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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA – UNESP CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA – FACULDADE DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA - DEM PRÉ-PROJETO DE ROTORES DE MÁQUINAS DE FLUXO GERADORAS RADIAIS Prof. Dr. João Batista Campos Silva Ilha Solteira, novembro de 2000. 2 CÁLCULO DE ROTORES RADIAIS 1. Introdução O projeto de rotores de máquinas de fluxo envolve vários conceitos que serão lembrados brevemente nos próximos itens. Antes de iniciar o projeto, o leitor deve compreender bem o funcionamento das máquinas de fluxo e quais são os diversos parâmetros que tem influência direta no desempenho das mesmas. Após uma descrição dos principais fatores que influenciam o desempenho das máquinas de fluxo, fornece-se um roteiro de cálculo, cuja finalidade é auxiliar o projetista a obter os dados preliminares ou dimensões principias de rotores de máquinas radiais. Este roteiro é baseado na chamada Teoria Unidimensional, em que as velocidades são admitidas uniformes nas seções de escoamento do rotor. Apesar de ser uma teoria simples, ela dá bons resultados e por isso é muito utilizada. Entretanto hoje com o auxílio de computadores cada vez mais potentes, teorias mais realísticas podem ser utilizadas, pois na realidade, o escoamento através de rotores de máquinas de fluxo é tridimensional. Os conceitos, aqui, descritos, bem como o roteiro fornecido são baseados, principalmente, num manuscrito de HENN (1996). Alguns livros textos tradicionais são os de: PFLEIDERER & PETERMANN (1979) e BRAN & SOUZA (1969) que tratam do assunto máquinas de fluxo e os livros de MACINTYRE (1987, 1983) que tratam dos tópicos bombas e turbinas hidráulicas separadamente. Entre os principais fatores que tem influência no desempenho de máquinas de fluxo pode-se citar: a forma das pás; número de pás e espessura das mesmas; viscosidade do fluido que faz com o escoamento real seja com atrito e não ideal como supõe a Teoria Unidimensional. 2. Influência da forma da pá A forma da pá do rotor de uma máquina de fluxo é caracterizada pelos seus ângulos de entrada e saída, respectivamente, 4β , e 5β . Como estes ângulos influem na construção dos triângulos de velocidades, pela análise da equação fundamental, concluímos que a forma das pás tem íntima vinculação com a quantidade de energia intercambiada entre fluido e rotor. O valor do ângulo 4β , de inclinação das pás na entrada do rotor deve ser determinado pela condição de entrada sem choque. Ou seja, a direção da pá na entrada do rotor deve coincidir com a direção da velocidade relativa 4w , da corrente fluida, para que não ocorram perdas por descolamento e turbulência. Buscando esta condição, vemos então que a inclinação das pás na entrada do rotor é conseqüência da direção com que chega ao rotor a velocidade absoluta do fluido 4c , ou seja, do ângulo 4α , que forma a direção da velocidade absoluta com a direção de velocidade tangencial. Normalmente este ângulo é igual a 90°, o que corresponde a uma entrada sem giro da corrente de fluido no rotor, já que a corrente entra axialmente na boca de sucção do rotor e pela força centrífuga adquire somente uma componente radial. Para que o fluido sofra um giro, no mesmo sentido de rotação do rotor ou em sentido contrário, é necessária a existência de uma coroa de pás diretrizes fixas antes do rotor. Examinemos os três casos possíveis, utilizando o triângulo de velocidades mostrado na Figura 1. 3 c 4c 4 c 4 w 4w 4 w 4 u 4 α 4 α 4 α 4 β 4β 4 β 4 Figura 1 – Triângulo de velocidades na entrada de rotor radial para diferentes valores do ângulo 4α 1º caso: º904 =α É a solução mais barata, uma vez que corresponde à construção de uma máquina de fluxo geradora sem pás diretrizes na entrada. A energia teoricamente fornecida pelo rotor ao fluido aumenta, porque se reduz a zero o termo negativo da equação fundamental ( 04 =uc ). A equação fundamental assume a forma simplificada 55 upa cuY =∞ , o triângulo de velocidades na entrada torna-se retângulo e o ângulo 4β , pode ser calculado pela relação: 4 4 4 u carctg=β (1) 2º caso: º904 <α É uma solução mais cara que a primeira, por implicar na construção de uma coroa de pás diretrizes. Estas, além de representarem perdas adicionais à passagem do fluido, conduzem a um valor positivo da componente 4uc , o que traz como conseqüência uma diminuição da energia teórica fornecida pelo rotor, conforme a equação fundamental: 4455 uupa cucuY −=∞ (2) 3º caso: º904 >α É uma solução mais cara que a primeira, também pela existência das pás diretrizes. E, como a componente 4uc apresenta valor negativo neste caso, por ter sentido contrário ao de 4u a energia teoricamente cedida pelo rotor ao fluido passa a ser maior, de acordo com a equação: 4455 uupa cucuY +=∞ (3) 4 Entretanto, este aumento poderá não acontecer para a energia realmente cedida Y, por causa das perdas nas pás diretrizes e pelo estrangulamento causado na entrada do rotor pelo valor menor do ângulo 4β . Uma vantagem adicional apresentada pela existência de um ângulo º904 =α , é que, para uma vazão determinada, a velocidade absoluta será mínima, o que diminuirá a depressão na entrada do rotor e representará uma diminuição do risco de cavitação para o caso das bombas hidráulicas. Pesquisas experimentais mostram que o ângulo de entrada 4β , não deve ser tomado menor que 15°, sendo usual a faixa de 15 a 20° para bombas e até o dobro destes valores para ventiladores. Uma vez que, como vimos, o ângulo de entrada das pás do rotor é definido pela condição de entrada sem choque, surge a pergunta com relação a inclinação das pás na saída do rotor: o ângulo 5β deve ser menor do que 90° (pás curvadas para trás), maior do que 90° (pás curvadas para frente) ou igual a 90° (pás de saída radial)? As formas de pás correspondentes a estes três casos foram representadas na Figura 2, mantendo-se invariável o ângulo de entrada 4β . Os canais entre pás resultantes são bastante diferentes e encontram-se desenhados ao pé da Figura, a partir da retificação da linha média de cada canal, sobre a qual traçam-se simetricamente segmentos proporcionais às seções do canal. Esta representação nos indica que ângulos o905 <β correspondem a difusores (escoamento da direita para a esquerda) mais compridos e que se alargam mais suavemente, conduzindo a uma difusão gradual e conseqüentemente a menores perdas hidráulicas no escoamento de fluido real, já que são evitados os descolamentos da corrente fluida das paredes, embora o aumento das perdas por atrito devido ao maior comprimento dos condutos. Os ângulos o905 ≥β conduzem a formas de canais que são mais indicadas para um sentido de corrente inverso (escoamento da esquerda para a direita), como no caso dos rotores de turbinas hidráulicas, onde um estreitamento rápido significa inclusive uma melhoria no rendimento pela redução das perdas por atrito, devido à redução no comprimento dos condutos, neste caso constituindo-se em injetores e não mais em difusores. Nas bombas, as pós curvadas para trás ( o905 <β ) dão melhores rendimentos que as outras duas formas. β 5 β 5 β 5 β 4 β 4 β 4 Figura 2 – Diferentes formas do canal entre pás do rotor correspondendo a diferentes valores do ângulo 5β de inclinação das pás 5 w 5 w 5 w 5 w 5 w 5 w 5c 5 c 5 c 5 u 5 u 5 α 5 α 5 α 5 β 5 β 5 β 5 ρ t∞ 1.0 0.5 0.0 u 5 u 5 Ydin Yest Y pa∞ β5min β5max c u5 2u 52 Bombas Ventiladores Figura 3 – Triângulos de velocidades e diagramas de variação de energia e grau de reação teórico para diferentes valores do ângulo de inclinação das pás na saída do rotor Procuraremos agora mostrar a influência do ângulo 5β sobre a energia intercambiada no rotor e sobre o grau de reação teórico de uma máquina de fluxo geradora radial; Figura 3. Para tanto suporemos um rotor em que todos os parâmetros construtivos permaneçam constantes, exceto o ângulo 5β , e para o qual tenhamos º904 =α e ctecc mm == 54 . Neste 6 caso poderemos utilizar, para a análise, a equação fundamental simplificada 55 upa cuY =∞ . Por esta fórmulavemos que a energia específica teórica depende apenas da velocidade tangencial 5u e da componente tangencial da velocidade absoluta 5uc . Como a relação 55 u/cu pode variar entre limites bastante amplos, faremos nossa análise para a faixa compreendida entre 055 =u/cu e 255 =u/cu . Como veremos, esta relação determina a proporção de energia mecânica transformada em energia de pressão estática e energia de velocidade ou pressão dinâmica. O grau de reação teórico, com vimos, pode ser definido como: ∞ ∞ −= pa din t Y Y 1ρ , onde 2 2 4 2 5 ccYdin − = (4) Pelo triângulo de velocidades: 25 2 5 2 5 um ccc += e, neste caso particular: 544 mm ccc == . Logo, substituindo estes valores na expressão anterior, teremos: 22 2 5 2 5 2 5 2 5 umum din ccccY =−+= (5) E o grau de reação teórico poderá ser escrito então como: −−=−= ⋅⋅ −=∞ 5 5 5 5 5 55 2 5 1 2 11 2 1 2 1 βρ ctg u c u c cu c mu u u t (6) Para o ângulo o905 <β que conduz a 05 =uc e conseqüentemente 055 =u/cu , teremos 005 =⋅=∞ uYpa )c/u(ctg mmint 55 1 5101 − ∞ =⇒=−= βρ (7) Para o ângulo o905 =β que conduz a 55 ucu = e conseqüentemente 155 =u/cu , teremos 2 555 uuuYpa =⋅=∞ e 22 2 5 ∞== padin YuY (8) 50 2 11 ,t =−=∞ρ Para o ângulo o905 >β que conduz a 55 2ucu = e conseqüentemente 255 =u/cu , teremos 2 555 22 uuuYpa =⋅=∞ (9) ∞=== padin Yu uY 25 2 5 2 2 4 e )c/u(ctg mmaxt 55 1 5011 −=⇒=−= − ∞ βρ (10) 7 À primeira vista, pelo exame dos diagramas da Figura 3, parece ser mais vantajoso a utilização de maiores valores para a relação 55 u/cu . Mas isto e válido ate um certo limite, principalmente para os líquidos, porque o fluido não pode seguir as superfícies fortemente curvadas e descola das paredes. Além disso a transformação de uma grande velocidade de saída 5c em pressão no difusor ou caixa espiral virá acompanhada de perdas consideráveis. Estes dois fatores conduzirão a uma diminuição do rendimento da máquina. Por isto, quase todas as bombas são construídas com pás curvadas para trás, utilizando-se na prática ângulos 5β na faixa de 14 a 50°, sendo ainda mais favorável a gama de valores compreendidos entre 20 e 30°. Para o caso de fluidos gasosos pode-se utilizar relações 55 u/cu mais elevadas, mas os rendimentos não atingem jamais os valores tão favoráveis como aqueles conseguidos com pás curvadas para trás. Para pressões médias e altas se empregam pás moderadamente curvadas para trás com 60º a 405 =β . Nos turbocompressores para motor de aviação, onde considerações de tamanho e peso muitas vezes preponderam sobre o rendimento e as velocidades tangenciais são muito elevadas, utilizam-se ângulos o905 =β , por razões puramente mecânicas. Nos ventiladores, onde muitas vezes a produção de pressão dinâmica prepondera sobre a pressão estática, onde muitas vezes se deseja reduzir tamanho e peso ou onde muitas vezes se quer simplificar o processo de fabricação para reduzir custos, são muito utilizados os rotores construídos com pás radiais ( o905 =β ) e mesmo com pás curvadas para frente ( o905 >β ). Nos ventiladores destinados ao transporte de materiais, que devem passar pelo interior do mesmo, freqüentemente são utilizados pás com º9045 == ββ . Enquanto que, em aplicações onde o espaço disponível é limitado e o nível de ruído deve ser mantido baixo, como nas instalações de ar condicionado, ventiladores do tipo SIROCCO, com 60º 1=5β , representam uma solução muitas vezes insuperável. Nenhum outro ventilador trabalha tão silenciosamente em pressões comparáveis. Voltando ao diagrama da Figura 3, vemos que, enquanto a energia específica teórica total ∞paY cresce linearmente com um aumento do ângulo 5β , a energia específica de pressão dinâmica dinY cresce segundo uma parábola e o grau de reação teórico ∞tρ decresce linearmente, desde um valor igual a 1 correspondente a um valor de min5β para o qual nenhuma energia é transmitida ao fluido até um valor igual a zero correspondente a um valor de max5β para o qual todo o aumento de energia se expressa em forma da velocidade. Valores menores que min5β conduzem a 1>∞tρ , com ∞paY tornando-se negativa e a máquina passa a atuar como uma turbina centrífuga de admissão interior. Valores maiores que max5β conduzem a 0<∞tρ e a velocidade de saída é tão grande que a energia de pressão estática é menor na saída do rotor do que na entrada, embora o fluido tenha aumentada sua energia como um todo. Uma análise similar poderia ser feita para um rotor radial com fluxo centrípeto, fazendo variar o valor do ângulo de entrada das pás. Com relação à influência do grau de reação sobre o rendimento, podemos dizer que um grau de reação elevado é seguidamente sinônimo de um bom rendimento hidráulico, já que um ângulo 5β agudo produz um pequeno desvio da corrente fluida no interior das pás móveis, enquanto que um ângulo 5β obtuso, correspondente a um pequeno grau de reação, aumenta os riscos de descolamento e obriga o emprego de um difusor para transformar em 8 pressão a energia obtida sob forma cinética. No que concerne às perdas por fugas, vê-se facilmente que um acréscimo do grau de reação aumenta a diferença de pressão 45 pp − e, em conseqüência, aumenta as fugas através das folgas existentes entre a parte rotativa e a parte fixa da máquina. O mesmo pode ser dito sobre as perdas por atrito fluido devido ao aumento da velocidade tangencial do rotor. O crescimento do grau de reação é igualmente desfavorável. Resumindo, tanto para máquinas geradoras como motoras, um grande grau de reação é favorável quanto ao rendimento hidráulico, mas desfavorável quanto às perdas por fugas e por atrito fluido. Existe então, considerando o rendimento total, um grau de reação ótimo que depende essencialmente da importância relativa das perdas hidráulicas e das perdas por fugas e por atrito fluido. Finalmente, é importante ressaltar, como vimos anteriormente, que a escolha do ângulo 5β tem uma influência decisiva sobre a forma das curvas características de uma máquina de fluxo e conseqüentemente sobre seu funcionamento. 3. Influência do número finito e da espessura das pás sobre os triângulos de velocidades teóricos É usual calcularmos máquinas de fluxo com base na teoria do tubo de corrente monodimensional, pela qual o rotor é suposto com um número infinito de pás, infinitamente próximas e de espessura infinitesimal. Estas condições impostas fogem, entretanto à realidade, onde as pás do rotor são em número finito e, além disso, tem uma certa espessura, surgindo a necessidade de se estudar a influência destes fatores sobre os triângulos de velocidade de entrada e saída do rotor de uma máquina de fluxo. 3.1 Influência do número finito de pás Para um rotor radial de máquina de fluxo geradora com número finito de pás, a consideração de um escoamento sem atrito (fluido isento de viscosidade) dá origem a um movimento que é conhecido como "vórtice relativo". A Figura 4 serve para explicar esta ocorrência. A reta AB representa a orientação das partículas fluidas, no instante I situadas na entrada do canal entre pás. Um instante após as mesmas partículas sobre a influência do movimento radial e rotacional aparecem como em II na Figura. E finalmente no instante III as partículas se encontram na saída do canal. Devido a sua inércia, as partículas tendem a manter sua orientação com relação a eixos fixos, resultando um movimento circulatório com relação ao canal, conhecido como "vórtice relativo". I II III A B B A A B ω ω ω Figura 4 – Origem do vórtice relativo no canal entre pás de um rotor radial. 9 Desta maneira o fluxo através do rotor pode ser considerado como a superposição da corrente de passagem das partículas fluidas através do rotor com a corrente de circulação proveniente do vórtice relativo (Figura 5). + = Figura 5 – Distribuição das velocidades relativas num rotor radial como conseqüência da superposição da corrente de passagem com o vórtice relativo. A distribuição final das velocidades relativas em um rotor de máquina radial éa composição das velocidades relativas correspondentes a estes dois tipos de escoamento. Como o vórtice relativo produz uma corrente radial de sentido centrípeto junto à face de ataque da pá se contrapondo ao sentido da corrente de passagem, ocorre uma redução da velocidade relativa junto a esta face. Enquanto que na face dorsal o sentido das duas correntes coincide, o que origina um acréscimo da velocidade relativa nesta região. Com isto surge também um gradiente de pressão através do canal, dando origem a uma diferença de pressão entre as duas faces das pás, intimamente vinculada à própria troca de energia entre rotor e fluido. Na face de ataque existirá uma sobrepressão enquanto que na face dorsal existirá uma depressão. Esta diferença de pressão entre as faces de uma mesma pá, provoca um tombamento da velocidade relativa de saída do rotor na direção da face dorsal, fazendo com que o ângulo de inclinação da corrente relativa logo após a saída do rotor " 6β " seja menor que o ângulo de inclinação de saída das pás do rotor" 5β ". Conseqüentemente, haverá uma redução no valor da componente tangencial da velocidade absoluta de saída, como pode ser observado na Figura 6, para três tipos diferentes de rotor, com pás curvadas para frente, com pás de saída radial e com pás curvadas para trás. c u5 c u5 c u5 c u6 c u6 c u6 β 5β 6 β 6 β 5 β 5 180-β 6 Figura 6 – Redução da componente tangencial da velocidade absoluta como conseqüência do desvio da velocidade relativa de saída do rotor devido ao número finito de pás 10 A equação fundamental para máquinas de fluxo geradoras com rotor possuindo um número infinito de pás é: 4455 uupa cucuY −=∞ (11) de modo que podemos escrever de maneira análoga para um rotor com número finito de pás: 3465 uupa cucuY −= (12) onde: ∞paY = energia específica fornecida pelo rotor suposto com número infinito de pás; paY = energia específica fornecida pelo rotor com número finito de pás. Comparando as duas equações, como 56 uu cc < (conforme vemos nos triângulos de velocidade da Figura 6) e, 43 uu cc ≅ (conforme é verificado na prática), concluímos que: ∞< papa YY Isto nos leva a definir o que chamamos de Fator de Deficiência de Potência "µ ". ∞∞ == pa pa pa pa P P Y Y µ (13) Como a análise efetuada baseou-se em escoamento sem atrito conclui-se que a diminuição tanto na energia como na potência transmitida ao fluido não pode ser considerada como uma perda de energia e sim como uma indisponibilidade, uma redução na energia que idealmente pode ser transmitida. Entretanto o fator de deficiência de potência influi na economia da máquina, pois um valor elevado de "µ " fornece uma energia teórica maior, ou, equivalentemente, para uma mesma energia requer um diâmetro menor e uma máquina mais econômica. Salienta-se, no entanto que a máquina geradora que fornece menos energia ao fluido consome também menos energia do seu motor de acionamento. Até agora analisamos o caso de escoamento sem atrito. Nas condições reais do fluxo através de uma máquina motora ou geradora, a existência da viscosidade do fluido exerce um efeito tal que as experiências práticas nos permitem concluir, como regra geral, que a influência do número finito de pás não precisa ser levada em consideração para a construção de turbinas. Esta afirmativa é válida segundo PFLEIDERER & PETERMANN (1973), tanto para turbinas a vapor como para turbinas hidráulicas de baixa velocidade, desde que as pás do rotor não estejam muito afastadas umas das outras. Enquanto isso, na construção de bombas, ventiladores e compressores centrífugos (máquinas geradoras), desde o início devemos considerar a diminuição de potência oriunda de um número finito de pás, se quisermos obter resultados que se aproximam da realidade. Para o cálculo do fator de deficiência de potência existem métodos teóricos completos, baseados em transformações complexas, como o Método das Singularidades e o Método de Busemann, que, no entanto não concordam melhor com os resultados obtidos em máquinas 11 reais do que os chamados métodos aproximados entre os quais podemos citar os de STODOLA (1945), PFLEIDERER (1960), ECK (1973) e WIESNER (1967), que são de aplicação mais simples e fornecem resultados às vezes mais próximos da realidade que os métodos complexos. De acordo com as conclusões de HENN (1972), a expressão proposta por PFLEIDERER (1960) nos permite a fixação de uma faixa de variação do fator de Deficiência de Potência, em função do tipo de difusor usado. Numa comparação com o Método das Singularidades, vemos que os valores calculados por este último caem dentro da faixa indicada por PFLEIDERER, praticamente para toda a variação do ângulo de saída e do número de pás, e para uma relação entre os raios de entrada e saída do rotor compreendida entre 0,150 e 0,425. Entretanto, tomando como base os valores ensaiados por VARLEY (1961), notamos que os resultados obtidos por PFLEIDERER se afastam bastante dos mesmos, para ângulos de saída superiores a 40°. Para ângulos menores e número de pás de 3 a 5 a concordância é boa. O método de STODOLA (1945) tem contra si o fato de não levar em consideração o comprimento na direção radial e a curvatura das pás. Em conseqüência seus resultados apresentam uma fraca correlação com os dados experimentais ao longo de todo o campo de variação da relação de raios, número de pás e ângulo de saída. Contudo para pequena relação de raios, pequeno ângulo de saída e grande número de pás, nenhum outro processo apresenta melhores resultados do que o de STODOLA (1945). BRUNO ECK (1973), partindo do mesmo princípio que STODOLA (1945), mas levando em conta a influência da curvatura da pá e um fator de correlação prático, chega a uma equação que fornece valores bastante próximos aos de PFLEIDERER, para difusor de caixa espiral. Porém para ângulos superiores a 40°, seus resultados se aproximam mais da prática do que os de PFLEIDERER (1960). Confiando ainda nos ensaios efetuados por VARLEY (1961), chegamos a conclusão de que a fórmula indicada por WIESNER (1967) é a que apresenta melhor correlação com os dados experimentais. Entretanto como restrição, salientamos o fato da referida expressão não levar em consideração o tipo de difusor utilizado na máquina de fluxo. Pois devido à interação entre rotor e difusor, sabemos que o valor do Fator de Deficiência de Potência será diferente para cada tipo de difusor usado. Com base nestas conclusões, para o projeto de bombas fugas, onde os ângulos de saída raramente ultrapassam 40°, indicamos a fórmula de PFLEIDERER (1960), enquanto que na construção de ventiladores centrífugos para os quais o ângulo 5β fica normalmente compreendido entre 20 e 170°, sugerimos a utilização da fórmula de ECK (1973). PFLEIDERER (1960) indica a seguinte expressão para o cálculo do Fator de Deficiência de Potência (ver Figura7): 5 2 51 1 β π µ sen SN r K f p ⋅ ⋅ + = (14) onde: N = número de pás do rotor; 5r = raio de saída (externo) do rotor; 5β = ângulo de inclinação das pás na saída do rotor; pK = coeficiente de correção experimental, que depende do ângulo 5β . 12 PFLEIDERER & PETERMANN (1973), indicam os seguintes valores para o coeficiente de correção pK : - máquina com difusor de pás: 5 5 60 1 60 βπ β sen º,K p ⋅ + = (15) - máquina com difusor de caixa espiral: 5 5 60 1 850650 βπ β sen º), a ,(K p ⋅ + = (16) - máquina com difusor anular liso: 5 5 60 1 01850 βπ β sen º), a ,(K p ⋅ + = (17) e: ∫ ⋅= 5 4 r rf dsrS = momento estático do filete médio da corrente com relação ao eixo de rotação (Figura7) Para rotores radiais de paredes paralelas: ∫ ⋅= 5 4 r rf dsrS = ∫ ⋅= 5 4 r rf drrS = 2 2 4 2 5 rr − (18) t 5 d L d rr b 5 b 4 r d rd S r 5 r 4 b e t5 Figura 7 – Cortes longitudinal e transversal esquemáticos do rotor de uma máquina de fluxo radial geradora. 13 Enquanto isso ECK (1973), recomenda a seguinte fórmula: ) º ,,( NS bD 90 1151 8 1 1 55 2 5 β µ + ⋅⋅ ⋅+ = (19) onde: ∫ ⋅⋅= 5 4 r r drrbS = momento estático da seção meridiana do canal em relação ao eixo do rotor; 5D = diâmetro de saída do rotor (diâmetro externo). Para rotores radiais de paredes paralelas: −= 2 5 42 5 5 1 8 r rD b S (20) Para rotores de paredes cônicas (Figura7): )rr( bb bb bbrr rS 4554 54 5445 5 2 2 3 − + + +⋅− += (21) onde: 4r = raio de entrada do rotor; 4b = largura de entrada do rotor. Segundo SEDILLE (1973) todas estas fórmulas são válidas apenas para o ponto de projeto de uma máquina, isto é, unicamente na zona onde os coeficientes numéricos que elas contém podem ser confrontados com a experiência. Isto porque, enquanto a fórmula de STODOLA (1945) dá origem a uma curva característica )Q(fYpa = que é uma reta paralela à reta )Q(fYpa =∞ , as fórmulas de PFLEIDERER (1960) e ECK (1973) dão origem a uma reta )Q(fYpa = que corta a reta )Q(fYpa =∞ sobre o eixo da vazões, ou seja, para valor nulo das energias (Figura 7.3). Qualquer destas hipóteses não apresenta uma confirmação experimental, enquanto KOVATS (1962) contribui para um aumento da discussão, apresentando um método de cálculo para as curvas de rotores radiais em que )Q(fYpa = não é uma reta e sim uma curva. 3.2 Influência da espessura das pás Considerando a espessura finita das pás, a seção transversal disponível para a passagem do fluxo é reduzida com relação à condição existente antes das pás do rotor. Como isto não implica em variação de energia, a componente c da velocidade absoluta permanece invariável, enquanto que a componente c~, intimamente vinculada à vazão, sofre influência da espessura das pás. Para melhor entendimento do que ocorre, vamos representar a entrada do 14 rotor de uma máquina de fluxo geradora radial com largura b, bem como um desenvolvimento retilíneo da região de entrada (Figura 8). e4 β4 et4 t4 et4 t4 e4 β4 4 3 Figura 8 Representação da região de entrada do rotor de uma máquina de fluxo geradora radial e de seu desenvolvimento retilíneo. Aplicando a equação da continuidade para um ponto imediatamente antes da entrada (ponto 3) e para um ponto imediatamente depois da entrada, como a vazão que passa por estes dois pontos é a mesma, podemos escrever: 4444344 mtm cNb)et(cbDQ ⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅= π (22) Q = vazão que passa pelo rotor; 4D = diâmetro de entrada do rotor; 4b = largura de entrada do rotor; 4t = passo na entrada, medido entre as arestas de duas pás consecutivas; 4te = espessura das pás na entrada, medida na direção tangencial; N = número de pás do rotor; 3mc = componente meridiana da velocidade absoluta da corrente fluida em um ponto imediatamente antes da entrada do rotor (ainda sem a influência da espessura das pás); 4mc = componente meridiana da velocidade absoluta da corrente fluida imediatamente após a entrada do rotor (já no espaço entre pás). Como 4 44 4 t DN N Dt ππ =∴= (23) substituindo este valor na equação anterior teremos: 4 4 44 44344 m t m ct et bDcbD − = ππ (24) onde, pela Figura8, vemos que: 4 4 4 βsen eet = (25) sendo: 15 4e = espessura da pá na entrada, medida segundo uma normal; 4β = ângulo de inclinação das pás na entrada. Logo: 4 4 44 3 m t m ct et c − = (26) Onde 4 44 4 t et f te − = (27) é chamado de “fator de estrangulamento” para a entrada do rotor, podemos escrever: 443 mem cfc = (26’) Da mesma maneira chegaríamos para a região de saída do rotor (Figura 9) β5 t5 et5 6 5 Figura 9 – Representação da região de saída do rotor de uma máquina de fluxo geradora radial. 556 mem cfc = (28) onde: 6mc = componente meridiana da velocidade absoluta para um ponto imediatamente após a saída do rotor; 5mc = componente meridiana da velocidade absoluta para um ponto imediatamente antes da saída do rotor. 5 55 5 t et f te − = = fator de estrangulamento para a saída do rotor. (29) Onde: N D t 55 π = = passo na saída do rotor e, (30) 16 5 5 5 βsen e et = = espessura tangencial das pás na saída do rotor. (31) Como o fator de estrangulamento possui um valor sempre menor que 1 (um), vemos que as componentes meridianas da velocidade absoluta situadas fora do canal entre pás apresentam valores inferiores aos das situadas dentro do canal entre pás do rotor, o que se traduz numa modificação dos triângulos de velocidade tanto para a entrada como para a saída do rotor das máquinas de fluxo, conforme podemos apresentar na Figura 10. α 4 α 3 β 4 β 3 c4 c3 w 4 w 3 u 4 cm4 c m3 cu3 = cu4 α5 α6 β6 β5 c6 c5 w5 w6 cm5 cm6 cm6 = cm5 Figura 10 – Modificação dos triângulos de velocidade em função da espessura das pás. 17 Juntando a influência do número finito e da espessura das pás sobre os triângulos de velocidade e apresentando o triângulo de entrada na sua forma mais comum (entrada radial, )º9043 ==αα teremos a representação da Figura 11. β 4β 3 w 3 w 4 α 3 = α 4 = 9 0 o u 4 c 3 c 4 α5 α6 β6 β5 c6 w6 w5 cm5 cm6 cu6 cu5 u5 c5 Figura 11 – Modificação dos triângulos de velocidade de entrada e saída do rotor de uma máquina de fluxo radial geradora levando em conta a influência do número finito e da espessura das pás. 4. Roteiro para cálculo de um rotor radial Ao apresentarmos um roteiro para cálculo de um rotor radial, não temos a pretensão de reduzir o projeto deste que é o principal elemento construtivo das máquinas de fluxo a uma simples receita de bolo, ou de considerarmos este o único e melhor processo para o seu dimensionamento. As opções são as mais diversas possíveis e variam de projetista para 18 projetista, de fabricante para fabricante, em função da experiência acumulada e da realimentação oriunda dos testes realizados. Nossa intenção é tão somente mostrar de um modo simples e didático, como os vários conceitos até agora abordados influem, não apenas sobre o funcionamento das máquinas de fluxo, mas sobre a sua própria construção. Para a apresentação deste roteiro utilizaremos como exemplo o cálculo do rotor de uma máquina de fluxo geradora, que poderá ser um ventilador centrífugo ou uma bomba centrífuga. A seqüência será a seguinte: I - Dados de Projeto: a) Vazão "Q" a ser recalcada, normalmente fornecida em m3/s tanto para bombas como para ventiladores. b) Energia específica disponível "Y" a ser fornecida ao fluido recalcado, indicada em J/kg. No caso de bombas esta energia está vinculada com a altura manométrica "H" a ser desenvolvida, em metros de coluna líquida, através da expressão: Y = g . H, onde g é a aceleração da gravidade, expressa em m/s2. Já no caso de ventiladores a energia específica "Y" está vinculada à diferença de pressão total " tp∆ " a ser produzida, normalmente em N/m 2 (no sistema técnico em mmCA), através da relação: ρ ∆ tpY = (32) onde "ρ" é a massa específica do fluido a ser recalcado e que depende das condições de pressão e temperatura em que ele se encontra. c) Velocidade de rotação "n", em rps ou rpm. A menos que as exigências da máquina acionadora imponha um valor ou uma faixa de valores para a velocidade de rotação, a sua escolha não é rígida e muitas vezes o seu valor inicial é alterado em função das necessidades e limitações do projeto. Um valor elevado para esta velocidade implicará numa redução de dimensões, conseqüentemente de peso, mas poderá levar, por exemplo, a riscos de cavitação no caso de bombas, ou valores fora do campo de realização possível no caso de ventiladores. II - Definição do tipo de rotor: Através do cálculo da velocidade de rotação específica qAn determinaremos qual o tipo de rotor a ser utilizado e o seu formato aproximado. A expressão a ser usada é: 43 21 310 / / qA Y Qnn = ou 43 21 333 / / q Y Qnn = ou 43 21 / / qt H Qnn = (33) onde: n é expresso em rps, Q em m3/s, Y em J/kg e qAn , qn são adimensionais. qtn dá um valor idêntico a qn , mas no cálculo de qtn a rotação é expressa em rpm. 19 Valores muito pequenos de qAn poderão levar à necessidade de associação em série de vários rotores,assim como valores muito elevados de qAn poderão conduzir à associação de rotores em paralelo. III - Estimativa de rendimentos: Como sabemos: mavh ηηηηη ⋅⋅⋅= (34) Embora estes rendimentos possam variar numa faixa muito ampla de valores, dependendo das dimensões da máquina, do tipo de construção adotado e outros fatores, vamos sugerir alguns valores como orientação inicial de cálculo. a) Rendimento hidráulico " hη ": Para bombas os valores deste rendimento variam normalmente desde 0,70 para bombas pequenas, sem grandes cuidados de fabricação até 0,96 para bombas de dimensões grandes, bem projetadas e com muito bom acabamento. Contribuem fundamentalmente para a melhoria deste rendimento um aumento na qualidade de projeto e dos processos de fabricação. Segundo STEPANOFF (1957), para bombas, o rendimento hidráulico permanece invariável com a variação da velocidade de rotação específica. Para os ventiladores os valores do rendimento hidráulico ficam praticamente dentro da mesma faixa indicada para as bombas. Como referência podemos indicar o valor de 0,85 para ventiladores com pás curvadas para trás ( º305 ≤β ), o valor de 0,75 para ventiladores industriais com º305 ≅β e o valor de 0,70 para ventiladores de saída radial ( º905 =β ) e ventiladores do tipo SIROCCO ( º1605 =β ). Deve ser salientado que as dimensões influem decisivamente sobre os valores deste rendimento, tornando-o tanto maior quanto maior for o diâmetro de saída 5D do rotor do ventilador. b) Rendimento volumétrico " vη " Para bombas comuns o rendimento volumétrico varia de 0,83 até 0,98, devendo-se adotar os valores mais baixos para bombas de alta pressão e os mais altos para as de baixa pressão. O processo de fabricação tem grande importância sobre este rendimento, pois quanto maior a folga deixada entre o rotor e a carcaça menor será o seu valor. Para ventiladores este rendimento é muitas vezes considerado como uma função da relação de diâmetros 54 D/D , variando desde 0,70 para uma relação 3054 ,D/D = até um valor de 0,95 para uma relação 9054 ,D/D = . c) Rendimento de atrito fluido " aη " Para bombas este rendimento aumenta rapidamente com o crescimento da velocidade de rotação específica, assumindo um valor da ordem de 0,93 para 60≅qAn , crescendo rapidamente até 0,98 para 180≅qAn e chegando a 0,99 para 350≅qAn . Para rotores abertos sem o disco frontal, este rendimento atinge valores ainda maiores. 20 Nos ventiladores o rendimento de atrito fluido costuma ficar compreendido entre 0,98 e 0,99, diminuindo para rotores de velocidade de rotação específica muito baixa. d) Rendimento mecânico " mη " Nas bombas centrífugas se alcançam rendimentos mecânicos da ordem de 0,96 a 0,99, sendo os valores menores para bombas de pequena potência e os maiores para bombas de grande potência. Para ventiladores, até 100 CV, pode-se utilizar a fórmula prática indicada por COSTA (1978), 75010 ,Plog, em +=η . Acima de 100 CV podem ser utilizados valores maiores. Tanto para bombas como para ventiladores o rendimento mecânico diminui no caso de transmissão por polias e correias. Normalmente se atribuem às perdas oriundas deste tipo de transmissão valores que variam de 5% a 10% da potência transmitida; respectivamente nas correias trapezoidais (em V) ou planas de elastômero com tela, de pequena espessura, e nas de couro. e) Rendimento total "η " Testes com uma grande quantidade de bombas mostram que o rendimento total para uma dada velocidade de rotação específica cresce com o aumento da vazão e para uma dada vazão o melhor rendimento total corresponde à faixa de velocidade específica qAn compreendida entre 100 e 150, podendo chegar ate 93%. Para ventiladores, o rendimento total para uma dada velocidade de rotação específica cresce com o aumento do diâmetro 5D e para uma dada vazão o seu maior valor corresponde a velocidade de rotação específica qAn compreendida entre 150 e 250, podendo chegar até 90%. IV - Cálculo da potência no eixo A potência no eixo ou potência de acionamento será calculada pela expressão: η ρQYPe = (35) onde: eP = potência no eixo, em W; ρ = massa específica do fluido recalcado, em kg/m3: Q = vazão, em m3/s; Y = energia específica fornecida ao fluido, em J/kg; η rendimento total, adimensional. V - Cálculo do diâmetro do eixo Para os rotores radiais a determinação aproximada do diâmetro do eixo deve preceder o cálculo das pás. Esta determinação preliminar baseia-se exclusivamente numa solicitação de 21 torção, considerando tensão admissível de cisalhamento admτ com valor subestimado para compensar possíveis imprecisões de cálculo. Desta maneira o diâmetro do eixo das bombas será calculado pela fórmula: 3 n PKd eee = (36) onde: ed = diâmetro do eixo, calculado em cm; eP = valor máximo da potência no eixo para a rotação de cálculo, em kW; n = velocidade de rotação de projeto, em rpm; eK = coeficiente que depende da tensão admissível de cisalhamento. Considerando o eixo de aço carbono SAE 1045 ou SAE 1050, teremos: eK = 14, correspondendo à 2210 cm/kgf adm ≅τ para bomba de um só estágio; eK = 16, correspondendo à 2120 cm/kgf adm ≅τ para bombas vários estágios. Embora o diâmetro do eixo de ventiladores possa ser calculado pela fórmula anterior, baseada no momento torçor, TEDESCHI (1969) recomenda neste caso o uso das seguintes expressões, baseadas no momento de flexão, para uma primeira aproximação: Para 5D < 400 mm, 5090 D,de = Para 5D = 400 a 600 mm, 5080 D,de = Para 5D > 600 mm, 50670 D,de = Uma vez projetado o rotor, tanto para bombas como para ventiladores, deve-se proceder ao cálculo dos esforços reais, levando em consideração torção e flexão, o cálculo da flecha máxima e a determinação da velocidade de rotação crítica. O diâmetro definitivo do eixo deve levar em conta todos estes fatores. VI - Fixação do diâmetro do cubo " cd " O diâmetro do cubo " cd " pode ser adotado normalmente de l0 a 30 mm maior que o diâmetro do eixo, no caso de fixação por chaveta. VII - Cálculo da velocidade na boca de sucção " ac " O cálculo estimativo da velocidade na boca de sucção ac pode ser feito pela expressão: YKc caa 2= (37) 22 onde: ac = velocidade na boca de sucção ou aspiração, em m/s; Y = energia fornecida ao fluido, em J/kg; caK = coeficiente de velocidade na boca de sucção, adimensional. Para bombas pode-se estimar o valor de caK pela fórmula: ( ) 32310846 /qAca n,K −⋅= (38) Já para ventiladores o coeficiente de velocidade pode ser calculado por: ( ) 320820 /qAca n,K = (39) Geralmente a velocidade ac está compreendida na faixa de 2 a 5 m/s para bombas e na faixa de 5 a 30 m/s, ou valores ainda maiores, para ventiladores. VIII - Determinação do diâmetro da boca de sucção Levando em consideração a obstrução provocada pelo eixo e pelo cubo do rotor, o diâmetro da boca de sucção do rotor das bombas pode ser determinado pela equação: 24 c av a dc QD += πη (40) onde aD é expresso em m, Q em m 3/s, ac em m/s, cd em m e vη é adimensional. Para ventiladores, como a obstrução citada normalmente não é levada em consideração, podemos calcular o diâmetro da boca de sucção do rotor pela expressão: av a c QD πη 4 = (41) IX - Cálculo da altura de sucção máxima (no caso de bombas) A altura de sucção máxima será calculada pela equação já determinada anteriormente, considerando acc =3 : g c H pp )hh(h amin vb maxpssgmaxs 2 2 −−−=+= σ γγ (42) onde o coeficiente de cavitação minσ pode ser calculado pela fórmula: ( ) 3441092 /qAmin n, −⋅=σ (43) 23 Se o valor calculado para maxsh não satisfazer os requisitos de projeto, levando em consideração o tipo de aplicação previsto, isto poderá levar a uma modificação dos dados de projeto, principalmente no que se refere à velocidade de rotação estabelecida inicialmente. X - Fixação do ângulo de saída " 5β " O ângulo de inclinação das pós na saída do rotor 5β será fixado em função dos critérios discutidos no item 2, com as seguintes faixas de valores recomendadas: - Para bombas centrífugas: o a 30205=β - Para ventiladores de alta pressão, alto rendimento e carga limitada o a 30125 =β - Para ventiladores de média e alta pressão, do tipo industrial: o a 90455 =β - Para ventiladores de alta vazão, pequena pressão, carga ilimitada, do tipo SIROCCO: o a 1701505 =β XI - Cálculo provisório do diâmetro de saída " 5D " Para o cálculo provisório do diâmetro 5D , estimaremos primeiramente o valor do coeficiente de pressão "Ψ ", através da expressão indicada por TEDESCHI (1969) para o caso de bombas centrífugas: qAn, 41008561 −⋅−=Ψ (44) O mesmo TEDESCHI (1969) indica para ventiladores de construção comum a seguinte fórmula empírica: 2 591850 763 − = β Ψ , (45) onde 5β é indicado em graus e Ψ adimensional. A partir deste valor determinaremos a velocidade tangencial de saída 5u e o diâmetro de saída do rotor pelas seguintes equações: 24 Ψ Yu 25 = n u D π 5 5 = (46) onde são utilizadas as seguintes unidades: 5u em m/s, Y em J/kg, 5D em m, n em rps e Ψ é adimensional. XII - Cálculo do diâmetro de entrada " 4D " A partir de critérios empírico-estatísticos TEDESCHI (1969) indica a seguinte fórmula para bombas centrífugas: ( ) 21 5 4 0440 /qAn,D D = (47) Para ventiladores, ainda que muitos projetistas adotem aDD ≅4 , ECK 9 propõe a seguinte expressão, para o1005 <β . 31 5 4 1941 /, D D φ≥ (48) onde "φ " é o denominado coeficiente de vazão, adimensional, definido pela equação: 5 2 5 4 uD Q π φ = (49) Já para ventiladores com rotor do tipo SIROCCO, o a 1701505 =β 280200 a nqA = , 1≅φ e 32 a =Ψ , pode se considerar: 90 5 4 , D D = Conhecida a relação 5 4 D D , o diâmetro de entrada 4D , será calculado por: 5 5 4 4 DD DD = (50) XIII - Cálculo da largura na entrada " 4b " Pela equação da continuidade e levando em conta as perdas por fuga, podemos escrever: 34 4 mv cD Qb πη = (51) 25 com 4b , em m, Q em m 3/s, 4D , em m, 3mc em m/s e vη é adimensional. Para bombas a componente 3mc da velocidade absoluta na entrada do rotor, ainda fora do recinto ocupado pelas pás, deve ser tomada ligeiramente superior à velocidade ac na boca de sucção para que a corrente entre no rotor ligeiramente acelerada, ou seja: am 1,05c a 1,0c =3 (52) Para ventiladores centrífugos MATAIX (1975) indica a fórmula: a / qA m cn ,c 61 3 30050 = (53) XIV - Cálculo provisório do ângulo de inclinação das pás na entrada " 4β " Considerando entrada radial do fluido no rotor, teremos o9034 ==αα e pelo triângulo de velocidades: 4 4 4 u ctg =β ou 4 4 4 u carctg=β (54) Para o cálculo da velocidade absoluta do fluido à entrada do rotor 4c , já dentro dos canais formados pelas pás, teremos que estimar o valor do fator de estrangulamento para a entrada do rotor, normalmente dentro da faixa 90804 , a ,f e = , para bombas e 950904 , a ,f e = , para ventiladores. Logo: 4 3 44 e m m f c cc == (55) A velocidade tangencial para a entrada do rotor 4u , é calculada pela expressão: nDu 44 π= (56) onde 4u , é medida em m/s, 4D , em m e n em rps. XV - Cálculo do número de pás "N" Para bombas, uma das fórmulas mais utilizadas para o cálculo do número de pás do rotor é a devida a PFLEIDERER (1960). 2 45 45 45 ββ + − + = sen DD DD KN N (57) onde: 26 56,K N = = coeficiente de correção para rotores fundidos; 08,K N = = coeficiente de correção para pás executadas em chapas finas, conformadas. O valor de N assim calculado deverá ser arredondado para número inteiro mais próximo. Para ventiladores, TEDESCHI (1969) aconselha as fórmulas seguintes: 54 54 1 1 10 D/D D/D N − + = para rotores com o1005 ≤β e (58) 54 54 5 1 1 70 D/D D/D D,N − + = para rotores o1605 ≅β . (59) XVI - Fixação da velocidade meridiana de saída " 5mc " Para bombas podemos utilizar a expressão: ( ) 2155 01350 /qAm nu,c = (60) Enquanto que para ventiladores de alta pressão, faz-se comumente: 35 mm cc = Já para os ventiladores de baixa e média pressões normalmente é definida esta velocidade a partir da condição 45 bb = . XVII - Cálculo provisório da largura de saída " 5b " Também pela equação da continuidade podemos calcular: 555 5 emv fcD Qb πη = (61) onde se considera 15 =ef para o cálculo provisório. Nesta equação 5b é em m, Q em m 3/s, 5D em m, 5mc em m/s, vη e 5ef são adimensionais. XIII - Fixação da espessura "e" das pás Na fixação da espessura das pás são utilizados critérios de resistência dos materiais, rigidez estrutural e processos de fabricação. Para uma primeira orientação, no entanto, TEDESCHI (1969) propõe as seguintes fórmulas empíricas: - para bombas com rotor fundido 27 ( ) 315530 /bD,e ≅ (62) onde todas as grandezas são expressas em milímetros. - para ventiladores com o 1005 <β , construídas em chapa ( ) 215220090 /D, a ,e = (63) sendo os valores mais baixos correspondentes a 03055 ,D/b = e os mais elevados correspondentes a 3055 ,D/b = . - para rotores do tipo SIROCCO ( º1605 =β ) 21 50450 /D,e = , com pás fixadas por rebites e 215090 /D,e = , com pás soldadas. XIX - Correção do ângulo " 4β " Uma vez conhecida a espessura das pás e o seu número, poderemos fazer a comprovação do valor do fator de estrangulamento para a entrada do rotor, inicialmente estimado: 4 44 4 t et f te − = onde: N Dt 44 π = = passo na entrada do rotor, em mm; 4 4 βsen eet = = espessura tangencial das pás na entrada do rotor, em mm. Determinando o valor de 4ef , calcularemos os novos valores de 4c e do ângulo 4β de acordo com o procedimento adotado no item XIV. XX - Cálculo da energia específica " ∞paY " Inicialmente calcularemos o valor da energia específica fornecida pelo rotor com número finito de pás através da relação: h pa YY η = (64) Posteriormente calcularemos a energia específica fornecida pelo rotor suposto com número infinito de pás pela equação: 28 µ pa pa Y Y =∞ (65) onde o fator de deficiência de potência "µ " será determinado por uma das expressões sugeridas anteriormente, a de PFLEIDERER (1960) para bombas e a de ECK (1973) para ventiladores. XXI - Correção da velocidade tangencial " 5u " A equação fundamental para máquinas de fluxo radiais com número infinito de pás e o904 =α , é: 55 upa cuY =∞ Pelo triângulo de velocidades para a saída do rotor (Figura 12) vemos que: 5555 βtg/cuc mu −= . cm 5 cu5 α 5 β 5 c5 w 5 u 5 Figura 12 – Triângulo de velocidades para a saída de rotor radial com número infinito Levando este valor na expressão anterior vem: 5 5 52 5 5 5 55 utg c u tg c uuY mmpa ββ −= −=∞ (66) Resolvendo esta equação do 2o grau se obtém: ∞+ ±= pa mm Y tg c tg c u 2 5 5 5 5 5 22 ββ 29 Como o sinal negativo antes do radical pode ser desconsiderado pois implicaria em 5u negativa, ficamos com: ∞+ += pa mm Y tg c tg c u 2 5 5 5 5 5 22 ββ (67) Esta é a expressão utilizada para a correção do valor da velocidade tangencial 5u quando a entrada do fluido no rotor se verifica de maneira radial ( o904 =α ). Caso isto não aconteça, o termo 44 ucu deve ser levado em consideração. XXII - Cálculo definitivo do diâmetro de saída " 5D " Utilizando o valor corrigido de 5u podemos calcular definitivo de 5D pela expressão: n u D π 5 5 = onde 5D é obtido em m, com 5u em m/s e n em rps. XXIII - Cálculo definitivo da largura de saída " 5b " Novamente utilizaremos a expressão 555 5 emv fcD Qb πη = quando temos agora condições de efetuar o cálculo do valor real do fator de estrangulamento 5ef . 5 55 5 t et f te − = onde: N D t 55 π = passo na saída do rotor, em mm; 5 5 βsen eet = espessura tangencial das pás na saída do rotor, em mm. XXIV - Triângulo de velocidades na saída Com os elementos até agora conhecidos já temos condições de calcular os demais valores das velocidades componentes do triângulo correspondente a um ponto logo após a saída dos canais formados pelas pás do rotor. 30 A componente meridiana da velocidade absoluta de saída 6mc é calculada levandoem conta o aumento da seção de passagem em decorrência do desaparecimento das pás ou seja: 556 emm fcc = Enquanto que a componente tangencial da velocidade absoluta levará em conta o fator de deficiência de potência "µ ", como veremos a seguir para o9043 ==αα . 5 6 55 65 u u u u pa pa c c cu cu Y Y === ∞ µ , ou ainda: 56 uu cc µ= Podemos então traçar o triângulo de saída da Figura 13. α6 β 6 cu6 cm6 w 6c6 u5 Figura 13 – Triângulo de saída do rotor radial com número finito de pás de espessura finita O ângulo 6α obtido neste triângulo está intimamente vinculado com o ângulo de inclinação das pás do difusor, no caso de difusor de pás, ou com a inclinação da lingüeta do difusor em caixa espiral, caso ele seja deste tipo. Normalmente, para bombas, o valor deste ângulo está compreendido nas faixas: o a 1256 =α , para difusor de pás; o a 25126 =α , para difusor em caixa espiral ou anular liso. XXV - Traçado das pás do rotor Pela equação fundamental das máquinas de fluxo vemos que a energia teoricamente a ser fornecida pelo rotor ao fluido depende exclusivamente das condições de entrada e saída do rotor, ou seja, dos ângulos 4β e 5β de inclinação das pás na entrada e saída do rotor. No entanto um mau traçado das pás, com mudanças bruscas de direção afeta diretamente o 31 rendimento hidráulico e conseqüentemente o valor da energia que realmente o rotor cede ao fluido. Muitos são os tipos de traçado que buscam uma transição suave entre o ângulo de entrada e o ângulo de saída das pás do rotor. Entre estes podemos citar o traçado por pontos, o traçado por arco de espiral logarítmica e o traçado por um ou mais arcos de circunferência. Como exemplo vamos comentar o traçado por um só arco de circunferência (Figura 14). Este tipo de traçado se resume em resolver graficamente o problema de buscar o centro de um arco de circunferência, que corte as circunferências de entrada e saída de raios 4r e 5r respectivamente sob os ângulos 4β e 5β conhecidos. Inicialmente traçamos duas circunferências de raios 4r e 5r respectivamente, com centro no ponto 0. A partir do ponto 0 traçamos um raio qualquer 0A, sendo A o ponto final da pá a ser construída. Em seguida levamos o ângulo 54 ββ + no ponto 0, a partir do raio 0A, dando origem desta maneira a um novo raio que intercepta circunferência de raio r, no ponto B. Unindo o ponto A com o ponto B através de uma reta e prolongando-a até interceptar novamente a circunferência de raio r, determinamos o ponto C. A partir do raio 0C, com centro em C, traçamos o ângulo 1, e a partir do raio 0A, com centro em A, traçamos o ângulo 5β . O ponto D, onde se encontram as retas AD e CD, será o centro da circunferência buscada. Com efeito, o triângulo 0BC é um triângulo isóscele. Logo os seus ângulos internos guardam a seguinte relação δββ ++== 5400 CBBC , conseqüentemente concluímos que BADBCD =+= δβ 5 e o triângulo ACD também é isósceles com CDAD = e D é o centro de curvatura da pá a ser construída, que corta a circunferência de raio 4r com o ângulo 4β e a circunferência de raio 5r com o ângulo 5β . O raio de curvatura CR da pá pode ser calculado pela seguinte expressão: ( )4455 2 4 2 5 2 ββ cosrcosr rrRC − − = (68) β4 + β5 β5 β4 δ C B A O r5 r4 Rc Figura 14 – Traçado da pá de rotor radial pelo método do arco de circunferência. A mesma construção serve para pás curvadas para frente, permutando os pontos B e C e caindo o ponto D no outro lado de AC. 32 XXVI – Projeções meridiana e normal do rotor de uma bomba centrífuga Como resultado do pré-projeto de uma bomba hidráulica obtém-se as projeções no plano meridiano e no plano normal do rotor, como ilustrado na Figura 15. (a) (b) Figura 15 – Projeção meridiana (a) e normal (b) do rotor de uma bomba centrífuga radial. 33 REFERÊNCIAS BRAN, R.; SOUZA, Z. Máquinas de Fluxo, Ao Livro Técnico S/A, Rio de Janeiro, 1969, 262p. COSTA, E.C. Compressores, Editora Edgar Blucher Ltda, São Paulo, 1978. ECK, B. Fans, Pergamon Press Ltd., Oxford, 1973 HENN, E.A.L. Influência do Número Finito de Pás em Máquinas de Fluxo. Dissertação de Mestrado, Itajubá, EFEI, 1972, 88p. HENN, E.A.L. Máquinas de Fluxo, manuscrito a ser submetido para publicação, UFSM, 1996. 183p MACINTYRE, A.,J. Bombas e Instalações de Bombeamento, Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1980, 667p. MACINTYRE, A.,J. Máquinas Motrizes Hidráulicas, Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1983, 649p. MATAIX, C. Turbomáquinas Hidráulicas, Ed. ICAI, Madrid, 1975. PFLEIDERER, C.; PETERMANN, H. Máquinas de Fluxo, LTC Editora S/A, Rio de Janeiro, 1979, 454p. PFLEIDERER, C. Bombas Centrífugas y Turbocompressores, Editorial Labor, Barcelona, 1960. SEDILLE, M. Ventilateurs et Compresseurs Centrifugues et Axiaux, Masson et Cie Editeurs, Paris, 1973. STODOLA, A. Steam and Gas Turbines, Peter Smith, New York, 1945. TEDESCHI, P. Proyecto de Máquinas, Editorial Universitária, Buenos Aires, 1969. VARLEY, F.A. Effects of Impeller Design and Surface Roughness of the Performance of Centrifugal Pumps. Proceedings Institution of Mechanical Engineers, 175, London, 1975. WIESNER, F.J. A Review of Slip Factors for Centrifugal Impellers. Transaction of the ASME – Journal of Engineering for Powers, October, 1967, p558-572.
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