
Exemplos
1º) cos 8p = cos 6p = cos 4p = cos 2p = cos 0 = 1
2º) A determinação principal do arco de medida 
20
3
π
 rad 
mede 
2
3
π
 rad. Então, cos 
20
3
π
 = cos 
2
3
π
 = − 1
2
.
PERÍODO DE FUNÇÕES 
ENVOLVENDO SENO E COSSENO
Sabendo-se que as funções seno e cosseno são periódicas, 
e seu período é 2p, podemos calcular o período p das 
seguintes funções:
i) f(x) = sen (mx + n) ⇒ p = 2π
m
, m ≠ 0
ii) f(x) = cos (mx + n) ⇒ p = 2π
m
, m ≠ 0
Demonstração:
i) Seja f(x) = sen (mx + n), m ≠ 0.
 Como o período da função sen x é igual a 2p, obtemos 
um período de f(x) quando o arco (mx + n) variar, 
por exemplo, de 0 a 2p.
 Assim:
 mx + n = 0 ⇒ x = − n
m
 mx + n = 2p ⇒ x = 2π
m
n
m
−
 Como o período p é positivo, temos:
p = |∆x| = 
2 2π π
m
n
m
n
m m
− − −



=
ii) A demonstração é análoga.
Exemplos
1º) f(x) = sen 2x
 m = 2 ⇒ p = 2
2
π
 ⇒ p = p
3π
2
π
2
y
x2πO π
1
–1
Funções seno e cosseno
72 Coleção Estudo
2º) f(x) = cos 
x
2
 m = 
1
2
 ⇒ p = 2
1
2
π
 ⇒ p = 4p
y
x
2π
3π 4πO π
1
–1
RELAÇÃO FUNDAMENTAL
ENTRE SENO E COSSENO
Utilizando as razões trigonométricas num triângulo 
retângulo, já havíamos deduzido que:
sen2 a + cos2 a = 1
Tal relação é conhecida como a Relação Fundamental da 
Trigonometria, e pode ser demonstrada facilmente no ciclo 
trigonométrico.
Tomemos um ângulo a tal que 0 < a < π
2
 (os demais casos 
são demonstrados de maneira análoga). 
O
y
xP2
P1
P
α
Assim, temos: P2P = OP1 = sen a, OP2 = cos a e OP = 1
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
(P2P)
2 + (OP2)
2 = (OP)2 ⇒ sen2 a + cos2 a = 1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Dar o domínio, o conjunto imagem e esboçar o gráfi co de 
y = 1 + sen x.
Resolução:
Domínio: D = 
Conjunto imagem:
–1 ≤ sen x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 1 + sen x ≤ 2 ⇒ Im = [0, 2]
Gráfi co:
3π
2
π
2
y
x2π
O
π
1
2
y = 1 + sen x
y = sen x
–1
02. Determinar m de modo que se tenha cos x = m + 3
2
.
Resolução:
Como –1 ≤ cos x ≤ 1, tem-se:
–1 ≤ 
m + 3
2
 ≤ 1 ⇔ –2 ≤ m + 3 ≤ 2 ⇔ –5 ≤ m ≤ –1
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (VUNESP-SP) Uma máquina produz diariamente 
x dezenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o 
custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são 
dados, aproximadamente, em milhares de reais, 
respectivamente, pelas funções:
C(x) = 2 – cos
xπ
6




 e V(x) = 3¹2 sen xπ
12




, 0 ≤ x ≤ 6
O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de 
peças é
A) 500 C) 1 000 E) 3 000
B) 750 D) 2 000 
02. (PUC Minas) Se cos a = – 1
4
 e a é um ângulo do terceiro 
quadrante, então o valor de sen a é igual a
A) − 15
4
 C) 
11
4
 E) 
15
4
B) − 13
4
 D) 
13
4
 
03. (UFES) O pe r í odo e a imagem da função 
f(x) = 5 – 3 cos
x −



2
π
, x ∈ , são, respectivamente,
A) 2p e [–1, 1] D) 2p e [–3, 3]
B) 2p e [2, 8] E) 2p2 e [–3, 3]
C) 2p2 e [2, 8]
04. (UFU-MG) Se f é a função real dada por f(x) = 2 – cos (4x),
então é CoRRETo afi rmar que
A) o gráfi co de f intercepta o eixo dos x.
B) f(x) ≤ 3 e f(x) ≥ 1, para todo x ∈ .
C) f(x) ≤ 2 para todo x ∈ .
D) f(x) < 0.
E) f(x) ≥ 
3
2
 para todo x ∈ .
Frente E Módulo 03
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
73Editora Bernoulli
05. (VUNESP-SP) Observe o gráfico.
π
6
π
3
2π
3
π
2
y
xO
2
–2
Sabendo-se que ele representa uma função trigonométrica, 
a função y(x) é
A) –2 cos 3x D) 3 sen 2x
B) –2 sen 3x E) 3 cos 2x
C) 2 cos 3x
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (FJP-MG–2010) Observe a seguinte figura que lembra um 
dos mais bonitos cartões postais de Belo Horizonte.
12 m
15,70 m
Parece que o arquiteto Oscar Niemeyer se inspirou no 
arco de uma senoide para fazer a fachada da Igreja da 
Pampulha. Se assim foi, das funções a seguir, a que mais 
se aproxima da função que o inspirou é
A) f(x) = 12 sen (5x) C) f(x) = 12 sen 
15 70, x
π






B) f(x) = 12 sen 
x
5





 D) f(x) = sen 
15 70
12
, x





02. (FUVEST-SP) A figura a seguir mostra parte do gráfico da 
função
y
x
2π 4π
O
2
–2
A) sen x D) 2 sen 2x
B) 2 sen 
x
2





 E) sen 2x
C) 2 sen x 
03. (Cesgranrio) Se sen (x) – cos (x) = 1
2
, o valor de 
sen (x) cos (x) é igual a
A) − 3
16
 C) 
3
8
 E) 
3
2
B) − 3
8
 D) 
3
4
 
04. (UFES) Qual das equações representa a função 
trigonométrica cujo gráfico está na figura a seguir?
 
3π
2
3π
2
π
2
π
2
y
xO
2
–2
–2π 2ππ
A) y = 2 sen x D) y = 2 sen 2x
B) y = sen 
x
2
 E) y = 2 sen 
x
2
C) y = sen 2x
05. (Unimontes-MG–2008) Considere a função f:  →  dada 
por f(q) = cos π θ−






3. Assim, podemos afirmar que
A) f(2p) – f(0) = ¹3 C) f(2p) – f(0) = 
3
2
B) f(2p) – f(0) = 0 D) f(2p) – f(0) = –
3
2
06. (Mackenzie-SP) A função real definida por f(x) = k.cos (px), 
k > 0 e p > 0, tem período 7p e conjunto imagem [–7, 7]. 
Então, kp vale
A) 7 C) 2 E) 14
B) 
7
2
 D) 
2
7
 
07. (UFPel-RS) O conjunto imagem da função f:  → , 
definida por f(x) = 2 sen (x) – 3, é o intervalo
A) [–1, 1] D) [–1, 5]
B) [–5, 5] E) [–5, –1]
C) [–5, 1]
08. (FUVEST-SP) O mENoR valor de 
1
3 − cos x , com x real, é
A) 
1
6
 B) 
1
4
 C) 
1
2
 D) 1 E) 3
09. (Unimontes-MG–2008) Dado sen x = – 3
2 3
 e p < x < 3
2
π
, 
o valor de y = (1 + cos x)(1 – cos x) é
A) –
3
4
 B) 
3
4
 C) ± 3
4
 D) 
3
2
10. (Cesgranrio) Seja f: [0, 2p] →  definida por:
f(x) = –3 cos x −



2
3
π
O valor de x que torna f(x) máximo é
A) 0 D) 
5
3
π
 
B) 
π
3
 E) 
3
2
π
 
C) 
4
3
π
Funções seno e cosseno
74 Coleção Estudo
11. (UFES) Considere que V(t), o volume de ar nos pulmões 
de um ser humano adulto, em litros, varia de, no mínimo, 
2 litros a, no máximo, 4 litros, sendo t a variável tempo, 
em segundos. Entre as funções a seguir, a que mELHoR 
descreve V(t) é
A) 2 + 2.sen
π
3
t



 
B) 4 + 2.sen
π
3
t



 
C) 5 + 3.sen
π
3
t



D) 1 + 3.sen
π
3
t



E) 3 + sen
π
3
t



12. (UEL-PR) Seja x a medida de um arco em radianos. 
O número real a, que satisfaz as sentenças sen x = − −3 a 
e cos x = 
a − 2
2
, é tal que
A) a ≥ 7 
B) 5 ≤ a < 7 
C) 3 ≤ a < 5
D) 0 ≤ a < 3
E) a < 0
13. (UFJF-MG) A figura a seguir mostra, no plano cartesiano, 
uma circunferência centrada na origem, de raio igual a 1, 
passando pelos pontos B e C. Nessa figura, os pontos o, 
C e D são colineares, os segmentos de retas AC e BD 
são paralelos ao eixo y e q é o ângulo que o segmento 
de reta OD faz com o eixo x. 
O
y
xA
C
θ
B
D
Com respeito a essa figura, é CoRRETo afirmar que
A) OA = sen θ 
B) OC = cos θ 
C) BD = 
AC
OA
D) 
AC
BD
OD
OB
=
E) OB2 + BD2 = 1
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos 
após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de 
distância do centro da Terra. Quando r assume seus 
valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o 
apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para 
esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por:
r t
t
( )
, .cos ( , . )
=
+
5 865
1 0 15 0 06
Um cientista monitora o movimento desse satélite para 
controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, 
ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu 
e no perigeu, representada por S. O cientista deveria 
concluir que, periodicamente, S atinge o valor de
A) 12 765 km. D) 10 965 km.
B) 12 000 km. E) 5 865 km.
C) 11 730 km.
02. As vendas de uma certa empresa são muito oscilantes, 
devido à sazonalidade do produto que fabrica. O cálculo 
do número de produtos vendidos pode ser fornecido pela 
seguinte função, cujos valores são expressos em milhares 
de reais:
V(t) = 250 – 50.sen 
π.t
2





 , em que t representa cada 
mês do ano; 
(t = 1: janeiro; t = 2: fevereiro, e assim por diante).
Com base nessas informações, as vendas da empresa são
A) maiores nos meses de janeiro, maio e setembro.
B) maiores nos meses de fevereiro, abril, junho, agosto, 
outubro e dezembro.
C) maiores nos meses de março, julho e novembro.
D) menores nos meses de fevereiro, abril, junho, agosto, 
outubro e dezembro.
E) nulas nos meses de fevereiro, abril, junho, agosto, 
outubro e dezembro.
GABARITO
Fixação
01. C 02. A 03. C 04. B 05. B
Propostos
01. B 04. A 07. E 10. D 13. C
02. B 05. B 08. B 11. E 
03. C 06. C 09. B 12. D 
Seção Enem
01. B 02. C
Frente E Módulo 03
FRENTE
75Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
FUNÇÃO TANGENTE
Pela origem A dos arcos, consideremos o eixo AT paralelo 
a Oy, passando por A.
Temos que a é a medida do ângulo agudo AOP, e o 
triângulo OAT é retângulo.
O
y
x
P
T
α α A(1, 0)C(–1, 0)
D(0, –1)
B(0, 1)
Portanto, utilizando a defi nição de tangente para ângulos 
agudos num triângulo retângulo, podemos escrever 
tg a = AT
OA
, em que OA = 1, e AT é a ordenada de T, ou seja:
tg a = ordenada de T
A função tangente é a função de  – 
π π
2
+ ∈






k k,  em , 
que para todo número a associa a ordenada do ponto T, 
interseção de AT com OP (em que P é a imagem de a no 
ciclo trigonométrico).
tg:  – 
π π
2
+ ∈






k k,  → 
a → tg a = AT
O
y
x
P
T
α α A(1, 0)C(–1, 0)
D(0, –1)
B(0, 1)
Dizemos, também, que AT é a tangente de AOP ou de A¹P.
tg AÔP = tg A¹P = AT
O eixo AT passa a ser denominado, então, eixo das 
tangentes.
Gráfico
x 0
π
6
π
4
π
3
π
2
p
3
2
π
2p
tg x 0
3
3
1 ¹3 ∃ 0 ∃ 0
¹3
3
π
6
π
2
π
2
3π
2
π
3
π
4
1
O x2ππ
tg x
¹3
A imagem da função tangente é .
A função tangente é periódica, e seu período é p.
OBSERVAÇÃO
f(x) = tg (mx + n) ⇒ p = 
π
m
, m ≠ 0
Sinal
Vamos estudar o sinal de tg a quando P (imagem de a no 
ciclo trigonométrico) pertence a cada um dos quadrantes.
tg
+–
–+
αα
αα
O
Funções tangente, cotangente, 
secante e cossecante
04 E
76 Coleção Estudo
Valores notáveis
 
tg
π
6
π
6
π
6
¹3
3
¹3
3
11π
6
7π
6
5π
6
O
 
tg
π
4
π
4
π
4
7π
4
5π
4
3π
4
1
–1
O
 
tg
π
3
π
3
π
3
5π
3
4π
3
2π
3
–¹3
¹3
O
TANGENTES DE ARCOS 
CÔNGRUOS
Qualquer que seja o número real a, os arcos de medidas a 
e a + 2kp, k ∈ , têm a mesma origem A e a mesma 
extremidade P. Logo:
tg (a + 2kp), = tg a, a ∈ D(tg), k ∈ 
Exemplos
1º) tg 1 080° = tg 720° = tg 360° = tg 0° = 0
2º) A determinação principal do arco de medida 
38
3
π
 rad 
mede 
2
3
π
 rad. Então: tg 
38
3
π
 = tg 
2
3
π
 = –¹3
RELAÇÃO ENTRE TANGENTE, 
SENO E COSSENO
Qualquer que seja a ∈ D(tg), se a ≠ kp, k ∈ , existem os 
triângulos retângulos OAT e OP1P semelhantes. Logo:
tg
T
A AC O O O
P P
T
1
|sen α|
|tg α|
|cos α|
B
1 1
D
P1
P1
α
α α α
AT
PP
OA
OP
tg
sen
tg
sen
1 1
1= ⇒ = ⇒ =
α
α α
α
α
αcos cos
A análise dos sinais de tg a, sen a e cos a e o estudo dos 
casos particulares nos permite concluir que:
tg a = 
sen α
αcos
, a ≠ 
π
2
 + kp, k ∈ 
OUTRAS FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS
Função cotangente
Defi niremos a função cotangente utilizando as funções 
seno e cosseno da seguinte forma:
cotg a = 
cos α
αsen
, a ≠ kp, k ∈ 
Como consequência imediata, temos:
cotg a = 
1
tg α
, a ≠ kπ
2
, k ∈ 
Gráfico
x2π–π O π
cotg x
A imagem da função cotangente é .
A função cotangente é periódica, e seu período é p.
OBSERVAÇÃO
f(x) = cotg (mx + n) ⇒ p = 
π
m
, m ≠ 0
Frente E Módulo 04
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
77Editora Bernoulli
Função secante
Defi niremos a função secante utilizando a função cosseno, 
da seguinte forma:
sec a = 
1
cos α
, a ≠ π
2
 + kp, k ∈ 
Gráfico
xO
1
–1
sec x
π
2
π
2
3π
2
5π
2
A imagem da função secante é  – (–1, 1).
A função secante é periódica, e seu período é 2p.
OBSERVAÇÃO
f(x) = sec (mx + n) ⇒ p = 
2π
m
, m ≠ 0
Função cossecante
Defi niremos a função cossecante utilizando a função seno, 
da seguinte forma:
cossec a = 
1
sen α
, a ≠ kp, k ∈ 
Gráfico
xO 2π–π π
1
–1
cossec x
 
A imagem da função cossecante é  – (–1, 1).
A função cossecante é periódica, e seu período é 2p.
OBSERVAÇÃO
f(x) = cossec (mx + n) ⇒ p = 
2π
m
, m ≠ 0
RELAÇÃO ENTRE 
SECANTE E TANGENTE 
E ENTRE COSSECANTE 
E COTANGENTE 
Dividindo os membros de cos2 a + sen2 a = 1 por cos2 a,
sendo cos a ≠ 0, temos:
cos
cos cos
2 2
2 2
1α α
α α
+ =sen ⇒ 1 + tg2 a = sec2 a
1 + tg2 a = sec2 a, a ≠ π
2
 + kp, k ∈ 
Analogamente, dividindo por sen2 a, sendo sen a ≠ 0, 
temos:
1 + cotg2 a = cossec2 a, a ≠ kp, k ∈ 
REDUÇÃO AO 1º QUADRANTE
Consideremos os pontos P1, P2, P3 e P4 simétricos no ciclo 
trigonométrico.
B(0, 1)
se
n 
(π
 –
 x
)
cos (π – x)C(–1, 0)
P3(cos (π + x),
sen (π + x))
P4(cos (2π – x),
sen (2π – x))
P2(cos (π – x),
sen (π – x))P1(cos x, sen x)
A(1, 0)
D(0, –1)
cos (π + x) cos (π – x) x
se
n
 (
2
π 
–
 x
)
se
n
 x
cos x
se
n
 (
π 
+
 x
)
π – x
π + x
2π – x
x
Se P1 determina um arco de medida x, 0 < x < 
π
2
, então 
P2, P3 e P4 determinam, respectivamente, arcos de medidas
p – x, p + x e 2p – x.
Pelas defi nições de seno e de cosseno, temos:
P1(cos x, sen x);
P2(cos (p – x), sen (p – x));
P3(cos (p + x), sen (p + x)) e
P4(cos (2p – x), sen (2p – x)).
Funções tangente, cotangente, secante e cossecante
78 Coleção Estudo
Aplicando as simetrias das coordenadas, obtemos:
Pontos Abscissas ordenadas
P1 e P2 cos (p – x) = –cos x sen (p – x) = sen x
P1 e P3 cos (p + x) = –cos x sen (p + x) = –sen x
P1 e P4 cos (2p – x) = cos x sen (2p – x) = –sen x
Tais relações são válidas para todo número real x.
Exemplos
1º) Reduzindo 
4
5
π
 ao 1º quadrante, temos:
AC
D
B
sen π
5
π
5
cos π
5
sen 4π
5
4π
5
cos 4π
5
AOC
D
B
⇒
π
5
4π
5
sen sen
4
5 5
4
5 5
π π π π= = −; cos cos ;
tg
sen sen
tg tg
4
5
4
5
4
5
5
5
4
5 5
π
π
π
π
π
π π= =
−
⇒ = −
cos cos
;
cotg
tg tg
cotg cotg
4
5
1
4
5
1
5
4
5 5
π
π π
π π= =
−
⇒ = − ;
sec
cos cos
sec sec
4
5
1
4
5
1
5
4
5 5
π
π π
π π= =
−
⇒ = − ;
cossec cossec cossec
4
5
1
4
5
1
5
4
5 5
π
π π
π π= = ⇒ =
sen sen
;
2º) Reduzindo 220° ao 1º quadrante, temos:
AC
D
B
sen 220°
cos 220° cos 40°
40°
220°220°
sen 40°
⇒
AO OC
D
B
sen 220° = –sen 40°; cos 220° = –cos 40°;
tg 220° = tg 40°; cotg 220° = cotg 40°;
sec 220° = –sec 40°; cossec 220° = –cossec 40°;
3º) Reduzindo 310° ao 1º quadrante, temos:
AC
D
O
B
310°310°
50°
cos 310°
se
n
 3
1
0
°
se
n
 5
0
°
cos 50°
AC
D
B
⇒
sen 310° = –sen 50°; cos 310° = cos 50°;
tg 310° = –tg 50°; cotg 310° = –cotg 50°;
sec 310° = sec 50°; cossec 310° = –cossec 50°;
RELAÇÕES ENTRE ARCOS 
COMPLEMENTARES
Considerando um arco de medida x, 0 < x < 
x
2
, sabemos 
que seu arco complementar tem medida 
x
2
 – x.
No ciclo trigonométrico, temos:
x
P2
– x
P1 x
0 ≡ 2ππ
x
π
2
π
2
3π
2
O
Pelas defi nições de seno e cosseno, temos:
P1(cos x, sen x) e P2 cos ,
π π
2 2
−





 −











x sen x
Da congruência dos dois triângulos retângulos anteriores, 
obtemos:
sen 
π
2
−





x = cos x e cos 
π
2
−





x = sen x
Tais relações são válidas para todo número real x.
Frente E Módulo 04
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
79Editora Bernoulli
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Provar que (1 + cotg2 x)(1 – cos2 x) = 1 para todo x real, 
x ≠ kp, k ∈ .
Resolução:
(1 + cotg2 x)(1 – cos2 x) = cossec2 (x).sen2 (x)
 = 
1
2sen x
.sen2 x = 1
02. Provar que tg x + cotg x = sec (x).cossec (x) para todo x 
real, x ≠ kπ
2
, k ∈ .
Resolução:
tg x + cotg x = 
sen x
x
x
sen x
sen x x
x senxcos
cos cos
cos .
+ = +
2 2
 = 
1 1 1
cos . cos
.
x sen x x sen x
=
 = sec (x).cossec (x)
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFTM-MG) Se 0 < x ≤ p e 3 cos (x) + sen (x) = 3, pode-se 
afirmar que
A) tg x < –1 D) 1
2
 ≤ tg x < 1
B) –1 ≤ tg x < – 1
2
 E) tg x ≥ 1
C) – 1
2
 ≤ tg x < 1
2
02. (UFOP-MG–2008) Se tg x = a, π
2
 < x < p, é CoRRETo 
afirmar que sen (x) + cos (x) vale
A) 
− −
+
1
1 2
a
a
 C) 1
1 2
−
+
a
a
 
B) 
1
1 2
+
+
a
a
 D) 
− +
+
1
1 2
a
a
 
03. (FUVEST-SP) Se a é um ângulo tal que 0 < a < π
2
 e sen a = a, 
então tg (p – a) é igual a
A) −
−
a
a1 2
 D) −
−1 2a
a
B) a
a1 2−
 E) −
+1 2a
a
C) 
1 2−a
a
04. (Cesgranrio) Se sen a = 1
3
, então o valor de 
sen (25p + a) – sen (88p – a) é
A) 0 B) – 1
3
 C) 1
3
 D) − 3
2
 E) 
2
3
05. (UFJF-MG–2006) Dois ângulos distintos, menores que 
360°, têm, para seno, o mesmo valor positivo. A soma 
desses ângulos é igual a
A) 45° B) 90° C) 180° D) 270° E) 360°
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (Unifor-CE) O valor de tg 150° + 2 sen 120° – cos 330° 
é igual a
A) ¹3 D) − 3
6
B) − 3
2
 E) 
3
6
C) 
3
2
02. (FUVEST-SP) Qual das afirmações a seguir é 
VERDADEIRA?
A) sen 210° < cos 210° < tg 210°
B) cos 210° < sen 210° < tg 210°
C) tg 210° < sen 210° < cos 210°
D) tg 210° < cos 210° < sen 210°
E) sen 210° < tg 210° < cos 210°
03. (UFG-GO–2008) Dois observadores, situados nos pontos A 
e B, a uma distância d um do outro, como mostra a figura 
a seguir, avistam um mesmo ponto no topo de um prédio 
de altura H, sob um mesmo ângulo q com a horizontal.
H
C
B
A d
θ
θ
Sabendo que o ângulo ABC também mede q e 
desconsiderando a altura dos observadores, a altura H 
do prédio é dada pela expressão
A) H = 
d
2
 sen 
θ
2





 cos q
B) H = d cos q sen q
C) H = 
d
2
 tg q sen q
D) H = 
d
2
 tg q sec q
E) H = d sen 
θ
2





 sec q
04. (UEL-PR) A função dada por f(x) = (tg x)(cotg x) está 
definida se, e somente se,
A) x é um número real qualquer.
B) x ≠ k2p, sendo k ∈ .
C) x ≠ kp, sendo k ∈ .
D) x ≠ 
kπ
2
, sendo k ∈ .
E) x ≠ 
kπ
4
, sendo k ∈ .
Funções tangente, cotangente, secante e cossecante
80 Coleção Estudo
05. (Fatec-SP) Se x é um arco do 3º quadrante e cos x = − 4
5
, 
então cossec x é igual a
A) − 5
3
 B) − 3
5
 C) 
3
5
 D) 
4
5
 E) 
5
3
06. (PUC Minas) O arco que tem medida x em radianos é tal 
que 
π
2
 < x < p e tg x = –¹2. O valor do sen x é
A) ¹3 B) ¹2 C) 3
3
 D) 
6
3
 E) 2
2
07. (UEA-AM) Sabendo que sen x = 2
3
 e que x está no 
1º quadrante, o valor de cotg x é
A) 
5
2
 B) 
1
3
 C) 5
3
 D) 
5
3
 E) 5
2
08. (UFPA) Qual das expressões a seguir é idêntica a 
1 2− sen x( )
cotg (x) sen (x)
?
A) sen x C) tg x E) cotg x
B) cos x D) cossec x 
09. (UFRGS) Para todo x ∈ −








π π
3 2
, . O valor de 
(tg2 x + 1)(sen2 x – 1) é
A) –1 C) 1 E) –sec2 x
B) 0 D) cos2 x 
10. (UFRN) A figura a seguir é composta de dois eixos 
perpendiculares entre si, x e y, que se intersectam no 
centro o de um círculo de raio 1, e outro eixo z, paralelo 
a y e tangente ao círculo no ponto P. A semirreta OQ, 
com Q pertencente a z, forma um ângulo a com o eixo y. 
y z
xP
Q
O
α
Podemos afirmar que o valor da medida do segmento PQ é
A) sec a B) tg a C) cotg a D) cos a
11. (FUVEST-SP) O dobro do seno de um ângulo q, 0 < q < π
2
, 
é igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo, 
o valor de seu cosseno é
A) 
2
3
 B) 3
2
 C) 2
2
 D) 1
2
 E) 
3
3
12. (Uscal-BA) Qualquer que seja o número real x, 
a expressão cos4 (x) – sen4 (x) é equivalente a
A) sen2 (x) – 1 D) 2 – cos2 x
B) 2 (sen x)(cos x) E) (sen (x) + cos (x)).cos x
C) 2 cos2 x – 1
13. (Cesgranrio) Se x é ângulo agudo, tg (90° + x) é igual a
A) tg x C) –tg x E) 1 + tg x
B) cotg x D) –cotg x 
SEÇÃO ENEM
01. O lucro mensal de uma empresa, em reais, é dado por:
L(t) = 10 000 + 
1 000
6
sec
πt





Em que t representa os meses do ano. O lucro dessa 
empresa, em reais, no mês de fevereiro, é de
A) 9 000 C) 10 000 E) 11 000
B) 9 500 D) 10 500 
02. Carlos, administrador de empresas, está realizando um 
trabalho de pesquisa sobre duas empresas concorrentes 
A e B. Nesse trabalho, ele está usando várias informações 
sobre cada uma delas, como lucro mensal, quantidade 
de funcionários e de clientes.
O lucro ao longo de um ano de cada empresa, em milhares 
de reais, é fornecido pela seguinte função do tempo t, em 
meses, sendo t = 1 correspondente ao mês de janeiro:
LA(t) = 200 + 50.cos 
πt
12






LB(t) = 300 – 50.cossec 
πt
24






O orientador do trabalho de pesquisa de Carlos pediu 
para ele fazer uma análise mensal sobre os lucros de 
cada uma das empresas. Portanto, Carlos poderá afirmar 
que, no mês de abril,
A) a empresa A lucrou R$ 20 000,00 a mais que a 
empresa B.
B) a empresa B lucrou R$ 20 000,00 a mais que a 
empresa A.
C) a empresa A lucrou R$ 25 000,00 a mais que a 
empresa B.
D) a empresa B lucrou R$ 25 000,00 a mais que a 
empresa A.
E) as duas empresas tiveram lucros iguais.
GABARITO
Fixação
01. D 02. A 03. A 04. A 05. C
Propostos
01. E 04. D 07.E 10. C 13. D
02. B 05. A 08. B 11. B
03. D 06. D 09. A 12. C
Seção Enem
01. D 02. C
Frente E Módulo 04
Volume 02
MATEMÁTICA
2 Coleção Estudo
Su
m
ár
io
 -
 M
at
em
át
ic
a
Frente A
 03 3 Sistemas métricos e base decimal
 Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
 04 9 Médias
 Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
Frente B
 03 15 Equações e problemas
 Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
 04 23 Razões e proporções
 Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
Frente C
 03 29 Função
 Autor: Luiz Paulo
 04 39 Função afim
 Autor: Luiz Paulo
Frente D
 03 47 Semelhança de triângulos
 Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
 04 55 Teorema de Tales e quadriláteros
 Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
Frente E
 05 61 Funções soma e fatoração
 Autor: Frederico Reis
 06 65 Equações e inequações trigonométricas
 Autor: Frederico Reis
 07 71 Sistema cartesiano e ponto
 Autor: Frederico Reis
 08 77 Estudo analítico da reta
 Autor: Frederico Reis
FRENTE
3Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
Sistemas métricos e
base decimal
03 A
BASE DECIMAL DE NUMERAÇÃO
Base numérica é o conjunto de símbolos (ou algarismos) 
utilizados para representar uma quantidade.
Diariamente, utilizamos o sistema de numeração decimal 
formado pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Os demais números são formados agrupando-se dois ou 
mais algarismos e considerando as posições relativas deles.
O número 23, por exemplo, corresponde a 20 + 3, ou seja, 
2 grupos de dez unidades e mais 3 unidades. Já o número 154 
pode ser decomposto na forma 100 + 50 + 4, ou seja, 1 grupo 
de cem unidades, 5 grupos de dez unidades e mais 4 unidades. 
Assim:
 23 = 2.10 + 3
 ou
 
Milhar Centena Dezena Unidade
a b c d
Centena Dezena Unidade
1 5 4
Dezena Unidade
2 3
 154 = 1.102 + 5.10 + 4 
 ou
 
Milhar Centena Dezena Unidade
a b c d
Centena Dezena Unidade
1 5 4
Dezena Unidade
2 3
abcd = a.103 + b.102 + c.10 + d 
 ou
 
Milhar Centena Dezena Unidade
a b c d
Centena Dezena Unidade
1 5 4
Dezena Unidade
2 3
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Justapondo-se 82 à esquerda de um número x,
obtém-se o número z. Justapondo-se 36 à direita 
do mesmo número x, obtém-se o número y. Se 
y + z = 1 563, determinar a soma dos algarismos de x.
Resolução:
1ª maneira:
82x = z ⇒ 8.102 + 2.10 + x = z
x36 = y ⇒ x.102 + 3.10 + 6 = y
Por hipótese: y + z = 1 563
Então: 100x + 36 + 820 + x = 1 563 ⇒ x = 7
2ª maneira:
82
36
1 563
x z
x y
→
+ →
O único algarismo que satisfaz a operação anterior é x = 7.
UNIDADES DE COMPRIMENTO
Ao medir um segmento de reta AB, devemos adotar uma 
unidade de medida e, em seguida, verifi car quantas vezes 
essa unidade cabe em AB.
Por exemplo, o comprimento de AB na unidade u 
é 5u, enquanto na unidade 
v
 é 2v.
v v
u u u u u
A B
A B
A unidade de medida adotada como padrão no Sistema 
Internacional de Unidades (SI) é o metro. No quadro a seguir, 
apresentamos os múltiplos e os submúltiplos do metro.
Múltiplos submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro decímetro centímetro milímetro
km hm dam dm cm mm
1 000 m 100 m 10 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Pelo quadro anterior, percebemos que:
1 km = 10 hm = 100 dam = 1 000 m
1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm
Concluímos que, para mudarmos de uma unidade para 
outra, procedemos da seguinte maneira:
Multiplicamos por 10 a cada casa deslocada para a direita.
Dividimos por 10 a cada casa deslocada para a esquerda.
km hm dam m dm cm mm
x10x10 x10 x10 x10 x10
:10:10 :10 :10 :10 :10
exemplos
1º) 12,73 km = 127,3 hm
2º) 743 dm = 74,3 m = 7,43 dam
4 Coleção Estudo
Frente A Módulo 03
UNIDADES DE ÁREA
Se a unidade de comprimento padrão é o metro, a unidade 
padrão de área é o m2, que corresponde à área de um 
quadrado de lado 1 m.
1 m
1 m
Múltiplos e submúltiplos
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
x102x102 x102 x102 x102 x102
:102:102 :102 :102 :102 :102
Para mudarmos de uma unidade de área para outra, 
procedemos da seguinte forma:
Multiplicamos por 102 a cada casa deslocada para a direita.
Dividimos por 102 a cada casa deslocada para a esquerda.
exemplos
1º) 0,003 km2 = 0,3 hm2 = 30 dam2 = 3 000 m2
2º) 
1 m = 10 dm
1 m = 10 dm
 Área = 1 m2 = 100 dm2
OBSERVAçãO
1 a (are) = 100 m2
1 ha (hectare) = 100 a = 10 000 m2 
UNIDADES DE VOLUME
A unidade padrão de volume é o m3, que corresponde ao 
volume de um cubo de aresta 1 m.
1 m
1 m
1 m
Múltiplos e submúltiplos
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
x103x103 x103 x103 x103 x103
:103:103 :103 :103 :103 :103
Para mudarmos de uma unidade de volume para outra, 
procedemos do seguinte modo:
Multiplicamos por 103 a cada casa deslocada para a direita.
Dividimos por 103 a cada casa deslocada para a esquerda.
exemplos
1º) 1 hm3 = 103 dam3 = 106 m3
2º) 2 520 mm3 = 2,52 cm3
Comumente, utilizamos a unidade litro e seus múltiplos e 
submúltiplos. Veja algumas relações:
1 L = 1 dm3
1 000 L = 1 m3
1 mL = 1 cm3
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02. (UFOP-MG–2009) Na maquete de uma casa, a réplica 
de uma caixa-d’água de 1 000 litros tem 1 mililitro de 
capacidade. Se a garagem da maquete tem 3 centímetros 
de largura por 7 centímetros de comprimento, então a 
área real da garagem da casa é de
A) 21 cm2. B) 21 m2. C) 210 m2. D) 10 m2.
Resolução:
A caixa-d’água tem capacidade de 1 000 L ou 1 m3, 
enquanto sua réplica tem capacidade de 1 mL ou 1 cm3. 
Considerando a caixa-d’água com formato cúbico, temos 
a situação seguinte:
1 m
1 m
1 m
Caixa-d’água
Réplica
1 cm
1 cm
1 cm
Portanto, as dimensões da caixa-d’água foram reduzidas 
em 100 vezes (mesmo que a caixa não seja cúbica).
A garagem da maquete tem 3 cm de largura por 7 cm de 
comprimento. Como essas medidas estão reduzidas em 
100 vezes, a área real da garagem da casa será dada por:
A = (300 cm).(700 cm) = (3 m).(7 m) = 21 m2
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
5Editora Bernoulli
Sistemas métricos e base decimal
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UERJ) João mediu o comprimento do seu sofá com o 
auxílio de uma régua.
Colocando 12 vezes a régua na direção do comprimento, 
sobraram 15 cm da régua; por outro lado, estendendo 
11 vezes, faltaram 5 cm para atingir o comprimento total. 
O comprimento do sofá, em centímetros, equivale a
A) 240 B) 235 C) 225 D) 220
02. (UFJF-MG) A densidade demográfica de uma certa 
cidade é de 0,002 habitantes por metro quadrado. 
Se essa cidade ocupa uma área de 180 km2, o número 
de seus habitantes é
A) 36 milhões. D) 3,6 milhões.
B) 9 milhões. E) 60 mil.
C) 360 mil.
03. (UFMG–2006) Sejam N um número natural de dois 
algarismos não nulos e M o número obtido invertendo-se 
a ordem dos algarismos de N. Sabe-se que N – M = 45. 
Então, quantos são os possíveis valores de N?
A) 7 B) 4 C) 5 D) 6
04. (UNESP–2009) Seja n um número natural de 3 algarismos. 
Se ao multiplicar-se n por 7 obtém-se um número 
terminado em 373, é CoRReTo afirmar que
A) n é par.
B) o produto dos algarismos de n é par.
C) a soma dos algarismos de n é divisível por 2.
D) n é divisível por 3.
E) o produto dos algarismos de n é primo.
05. (PUC Minas) Na maquete de uma casa, feita na 
escala 1:500, uma sala tem 8 mm de largura, 10 mm de 
comprimento e 8 mm de altura. A capacidade, em litros, 
dessa sala é
A) 640
B) 6 400
C) 800
D) 8 000
E) 80 000
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
01. (UFMG) De um tecido de 1,2 m de largura, Maria cortou 
780 quadrados de 24 cm de lado. O comprimento do 
tecido gasto, em metros, é
A) 3,774 
B) 15,6 
C) 22,46
D) 37,44
E) 156
02. (UFMG) O volume de um paralelepípedo retângulo de 
dimensões 90 cm, 2 m e 7,5 dm é
A) 1,35 x 10–2 m3. 
B) 1,35 x 10–1 m3. 
C) 1,35 m3. 
D) 1,35 x 102 m3.
E) 1,35 x 103 m3.
03. (UFOP-MG–2008) Uma certa região foi mapeada de tal 
maneira que 10 km correspondem, na escala do mapa, 
a 4 cm. Um quadrado de área 1,6 km2 corresponde, no 
mapa, a um quadrado de lado, em cm, igual a
A) 0,16¹10
B) 0,16 
C) 0,4¹10
D) 0,4
04. (UERJ) Ao analisar as notas fiscais de uma firma, o auditordeparou-se com a seguinte situação.
Quantidade Mercadorias preço unitário Total
*Metros Cetim 21,00 *56,00
Não era possível ver o número de metros vendidos, mas 
sabia-se que era um número inteiro. No valor total, só 
apareciam os dois últimos dos três algarismos da parte 
inteira. Com as informações anteriores, o auditor concluiu 
que a quantidade de cetim, em metros, declarada nessa 
nota foi
A) 16 B) 26 C) 36 D) 46 
05. Considere um inteiro x e um inteiro y, este com dois 
algarismos. Justapondo-se o número y à direita do 
número x, encontramos um valor que excede x em 
248 unidades. Determine a soma x + y.
A) 52 B) 64 C) 128 D) 58 E) 68
6 Coleção Estudo
Frente A Módulo 03
06. (Cesgranrio) Considere os números inteiros abc e bac, 
em que a, b e c são algarismos distintos e diferentes 
de zero, e a > b. A diferença abc – bac será sempre um 
múltiplo de
A) 4 
B) 8 
C) 9 
D) 12 
E) 20
07. (Fatec-SP) Um número natural A, de dois algarismos, 
é tal que, se invertermos a ordem desses algarismos, 
obteremos um número 18 unidades maior. Se a soma 
dos algarismos de A é 10, então o algarismo das dezenas 
de A é
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
E) 7
08. (FUVEST-SP–2006) Um número natural N tem três 
algarismos. Quando dele subtraímos 396, resulta 
o número que é obtido invertendo-se a ordem dos 
algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo 
das centenas e do algarismo das unidades de N é igual 
a 8, então o algarismo das centenas de N é
A) 4 
B) 5 
C) 6 
D) 7 
E) 8
09. (CEFET-MG–2009) O número ab2, em que a é o algarismo 
das centenas e b, o das dezenas, ao ser multiplicado por 8, 
obtém-se o número 53ba, em que b é o algarismo 
das dezenas e a é o das unidades. Assim, a diferença 
(a – b) vale
A) –2 
B) –1 
C) 1 
D) 2 
E) 3
10. (FGV-SP–2010) Sejam x e y a soma e o produto, 
respectivamente, dos dígitos de um número natural. 
Por exemplo, se o número é 142, então x = 7 e y = 8. 
Sabendo-se que N é um número natural de dois dígitos 
tal que N = x + y, o dígito da unidade de N é
A) 2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 9
11. (UEL-PR) Seja o número XYZ, no qual X é o algarismo 
das centenas, Y, o das dezenas e Z, o das unidades. 
Invertendo-se a ordem dos algarismos, obtém-se o número 
ZYX, que excede XYZ em 198 unidades. Se a soma dos três 
algarismos é 15 e o produto dos algarismos extremos é 8, 
então o número XYZ está compreendido entre
A) 250 e 300 
B) 300 e 350 
C) 400 e 450
D) 500 e 550 
E) 550 e 600
12. (FUVEST-SP) Um número inteiro positivo n de 4 algarismos 
decimais satisfaz às seguintes condições.
I. A soma dos quadrados dos 1º e 4º algarismos é 58.
II. A soma dos quadrados dos 2º e 3º algarismos é 52.
III. Se desse número n subtrairmos o número 3 816, 
obteremos um número formado pelos mesmos 
algarismos do número n, mas na ordem contrária.
Qual é esse número?
13. (UEG-GO–2007) Paulo disse a Maria que iria descobrir 
o seu número de telefone. Pediu-lhe que, em segredo, 
multiplicasse o número constituído pelos quatro primeiros 
algarismos de seu telefone por 40 e a esse produto 
adicionasse 1. Pediu-lhe, então, que multiplicasse 
o número obtido por 250 e, em seguida, somasse 
o resultado disso ao número formado pelos quatro 
últimos algarismos de seu telefone. Paulo afirmou que 
o número do telefone seria este resultado. Infelizmente, 
o número estava errado, pois para obter o número correto 
deveria subtrair certa quantidade deste resultado. Esta 
quantidade é
A) 350
B) 250
C) 150
D) 100
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
7Editora Bernoulli
Sistemas métricos e base decimal
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2009) Um dos diversos instrumentos que o homem concebeu para medir o tempo foi a ampulheta, também conhecida 
como relógio de areia. Suponha que uma cozinheira tenha de marcar 11 minutos, que é o tempo exato para assar os biscoitos 
que ela colocou no forno. Dispondo de duas ampulhetas, uma de 8 minutos e outra de 5, ela elaborou 6 etapas, mas fez o 
esquema, representado a seguir, somente até a 4ª etapa, pois é só depois dessa etapa que ela começa a contar os 11 minutos.
1ª etapa
8 min 5 min
2ª etapa
3 min
5 min5 min
5ª etapa
? ?
6ª etapa
3 min
2 min
8 min
4ª etapa3ª etapa
3 min 5 min
5 min
A opção que completa o esquema é
A) 5ª etapa
8 min
5 min 8 min
5 min
6ª etapa D) 
5 min
8 min
5ª etapa
8 min
2 min
6 min
6ª etapa
B) 5ª etapa
8 min 5 min
5 min8 min
6ª etapa E) 5ª etapa
8 min
5 min
2 min
3 min
8 min
6ª etapa
C) 5ª etapa
8 min
3 min
2 min
8 min
5 min
6ª etapa
02. (Enem–2009) 
Técnicos concluem mapeamento do 
Aquífero Guarani
O Aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total 
de 1 200 000 quilômetros quadrados, dos quais 840 000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O Aquífero armazena cerca 
de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo. Na maioria das vezes em que são feitas 
referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento 
Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja capacidade de armazenagem é 
de 20 milhões de litros.
Disponível em: <http:/noticias.terra.com.br>.
Acesso em: 10 jul. 2009 (Adaptação).
Comparando as capacidades do Aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do Aquífero Guarani é
A) 1,5 x 102 vezes a capacidade do reservatório novo.
B) 1,5 x 103 vezes a capacidade do reservatório novo.
C) 1,5 x 106 vezes a capacidade do reservatório novo.
D) 1,5 x 108 vezes a capacidade do reservatório novo.
E) 1,5 x 109 vezes a capacidade do reservatório novo.
8 Coleção Estudo
Frente A Módulo 03
03. (Enem–2009) Os calendários usados pelos diferentes 
povos da Terra são muito variados. O calendário islâmico, 
por exemplo, é lunar, e nele cada mês tem sincronia 
com a fase da Lua. O calendário maia segue o ciclo de 
Vênus, com cerca de 584 dias, e cada 5 ciclos de Vênus 
corresponde a 8 anos de 365 dias da Terra.
MATSUURA, Oscar. Calendários e o fluxo do tempo. Scientific 
American Brasil. Disponível em: <http://www.uol.com.br>. 
Acesso em: 14 out. 2008 (Adaptação).
Quantos ciclos teria, em Vênus, um período terrestre 
de 48 anos?
A) 30 ciclos 
B) 40 ciclos 
C) 73 ciclos
D) 240 ciclos
E) 384 ciclos
04. (Enem–2008)
A contagem de bois
Em cada parada ou pouso, para jantar ou dormir, os bois 
são contados, tanto na chegada quanto na saída. Nesses 
lugares, há sempre um potreiro, ou seja, determinada 
área de pasto cercada de arame, ou mangueira, quando 
a cerca é de madeira. Na porteira de entrada do potreiro, 
rente à cerca, os peões formam a seringa ou funil, 
para afinar a fila, e então os bois vão entrando aos 
poucos na área cercada. Do lado interno, o condutor 
vai contando; em frente a ele, está o marcador, peão 
que marca as reses. O condutor conta 50 cabeças e 
grita: — Talha! O marcador, com o auxílio dos dedos das 
mãos, vai marcando as talhas. Cada dedo da mão direita 
corresponde a 1 talha, e da mão esquerda, a 5 talhas. 
Quando entra o último boi, o marcador diz: — Vinte e 
cinco talhas! E o condutor completa: — E dezoito cabeças. 
Isso significa 1 268 bois.
O ESTADO DE S. PAULO. Boiada, comitivas e seus peões, 
ano VI, ed. 63, 21 dez. 1952 (Adaptação).
Para contar os 1 268 bois de acordo com o processo 
descrito anteriormente, o marcador utilizou
A) 20 vezes todos os dedos da mão esquerda.
B) 20 vezes todos os dedos da mão direita.
C) todos os dedos da mão direita apenas uma vez.
D) todos os dedos da mão esquerda apenas uma vez.
E) 5 vezes todos os dedos da mão esquerda e 5 vezes 
todos os dedos da mão direita.
05. (Enem–2010) A disparidade de volume entre os planetas 
é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro dos 
outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o 
segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios.Terra é 
o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno 
é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é 
o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos.
VEJA. Ano 41, n°. 26, 25 jun. 2008 (Adaptação).
Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem 
dentro de Júpiter?
A) 406 C) 4 002 E) 28 014
B) 1 334 D) 9 338
06. (Enem–2010) No monte de Cerro Armazones, no deserto 
de Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da 
superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente 
Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 
42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para 
o céu”.
Disponível em htttp://www.estadao.com.br. 
Acesso em: 27 abr. 2010 (Adaptação).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez 
uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede 
aproximadamente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro 
aproximado do olho humano, suposto pela professora, 
e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado?
A) 1:20 C) 1:200 E) 1:2 000
B) 1:100 D) 1:1 000
GABARITO
Fixação
01. C 02. C 03. B 04. D 05. E
Propostos
01. D 05. A 09. B 13. B 
02. C 06. C 10. E 
03. A 07. B 11. A 
04. C 08. C 12. 7 463 
Seção Enem
01. C 03. A 05. B
02. E 04. D 06. E
FRENTE
9Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
MÉDIA ARITMÉTICA
A média aritmética dos números reais x1, x2, x3, ..., xn é 
defi nida por:
A = 
x x x x
n
n1 2 3
+ + + +
exemplos
1º) Calcular a média aritmética dos números 
5
7
2
9
4
63
, e .
 A = 
5
7
2
9
4
63
3
9 5 7 2 4
3 7 9
63
189
1
3
+ +
= + + = =. .
. .
2º) (FUVEST-SP) O número de gols marcados nos 6 jogos 
da primeira rodada de um campeonato de futebol foi 
5, 3, 1, 4, 0 e 2. Na segunda rodada, serão realizados 
mais 5 jogos. Qual deve ser o número total de gols 
marcados nessa rodada para que a média de gols, 
nas duas rodadas, seja 20% superior à média obtida 
na primeira rodada?
 A média aritmética da primeira rodada foi de 
5 3 1 4 0 2
6
15
6
5
2
+ + + + + = = gols por jogo. A média 
da rodada seguinte é 20% superior, ou seja, é de 
5
2
1 2
5
2
6
5
3. , .= = gols por jogo. Como serão realizadas 
11 partidas, teremos um total de 33 gols. Porém, 
na primeira rodada, já foram feitos 15 gols. Portanto, 
na segunda rodada, o número de gols marcados é 18.
MÉDIA GEOMÉTRICA
A média geométrica dos números reais positivos x1, x2, 
x3, ..., xn é defi nida por:
G = x x x x
n
n
1 2 3
. . . ... .
exemplos
1º) Calcular a média geométrica dos números 90, 75 e 4.
 G = ³90.75.4 = ³27 000 = 30
2º) José investiu um capital C na bolsa há 3 anos. 
No primeiro ano, ele obteve um rendimento de 27%, 
no segundo ano, o rendimento caiu para 12% e, 
no terceiro ano, ocorreu um prejuízo de 8%. Qual foi 
o rendimento médio anual?
 O montante obtido por José ao fi nal dos três anos é dado 
por M = 1,27.1,12.0,92.C. Desejamos encontrar uma 
taxa média i tal que M = (1 + i)3C. Logo, temos:
 (1 + i)3C = 1,27.1,12.0,92.C ⇒
 (1 + i)3 = 1,27.1,12.0,92 ⇒
 (1 + i) = ³1,27.1,12.0,92
 Observe que (1 + i) é a média geométrica dos números 
1,27, 1,12 e 0,92. Essa média é dada por ³1,308608, 
que é, aproximadamente, 1,0938. Logo, o rendimento 
médio anual é, aproximadamente, 9,38%.
MÉDIA HARMÔNICA
Dados os números reais não nulos x1, x2, x3, ..., xn, a média 
harmônica desses números é defi nida por:
H = 
n
1
x
1
+
1
x
2
+
1
x
3
+� +
1
x
n
exemplos
1º) Calcular a média harmônica dos números 15 e 5.
 H = 
2
1
15
1
5
2
4
15
2 15
4
15
2+
= = =.
2º) João está fazendo uma viagem. Na primeira metade 
da viagem, sua velocidade média é 80 km/h. 
Na segunda metade da viagem, sua velocidade média 
aumentou para 120 km/h. Qual a velocidade média 
no total do percurso?
 A velocidade média v é dada pela média harmônica 
das velocidades nas duas metades da viagem. Assim:
 v = 
2
1
80
1
120
2
5
240
2 240
5
96
+
= = =.
 Portanto, a velocidade média ao longo de toda a 
viagem foi de 96 km/h.
Médias 04 A
10 Coleção Estudo
PROPRIEDADE
Dados a, b ∈	*+ , com a ≥ b, valem as seguintes 
desigualdades:
b
a b
ab
a b
a≤ ≤ ≤ ≤
2
1 1 2+
+
Essa propriedade também é verifi cada para três ou mais 
números reais positivos. As médias estão no intervalo que 
vai do menor até o maior número tomado. Quando elas são 
diferentes, a maior entre elas é a aritmética, e a menor, 
a harmônica.
MÉDIA PONDERADA
A média ponderada dos números reais positivos 
x1, x2, x3, ..., xn com pesos m1, m2, m3, ..., mn (também 
números reais positivos), respectivamente, é defi nida por:
P = 
x m x m x m x m
m m m m
n n
n
1 1 2 2 3 3
1 2 3
+ + + +
+ + + +


exemplos
1º) Calcular a média ponderada dos números 15, 20 e 
40 com pesos 6, 3 e 1, respectivamente.
 M = 
15 6 20 3 40
6 3 1
90 60 40
10
190
10
19
. .+ +
+ +
= + + = =
2º) No processo seletivo de uma empresa, os 
candidatos são submetidos a testes de Português 
e Matemática, além de uma entrevista. A cada 
um desses é atribuída uma nota que varia de zero 
a dez. Porém, a entrevista tem peso três vezes 
maior que os testes de Matemática e Português. 
A nota fi nal do candidato é a média das notas de cada 
etapa, considerando-se o peso de cada uma delas. 
Essa empresa só seleciona candidatos que obtiverem 
uma nota fi nal igual ou superior a oito. Maria obteve 
nota 6 no teste de Português e 7 em Matemática. 
Qual é a nota mínima que ela deve obter na entrevista 
para ser selecionada?
 Considere que as notas no teste de Português, no de 
Matemática e na entrevista sejam, respectivamente, 
np, nm e ne. Dessa forma, a nota fi nal N de um 
candidato é dada por:
 N = 
n n n
p m e
+ +
+ +
3
1 1 3
 Assim, para Maria obter nota 8, devemos ter:
 
6 7 3
5
8
+ +
=
n
e ⇒ 13 + 3ne = 40 ⇒ 3ne = 27 ⇒ ne = 9
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFJF-MG–2008) Uma empresa com 20 funcionários torna 
públicos os salários de seus funcionários, ocultando o 
salário de seu diretor, conforme a tabela a seguir:
Função salário N° de funcionários
Auxiliar R$ 1 000,00 10
Secretária R$ 1 500,00 5
Consultor R$ 2 000,00 4
Diretor * 1
A empresa promoveu um aumento salarial de 10% sobre 
os valores da tabela para todas as funções. Foi divulgado 
que a nova média salarial da empresa passou a ser de 
R$ 1 952,50. Qual é o novo salário de diretor?
A) R$ 2 500,00 D) R$ 11 000,00
B) R$ 4 500,00 E) R$ 25 500,00
C) R$ 10 000,00
02. (UFMG) Um carro, que pode utilizar como combustível 
álcool e gasolina misturados em qualquer proporção, 
é abastecido com 20 litros de gasolina e 10 litros de 
álcool. Sabe-se que o preço do litro de gasolina e o do 
litro de álcool são, respectivamente, R$ 1,80 e R$ 1,20. 
Nessa situação, o preço médio do litro do combustível 
que foi utilizado é de
A) R$ 1,50. C) R$ 1,60.
B) R$ 1,55. D) R$ 1,40.
03. (PUC-Campinas-SP) A análise do biotipo de cada um 
dos atletas que integraram a delegação brasileira na 
última Olimpíada permitiu que se calculasse, certo dia, 
a média de pesos das 122 mulheres participantes: 62 kg. 
Supondo-se que uma dessas atletas fosse excluída do 
grupo, a média de pesos das 121 restantes passaria a 
ser 61,9 kg. Nessas condições, o peso, em quilogramas, 
da atleta excluída seria
A) 75,5 C) 74,6 E) 73,8
B) 75,2 D) 74,1 
04. (UEL-PR) Um automóvel subiu uma ladeira a uma 
velocidade média de 60 km/h e, em seguida, desceu 
a mesma ladeira à velocidade média de 100 km/h. 
A velocidade média desse veículo no percurso inteiro foi de
A) 72 km/h. D) 80 km/h.
B) 75 km/h. E) 84 km/h.
C) 78 km/h.
05. (UFG–2007) A média das notas dos alunos de um 
professor é igual a 5,5. Ele observou que 60% dos alunos 
obtiveram nota de 5,5 a 10 e que a média das notas 
desse grupo de alunos foi 6,5. Nesse caso, considerando 
o grupo de alunos que tiveram notas inferiores a 5,5, 
a média de suas notas foi de
A) 2,5 C) 3,5 E) 4,5
B) 3,0 D) 4,0 
Frente A Módulo 04
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
11Editora Bernoulli
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (PUC Minas–2007) De acordo com os dados deuma 
pesquisa, os brasileiros de 12 a 17 anos navegam em 
média 42 minutos em cada acesso à Internet, ao passo 
que, na França, o tempo médio de navegação dos jovens é 
25% a menos que no Brasil e, nos Estados Unidos, é 20% 
a menos que na França. Com base nesses dados, pode-se 
estimar que a média aritmética dos tempos de navegação, 
por acesso, nesses três países, em minutos, é igual a
A) 30,6 C) 34,3
B) 32,9 D) 36,4
02. (FUVEST-SP) Numa classe de um colégio, existem 
estudantes de ambos os sexos. Numa prova, as médias 
aritméticas das notas dos meninos e das meninas foram, 
respectivamente, iguais a 6,2 e 7,0. A média aritmética 
das notas de toda a classe foi igual a 6,5.
A) A maior parte dos estudantes dessa classe é composta 
de meninos ou meninas? JUsTiFiQUe sua resposta.
B) Que porcentagem do total de alunos da classe é do 
sexo masculino?
03. (FUVEST-SP) Sabe-se que a média aritmética de 
5 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 16. 
O MAioR valor que um desses inteiros pode assumir é
A) 16 D) 70
B) 20 E) 100
C) 50
04. (PUC-Campinas-SP) Sabe-se que os números x e y 
fazem parte de um conjunto de 100 números cuja média 
aritmética é 9,83. Retirando-se x e y desse conjunto, 
a média aritmética dos números restantes será 8,5. 
Se 3x – 2y = 125, então
A) x = 75 D) y = 65
B) y = 55 E) x = 95
C) x = 80
05. (UERJ) Seis caixas-d’água cilíndricas iguais estão 
assentadas no mesmo piso plano e ligadas por registros 
R situados nas suas bases, como sugere a figura a seguir:
R
T
8 dm
R
T
3 dm
R
T
5 dm
R
T
10 dm
R
T
9 dm 7 dm
Após a abertura de todos os registros, as caixas ficaram 
com os níveis de água no mesmo plano. A altura desses 
níveis, em dm, equivale a
A) 6,0 C) 7,0 
B) 6,5 D) 7,5
06. (UFMG) No início de uma partida de futebol, a altura 
média dos 11 jogadores de um dos times era 1,72 m. 
Ainda no primeiro tempo, um desses jogadores, com 
1,77 m de altura, foi substituído. Em seu lugar, entrou um 
outro que media 1,68 m de altura. No segundo tempo, 
outro jogador do mesmo time, com 1,73 m de altura, 
foi expulso. Ao terminar a partida, a altura média dos 
10 jogadores desse time era
A) 1,69 m. C) 1,71 m. 
B) 1,70 m. D) 1,72 m.
07. (UFMG–2006) Os 40 alunos de uma turma fizeram uma 
prova de Matemática valendo 100 pontos. A nota média 
da turma foi de 70 pontos e apenas 15 dos alunos 
conseguiram a nota máxima. Seja M a nota média 
dos alunos que não obtiveram a nota máxima. Então, 
é CoRReTo afirmar que o valor de M é
A) 53 B) 50 C) 51 D) 52
08. (FUVEST-SP) Uma prova continha cinco questões, cada uma 
valendo 2 pontos. Em sua correção, foram atribuídas a cada 
questão apenas as notas 0 ou 2, caso a resposta estivesse, 
respectivamente, errada ou certa. A soma dos pontos 
obtidos em cada questão forneceu a nota da prova de cada 
aluno. Ao final da correção, produziu-se a seguinte tabela, 
contendo a porcentagem de acertos em cada questão.
Questão 1 2 3 4 5
% de acerto 30% 10% 60% 80% 40%
Logo, a média das notas da prova foi
A) 3,8 B) 4,0 C) 4,2 D) 4,4 E) 4,6
09. (UNIFESP) Para ser aprovado num curso, um estudante 
precisa submeter-se a três provas parciais durante o 
período letivo e a uma prova final, com pesos 1, 1, 2 e 3, 
respectivamente, e obter média no mínimo igual a 7. 
Se um estudante obteve nas provas parciais as notas 
5, 7 e 5, respectivamente, a nota MíNiMA que necessita 
obter na prova final para ser aprovado é
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
10. (UFPE) Uma pesquisa sobre o consumo de bebida alcoólica 
de um grupo de 20 estudantes, em um período de 30 dias, 
produziu o seguinte resultado.
Número de unidades 
de bebida alcoólica
Número de estudantes 
que consumiram
0 a 10 12
De 11 a 20 8
Acima de 20 0
Qual o valor máximo que a média do número de unidades 
alcoólicas consumidas pelos estudantes no período 
pode atingir? 
Médias
12 Coleção Estudo
11. (FUVEST-SP) A distribuição das idades dos alunos de uma 
classe é dada pelo gráfico adiante. Qual das alternativas 
representa MelhoR a média de idades dos alunos?
2
16 17 18 19 20
Idade
(anos)
N
ú
m
er
o
 d
e 
al
u
n
o
s
5
20
23
10
A) 16 anos e 10 meses 
B) 17 anos e 1 mês 
C) 17 anos e 5 meses
D) 18 anos e 6 meses
E) 19 anos e 2 meses
12. (UFMG) Define-se a média aritmética de n números 
dados como o resultado da divisão por n da soma dos n 
números dados. Sabe-se que 3,6 é a média aritmética 
de 2,7; 1,4; 5,2 e x. O número x é igual a 
A) 2,325 
B) 3,1 
C) 3,6
D) 5,1
13. (VUNESP) O gráfico representa, em milhares de 
toneladas, a produção no estado de São Paulo de 
um determinado produto agrícola entre os anos de 
1990 e 1998.
 90 91
0
10
20
30
40
50
60
70
mil t
92 93 94 95 96 97 98
ano
Analisando o gráfico, observa-se que a produção
A) foi crescente entre 1992 e 1995.
B) teve média de 40 mil toneladas ao ano.
C) em 1993 teve acréscimo de 30% em relação ao 
ano anterior.
D) a partir de 1995 foi decrescente.
E) teve média de 50 mil toneladas ao ano.
14. (FUVEST-SP) Para que fosse feito um levantamento sobre 
o número de infrações de trânsito, foram escolhidos 
50 motoristas. O número de infrações cometidas por 
esses motoristas, nos últimos cinco anos, produziu a 
seguinte tabela.
Número de infrações Número de motoristas
De 1 a 3 7
De 4 a 6 10
De 7 a 9 15
De 10 a 12 13
De 13 a 15 5
Maior ou igual a 16 0
Pode-se, então, afirmar que a média do número de 
infrações, por motorista, nos últimos cinco anos, para 
esse grupo, está entre
A) 6,9 e 9,0 C) 7,5 e 9,6 E) 8,1 e 10,2
B) 7,2 e 9,3 D) 7,8 e 9,9 
15. (Unicamp-SP) O gráfico a seguir, em forma de pizza, 
representa as notas obtidas em uma questão pelos 32 000 
candidatos presentes à primeira fase de uma prova de 
vestibular. Ele mostra, por exemplo, que 32% desses 
candidatos tiveram nota 2 nessa questão. 
4 (12%)
5 (10%)
0 (10%)
1 (20%)
2 (32%)
3 (16%)
Pergunta-se:
A) Quantos candidatos tiveram nota 3?
B) É possível afirmar que a nota média, nessa questão, 
foi < 2? JUsTiFiQUe sua resposta.
16. (FCC-SP) A média aritmética de 11 números é 45. 
Se o número 8 for retirado do conjunto, a média aritmética 
dos números restantes será
A) 48,7 C) 47,5 E) 41,5
B) 48 D) 42 
17. (PUC-SP) A média aritmética de 100 números é igual 
a 40,19. Retirando-se um desses números, a média 
aritmética dos 99 números restantes passará a ser 40,5. 
O número retirado equivale a
A) 9,5%. C) 95%. E) 950%.
B) 75%. D) 765%. 
18. (Unicamp-SP) A média aritmética das idades de um grupo de 
120 pessoas é de 40 anos. Se a média aritmética das idades 
das mulheres é de 35 anos e a dos homens é de 50 anos, 
qual o número de pessoas de cada sexo no grupo?
Frente A Módulo 04
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
13Editora Bernoulli
19. (FUVEST-SP) Numa classe com vinte alunos, as notas do 
exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima 
para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se 
que oito alunos foram reprovados. A média aritmética das 
notas desses oito alunos foi 65, enquanto que a média 
dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, 
o professor verificou que uma questão havia sido mal 
formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos 
os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados 
passou a ser 80 e a dos reprovados, 68,8.
A) CAlCUle a média aritmética das notas da classe toda 
antes da atribuição dos cinco pontos extras.
B) Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos 
alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para 
aprovação?
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2009) Nos últimos anos, o aumento da população, 
aliado ao crescente consumo de água, tem gerado 
inúmeras preocupações, incluindo o uso desta na 
produção de alimentos. O gráfico mostra a quantidade 
de litros de água necessária para a produção de 1 kg de 
alguns alimentos.
1 000
A
rr
o
z
C
ar
n
e
d
e 
b
o
i
Le
g
u
m
es
B
an
an
a
Alimentos (1 kg)
Ó
leo
 d
e
so
ja
C
ar
n
e 
d
e
p
o
rc
o
M
ilh
o
Tr
ig
o0
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000Li
tr
o
s 
d
e 
ág
u
a
8 000
9 000
10 000
11 000
12 000
13 000
14 000
15 000
16 000
17 000
18 000
Com base no gráfico, para a produção de 100 kg de 
milho, 100 kg de trigo, 100 kg de arroz, 100 kg de 
carne de porco e 600 kg de carne de boi, a quantidade 
média necessária de água, por quilograma de alimento 
produzido, é aproximadamente igual a
A) 415 litros por quilograma.
B) 11 200 litros por quilograma.
C) 27 000 litros por quilograma.
D) 2 240 000 litros por quilograma.
E) 2 700 000 litros por quilograma.
02. (Enem–1999) Um sistema de radar é programado para 
registrar automaticamente a velocidade de todos os veículos 
trafegando por uma avenida, onde passam em média 
300 veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima velocidade 
permitida. Um levantamento estatístico dos registros do 
radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de 
veículos de acordo com sua velocidade aproximada.
0
5 5
10
15 15
20
25
30 30
35
40 40
45
V
eí
cu
lo
s 
(%
)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Velocidade (km/h)
6
3 1
A velocidade média dos veículos que trafegam nessa 
avenida é de
A) 35 km/h. 
B) 44 km/h. 
C) 55 km/h.
D) 76 km/h.
E) 85 km/h.
03. (Enem–2009) A tabela mostra alguns dados da emissão de 
dióxido de carbono de uma fábrica em função do número 
de toneladas produzidas.
produção 
(em toneladas)
emissão de dióxido 
de carbono (em partes por 
milhão – p.p.m.)
1,1 2,14
1,2 2,30
1,3 2,46
1,4 2,64
1,5 2,83
1,6 3,03
1,7 3,25
1,8 3,48
1,9 3,73
2,0 4,00
Cadernos do Gestar II. Matemática TP3.
Disponível em: <www.gov.br>. Acesso em: 14 jul. 2009.
Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação 
entre a emissão de dióxido de carbono (em p.p.m.) e a 
produção (em toneladas) é
A) inferior a 0,18.
B) superior a 0,18 e inferior a 0,50.
C) superior a 0,50 e inferior a 1,50.
D) superior a 1,50 e inferior a 2,80.
E) superior a 2,80.
Médias
14 Coleção Estudo
04. (Enem–2009) Brasil e França têm relações comerciais há 
mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5ª nação mais 
rica do planeta, o Brasil é a 10ª, e ambas se destacam 
na economia mundial. No entanto, devido a uma série 
de restrições, o comércio entre esses dois países ainda 
não é adequadamente explorado, como mostra a tabela 
seguinte, referente ao período 2003-2007.
investimentos bilaterais
(em milhões de dólares)
Ano Brasil na França França no Brasil
2003 367 825
2004 357 485
2005 354 1 458
2006 539 744
2007 280 1 214
Disponível em: <www.cartacapital.com.br>.
Acesso em: 7 jul. 2009.
Os dados da tabela mostram que, no período considerado, 
os valores médios dos investimentos da França no Brasil 
foram maiores que os investimentos do Brasil na França 
em um valor
A) inferior a 300 milhões de dólares.
B) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 
400 milhões de dólares.
C) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 
500 milhões de dólares.
D) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 
600 milhões de dólares.
E) superior a 600 milhões de dólares.
05. (Enem–2010) Em sete de abril de 2004, um jornal 
publicou o ranking de desmatamento, conforme gráfi co, 
da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados.
Ranking do desmatamento em Km2
9º Amapá 4
8º Tocantins 136
7º Roraima 326
6º Acre 549
5º Maranhão 766
4º Amazonas 797
3º Rondônia 3 463
2º Pará 7 293
1º Mato Grosso 10 416
Disponível em: www.folhaonline.com.br. 
Acesso em: 30 abr. 2010 (Adaptação).
Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 
10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento 
médio por estado em 2009 está entre
A) 100 km2 e 900 km2. 
B) 1 000 km2 e 2 700 km2. 
C) 2 800 km2 e 3 200 km2.
D) 3 300 km2 e 4 000 km2.
E) 4 100 km2 e 5 800 km2.
06. (Enem–2005) Um pátio de grandes dimensões será 
revestido por pastilhas quadradas brancas e pretas, 
segundo o padrão representado a seguir, que será 
repetido em toda a extensão do pátio.
As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro 
quadrado e as de cor preta, R$ 10,00. O custo por metro 
quadrado do revestimento será de
A) R$ 8,20. C) R$ 8,60. E) R$ 9,00.
B) R$ 8,40. D) R$ 8,80. 
Frente A Módulo 04
GABARITO
Fixação
01. D 02. C 03. D 04. B 05. D
Propostos
01. B
02. A) O número de meninos é maior do que o 
número de meninas, já que a média da turma 
se encontra mais próxima da média masculina.
 B) 62,5% 
03. D
04. D
05. C
06. C
07. D
08. D
09. A
10. 14
11. C
12. D
13. E
14. A
15. A) 5 120 candidatos
 B) Não. A nota média é igual a 2,30.
16. A
17. E
18. 80 mulheres e 40 homens
19. A) 72,2
 B) 3
Seção Enem
01. B 03. D 05. C
02. B 04. D 06. B
FRENTE
15Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
Equações e problemas 03 B
INTRODUÇÃO
Estudaremos, neste módulo, alguns métodos de resolução 
de equações e de sistemas de equações. Resolver uma 
equação signifi ca determinar suas raízes, ou seja, os valores 
que tornam a sentença verdadeira. O conjunto formado por 
todas as raízes da equação é denominado conjunto verdade 
ou conjunto solução.
Por exemplo, 7 é raiz da equação 2x + 1 = 15, pois 
2.7 + 1 = 15 é uma sentença verdadeira.
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Chamamos de equação do 1º grau a toda sentença 
da forma ax + b = 0, em que a e b são os coefi cientes 
e a ≠ 0.
Dessa forma, temos que:
ax + b = 0 ⇔ ax = –b ⇔ x = −
b
a
O conjunto solução é, então, S = −






b
a
.
EQUAÇÕES TIPO PRODUTO OU 
QUOCIENTE NULO
Para resolvermos uma equação do tipo a.b = 0, lembremos 
que, se a.b = 0, então a = 0 ou b = 0.
exemplo
2 1 3 0
2 1 0
3 0
1
2
3
x x
x
ou
x
x
ou
x
+( ) −( ) = ⇔
+ =
− =





⇔
= −
=



.




Portanto, S = −






1
2
3, .
Para resolvermos uma equação do tipo 
a
b
 = 0, lembremos 
que, para o quociente ser nulo, devemos ter a = 0 e b ≠ 0.
exemplo
( ).( )3 4 1
12
x x
x
+ −
−
 = 0 ⇔
+ =
− =
− ≠








⇔
= −
=
≠ ±

3 4 0
1 0
1 0
4
3
1
12
x
ou
x
e
x
x
ou
x
e
x









Portanto, S = −






4
3
.
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Chamamos de equação do 2º grau a toda sentença que 
pode ser reduzida a ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c são 
coefi cientes e a ≠ 0.
A resolução desse tipo de equação é dada pela Fórmula 
de Bhaskara:
ax2 + bx + c = 0 ⇔ x = 
−b ± Δ
2a
, em que D = b2 – 4ac
Demonstração:
ax2 + bx + c = 0 ⇔ ax2 + bx = –c
Multiplicando os dois membros desta última igualdade 
por 4a, tem-se:
ax2 + bx = –c ⇔	4a2x2 + 4abx = –4ac
Somando, agora, b2 aos dois membros da igualdade, 
obtém-se:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac ⇔ (2ax + b)2 = b2 – 4ac
Para D = b2 – 4ac ≥ 0, tem-se:
(2ax + b)2 = D ⇔ 2ax + b = ±	 ∆ ⇔
2ax = –b ±	 ∆ ⇔	x = 
−b ± Δ
2a
Discussão do número de raízes
A quantidade de raízes de uma equação do 2º grau 
depende do valor obtido para o radicando D = b2 – 4ac, 
chamado discriminante.
Se D < 0, a equação não admite raízes reais.
Se D = 0, a equação admite duas raízes reais e iguais.
Se D > 0, a equação admite duas raízes reais e distintas.
16 Coleção Estudo
Frente B Módulo 03
EQUAÇÕES INCOMPLETAS
1ª) c = 0 e b ≠ 0
ax2 + bx + c = 0 ⇔ ax2 + bx = 0 ⇔ 
x(ax + b) = 0 ⇔ 
x
ou
ax b
x
ou
x
b
a
=
+ =





⇔
=
=






0
0
0
–
Portanto, S = 0, −






b
a
.
exemplo
2x2 + 3x = 0 ⇒ x(2x + 3) = 0 ⇔ 
x
ou
x
x
ou
x
=
+ =





=
=






0
2 3 0
0
3
2
–
Portanto, S = 0
3
2
, −






.
2ª) b = 0 e c ≠ 0
ax2 + bx + c = 0 ⇔ ax2 + c = 0 ⇔ x2 = − c
a
 ⇔ x = ± − c
a
Portanto, S = − − −








c
a
c
a
, , se −
c
a
 > 0.
Se − c
a
 < 0, então não existe raiz real, e S = ∅.
exemplos
1º) 2x2 – 8 = 0 ⇒ 2x2 = 8 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = +−2
Portanto, S = {–2, 2}.
2º) 2x2 + 8 = 0 ⇒ 2x2 = –8 ⇒ x2 = –4 ⇒ 
x = −4 ⇒ x ∉ 
Portanto, S = ∅.
3ª) b = 0 e c = 0
ax2 + bx + c = 0 ⇔ ax2 = 0 ⇔ x = 0
Portanto, S = {0}.
SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES
Sendo x1 e x2 as raízes da equaçãoax
2 + bx + c = 0 em 
que a ≠ 0, vamos calcular x1 + x2 e x1.x2.
i) x1 + x2 = 
−b − ∆
2a
+ −b + ∆
2a
= −2b
2a
= −b
a
 Portanto, a soma das raízes é dada por:
x1 + x2 = −
b
a
ii) x1.x2 = 
−b − ∆
2a
.
−b + ∆
2a
=
(−b)2 − ( ∆)2
(2a)2
 ⇒
 x1.x2 = 
b b ac
a
ac
a
c
a
2 2
2 2
4
4
4
4
− −( ) = =
 Portanto, o produto das raízes é dado por:
x1.x2 = 
c
a
exemplo
Vamos determinar k a fim de que uma das raízes da equação 
x2 – 5x + (k + 3) = 0 seja igual ao quádruplo da outra. Logo:
x1 + x2 = −
b
a
 ⇒ x1 + x2 = 5 (I)
x1.x2 = 
c
a
 ⇒ x1.x2 = k + 3, (II)
Por hipótese, x1 = 4x2. (III)
Assim, substituindo (III) em (I):
4x2 + x2 = 5 ⇒ x2 = 1 e x1 = 4
Daí, de (II), temos:
4.1 = k + 3 ⇒ k = 1
SISTEMA DE EQUAÇÕES
A solução de um sistema de duas equações e duas 
incógnitas, x e y, é qualquer par ordenado de valores (x, y) 
que satisfaz a ambas equações.
Observe que o par ordenado (8, 1) é solução do seguinte 
sistema:
 
x y
x y
+ =
− =




9
7
Métodos de resolução de sistemas
Substituição
Esse método consiste em isolar uma das incógnitas numa 
das equações e em substituir a expressão encontrada na 
outra equação.
exemplo
Resolver o sistema 
x y
x y
+ =
− =




7
3
.
Pelo método da substituição, escolhemos, por exemplo, 
a equação x + y = 7, e vamos isolar a incógnita x. Logo:
x + y = 7 ⇔ x = 7 – y
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
17Editora Bernoulli
Equações e problemas
Agora, substituindo x por 7 – y na equação x – y = 3, temos:
x – y = 3 ⇔ 7 – y – y = 3 ⇔ –2y = –4 ⇔ y = 2
Agora, substituindo y por 2 na equação x + y = 7, temos:
x + y = 7 ⇔ x + 2 = 7 ⇔ x = 5
Portanto, S = {(5, 2)}.
Adição
Para resolver um sistema pelo método da adição, 
adicionamos membro a membro as equações de modo a 
anular uma das incógnitas.
exemplo
Resolver o sistema 
x y
x y
+ =
− =




8
6
.
Pelo método da adição, adicionamos membro a membro 
as duas equações.
x y
x y
soma+ =
− =




↓8
6
2x = 14 ⇔ x = 7
Substituindo 7 na equação x + y = 8, por exemplo, temos:
7 + y = 8 ⇔ y = 1
Portanto, S = {(7, 1)}.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (Fatec-SP–2007) João tinha B balas. Comeu uma e deu 
metade do que sobrou para Mário. Depois de comer mais 
uma, deu metade do que sobrou para Felipe e ainda ficou 
com 7 balas. O número B é tal que
A) 10 < B < 20 
B) 20 < B < 30 
C) 30 < B < 40 
D) 40 < B < 50
E) B > 50
02. (FUVEST-SP–2007) A soma e o produto das raízes da 
equação de segundo grau (4m + 3n)x2 – 5nx + (m – 2) = 0 
valem, respectivamente, 5
8
 e 3
32
. Então, m + n é igual a
A) 9 
B) 8 
C) 7 
D) 6 
E) 5
03. (UFG–2007) Uma pequena empresa, especializada em 
fabricar cintos e bolsas, produz mensalmente 1 200 
peças. Em um determinado mês, a produção de bolsas foi 
três vezes maior que a produção de cintos. Nesse caso, 
a quantidade de bolsas produzidas nesse mês foi
A) 300 
B) 450 
C) 600
D) 750
E) 900
04. (PUC Minas–2006) Três atletas, A, B e C, participam 
de uma prova de revezamento. Depois de percorrer 
2
7
 da prova, A é substituído por B, que percorre mais 
2
5
 
da prova. Em seguida, B dá lugar a C, que completa os 
660 metros restantes. Com base nesses dados, a distância 
percorrida por esses três atletas, em quilômetros, é
A) 2,10 
B) 2,32 
C) 2,40
D) 2,64
05. (UFJF-MG–2009) Uma gaveta contém somente lápis, 
canetas e borrachas. A quantidade de lápis é o triplo da 
quantidade de canetas. Se colocarmos mais 12 canetas 
e retirarmos 2 borrachas, a gaveta passará a conter o 
mesmo número de lápis, canetas e borrachas. Quantos 
objetos havia na gaveta inicialmente?
A) 34 
B) 44 
C) 54
D) 64
E) 74
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (FUVEST-SP–2007) Os estudantes de uma classe 
organizaram sua festa de final de ano, devendo cada 
um contribuir com R$ 135,00 para as despesas. 
Como 7 alunos deixaram a escola antes da arrecadação 
e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos 
estudantes restantes teria de pagar R$ 27,00 a mais. 
No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com 
R$ 630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa?
A) R$ 136,00 
B) R$ 138,00 
C) R$ 140,00 
D) R$ 142,00
E) R$ 144,00
18 Coleção Estudo
Frente B Módulo 03
02. (UFG–2007) Uma videolocadora classifica seus 1 000 DVDs 
em lançamentos e catálogo (não lançamentos). 
Em um final de semana, foram locados 260 DVDs, 
correspondendo a quatro quintos do total de lançamentos 
e um quinto do total de catálogo. Portanto, o número de 
DVDs de catálogo locados foi
A) 80 
B) 100 
C) 130
D) 160
E) 180
03. (UEG–2006) Maria Helena comprou, no primeiro 
domingo de junho, cinco quilos de carne e dois pacotes 
de carvão, pagando R$ 34,60. No domingo seguinte, 
ela retornou ao açougue e comprou apenas 3,5 quilos 
de carne e um pacote de carvão, pagando R$ 23,10. 
Se os preços não sofreram alterações no período em 
que Maria Helena fez as compras, o preço do quilo da 
carne que ela comprou foi de
A) R$ 5,40. 
B) R$ 5,80. 
C) R$ 6,00. 
D) R$ 6,10.
04. (PUC Minas–2006) Em uma caixa e em uma cesta, 
estavam guardadas 210 laranjas. Passando-se 8 laranjas 
da cesta para a caixa, cada um desses recipientes ficou 
com o mesmo número de laranjas. O número de laranjas 
que estavam guardadas na caixa, inicialmente, era
A) 91
B) 97
C) 105
D) 113
05. (UEL-PR–2006) Marlene confecciona tapetes artesanais 
de dois modelos, redondo e retangular. Num certo mês, 
ela confeccionou 60 tapetes e teve um lucro líquido de 
R$ 500,00. Sabendo que cada tapete redondo foi vendido 
por R$ 10,00, cada tapete retangular por R$ 12,00 e que 
Marlene gastou R$ 160,00 em materiais, quantos tapetes 
de cada modelo ela confeccionou nesse mês?
A) 20 redondos e 40 retangulares
B) 30 redondos e 30 retangulares
C) 40 redondos e 20 retangulares
D) 10 redondos e 50 retangulares
E) 50 redondos e 10 retangulares
06. (UFRJ–2006) A soma de dois números é 6, e a soma de 
seus quadrados é 68. O módulo da diferença desses dois 
números é
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
07. (PUC Rio–2006) AChe um valor de m tal que as duas 
soluções da equação x(x + 1) = m(x + 2) sejam iguais.
08. (UFMG) Um estudante planejou fazer uma viagem 
de férias e reservou uma certa quantia em dinheiro 
para o pagamento de diárias. Ele tem duas opções de 
hospedagem: a Pousada A, com diária de R$ 25,00, e a 
Pousada B, com diária de R$ 30,00. Se escolher a Pousada A, 
em vez da Pousada B, ele poderá ficar três dias a mais 
de férias. Nesse caso, é CoRReTo afirmar que, para o 
pagamento de diárias, esse estudante reservou
A) R$ 300,00. 
B) R$ 600,00.
C) R$ 350,00.
D) R$ 450,00.
09. (UNIFESP–2007) Em uma lanchonete, o custo de 
3 sanduíches, 7 refrigerantes e uma torta de maçã é 
R$ 22,50. Com 4 sanduíches, 10 refrigerantes e uma 
torta de maçã, o custo vai para R$ 30,50. O custo de 
um sanduíche, um refrigerante e uma torta de maçã, 
em reais, é
A) 7,00 
B) 6,50 
C) 6,00
D) 5,50
E) 5,00
10. (UFSC–2007) Pedro, Luiz, André e João possuem, 
juntos, 90 CDs. Se tirarmos a metade dos CDs de Pedro, 
dobrarmos o número de CDs de Luiz, tirarmos 2 CDs 
de André e aumentarmos em 2 o número de CDs de 
João, eles ficarão com a mesma quantidade de CDs. 
DeTeRMiNe o número inicial de CDs de André.
11. (UFG–2007) Para se deslocar de casa até o seu trabalho, 
um trabalhador percorre 550 km por mês. Para isso, em 
alguns dias, ele utiliza um automóvel e, em outros, uma 
motocicleta. Considerando que o custo do quilômetro 
rodado é de 21 centavos para o automóvel e de 
7 centavos para a motocicleta, CAlCUle quantos 
quilômetros o trabalhador deve andar em cada um dos 
veículos, para que o custo total mensal seja de R$ 70,00.
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19Editora Bernoulli
Equações e problemas
12. (UFRRJ) Em uma sala de aula, entram n alunos. 
Se sentarem 2 alunos em cada bancada, 11 ficarão de pé. 
Porém, se em cada bancada sentarem 3 alunos, haverá 
4 bancadas vazias. O númerode alunos é
A) 49 D) 71
B) 57 E) 82
C) 65 
13. (UEL-PR) Sabe-se que os números reais a e b são raízes 
da equação x2 – kx + 6 = 0, na qual k ∈ . A equação 
do 2° grau que admite as raízes a + 1 e b + 1 é
A) x2 + (k + 2)x + (k + 7) = 0
B) x2 – (k + 2)x + (k + 7) = 0
C) x2 + (k + 2)x – (k + 7) = 0
D) x2 – (k + 1)x + 7 = 0
E) x2 + (k + 1)x + 7 = 0
14. (Cesgranrio) Se x1 e x2 são as raízes de x2 + 57x – 228 = 0, 
então 
1 1
1 2
x x
+ vale
A) –
1
4
 
B) 
1
4
 
C) –
1
2
D) 
1
2
E) 
1
6
 ou –
1
6
15. (PUC-Campinas-SP) Em agosto de 2000, Zuza gastou 
R$ 192,00 na compra de algumas peças de certo artigo. 
No mês seguinte, o preço unitário desse artigo aumentou 
R$ 8,00 e, com a mesma quantia que gastou em agosto, 
ele pode comprar duas peças a menos. Em setembro, 
o preço de cada peça de tal artigo era
A) R$ 24,00.
B) R$ 25,00.
C) R$ 28,00.
D) R$ 30,00.
E) R$ 32,00.
16. (Unicamp-SP) Uma transportadora entrega, com caminhões, 
60 toneladas de açúcar por dia. Devido a problemas 
operacionais, em um certo dia cada caminhão foi 
carregado com 500 kg a menos que o usual, tendo sido 
necessário, naquele dia, alugar mais 4 caminhões.
A) Quantos caminhões foram necessários naquele dia?
B) Quantos quilos cada caminhão transportou naquele dia?
17. (FEI-SP) Uma das raízes da equação x2 – x – a = 0 
é também raiz da equação x2 + x – (a + 20) = 0. 
Qual é o valor de a?
A) a = 10 
B) a = 20 
C) a = –20
D) a = 90
E) a = –9
18. (UFMG) O quadrado da diferença entre o número natural 
x e 3 é acrescido da soma de 11 e x. O resultado é, então, 
dividido pelo dobro de x, obtendo-se quociente 8 e resto 20. 
A soma dos algarismos de x é
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 2
19. (UFLA-MG–2007) Para que o sistema de equações
2 5 0
02
x y
x y a
− + =
+ − =




admita apenas uma solução real, o valor de a deve ser
A) 2 
B) –5 
C) –2 
D) 4
20. (UFC–2007) Os números reais não nulos p e q são tais 
que a equação x2 + px + q = 0 tem raízes D e 1 – D, 
sendo que D denota o discriminante dessa equação. 
Assinale a alternativa que corresponde ao valor de q.
A) –1 
B) –
1
2
 
C) 
1
4
 
D) 
3
16
E) 
7
8
21. (UFLA-MG–2007) Em uma fazenda, é necessário 
transportar um número de sacos de cimento utilizando 
cavalos. Colocando-se dois sacos de cimento em cada 
cavalo, sobram nove sacos, e colocando-se três sacos de 
cimento em cada cavalo, três cavalos ficam sem carga 
alguma. CAlCUle o número de sacos de cimento e o 
número de cavalos.
20 Coleção Estudo
Frente B Módulo 03
22. (UFPE–2007) Júnior compra R$ 5,00 de bananas toda 
semana. Em certa semana, ele observou que o número 
de bananas excedia em cinco o número de bananas da 
semana anterior, e foi informado de que o preço da dúzia 
de bananas tinha sido diminuído de um real. Quantas 
bananas ele comprou na semana anterior?
23. (PUC Minas–2006) A diferença entre as raízes reais da 
equação x2 + bx + 40 = 0 é igual a 6. Então, o valor 
absoluto de b é
A) 8 B) 10 C) 12 D) 14
24. (PUC Minas–2006) Sejam p e q números reais não nulos 
tais que 
p
q
q
p2
2+ – 2 = 0 e p + q = 6. Então, o valor de 
p é igual a
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
25. (UFMG–2008) Dois nadadores, posicionados em 
lados opostos de uma piscina retangular e em raias 
adjacentes, começam a nadar em um mesmo instante, 
com velocidades constantes. Sabe-se que, nas duas 
primeiras vezes em que ambos estiveram lado a lado, eles 
nadavam em sentidos opostos: na primeira vez, a 15 m 
de uma borda e, na segunda vez, a 12 m da outra borda. 
Considerando-se essas informações, é CoRReTo afirmar 
que o comprimento dessa piscina é
A) 21 m. 
B) 27 m. 
C) 33 m.
D) 54 m.
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2009) Na cidade de João e Maria, haverá shows 
em uma boate. Pensando em todos, a boate propôs 
pacotes para que os fregueses escolhessem o que seria 
melhor para si. 
Pacote 1: taxa de 40 reais por show.
Pacote 2: taxa de 80 reais mais 10 reais por show.
Pacote 3: taxa de 60 reais para 4 shows, e 15 reais por 
cada show a mais.
João assistirá a 7 shows e Maria, a 4. As melhores opções 
para João e Maria são, respectivamente, os pacotes
A) 1 e 2 
B) 2 e 2 
C) 3 e 1
D) 2 e 1
E) 3 e 3
02. (Enem–2009) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento 
inicial para organizar uma festa, que seria dividido 
entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, 
para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, 
e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. 
No acerto, foi decidido que a despesa total seria dividida 
em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia 
ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 
50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais 
R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual foi 
o valor da cota calculada no acerto final para cada uma 
das 55 pessoas?
A) R$ 14,00
B) R$ 17,00
C) R$ 22,00
D) R$ 32,00
E) R$ 57,00
03. (Enem–2009) O mapa a seguir representa um bairro 
de determinada cidade, no qual as flechas indicam o 
sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro 
foi planejado e que cada quadra representada na figura 
é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros.
Y
X
Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o 
tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade 
constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, 
demoraria para chegar até o ponto Y?
A) 25 min 
B) 15 min 
C) 2,5 min
D) 1,5 min
E) 0,15 min
M
A
TE
M
Á
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C
A
21Editora Bernoulli
Equações e problemas
04. (Enem–2009) Joana frequenta uma academia de 
ginástica onde faz exercícios de musculação. O programa 
de Joana requer que ela faça 3 séries de exercícios 
em 6 aparelhos diferentes, gastando 30 segundos 
em cada série. No aquecimento, ela caminha durante 
10 minutos na esteira e descansa durante 60 segundos 
para começar o primeiro exercício no primeiro aparelho. 
Entre uma série e outra, assim como ao mudar de 
aparelho, Joana descansa por 60 segundos. Suponha 
que, em determinado dia, Joana tenha iniciado seus 
exercícios às 10h30min e finalizado às 11h7min. Nesse 
dia e nesse tempo, Joana
A) não poderia fazer sequer a metade dos exercícios e 
dispor dos períodos de descanso especificados em 
seu programa.
B) poderia ter feito todos os exercícios e cumprido 
rigorosamente os períodos de descanso especificados 
em seu programa.
C) poderia ter feito todos os exercícios, mas teria de ter 
deixado de cumprir um dos períodos de descanso 
especificados em seu programa.
D) conseguiria fazer todos os exercícios e cumpriria 
todos os períodos de descanso especificados em seu 
programa, e ainda se permitiria uma pausa de 7 min.
E) não poderia fazer todas as 3 séries dos exercícios 
especificados em seu programa; em alguma dessas 
séries deveria ter feito uma série a menos e não 
deveria ter cumprido um dos períodos de descanso.
05. (Enem–2010) Desde 2005, o Banco Central não fabrica 
mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz dinheiro 
nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir 
uma moeda, a durabilidade do metal é 30 vezes maior 
que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa 
R$ 0,26, enquanto uma nota custa R$ 0,17; entretanto, 
a cédula dura de oito a onze meses.
Disponível em: <http://noticias.r7.com>. 
Acesso em: 26 abr. 2010. 
Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco 
Central conseguiria fabricar, aproximadamente, quantas 
cédulas a mais? 
A) 1 667 
B) 2 036 
C) 3 846 
D) 4 300
E) 5 882
06. (Enem–2009) Nos últimos anos, o volume de petróleo 
exportado pelo Brasil tem mostrado expressiva tendência 
de crescimento, ultrapassando as importações em 2008. 
Entretanto, apesar de as importações terem se mantido 
praticamente no mesmo patamar desde 2001, os recursos 
gerados com as exportações ainda são inferiores àqueles 
despendidos com as importações, uma vez que o preço 
médio por metro cúbico do petróleo importadoé superior 
ao do petróleo nacional. Nos primeiros cinco meses 
de 2009, foram gastos 2,84 bilhões de dólares com 
importações e gerada uma receita de 2,24 bilhões de 
dólares com as exportações. O preço médio por metro 
cúbico em maio de 2009 foi de 340 dólares para o petróleo 
importado e de 230 dólares para o petróleo exportado. 
O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 2001 
a 2008 e dos primeiros cinco meses de 2009.
Comércio exterior de petróleo 
(milhões de metros cúbicos)
Ano importação exportação
2001 24,19 6,43
2002 22,06 13,63
2003 19,96 14,03
2004 26,91 13,39
2005 21,97 15,93
2006 20,91 21,36
2007 25,38 24,45
2008 23,53 25,14
2009* 9,00 11,00
*Valores apurados de janeiro a maio de 2009.
Disponível em: <http://www.anp.gov.br>. 
Acesso em: 15 jul. 2009 (Adaptação).
Considere que as importações e exportações de petróleo 
de junho a dezembro de 2009 sejam iguais a 
7
5
 das 
importações e exportações, respectivamente, ocorridas 
de janeiro a maio de 2009. Nesse caso, supondo que 
os preços para importação e exportação não sofram 
alterações, qual seria o valor mais aproximado da diferença 
entre os recursos despendidos com as importações e 
os recursos gerados com as exportações em 2009?
A) 600 milhões de dólares
B) 840 milhões de dólares
C) 1,34 bilhão de dólares
D) 1,44 bilhão de dólares
E) 2,00 bilhões de dólares
22 Coleção Estudo
Frente B Módulo 03
07. (Enem–2010) Uma escola recebeu do governo uma verba 
de R$ 1 000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. 
O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam 
ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, 
bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do 
segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, 
um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se 
comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 
500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de 
selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos 
do primeiro tipo. Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados?
A) 476 D) 965
B) 675 E) 1 538
C) 923
08. (Enem–2010) O salto triplo é uma modalidade do atletismo 
em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e 
um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão 
em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro 
sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele 
cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.
Disponível em: <www.cbat.org.br> (Adaptação).
Um atleta da modalidade salto triplo, depois de estudar 
seus movimentos, percebeu que, do segundo para o 
primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro 
para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo 
atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os 
seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto 
teria de estar entre
A) 4,0 m e 5,0 m. 
B) 5,0 m e 6,0 m.
C) 6,0 m e 7,0 m. 
D) 7,0 m e 8,0 m.
E) 8,0 m e 9,0 m.
Propostos
01. E
02. E
03. B
04. B
05. B
06. E
07. m = –3 + 2¹2 ou m = –3 – 2¹2
08. D
09. B
10. 22
11. 225 km de automóvel e 325 km de motocicleta
12. B
13. B
14. B
15. E
16. A) 24 caminhões
 B) 2 500 kg
17. D
18. A
19. D
20. D
21. 18 cavalos e 45 sacos de cimento
22. 15
23. D
24. A
25. C
Seção Enem
01. E 05. B
02. D 06. C 
03. D 07. C
04. B 08. D
GABARITO
Fixação
01. C 
02. A 
03. E 
04. A 
05. B
FRENTE
23Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
Razões e proporções 04 B
Para a, b ∈  (b ≠ 0), o quociente a
b
 é chamado razão 
entre a e b (nessa ordem, a é chamado antecedente, e b, 
consequente).
Para a, b, c, d ∈  (b ≠ 0, d ≠ 0), a igualdade de razões 
é chamada proporção.
a ÷ b = c ÷ d, também escrita: 
a
b
c
d
=
Algumas propriedades das 
proporções
Das propriedades dos números reais, podemos concluir 
algumas equivalências entre proporções.
Para a, b, c, d ∈ *, tem-se:
a
b
=
c
d
⇔	ad = bc
⇔	
a b
b
c d
d
+ = +
⇔	
a b
a
c d
c
+ = +
⇔	
a b
b
c d
d
− = −
⇔	
a b
a
c d
c
− = −
⇔	
a c
b d
a c
b d
a
b
c
d
+
+
= −
−
= =
NÚMEROS PROPORCIONAIS
Considere um corpo de massa m. Sabemos que a razão 
entre a força resultante que age sobre esse corpo e a sua 
aceleração é constante e igual a m.
FR
a F
R
a
= m
Quando duas grandezas possuem razão constante, 
são chamadas de grandezas diretamente proporcionais. 
A função por elas determinada é denominada função linear, 
e o gráfi co, se contínuo, é uma reta que passa pela origem.
FR
F2
F1
aa1O
α
a2
F
a
F
a
1
1
2
2
=
exemplo
Para um corpo de massa 2 kg:
FR(N) 2 4 6 8 10
a(m/s2) 1 2 3 4 5
Duas grandezas, tais que o produto entre elas é sempre 
constante, são chamadas grandezas inversamente 
proporcionais. A função por elas determinada é uma função 
recíproca, e o gráfi co é uma hipérbole equilátera.
exemplo
yx = 8
x y
–4 –2
–2 –4
–1 –8
1 8
2 4
4 2
 
x1 x2 x
y2
O
y1
y
 
x1.y1 = x2.y2
24 Coleção Estudo
Frente B Módulo 04
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. (Unicamp-SP) A quantia de R$ 1 280,00 deverá ser 
dividida entre 3 pessoas. Quanto receberá cada uma, se
A) a divisão for feita em partes diretamente proporcionais 
a 8, 5 e 7?
B) a divisão for feita em partes inversamente 
proporcionais a 5, 2 e 10?
Resolução:
Sendo x, y e z a quantia, em reais, que cada pessoa 
receberá, então:
A) 
x y z x y z
8 5 7 8 5 7
1 280
20
64= = = + +
+ +
= = ⇔
	 x
y
z
x
y
z
8
64
5
64
7
64
512
320
448
=
=
=









⇔
=
=
=








B) x y z x y z
1
5
1
2
1
10
1
5
1
2
1
10
1 280
2 5 1
10
= = = + +
+ +
=
+ +
= 1 600 ⇔
	
x
y
z
x
1
5
1 600
1
2
1 600
1
10
1 600
1
5
1=
=
=














⇔
= . 6600
1
2
1 600
1
10
1 600
320
800y
z
x
y=
=












⇔
=
=.
.
zz =







 160
02. (UFOP-MG–2008) Duas torneiras são utilizadas para 
encher um tanque vazio. Sozinhas, elas levam 10 horas e 
15 horas, respectivamente, para enchê-lo. As duas juntas 
enchem-no em
A) 6 horas.
B) 12 horas e 30 minutos.
C) 25 horas.
D) 8 horas e 15 minutos.
Resolução:
A 1ª torneira possui uma velocidade de enchimento igual 
a v1 = 
1
10
tanque
hora
, e a 2ª torneira, igual a v2 = 
1
15
tanque
hora
. 
As duas torneiras juntas encherão o tanque com uma 
velocidade v1, 2 = v1 + v2 = 
1
10
1
15
3 2
30
5
30
 + = + = tanque
hora
, 
ou seja, encherão 5 tanques em 30 h, ou 1 tanque em 6 h.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UERJ) Analise o gráfico e a tabela.
Combustível preço por litro (em reais)
Gasolina 1,50
Álcool 0,75
 
gasolina
álcool
km
litro
14
10
1O
De acordo com esses dados, a razão entre o custo do 
consumo, por km, dos carros a álcool e a gasolina é igual a
A) 4
7
 
B) 5
7
 
C) 7
8
D) 7
10
02. (UFU-MG) Gumercindo decidiu dividir sua fazenda de 
30 alqueires entre seus dois filhos João e José. Essa divisão 
seria diretamente proporcional à produção que cada filho 
conseguisse em uma plantação de soja. Eles produziram 
juntos 1,5 tonelada de soja, sendo que José produziu 250 kg 
a mais que João. Como foi dividida a fazenda?
03. (FUVEST-SP) O Sr. Reginaldo tem dois f i lhos, 
nascidos, respectivamente, em 1/1/2000 e 1/1/2004. 
Em testamento, ele estipulou que sua fortuna deve ser 
dividida entre os dois filhos, de tal forma que
(1) os valores sejam proporcionais às idades.
(2) o filho mais novo receba, pelo menos, 75% do valor 
que o mais velho receber.
O primeiro dia no qual o testamento poderá ser cumprido é
A) 1/1/2013. 
B) 1/1/2014. 
C) 1/1/2015.
D) 1/1/2016.
E) 1/1/2017.
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
25Editora Bernoulli
Razões e proporções
04. (UFU-MG) O orgulho de um colecionador de carros 
é seu velho fusca que apresenta desempenho de 
10 km rodados para cada litro de gasolina, embora 
já tenha sofrido alguns “reparos” no tanque de 
combustível. Como esse colecionador irá participar 
de uma feira de carrosem outra cidade com seu 
fusca, vai até um posto de combustível e abastece o 
carro com exatamente 30,6 litros de gasolina. Mas, 
no momento em que o colecionador inicia a viagem, 
aparece um vazamento no tanque por onde escoa 
0,1 litro de gasolina por hora. Sabendo-se que o 
colecionador pretende desenvolver uma velocidade 
constante de 50 km/h durante a viagem, a distância 
MáXiMA que o fusca irá percorrer, até esgotar toda a 
gasolina do tanque, será de
A) 300 km. C) 306 km.
B) 240 km. D) 280 km.
05. (UFG–2007) Para encher um recipiente de 5 litros, uma 
torneira gasta 12 segundos. Uma segunda torneira gasta 
18 segundos para encher o mesmo recipiente. Nessas 
condições, para encher um tanque de 1 000 litros, usando 
as duas torneiras ao mesmo tempo, serão necessários
A) 20 minutos. D) 50 minutos.
B) 24 minutos. E) 83 minutos.
C) 33 minutos.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFMG–2009) Paula comprou dois potes de sorvete, 
ambos com a mesma quantidade do produto. Um dos 
potes continha quantidades iguais dos sabores chocolate, 
creme e morango; e o outro, quantidades iguais dos 
sabores chocolate e baunilha. Então, é CoRReTo afirmar 
que, nessa compra, a fração correspondente à quantidade 
de sorvete do sabor chocolate foi
A) 
2
5
 
B) 
3
5
 
C) 
5
12
 
D) 
5
6
02. (Unimontes-MG–2009) Um pai repartiu R$ 33,00 entre seus 
três filhos, em partes inversamente proporcionais às idades 
deles, as quais são 2, 4 e 6 anos. O mais novo recebeu
A) R$ 6,00. C) R$ 16,50.
B) R$ 18,00. D) R$ 11,00.
03. (UFSCar-SP) Somando-se 4 ao numerador de certa 
fração, obtém-se outra igual a 1. Subtraindo-se 1 do 
denominador da fração original, obtém-se outra igual a 
1
2
. 
Os termos da fração original 
A
B
 representam os votos de 
dois candidatos, A e B, que foram para o 2º turno de uma 
eleição, em que o candidato B obteve
A) 90% dos votos. 
B) 70% dos votos. 
C) 50% dos votos.
D) 30% dos votos.
E) 10% dos votos.
04. (UFU-MG) Paulo, Ana e Luís formaram uma sociedade e 
investiram, respectivamente, R$ 2 500,00; R$ 3 500,00 
e R$ 4 000,00 num fundo de investimentos. Após um 
ano, a aplicação estava com um saldo de R$ 12 500,00. 
Se os três investidores resgatarem somente o rendimento 
e dividirem-no em partes diretamente proporcionais aos 
valores investidos, a diferença entre os valores recebidos 
por Ana e por Paulo será igual a
A) R$ 125,00. C) R$ 250,00.
B) R$ 1 000,00. D) R$ 500,00.
05. (UEL-PR) Sabe-se que a sequência (x, y, z) é inversamente 
proporcional à sequência 
1
2
2 4, ,





 . Se x + y + z = 176, 
então x – y é igual a
A) −
z
8
 D) 4z
B) −
z
4
 E) 6z
C) 2z
06. (PUC-Campinas-SP) Segundo a Lei de Boyle-Mariotte, 
sabe-se que “a uma temperatura constante, os volumes 
de uma mesma massa de gás estão na razão inversa 
das pressões que produzem”. Se, sob a pressão de 
5 atmosferas, uma massa de gás ocupa um volume de 
0,6 dm3, a expressão que permite calcular a pressão p, 
em atmosferas, em função do volume v, em dm3, ocupado 
por essa massa de gás, é
A) V = 
3
P
 D) V = 
5
6
P
 
B) V = 3P E) V = 
25
3P
C) V = 
5
6P
26 Coleção Estudo
Frente B Módulo 04
07. (Mackenzie-SP) Na figura a seguir, Q é um ponto do gráfico 
da função y = f(x), com x e y inversamente proporcionais.
 
y
O
P Q
x
Se (x, y) = 
5
3
480,





 é um ponto da curva, então a área 
do triângulo OPQ é
A) 160 
B) 320 
C) 380 
D) 400
E) 800
08. (VUNESP) Segundo matéria publicada em O Estado de São 
Paulo, 09/06/96, o Instituto Nacional de Seguridade Social 
(INSS) gasta atualmente 40 bilhões de reais por ano com 
o pagamento de aposentadorias e pensões de 16 milhões 
de pessoas. A mesma matéria informa que o Governo 
Federal gasta atualmente 20 bilhões de reais por ano com 
o pagamento de um milhão de servidores públicos federais 
aposentados. Indicando por x a remuneração anual média 
dos beneficiários do INSS e por y a remuneração anual 
média dos servidores federais aposentados, então y é 
igual a
A) 2x D) 10x 
B) 6x E) 16x
C) 8x 
09. (UFU-MG) João e José são aparadores do gramado de um 
campo de futebol e gastam, respectivamente, 7,5 horas 
e 6 horas para aparar individualmente todo o gramado. 
Se João e José trabalharem juntos, quantas horas eles 
levarão para aparar 75% de todo o gramado?
10. (UEL-PR) José limpa o vestiário de um clube de futebol 
em 30 minutos, enquanto seu irmão, Jair, limpa o mesmo 
vestiário em 45 minutos. Quanto tempo levarão os dois 
para limpar o vestiário juntos?
A) 15 minutos e 30 segundos
B) 18 minutos
C) 20 minutos
D) 36 minutos
E) 37 minutos e 30 segundos
11. (UFMG–2007) Um carro bicombustível percorre 8 km 
com um litro de álcool e 11 km com um litro do 
combustível constituído de 75% de gasolina e de 25% 
de álcool, composição adotada, atualmente, no Brasil. 
Recentemente, o Governo brasileiro acenou para uma 
possível redução, nessa mistura, da porcentagem de 
álcool, que passaria a ser de 20%. Suponha que o número 
de quilômetros que esse carro percorre com um litro dessa 
mistura varia linearmente de acordo com a proporção de 
álcool utilizada. Então, é CoRReTo afirmar que, se for 
utilizado um litro da nova mistura proposta pelo Governo, 
esse carro percorrerá um total de
A) 11,20 km. C) 11,50 km.
B) 11,35 km. D) 11,60 km.
12. (UFF-RJ) Em situações do cotidiano, é comum usar-se 
como unidade de medida o palmo (da própria mão). Porém, 
essa unidade varia de pessoa para pessoa. João mediu o 
comprimento de uma peça de tecido e encontrou 30 palmos. 
Alfredo encontrou, para a mesma peça de tecido, 
a medida de 27 palmos. Pode-se afirmar que 10 palmos 
de João equivalem a
A) 0,1 palmo de Alfredo. 
B) 0,9 palmo de Alfredo. 
C) 9 palmos de Alfredo.
D) 10 palmos de Alfredo.
E) 11,1 palmos de Alfredo.
13. (UFU-MG) Um maratonista calcula que, se correr a uma 
velocidade constante de 10 km por hora, chegará ao 
fim do percurso da corrida às 10:00 horas. Contudo, 
se sua velocidade constante for de 15 km por hora, ele 
chegará às 8:00 horas. Para que ele chegue exatamente 
às 9:00 horas, sua velocidade constante deverá ser de
A) 12 km/h. D) 11,5 km/h.
B) 12,5 km/h E) 13 km/h.
C) 11 km/h.
14. (UFPE) Uma substância X é composta de três elementos 
A, B e C, na proporção de 2:3:5 partes de volume. 
Um litro do elemento A pesa três vezes mais que um 
litro do elemento C, enquanto um litro do elemento B 
pesa duas vezes mais que um litro do elemento C. 
Se x é o quociente entre o peso de um litro da substância X 
e o peso de um litro do elemento C, DeTeRMiNe x. 
15. (Unicamp-SP) Dois navios partiram ao mesmo tempo, 
de um mesmo porto, em direções perpendiculares e a 
velocidades constantes. Trinta minutos após a partida, 
a distância entre os dois navios era de 15 km e, após mais 
15 minutos, um dos navios estava 4,5 km mais longe do 
porto que o outro.
A) Quais as velocidades dos dois navios, em km/h?
B) Qual a distância de cada um dos navios até o porto 
de saída, 270 minutos após a partida?
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
27Editora Bernoulli
Razões e proporções
16. (Unicamp-SP) Retiraram-se x litros de vinho de um barril 
de 100 litros e adicionaram-se, ao mesmo barril, x litros 
de água. Da mistura resultante no barril, retiram-se 
outros x litros e adicionam-se outros x litros de água. 
Agora o barril contém 64 litros de vinho e 36 de água. 
CAlCUle o valor de x.
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2000) Uma companhia de seguros levantou 
dados sobre os carros de determinada cidade e 
constatou que são roubados, em média, 150 carros 
por ano. O número de carros roubados da marca X é 
o dobro do número de carros roubados da marca Y, 
e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% 
dos carros roubados. O número esperado de carros 
roubados da marca Y é
A) 20 
B) 30 
C) 40 
D) 50 
E) 60
02. (Enem–2009) As abelhas domesticadas da América do 
Norte e da Europa estão desaparecendo, sem qualquer 
motivoaparente. As abelhas desempenham papel 
fundamental na agricultura, pois são responsáveis pela 
polinização (a fecundação das plantas). Anualmente, 
apicultores americanos alugam 2 milhões de colmeias 
para polinização de lavouras. O sumiço das abelhas já 
inflacionou o preço de locação das colmeias. No ano 
passado, o aluguel de cada caixa (colmeia) com 
50 000 abelhas estava na faixa de 75 dólares. Depois 
do ocorrido, aumentou para 150 dólares. A previsão 
é que faltem abelhas para polinização neste ano nos 
EUA. Somente as lavouras de amêndoa da Califórnia 
necessitam de 1,4 milhões de colmeias.
Disponível em: <http://veja.abril.com.br>. 
Acesso em: 23 fev. 2009 (Adaptação).
De acordo com essas informações, o valor a ser gasto 
pelos agricultores das lavouras de amêndoa da Califórnia 
com o aluguel das colmeias será de
A) 4,2 mil dólares.
B) 105 milhões de dólares.
C) 150 milhões de dólares.
D) 210 milhões de dólares.
E) 300 milhões de dólares.
03. (Enem–2009) Um comerciante contratou um novo 
funcionário para cuidar das vendas. Combinou pagar a 
essa pessoa R$ 120,00 por semana, desde que as vendas 
se mantivessem em torno dos R$ 600,00 semanais e, 
como um estímulo, também propôs que na semana na 
qual ele vendesse R$ 1 200,00, ele receberia R$ 200,00, 
em vez de R$ 120,00. Ao término da primeira semana, 
esse novo funcionário conseguiu aumentar as vendas 
para R$ 990,00 e foi pedir ao seu patrão um aumento 
proporcional ao que conseguiu aumentar nas vendas. 
O patrão concordou e, após fazer algumas contas, pagou 
ao funcionário a quantia de
A) R$ 160,00. D) R$ 180,00.
B) R$ 165,00. E) R$ 198,00.
C) R$ 172,00.
04. (Enem–2009) Uma resolução do Conselho Nacional de 
Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade 
de adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos 
postos. A exigência é que, a partir de 1º de julho de 2009, 
4% do volume da mistura final seja formada por biodísel. 
Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa 
medida estimula a demanda de biodísel, bem como 
possibilita a redução da importação de dísel de petróleo.
Disponível em: <http://www1.folha.uol.com.br>. 
Acesso em: 12 jul. 2009 (Adaptação).
Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodísel 
ao dísel, serão consumidos 925 milhões de litros de 
biodísel no segundo semestre de 2009. Considerando-se 
essa estimativa, para o mesmo volume da mistura final 
dísel / biodísel consumida no segundo semestre de 2009, 
qual seria o consumo de biodísel com a adição de 3%?
A) 27,75 milhões de litros
B) 37,00 milhões de litros
C) 231,25 milhões de litros
D) 693,75 milhões de litros
E) 888,00 milhões de litros
05. (Enem–2009) O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que 
compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada 
do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da 
média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada 
de cadastros (TC) e a taxa de atualização de cadastros 
(TA), em que TC =
NV
NF
, TA=
NA
NV
, NV é o número de 
cadastros domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, 
NF é o número de famílias estimadas como público-alvo 
do CadÚnico e NA é o número de cadastros domiciliares 
atualizados no perfil do CadÚnico.
Portaria n° 148, 27 de abr. 2006 (Adaptação).
Suponha que o IcadÚnico de um município específico 
é 0,6. Porém, dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. 
Se NA + NV = 3 600, então NF é igual a
A) 10 000 C) 5 000 E) 3 000
B) 7 500 D) 4 500 
28 Coleção Estudo
Frente B Módulo 04
06. (Enem–2009) Segundo as regras da Fórmula 1, o peso 
mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 
605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 
e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais 
ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é 
Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km 
de extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 
é de 75 litros para cada 100 km. Suponha que um 
piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de 
gasolina com densidade de 750 g/L, esteja no circuito de 
Spa-Francorchamps, parado no box para reabastecimento. 
Caso ele pretenda dar mais 16 voltas, ao ser liberado para 
retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo,
A) 617 kg. C) 680 kg. E) 717 kg.
B) 668 kg. D) 689 kg. 
07. (Enem–2010) 
 A resistência elétrica e as dimensões do 
condutor
A relação da resistência elétrica com as dimensões do 
condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio 
de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram 
que existe proporcionalidade entre:
• resistência (R) e comprimento (l), dada a mesma 
secção transversal (A);
• resistência (R) e área da secção transversal (A), dado 
o mesmo comprimento (l) e
• comprimento (l) e área da secção transversal (A), 
dada a mesma resistência (R).
Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar 
o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica 
utilizando as figuras seguintes.
fio condutor
A
A A A
2A2AA
resistência R
resistência R resistência Rresistência R
resistência resistência Rresistência 2R
fios de mesmo material fios de mesmo material fios de mesmo material
2� 2�
R__
2
�
�
�
� �
Disponível em: <http://www.efeitojoule.com>. 
Acesso em: abr. 2010 (Adaptação).
As figuras mostram que as proporcionalidades existentes 
entre resistência (R) e comprimento (l), resistência (R) e 
área da secção transversal (A), e entre comprimento (l) 
e área da secção transversal (A) são, respectivamente,
A) direta, direta e direta.
B) direta, direta e inversa.
C) direta, inversa e direta.
D) inversa, direta e direta.
E) inversa, direta e inversa.
GABARITO
Fixação
01. D
02. José: 17,5 alqueires
 João: 12,5 alqueires
03. D 
04. A 
05. B
Propostos
01. C 
02. B 
03. B 
04. C
05. E
06. A
07. D
08. C
09. 2,5 horas
10. B
11. A
12. C
13. A
14. x = 1,7
15. A) 24 km/h e 18 km/h
 B) 108 km e 81 km
16. x = 20
Seção Enem
01. B 
02. D 
03. C
04. D 
05. C
06. B
07. C
FRENTE
29Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
Função 03 C
CONCEITOS BÁSICOS
Produto cartesiano
O produto cartesiano A x B de dois conjuntos A e B 
não vazios é defi nido como o conjunto de todos os pares 
ordenados (x, y), nos quais x pertence a A, e y pertence a B.
A x B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}
exemplo
Sejam os conjuntos A = {2, 3, 4} e B = {1, 5}. Obter os 
produtos cartesianos A x B, A2 e B x A.
Resolução:
A x B = {(2, 1), (2, 5), (3, 1), (3, 5), (4, 1), (4, 5)}
A2 = { (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), 
 (4, 3), (4, 4)}
B x A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}
Relação
Dados dois conjuntos, A e B, não vazios, defi nimos uma 
relação R de A em B como um subconjunto de A x B.
Considere A = {–1, 0, 1, 2} e B = {1, 2}.
A x B = { (–1, 1), (–1, 2), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2), 
 (2, 1), (2, 2)}
Assim, duas relações de A em B poderiam ser:
R1 = {(x, y) ∈ A x B | y = x} = {(1, 1), (2, 2)}
R2 = {(x, y) ∈ A x B | y = x + 1} = {(0, 1), (1, 2)}
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 
Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma relação f de 
A em B é função de A em B se, e somente se, para todo 
x ∈ A se associa a um único y ∈ B, tal que (x, y) ∈ f.
Sistema de notação
A função f de A em B pode ser indicada por f: A → B.
Esquematicamente, temos:
f: A → B
A B
Em outras palavras, cada um dos elementos do conjunto A 
está relacionado a um único elemento do conjunto B. 
No diagrama anterior, defi nimos o seguinte:
i) O conjunto A é o domínio da função.
ii) O conjunto B é o contradomínio da função.
iii) Os elementos do contradomínio que estão 
relacionados, por setas, com os elementos de A 
formam o conjunto imagem da função.
FUNÇÕES DEFINIDAS POR 
FÓRMULAS
Algumas funções têm a sua lei de correspondência 
defi nida por fórmulas. Por exemplo, sejam dois conjuntos 
M = {–1, 0, 1, 2} e N = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Seja f uma função que associa a cada elemento de M 
o seu dobro, acrescido de uma unidade. Denotando por x um 
elemento genérico do domínio M e denotandopor y a sua 
correspondente imagem no conjunto N, temos a fórmula:
y = 2x + 1, x ∈ M
• Para x = –1 ⇒ y = 2(–1) + 1 ⇒ y = –1;
• Para x = 0 ⇒ y = 2(0) + 1 ⇒ y = 1;
• Para x = 1 ⇒ y = 2(1) + 1 ⇒ y = 3;
• Para x = 2 ⇒ y = 2(2) + 1 ⇒ y = 5.
30 Coleção Estudo
Frente C Módulo 03
M N
–1
f
0
1
2
–1
–2
1
3
5
0
2
4
6
Dizemos que x é a variável independente, e y, a variável 
dependente. Assim, a variável y é dita função de x, 
e escrevemos y = f(x).
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
Determinar o domínio de uma função significa saber 
para quais valores de x a expressão matemática y está 
definida, ou seja, quais valores podem ser atribuídos à 
variável x de modo a não violar as condições de existência 
da expressão matemática.
exemplos
1º) Na função y = 3x + 7, para qualquer valor real 
de x existe uma imagem y correspondente. Logo, 
o domínio dessa função é D = .
2º) Na função y
x
=
−
1
4
, devemos observar que x – 4 é 
denominador de uma fração e, portanto, deve ser 
diferente de zero, ou seja, x – 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 4. Então, 
o domínio dessa função é D = {x ∈  | x ≠ 4}.
3º) Na função y = x − 5 , devemos observar que 
x – 5 é o radicando de uma raiz quadrada. Esse 
radicando deve ser maior ou igual a zero, ou seja, 
x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5. Então, o domínio dessa função 
deve ser D = {x ∈  | x ≥ 5}.
GRÁFICOS DE FUNÇÕES
O gráfico de uma função f:  →  é dado pelo conjunto de 
todos os pontos (x, y) do plano cartesiano tais que y = f(x). 
Seguem alguns exemplos de gráficos de funções:
O
Gráfico (I)
x
y
O
Gráfico (II)
x
y
O
Gráfico (III)
x
y
O
Gráfico (IV)
x
y
exemplo
Dada a função f: A → , na qual f(x) = 2x – 4 e 
A = [0, 6], representar o seu gráfico no plano cartesiano.
Resolução:
Vamos escolher alguns valores para x dentro do domínio A 
fornecido e substituí-los na expressão matemática dada. 
Com os resultados, temos a seguinte tabela:
x y
0 –4
1 –2
2 0
3 2
4 4
5 6
6 8
Marcando esses pares (x, y) no plano cartesiano, obtemos 
o gráfico da função.
O–1
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
–2
–3
–4
2 3 4 5 6–2 x
y
1
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
31Editora Bernoulli
Função
RECONHECIMENTO DO GRÁFICO 
DE UMA FUNÇÃO
Observe os seguintes gráfi cos.
Gráfi co I
 
B
A
O x
y
Gráfi co II
 
O
A
B
x
y
Sejam A e B os intervalos numéricos destacados em cada 
gráfi co.
No gráfi co I, existem elementos do conjunto A que estão 
relacionados com mais de um elemento do conjunto B. 
Portanto, tal gráfi co não representa uma função de A em B.
No gráfi co II, cada elemento de A está relacionado com 
um único elemento de B. Portanto, tal gráfi co representa 
uma função de A em B.
De modo geral, para verificarmos se um gráfico 
representa uma função de A em B, basta traçarmos 
retas paralelas ao eixo Oy a partir dos elementos de A.
Assim, se cada reta interceptar o gráfi co em um único 
ponto, trata-se do gráfi co de uma função.
DOMÍNIO E IMAGEM DE 
UMA FUNÇÃO A PARTIR 
DO SEU GRÁFICO
Considere o gráfi co da função a seguir:
O
1
3
8
1 2 5
Domínio
(Projeção no eixo
das abscissas)
Imagem
(Projeção no eixo
das ordenadas)
6 x
y
Observe que a função está defi nida para um intervalo 
limitado de valores de x, a saber, o intervalo [1, 6]. Esse 
intervalo, que é a projeção ortogonal do gráfi co sobre o eixo 
das abscissas, é o domínio da função. Os correspondentes 
valores de y são dados pelo intervalo [1, 8]. Esse intervalo, 
que é a projeção ortogonal do gráfi co sobre o eixo das 
ordenadas, é a imagem da função.
Portanto, temos domínio: D = [1, 6] e imagem: Im = [1, 8].
ESTUDO DO SINAL DE 
UMA FUNÇÃO
Estudar o sinal de uma função signifi ca determinar para 
quais valores de x os correspondentes valores de y são 
negativos, nulos ou positivos.
exemplo
Considere o gráfi co da função f:  →  a seguir:
O x
y
–4 3 7
(raiz)(raiz) (raiz)
32 Coleção Estudo
Frente C Módulo 03
Analisando o gráfico anterior, temos:
i) Para –4 < x < 3 ou x > 7, os valores correspondentes 
de y são negativos. Apresentamos esse fato com os 
sinais de menos indicados no gráfico.
ii) Para x = –4, x = 3 ou x = 7, a ordenada correspondente 
é nula. Esses pontos são chamados raízes ou zeros 
da função.
iii) Para x < –4 ou 3 < x < 7, os valores correspondentes 
de y são positivos. Apresentamos esse fato com os 
sinais de mais indicados no gráfico.
FUNÇÃO CRESCENTE, 
DECRESCENTE E CONSTANTE
i) Função crescente: Uma função é dita crescente 
quando, para quaisquer valores x1 e x2 do seu 
domínio, tais que x1 < x2, temos f(x1) < f(x2). 
Em outras palavras, quando os valores de x aumentam, 
os valores correspondentes de y também aumentam.
 exemplo
O x1 x2
f(x2)
f(x1)
x
y
ii) Função decrescente: Uma função é dita decrescente 
quando, para quaisquer valores x1 e x2 do seu domínio, 
tais que x1 < x2, temos f(x2) < f(x1). Em outras 
palavras, quando os valores de x aumentam, 
os valores correspondentes de y diminuem.
 exemplo
Ox1 x2
f(x2)
f(x1)
x
f(x)
iii) Função constante: Uma função é dita constante 
quando, para quaisquer valores x1 e x2 do seu domínio, 
temos f(x1) = f(x2). Em outras palavras, quando os 
valores de x aumentam, os valores correspondentes 
de y permanecem iguais.
 exemplo
O x2 x
f(x)
f(x1) = f(x2)
x1
GRÁFICOS: TRANSLAÇÕES
E REFLEXÕES
Em várias situações, é possível efetuar a construção de 
gráficos mais complexos a partir de translações ou reflexões 
de gráficos de funções mais simples. 
1) Tomemos como exemplo o gráfico da função 
f(x) = x + 2, com domínio .
O 1
2
2
3
4
y
–1
–2
–2
–3
–3
x
f(x)
1
–1
x f(x)= x + 2
–3 –1
–2 0
–1 1
0 2
1 3
2 4
 Como seria o gráfico da função f(x + 1) para todo x 
real? Para responder a essa pergunta, tomemos os 
seguintes valores tabelados:
x f(x +1) = (x + 1) + 2 = x + 3
–3 0
–2 1
–1 2
0 3
1 4
2 5
 O gráfico correspondente é:
O
1
1
2
2
3
3
4
5
4
y
–1–2–3 x
f(x + 1)
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
33Editora Bernoulli
Função
 Observe que o gráfico da função f(x + 1) equivale ao 
gráfico da função f(x) deslocado uma unidade para 
a esquerda. Portanto, o gráfico de f(x + 1) é obtido 
pela translação de uma unidade para a esquerda do 
gráfico de f(x).
O
1
1
2
2
3
3
4
5
4
y
–1
–1
–2
–3
–3 x
f(x + 1)
f(x)
–2
 De maneira geral, seja o gráfico de uma função f(x) 
com domínio  e k um número real positivo. Assim, 
temos:
i) O gráfico da função f(x + k) é obtido pelo 
deslocamento do gráfico de f(x) de k unidades 
para a esquerda.
ii) O gráfico da função f(x – k) é obtido pelo 
deslocamento do gráfico de f(x) de k unidades 
para a direita.
exemplo
O
y
–k k x
f(x) f(x – k)f(x + k)
2) Considere, ainda, o gráfico da função f(x) = x + 2 
para todo x real. Seja uma função g:  →  dada 
por g(x) = 2 + f(x). Assim, temos:
x f(x) = x + 2 g(x) = 2 + f(x)
–3 –1 1
–2 0 2
–1 1 3
0 2 4
1 3 5
2 4 6
 Na figura a seguir, encontram-se representados 
os gráficos das funções f(x) e g(x) em um mesmo 
sistema cartesiano. 
O
1
1
2
2
4
y
–1
–1
–3–4 x
g(x) f(x)
3
–2
 Observe que o gráfico de g(x) é obtido pela translação 
do gráfico de f(x) duas unidades para cima.
 Generalizando, seja o gráfico de uma função f(x) com 
domínio  e k um número real positivo. Assim, temos:
i) O gráfico da função g(x) = f(x) + k é obtido pelo 
deslocamento do gráfico de f(x) de k unidades 
para cima.
ii) O gráfico da função g(x) = f(x) – k é obtido pelo 
deslocamento do gráfico de f(x) de k unidades 
para baixo.
exemplo
y
xO
k
–k
f(x) + k
f(x)
f(x) – k
3) Considere, a seguir, o gráfico da função f(x) = 3x 
com domínio .
x f(x) = 3x
–2 –6
–1 –3
0 0
1 3
2 6
O
1
1
2
2
3
4
5
y
–1
–1
–2
–3
–2
x
f(x)
–4
–5
–6
6
 Agora, vamos construir o gráfico da função f(–x) para 
todo x real.
x f(–x) = 3(–x) = –3x
–2 6
–1 3
0 0
1 –3
2 –6
O
1
1
2
2
3
4
5
y
–1
–1
–2
–3
–2 x
f(–x)
–4
–5
–6
6
 Observe que o gráfico da função f(–x) é obtido por 
uma reflexão, em relação ao eixo y, do gráfico da 
função f(x).34 Coleção Estudo
Frente C Módulo 03
4) Novamente, vamos utilizar o exemplo da função 
f(x) = x + 2, cujo gráfico foi representado no item 1. 
A partir desse exemplo, iremos construir o gráfico da 
função g(x) = –f(x).
x f(x) = x + 2 g(x) = –f(x)
–2 0 0
–1 1 –1
0 2 –2
1 3 –3
2 4 –4
O
1
1
2
2
3
y
–1
–1
–2
–3
–2 x
g(x)
–4
 Observe que o gráfico da função –f(x) é obtido por 
uma reflexão, em relação ao eixo x, do gráfico da 
função f(x).
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFPA) Sejam os conjuntos A = {1, 2} e B = {0, 1, 2}. 
Qual das afirmativas a seguir é veRDADeiRA?
A) f: x → 2x é uma função de A em B.
B) f: x → x + 1 é uma função de A em B.
C) f: x → x2 – 3x + 2 é uma função de A em B.
D) f: x → x2 – x é uma função de B em A.
E) f: x → x – 1 é uma função de B em A.
02. (UFMG) Na figura, estão esboçados os gráficos de duas 
funções f e g. O conjunto {x ∈ : f(x).g(x) < 0} é dado por
y
f g
xO 2–1
A) x > 0 ou x < –1 
B) –1 < x < 0 
C) 0 < x < 2
D) –1 < x < 2
E) x < –1 ou x > 2
03. (UFMG) Dos gráficos, o úNiCo que representa uma 
função de imagem {y ∈ : 1 ≤ y ≤	 4} e domínio 
{x ∈ : 0 ≤ x < 3} é
A) y
4
3
2
2 x3
1
O
 C) y
4
x3
1
O
 E) y
4
x3
1
O
B) y
4
x3
1
O
 D) y
4
x3
1
O
04. (UFMG) Uma função f:  →  é tal que f(5x) = 5 f(x) para 
todo número real x. Se f(25) = 75, então o valor de f(1) é
A) 3 B) 5 C) 15 D) 25 E) 45
05. (UFU-MG) Se f é uma função cujo gráfico é dado a seguir, 
então o gráfico da função g, tal que g(x) = f(x – 1), será 
dado por
y
x
1
O
–1
–1
–2
f
A) y
O x
1
1
–1
–1–2
g
 C) y
x
1
–2
–1
–1
–2
–3
g
O
B) y
x
2
–2–3 –1
g
O
 D) y
x
1
–1
–2
–1
g
O
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFMG) Das figuras a seguir, a úNiCA que representa o 
gráfico de uma função real y = f(x), x ∈ [a, b], é
A) 
O a b
y
x
 C) 
O a b
y
x
 E) 
O a b
y
x
B) 
O a b
y
x
 D) 
O a b
y
x
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
35Editora Bernoulli
Função
02. (UFMG–2010) Considere a função:
f x
x se é racional
x
se é irracional
( ) 
, 
, 
=
 x
x
1



Então, é CoRReTo afirmar que o MAioR elemento do 
conjunto f f f f
7
31
1 3 14
24
2



















, ( ), ( , ), 


é
A) f
7
31






B) f(1)
C) f(3,14)
D) f
24
2








03. (UFMG) Suponha-se que o número f(x) de funcionários 
necessários para distribuir, em um dia, contas de luz 
entre x por cento de moradores, numa determinada 
cidade, seja dado pela função f(x) = 
300
150
x
x−
. Se o número 
de funcionários necessários para distribuir, em um dia, as 
contas de luz foi 75, a porcentagem de moradores que 
as receberam é
A) 25 
B) 30 
C) 40 
D) 45 
E) 50
04. (UFMG) Em uma experiência realizada com camundongos, 
foi observado que o tempo requerido para um camundongo 
percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dado 
pela função f(n) = 3
12
+



n
 minutos. Com relação a essa 
experiência, pode-se afirmar que um camundongo
A) consegue percorrer o labirinto em menos de três 
minutos.
B) gasta cinco minutos e 40 segundos para percorrer o 
labirinto na quinta tentativa.
C) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na 
terceira tentativa.
D) percorre o labirinto em quatro minutos na décima 
tentativa.
E) percorre o labirinto, numa das tentativas, em três 
minutos e 30 segundos.
05. (UECE) Seja f:  →	 a função tal que f(1) = 4 e 
f(x + 1) = 4 f(x) para todo real. Nessas condições, f(10) 
é igual a
A) 2–10 
B) 4–10 
C) 210 
D) 410
06. (UFMG) Seja f(x) = 1
12x +
. Se x ≠ 0, uma expressão para 
f
1
x





 é
A) x2 + 1 
B) 
x
x
2
2
1+
 
C) 
1
12x +
D) 
x
x
2
2 1+
E) N.d.a.
07. (UFMG) Seja f(x) = 32x. Sabendo-se que f(x + h) = 9 f(x) 
para todo valor real de x, o valor de h é
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
08. (UFMG) Se f é uma função tal que f(1) = 3 e 
f(x + y) = f(x) + f(y) para qualquer x e y reais, então 
f(2) é igual a
A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 8
09. (UFMG) Sendo f(x) = 1
x
 para x > 0, o valor de f
1
x








 
é igual a
A) 
1
x
 D) x 
B) 
1
4 x
 E) 
1
x
C) x4 
10. (UFMG) Seja f(x) = 1
x
. O valor da expressão 
f x f a
x a
( ) ( )−
−
, 
para x ≠ a, é
A) 0 
B) –1 
C) −
1
ax
D) −
−
1
x a
 
E) a – x
36 Coleção Estudo
Frente C Módulo 03
11. (UFMG–2008) Neste plano cartesiano, estão representados 
os gráficos das funções y = f(x) e y = g(x), ambas 
definidas no intervalo aberto ]0, 6[.
y
g
O
g
g
f
f
f
1 2 6 x
3 4 5
Seja s o subconjunto de números reais definido por 
S = {x ∈ ; f(x).g(x) < 0}. Então, é CoRReTo afirmar 
que s é
A) {x ∈ ; 2 < x < 3} ∪ {x ∈ ; 5 < x < 6}
B) {x ∈ ; 1 < x < 2} ∪ {x ∈ ; 4 < x < 5}
C) {x ∈ ; 0 < x < 2} ∪ {x ∈ ; 3 < x < 5}
D) {x ∈ ; 0 < x < 1} ∪ {x ∈ ; 3 < x < 6}
12. (UFMG) Se f(x) = ax, pode-se afirmar que f x f x
f
( ) ( )
( )
+ − −
−
1 1
2 1
 
é igual a
A) f(x – 1) 
B) f(x) 
C) f(x + 1)
D) 
2 1
2 1
f
f
( )
( ) −
E) 
f
f
( )
( )
2
2 1−
13. (Mackenzie-SP) Se a curva dada é o gráfico da função 
y = a + 
b
x
, então o valor de ab é
y
3
–1 2 xO
A) 
1
2
 D) 4
B) ¹3 E) 1
4
C) 2 
14. (UFMG) Observe a figura a seguir. Nela, estão 
representados o ponto A, cuja abscissa é 1, e o ponto B, 
cuja ordenada é 5. Esses dois pontos pertencem ao 
gráfico da função f(x) = (x + 1)(x3 + ax + b), em que 
a e b são números reais. Assim, o valor de f(4) é
f(x)
B
A xO
A) 65 B) 115 C) 170 D) 225
15. (CEFET-MG–2009) Sejam a função real f, do segundo 
grau, definida graficamente por
O x
y
f
e k uma constante real tal que k > 0. O gráfico que 
MelhoR representa a função g tal que g(x) = f(x – k) + k é
A) 
O
y
g
x
B) 
O
y
g
x
C) 
O
y
g
x
D) 
O
y
g x
E) 
O
y g
x
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
37Editora Bernoulli
Função
16. (UFMG) Considere a função y = f(x), que tem como 
domínio o intervalo {x ∈	: –2 < x ≤ 3} e que se anula 
somente em x = −
3
2
 e x = 1, como se vê nesta figura:
f(x)
1
1
–1
–2
2 3 x1
21
2
3
2
O
Assim, para quais valores reais de x se tem 0 < f(x) ≤ 1?
A) 
x x x x
x
∈ < ≤








∪ ∈ ≤ <








∪ : : – – 3
2
1
1
2
1
∈∈ < ≤{ }: 1 2x
B) 
x x x x∈ < ≤








∪ ∈ − ≤ ≤








∪ : : – – 2 3
2
1
1
2
xx x∈ ≤ ≤{ }: 2 3
C) x x x x∈ ≤ ≤








∪ ∈ ≤ ≤








 : : – – 
3
2
1
1
2
2
D) x x x x∈ < ≤








∪ ∈ ≤ ≤








 : : – – 
3
2
1
1
2
2
17. (UNESP) Uma pessoa parte de carro de uma cidade X 
com destino a uma cidade Y. Em cada instante t 
(em horas), a distância que falta percorrer até o destino 
é dada, em dezenas de quilômetros, pela função D, 
definida por
D(t) = 4.
t
t
+
+
−




7
1
1
2
Considerando o percurso da cidade X até a cidade Y, 
a distância, em média, por hora, que o carro percorreu foi
A) 40 km. 
B) 60 km. 
C) 80 km.
D) 100 km.
E) 120 km.
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2009) A suspeita de que haveria uma relação 
causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada 
pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para 
testar essa possível associação, foram conduzidos 
inúmeros estudos epidemiológicos. Entre esses, houve 
o estudo do número de casos de câncer em relação ao 
número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados 
são mostrados no gráfico a seguir:
Casos de câncer pulmonar dado o número de 
cigarros consumidos diariamente
60
50
40
30
20
10
0
0
Número de cigarros consumidos diariamente
C
as
o
s 
d
e 
câ
n
ce
r
 p
u
lm
o
n
ar
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 16171819202122232425
Centers of Disease Control and Prevention CDC-EIS. Summer 
Course, 1992 (Adaptação).
De acordo com as informações do gráfico,
A) o consumo diário de cigarros e o número de casos 
de câncer de pulmão são grandezas inversamente 
proporcionais.
B) o consumo diário de cigarros eo número de casos 
de câncer de pulmão são grandezas que não se 
relacionam.
C) o consumo diário de cigarros e o número de casos 
de câncer de pulmão são grandezas diretamente 
proporcionais.
D) uma pessoa não fumante certamente nunca será 
diagnosticada com câncer de pulmão.
E) o consumo diário de cigarros e o número de casos 
de câncer de pulmão são grandezas que estão 
relacionadas, mas sem proporcionalidade.
02. (Enem–2010) Nos processos industriais, como na 
indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos 
capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas 
situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve 
ser controlado, para garantir a qualidade do produto final 
e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, 
o forno é programado para elevar a temperatura ao longo 
do tempo de acordo com a função
T t
t t
t t
( )
,
,
=
+ ≤ <
− + ≥
7
5
20 0 100
2
125
16
5
3202
para
para t 1100






em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, 
em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido 
desde o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve 
ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 ºC 
e retirada quando a temperatura for 200 ºC. O tempo de 
permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a
A) 100 B) 108 C) 128 D) 130 E) 150
38 Coleção Estudo
Frente C Módulo 03
03. (Enem–2002) O excesso de peso pode prejudicar o 
desempenho de um atleta profissional em corridas 
de longa distância como a maratona (42,2 km), 
a meia-maratona (21,1 km) ou uma prova de 10 km. 
Para saber uma aproximação do intervalo de tempo a mais 
perdido para completar uma corrida devido ao excesso 
de peso, muitos atletas utilizam os dados apresentados 
na tabela e no gráfico.
Altura 
(m)
peso (Kg) ideal para atleta 
masculino de ossatura grande, 
corredor de longa distância
1,57 56,9
1,58 57,4
1,59 58,0
1,60 58,5
 
Tempo x Peso
(Modelo Wilmore e Behnke)
Tempo perdido
 (minutos)
1,33
Maratona
Meia-maratona
Peso acima do ideal (kg)
Prova de 10 Km0,67
0,62
1
Usando essas informações, um atleta de ossatura grande, 
pesando 63 kg e com altura igual a 1,59 m, que tenha corrido 
uma meia-maratona, pode estimar que, em condições de 
peso ideal, teria melhorado seu tempo na prova em
A) 0,32 minuto. 
B) 0,67 minuto. 
C) 1,60 minuto.
D) 2,68 minutos.
E) 3,35 minutos.
04. (Enem–2010) Um laticínio possui dois reservatórios de leite. 
Cada reservatório é abastecido por uma torneira acoplada a 
um tanque resfriado. O volume, em litros, desses reservatórios 
depende da quantidade inicial de leite no reservatório e do 
tempo t, em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. 
Os volumes dos reservatórios são dados pelas funções 
V1(t) = 250t
3 – 100t + 3 000 e V2(t) = 150t
3 + 69t + 3 000.
Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de 
um reservatório é igual ao do outro no instante t = 0 e,
também, no tempo t igual a
A) 1,3 h.
B) 1,69 h.
C) 10,0 h.
D) 13,0 h.
E) 16,9 h.
GABARITO
Fixação
01. C 
02. E 
03. C 
04. A 
05. A
Propostos
01. E 
02. C 
03. B 
04. E
05. D
06. D
07. B
08. D
09. C
10. C
11. A
12. A
13. D
14. D
15. E
16. A
17. C
Seção Enem
01. E 
02. D 
03. E 
04. A
FRENTE
39Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
Função afim 04 C
INTRODUÇÃO
Chamamos de função polinomial do primeiro grau, ou 
função afi m, a toda função f:  → , em que f(x) = ax + b, 
sendo a e b números reais e a ≠ 0. O gráfi co de uma função 
afi m é uma reta.
Na função f(x) = ax + b, temos:
i) O número a é chamado coeficiente angular, 
inclinação ou declividade. 
ii) O número b é chamado coefi ciente linear.
exemplos
1º) y = 3x + 5 3º) y = –8x
2º) f(x) = –4x + 17 4º) f(x) = x – 5
CÁLCULO DO COEFICIENTE 
ANGULAR
O coefi ciente angular a é defi nido como a tangente do 
ângulo formado pela reta e pelo eixo x, tomado no sentido 
anti-horário. Esse ângulo é chamado de ângulo de inclinação.
exemplo 
Calcular o coefi ciente angular da reta r em cada caso.
1º) y
xO
r
30°
O coefi ciente angular é dado por a = tg 30° = 
3
3
.
OBSERVAçãO
Quando o ângulo de inclinação é agudo, temos que sua 
tangente é positiva.
Assim, para a > 0, a função é crescente.
2º) y
xO
r
135°
O coefi ciente angular é dado por a = tg 135° = –1.
OBSERVAçãO
Quando o ângulo de inclinação é obtuso, temos que sua 
tangente é negativa. 
Assim, para a < 0, a função é decrescente.
3º) r contém os pontos P = (4, 5) e Q = (7, 7).
y
xO
r
α
αP
Q
2
3
4
5
7
7
O ângulo de inclinação é indicado na figura por a. 
Assim, temos a = tg a.
Logo, a tangente do ângulo a pode ser calculada no 
triângulo retângulo indicado. 
Daí, tg a = 
2
3
, ou seja, a = 
2
3
.
OBSERVAçãO
Sejam A = (xA, yA) e B = (xB, yB) dois pontos que pertencem 
ao gráfi co de uma função afi m. O coefi ciente angular a é 
dado por:
a = 
y y
x x
B A
B A
−
−
 ou, então, a = ∆
∆
y
x
, em que 
Dy → variação em y
Dx → variação em x
.
40 Coleção Estudo
Frente C Módulo 04
ESBOÇO DO GRÁFICO
Para esboçarmos o gráfico de uma função f:  →  da 
forma y = ax + b, é conveniente conhecermos os pontos de 
interseção desse gráfico com os eixos coordenados.
i) Interseção da reta com o eixo Oy
 Fazendo x = 0, temos y = a.0 + b = b. Logo, o ponto 
de interseção da reta com o eixo Oy é dado pelo 
ponto (0, b).
ii) Interseção da reta com o eixo Ox
 Fazendo y = 0, temos 0 = ax + b, ou seja, x = − b
a
. 
Esse valor é chamado raiz ou zero da função. 
Portanto, o ponto de interseção da reta com o eixo 
Ox é dado por −






b
a
, 0 .
Marcando esses pontos no sistema de coordenadas 
cartesianas, temos:
a > 0 (função crescente)
y
xO
b
−
b
a
a < 0 (função decrescente)
y
xO
b
−
b
a
exemplo
Construir o gráfico da função f:  → , em que f(x) = 4x + 8.
Resolução:
Temos a = 4 e b = 8.
O número b indica a ordenada do ponto de interseção da 
reta com o eixo Oy. Logo, esse ponto é igual a (0, 8).
O número − b
a
 indica a abscissa do ponto de interseção 
da reta com o eixo Ox. Temos: − = − = −b
a
8
4
2. Logo, esse 
ponto é igual a (–2, 0).
Marcando esses pontos em um sistema de coordenadas 
cartesianas, basta uni-los para obter o esboço da reta.
y
xO
(–2, 0)
(0, 8)
OBSERVAçãO
Considere uma função afim f:  →  definida por 
f(x) = ax + b. Se b = 0, a função é chamada função linear, 
e seu gráfico é uma reta passando pela origem do sistema 
de coordenadas. 
exemplo 
Esboçar o gráfico da função linear y = 3x.
Resolução:
y
xO
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO 
DO 1º GRAU
Estudar o sinal de uma função f(x) significa descobrir os 
valores de x para os quais f(x) < 0 ou f(x) = 0 ou f(x) > 0.
Como exemplo, tomemos o gráfico da função f:  → , 
em que y = ax + b, com a > 0.
y
xO
b
b
a
Observe que − b
a
 é o ponto no qual a função é nula, 
ou seja, é uma raiz. Para valores de x menores do que 
a raiz, os valores correspondentes de y são negativos. 
Já para valores de x maiores do que a raiz, os valores 
correspondentes de y são positivos. Indicamos esses 
resultados no esquema a seguir:
 
x
+
– −
b
a
Os sinais – e + representam os sinais de y para o intervalo 
de x considerado.
Analogamente, com a < 0, observamos que, para valores 
de x menores do que a raiz, os valores correspondentes de 
y são positivos. Já para valores de x maiores do que a raiz, 
os valores correspondentes de y são negativos. Indicamos 
esses resultados no esquema a seguir:
y
xO
b
x
+
–−
b
a
−
b
a
 
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
41Editora Bernoulli
Função afim
RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES 
DO 1º GRAU
exemplo
Resolver cada inequação a seguir:
1º) 3x – 7 > 0
 Resolução:
 3x > 7 ⇒ x > 
7
3
 Conjunto solução (S): S = x x∈ >






 |
7
3
2º) 
x − 4
3
 ≤ 2x – 5
 Resolução:
 x – 4 ≤ 6x – 15 ⇒ –5x ≤ –11
 Multiplicando os dois membros por –1, temos:
 5x ≥ 11 ⇒ x ≥ 11
5
 S = x x∈ ≥






 |
11
5
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Encontrar a expressão matemática e fazer um esboço dográfico da função afim que contém os pontos A = (1, 7) 
e B = (–3, –1).
Resolução:
A expressão geral da função afim é dada por y = ax + b. 
Substituindo as coordenadas dos pontos A e B, temos o 
sistema linear: a b
a b
+ =
− + = −




7
3 1
Resolvendo o sistema, obtemos a = 2 e b = 5. Portanto, 
a expressão da função é y = 2x + 5. Para esboçarmos o seu 
gráfico, é necessário encontrar as suas interseções com 
os eixos coordenados. Fazendo x = 0, temos que y = 5. 
Fazendo y = 0, temos que x = −
5
2
 (raiz). Portanto, os 
pontos (0, 5) e −



5
2
0, indicam as interseções com os 
eixos Oy e Ox, respectivamente.
Esboço do gráfico:
y
xO
5
−
5
2
02. O custo C de produção de x litros de certa substância é 
dado por uma função afim, com x ≥ 9, cujo gráfico está 
representado a seguir:
C(x)
520
400
x (litros)8O
Nessas condições, quantos litros devem ser produzidos de 
modo que o custo de produção seja igual a R$ 580,00?
Resolução:
Uma função afim é da forma C(x) = ax + b. Do gráfico, 
temos que C(0) = 400. Mas, C(0) = b. Logo, b = 400.
Sabemos que C(8) = a.8 + b = 520. Substituindo o valor 
de b, temos 8a + 400 = 520 ⇒ 8a = 120 ⇒ a = 15.
Portanto, o custo de produção é dado por C(x) = 15x + 400. 
Fazendo C(x) = 580, temos:
15x + 400 = 580 ⇒ 15x = 180 ⇒ x = 12
Portanto, devem ser produzidos 12 litros.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFMG) Em 2000, a porcentagem de indivíduos brancos 
na população dos Estados Unidos era de 70% e de outras 
etnias – latinos, negros, asiáticos e outros – constituíam 
os 30% restantes. Projeções do órgão do Governo 
norte-americano encarregado do censo indicam que, 
em 2020, a porcentagem de brancos deverá ser de 62%.
NEWSWEEK INTERNATIONAL, 29 abr. 2004.
Admite-se que essas porcentagens variam linearmente 
com o tempo. Com base nessas informações, é CoRReTo 
afirmar que os brancos serão minoria na população 
norte-americana a partir de
A) 2050 B) 2060 C) 2070 D) 2040
02. (UNESP–2007) A unidade usual de medida para a energia 
contida nos alimentos é kcal (quilocaloria). Uma fórmula 
aproximada para o consumo diário de energia (em kcal) 
para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função 
f(h) = 17h, em que h indica a altura em cm e, para meninas 
nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) = (15,3)h. 
Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu 
consumo diário de energia e obteve 2 975 kcal. Sabendo-se 
que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e que 
ambos têm idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de 
energia para Carla, de acordo com a fórmula, em kcal, é
A) 2 501 D) 2 875
B) 2 601 E) 2 970
C) 2 770
42 Coleção Estudo
Frente C Módulo 04
03. (UFRGS–2006) Considere o gráfico a seguir, que apresenta 
a taxa média de crescimento anual de certas cidades em 
função do número de seus habitantes.
Ta
xa
 m
éd
ia
 d
e 
cr
es
ci
m
en
to
 a
n
u
al
nº de mil habitantes1 000500100O
0,9%
4,8%
A partir desses dados, pode-se afirmar que a taxa 
média de crescimento anual de uma cidade que possui 
750 000 habitantes é
A) 1,95%. D) 3,00%.
B) 2,00%. E) 3,35%.
C) 2,85%.
04. (PUC Minas) O gráfico da função f(x) = ax + b está 
representado na figura.
 
y
1
O–2 x
O valor de a + b é
A) –1 B) 
2
5
 C) 
3
2
 D) 2
05. (PUC-SP–2009) O prefeito de certa cidade solicitou a uma 
equipe de trabalho que obtivesse uma fórmula que lhe 
permitisse estudar a rentabilidade mensal de cada um dos 
ônibus de uma determinada linha. Para tal, os membros 
da equipe consideraram que havia dois tipos de gastos – 
uma quantia mensal fixa (de manutenção) e o custo do 
combustível – e que os rendimentos seriam calculados 
multiplicando-se 2 reais por quilômetro rodado. A tabela 
a seguir apresenta esses valores para um único ônibus 
de tal linha, relativamente ao mês de outubro de 2008.
outubro
Quantia fixa (reais) 1 150
Consumo de combustível (litros/100 km) 40
Custo de 1 litro de combustível (reais) 4
Rendimentos/km (reais) 2
Distância percorrida (km) x
Considerando constantes os gastos e o rendimento, a MeNoR 
quantidade de quilômetros que o ônibus deverá percorrer no 
mês para que os gastos não superem o rendimento é
A) 2 775 D) 2 900
B) 2 850 E) 2 925
C) 2 875
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (Cesgranrio) O valor de um carro novo é de R$ 9 000,00 e, 
com 4 anos de uso, é de R$ 4 000,00. Supondo que o 
preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor 
de um carro com 1 ano de uso é
A) R$ 8 250,00. D) R$ 7 500,00.
B) R$ 8 000,00. E) R$ 7 000,00.
C) R$ 7 750,00.
02. (UFES) Uma produtora pretende lançar um filme em fita 
de vídeo e prevê uma venda de 20 000 cópias. O custo 
fixo de produção do filme foi R$ 150 000,00, e o custo 
por unidade foi de R$ 20,00 (fita virgem, processo de 
copiar e embalagem). Qual o preço MíNiMo que deverá 
ser cobrado por fita, para não haver prejuízo?
A) R$ 20,00 C) R$ 25,00 E) R$ 35,00
B) R$ 22,50 D) R$ 27,50
03. (PUC Minas) Uma função do 1º grau é tal que f(–1) = 5 
e f(3)= –3. Então, f(0) é igual a
A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) –1
04. (UFV-MG) Uma função f é dada por f(x) = ax + b, em 
que a e b são números reais. Se f(–1) = 3 e f(1) = –1, 
então f(3) é o número
A) 1 B) 3 C) –3 D) 5 E) –5
05. (UFRGS) O ônibus X parte da cidade A com velocidade 
constante de 80 km/h, à zero hora de certo dia. 
Às 2 horas da madrugada, o ônibus Y parte da mesma 
cidade, na direção e sentido do ônibus X, com velocidade 
constante de 100 km/h. O ônibus Y vai cruzar com o 
ônibus X, pela manhã, às
A) 6 horas . C) 10 horas. E) 12 horas.
B) 8 horas. D) 11 horas.
06. (UFMG) Observe o gráfico, em que o segmento AB é 
paralelo ao eixo das abscissas.
Absorção
(mg/dia)
Ingestão
(mg/dia)
A B18
20O
Esse gráfico representa a relação entre a ingestão de certo 
composto, em mg/dia, e sua absorção pelo organismo, 
também em mg/dia. A única afirmativa FAlsA relativa 
ao gráfico é:
A) Para ingestões de até 20 mg/dia, a absorção é 
proporcional à quantidade ingerida.
B) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade 
ingerida é constante.
C) Para ingestões acima de 20 mg/dia, quanto maior 
a ingestão, menor a porcentagem absorvida do 
composto ingerido.
D) A absorção resultante da ingestão de mais de 
20 mg/dia é igual à absorção resultante da ingestão 
de 20 mg/dia.
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
43Editora Bernoulli
Função afim
07. (PUC-Campinas-SP) Durante um percurso de x km, 
um veículo faz 5 paradas de 10 minutos cada uma. Se 
a velocidade média desse veículo em movimento é de 
60 km/h, a expressão que permite calcular o tempo, em 
horas, que ele leva para percorrer os x km é
A) 
6 5
6
x +
 C) 
6 5
120
x +
 E) x + 
50
6
B) 
x + 50
60
 D) 
x
60
 + 50 
08. (PUC-Campinas-SP–2008) O gráfico a seguir representa 
o crescimento de uma planta durante um certo período 
de tempo.
O 60 120 Tempo (dias)
10
15
A
lt
u
ra
 (
cm
)
Esse crescimento pode ser representado pela função f 
definida por
A) f(t) = 
t
se t
t
se t
6
0 60
12
5 60 120
,
,
≤
≤ ≤
<
−






B) f(t) = 
t
se t
t
se t
6
0 60
12
5 60 120
,
,
≤ ≤
≤+ <






C) f(t) = 
t
se t
t
se t
6
0 60
12
60 120
,
,
≤ ≤
≤<






D) f(t) = 
6 0 60
12 60 120
t se t
t se t
,
,
≤
≤ ≤
<



E) f(t) = 
t se t
t se t
+ <
+






1
6
0 60
51
12
60 120
,
,
≤
≤ ≤
09. (Cesgranrio) Uma barra de ferro com temperatura inicial 
de –10 °C foi aquecida até 30 °C. O gráfico a seguir 
representa a variação da temperatura da barra em função 
do tempo gasto nessa experiência. Calcule em quanto 
tempo, após o início da experiência, a temperatura da 
barra atingiu 0 °C.
5Te
m
p
er
at
u
ra
 (
°C
)
Tempo (min)
30
–10
A) 1 min D) 1 min e 15 s
B) 1 min e 5 s E) 1 min e 20 s
C) 1 min e 10 s
10. (UFG–2009) Para fazer traduções de textos para o inglês, 
um tradutor A cobra um valor inicial de R$ 16,00 mais 
R$ 0,78 por linha traduzida, e um outro tradutor, B, 
cobra um valor inicialde R$ 28,00 mais R$ 0,48 por linha 
traduzida. A quantidade MíNiMA de linhas de um texto 
a ser traduzido para o inglês, de modo que o custo seja 
menor se for realizado pelo tradutor B, é
A) 16 B) 28 C) 41 D) 48 E) 78
11. (UFU-MG) O proprietário de um restaurante deseja 
estimar seus gastos no fornecimento de refeições. 
Para isso, ele divide o gasto total em duas partes: gasto 
fixo e gasto por cliente. Se seu gasto total, quando 
30 clientes estão se alimentando, é de R$ 240,00 e de 
R$ 400,00 com 70 clientes, DeTeRMiNe o gasto fixo e 
o gasto por cliente desse proprietário.
12. (UNIRIO-RJ–2008) O gráfico a seguir representa o 
percentual de iluminação de um teatro em relação à 
iluminação máxima da sala, durante um espetáculo de 
2 horas de duração. Observe que esse espetáculo começa 
e termina sem iluminação e que, passados sete minutos 
do início da peça, a iluminação atinge um determinado 
percentual e fica constante por um período. Além disso, 
destaca-se que o percentual de iluminação é de 5%, um 
minuto após o início da peça e, também, três minutos 
antes do seu término. Durante quanto tempo o percentual 
de iluminação ficou constante nesse espetáculo?
O 7 120 minutos
5%
 d
e 
ilu
m
in
aç
ão
A) 55 min D) 1 h 32 min
B) 1 h 09 min E) 1 h 39 min
C) 1 h 22 min
13. (PUC-Campinas-SP) A seguir, vê-se parte de um gráfico 
que mostra o valor y a ser pago (em reais) pelo uso de 
um estacionamento por um período de x horas.
O
2
3,5
5
6,5
y 
(r
ea
is
)
1 2 3 4 x (horas)
Suponha que o padrão observado no gráfico não se altere 
quando x cresce. Nessas condições, uma pessoa que 
estacionar o seu carro das 22 horas de certo dia até as 
8 horas e 30 minutos do dia seguinte deverá pagar
A) R$ 12,50. D) R$ 17,00.
B) R$ 14,00. E) R$ 18,50.
C) R$ 15,50.
44 Coleção Estudo
Frente C Módulo 04
14. (UFMG) Observe a figura.
 
20 m
10 m
12 m
x m
BA
C
E
D
F
O retângulo ABCD representa um terreno, e o trapézio 
sombreado, uma construção a ser feita nele. Por exigências 
legais, essa construção deve ter uma área, no mínimo, 
igual a 45% e, no máximo, igual a 60% do terreno. Todos 
os valores possíveis de x pertencem ao intervalo
A) [17, 26] 
B) [13, 18] 
C) [14, 18] 
D) [18, 26]
15. (UFJF-MG) Para desencorajar o consumo excessivo 
de água, o Departamento de Água de certo município 
aumentou o preço desse líquido. O valor mensal pago 
em reais por uma residência, em função da quantidade 
de metros cúbicos consumida, é uma função cujo gráfico 
é a poligonal representada a seguir:
R$
34,70
16,70
11,70
4,70
10 20 25 30 m3
De acordo com o gráfico, quanto ao pagamento relativo ao 
consumo mensal de água de uma residência, é CoRReTo 
afirmar que, se o consumo
A) for nulo, a residência estará isenta do pagamento.
B) for igual a 5 m3, o valor pago será menor do que se 
o consumo for igual a 10 m3.
C) for igual a 20 m3, o valor pago será o dobro do que 
se o consumo for igual a 10 m3.
D) exceder 25 m3, o valor pago será R$ 16,70 acrescido 
de R$ 3,60 por m3 excedente.
E) for igual a 22 m3, o valor pago será R$ 15,00.
16. (Unip-SP) Admitindo que em uma determinada localidade 
uma empresa de táxi cobra R$ 2,00 a bandeirada e 
R$ 2,00 por quilômetro rodado, e outra empresa cobra 
R$ 3,00 por quilômetro rodado e não cobra bandeirada, 
determine o número de quilômetros rodados num táxi 
da empresa que não isenta a bandeirada, sabendo que 
o preço da corrida apresentado é de R$ 30,00.
A) 10 km C) 6 km E) 22 km
B) 18 km D) 14 km 
17. (Mackenzie-SP) O gráfico esboçado, da função 
y = ax + b, representa o custo unitário de produção de 
uma peça em função da quantidade mensal produzida. 
Para que esse custo unitário seja R$ 6,00, a produção 
mensal deve ser igual a
10
720O 1 020
Quantidade produzida
C
u
st
o
 u
n
it
ár
io
5
A) 930 B) 920 C) 940 D) 960 E) 980
18. (CEFET-MG–2010) Os sistemas de pagamento A e B de uma 
dívida de R$ 15 000,00, a ser paga em 300 meses, estão 
representados, de modo aproximado, pelo gráfico a seguir, 
em que o eixo das abscissas representa o tempo, em meses, 
e o das ordenadas, o valor de prestação em cada mês. 
p
150
115
300 t
B
A
50
O
Considerando-se a área sob esse gráfico uma boa 
aproximação do total a ser pago, é iNCoRReTo afirmar 
que a(o)
A) prestação em A é constante.
B) prestação em B é decrescente.
C) total a ser pago em B é maior que em A.
D) prestação em B torna-se menor que em A a partir do 
mês 105.
E) total a ser pago em B será, aproximadamente, o dobro 
do valor da dívida contraída.
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
45Editora Bernoulli
Função afim
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2009) Um experimento consiste em colocar certa 
quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com 
água até certo nível e medir o nível da água, conforme 
ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, 
concluiu-se que o nível da água é em função do número de 
bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.
y
O quadro a seguir mostra alguns resultados do 
experimento realizado.
Número de bolas (x) Nível da água (y)
5 6,35 cm
10 6,70 cm
15 7,05 cm
Disponível em: <www.penta.ufrgs.br>. 
Acesso em: 13 jan. 2009 (Adaptação).
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível 
da água y em função do número de bolas x?
A) y = 30x D) y = 0,7x
B) y = 25x + 20,2 E) y = 0,07x + 6
C) y = 1,27x
02. (Enem–2008) A figura a seguir representa o boleto de 
cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao 
mês de junho de 2008.
Banco S.A.
Agência / cód. cedenteCedente
Escola de Ensino Médio
Vencimento
Pagável em qualquer agência bancária até a data de vencimento.
Nosso número
(=) Valor documento
(–) Descontos
(–) Outras deduções
(+) Mora / Multa
(+) Outros acréscimos
(–) Valor cobrado
Uso do Banco
Instruções
Observação: no caso de pagamento em atraso, cobrar multa
de R$ 10,00 mais 40 centavos por dia de atraso.
30/06/2008
R$ 500,00
Data documento
02/06/2008
Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, 
em que x é o número de dias em atraso, então
A) M(x) = 500 + 0,4x D) M(x) = 510 + 40x
B) M(x) = 500 + 10x E) M(x) = 500 + 10,4x
C) M(x) = 510 + 0,4x
03. (Enem–2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios 
e oceanos e quase sempre acabam matando por asfixia 
peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 
2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. 
Os supermercados brasileiros se preparam para acabar 
com as sacolas plásticas até 2016. Observe o gráfico 
a seguir, em que se considera a origem como o ano 
de 2007.
O
18
Nº de sacolas (em bilhões)
9 Nº de anos (após 2007)
LUCENA, M. Guerra às sacolinhas. Galileu. n° 225, 2010.
De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas 
plásticas serão consumidos em 2011? 
A) 4,0 
B) 6,5 
C) 7,0 
D) 8,0 
E) 10,0 
04. (Enem–2010) O gráfico mostra o número de favelas 
no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, 
considerando que a variação nesse número entre os anos 
considerados é linear.
750
20041992
573
372
1980
ÉPOCA. Favela tem memória. nº 621, 12 abr. 2010 (Adaptação).
Se o padrão na variação do período 2004 / 2010 se 
mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número 
de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas 
em 2016 será
A) menor que 1 150.
B) 218 unidades maior que em 2004.
C) maior que 1 150 e menor que 1 200.
D) 177 unidades maior que em 2010.
E) maior que 1 200.
46 Coleção Estudo
Frente C Módulo 04
05. (Enem–2010) Certo município brasileiro cobra a conta 
de água de seus habitantes de acordo com o gráfi co. 
O valor a ser pago depende do consumo mensal em m3.
Conta de águaR$
25
15
10
O m31015 20
Se um morador pagar uma conta de R$ 19,00, isso 
signifi ca que ele consumiu
A) 16 m3 de água. D) 19 m3 de água.
B) 17 m3 de água. E) 20 m3 de água.
C) 18 m3 de água.
06. (Enem–2010) Uma professora realizou uma atividade 
com seus alunos utilizando canudos de refrigerante paramontar fi guras, onde cada lado foi representado por um 
canudo. A quantidade de canudos (C) de cada fi gura 
depende da quantidade de quadrados (Q) que formam 
cada fi gura. A estrutura de formação das fi guras está 
representada a seguir.
Figura I Figura II Figura III
Que expressão fornece a quantidade de canudos em 
função da quantidade de quadrados de cada fi gura?
A) C = 4Q D) C = Q + 3
B) C = 3Q + 1 E) C = 4Q – 2
C) C = 4Q – 1 
07. (Enem–2007) O gráfi co a seguir, obtido a partir de dados 
do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento 
do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de 
extinção.
461
239
1983
N
ú
m
er
o
 d
e 
es
p
éc
ie
s
am
ea
ça
d
as
 d
e 
ex
ti
n
çã
o
1987 1991 1995 1999 2003 2007 ano
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de 
crescimento mostrada no gráfi co, o número de espécies 
ameaçadas de extinção em 2011 será igual a
A) 465 D) 538
B) 493 E) 699
C) 498
GABARITO
Fixação
01. A 
02. B 
03. C 
04. C 
05. C
Propostos
01. C 
02. D 
03. C 
04. E 
05. C
06. B
07. B
08. B
09. D
10. C
11. Gasto fi xo = R$ 120,00
 Gasto por cliente = R$ 4,00
12. D
13. D
14. A
15. D
16. D
17. D
18. C
Seção Enem
01. E 
02. C 
03. E
04. C
05. B 
06. B 
07. C
FRENTE
47Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
Semelhança de triângulos 03 D
SEMELHANÇA DE FIGURAS 
PLANAS
A ideia de semelhança de fi guras planas é uma das mais 
importantes da Geometria. Dizemos que duas fi guras planas 
são semelhantes quando possuem a mesma forma.
exemplos
1º) Dois quadrados quaisquer sempre são semelhantes.
D C
A B
H G
E F
2º) Dois triângulos são semelhantes quando seus lados 
têm medidas proporcionais.
C
F
4 cm 8 cm
6 cm3 cm
2 cm 4 cm
A B D E
Defi nição:
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se,
i) os ângulos são congruentes.
ii) os lados opostos a ângulos congruentes são 
proporcionais.
A
D
B C FE
D	ABC ∼	D	DEF ⇔	
A D
B E
C F
≡
≡
≡






= =e AB
DE
BC
EF
AC
DF
OBSERVAçÕES
i) Indicamos a semelhança pelo símbolo (~).
ii) Lados opostos a ângulos congruentes são chamados 
de lados homólogos.
iii) A razão entre dois lados homólogos (k) é a razão de 
semelhança.
CASOS DE SEMELHANÇA 
DE TRIÂNGULOS
Vimos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, 
possuem os três ângulos congruentes e os três lados 
proporcionais. Porém, para verifi carmos se dois triângulos são 
semelhantes, não é necessário conferir todas essas condições. 
A seguir, enunciamos os casos de semelhança, que 
são alguns grupos de condições capazes de garantir a 
semelhança dos triângulos.
Caso AA (ângulo, ângulo)
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, têm dois 
ângulos respectivamente congruentes. 
A
D
B C E F 
B E
C F
≡
≡




⇔ ∆ ∆ABC DEF~
48 Coleção Estudo
Frente D Módulo 03
Caso lAl (lado, ângulo, lado)
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, têm dois 
lados respectivamente proporcionais e se os ângulos formados 
por esses lados forem congruentes.
A
D
B C E F 
AB
DE
BC
EF ABC DEF
=
≡





⇔ ∆ ∆
B E
~
Caso lll (lado, lado, lado)
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, têm os 
três lados respectivamente proporcionais.
A
D
B C E F
AB
DE
BC
EF
AC
DF
ABC DEF= = ⇔ ∆ ∆~
Razão de semelhança
A razão de semelhança de dois triângulos é a razão entre 
as medidas de dois segmentos correspondentes (lados, 
alturas, medianas, etc.). 
Considere os triângulos semelhantes ABC e ADE.
A
D E
AQ e AP são alturas.
AM e AN são medianas.
CB M
N P
Q
A razão de semelhança do triângulo ABC para o triângulo 
ADE é o número k, tal que:
k
AB
AD
AC
AE
BC
DE
AQ
AP
AM
AN
= = = = =
Razão entre áreas
A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes 
é dada pelo quadrado da razão de semelhança entre eles.
Demonstração:
Consideremos que D	ABC ~	D	DEF.
A
H h
B C
D
E F
h
 S
BC H
I
ABC
= . ( )
2
 S
EF h
II
DEF
= . ( )
2
Mas, 
BC
EF
H
h
k III= = . ( )
Portanto, de (I), (II) e (III), temos que:
S
S
BC H
EF h
BC
EF
H
h
k kABC
DEF
= = = ⇒
.
.
. .2
2
S
S
kABC
DEF
= 2
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Na figura, sabe-se que E e B são congruentes, 
AD = 7 cm, AE = 5 cm, ED = 4 cm e AB = 10 cm. 
x
E
10
7
5
A
D
B Cy
4
 
A) Determinar AC = x e BC = y.
B) Determinar a razão entre as áreas dos triângulos ADE 
e do quadrilátero BCED.
Resolução:
A) Os triângulos ADE e ABC são semelhantes, pois os 
ângulos E e B são congruentes, e o ângulo A é comum 
aos dois triângulos (caso AA). Então:
 
x y
7
10
5 4
= = ⇔ x = 14 cm e y = 8 cm
B) Seja A a área do triângulo ADE. A razão entre as áreas 
de ADE e de ABC é K2 = 
1
4
. Assim, 
A
A
ADE
ABC
 = K2 = 
1
4
.
 Então, AABC = 4AADE = 4A e ABCED = 3A, como mostrado 
na fi gura a seguir:
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
49Editora Bernoulli
Semelhança de triângulos
xE
10
7
5
A
D
B Cy
4
A
3A
Portanto, A
A
A
A
ADE
BCED
= =
3
1
3
.
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Defi nição:
Se a razão de semelhança entre dois triângulos é k = 1,
os triângulos são chamados congruentes e possuem
i) os ângulos congruentes.
ii) os lados homólogos congruentes.
A
B C
D
E F
∆ ∆≡ ⇔
≡
≡
≡






≡
≡
≡
ABC DEF e
AB DE
AC DF
BC EF
A D
B E
C F
BASE MÉDIA DE TRIÂNGULO
Sejam o triângulo ABC e os pontos médios M e N dos 
lados AB e AC, respectivamente.
A
B C
M N
Os triângulos AMN e ABC são semelhantes pelo caso LAL, 
e a razão de semelhança é k = AM
AB
= 1
2
.
Logo, MN = 
1
2
BC, B ≡ M, C ≡ N e, consequentemente, 
MN / / BC. O segmento MN é chamado base média do triângulo 
ABC e, esquematicamente, temos:
MN é base média do triângulo ABC ⇔	
MN BC
MN BC
=




1
2
//
	
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFMG) Observe esta fi gura.
A
B
Q
C
O
P
r
θ
s
Nessa fi gura, os segmentos AB e BC são perpendiculares, 
respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB, 
BQ = QC e a medida do ângulo POQ é q. Considerando-se 
essas informações, é CoRReTo afi rmar que a medida do 
ângulo interno AOC do quadrilátero AOCB é
A) 2q	 	 	 	 	 C) 3q
B) 
5
2
q D) 
3
2
q
02. (UNESP) Um observador situado em um ponto o, 
localizado na margem de um rio, precisa determinar 
sua distância até um ponto p, localizado na outra 
margem, sem atravessar o rio. Para isso, marca, com 
estacas, outros pontos do lado da margem em que se 
encontra, de tal forma que p, o e B estão alinhados 
entre si, e p, A e C, também. Além disso, OA é paralelo a 
BC, OA = 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m, conforme fi gura.
P
O A
CB
Rio
A distância, em metros, do observador em o até o 
ponto p é
A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50
03. (FUVEST-SP) O triângulo ABC tem altura h e base b
(ver fi gura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja 
base é o dobro da altura. Nessas condições, a altura do 
retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula
B C
A
D
b
hG
FE
A) 
bh
h b+
 C) 
bh
h b+ 2
 E) 
bh
h b2( )+
B) 
2bh
h b+
 D) 
bh
h b2 +
 
50 Coleção Estudo
Frente D Módulo 03
04. (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros paralelos 
em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente 
abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar 
os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra 
a figura a seguir. Sabendo que os muros têm alturas de 
9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível 
do chão as duas barras se interceptam? Despreze a 
espessura das barras. 
9 m
3 m
A) 1,50 m 
B) 1,75 m 
C) 2,00 m
D) 2,25 m
E) 2,50 m
05. (FUVEST-SP) Um lateral l faz um lançamento para um 
atacante A, situado 32 m à sua frente em uma linha 
paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, 
segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral, 
e quando passa pela linha de meio do campo está a uma 
distância de 12 m da linha que une o lateral ao atacante. 
Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma 
distância dos dois jogadores, a distância MíNiMA que o 
atacante terá que percorrer para encontrar a trajetóriada bola será de 
32 m 12 m
A
L
A) 18,8 m.
B) 19,2 m.
C) 19,6 m.
D) 20,0 m.
E) 20,4 m.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFV-MG) Depois de andar 5 m em uma escada rolante, 
uma pessoa percebeu que se deslocou 4 m em relação 
à horizontal. Tendo andado 10 m na mesma escada, 
quantos metros terá se deslocado em relação à vertical?
A) 5 B) 8 C) 9 D) 6 E) 7 
02. (VUNESP) O triângulo ABC da figura é equilátero. 
Os pontos M e N e os pontos p e Q dividem os lados a 
que pertencem em três segmentos de reta de mesma 
medida. Nessas condições, CAlCUle
A
N
M
B CP Q
A) a medida do ângulo MPQ (vértice p).
B) a medida do ângulo BMQ (vértice M).
03. (UFOP-MG–2008) Uma pessoa, após caminhar 10,5 metros 
sobre uma rampa plana com inclinação de q radianos, em 
relação a um piso horizontal, e altura de h metros na sua 
parte mais alta, está a 1,5 metro de altura em relação ao 
piso e a 17,5 metros do ponto mais alto da rampa.
1,5 m
h
θ
17,
5 m
10,
5 m
Assim, a altura h da rampa, em metros, é de
A) 2,5 B) 4,0 C) 7,0 D) 8,5
04. (UNESP) A sombra de um prédio, em um terreno plano, 
numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo 
instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de 
altura 5 m mede 3 m.
Prédio
Poste
Sol
15
5
3
A altura do prédio, em metros, é
A) 25 B) 29 C) 30 D) 45 E) 75
05. (UFRN) Considerando-se as informações constantes no 
triângulo PQR (figura a seguir), pode-se concluir que a 
altura PR desse triângulo mede
R
P Q
3
3
3
4
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 
06. (UNESP) Na figura, B é um ponto do segmento de 
reta A C, e os ângulos DAB, DBE e BCE são retos.
A B C
D
E
Se o segmento AD = 6 dm, o segmento AC = 11 dm e 
o segmento EC = 3 dm, as medidas possíveis de AB, 
em dm, são
A) 4,5 e 6,5 D) 7 e 4
B) 7,5 e 3,5 E) 9 e 2
C) 8 e 3
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
51Editora Bernoulli
Semelhança de triângulos
07. (FUVEST-SP) Na figura a seguir, as distâncias dos pontos 
A e B à reta r valem 2 e 4. As projeções ortogonais de 
A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida 
de CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto e, 
do segmento CD, para que CEA = DEB? 
2
4
B
A
rC DE
A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
C) 5 
08. (UFMG) Na figura a seguir, o quadrado ABCD está 
inscrito no triângulo AMN, cujos lados AM e AN medem, 
respectivamente, m e n.
C
ND
M
B
A
Então, o lado do quadrado mede
A) 
mn
m n+
 C) 
m n+
4
B) 
m n2 2
8
+
 D) 
mn
2
09. (Fatec-SP) Na figura a seguir, o triângulo ABC é retângulo 
e isósceles, e o retângulo nele inscrito tem lados que 
medem 4 cm e 2 cm.
A
B
C
M N
O perímetro do triângulo MBN é
A) 8 cm. 
B) 12 cm. 
C) (8 + ¹2) cm.
D) (8 + 2¹2) cm.
E) 4(2 + ¹2) cm.
10. (FUVEST-SP) No triângulo acutângulo ABC, a base AB 
mede 4 cm, e a altura relativa a essa base também 
mede 4 cm. MNPQ é um retângulo, cujos vértices M e N 
pertencem ao lado AB, p pertence ao lado BC e Q, 
ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é
A B
C
Q P
M N
A) 4
B) 8
C) 12
D) 14
E) 16
11. (UFMG) Observe a figura. 
A
B F C
DE
Nela, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango inscrito no 
triângulo ABC. A medida do lado do losango é
A) 4
B) 4,8 
C) 5
D) 5,2
12. (UFC) Na figura a seguir, os triângulos ABC e AB’C’ são 
semelhantes. Se AC = 4AC’, então o perímetro de AB’C’, 
dividido pelo perímetro de ABC, é igual a
A
B’
C’
C
B
A) 
1
8
 D) 
1
2
B) 
1
6
 E) 1
C) 
1
4
 
52 Coleção Estudo
Frente D Módulo 03
13. (PUC-SP) Os triângulos ABC e AED, representados na 
figura a seguir, são semelhantes, sendo o ângulo ADE 
congruente ao ângulo ACB.
A
E
D
B C
Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, AD = 10 cm e AE = 10,4 cm, 
o perímetro do quadrilátero BCED, em centímetros, é
A) 32,6
B) 36,4 
C) 40,8
D) 42,6
E) 44,4
14. (Mackenzie-SP) Na figura a seguir, se AB = 5AD = 5FB, 
a razão 
FG
DE
 vale
α
α
α
A
D
F
B C
G
E
A) 3 D) 
5
2
B) 4 E) 
7
2
C) 5
15. (UFRGS) Para estimar a profundidade de um poço com 
1,10 m de largura, uma pessoa cujos olhos estão a 1,60 m 
do chão posiciona-se a 0,50 m de sua borda. Dessa 
forma, a borda do poço esconde exatamente seu fundo, 
como mostra a figura. Com os dados anteriores, a pessoa 
conclui que a profundidade do poço é
1,10 m
1,60 m
0,50 m
A) 2,82 m. C) 3,30 m.
B) 3,00 m. D) 3,52 m.
16. (UFF-RJ) Um prédio com a forma de um paralelepípedo 
retângulo tem 48 m de altura. No centro da cobertura 
desse prédio e perpendicularmente a essa cobertura, está 
instalado um para-raios. No ponto Q sobre a reta r – que 
passa pelo centro da base do prédio e é perpendicular ao 
segmento MN –, está um observador que avista somente 
uma parte do para-raios (ver a figura). A distância do 
chão aos olhos do observador é 1,8 m, e o segmento 
PQ = 61,6 m. O comprimento da parte do para-raios que 
o observador NÃo consegue avistar é
rQ
M
P
16 m
48 m
N
A) 16 m. 
B) 12 m. 
C) 8 m.
D) 6 m.
E) 3 m.
17. (UNESP) Um homem sobe em uma escada de 5 metros de 
comprimento, encostada em um muro vertical. Quando 
ele está em um degrau que dista 3 metros do pé da 
escada, esta escorrega, de modo que a extremidade A 
se desloca para a direita, conforme a seta da figura a 
seguir, e a extremidade B desliza para baixo, mantendo-se 
aderente ao muro.
h
A
B
x
eNCoNTRe a fórmula que expressa a distância h, do 
degrau em que está o homem até o chão em função da 
distância x, do pé da escada ao muro.
18. (UNESP) Um obelisco de 12 m de altura projeta, num certo 
momento, uma sombra de 4,8 m de extensão. CAlCUle 
a distância máxima que uma pessoa de 1,80 m de altura 
poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao longo 
da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra.
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
53Editora Bernoulli
Semelhança de triângulos
19. (UFMG) Observe a figura.
A
D
B
C
Nessa figura, os segmentos AD e BC são paralelos, AD = 8, 
AB = 3 e BC = 7. Sendo p o ponto de interseção das 
retas AB e DC, a medida do segmento BP é
A) 23 B) 22 C) 24 D) 21 
20. (UFPE) Qual o número inteiro mais próximo do comprimento 
do segmento AB indicado na figura a seguir?
B
A
20 m 30 m
30 m 40 m
21. (UFMG–2009) Uma folha de papel quadrada, ABCD, que 
mede 12 cm de lado, é dobrada na reta r, como mostrado 
na figura a seguir:
A D
B CM
N
E
r
Feita essa dobra, o ponto D sobrepõe-se ao ponto N, 
e o ponto A, ao ponto médio M, do lado BC. É CoRReTo 
afirmar que, nessas condições, o segmento CE mede
A) 7,2 cm. 
B) 7,5 cm. 
C) 8,0 cm.
D) 9,0 cm.
22. (FUVEST-SP) Na figura a seguir, o lado de cada quadrado 
da malha quadriculada mede 1 unidade de comprimento. 
CAlCUle a razão 
DE
BC
.
A
B
C
D
E
F
23. (AFA-SP) Na figura a seguir, o perímetro do triângulo 
equilátero ABC é 72 cm, M é o ponto médio de AB e 
CE = 16 cm. Então, a medida do segmento CN, em cm, 
é um sétimo de
B
M
N
C E
A
A) 48 B) 49 C) 50 D) 51
24. (UFMG) Nesta figura, os ângulos ABC, CDE e EAB 
são retos, e os segmentos AD, CD e BC medem, 
respectivamente, x, y e z. 
A
D
E
B
C
Nessa situação, a altura do triângulo ADE, em relação ao 
lado AE, é dada por
A) 
x z y
y
2 2−
 C) 
y z y
z
2 2−
B) 
x z y
z
2 2−
 D) 
z z y
y
2 2−
25. (UFU-MG–2007) Na figura a seguir, ABC é um triângulo 
e suas medianas AP, BN e CM medem, respectivamente, 
8 cm, 10 cm e 4 cm. Se BQ é paralelo ao lado AC com 
2.BQ = AC, então o perímetro do triângulo APQ é igual a
A
N
CP
B
Q
M
A) 24 cm. B) 22 cm. C) 20 cm. D) 18 cm.
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–1998) A sombra de uma pessoa que tem 
1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, 
a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. 
Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, 
a sombra da pessoa passou a medir
A) 30 cm. C) 50 cm. E) 90 cm.
B) 45 cm. D) 80 cm. 
54 Coleção Estudo
Frente D Módulo 03
02. (Enem–2009) A fotografia mostra uma turista 
aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. 
A figura a seguir mostracomo, na verdade, foram 
posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.
 Fo
to
gr
af
ia
 o
bt
id
a 
da
 I
n
te
rn
et
.
d
a
Posição
da câmera
Posição
da turista
Posição
da esfinge
c
b
d’
Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, 
verifica-se que a medida do queixo até o alto da cabeça 
da turista é igual a 
2
3
 da medida do queixo da esfinge 
até o alto da sua cabeça. Considere que essas medidas na 
realidade são representadas por d e d’, respectivamente, 
que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica, 
localizada no plano horizontal do queixo da turista e da 
esfinge, é representada por b, e que a distância da turista 
à mesma lente, por a. A razão entre b e a será dada por
A) 
b
a
d
c
= ' D) 
b
a
d
c
= 2
3
'
B) 
b
a
d
c
= 2
3
 E) b
a
d
c
= 2 '
C) 
b
a
d
c
= 3
2
'
03. (Enem–2009) A rampa de um hospital tem, na sua parte 
mais elevada, uma altura de 2,2 metros. Um paciente, 
ao caminhar sobre a rampa, percebe que se deslocou 
3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. 
A distância, em metros, que o paciente ainda deve 
caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é
A) 1,16 metro. 
B) 3,0 metros. 
C) 5,4 metros.
D) 5,6 metros.
E) 7,04 metros.
04. (Enem–2010) Em canteiros de obras de construção civil 
é comum perceber trabalhadores realizando medidas de 
comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por 
onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses 
canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. 
Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, 
três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras 
três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, 
conforme pode ser visto na figura, em que as estacas 
foram indicadas por letras.
M
N C
B
P
A
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria 
ser calçada com concreto.
Nessas condições, a área a ser calçada corresponde
A) à mesma área do triângulo AMC.
B) à mesma área do triângulo BNC.
C) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
D) ao dobro da área do triângulo MNC.
E) ao triplo da área do triângulo MNC.
GABARITO
Fixação
01. A 02. E 03. D 04. D 05. B
Propostos
01. D 13. E
02. A) 120° 14. B
 B) 90° 15. D
03. B 16. D
04. A 17. h = 
3
5
¹25 – x2, com 0 < x < 5
05. B 18. 4,08 m
06. E 19. D
07. A 20. 24
08. A 21. C
09. E 22. 2
3
10. B 23. A
11. B 24. B
12. C 25. B
Seção Enem
01. B 02. D 03. D 04. E
FRENTE
55Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
Teorema de Tales
e quadriláteros
04 D
TEOREMA DE TALES
Considere três retas paralelas a, b, c “cortadas” por duas 
transversais r e s.
C F
a
r s
b
c
B E
A D
Pelo Teorema de Tales, temos que a razão entre segmentos 
correspondentes nas duas transversais é constante, isto é:
AB
DE
BC
EF
AC
DF
= =
TEOREMA DA BISSETRIZ
Em qualquer triângulo, uma bissetriz interna divide o lado 
oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
CB
a
S
x
c b
y
A
x
c
y
b
=
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
Trapézios
Os trapézios são os quadriláteros que possuem dois lados 
paralelos, chamados bases.
 A
B C
D 
AD // BC
O quadrilátero ABCD é um trapézio de bases AD e BC.
Classificação
Trapézio isósceles: Os lados não paralelos são 
congruentes (AB ≡ CD), e os ângulos das bases são 
congruentes (Â = D̂ e B̂ = Ĉ).
 A
B C
D 
AD // BC
Trapézio retângulo: Um de seus lados é perpendicular 
às bases (Â = B̂ = 90º).
 
A
B C
D
 
AD // BC
Trapézio escaleno: Os lados não paralelos não são 
congruentes, e nenhum ângulo interno é reto.
A
B C
D
AD // BC
AB ≠ CD
A ≠ B ≠	C	≠	D
56 Coleção Estudo
Frente D Módulo 04
Paralelogramos
Os paralelogramos são os quadriláteros que possuem os 
lados opostos paralelos.
A
B
M
C
D
AB // CD
AD // BC
propriedades
i) Os lados opostos são paralelos e congruentes.
ii) Os ângulos opostos são congruentes.
iii) Os ângulos consecutivos (como A e D) são 
suplementares, ou seja, somam 180°.
iv) As diagonais se cortam ao meio, ou seja, M é ponto 
médio dos segmentos AC e BD.
Retângulos
Os retângulos são os paralelogramos que possuem todos 
os ângulos retos.
A
B
M
C
D
Além das propriedades válidas para os paralelogramos, 
temos que os retângulos possuem as diagonais congruentes.
Losangos
Os losangos são os paralelogramos que possuem todos 
os lados congruentes.
A
B
C
D
Além das propriedades de paralelogramo, suas diagonais 
são perpendiculares e são bissetrizes dos ângulos internos 
do paralelogramo.
Quadrados
Os quadrados são os paralelogramos que possuem todos 
os lados e ângulos congruentes.
A
B
M
C
D
Todo quadrado é um paralelogramo, um retângulo e 
um losango; portanto, para ele, são válidas todas as 
propriedades vistas para esses quadriláteros.
Podemos representar os conjuntos dos quadriláteros 
notáveis pelo seguinte esquema.
P R
Q
L
p: Conjunto dos paralelogramos
R: Conjunto dos retângulos
l: Conjunto dos losangos
Q: Conjunto dos quadrados
BASE MÉDIA DE TRAPÉZIO
Seja MN um segmento com extremidades nos pontos médios 
dos lados não paralelos de um trapézio ABCD. Então:
i) MN é paralelo às bases AB e CD.
ii) MN é igual à semissoma das bases.
A
D C
M N
B
MN é base média do trapézio ABCD ⇔ MN
AB DC
e
MN AB CD
= +





2
// //
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
57Editora Bernoulli
Teorema de Tales e quadriláteros
Demonstração:
Prolongamos DN até encontrar o prolongamento de AB.
A E
D C
M
N
B
Na fi gura, os triângulos DCN e NBE são congruentes, pois 
possuem os ângulos congruentes e CN ≡ NB (caso ALA).
Então, BE ≡ CD e NE ≡ DN.
Como MN é base média do triângulo ADE, então:
MN // AB // CD e MN = 
AE AB BE
2 2
= + = AB CD+
2
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. Três terrenos têm frentes para a rua A e para a rua B, 
conforme a fi gura. As divisas laterais são perpendiculares 
à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, 
sabendo-se que a frente total para essa rua é 120 m?
Rua A
Rua B
40 30 20
02. (UFMG) Sobre fi guras planas, é CoRReTo afi rmar que
A) um quadrilátero convexo é um retângulo, se os lados 
opostos têm comprimentos iguais.
B) um quadrilátero que tem suas diagonais perpendiculares 
é um quadrado.
C) um trapézio que tem dois ângulos consecutivos 
congruentes é isósceles.
D) um triângulo equilátero é também isósceles.
E) um triângulo retângulo é aquele cujos ângulos são retos.
03. (UFU-MG) Em um quadrilátero ABCD, o ângulo C é igual a 
1
3
 do ângulo B, o ângulo A mede o quíntuplo do ângulo C 
e o ângulo D vale 45°. Pode-se dizer que A − B vale
A) 50° C) 70° E) 90°
B) 60° D) 80°
04. (PUC Minas) Um trapézio isósceles, de 12 cm de altura, 
tem bases medindo 4 cm e 6 cm. Unindo-se os pontos 
médios de seus lados, obteremos um quadrilátero cujo 
perímetro mede
A) 20 cm. C) 26 cm.
B) 24 cm. D) 30 cm.
05. (UNESP–2008) Uma certa propriedade rural tem o formato 
de um trapézio, como na fi gura. As bases WZ e XY do 
trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o 
lado YZ margeia um rio. 
W Z
X Y
9,4 km
5,7 km
rio
b
2b
(figura fora de escala)
Se o ângulo XYZ é o dobro do ângulo XWZ, a medida, 
em km, do lado YZ, que fi ca à margem do rio, é
A) 7,5 B) 5,7 C) 4,7 D) 4,3 E) 3,7
LEITURA COMPLEMENTAR
escalas termométricas
A escala Celsius adota, sob pressão normal, o valor 
0 (zero) para a temperatura de fusão do gelo e o valor 
100 (cem) para a temperatura sob a qual a água entra em ebulição. 
Na escala Fahrenheit, são atribuídos os valores 32 (trinta e 
dois) e 212 (duzentos e doze) a essas temperaturas de fusão 
e ebulição, respectivamente. Os símbolos °C e °F indicam 
graus Celsius e graus Fahrenheit, respectivamente. Aplicando 
o Teorema de Tales, podemos transformar medidas de uma dessas 
escalas para a outra; por exemplo, para transformar 75 °C em 
graus Fahrenheit, agimos da seguinte maneira.
120
100
80
60
40
20
0
–20
–40
–60
50
40
30
20
10
0
–10
–20
–30
–40
–50
–60
M M’
N N’ x
212 ºF100 ºC
75 ºC
P P’
32ºC0 ºC
Termômetro graduado nas escalas Fahrenheit e Celsius
MP
NP
M P
N P x
x= ⇒
−
−
=
−
−
⇒ =
' '
' '
100 0
75 0
212 32
32
167
Logo, 75 ºC equivalem a 167 ºF.
58 Coleção Estudo
Frente D Módulo 04
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. CAlCUle m na figura, r // s // t.
6
4
m
10 – m
r
s
t
02. (PUC-Campinas-SP–2007) Na figura a seguir, as retas r, 
s e t são paralelas entre si.
t
s
r
C
B
A G
H
I
D
E
F
Se AC = x, BC = 8, DE = 15, EF = x – 10, GI = y e 
HI = 10, então x + y é um número
A) maior que 47. D) quadrado perfeito.
B) entre 41 e 46. E) cubo perfeito.
C) menor que 43.
03. Na figura, CAlCUle os valores de x e y, respectivamente, 
sendo BS a bissetriz interna do ângulo B.
x
C
A
B
15
12
y
S9
04. (Cesgranrio) No triângulo ABC da figura, CD é a bissetriz 
do ângulo interno em C. Se AD = 3 cm, DB = 2 cm e 
AC = 4 cm, então BC mede
C
BA D
A) 3 cm. D) 
8
3
 cm.
B) 
5
2
 cm. E) 4 cm.
C) 
7
2
 cm.
05. (Cesgranrio) As retas r1, r2 e r3 são paralelas, e os 
comprimentos dos segmentos de transversais são os 
indicados na figura. Então, x é igual a
r1
r2
r3
15
x 1
3
1
5
A) 4
1
5
 D) 
8
5
B) 5
1
5
 E) 6
C) 5
06. (UFV-MG–2007) Sob duas retas paralelas de uma cidade, serão 
construídos, a partir das estações A e B, passando pelas 
estações C e D, dois túneis retilíneos, que se encontrarão 
na estação X, conforme ilustra a figura a seguir:
X
A B
C D
túnel 2
tú
ne
l 1
1 
km
1,5 km
rua 2
rua 1
A distância entre as estações A e C é de 1 km e entre 
as estações B e D, de 1,5 km. Em cada um dos túneis, 
são perfurados 12 m por dia. Sabendo que o túnel 1 
demandará 250 dias para ser construído e que os túneis 
deverão se encontrar em X, no mesmo dia, é CoRReTo 
afirmar que o número de dias que a construção do túnel 2 
deverá anteceder à do túnel 1 é
A) 135 B) 145 C) 125 D) 105 E) 115
07. (Unicamp-SP) A figura a seguir mostra um segmento 
AD dividido em três partes: AB = 2 cm, BC = 3 cm e 
CD = 5 cm. O segmento AD’ mede 13 cm, e as retas BB’ 
e CC’ são paralelas a DD’. DeTeRMiNe os comprimentos 
dos segmentos AB’, B’C’ e C’D’.
D
D’
C’
B’
B
A
C
08. (FGV-SP–2008) Na figura, ACB é reto, ABD = DBC = a, 
AD = x, DC = 1 e BC = 3. Com as informações dadas, 
DeTeRMiNe o valor de x.
A
C
D
x
1α
α
B 3
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
59Editora Bernoulli
Teorema de Tales e quadriláteros
09. Uma reta paralela ao lado BC de um triângulo ABC 
determina sobre o lado AB segmentos de 3 cm e de 
12 cm. CAlCUle as medidas dos segmentos que essa 
reta determina sobre o lado AC, cuja medida é 10 cm.
10. (VUNESP) Na figura, o triângulo ABD é reto em B, 
e AC é a bissetriz de BÂD. Se AB = 2.BC, fazendo BC = b 
e CD = d, então
 
A B
C
D
A) d = b 
B) d =
5
2
b 
C) d =
5
3
b
D) d =
6
5
b
E) d =
5
4
b
11. A bissetriz interna do ângulo ̂A de um triângulo ABC divide 
o lado oposto em dois segmentos que medem 9 cm e 
16 cm. Sabendo que AB mede 18 cm, DeTeRMiNe a 
medida de AC.
12. (PUC-Campinas-SP) Considere as afirmações:
I – Todo retângulo é um paralelogramo.
II – Todo quadrado é um retângulo.
III – Todo losango é um quadrado.
Associe a cada uma delas a letra v, se for veRDADeiRA, 
ou F, caso seja FAlsA. Na ordem apresentada, temos
A) F F F. D) V V F.
B) F F V. E) N.d.a.
C) V F F.
13. (UFMG) O retângulo a seguir, de dimensões a e b, está 
decomposto em quadrados. Qual o valor da razão 
a
b
?
a
b
A) 
5
3
 B) 
2
3
 C) 2 D) 
3
2
 E) 
1
2
14. (UFV-MG) Em um trapézio isósceles de bases diferentes, 
uma diagonal é também bissetriz de um ângulo adjacente 
à base maior. Isso significa que
A) os ângulos adjacentes à base menor não são 
congruentes.
B) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos.
C) as diagonais se interceptam formando ângulo reto.
D) a base maior tem medida igual à dos lados oblíquos.
E) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio.
15. (Cesgranrio) No quadrilátero ABCD da figura, são traçadas 
as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo a. 
A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero 
corresponde a
A
M
D C
B
α
N
A) 
α
4
 	 	 C) a	 	 	 	 E) 3a
B) 
α
2
 D) 2a 
16. (FUVEST-SP) No retângulo a seguir, o valor, em graus, de 
a + b é
40° β
α
A) 50 C) 120 E) 220
B) 90 D) 130 
17. (FUVEST-SP) Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e 
altura 4. O perímetro desse trapézio é
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17
18. (PUC-Campinas-SP) Na figura a seguir, tem-se representado 
o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm.
B
A
2θ
θ
C
D
A medida do lado desse losango, em centímetros, é
A) 6¹3 C) 4¹3 E) 2¹3
B) 6 D) 4 
19. (UNIFESP) Em um paralelogramo, as medidas de dois 
ângulos internos consecutivos estão na razão 1:3. 
O ângulo MeNoR desse paralelogramo mede
A) 45° B) 50° C) 55° D) 60° E) 65° 
20. (FGV-SP–2006) Uma folha de papel retangular dobrada 
ao meio no comprimento e na largura fica com 42 cm de 
perímetro. No entanto, se dobrada em três partes iguais 
no comprimento e em duas partes iguais na largura, fica 
com 34 cm de perímetro. O módulo da diferença das 
dimensões dessa folha é
A) 12 cm. C) 9 cm. E) 6 cm.
B) 10 cm. D) 8 cm. 
60 Coleção Estudo
Frente D Módulo 04
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2000) Um marceneiro deseja construir uma 
escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais 
baixo e o mais alto tenham larguras, respectivamente, 
iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a fi gura.
30
60
Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear 
de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser
A) 144 B) 180 C) 210 D) 225 E) 240
02. (Enem–2010) O jornal de certa cidade publicou em uma 
página inteira a seguinte divulgação de seu caderno 
de classifi cados.
x mm
400 mm
260 mm
26 mm
4%
outros
jornais
96%
Pessoas que consultam 
nossos classificados
Para que a propaganda seja fi dedigna à porcentagem 
da área que aparece na divulgação, a medida do 
lado do retângulo que representa os 4%, deve ser de 
aproximadamente
A) 1 mm. C) 17 mm. E) 167 mm.
B) 10 mm. D) 160 mm. 
03. (Enem–2010) Para confeccionar, em madeira, um cesto 
de lixo que comporá o ambiente decorativo de uma sala 
de aula, um marceneiro utilizará, para as faces laterais, 
retângulos e trapézios isósceles e, para o fundo, um 
quadrilátero, com os lados de mesma medida e ângulos 
retos. Qual das fi guras representa o formato de um cesto 
que possui as características estabelecidas?
A) C)
B) D)
E)
04. (Enem–2010) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por 
metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de 
moldura, mais uma taxa fi xa de entrega de 10 reais.
Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras 
a essa loja, sufi cientes para 8 quadros retangulares 
(25 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma segunda 
encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares 
(50 cm x 100 cm). O valor da segunda encomenda será 
A) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a 
altura e a largura dos quadros dobraram.
B) maior do que o valor da primeira encomenda, mas 
não o dobro.
C) a metade do valor da primeira encomenda, porque a 
altura e a largura dos quadros dobraram.
D) menor do que o valor da primeira encomenda, mas 
não a metade.
E) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo 
de entrega será o mesmo.
GABARITO
Fixação
01. 160
3
 m, 40 m e 80
3
 m
02. D
03. C
04. C
05. E
Propostos
01. m = 4 ou m = 6
02. B
03. x = 5 e y = 4
04. D
05. E
06. C
07. AB’ = 2,6 cm 
 B’C’ = 3,9 cm 
 C’D’ = 6,5 cm
08. 
5
4
09. 2 cm e 8 cm
10. C
11. x = 32 cm ou x = 
81
8
 cm
12. D 17. D
13. A 18. D
14. B 19. A
15. D 20. E
16. D
Seção Enem
01. D 02. D 03. C 04. B
FRENTE
61Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
Funções soma e fatoração 05 E
SEN (A ± B) E COS (A ± B)
Observe-se que:
sen (30° + 60°) ≠ sen 30° + sen 60°, pois 1 ≠ 1
2
3
2
+ .
Assim, sen (a + b) ≠ sen a + sen b.
Fórmulas
Quaisquer que sejam os valores de a e b, valem as 
seguintes identidades:
i sen(a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a
ii sen (a – b) = sen a.cos b – sen b.cos a
iii cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b
iv cos (a – b) = cos a.cos b + sen a.sen b
exemplo
Calcular sen 75°.
Resolução:
Como 75° = 45° + 30°, tem-se:
sen 75° = sen (45° + 30°) ⇒
sen 75° = sen 45°.cos 30° + sen 30°.cos 45° ⇒
sen 75° = 2
2
3
2
1
2
2
2
6 2
4
. .+ = +
SEN 2X E COS 2X
Para todo x, tem-se:
sen 2x = 2.sen x.cos x
De fato: 
sen 2x = sen (x + x) = sen x.cos x + sen x.cos x 
 = 2.sen x.cos x
exemplos
1º) sen 4x = 2.sen 2x.cos 2x
2º) sen 20° = 2.sen 10°.cos 10°
3º) sen 
π
4
 = 2.sen 
π
8
.cos 
π
8
4º) sen x = 2.sen 
x
2
.cos 
x
2
Da mesma forma, para todo x, tem-se:
cos 2x = cos2 x – sen2 x
De fato:
cos 2x = cos (x + x) = cos x.cos x – sen x.sen x
 = cos2 x – sen2 x
exemplos
1º) cos 4x = cos2 2x – sen2 2x
2º) cos 20º = cos2 10° – sen2 10°
3º) cos 
π
4
 = cos2 
π
8
 – sen2 
π
8
4º) cos x = cos2 
x
2
 – sen2 
x
2
Observamos que, ao utilizarmos a relação fundamental 
sen2 x + cos2 x = 1, podemos obter duas outras fórmulas 
para cos 2x, que são:
cos 2x = 2.cos2 x – 1
cos 2x = 1 – 2.sen2 x 
TG (A ± B)
Observe-se que tg (30º + 120º) ≠ tg 30º + tg 120º, pois: 
− −3
3
3
3
3≠
Assim, tg (a + b) ≠	tg a + tg b.
Fórmulas
i) Sendo a, b e a + b ≠	π
2
	+	kp, k	∈	, tem-se:
tg (a + b) = tg tg
tg .tg
a b
a b
+
−1
Demonstração:
tg (a + b) = 
sen ( )
cos ( )
sen .cos sen .cos
cos .co
a b
a b
a b b a
a
+
+
= +
ss sen .senb a b−
62 Coleção Estudo
Frente E Módulo 05
Dividindo-se o numerador e o denominador por cos a.cos b, 
tem-se:
tg (a + b) = 
sen .cos
cos .cos
sen .cos
cos .cos
cos .c
a b
a b
b a
a b
a
+
oos
cos .cos
sen .sen
cos .cos
b
a b
a b
a b
−
 ⇒
tg (a + b) = 
tg tg
tg .tg
a b
a b
+
−1
ii) Sendo a, b e a – b ≠ π
2
 + kp, k ∈ , tem-se:
tg (a – b) = 
tg tg
tg .tg
a b
a b
−
+1
A demonstração é análoga à anterior.
TG 2X
Sendo x e 2x ≠	π
2
 + kp, k ∈ , tem-se:
tg 2x = 
2
1 2
.tg
tg
x
x−
Demonstração:
tg 2x = tg (x + x) = 
tg tg
tg .tg
.tg
tg
x x
x x
x
x
+
−
=
−1
2
1 2
exemplos
1º) tg 4x = 
2 2
1 22
.tg
tg
x
x−
 3º) tg π
π
π4
2
8
1
8
2
=
−
.tg
tg
2º) tg 20º = 
2 10
1 102
.tg
tg
o
o−
 4º) tg x = 
2
2
1
2
2
.tg
tg
x
x−
FATORAÇÃO DA SOMA E 
DIFERENÇA DE SENOS E 
COSSENOS
A fatoração de uma expressão é um recurso muito 
importante para a simplifi cação de frações, bem como para 
a resolução de equações e de inequações.
Dedução de fórmulas 
Sejam as fórmulas:
• sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a;
• sen (a – b) = sen a.cos b – sen b.cos a;
• cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b;
• cos (a – b) = cos a.cos b + sen a.sen b.
A partir delas, é possível concluir que:
i) sen (a + b) + sen (a – b) = 2.sen a.cos b
ii) sen (a + b) – sen (a – b) = 2.sen b.cos a
iii) cos (a + b) + cos (a – b) = 2.cos a.cos b
iv) cos (a + b) – cos (a – b) = –2.sen a.sen b
Essas fórmulas transformam somas e diferenças em 
produtos. Para facilitar o seu uso, convém escolher novas 
variáveis p e q, tal que a + b = p e a – b = q.
Resolvendo o sistema:
a b p
a b q
+ =
− =




 ⇒ a = p q+
2
 e b = p q−
2
Assim, as fórmulas fi cam:
i sen p + sen q = 2.sen 
p q+
2
.cos 
p q−
2
ii sen p – sen q = 2.sen 
p q−
2
.cos 
p q+
2
iii cos p + cos q = 2.cos 
p q+
2
.cos 
p q−
2
iv cos p – cos q = –2.sen 
p q+
2
.sen 
p q−
2
FATORAÇÃO DA SOMA E 
DIFERENÇA DE TANGENTES
tg p + tg q = 
sen
cos
sen
cos
p
p
q
q
+ = sen .cos sen .cos
cos .cos
p q q p
p q
+
 ⇒
tg p + tg q = 
sen ( )
cos .cos
p q
p q
+
Assim, sendo p e q ≠	π
2
 + kp, k ∈ , tem-se:
tg p + tg q = 
sen ( )
cos .cos
p q
p q
+
Analogamente, demonstra-se que:
tg p – tg q = 
sen ( )
cos .cos
p q
p q
−
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
63Editora Bernoulli
Funções soma e fatoração
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (FUVEST-SP) Nos triângulos retângulos da figura, 
AC = 1 cm, BC = 7 cm, AD = BD. Sabendo que 
sen (a – b) = sen a.cos b – cos a.sen b, o valor de sen x é
A B
C
D
x
A) 
2
2
 D) 
4
5
B) 
7
50
 E) 
1
50
C) 
3
5
02. (Unifor-CE) O valor da expressão
cos x.cos y + sen x.sen y, para x = 
π
5
 e y = 
π
30
, é
A) 
1
2
 D) 1
B) 
3
2
 E) 
2
2
C) −
2
2
03. (FUVEST-SP) O valor de (sen 22°30’ + cos 22°30’)2 é
A) 
3
2
 D) 1
B) 
2 3
2
+
 E) 2
C) 
2 2
2
+
04. (UFJF-MG) Sendo x + y = 60°, o va lor de 
(cos x + cos y)2 + (sen x – sen y)2 – 2 é
A) –2 D) 1
B) −
1
2
 E) 2
C) 0
05. (UFC) Se sen x + cos x = 1
3
, então o valor de sen 2x é
A) −
2
3
 C) 
1
3
B) −
1
3
 D) 
2
3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, em que os ângulos 
B e D são retos e os lados têm as medidas indicadas, 
o valor de sen A é
A
D
B
C
x
2x
2x
x
A) 
5
5
 D) 
2
5
B) 
2 5
5
 E) 
1
2
C) 
4
5
02. (FUVEST-SP) O valor de (tg 10° + cotg 10°).sen 20° é
A) 
1
2
 B) 1 C) 2 D) 
5
2
 E) 4
03. (UFSM-RS) O valor da expressão 4.sen x.cos x.cos 2x, 
para x = 
π
16
 é
A) 1 D) −
2
2
B) –1 E) 
2
2
C) 0
04. (FUVEST-SP) Se cos x
2
3
4
= , então cos x vale
A) −
3
8
 D) 
1
8
B) 
3
8
 E) 
32
4
C) 
14
4
05. (UFTM-MG–2008) Se sen x + cos x = 1
n
 e sen 2x = –
24
25
, 
com 
π
2
 ≤ x < p e n > 0, então n é igual a
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
06. (Mackenzie-SP) Se sen x = 4
5
 e tg x < 0, então tg 2x vale
A) 
24
7
 D) 
8
3
B) −
24
7
 E) −
4
3
C) −
8
3
64 Coleção Estudo
Frente E Módulo 05
07. (PUC Rio) Se tg 3x = 4, então tg 6x é igual a
A) 8 D) –
3
4
B) –
8
15
 E) 
5
8
C) 
3
4
08. (UFSJ-MG) Se cossec q = –¹5, então o valor de cos 2q é
A) 0,4 C) ¹5
B) –0,5 D) 0,6
09. (PUC Minas) A expressão sen ( )
cos .cos
α β
α β
+
 é igual a
A) tg a + tg b
B) cotg a + cotg b
C) sec a + sec b
D) cossec a + cossec b
E) cos a + cos b
10. (PUC RS) A expressão cos4 a – sen4 a + cos2 a – sen2 a 
é idêntica a
A) 2.cos 2a
B) 2.sen 2a
C) cos 2a
D) sen 2a
E) cos 2a – sen 2a
11.	 (PUC Minas) M = cos2 x, para todo x real, é CoRReTo 
afirmar que M é igual a
A) 
1 2
2
+ sen x
 D) 
1 2
2
− cos x
B) 
1 2
2
− sen x
 E) 
cos 2
2
2
x



C) 
1 2
2
+ cos x
12. (Unifor-CE) A expressão sen cosx x
2 2
2
+




 é equivalente a
A) 1 D) 1 + sen x
B) 0 E) 1 + cos x
C) cos2
x
2
13. (UECE) Se P = sen
sen
cos
cos
40
20
40
20
o
o
o
o
− , então P2 – 1 é igual a
A) sen2 20° 
B) cos2 20° 
C) tg2 20°
D) cotg2 20°
14. (FGV-SP–2009) Seja ABCD um quadrado, e p e Q pontos 
médios de BC e CD, respectivamente. Então, sen b é 
igual a
A D
B P
β
C
Q
A) 
5
5
 B) 
3
5
 C) 
10
5
 D) 
4
5
 E) 
5
6
15. (FUVEST-SP–2010) A figura representa um quadrado 
ABCD de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede 5
4
, 
o ponto e está em CD e AF é bissetriz do ângulo BAE. 
Nessas condições, o segmento DE mede
D C
A
E
B
F
A) 
3 5
40
 D) 
11 5
40
B) 
7 5
40
 E) 
13 5
40
C) 
9 5
40
GABARITO
Fixação
01. C 03. C 05. A
02. B 04. D
Propostos
01. C 06. A 11. C
02. C 07. B 12. D
03. E 08. D 13. C
04. D 09. A 14. B
05. E 10. A 15. D
FRENTE
65Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
Equações e inequações
trigonométricas
06 E
EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS
Sejam f(x) e g(x) duas funções trigonométricas.
Para resolver a equação trigonométrica f(x) = g(x), 
devemos reduzi-la a uma das três equações seguintes:
i) sen a = sen b;
ii) cos a = cos b;
iii) tg a = tg b.
Estas são denominadas equações fundamentais.
RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO 
SEN a = SEN b
Se sen a = sen b = OP1, então as imagens de a e b no 
ciclo estão sobre a reta r, que é perpendicular ao eixo dos 
senos no ponto P1, isto é, estão em p ou P’.
Há, portanto, duas possibilidades:
i) a e b têm a mesma imagem, isto é, são côngruos; ou
ii) a e b têm imagens simétricas em relação ao eixo dos 
senos, isto é, são suplementares.
v
A
u
r
O
P’ PP1
Em resumo, para k ∈	,	temos:
sen a = sen b ⇒ α β π
α π βπ
= +
= − +




2
2
k
k
RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO 
COS a = COS b
Se cos a = cos b = OP2, então as imagens de a e b no 
ciclo estão sobre a reta r, que é perpendicular ao eixo dos 
cossenos no ponto P2, isto é, estão em p ou P’.
Há, portanto, duas possibilidades:
i) a e b têm a mesma imagem, isto é, são côngruos; ou
ii) a e b têm imagens simétricas em relação ao eixo dos 
cossenos.
v
u
r
O
P’
P
AP2
Em resumo, para k ∈	, temos:
cos a = cos b ⇒ α β π
α β π
= +
= − +




2
2
k
k
∴ cos a = cos b	⇒	a = ± b	+ 2kp
66 Coleção Estudo
Frente E Módulo 06
RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO 
TG a = TG b
Se tg a = tg b = AT, então as imagens de a e b	estão 
sobre a reta r, determinada por o e T, isto é, estão em p 
ou P’.
Há, portanto, duas possibilidades:
i) a	e b têm a mesma imagem, isto é, são côngruos; ou
ii) a	e b têm imagens simétricas em relação ao centro 
do ciclo.
v
A u
r
T
O
P’
P
Em resumo, para k ∈ , temos:
tg a = tg b ⇒ α β π
α π β π
= +
= + +




2
2
k
k
∴ tg a = tg b	⇒	a	=	b	+ kp
INEQUAÇÕES FUNDAMENTAIS
Dadas f(x) e g(x) duas funções trigonométricas, 
as inequações trigonométricas f(x) > g(x) ou f(x) < g(x) 
podem ser reduzidas a inequações de um dos seis tipos:
i) sen x > m 
ii) sen x < m 
iii) cos x > m 
iv) cos x < m
v) tg x > m
vi) tg x < m
Em que m é um número real dado a denominadas 
inequações fundamentais.
RESOLUÇÃO DE SEN X > M
Marcamos sobre o eixo dos senos o ponto P1, tal que 
OP1 = m. Traçamos por P1 a reta r, perpendicular ao eixo. 
As imagens dos reais x, tais que sen x > m, estão na 
interseção do ciclo com o semiplano situado acima de r.
Finalmente, descrevemos os intervalos aos quais x pode 
pertencer, tomando o cuidado de partir de A e de percorrer 
o ciclo no sentido anti-horário até completar uma volta.
v
u
r
x
O A
P1
exemplo
Resolver a inequação sen x ≥ – 2
2
, em .
Procedendo conforme foi indicado, para k ∈	, temos:
0 + 2kp ≤ x ≤ 
5
4
π
 + 2kp	ou 
7
4
π
 + 2kp ≤ x < 2p + 2kp
v
uO 2π
5π
4
7π
4
¹2
2
Notemos que escrever 
7
4
π
 + 2kp	≤ x ≤ 5
4
π
 + 2kp	estaria
errado, pois, como 
7
4
π
 > 
5
4
π
, não existe x algum nesse 
intervalo.
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
67Editora Bernoulli
Equações e inequações trigonométricas
RESOLUÇÃO DE SEN X < M
Marcamos sobre o eixo dos senos o ponto P1, tal que 
OP1 = m. Traçamos por P1 a reta r, perpendicular ao eixo. 
As imagens dos reais x, tais que sen x < m, estão na 
interseção do ciclo com o semiplano situado abaixo de r.
Finalmente, partindo de A e percorrendo o ciclo no sentido 
anti-horário até completar uma volta, descrevemos os 
intervalos que convêm ao problema.
v
u
r
x
O A
P1
exemplo
Resolver a inequação sen x < 
1
2
, em .
Procedendo conforme foi indicado, para k ∈	, temos:
0 + 2kp	≤ x < 
π
6
 + 2kp	ou 
5
6
π
 + 2kp < x < 2p + 2kp
v
uO
5π
6
π
6
1
2
RESOLUÇÃO DE COS X > M
Marcamos sobre o eixo dos cossenos o ponto P2, tal que 
OP2 = m. Traçamos por P2 a reta r, perpendicular ao eixo. 
As imagens dos reais x, tais que cos x > m, estão na 
interseção do ciclo com o semiplano situado à direita de r.
Para completar, descrevemos os intervalos que convêm 
ao problema.
v
u
r
x
O AP2
exemplo
Resolver a inequação cos x > 
3
2
, em .
Procedendo conforme foi indicado, para k ∈	, temos:
0 + 2kp ≤ x < 
π
6
 + 2kp ou 
11
6
π
 + 2kp	< x < 2p + 2kp
v
uO
π
6
11π
6
¹3
2
RESOLUÇÃO DE COS X < M
Marcamos sobre o eixo dos cossenos o ponto P2, tal que 
OP2 = m. Traçamos por P2 a reta r, perpendicular ao eixo. 
As imagens dos reais x, tais que cos x < m, estão na 
interseção do ciclo com o semiplano situado à esquerda de r.
Para completar, descrevemos os intervalos que convêm 
ao problema.
v
u
r
x
O AP2
68 Coleção Estudo
Frente E Módulo 06
exemplo
Resolver a inequação cos x < –
1
2
, em .
Procedendo conforme foi indicado, para k ∈	, temos:
2
3
π
 + 2kp < x < 
4
3
π
 + 2kp
v
uO
1
2
4π
3
2π
3
RESOLUÇÃO DE TG X > M
Marcamos sobre o eixo das tangentes o ponto T, tal que 
AT = m. Traçamos a reta r = OT. As imagens dos reais x, 
tais que tg x > m, estão na interseção do ciclo com o ângulo 
TOB + kp, para k ∈ . 
Para completar, descrevemos os intervalos que convêm 
ao problema.
v
AA’
x
u
r
T
O
B’
B
exemplo
Resolver a inequação tg x > 1, em .
Procedendo conforme foi indicado, para k ∈	, temos:
π
4
 + 2kp < x < π
2
 + 2kp	ou 5
4
π
 + 2kp < x < 3
2
π
 + 2kp,
que podem ser resumidos em:
π
4
 + kp < x < 
π
2
 + kp
v
0 uO
π
2
π
π
4
3π
2
5π
4
1
RESOLUÇÃO DE TG X < M
Marcamos sobre o eixo das tangentes o ponto T, tal que 
AT = m. Traçamos a reta r = OT. As imagens dos reais x, 
tais que tg x < m, estão na interseção do ciclo com o 
ângulo TOB’ + kp, para k ∈ .
Para completar, descrevemos os intervalos que convêm 
ao problema.
v
x
u
r
T
O
B’
A’ A
B
exemplo
Resolver a inequação tg x < ¹3, em .
Procedendo conforme foi indicado, para k ∈ , temos:
0 + 2kp ≤ x < π
3
 + 2kp		ou π
2
 + 2kp < x < 4
3
π
 + 2kp
ou 
3
2
π
 + 2kp < x < 2p	+ 2kp,
que podem ser resumidos em:
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
69Editora Bernoulli
Equações e inequações trigonométricas
π
2
 + kp < x < 
4
3
π
 + kp 
v
¹3
0 uO
π
2
π
π
3
3π
2
4π
3
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFU-MG) Considere que f e g são as funções 
reais de variável real dadas, respectivamente, por 
f(x) = 1 + sen (2x) e g(x) = 1 + 2.cos (x). Desse modo, 
podemos afirmar que, para x ∈ [0,2p), os gráficos de 
f e g cruzam-se em
A) 1 ponto. C) 3 pontos.
B) 2 pontos. D) nenhum ponto.
02. (Unifor-CE) Para todo número inteiro k, o conjunto 
solução de (cos x + sen x)4 = 0 é o conjunto dos números 
reais x iguais a
A) 
π
2
 + kp C) π
4
 + 
kπ
2
 E) 
3
4
π
 + 2kp
B) 
π
4
 + kp D) 
3
4
π
 + kp 
03. (UFJF-MG) O conjunto solução da equação |cos 2x| = 0 é
A) {x ∈ ; x = 2kp, k ∈ }
B) x x k k∈ = ± ∈








� �; ,2
2
π π
C) x x k k∈ = ± ∈








� �; ,π π
4
D) {x ∈ ; x = kp, k ∈ }
04. (Mackenzie-SP) Se a é a soma das soluções da equação 
cos sen .sen .cos
x x x x
2 2
2
2 2
2 2





 =





 + , resolvida em [0, 2p], 
então o valor de sen 
α
2
 é
A) –
2
2
 B) 
1
2
 C) 
2
2
 D) 
3
2
 E) –
3
2
05. (VUNESP) O conjunto solução de |cos x| < 1
2
, para 
0 < x < 2p, é definido por
A) 
π π π π
3
2
3
4
3
5
3
< < < <x ou x
B) 
π π π π
6
5
6
7
6
11
6
< < < <x ou x
C) 
π π
3
2
3
< <x
D) 
π π
6
5
6
< <x
E) 
π π π π
6
2
6
4
6
11
6
< < < <x ou x
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFLA-MG–2009) O conjunto verdade (conjunto solução) 
da equação sen x = 
2
2
 é
A) x x k k∈ = ± + ∈








� �| ,
π π
4
2
B) x x k k x x k k∈ = + ∈








∪ ∈ = + ∈


� � � �| , | ,π π π π
4
2
3
4
2





C) x x k k x x k k∈ = + ∈








∩ ∈ = + ∈


� � � �| , | ,π π π π
4
2
3
4
2





D) x x k k x x k k∈ = + ∈








∪ ∈ = − + ∈

� � � �| , | ,
π π π π
4
2
3
4
2





02. (UNIRIO-RJ) O conjunto solução da equação cos 2x = 1
2
, 
sendo x um arco da 1ª volta positiva, é dado por
A) {60°, 300°} D) {30°, 150°, 210°, 330°}
B) {30°, 330°} E) {15°, 165°, 195°, 345°}
C) {30°, 150°}
03. (UFRGS) O c on j un t o s o l u ção da equação 
sen x + cos x = 0 é
A) k kπ π− ∈







4
;  D) 2
3
4
k kπ π− ∈








; 
B) k kπ π+ ∈







4
;  E) k kπ π. ;
4
∈









C) 2
3
4
k kπ π+ ∈








; 
04. (CEFET-MG–2009) O conjunto solução da equação 
cos x −





 =
π
6
1
2
 para x ∈ [0, 2p] é
A) 
π π
3
5
3
,








 C) 
π π
3
11
6
,








 E) 
π π
3 2
,








B) 
π π
2
11
6
,








 D) 
π π
2
5
3
,








 
70 Coleção Estudo
Frente E Módulo 06
05. (UFJF-MG–2009) Os valores de x ∈ [0, 3p] que satisfazem 
a desigualdade cos x< –
3
2
 são
A) 
5
6
7
6
π π
,








 D) 
5
6
7
6
17
6
19
6
π π π π
, ,








∪








B) 
5
6
3
π π,








 E) 
5
6
7
6
17
6
3
π π π π, ,








∪








C) 
5
6
19
6
π π
,








06. (Unifor-CE) O número de soluções da equação 
2.sen x.cos x = 4 no intervalo [0, 2p] é
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
07. (UNIRIO-RJ) O conjunto solução da equação sen x = cos x, 
sendo 0 ≤ x < 2p, é
A) 
π
4






 C) 
5
4
π




 E) 
π π
4
5
4
,






B) π
3






 D) π π
3
4
3
,






08. (UFV-MG) Se 2.cos2 q – 3.cos q + 1 = 0 e 0 ≤ q ≤ π
2
, 
então
A) q = π
4
 ou q = 
π
6
B) sen q = 1 ou sen q = 1
2
C) sen q = 0 ou sen q = 3
2
D) q = π
4
 ou q = 
π
8
E) q = 0 ou cos q = 3
2
09. (UEL-PR) Se x ∈	[0, 2p], então cos x > 1
2
 se, e somente 
se, x satisfizer à condição
A) 
π
3
 < x < 
5
3
π
B) 
π
3
 < x < 
π
2
C) p < x < 2p
D) 
π
3
 < x < 
3
2
π
 ou 
5
3
π
 < x < 2p
E) 0 ≤ x < 
π
3
 ou 
5
3
π
 < x ≤ 2p
10. (Cesgranrio) O arco x é medido em radianos. Então, 
a soma das duas menores raízes positivas de cos2 x = 
1
2
 é
A) 
4
5
π
 B) p C) 
2
3
π
 D) 
3
2
π
 	 E) 
5
4
π
11. (UFC) Considere a equação cos2 x – cos x – 2 = 0. 
Pode-se afirmar que a soma de suas soluções que 
pertencem ao intervalo [0, 4p] é
A) 1 B) –1 C) 0 D) 4p E) 2p
12. (Unimontes-MG–2009) As soluções da equação 
cos2 x + cos x = 0, no intervalo [0, 2p], são
A) 
π
2
, p, 3
2
π
 e 2p C) 0, 3
2
π
 e 2p
B) 
π
2
, p e 3
2
π
 D) 0, 
π
2
 e p
13. (UFTM-MG–2008) Na figura, na qual estão representados 
os gráficos das funções f(x) = x.sen2 x e g(x) = x.cos2 x, 
p é um ponto onde dois gráficos se interceptam.
y
xkO
P
Se k é a abscissa do ponto p, então o valor de f(2k) 
é igual a
A) 
5
2
π
 B) 
3
2
π
 C) 
3 2
4
π
 D) 
3
8
π
 E) 0
14. (UEL-PR) Se x ∈	[0, 2p], o número de soluções da equação 
cos 2x = sen 
π
2
−





x é
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
15. (UFU-MG) O conjunto solução da desigualdade
sen ( )x − <
1
4
1
4
,
para 0 < x < 2p, é igual a
A) 0
6
7
6
< < < <






x ou x
π π π
B) 
5
6
11
6
2
π π π π< < < <






x ou x
C) 0
6
5
6
7
6
< < < <






x ou x
π π π
D) 
5
6
7
6
π π π π< < < <






x ou x
E) 0
6
5
6
< < < <






x ou x
π π π
GABARITO
Fixação
01. B 02. D 03. C 04. C 05. A
Propostos
01. B 04. B 07. E 10. B 13. B
02. D 05. E 08. C 11. D 14. D
03. A 06. A 09. E 12. B 15. E
FRENTE
71Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
Sistema cartesiano e ponto 07 E
SISTEMA CARTESIANO – 
COORDENADAS DE UM PONTO
Sejam x e y dois eixos perpendiculares entre si e com 
origem comum o, conforme a fi gura a seguir:
O
y
x
Nessas condições, diz-se que x e y formam um sistema 
cartesiano retangular (ou ortogonal), e o plano por eles 
determinado é chamado plano cartesiano.
Eixo x (ou Ox): eixo das abscissas
Eixo y (ou Oy): eixo das ordenadas
o: origem do sistema
A cada ponto p do plano, corresponderão dois números: 
a (abscissa) e b (ordenada), associados às projeções 
ortogonais de p sobre o eixo x e sobre o eixo y, respectivamente.
Assim, o ponto p tem coordenadas a e b, e será indicado 
analiticamente pelo par ordenado (a, b).
O a
b P(a, b)
y
x
Nota:
Neste estudo, será utilizado somente o sistema cartesiano 
retangular, que será chamado, simplesmente, sistema 
cartesiano.
OBSERVAçÕES
i) Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro 
regiões ou quadrantes Q, que são numerados, como 
na fi gura a seguir:
2º Q 1º Q
O
3º Q 4º Q
y
x
ii) Neste curso, a reta suporte das bissetrizes do 1º e do 
3º quadrantes será chamada bissetriz dos quadrantes 
ímpares e indicada por bi. A do 2º e 4º quadrantes 
será chamada bissetriz dos quadrantes pares e 
indicada por bp.
bp bi
y
xO
Propriedades
i) Todo ponto P(a, b) do 1º quadrante tem abscissa 
positiva (a > 0) e ordenada positiva (b > 0) e 
reciprocamente.
P(a, b) ∈ 1º Q ⇔ a > 0 e b > 0
 Assim: P(3, 2) ∈	1º Q
O 3
2 P
y
x
ii) Todo ponto P(a, b) do 2º quadrante tem abscissa 
negativa (a < 0) e ordenada positiva (b > 0) e 
reciprocamente.
P(a, b) ∈ 2º Q ⇔ a < 0 e b > 0
72 Coleção Estudo
Frente E Módulo 07
 Assim: P(–3, 2) ∈	2º Q
O–3
2P
y
x
iii) Todo ponto P(a, b) do 3º quadrante tem abscissa 
negativa (a < 0) e ordenada negativa (b < 0) e 
reciprocamente.
P(a, b) ∈ 3º Q ⇔ a < 0 e b < 0
 Assim: P(–3, –2) ∈ 3º Q
O
–3
–2
P
y
x
iv) Todo ponto P(a, b) do 4º quadrante tem abscissa 
positiva (a > 0) e ordenada negativa (b < 0) e 
reciprocamente.
P(a, b) ∈ 4º Q ⇔ a > 0 e b < 0
 Assim: P(3, –2) ∈ 4º Q
O
3
–2
P
y
x
v) Todo ponto do eixo das abscissas tem ordenada nula 
e reciprocamente.
P(a, b) ∈ Ox ⇔ b = 0 
 Assim: P(3, 0) ∈ Ox
O
P
3
y
x
vi) Todo ponto do eixo das ordenadas tem abscissa nula 
e reciprocamente.
P(a, b) ∈ Oy ⇔ a = 0
 Assim: P(0, 3) ∈ Oy
O
P3
y
x
vii) Todo ponto P(a, b) da bissetriz dos quadrantes 
ímpares tem abscissa e ordenada iguais (a = b) e 
reciprocamente.
P(a, b) ∈ bi ⇔ a = b
 Assim: P(–2, –2)	∈ bi
O
P
bi
–2
–2
y
x
viii) Todo ponto P(a, b) da bissetriz dos quadrantes 
pares tem abscissa e ordenada opostas (a = –b) e 
reciprocamente.
P(a, b) ∈ bp ⇔ a = –b
 Assim: P(–2, 2) ∈ bp
O
Pbp
–2
2
y
x
PONTO MÉDIO
Considerem-se os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB). Sendo 
M(xM, yM) o ponto médio de AB (ou BA), tem-se: 
xM = 
x x
A B
+
2
 e yM = 
y y
A B
+
2
Ou seja, o ponto M é dado por:
M
x x y y
A B A B
+ +






2 2
,
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
73Editora Bernoulli
Sistema cartesiano e ponto
Demonstração:
O
B
M
A
B”(yB)
M”(yM)
A”(yA)
A’(xA) M’(xM) B’(xB)
y
x
Se M é ponto médio de AB (ou BA), pelo Teorema de Tales, 
para o eixo x, pode-se escrever:
A’M’ = M’B’ ⇒ xM – xA = xB – xM ⇒
2.xM = xA + xB ⇒ xM = 
x x
A B
+
2
Analogamente, para o eixo y, tem-se: yM = 
y y
A B
+
2
 
Portanto, as coordenadas do ponto médio M do segmento 
AB (ou BA) são, respectivamente, as médias aritméticas das 
abscissas de A e B e das ordenadas de A e B.
BARICENTRO DE UM 
TRIÂNGULO
Seja o triângulo ABC de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e 
C(xC, yC). O baricentro (ponto de encontro das medianas) 
do triângulo ABC tem coordenadas:
xG = 
x x x
A B C
+ +
3
 e yG = 
y y y
A B C
+ +
3
Ou seja, o ponto G é dado por:
G
x x x y y y
A B C A B C
+ + + +






3 3
,
Demonstração:
O
B
C
MG
A
A’(xA) M’(xM)G’(xG)
y
x
Considerando a mediana AM, o baricentro G é tal que:
AG = 2.GM
Pelo Teorema de Tales, para o eixo x, podemos escrever:
A’G’ = 2.G’M’
xG – xA = 2(xM – xG) ⇒ 3.xG = xA + 2.xM
E, como xM = 
x x
B C
+
2
, tem-se:
3.xG = xA + 2
x x
B C
+





2
 ⇒ xG = 
x x x
A B C
+ +
3
Analogamente, para o eixo y, tem-se:
yG = 
y y y
A B C
+ +
3
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Considerem-se dois pontos distintos A(xA, yA) e B(xB, yB), 
tais que o segmento AB não seja paralelo a algum dos eixos 
coordenados.
Traçando-se por A e B as retas paralelas aos eixos 
coordenados que se interceptam em C, tem-se o triângulo 
ACB, retângulo em C.
O
B
d
C
A
y
yB
yA
xA xB
∆y ∆y
∆x
∆x x
A distância entre os pontos A e B que se indica por d é 
tal que:
d = x x y yA B A B−( ) + −( )
2 2
OBSERVAçÕES
i) Como (xB – xA)2 = (xA – xB)2, a ordem escolhida para 
a diferença das abscissas não altera o cálculo de d. 
O mesmo ocorre com a diferença das ordenadas.
ii) A fórmula para o cálculo da distância continua válida se 
o segmento AB é paralelo a um dos eixos, ou, ainda, 
se os pontos A e B coincidem, caso em que d = 0. 
74 Coleção Estudo
Frente E Módulo 07
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UFMG–2008) Nesta figura, está representado um 
quadrado de vértices ABCD.
B(3, 4)
A(0, 0)
D(a, b)
C
y
xO
Sabe-se que as coordenadas cartesianas dos pontos 
A e B são A(0, 0) e B(3, 4). Então, é CoRReTo afirmarque o resultado da soma das coordenadas do vértice D é
A) –2 B) –1 C) –
1
2
 D) –
3
2
02. (UFMG–2007) Seja P(a, b) um ponto no plano cartesiano, 
tal que 0 < a < 1 e 0 < b < 1. As retas paralelas aos eixos 
coordenados que passam por p dividem o quadrado de 
vértices (0, 0), (2, 0), (0, 2) e (2, 2) nas regiões I, II, 
III e IV, como mostrado nesta figura:
y
O
P
I
IV III
II
x
b
2
2
a
Considere o ponto Q = (¹a2 + b2, ab).
Então, é CoRReTo afirmar que o ponto Q está na região
A) I. C) III.
B) II. D) IV.
03. (Cesgranrio) Os pontos M, N, p e Q do 2 são os vértices 
de um paralelogramo situado no primeiro quadrante. 
Se M(3, 5), N(1, 2) e P(5, 1), então o vértice Q é
A) (7, 4) D) (8, 6)
B) (6, 5) E) (6, 3)
C) (9, 8)
04. (UFMG) A área de um quadrado que tem A(4, 8) e B(–2, 2)
como vértices opostos é
A) 36 D) 16 
B) 20 E) 12
C) 18
05. (UFMG–2010) Os pontos A(0, 3), B(4, 0) e C(a, b) são 
vértices de um triângulo equilátero no plano cartesiano. 
Considerando-se essa situação, é CoRReTo afirmar que
A) b = 
4
3
a 
B) b = 
4
3
a – 
7
6
 
C) b = 
4
3
a + 3 
D) b = 
4
3
a – 
3
2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (FUVEST-SP) Sejam A(1, 2) e B(3, 2) dois pontos do 
plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido 
do segmento AB por uma rotação de 60°, no sentido 
anti-horário, em torno do ponto A. As coordenadas do 
ponto C são
A) (2, 2 + ¹3) 
B) 1 3
5
2
+








,
C) (2, 1 + ¹3)
D) (2, 2 – ¹3)
E) (1 + ¹3, 2 + ¹3)
02. (Mackenzie-SP–2009)
y
A B
xO
A figura mostra uma semicircunferência com centro na 
origem. Se o ponto A é (–¹2, 2), então o ponto B é
A) (2, ¹2) D) (¹5, 1)
B) (¹2, 2) E) (2, ¹5)
C) (1, ¹5)
03. (UFMG) Se A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1) são os vértices 
de um quadrado, então P 1
3
1
3
,




 pertence
A) ao lado AB.
B) ao lado BC.
C) ao lado CD.
D) à diagonal AC.
E) à diagonal BD.
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
75Editora Bernoulli
Sistema cartesiano e ponto
04. (UFMG) Seja P(x, y) um ponto equidistante dos eixos 
coordenados e de distância 1 da origem. Pode-se afirmar 
que o número de pontos que satisfazem essas condições é
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3 
05. (UFMG) A distância entre os pontos A(2a, –3a) e B(3, 2) 
é ¹26. Pode-se afirmar que os possíveis valores de a são
A) –¹2 e ¹2 
B) 1 – ¹2 e 1 + ¹2
C) –1 e 1
D) –2 e 2
E) –3 e 2
06. (UFMG) Seja Q(–1, a) um ponto do 3º quadrante. 
O valor de a, para que a distância do ponto P(a, 1) ao 
ponto Q seja 2, é
A) –1 – ¹2 D) –1 + ¹2
B) 1 – ¹2 E) –1
C) 1 + ¹2 
07. (UFOP-MG–2008) O baricentro de um triângulo é o 
ponto de encontro de suas medianas. Sendo assim, 
as coordenadas cartesianas do baricentro do triângulo 
de vértices (2, 2), (–4, –2) e (2, –4) são
A) 0
4
3
, −





 C) 0
3
4
, −






B) 0
5
4
, −





 D) 
1
2
3
2
, −






08. (UFAL) Sejam P(2, 1) e o ponto Q, de abscissa 4, localizado 
no 1º quadrante. Se a distâcia de Q a p é igual à distância 
de Q ao eixo das abscissas, então Q é o ponto
A) 5
2
4,



 
B) 4
5
2
,



 
C) (4, 3)
D) (2, 4)
E) (4, 4)
09. (UECE) Se o ponto P1(x1, y1) é equidistante dos pontos 
O(0, 0), M(7, –7) e N(8, 0), então x21 + y
2
1 é igual a
A) 13 
B) 17 
C) 25 
D) 29 
E) N.d.a.
10. (UCDB-MS) Um triângulo tem vértices A(15, 10), B(6, 0), 
C(0, 10). Então, a mediana AM mede
 A) 10 u.c. 
B) 12 u.c. 
C) 11 u.c. 
D) 13 u.c
E) 9 u.c.
11. (FEI-SP) Os pontos X, Y e Z possuem, respectivamente, 
as seguintes coordenadas no plano cartesiano: (0, 0), 
(m, 8), (n, n + 3). Se Z é o ponto médio do segmento X Y, então
A) m = 2
B) m = 1
C) n = 3
D) m = 5
E) n = 2
12. (UCSal-BA) Na figura, o triângulo ABC é equilátero, sendo 
A e B, respectivamente, os pontos (0, 0) e (4, 0).
A
C
BO x
y
As coordenadas do ponto C são
A) (2, 1) D) (3, 3¹3)
B) (2, 2) E) (3, 2)
C) (2, 2¹3)
13. (UFU-MG) Considere, no plano cartesiano com origem o, 
um triângulo cujos vértices A, B e C têm coordenadas 
(–1, 0), (0, 4) e (2, 0), respectivamente. Se M e N são 
os pontos médios de AB e BC, respectivamente, a área 
do triângulo OMN será igual a
A) 
5
3
 u.a. 
B) 
8
5
 u.a. 
C) 1 u.a.
D) 
3
2
 u.a.
76 Coleção Estudo
Frente E Módulo 07
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–1999) José e Antônio viajarão em seus carros com 
as respectivas famílias para a cidade de Serra Branca. 
Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um 
encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarão, 
de modo independente, entre meio-dia e 1 hora da 
tarde. Entretanto, como não querem ficar muito tempo 
esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que 
chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no máximo, 
meia hora; após esse tempo, seguirá viagem sozinho. 
Chamando de x o horário de chegada de José e de y o 
horário de chegada de Antônio, e representando os pares 
(x, y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR 
indicada a seguir corresponde ao conjunto de todas as 
possibilidades para o par (x, y).
1
10 Chegada
de José
Chegada de
Antônio
QP
RO
(12h) (13h)
(13h)
Na região indicada, o conjunto de pontos que representa 
o evento “José e Antônio chegam ao marco inicial 
exatamente no mesmo horário” corresponde
A) à diagonal OQ. 
B) à diagonal PR. 
C) ao lado PQ.
D) ao lado QR.
E) ao lado OR.
02. O mapa de certa cidade foi dividido em quatro quadrantes, 
por meio de duas retas perpendiculares e numeradas, que 
se cortam no ponto (0, 0), cada um deles correspondendo 
a um quadrante do plano cartesiano. O sentido positivo do 
eixo y é o norte, e o sentido positivo do eixo x é o leste. 
Edificações que, nessa cidade, estiverem a mais de um 
quilômetro a oeste e a mais de um quilômetro ao norte 
do ponto (0, 0) estarão localizadas no
A) primeiro quadrante.
B) segundo quadrante.
C) terceiro quadrante.
D) quarto quadrante.
E) ponto (0, 0).
03. (Enem–2010) Um foguete foi lançado do marco zero de 
uma estação e após alguns segundos atingiu a posição 
(6, 6, 7) no espaço, conforme mostra a figura. As distâncias 
são medidas em quilômetros. 
y
(0, 0, 0)
(6, 6, 7)
x
z
Considerando que o foguete continuou sua trajetória, 
mas se deslocou 2 km para frente na direção do 
eixo x, 3 km para trás na direção do eixo y, e 11 km para 
frente, na direção do eixo z, então o foguete atingiu a 
posição 
A) (17, 3, 9) D) (4, 9, –4) 
B) (8, 3, 18) E) (3, 8, 18)
C) (6, 18, 3) 
GABARITO
Fixação
01. B 02. B 03. A 04. A 05. B
Propostos
01. A 08. B
02. A 09. C
03. D 10. D
04. D 11. A
05. C 12. C
06. E 13. D
07. A
Seção Enem
01. A 02. B 03. B
FRENTE
77Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
Estudo analítico da reta 08 E
INCLINAÇÃO DE UMA RETA
Considere-se, no plano cartesiano, uma reta r concorrente 
com o eixo x no ponto p. 
Chama-se inclinação de r a medida do ângulo a que r 
forma com o eixo Ox, sendo esse ângulo medido a partir do 
eixo x no sentido anti-horário.
y
r
α
O P x
Sendo r paralela ao eixo x (horizontal), define-se como 
inclinação de r o ângulo de medida zero, isto é, a = 0°.
Então:
a = 0° (nulo) 0° < a < 90° (agudo)
y
r
O x
y
r
O x
α
a = 90° (reto) 90° < a	< 180° (obtuso)
y
α
r
O x
y
r
O x
α
COEFICIENTE ANGULAR
DE UMA RETA
Considerando-se uma reta r não perpendicular ao eixo x 
(não vertical), ou seja, tal que a ≠ 90°, chama-se coeficiente 
angular (ou declividade) da reta r o número m, tal 
que m = tg a.
OBSERVAçãO
i) A inclinação m de uma reta é tal que 0° ≤ a < 180°.
ii) No plano cartesiano, duas retas paralelas têm a mesma 
inclinação.
y
r
α
O x
s
α
Se a = 90°, então a reta não tem coeficiente angular.
Assim, tem-se:
i) y
m = 0
r
O x
ii) y
∃ m
r
O x
iii) y
m > 0
r
O x
α
iv) y
r
O x
α
m < 0
Isto é:
i) Se a = 0°, então m = 0.
ii) Se a		= 90°, então não existe m.
iii) Se 0 < a < 90°, então m > 0.
iv) Se 90º < a < 180°,então m < 0.
78 Coleção Estudo
Frente E Módulo 08
exemplo
Dar os coefi cientes angulares das retas r, s, t e u.
A) y
r
O x
 C) y
60º
t
O x
B) y s
O x
 D) y
u
O x
135º
Resolução:
A) ar = 0° ⇒ mr = tg 0° ⇒ mr = 0
B) as = 90° ⇒ não existe ms.
C) at = 60° ⇒ mt = tg 60° ⇒ mt = ¹3
D) au = 135° ⇒	mu = tg 135° ⇒ mu = –1
COEFICIENTE ANGULAR 
DE UMA RETA QUE PASSA 
POR DOIS PONTOS DADOS
Considerem-se dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), tais que 
xA ≠ xB e yA ≠ yB, isto é, a reta AB não é paralela aos eixos 
coordenados. Há dois casos a se considerar:
1º caso: a < 90°
Do triângulo ABC, tem-se:
m = tg a = CB
CA
y y
x x
B A
B A
=
−
−
y
B
C
yB
yA
xA xB
α
xO
αA
2º caso: a > 90°
Do triângulo ABC, tem-se:
tg b = 
CB
CA
y y
x x
B A
A B
=
−
−
y
A
B
C
yB
yA
xAxB xO
β
β
α
Como a	+ b = 180º, tem-se tg a = –tg b.
Logo: m = tg a = –
y y
x x
y y
x x
B A
A B
B A
B A
−
−
=
−
−
Portanto, para os dois casos, tem-se:
m = 
y y
x x
B A
B A
−
−
OBSERVAçÕES
i) Se a reta AB é paralela ao eixo x (yA = yB e xA ≠ xB), 
tem-se m = 0, e a fórmula continua válida.
ii) Se a reta AB é perpendicular ao eixo x (xA = xB e yA ≠ yB),
não existe m, pois xA – xB = 0.
exemplos
1º) Qual o coefi ciente angular das retas que passam nos 
seguintes pontos:
A) 
A
B
( , )
( , )
2 1
4 9




 ⇒ m
y y
x x
m m
AB
B A
B A
AB AB
=
−
−
⇒ = −
−
⇒ =9 1
4 2
4
B) 
A
B
( , )
( , )
− 



1 2
0 5
 ⇒ m
y y
x x
m m
AB
B A
B A
AB AB
=
−
−
⇒ = −
− −
⇒ =5 2
0 1
3
( )
2º) Qual o coefi ciente angular da reta r na fi gura?
y
B
2O
A
x
1
r
 Resolução:
 Temos: A(2, 0) e B(0, 1)
 m = m
y y
x x
m m
r
B A
B A
=
−
−
⇒ = −
−
⇒ = −1 0
0 2
1
2
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
79Editora Bernoulli
Estudo analítico da reta
EQUAÇÃO FUNDAMENTAL 
DE UMA RETA
No plano cartesiano, uma reta fi ca determinada por um 
dos dois modos:
1º modo: Conhecendo-se um de seus pontos e sua 
declividade, que é dada pela inclinação da reta.
2º modo: Conhecendo-se dois pontos distintos que 
pertencem a ela.
Vejamos, então, como se obtém a equação de uma reta.
1º modo: Temos dois casos a considerar:
i) A reta tem coefi ciente angular.
Obter uma equação da reta r, que passa pelo ponto 
P(x0, y0) e tem coefi ciente angular m.
Sendo Q(x, y) um ponto genérico de r, distinto 
de p, então o coefi ciente angular m da reta pode ser 
calculado a partir de p e Q.
y
y
P
Q r
y0
x0
x – x0
y – y0
x xO
m = 
y y
x x
−
−
0
0
 (1)
A relação (1) entre as coordenadas dos pontos p e Q 
pode ser escrita na forma:
y – y0 = m(x – x0) (2)
Note que se P = Q, então x = x0 e y = y0, e a relação (2) 
continua verdadeira, pois y0 – y0 = m(x0 – x0).
Assim:
A equação fundamental da reta que passa pelo ponto 
P(x0, y0) e tem coefi ciente angular m é:
y – y0 = m(x – x0)
ii) A reta não tem coefi ciente angular.
Obter uma equação da reta r que passa pelo ponto 
P(x0, y0) e tem inclinação 90° (reta vertical).
y
P
r
y0
x0 = xO x
Qy
 Sendo r uma reta vertical e Q(x, y) um ponto genérico 
de r, tem-se:
 
x = x0
 exemplo
 Escrever uma equação da reta que passa pelo ponto 
P(2, 5) e é perpendicular ao eixo x.
Resolução:
y r
2O x
P(2, 5)5
x = x0, isto é, x = 2, ou seja, x – 2 = 0.
2º modo: Obter uma equação da reta que passa por dois 
pontos distintos A(xA, yA) e B(xB, yB).
Procede-se da seguinte maneira:
i) Calcula-se o coefi ciente angular m da reta AB.
m = 
y y
x x
B A
B A
−
−
ii) Com o coefi ciente angular m e qualquer um dos dois 
pontos dados, recai-se no 1º modo. 
Assim, tomando-se o ponto A, tem-se:
y – yA = m(x – xA)
 Que é a equação fundamental da reta que passa pelos 
pontos A e B.
80 Coleção Estudo
Frente E Módulo 08
FORMAS DE REPRESENTAÇÃO 
DE UMA RETA
Equação reduzida
Considere-se a reta r que passa pelo ponto P(0, n) e tem 
coefi ciente angular m.
y
O x
mr = m
P(0, n)
r
Sua equação fundamental é:
y – n = m(x – 0)
Segue-se que:
y = mx + n
Esta é chamada equação reduzida da reta. 
OBSERVAçÕES
i) A equação reduzida de uma reta fornece diretamente 
o coefi ciente angular m e a ordenada n do ponto 
onde esta reta intercepta o eixo y.
ii) As retas de inclinação igual a 90° não possuem 
equação reduzida.
Equação geral
No plano cartesiano, toda equação de uma reta pode ser 
escrita na forma ax + by + c = 0, com a ≠ 0 ou b ≠ 0.
De fato:
Sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) dois pontos distintos, 
e xA ≠ xB, temos:
mAB = 
y y
x x
B A
B A
−
−
A equação fundamental da reta que passa por A e B é:
y – yA = 
y y
x x
B A
B A
−
−
(x – xA) ⇒
(y – yA)(xB – xA) = (yB – yA)(x – xA) ⇒
yxB – yxA – yAxB + yAxA = yBx – yBxA – yAx + yAxA ⇒
(yA – yB)x + (xB – xA)y + yBxA – yAxB = 0
Fazendo yA – yB = a, xB – xA = b e yBxA – yAxB = c, 
a equação fi ca:
ax + by + c = 0
E, se xA = xB, a equação fi ca ax + 0y + c = 0, que é a 
equação de uma reta paralela ao eixo y.
Reciprocamente, no plano cartesiano, a equação 
ax + by + c = 0 com a ≠ 0 ou b ≠ 0 representa uma reta.
De fato:
Se b ≠ 0, tem-se: 
by = –ax – c ⇒
y = − −a
b
x
c
b
Comparando-se com a equação reduzida y = mx + n, 
tem-se:
 
y
O x
m =
n = c
b
a
b
m
a
b
e n
c
b
= − = −
Se b = 0, tem-se ax + c = 0, ou seja, x = − c
a
.
y r
O xc
a
A reta é perpendicular ao eixo x.
A equação na forma
ax + by + c = 0
(a ≠ 0 ou b ≠ 0)
é chamada equação geral da reta.
OBSERVAçÕES
i) Se c = 0, a equação fi ca ax + by = 0, e a reta passa 
pela origem (0, 0).
 De fato: a.0 + b.0 = 0
 Assim, por exemplo, a reta (r) 2x + 3y = 0 passa 
pela origem.
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
81Editora Bernoulli
Estudo analítico da reta
ii) Se a = 0, a equação fi ca by + c = 0, e a reta é paralela 
ao eixo x.
 De fato: by + c = 0 ⇒ y = − c
b
 Assim, por exemplo, a reta (r) 2y + 5 = 0 é paralela ao 
eixo x.
iii) Se b = 0, a equação fi ca ax + c = 0, e a reta é paralela 
ao eixo y.
 De fato: ax + c = 0 ⇒ x = − c
a
 Assim, por exemplo, a reta (r) 2x – 7 = 0 é paralela 
ao eixo y.
OBSERVAçãO
Toda reta do plano cartesiano possui infi nitas equações na 
forma geral. Assim, se ax + by + c = 0 é a equação de uma 
reta, então a equação k(ax + by + c) = 0, k ≠ 0, representa 
a mesma reta, pois são equações equivalentes, isto é, possuem 
as mesmas soluções. 
Assim, por exemplo, x + 2y + 3 = 0 e 3(x + 2y + 3) = 0 
representam a mesma reta.
Equação segmentária
Considere-se uma reta r que intercepta o eixo x no ponto 
P(p, 0) e o eixo y no ponto Q(0, q), com p ≠ 0 e q ≠ 0.
A equação da reta r pode ser escrita na forma
x
p
y
q
+ = 1
que é chamada equação segmentária da reta r.
De fato: m = 
q
p
q
p
−
−
= −0
0
Assim: y – 0 = − q
p
.(x – p)
Ou seja, py = –qx + pq ⇒ qx + py = pq e, dividindo-se 
ambos os membros por pq,
x
p
y
q
+ = 1
OBSERVAçãO
Se uma reta é paralela a um dos eixos ou passa pela 
origem, então sua equação não pode ser escrita na forma 
segmentária.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. (UNIRIO-RJ)
O–2
120º
x
y
A equação reduzida da reta representada anteriormente é
A) 3x – ¹3y + 6 = 0
B) 3x + ¹3y + 6 = 0
C) ¹3x – y – 2 = 0
D) y = ¹3x + 2¹3
E) y = 
3
3
(x + 2)
02. (UFMG) Observe os gráficos da reta r e da função 
quadrática.
 
y
y = x2 – 1
a
–2 xO
r
A equação da reta r é
A) x – 2y – 2 = 0 
B) –2x + y + 1 = 0 
C) x + y – 2 = 0 
D) x + y + 1 = 0
E) x + y – 1 = 0
03. (UFMG) O ponto P 1
2
, b





 pertence à curva y = 
1
16






x
.
A equação da reta que passa por p e tem coefi ciente 
angular 2 é
A) 2x – y = 0 
B) 2x + y = 0 
C) 8x – 4y – 3 = 0
D) 4x – 2y – 1 = 0
E) 8x – 4y – 5 = 0
82 Coleção Estudo
Frente E Módulo 08
04. (UFMG) Sejam A e B dois pontos da reta de equação 
y = 2x + 2, que distam duas unidades da origem. Nesse 
caso, a soma das abscissas de A e B é
A) 
5
8
 
B) –
8
5
 
C) –
5
8
 
D) 
8
5
05. (UFMG) Observe a figura.
4
y
2 xO
O gráfico da função f(x) = ax + b está representado nessa 
figura. O valor de a + b é
A) –2 
B) 2 
C) 
7
2D) 
9
2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFMG) A reta y = ax + 1 intercepta a bissetriz do primeiro 
quadrante num ponto de abscissa –4. O valor de a é
A) –
3
4
 
B) –
1
4
 
C) 
1
4
D) 
3
4
E) 
5
4
02. (UFJF-MG–2010) Na malha quadriculada a seguir, cujos 
quadrados têm lados medindo 10 metros, encontra-se o 
mapa de um tesouro.
Rio
Pinheiros
Muro
N
S
O L
Sobre o tesouro, sabe-se que
• encontra-se na direção determinada pelos dois 
pinheiros;
• está a 110 metros a leste do muro.
O valor que MelhoR aproxima a distância do tesouro 
à margem do rio, em metros, é
A) 44,3 
B) 45,3 
C) 45,7
D) 46,7
E) 47,3
03. (Unimontes-MG–2009) Um raio luminoso, emitido por 
uma lanterna localizada no ponto M(4, 8), reflete-se 
em N(6, 0). A equação da semirreta r, trajetória do raio 
refletido, é
8
8
y
xO 4 N
M P
A) y + 4x – 24 = 0 
B) y – 4x – 24 = 0 
C) y – 4x + 24 = 0
D) y + 4x + 24 = 0
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
83Editora Bernoulli
Estudo analítico da reta
04. (FGV-SP) A reta da figura a seguir intercepta o eixo das 
abscissas no ponto
y
3
2
2,5
1
1 2 3 4 xO
A) (–10, 0) D) (–13, 0)
B) (–11, 0) E) (–14, 0)
C) (–12, 0)
05. (UFOP-MG–2009) A reta r contém os pontos (–1, –3) e 
(2, 3). O valor de m, de modo que o ponto (m, 7) pertença 
a r, é
A) 1 C) 3
B) 2 D) 4
06. (FGV-SP) A equação da reta r da figura é
y
3
2
1
1 2 3 4 xO
5
4
5
r
A) y = 3x 
B) y = 
5
18
x 
C) y = 3x + 5
D) y = 
3
4
x
E) y = 4x + 2
07. (FGV-MG) A equação da reta que passa pela origem e pela 
interseção das retas 2x + y – 6 = 0 e x – 3y + 11 = 0 
tem a seguinte equação: 
A) y = 2x D) y = 5x
B) y = 3x E) y = 6x
C) y = 4x
08. (Mackenzie-SP) A distância do ponto de interseção das retas 
2x – 3y + 26 = 0 e 5x + 2y – 49 = 0 à origem é
A) 13 D) 18
B) 23 E) 17
C) 15 
09. (UNIFESP–2008) Dadas as retas r: 5x – 12y = 42, 
s: 5x + 16y = 56 e t: 5x + 20y = m, o valor de m para que 
as três retas sejam concorrentes num mesmo ponto é
A) 14 
B) 28 
C) 36
D) 48
E) 58
10. (Cesgranrio) Se (x, y) = (a, b) é a interseção das retas 
x + 2y = 5 e 2x – y = 10, então a + b vale
A) 3
B) 4
C) 5
D) 10
E) 15
11. (UECE) O perímetro do triângulo formado pelas interseções 
das retas x + y – 6 = 0, x = 1 e y = 1 é igual a
A) 2(1 + ¹2)
B) 4(2 + ¹2)
C) 4(1 + ¹2)
D) 2(2 + ¹2)
12. (FCMSC–SP) As retas r e s são definidas por y = 2x + 1 
e 3y + 2x – 2 = 0. A reta vertical que contém o ponto de 
interseção de r e s é definida por
A) x = –
3
8
B) y = 
1
4
C) x = –
1
8
D) x = 
3
8
E) 8y – 8x + 5 = 0
84 Coleção Estudo
Frente E Módulo 08
13. (UFMG) Observe a figura.
y
2
xO 3
r
60º
A ordenada do ponto de interseção da reta r com o eixo 
das ordenadas é
A) 2 – 3¹3 D) 3 – 2 3
3
B) 3 – 2¹3 E) 3¹3 – 2
C) 2 – ¹3
SEÇÃO ENEM
01. Considere um móvel que descreve uma trajetória com 
velocidade constante, cujo gráfico do espaço em função 
do tempo sai da origem do sistema cartesiano e contém 
o ponto P(¹3, 3). O ângulo que o segmento OP forma 
com o eixo das abscissas é
A) 0º D) 60º
B) 30º E) 90º
C) 45º
02. A composição do lucro L(x) de uma empresa depende da 
quantidade x de produtos vendidos, conforme o gráfico 
a seguir:
O 100 200 300 x
L(x)
A variação do lucro é maior quando a quantidade de 
produtos vendidos
A) está entre 0 e 100. 
B) está entre 100 e 200. 
C) está entre 200 e 300.
D) é maior que 300.
E) é indeterminada.
GABARITO
Fixação
01. D
02. E
03. C
04. B
05. B
Propostos
01. E
02. D
03. C
04. C
05. D
06. B
07. C
08. A
09. E
10. C
11. B
12. C
13. A
Seção Enem
01. D
02. C
Volume 03
MATEMÁTICA
2 Coleção Estudo
Su
m
ár
io
 -
 M
at
em
át
ic
a
Frente A
 05 3 Porcentagem
 Autor: Luiz Paulo
 06 9 Juros simples e compostos
 Autor: Luiz Paulo
Frente B
 05 15 Regra de três
 Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
 06 21 Geometria de posição e poliedros
 Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
Frente C
 05 29 Função quadrática
 Autor: Luiz Paulo
 06 37 Função composta e função inversa
 Autor: Luiz Paulo
Frente D
 05 45 Polígonos
 Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
 06 51 Ângulos na circunferência
 Autor: Paulo Vinícius Ribeiro
Frente E
 09 59 Posições relativas e distância de ponto a reta
 Autor: Frederico Reis
 10 63 Áreas e teoria angular
 Autor: Frederico Reis
 11 67 Circunferência
 Autor: Frederico Reis
 12 71 Posições relativas à circunferência
 Autor: Frederico Reis
FRENTE
3Editora Bernoulli
MÓDULOMATEMÁTICA
PORCENTAGEM
Porcentagem, ou percentagem, é uma fração cujo 
denominador é igual a 100. Por exemplo, “sete por cento” 
é representado como 7%, e equivale à fração 7
100
. 
O conceito de porcentagem é um dos mais utilizados 
no dia a dia, como para efetuar comparações com 
valores dados. Por exemplo, vamos supor que uma 
prestação de R$ 500,00 irá sofrer um reajuste 
de 30%. Em termos matemáticos, escrevemos: 
30% de 500 = 30
100
.500 = 150
Assim, a nova prestação será igual a R$ 650,00.
Podemos dizer também que, ao calcularmos a porcentagem 
em relação a um valor dado, estamos representando uma 
proporção, na qual um dos denominadores é igual a 100. 
Desse modo, no exemplo dado, dizemos que o valor de 150 
representa em 500 o mesmo que o valor 30 representa 
em 100.
150
500
30
100
=
ObsERvAçãO
Há três modos de representar uma porcentagem: 
na forma percentual, na forma fracionária ou na forma 
decimal. vejamos alguns exemplos:
Forma 
percentual
Forma 
fracionária
Forma decimal
20%
20
100
0,2
5%
5
100
0,05
1,3%
1 3
100
,
0,013
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
01. (PUC Minas) Certa cidade tem 18 500 eleitores. 
Na eleição para prefeito, houve 6% de abstenção 
entre os homens e 9% entre as mulheres; com isso, 
o número de votantes do sexo masculino ficou exatamente 
igual ao número de votantes do sexo feminino. 
Pode-se afirmar que o número de eleitores do 
sexo feminino, nessa cidade, é
A) 7 200
b) 8 500
C) 9 250
D) 9 400
Resolução:
sejam:
H: Total de eleitores do sexo masculino;
M: Total de eleitores do sexo feminino.
Temos H + M = 18 500.
Além disso, temos 0,94H votantes do sexo masculino e 
0,91M votantes do sexo feminino.
Temos 0,94H = 0,91M.
Portanto, devemos resolver o seguinte sistema:
H M
H M
+ =
=





18 500
0 94 0 91, ,
 
⇒ 
H M
H M
+ =
− =




18 500
94 91 0
substituindo H = 18 500 – M na segunda equação, temos:
94(18 500 – M) – 91M = 0 ⇒ 1 739 000 – 94M – 91M = 0 ⇒
185M = 1 739 000 ⇒ M = 9 400
Porcentagem 05 A
4 Coleção Estudo
AUMENTOS E DESCONTOS 
SUCESSIVOS
Aumentos sucessivos
A título de exemplo, vamos imaginar que o preço de uma 
mercadoria seja igual a P reais. Qual será o novo preço após 
um aumento de R$ 10%?
Nesse caso, temos que 10% de P = 0,1.P.
Portanto, o novo preço será igual a P + 0,1P = 1,1P.
Observe que o preço após o aumento também pode ser 
obtido simplesmente multiplicando-se o preço anterior P 
por 1,1. Esse artifício é muito útil para solucionarmos 
problemas envolvendo aumentos sucessivos.
Exemplo
Um vendedor resolveu promover dois reajustes sucessivos 
de 5% no preço de uma mercadoria. Isso equivale a um só 
aumento de
A) 10%. C) 11%.
b) 10,25%. D) 12%.
Resolução:
seja P o preço da mercadoria. A cada aumento de 5%, 
multiplicamos P por 1,05. Temos:
1 05
1 05 1
, .
, .(
P
Preço após o primeiro aumento
��� ��
,, . ) ,05 1 10P
Preço após o segundo aumento
� ��� ��� = 225.P
1,1025.P – P = 0,1025.P, o que equivale a um só aumento 
de 10,25%.
Descontos sucessivos
De maneira análoga à utilizada no caso dos aumentos 
sucessivos, vamos imaginar que o preço P da mercadoria sofreu 
um desconto de 30%. Qual será o preço após esse desconto?
Temos 30% de P = 0,3.P.
O novo preço é dado por P – 0,3.P= 0,7.P.
Observe que o preço após o desconto é dado pela 
multiplicação do preço P por 0,7.
Exemplo
Um eletrodoméstico teve seu preço reduzido em 15%. 
Tendo atraído poucos compradores, o comerciante resolveudar um novo desconto, dessa vez de 10%. Em relação ao preço 
original, qual foi o desconto total dado pelo comerciante?
Resolução:
seja P o preço original dessa mercadoria. Temos:
0 85
0 9 0 85
, .
, .( ,
P
Preço após a redução de 15%
��� ��
.. ) , .P P
Preço após a redução de 10%
� ��� ��� = 0 765
Observe que P – 0,765.P = 0,235.P, o que significa que 
houve um desconto total de 23,5%.
Lucro
Considere um determinado produto vendido por um 
comerciante por um preço de venda V. suponhamos que 
esse comerciante tenha adquirido tal produto no atacado 
a um preço de custo C. Definimos como lucro o valor 
efetivamente recebido pelo comerciante, descontado o custo 
de aquisição. Em termos algébricos, temos:
L = v – C
Em que:
L: lucro por unidade vendida;
V: valor arrecadado com a venda;
C: custo de aquisição do produto.
Em muitos problemas, deseja-se saber a porcentagem 
correspondente a esse lucro, normalmente em função do 
custo. Porém, em algumas situações, tal porcentagem pode 
ser calculada em função do preço de venda.
Exemplo
Um comerciante obteve um lucro de 30% sobre o 
preço de custo de um determinado produto. Qual foi a 
prorcentagem do lucro sobre o preço de venda desse 
mesmo produto?
Resolução:
sejam:
L: lucro por unidade vendida;
V: preço de venda do produto;
C: preço de custo do produto. 
Temos L = v – C. (I)
Mas L = 0,3 C. 
Portanto, C
L L= =
0 3
10
3,
.
substituindo em (I), temos:
L V L L L V
L
V
L V V
= − ⇒ + = ⇒ = ⇒
= ≈
10
3
10
3
13
3
3
13
0 23
. .
. , .
Portanto, o lucro é de cerca de 23% sobre o preço de venda. 
Frente A Módulo 05
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5Editora Bernoulli
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
01. (UFLA-MG–2006) Um motorista escolhe um trajeto 
que sabe ser 20% maior que o trajeto que usualmente 
toma, pois nesse novo trajeto poderá desenvolver uma 
velocidade média 100% maior que a do trajeto usual. 
O tempo de viagem diminuirá
A) 40%. b) 50%. C) 100%. D) 9%. E) 20%.
02. (FUvEsT-sP) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, 
o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 
44% superior ao preço de custo. Porém, ele prepara a 
tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço 
de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter 
desconto no momento da compra. Qual é o Maior 
desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço 
da tabela, de modo a não ter prejuízo?
A) 10% b) 15% C) 20% D) 25% E) 36%
03. (UFMG–2008) Após se fazer uma promoção em um clube 
de dança, o número de frequentadores do sexo masculino 
aumentou de 60 para 84 e, apesar disso, o percentual 
da participação masculina passou de 30% para 24%. 
Considerando-se essas informações, é CorrEto afirmar 
que o número de mulheres que frequentam esse clube, 
após a promoção, teve um aumento de
A) 76%. b) 81%. C) 85%. D) 90%.
04. (UFF-RJ) A confeitaria Cara Melada é conhecida por suas 
famosas balas de leite, vendidas em pacotes. No Natal, 
essa confeitaria fez a seguinte promoção: colocou, em 
cada pacote, 20% a mais de balas e aumentou em 
8% o preço do pacote. DEtErMiNE a variação, em 
porcentagem, que essa promoção acarretou no preço de 
cada bala do pacote.
05. (Mackenzie-sP) Uma pessoa pagou 20% de uma dívida. 
se R$ 4 368,00 correspondem a 35% do restante a ser 
pago, então a dívida total inicial era de
A) R$ 10 200,00. D) R$ 16 800,00.
b) R$ 11 400,00. E) R$ 18 100,00.
C) R$ 15 600,00.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFG) O jovem Israel trabalha em uma sapataria. Ele 
gasta do seu salário: 25% no pagamento do aluguel 
da pequena casa onde mora; 
1
10
 na compra de 
vale-transporte; 15% na prestação do aparelho de Tv 
que adquiriu; e ainda lhe sobram R$ 84,00. Qual é o 
salário de Israel?
02. (FUvEsT-sP) A cada ano que passa, o valor de um carro 
diminui 30% em relação ao seu valor anterior. se v for 
o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo 
ano será
A) (0,7)7v. D) (0,3)8v.
b) (0,3)7v. E) (0,3)9v.
C) (0,7)8v.
03. (Unicamp-sP) Uma pessoa investiu R$ 3 000,00 em ações. 
No primeiro mês, ela perdeu 40% do total investido, e no 
segundo mês ela recuperou 30% do que havia perdido.
A) Com quantos reais ela ficou após os dois meses?
b) Qual foi seu prejuízo após os dois meses, em 
porcentagem, sobre o valor do investimento inicial?
04. (UFPE) Um investidor resolveu empregar todo o seu 
capital da seguinte forma: metade em caderneta de 
poupança, que lhe rendeu 30% ao ano. Um terço na 
bolsa de valores, que lhe rendeu 45% no mesmo período. 
O restante, ele aplicou em fundos de investimento, que lhe 
renderam 24% ao ano. Ao término de um ano, o capital 
desse investidor aumentou em
A) 33%. D) 32%.
b) 38%. E) 36%.
C) 34%.
05. (UFG–2006) Uma empresa gastava 15% de sua receita 
com o pagamento de contas telefônica e de energia 
elétrica. Para reduzir despesas, determinou-se um corte 
de 50% na conta telefônica. Essa iniciativa produziu uma 
economia de R$ 1 000,00, o que corresponde a 5% de 
sua receita. Tendo em vista essas condições, CaLCULE 
o gasto dessa empresa com energia elétrica. 
06. (FUvEsT-sP) Um reservatório, com 40 litros de capacidade, 
já contém 30 litros de uma mistura gasolina / álcool com 
18% de álcool. Deseja-se completar o tanque com uma 
nova mistura gasolina / álcool de modo que a mistura 
resultante tenha 20% de álcool. A porcentagem de álcool 
nessa nova mistura deve ser de
A) 20%. C) 24%. E) 28%.
b) 22%. D) 26%. 
07. (FUvEsT-sP) Um comerciante deu um desconto de 20% 
sobre o preço de venda de uma mercadoria e, mesmo 
assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preço que 
pagou pela mesma. se o desconto não fosse dado, seu 
lucro, em porcentagem, seria
A) 40. C) 50. E) 60.
b) 45. D) 55. 
Porcentagem
6 Coleção Estudo
08. (UFPE) Quando o preço da unidade de determinado produto 
diminuiu 10%, o consumo aumentou 20% durante certo 
período. No mesmo período, de que percentual aumentou 
o faturamento da venda desse produto?
A) 8% D) 15%
b) 10% E) 30%
C) 12% 
09. (UFU-MG) Uma loja de artigos para presente sempre 
colocou seus produtos à venda aplicando 50% a mais 
sobre o preço de custo. No entanto, devido à recessão, 
ela anunciou uma liquidação com 20% de desconto sobre 
todos os produtos para pagamentos à vista. Nesse caso, 
o lucro da loja na venda à vista de cada produto foi de
A) 10%. C) 20%.
b) 30%. D) 40%.
10. (UFv-MG) Uma empresa concedeu aos seus funcionários 
um reajuste salarial de 60% em duas etapas. Em agosto, 
40% sobre o salário de julho e, em outubro, mais 20% 
sobre o salário de julho. Quanto este último reajuste 
representou em relação ao salário de setembro?
11. (UFU-MG) No mês de agosto, Pedro observou que o valor 
da sua conta de energia elétrica foi 50% superior ao valor 
da sua conta de água. Em setembro, tanto o consumo de 
energia elétrica quanto o de água, na residência de Pedro, 
foram iguais aos consumos do mês de agosto. Porém, 
como as tarifas de água e de energia elétrica foram 
reajustadas em 10% e 20%, respectivamente, Pedro 
desembolsou R$ 20,00 a mais do que em agosto para 
quitar as duas contas. Quanto Pedro pagou de energia 
elétrica no mês de setembro?
12. (Mackenzie-sP) Numa loja, para um determinado produto, 
a diferença entre o preço de venda solicitado e o preço 
de custo é 3 000. se esse produto for vendido com 20% 
de desconto, ainda assim dará um lucro de 30% à loja. 
Então, a soma dos preços de venda e de custo é
A) 13 200 
b) 14 600 
C) 13 600
D) 12 600 
E) 16 400
13. (UEL-PR) Em uma liquidação, os preços dos artigos de uma loja 
são reduzidos de 20% de seu valor. Terminada a liquidação e 
pretendendo voltar aos preços originais, de que porcentagem 
devem ser acrescidos os preços da liquidação?
A) 27,5% 
b) 25% 
C) 22,5%
D) 21% 
E) 20%
14. (FUvEsT-sP) sobre o preço de um carro importado incide 
um imposto de importação de 30%. Em função disso, seu 
preço para o importador é de R$ 19 500,00.supondo 
que tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, 
em reais, o novo preço do carro para o importador?
A) R$ 22 500,00 D) R$ 31 200,00
b) R$ 24 000,00 E) R$ 39 000,00
C) R$ 25 350,00
15. (Mackenzie-sP) Num grupo de 200 pessoas, 80% são 
brasileiros. O número de brasileiros que deve abandonar 
o grupo, para que 60% das pessoas restantes sejam 
brasileiras, é
A) 90 b) 95 C) 100 D) 105 E) 110
16. (UFEs) Um empregado recebe um salário mensal para 
trabalhar 8 horas diárias. Trabalhando 2 horas extras 
todo dia, ele tem um acréscimo de 50% em seu salário. 
Quanto ele ganha a mais por hora extra?
A) 50% C) 80% E) 120%
b) 60% D) 100% 
SEÇÃO ENEM
01. (Enem–2002) A capa de uma revista de grande circulação 
trazia a seguinte informação, relativa a uma reportagem 
daquela edição:
“O brasileiro diz que é feliz na cama, mas debaixo dos 
lençóis 47% não sentem vontade de fazer sexo.”
O texto a seguir, no entanto, adaptado da mesma 
reportagem, mostra que o dado anterior está errado:
“Outro problema predominantemente feminino é a falta 
de desejo: 35% das mulheres não sentem nenhuma 
vontade de ter relações. Já entre os homens, apenas 
12% se queixam de falta de desejo.”
Considerando que o número de homens na população 
seja igual ao de mulheres, a porcentagem aproximada 
de brasileiros que não sentem vontade de fazer sexo, de 
acordo com a reportagem, é
A) 12%. b) 24%. C) 29%. D) 35%. E) 50%.
02. (Enem–2000) O brasil, em 1997, com cerca de 
160 x 106 habitantes, apresentou um consumo de 
energia da ordem de 250 000 tep (tonelada equivalente 
de petróleo), proveniente de diversas fontes primárias. 
O grupo com renda familiar de mais de vinte salários 
mínimos representa 5% da população brasileira e utiliza 
cerca de 10% da energia total consumida no país. O grupo 
com renda familiar de até três salários mínimos representa 
50% da população e consome 30% do total de energia. 
Com base nessas informações, pode-se concluir que o 
consumo médio de energia para um indivíduo do grupo de 
renda superior é x vezes maior do que para um indivíduo 
do grupo de renda inferior. O valor aproximado de x é
A) 2,1 b) 3,3 C) 6,3 D) 10,5 E) 12,7
Frente A Módulo 05
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7Editora Bernoulli
03. (Enem–2001) segundo um especialista em petróleo 
(Estado de S. Paulo, 5 mar. 2000), o consumo total de 
energia mundial foi estimado em 8,3 bilhões de toneladas 
equivalentes de petróleo (tep) para 2001. A porcentagem 
das diversas fontes da energia consumida no globo é 
representada no gráfico.
Petróleo
50
40
30
20
10
0
%
 d
a 
en
er
g
ia
 m
u
n
d
ia
l
Carvão
Gás
Fontes de energia
Nuclear
OutrosHidrelétrica
segundo as informações apresentadas, para substituir 
a energia nuclear utilizada, é necessário, por exemplo, 
aumentar a energia proveniente do gás natural em 
cerca de
A) 10%. D) 33%.
b) 18%. E) 50%.
C) 25%. 
04. (Enem–2001) O consumo total de energia nas residências 
brasileiras envolve diversas fontes, como eletricidade, gás 
de cozinha, lenha, etc. O gráfico mostra a evolução do 
consumo de energia elétrica residencial, comparada com 
o consumo total de energia residencial, de 1970 a 1995.
1970
Energia total Energia elétrica
C
o
n
su
m
o
 d
e
en
er
g
ia
(x
 1
0
6
 t
ep
)
0
10
20
30
40
50
1975 1980 1985 1990 1995
*tep = toneladas equivalentes de petróleo
Fonte: valores calculados através dos dados obtidos de: 
http://infoener.iee.usp.br/1999.
Verifica-se que a participação percentual da energia 
elétrica no total de energia gasto nas residências 
brasileiras cresceu entre 1970 e 1995, passando, 
aproximadamente, de
A) 10% para 40%. 
b) 10% para 60%. 
C) 20% para 60%.
D) 25% para 35%.
E) 40% para 80%.
05. (Enem–2001) Nas últimas eleições presidenciais de um 
determinado país, onde 9% dos eleitores votaram em 
branco e 11% anularam o voto, o vencedor obteve 51% 
dos votos válidos. Não são considerados válidos os votos 
em branco e nulos. Pode-se afirmar que o vencedor, 
de fato, obteve de todos os eleitores um percentual de 
votos da ordem de
A) 38%. b) 41%. C) 44%. D) 47%. E) 50%.
06. (Enem–2001) Em um colégio, 40% da arrecadação das 
mensalidades correspondem ao pagamento dos salários 
dos seus professores. A metade dos alunos desse colégio 
é de estudantes carentes, que pagam mensalidades 
reduzidas. O diretor propôs um aumento de 5% nas 
mensalidades de todos os alunos para cobrir os gastos 
gerados por reajuste de 5% na folha de pagamento dos 
professores. A associação de pais e mestres concorda 
com o aumento nas mensalidades, mas não com o índice 
proposto. Pode-se afirmar que
A) o diretor fez um cálculo incorreto e o reajuste proposto 
nas mensalidades não é suficiente para cobrir os 
gastos adicionais.
b) o diretor fez os cálculos corretamente e o reajuste 
nas mensalidades que ele propôs cobrirá exatamente 
os gastos adicionais.
C) a associação está correta em não concordar com 
o índice proposto pelo diretor, pois a arrecadação 
adicional baseada nesse índice superaria em muito 
os gastos adicionais.
D) a associação, ao recusar o índice de reajuste proposto 
pelo diretor, não levou em conta o fato de alunos 
carentes pagarem mensalidades reduzidas.
E) o diretor deveria ter proposto um reajuste maior nas 
mensalidades, baseado no fato de que a metade dos 
alunos paga mensalidades reduzidas.
07. (Enem–2003) A eficiência de anúncios num painel 
eletrônico localizado em uma certa avenida movimentada 
foi avaliada por uma empresa. Os resultados mostraram 
que, em média:
– Passam, por dia, 30 000 motoristas em frente ao 
painel eletrônico;
– 40% dos motoristas que passam observam o painel;
– Um mesmo motorista passa três vezes por semana 
pelo local.
segundo os dados anteriores, se um anúncio de um 
produto ficar exposto durante sete dias nesse painel, 
é esperado que o número mínimo de motoristas diferentes 
que terão observado o painel seja
A) 15 000 C) 42 000 E) 84 000
b) 28 000 D) 71 000 
08. (Enem–2003) O tabagismo (vício em fumo) é responsável 
por uma grande quantidade de doenças e mortes prematuras 
na atualidade. O Instituto Nacional do Câncer divulgou 
que 90% dos casos diagnosticados de câncer de pulmão 
e 80% dos casos diagnosticados de enfisema pulmonar 
estão associados ao consumo de tabaco. Paralelamente, 
foram mostrados os resultados de uma pesquisa 
realizada em um grupo de 2 000 pessoas com doenças 
de pulmão, das quais 1 500 são casos diagnosticados 
de câncer, e 500 são casos diagnosticados de enfisema.
Com base nessas informações, pode-se estimar que o 
número de fumantes desse grupo de 2 000 pessoas é, 
aproximadamente,
A) 740 C) 1 310 E) 1 750
b) 1 100 D) 1 620 
Porcentagem
8 Coleção Estudo
09. (Enem–2004) Uma pesquisa sobre orçamentos familiares, 
realizada recentemente pelo IbGE, mostra alguns itens 
de despesa na distribuição de gastos de dois grupos de 
famílias com rendas mensais bem diferentes.
tipo de 
despesa
renda de até 
r$ 400,00
renda maior ou 
igual a r$ 6 000,00
Habitação 37% 23%
Alimentação 33% 9%
Transporte 8% 17%
saúde 4% 6%
Educação 0,3% 5%
Outros 17,7% 40%
Considere duas famílias com rendas de R$ 400,00 e 
R$ 6 000,00, respectivamente, cujas despesas variam de 
acordo com os valores das faixas apresentadas. Nesse 
caso, os valores, em R$, gastos com alimentação pela 
família de maior renda, em relação aos da família de 
menor renda, são, aproximadamente,
A) dez vezes maiores. 
b) quatro vezes maiores. 
C) equivalentes.
D) três vezes menores.
E) nove vezes menores.
10. (Enem–2005) A escolaridade dos jogadores de futebol 
nos grandes centros é maior do que se imagina, como 
mostra a pesquisa a seguir, realizada com os jogadores 
profissionais dos quatro principais clubes de futebol do 
Rio de Janeiro.
Fu
n
d
am
en
ta
l
in
co
m
p
le
to
M
éd
io
in
co
m
p
le
to
S
u
p
er
io
r
in
co
m
p
le
to
M
éd
io
Fu
n
d
am
en
ta
l
60
40
20 14 14 1416
54
Total: 112 jogadores
0
O GLObO, 24 jul. 2005.
De acordo