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ESTATÍSTICA I
POLÍCIA FEDERAL
Estatística Básica
Livro Eletrônico
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ESTATÍSTICA I
Estatística Básica
Prof.a Karine Waldrich 
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SUMÁRIO
Estatística Básica ........................................................................................5
1. Histogramas e Curvas de Frequência. Distribuição de frequências: absoluta, 
relativa, acumulada ....................................................................................5
2. Medidas de Posição ...............................................................................10
2.1. Média ...............................................................................................10
2.2. Moda ................................................................................................16
2.3. Mediana ............................................................................................20
2.4. Separatrizes ......................................................................................27
3. Medidas de Dispersão ............................................................................28
3.1. Variância...........................................................................................30
3.2. Desvio-Padrão ...................................................................................34
3.3. Coeficiente de Variação .......................................................................35
3.4. Variação relativa ................................................................................38
3.5. Posição relativa ..................................................................................38
3.6. Operações com as medidas de dispersão e posição .................................40
4. Resumo da aula de hoje ........................................................................42
Questões de concurso ...............................................................................45
Gabarito ..................................................................................................58
Gabarito comentado .................................................................................59
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a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
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Estatística Básica
Prof.a Karine Waldrich 
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Apresentação da professora:
Oi, meu(minha) querido(a)! Tudo bem?
Meu nome é Karine Waldrich. Nasci em Blumenau, Santa Catarina. Sou Audito-
ra-Fiscal da Receita Federal do Brasil, aprovada em 39o lugar no concurso de 2010. 
Fui também aprovada para o concurso de Analista Tributário da Receita Federal do 
Brasil de 2010, na 61a colocação.
 Sou professora de preparatório para concursos desde 2010, sempre focando 
nas disciplinas de exatas. 
Minha história de aprovação foi cheia de altos e baixos. 
Primeiro veio a decisão de estudar para concursos. Foi assim: formei-me na fa-
culdade e fui fazer o estágio em uma multinacional. Trabalhei muito, o que nunca 
me incomodou. Sou o tipo de pessoa “formiga”, que acha que nada cai do céu. Mas 
o clima de instabilidade me incomodava demais. Depois de muito refletir, vi que, 
acima de qualquer aspiração profissional, minha maior vontade era simplesmente 
ser feliz, com qualidade de vida. 
Em 2009, quando saiu a autorização para o concurso da Receita Federal (mais 
precisamente, no dia 24 de abril de 2009), comecei a estudar para aquela prova, 
para o cargo de Auditor-Fiscal. 
KARINE WALDRICH
Auditora Fiscal da Receita Federal do Brasil, aprovada em 39° lugar - em 
2010. Aprovada no concurso de Analista Tributário da Receita Federal 
do Brasil, em 61° lugar – em 2010. Professora de Raciocínio Lógico, Ma-
temática Básica, Matemática Financeira, Estatística Básica e Estatística 
Avançada para concursos. Coach certificada pela Sociedade Latino Ame-
ricana de Coaching. Idealizadora e executora do programa de coaching 
para concursos CoachingdaWaldrich. Pós-graduanda em Neuroeducação.
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Claro que eu tinha um pouco de base das faculdades, mas não sabia nada dos 
Direitos e comecei do zero. Estudei muito. Em setembro saiu o edital e em dezem-
bro foram as provas. 
Fui aprovada em 39o lugar, dentre os 70.000 candidatos. 
Falando sobre meu estudo, Blumenau é uma cidade de 300.000 habitantes, 
sem muita opção de estudo para concursos. Estudei basicamente em casa, numa 
escrivaninha velha do lado da minha cama. Utilizei cursos online e, por serem de-
talhados e em uma linguagem mais informal do que a utilizada em livros, foi o que 
salvou. Odeio livro com cara de “biblioteca velha de faculdade”. Rsrs
Bom, independente disso, o que foi determinante para a minha aprovação, sem 
dúvidas, foi a força de vontade. Foi estudar muito. Eu queria muito passar, queria 
muito sair daquela escrivaninha.
Concurso público não pede foto para inscrição. Não importa se você é bonito 
ou feio, preto ou branco, rico ou pobre, gordo ou magro. O que importa é se você:
1) Quer passar;
2) Estudar muito para passar.
Se você quer passar e estudar muito para passar, já tem 90% das chances de 
ser aprovado. 
Espero que possamos ter um excelente curso e conto com você para isso. Para 
acompanhar mais dicas de Raciocínio Lógico, curta minha página no Facebook 
(@profkarinewaldrich) e no Instagram (@karinewaldrich).
Agora vamos ao conteúdo desta aula, propriamente dito.
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1. Histogramas e Curvas de Frequência. Distribuição de frequên-
cias: absoluta, relativa, acumulada
Pessoal, Estatística nada mais é do que uma maneira de transformar dados em 
informações.
Inicialmente, antes das questões, vou passar para vocês um resumo de concei-
tos teóricos frequentemente pedidos em concurso. 
Seguirei, como referência bibliográfica, o livro do Triola (Triola, Mário F., Intro-
dução à Estatística, 10ª edição, LTC, 2011).
Tipos de dados:
• Qualitativos (ou categóricos ou de atributos): podem ser separados em dife-
rentes categorias que se distinguem por alguma característica não numérica. 
Exemplo: sexo dos atletas profissionais;
• Quantitativos: consistem em números que representam contagens ou me-
didas. Exemplo: o peso de modelos;
• Contínuos: resultam de infinitos valores possíveis que correspondem a algu-
ma escala contínua que cobre um intervalo de valores sem vazios, interrup-
ções ou saltos. Exemplo: quantidade de leite de vacas;
• Discretos: surgem quando o número de valores possíveis é ou um número 
finito ou uma quantidade enumerável. Exemplo: os números de ovos que ga-
linhas botam;
• Nominais: dados que consistem em nomes, rótulos ou categorias, apenas. 
Os dados não podem ser ordenados (tal como do menor para o maior). Exem-
plo: respostas sim, não ou indeciso, de um questionário;
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• Por postos: também chamada de Ordinal. Os dados podem ser arranjados 
em alguma ordem, mas diferenças entre os valores dos dados ou não podem 
ser determinadas ou não são significativas. Exemplo: Notas em um curso, em 
uma escala A, B, C, D e E. Pode-se colocar as notas em ordem crescente (a 
nota A é maior que a B, assim por diante). Porém, não se pode subtrair B de A.
Estatística:
• Descritiva: o objetivo é resumir ou descrever as características importantes 
de um grupo de dados;
• Inferencial: quando se usa dados amostrais para fazer inferências (genera-
lizações) sobre uma população. 
Demais definições:
• População: é a coleção completa de todos os elementos a serem estudados;
• Censo: é um conjunto de dados obtidos de todos os membros da população;
• Amostra: um subconjunto de membros selecionados da população;
• Experimento aleatório: fenômenos que, quando repetidos inúmeras vezes 
em processos semelhantes, possuem resultados imprevisíveis. O lançamento 
de um dado e de uma moeda são considerados exemplos de experimentos 
aleatórios. No caso dos dados, podemos ter seis resultados diferentes {1, 2, 
3, 4, 5, 6}; e, no lançamento da moeda, dois {cara, coroa};
• Variáveis: atributo, mensurável ou não, sujeito à variação quantitativa ou 
qualitativa, no interior de um conjunto;
• Atributos: quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, 
o levantamento e os estudos necessários ao tratamento desses dados são 
designados, genericamente, de estatística de atributo.
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Passada essa teoria mais “formal”, vamos a exemplos práticos :)
Se eu digo assim:
“Tenho 3 primos com 10 anos e 3 primos com 20 anos”.
A Estatística é capaz de me dizer que a média de idade é de 15 anos. Entendem? 
Algo muito importante em Estatística, antes de qualquer coisa, é saber identifi-
car a maneira como o examinador dispôs os dados.
Ele pode ter colocado na forma de dados brutos. Por exemplo:
10, 20, 20, 10, 20, 10.
Estas são as idades dos primos acima, só que sem qualquer tabulação. É como 
se eu tivesse vendo os tais primos enfileirados, de qualquer forma, e anotando 
numa prancheta.
 Se eu quiser arrumar um pouco mais os dados, colocando-os em ordem cres-
cente ou decrescente, terei um rol: 
10, 10, 10, 20, 20, 20.
Ou, então, posso organizá-los numa tabela. Assim, terei dados tabulados:
Idade (anos) Número de primos
10 3
20 3
Ainda posso fazer uma distribuição de frequências. Nela, os dados estão em 
intervalos, como abaixo:
Faixa etária (anos) Número de primos
10 |----- 20 3
20 |----- 30 3
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Na distribuição de frequências, eu não posso afirmar que o meu primo tem exa-
tamente 10 ou 20 anos. Os dados estão dispostos em classes: a primeira classe 
vai da idade de 10 anos até quase 20. O símbolo do meio, |-----, significa intervalo 
fechado à esquerda e aberto à direita. “Fechado à esquerda” indica que inclui o 
limite inferior, ou seja, os 10 anos. Já a segunda classe, que também é fechada à 
esquerda, vai de 20 a 30 anos.
A diferença 30 – 20 (ou seja, o “tamanho” de cada classe) é chamada de am-
plitude da classe.
Uma definição muito importante em uma distribuição de frequências é o Ponto 
Médio da classe (PM). Ele é calculado da seguinte forma:
PM = Limite inferior + Limite Superior 
 2
No nosso caso, o PM = 10 + 20 = 15.
 2
Mais adiante iremos ver a aplicação prática do PM. Não se preocupem, ok?
Outra definição importante que devemos entender é a dos tipos de frequências. 
Existem 4 tipos de frequência. Duas têm a ver com a maneira como os dados 
são mostrados:
• Frequência Absoluta: é a frequência em número de elementos (como a 
frequência fi que vimos até agora);
• Frequência Relativa: é a frequência em percentual de elementos.
E duas referem-se à classe:
• Frequência Simples: é a frequência daquela classe especificamente (como 
a frequência fi, que vimos até agora);
• Frequência Acumulada: são as frequências simples somadas até determi-
nada classe.
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Assim, essas frequências podem ser combinadas. A frequência fi, que viemos 
utilizando até agora, é a Frequência Absoluta Simples (ou Frequência Simples Ab-
soluta). Se ela estivesse na forma percentual (em relação a n), seria a Frequência 
Relativa Simples, assim por diante. A tabela abaixo explica melhor: 
Frequência Absoluta (f) Relativa (F)
Simples
Frequência relativa simples:
Símbolo: fi
Indica o número de elementos em 
cada classe.
Frequência relativa simples:
Símbolo: Fi
Indica o percentual de elementos 
da classe, em relação ao total.
Acumulada
Frequência absoluta acumulada 
(temos dois tipos):
Crescente: fac
Indica o número de elementos 
somados até determinada classe, 
começando da primeira classe. Ou 
seja, se queremos saber a fac da 
terceira classe, devemos fazer f1 + f2 
+ f3
Decrescente: fad
Indica o número de elementos 
somados até determinada classe, 
começando da última classe. Ou 
seja, se queremos saber a fac da 
antepenúltima classe, devemos fazer
fn + fn-1 + fn-2
Frequência relativa acumulada 
(temos dois tipos):
Crescente: Frc
Indica o percentual de elementos 
somados até determinada classe, 
começando da primeira classe. Ou 
seja, se queremos saber a Frc da 
terceira classe, devemos fazer F1 + 
F2 + F3
Decrescente: Frd
Indica o percentual de elementos 
somados até determinada classe, 
começando da última classe. Ou 
seja, se queremos saber a Frc da 
antepenúltima classe, devemos 
fazer
Fn + Fn-1 + Fn-2
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2. Medidas de Posição
2.1. Média
A média é a medida de posição mais usada. Quem nunca precisou calcular as 
médias das notas para passar de ano no colégio ou na faculdade??? Rs
 Existe uma equação de média para dados em forma de rol, para dados em for-
ma tabulada e para distribuição de frequências. 
 Ih!!!!!!! Vocês devem estar pensando que deverão “decorar” três equações, 
não é? Eu digo... não! Uma equação é derivada da outra, então, basta que vo-
cês decorem para a distribuição de frequências... Para as outras, basta uma leve 
“adaptação” rs.
 Bem, vamos a elas? Temos, para o rol, a equação abaixo, lembrando que n é o 
número total de elementos do rol.
Não se assustem com o somatório.Ele indica que todos os elementos do rol 
serão somados, apenas isso. Adiante veremos a equação acima sendo aplicada...
Já para os dados tabulados, temos:
Neste caso, n é a soma de todas as frequências. Aqui, teremos cada frequência 
multiplicada pelo dado o qual estamos lidando (na tabela que mostrei acima, seria 
a frequência multiplicada pela idade de cada primo).
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E, para a distribuição de frequências, temos:
Percebam que as três equações são bem parecidas! Para passar da equação da 
média do rol para a equação para média dos dados tabulados, basta acrescentar a 
frequência absoluta simples. E, para passar de equação dos dados tabulados para 
uma distribuição de frequências, basta trocar o Xi pelo PMi, que é o nosso conhecido 
Ponto Médio da classe. 
Isto vai acontecer sempre, em todas as equações. Sempre que quisermos pas-
sar de equação do rol para dados tabulados e para distribuição de frequências 
faremos essas substituições, ou seja:
ROL --> DADOS TABULADOS: acrescentar fi.
DADOS TABULADOS --> DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS: trocar xi por PMi.
1. (FCC/BACEN/ANALISTA/2006) O histograma de frequências absolutas a seguir 
foi elaborado com base nas informações contidas na revista “O Empreiteiro”, de 
junho de 2005, que demonstra o comportamento das empresas construtoras do 
ramo da construção civil no Brasil que obtiveram faturamento em 2004 maior ou 
igual a 15 milhões de reais e menor ou igual a 120 milhões de reais
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Com base nessas informações, obteve-se a média aritmética do faturamento das 
empresas desse estudo, considerando que todos os valores incluídos num certo 
intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Com re-
lação ao total de empresas desse histograma, o valor encontrado para essa média 
pertence ao intervalo de classe que contém
a) 24% das empresas.
b) 16% das empresas.
c) 9% das empresas.
d) 7% das empresas.
e) 5% das empresas. 
Comentário: 
Essa questão fala da média para uma distribuição de frequências.
“COMO ASSIM, FESSORAAAA??? NÃO TEM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS NO 
ENUNCIADO E, SIM, UM GRÁFICO!!!!”.
É verdade! O enunciado da questão mostra um gráfico que ele chama de histo-
grama.
Ocorre que o histograma é a representação gráfica da distribuição de frequ-
ências.
Cada coluna do gráfico compreende um intervalo, que são justamente as classes 
da distribuição.
Acima de cada coluna, há um número, que é a frequência da classe. 
Assim, podemos transformar o histograma do enunciado na seguinte distribuição 
de frequências:
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R$ (milhões) Frequências
15 |----- 30 31
30 |----- 45 24
45 |----- 60 16
60 |----- 75 9
75 |----- 90 5
90|----- 105 7
105 |---- 120 8
Podemos calcular a média aritmética da distribuição de frequências. A equação é:
O valor PM significa Ponto Médio da Classe. Ele é calculado da seguinte forma:
PM = Limite inferior + Limite Superior 
 2
Por exemplo, o Ponto Médio da primeira classe é:
30 + 45
2 = 37,5
Reparem que o enunciado diz:
“Considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de clas-
se são coincidentes com o ponto médio deste intervalo”.
O enunciado apenas reafirma uma premissa básica do cálculo da média aritmética 
de uma distribuição de frequências. Para a distribuição, o cálculo desconsidera que 
a frequência coincide com o PM do intervalo. Por isso, a equação da média conside-
ra apenas o valor de PM.
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Para o cálculo, precisamos do valor de . Para isso, da mesma forma como fizemos 
nos dados tabulados, podemos colocar mais duas colunas na tabela da distribuição. 
Uma para o cálculo de PM e outra para o produto da frequência fi pelo PM:
R$ (milhões) Frequências (fi) PM
15 |----- 30 31
15 + 30
2 = 22,5
30 |----- 45 24
30 + 45
2 = 37,5
45 |----- 60 16
45 + 60
2 = 52,5
60 |----- 75 9
60 + 75
2 = 67,5
75 |----- 90 5
75 + 90
2 = 82,5
90|----- 105 7
90 + 105
2 = 97,5
105 |---- 120 8
105 + 120
2 = 112,5
Uma maneira mais rápida de calcular PM é calculando o seu valor para a primeira 
classe e, para as outras, somar ao valor do PM anterior o valor da amplitude da 
classe.
A amplitude da classe é a diferença entre o Limite Superior e o Limite Inferior da 
classe. Para essa distribuição, Limite Superior – Limite Inferior = 15.
Assim, o PM da segunda classe é o valor do PM da primeira classe + 15. O valor do 
PM da terceira classe é o valor do PM da segunda classe + 15. Vamos refazer o PM 
deste jeito, na tabela abaixo:
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R$ (milhões) Frequências (fi) PMi
15 |----- 30 31
15 + 30
2 = 22,5
30 |----- 45 24 22,5 + 15 = 37,5
45 |----- 60 16 37,5 + 15 = 52,5
60 |----- 75 9 52,5 + 15 = 67,5
75 |----- 90 5 67,5 + 15 = 82,5
90|----- 105 7 82,5 + 15 = 97,5
105 |---- 120 8 97,5 + 15 = 112,5
A partir de PMi e fi, fazemos a multiplicação fi.PM para cada classe:
R$ (milhões) Frequências (fi) PM fi.PM
15 |----- 30 31 22,5 697,5
30 |----- 45 24 37,5 900
45 |----- 60 16 52,5 840
60 |----- 75 9 67,5 607,5
75 |----- 90 5 82,5 412,5
90|----- 105 7 97,5 682,5
105 |---- 120 8 112,5 900
n = 31+24+16+9+5+7+8 
= 100
Σfi.PM = 697,5+900+840+
607,5+412,5+682,5+900 
= 5040
O valor da média é: 
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O enunciado pergunta qual o intervalo de classe que contém o valor encontrado 
para a média. 
A média, de 50,4, pertence ao intervalo de classe 45 |----- 60, que contém 16 em-
presas. Em termos percentuais, esse intervalo contém:
16
100 = 0,16 = 16%
Assim, a média pertence ao intervalo que contém 16% das empresas.
R: B.
2.2. Moda
A moda, em grossas palavras, indica o item com maior quantidade de ele-
mentos em umrol, dado tabulado ou distribuição de frequências. Por exemplo, 
no rol abaixo:
1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3
A moda é o 2, pois existem 4 elementos “2” no rol.
Para os dados tabulados, é mais fácil ainda, não precisa nem somar, basta ver 
na tabela. Por exemplo, abaixo temos o número de casas por cores em uma rua:
Cor Número de primos
Azul 3
Branco 5
Rosa 4
Bege 1
Nessa rua, a moda é a casa na cor branca, pois a maior parte dos elementos do 
conjunto de casas da rua são brancas.
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Para a distribuição de frequências, a moda requer o conhecimento de uma equa-
ção, ou melhor, de duas equações...
Isso porque a moda de uma distribuição de frequências pode ser calculada de 
duas maneiras, cada um produzindo um resultado. Cada equação leva o nome do 
seu autor: Czuber e King. Ou seja, temos a Moda de Czuber (lê-se quizuba) e a 
Moda de King.
Quando a questão só pede a moda, sem dizer qual tipo, entendemos que ela 
está falando da Moda de Czuber, ok?
Mo = lim inf + ∆a∆a + ∆p ∙ h
Lim inf é o limite inferior da classe modal. Classe modal é a classe que contiver 
maior frequência.
Explicando o que significa cada ∆:
∆a = diferença anterior = frequência da classe modal – frequência da classe 
anterior (se não existir, é 0);
∆p = diferença posterior = frequência da classe modal – frequência da classe 
posterior (se não existir, é 0);
h é a amplitude da classe, já vimos. É o limite superior – limite inferior.
A Moda de Czuber é também chamada de moda dos deltas. 
Reparem que essa equação foi fornecida pelo enunciado, mas com os deltas 
substituídos pelas expansões acima.
Temos também a Moda de King:
Mo = lim inf + (
fp
fp + fa
) ∙ h
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Explicando o que significa cada frequência:
fp = é a frequência da classe posterior à classe modal.
fa = é a frequência da classe anterior à classe modal.
A Moda de King é conhecida como moda das frequências.
Quando a questão pedir simplesmente a Moda, sem especificar qual, ela 
está falando da Moda de Czuber.
2. (FCC/BACEN/ANALISTA/2006)
Salários dos empregados da empresa XYZ em dezembro de 2005
Salários (R$) Frequências Simples Absolutas
1.000,00 2.000,00
2.000,00 3.000,00
3.000,00 4.000,00
4.000,00 5.000,00
5.000,00 6.000,00
2
8
16
10
4
O valor da moda, obtida com a utilização da Fórmula de Czuber*, é igual a (des-
prezar os centavos na resposta).
Dados:
• Moda = Li + h 
Zmax - Zant
2 ∙ Z max - (Zant + Zpost)
em que:
Li = limite inferior da classe modal
h = intervalo de classe modal
Zmax = frequência da classe modal
Zant = frequência da classe anterior à classe modal
Zpost = frequência da classe posterior à classe modal
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a) R$ 3.201,00
b) R$ 3.307,00
c) R$ 3.404,00
d) R$ 3.483,00
e) R$ 3.571,00
Comentário:
Utilizaremos a equação da Moda de Czuber que vimos acima (é igual à do enunciado). 
Primeiramente, vamos descobrir a classe modal, que é a que possui maior número 
de elementos:
Salários dos empregados da empresa XYZ em dezembro de 2005
Salários (R$) Frequências Simples Absolutas
1.000,00 2.000,00
2.000,00 3.000,00
3.000,00 4.000,00
4.000,00 5.000,00
5.000,00 6.000,00
2
8
16
10
4
A classe modal é a classe 3000 |----- 4000. 
Mo = lim inf + ( ∆a∆a + ∆p ) ∙ h
O limite inferior da classe modal é o 3000.
O ∆a = diferença anterior = frequência da classe modal – frequência da classe an-
terior = 16 – 8 = 8
∆p = diferença posterior = frequência da classe modal – frequência da classe pos-
terior = 16 – 10 = 6
h = 4000 – 3000 = 1000
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Colocando na equação:
Mo = 3000 + () ∙ 1.000 = 3.000 + 0,5714 ∙ 1.000 = 3.000 + 571,4 = 3571,4
A questão diz para desprezarmos os centavos. Portanto, a resposta é a letra E.
R: E.
2.3. Mediana
A mediana indica o elemento que ocupa a posição central do conjunto. Por 
exemplo, no rol abaixo, com 7 elementos:
1, 1, 2, 2, 2, 3, 3
A mediana desse rol é o “2”, pois este elemento ocupa a posição central do rol. 
Vejam:
1 1 2 2 2 3 3
1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o
1º 
elemento
2º 
elemento
3º 
elemento
4º elemento
=
Elemento 
central
=
MEDIANA
5º 
Elemento
6º 
elemento
7º 
elemento
Ok, para esse rol foi fácil achar a mediana, utilizando a sua plena definição, que 
é a de elemento central. Afinal, é um rol de apenas 7 elementos. Inclusive, para o 
rol, temos duas equações para o cálculo da mediana: uma para ser usada em caso 
de rol com n ímpar (como foi o caso do rol acima) e outra para ser usada em caso 
de rol com n par.
Em caso de rol com n ímpar, temos:
Posição central = n + 1
 2
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A mediana é o elemento correspondente à posição central encontrada. Por 
exemplo, no rol acima, temos:
7 + 1 = 8/2 = 4 --------------------> Mediana é o 4º elemento = 2
 2
No caso de rol com n par, temos duas posições centrais a serem consideradas:
Posição central 1 = n_
 2
Posição central 2 = a vizinha posterior.
A mediana, neste caso, é:
Mediana = Elemento Posição Central 1 + Elemento Posição Central 2
 2
Por exemplo, no seguinte rol, com 10 elementos:
342, 345, 354, 354, 356, 378, 400, 432, 444, 444
Posição central 1 = 10/2 = 5 -------------------> Elemento correspondente = 356
Posição central 2 = 6 -------------------> Elemento correspondente = 378
Mediana = 356 + 378 = 367
 2
3. (2016/ESAF/ANAC/ANALISTA ADMINISTRATIVO) Os valores a seguir represen-
tam a quantidade de aviões que decolaram por hora durante as 10 primeiras horas 
de certo dia.
33 34 27 30 28 26 34 23 14 31
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Logo, levando em consideração somente essas 10 horas, pode-se afirmar correta-
mente que
a) o número médio de aviões que decolarampor hora é igual a 27.
b) o número mediano de aviões que decolaram por hora é igual a 29.
c) em 50% das horas o número de aviões que decolaram por hora ficou abaixo da 
média.
d) o número mediano de aviões que decolaram por hora é igual a 27.
e) em 30% das horas o número de aviões que decolaram por hora foi superior a 30.
Comentário:
Primeiramente, devemos organizar os valores em ordem crescente para que ele se 
torne um rol (do jeito como está no enunciado são dados brutos):
14 23 26 27 28 30 31 33 34 34
São 10 valores, portanto, a mediana é a média aritmética do 5o (n/2 = 5) e do 6o 
valor (posição seguinte):
Mediana = (28 + 30)/2 = 29
R: B.
A mediana dos dados tabulados é feita exatamente da mesma maneira do que 
do rol. 
Para o cálculo da mediana de uma distribuição de frequências, existe uma equa-
ção que pode ser decorada. Mas, na verdade, ela é fruto de um raciocínio, que acho 
interessante que vocês saibam. Vejam só a distribuição de frequências abaixo:
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Faixa etária (anos) Número de parentes na família
0|----- 10 4
10 |----- 20 3
20 |----- 30 4
40 |----- 50 5
50 |----- 60 3
60 |----- 70 1
Esse conjunto possui 20 elementos (n = 20). A mediana será o elemento cor-
respondente à posição central, ou seja, n/2 = 20/ 2 = 10.
Então, nosso foco será na classe em que se encontra o 10º elemento. Se vocês 
perceberem, a primeira classe vai até o 4º elemento, na segunda classe temos do 
5º até o 7º, na terceira classe temos do 8º até o 11º elemento. Ou seja, o 10º ele-
mento se encontra na terceira classe. 
Agora, então, vamos focar na terceira classe, para encontrar o valor da media-
na. Para isso, faremos nada mais nada menos do que uma “Regra de Três”. Vejam:
A terceira classe vai de 20 a 30 anos. Chamamos o “20” de limite inferior da 
classe e o “30” de limite superior. A diferença entre 20 e 30 anos é de 10 anos, e 
já sabemos que isso se chama a amplitude da classe (h).
A classe inteira possui 4 elementos e queremos saber qual o valor correspon-
dente ao 3° elemento da classe (que é o 10º elemento da distribuição de frequên-
cias inteira). O raciocínio é o seguinte:
 4 elementos
20 ------------------------------- 30
20 ---------------------- X --- 30
3 elementos
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O “X” corresponde à mediana. Ela está entre 20 e 30 e corresponde ao 3º ele-
mento da classe, que possui, ao total, 4 elementos, indo do 20 ao 30. Portanto, 
colocando em forma de regra de três, temos:
4 elementos ------------ que correspondem a 10 anos (30 – 20)
o 3º elemento ---------- corresponde a X anos
4 ------------ 10
3 ------------ X
4X = 30
X = 7,5
Assim, o terceiro elemento corresponde à idade de 7,5 anos, dentro da classe. 
Para sabermos a mediana, precisamos somá-lo com o limite inferior da classe, que 
é de 20 anos. Ou seja, a mediana dessa distribuição de frequências é de 20 + 7,5 
= 27,5 anos.
Pelo desenho, temos:
4 elementos
20 ------------------------------- 30
20 ---------------------- 27,5 -- 30
3 elementos Md
Essa regrinha de três que fizemos aqui, em estatística, tem nome especial, eu 
diria assustador. Ela se chama Interpolação da Ogiva. Não se preocupem em 
decorar isso, só saibam que é essa a regrinha de três que fizemos. Para encontrar 
a mediana, fazemos uma interpolação da Ogiva para o elemento n/2. 
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Vou passar a equação para o cálculo da mediana para vocês terem como con-
sulta, mas peço que não tentem simplesmente decorá-la, afinal, ela é resultado 
do raciocínio que tivemos acima. É mais interessante que vocês entendam como a 
mediana é calculada do que simplesmente decorem uma equação, porque, na hora 
da prova, vocês terão tanta coisa para decorar e saber que é de 90% a chance de 
esquecerem a equação...
Md = limite inferior + (n/2 – fac anterior).h
 fi
4. (FCC/MPE-RS/ASSESSOR/2008) Considere o histograma abaixo que apresenta a 
distribuição dos salários dos empregados em uma empresa no mês de dezembro de 
2007:
O valor da mediana dos salários dos empregados, considerando os intervalos de 
classe do histograma abertos à esquerda e fechados à direita e utilizando o método 
da interpolação linear, é igual a 
a) R$ 5.125,00. 
b) R$ 4.125,00. 
c) R$ 5.075,00. 
d) R$ 4.750,00. 
e) R$ 3.750,00. 
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Comentário:
O enunciado diz que os intervalos são abertos à esquerda e fechados à direita.
Primeiramente, devemos transformar o gráfico na tabela de distribuição de frequ-
ências que conhecemos. 
O enunciado já diz que no eixo horizontal estão os salários e, na vertical, temos as 
frequências. Então, basta colocar na tabela:
Salários (R$1000) Frequência
1 -----| 2 100
2 -----| 3 200
3 -----| 4 300
4 -----| 5 400
5 -----| 6 300
TOTAL 1300
Primeiramente, vamos calcular a classe central, correspondente ao que chamamos 
de fração da mediana (n/2). 
n/2 = 1300/2 = 650
O elemento 650 da distribuição de frequências está incluído na 4ª classe. Para ver 
isto, podemos fazer uma das frequências que aprendemos, a frequência acumulada 
crescente:
Salários 
(R$1000)
fi
(frequência absoluta simples)
Fac
(frequência acumulada crescente)
1 -----| 2 100 100
2 -----| 3 200 100+200= 300
3 -----| 4 300 300 + 300 =600
4 -----| 5 400 600+400=1000
5 -----| 6 300 1000+300=1300
TOTAL 1300
O elemento 650 se encontra nesta classe
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Ou seja, a quarta classe é a classe correspondente à fração da mediana e é nela 
que faremos os cálculos:
R$ 1000 (Diferença entre 5000 e 4000) ------- 400 (frequência da classe)
x ------------------------------------------------- 50 
400x = 50000
x = 125
Reparem que o valor encontrado se refere a dentro da classe. Ou seja, se a classe 
4 -----| 5 vai de 4.000 até 5.000 e possui 400 elementos, o elemento 150 da classe 
ganha 4000 + 125 = 4125 reais.
Assim, a mediana da distribuição de frequências é de 4125 reais. 
R: B.
2.4. Separatrizes
A mediana divide a sequência de dados em dois grupos. Isto porque ela repre-
senta o elemento n/2 da sequência.
Pois bem, a mediana éuma separatriz. Separatrizes são números que dividem 
a sequência ordenada de dados em partes que contêm a mesma quantidade de 
elementos.
Portanto, temos as seguintes separatrizes:
• Mediana: divide a série ordenada em duas partes, cada uma com 50% dos 
elementos;
• Quartis: divide a série ordenada em quatro partes, em que cada uma fica com 
25% de seus elementos;
(posição de n/2 dentro da 
classe. n/2 é 650, e a classe 
começa em 600. Portanto, 
dentro da classe, n/2 ocupa 
a posição 50)
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• Quintis: divide a série ordenada em cinco partes, em que cada uma fica com 
seus 20% de seus elementos; 
• Decis: divide a série ordenada em dez partes, em que cada uma fica com seus 
10% de seus elementos;
• Percentis: divide a série ordenada em cem partes, em que cada uma fica com 
1% de seus elementos.
3. Medidas de Dispersão
Veremos agora as medidas de dispersão mais utilizadas. 
Mas, antes de tudo: por que “medidas de posição” e “medidas de dispersão”? 
Qual a diferença?
As medidas de posição indicam valores que, de alguma forma, podem represen-
tar um conjunto de dados. Já vimos que a média representa o valor intermediário 
entre todos, a moda é o valor mais comum e a mediana é o item central.
Já as medidas de dispersão indicam a heterogeneidade dos itens! Por exemplo, 
vamos ver 2 rols diferentes:
ROL 1:
1, 1, 2, 3, 3
A média deste rol é 2, certo?
Rol 2
1, 1, 2, 2, 4
A média deste rol também é 2. 
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Mas vejam como os itens são mais heterogêneos. No primeiro rol, a média está 
bem “próxima” de todos os itens: com mais ou menos 1 (2 –1, ou 2 + 1), chega-
mos a qualquer valor do rol. Já, no segundo rol, temos um valor que se distancia 
em 2 unidades da média... Os itens são bem mais “dispersos”... Com certeza, mes-
mo tendo médias iguais, as medidas de dispersão do segundo rol serão maiores...
5. (ESAF/IRB/ANALISTA/2006) O grau ao qual os dados numéricos tendem a dis-
persar-se em torno de um valor médio chama-se
a) média.
b) variação ou dispersão dos dados.
c) mediana.
d) correlação ou dispersão.
e) moda.
Comentário:
O enunciado fala em “dispersar-se”... ou seja, estamos falando de medidas de dis-
persão. De cara, podemos eliminar as alternativas A, C e E, que falam sobre medi-
das de posição.
A alternativa D fala em correlação. Correlação é a relação de interdependência 
existente entre duas variáveis. Por exemplo, se eu digo: “O número de acidentes 
nas estradas aumenta conforme diminui o preço da bebida”. Neste exemplo, há 
uma correlação existente entre “número de acidentes” e “preço da bebida”. Assim, 
a correlação não tem a ver com dispersão.
A letra B é a que indica o que estudamos: dispersão de dados, variância... enfim, a 
dispersão é maior quanto maior for a variação dos dados.
R: B
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Ficou claro esse entendimento inicial? Então vamos passar para as medidas 
propriamente ditas...
3.1. Variância
A variância é, sem dúvida, a medida de dispersão mais cobrada.
Existem duas maneiras de calcular a variância. Vejamos:
Maneira 1:
Variância = ”Soma dos quadrados dos desvios”:
σ2 = Σ(xi - x)
2 
n
Maneira 2:
Variância = ”Média dos quadrados – quadrado da média”: 
σ2 = 1n [ Σx
2
 i – 
(Σxi)2 
n ]
Obs.:� na equação acima, repare que, colocando o “n” para dentro dos colchetes, 
temos:
σ2 = [ Σxi
2 
n - 
(Σxi)2 
n2 ]
O primeiro termo é a média dos quadrados de x ( Σx
2
 i
n ).
O segundo termo é o quadrado da média (pois (Σxi)
2 
n2 = (x)
2).
MAS, PROFESSORA!!!!! COMO VOU SABER QUAL EQUAÇÃO USAR????? Ó, 
CÉUS...
Resposta: repare que a primeira equação utiliza a média, a segunda equação não.
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É bem chatinho calcular a média, então, se a questão fornecer apenas os 
dados, sem fornecer a média, você vai usar a Maneira 2. Mesmo sendo uma 
equação maior, é beeeem mais fácil calcular por ela, quando não há a média. A 
equação da Maneira 2 é também chamada de desenvolvida.
No entanto, se a questão fornecer a média, ou se ela for pedida em alguma 
alternativa de resposta (e você tiver que calcular de qualquer maneira), aí você 
pode utilizar a Maneira 1.
Na variância, da mesma forma como para média, temos uma equação para rol, 
outra para dados tabulados e outra para distribuição de frequências. 
Para o rol (são as equações que vimos acima):
”Soma dos quadrados dos desvios”: σ2 = Σ(Xi - x)
2 
n
”Média dos quadrados – quadrado da média”: σ2 = 1n [ ΣX
2
 i – 
(ΣXi)2 
n ]
Para os dados tabulados, temos:
”Soma dos quadrados dos desvios”: σ2 = Σfi(Xi - x)
2 
n
”Média dos quadrados – quadrado da média: σ2 = 1n [ ΣfiX
2
 i – 
(ΣfiXi)2 
n ]
Obs.:� Para passar da equação da média do rol para a equação da média dos dados 
tabulados, basta acrescentar a frequência absoluta simples, da mesma 
forma como fizemos na equação da média.
Para a distribuição de frequências, temos:
”Soma dos quadrados dos desvios”: σ2 = Σfi(PMi - x)
2 
n
”Média dos quadrados – quadrado da média: σ2 = 1n [ ΣfiPM
2
i - 
(ΣPMi)2
n ]
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Obs.:� para passar de equação dos dados tabulados para uma distribuição de fre-
quências, basta trocar o Xi pelo PMi, que é o Ponto Médio da classe. 
Quando falamos de medidas de dispersão, é importante salientar que as ques-
tões diferenciam população e amostra.
As equações de variância da população são essas que vimos acima. O símbolo, 
como sabemos, é σ2.
As equações de variância da amostra são obtidas usando as equações acima e 
substituindo o primeiro n por n – 1. O símbolo da variância amostral é S2.
Assim, temos:
Para o rol:
”Soma dos quadrados dos desvios”: S2 = Σ(xi - x)
2
n-1
”Média dos quadrados – quadrado da média”: S2 = 1n-1 [ Σx
2
i - 
(Σxi)2
n ]
Para os dados tabulados, temos:
”Soma dos quadrados dos desvios”: S2 = Σfi (xi - x)
2
n-1
”Média dos quadrados – quadrado da média: S2 = 1n-1 [ Σfix
2
i - 
(Σfixi)2
n ]
Para a distribuição de frequências, temos:
”Soma dos quadrados dos desvios”: S2 = Σfi (PMi - x)
2
n-1
”Média dos quadrados – quadrado da média:S2 = 1n-1 [ ΣfiPM
2
i - 
(ΣPMi)2
n ]
Obs.:� Se a questão nada disser, temos POPULAÇÃO e usamos as equações 
para população (sem o “-1”)
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6. (2012/ESAF/RECEITA FEDERAL/ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL) 
A variância da amostra formada pelos valores 2, 3, 1, 4, 5 e 3 é igual a
a) 3.
b) 2.
c) 1.
d) 4.
e) 5.
Comentário: 
Temos:
• Um rol (na verdade, temos dados brutos, mas, se colocarmos em ordem cres-
cente, teremos um rol);
• Pede-se a variância;
• É amostra.
Precisamos decidir qual equação usar. O enunciado não forneceu a média, nem pe-
diu para calcular. Portanto, usaremos a equação do cálculo da variância do rol pela 
Maneira 2, sem esquecer de substituir o primeiro n por n – 1, porque se trata de 
uma amostra.
Rol: 1,2,3,3,4,5
σ2 = 1n-1 [ Σx
2
i - 
(Σxi)2
n ]
Σx2i = 1 + 4 + 9 + 9 + 16 + 25 = 64
(Σxi)2 = 182 
σ2 = 
1
6-1 [ 64 - 
182
6 ] = 
1
5 [64 - 18.3] = 
1
5 [64 - 54] = 
10
5 = 2
R: B.
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3.2. Desvio-Padrão
 O desvio-padrão é, também, chamado de dispersão absoluta. 
 Para quem já aprendeu a variância, o desvio-padrão se torna algo extrema-
mente simples. Isto porque o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância!
“SÓ ISSO, PROFESSORA??????????????”
 Só! Se a questão pedir desvio-padrão, simplesmente calculamos a variância e 
tiramos a raiz quadrada.
Simples assim! Depois dizem que estatística é difícil, fala sério. PS: tá bom, às 
vezes, é. Concordo.
7. (2014/ESAF/SEDS-MG/ASSISTENTE TÉCNICO ADMINISTRATIVO) O desvio-padrão 
da amostra
8 4 3 2 1 7 9 3 8
É igual a
a) 5
b) 3
c) 4
d) 2
e) 6
Comentário:
Temos:
• Um rol (na verdade, temos dados brutos, mas, se colocarmos em ordem cres-
cente, teremos um rol);
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• Pede-se a desvio-padrão (então devemos encontrar a variância e tirar da 
raiz);
• É amostra.
Não temos a média, então, usaremos a Maneira 2.
1 2 3 3 4 7 8 8 9
σ2 = 1n-1 [ Σx
2
i - 
(Σxi)2
n ]
Σx2i = 1 + 4 + 9 + 9 + 16 + 49 + 64 + 64 + 81 = 297
(Σxi)2 = 452 
σ2 = 
1
9-1 [ 297 - 
452
9 ] = 
1
8 [297 - 45.5] = 
1
8 [297 - 255] = 
72
8 = 9
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
σ= 9 = 3
R: B.
3.3. Coeficiente de Variação
O coeficiente de variação é, também, chamado de dispersão relativa (lembram-
-se de que o desvio-padrão é, também, chamado de dispersão absoluta?). Ele é 
uma medida adimensional, ou seja, não possui unidade, ao contrário da média e 
do desvio-padrão.
O cálculo do coeficiente de variação é algo simples e envolve o desvio-padrão e 
a média, seguindo a equação abaixo:
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CV = 
S
x
 (para a amostra)
CV = σ
μ
 (para a população)
Para não trocar as bolas, lembre-se: desvio/média (d vem antes de m no alfa-
beto, então é desvio sobre média e não média sobre desvio).
8. (2011/FCC/TRT 1ª REGIÃO/ANALISTA (ESTATÍSTICA)) A soma dos valores de 
todos os 50 elementos de uma população X é igual a 2.750. O coeficiente de va-
riação para esta população apresenta o valor de 20%. Então, o valor da soma dos 
quadrados de todos os elementos de X é
a) 157.300.
b) 154.275.
c) 151.250.
d) 80.025.
e) 8.800.
Comentário: 
A soma dos quadrados de todos os elementos de X é:
Σxi2 ?
A questão fornece a soma de todos os valores dos 50 elementos de uma população 
X, ou seja, ela fornece:
Σxi =2750
Temos:
n = 50
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Ela também diz que CV = 0,2.
O valor de Σxi e n são usados na equação da média:
μ = Σxin
E tanto Σxi quanto Σxi2 são utilizados na equação do desvio-padrão desenvolvida 
(Maneira 2) para o rol (população):
σ = 1n [ Σxi
2 - (Σxi)
2
n ]
Assim, como também foi fornecido o valor do CV, vamos colocar a média e o desvio 
na equação. Assim, descobriremos o valor de Σxi2:
CV = 
σ
μ = 
1
n [ Σxi
2 - (Σxi)
2
n ]
Σxi
n
 = 0,20
CV = 
σ
μ = 
1
n [ Σxi
2 - (Σxi)
2
n ]
Σxi
n
 = 0,20
 150 [ Σxi
2 - (2750)
2
50 ]
2750
50
 = 0,20
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Como existe uma incógnita dentro da raiz, vamos elevar toda a equação ao qua-
drado:
( 
1
50 [ Σxi
2 - (2750)
2
50 ]
2750
50
 = 0,20 )2
 150 [ Σxi
2 - (2750)
2
50 ]
2750
50
 = 0,04
( )2
1
50 [ Σxi
2 - 
(2750)2
50
 ] = 0,04 ∙ ( 2750
2
50 )
Σxi2 = 
(2750)2
50
 + 0,04 ∙ ( 2750
2
50 )
Σxi2 = 
(2750)2
50
 + 0,04 ∙ ( 2750
2
50 ) = 1,04 ∙ 
27502
50 = 157.300
R: A.
3.4. Variação relativa
A variação relativa advém do coeficiente de variação, segundo a equação abaixo:
Vr = CV2
3.5. Posição relativa
Posição relativa = (Posição – média)/desvio-padrão
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9. (2012/ESAF/RECEITA FEDERAL/AUDITOR-FISCAL DA RECEITA FEDERAL) Em um 
concurso público, a nota média da prova de inglês foi igual a 7 com desvio-padrão 
igual a 2. Por outro lado, a nota média da prova de lógica foi igual a 7,5 com desvio-
-padrão igual a 4. Naná obteve nota 8 em Inglês e nota 8 em Lógica. Nené obteve 
nota 7,5 em Inglês e 8,5 em Lógica. Nini obteve 7,5 em Inglês e 9 em Lógica. Com 
relação à melhor posição relativa - ou ao melhor desempenho -, pode-se afirmar 
que o desempenho de 
a) Naná foi o mesmo em Inglês e Lógica. 
b) Nini foi melhor em Lógica do que o de Naná em Inglês.
c) Nené foi melhor em lógica do que o de Naná em Inglês.
d) Nené foi o mesmo em Inglês e Lógica.
e) Nené foi melhor em Lógicado que em Inglês. 
Comentário:
Média da prova de inglês foi igual a 7 com desvio-padrão igual a 2.
Posição relativa = (Posição – média)/desvio-padrão
Naná = (8 – 7)/2 = 0,5
Nené = (7,5 – 7)/2 = 0,5/2 = 0,25
Nini = (7,5 – 7)/2 = 0,5/2 = 0,25
Média da Naná foi maior
Por outro lado, a nota média da prova de lógica foi igual a 7,5 com desvio-padrão 
igual a 4:
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Naná = (8 – 7,5)/4 = 0,5/4 = 0,125
Nené = (8,5 – 7,5)/4 = 1/4 = 0,25
Nini = (9,5 – 7,5)/4 = 2/4 = 0,5
Média de Nini foi maior.
Média de Nené foi igual nas duas.
R: D.
3.6. Operações com as medidas de dispersão e posição
Muitas questões de concurso apresentam operações com as medidas de disper-
são e posição que vimos.
Por isso, é importante saber que:
• Média: influenciada por todas as operações - SIMPLES
• Desvio-padrão: influenciada por multiplicação e divisão - SIMPLES
• Variância: influenciada por multiplicação e divisão – AO QUADRADO
Parece bem teórico, certo? Vamos ver um exemplo para entender certinho.
10. (2014/ESAF/MTur/ESTATÍSTICO) Uma variável aleatória x tem média igual a 6 
e coeficiente de variação igual a 0,50. A partir disso, pode-se afirmar que o coefi-
ciente de variação da variável y = (5x -2)/2 é igual a:
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a) √11,25/14
b) √56,25/196
c) 11,25/196
d) √11,25/196
e) √56,25/14
Comentário:
VARIÁVEL X
média x = 6
CV = desvio/média
0,50 = desvio/6
desvio x = 3
VARIÁVEL Y
variável y = (5x -2)/2
A média é influenciada por todas as operações. Então:
média y = (5.(média x) – 2)/2
A média de x é 6.
média y = (5.6 – 2)/2 = (30 – 2)/2 = 28/2 = 14
O desvio, por sua vez, só é influenciado por operações de multiplicação e divisão. 
Então, ignoramos qualquer subtração que haja na relação entre y e x:
desvio y = 5.(desvio x)/2
O desvio de x é 3:
desvio y = 5.3/2 = 15/2 = 7,5
7,5 = √56,25 (sacanagem da questão)
Logo, CV = desvio/média = √56,25/14
R: E.
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Passemos, finalmente, à bateria de questões :)
4. Resumo da aula de hoje
Estatística Descritiva
PÁGINA 1
PM = Limite inferior + Limite Superior 
 2
Frequência Absoluta (f) Relativa (F)
Simples
Frequência relativa simples:
Símbolo: fi
Indica o número de elementos em 
cada classe.
Frequência relativa simples:
Símbolo: Fi
Indica o percentual de elementos da 
classe, em relação ao total.
Acumulada
Frequência absoluta acumulada 
(temos dois tipos):
Crescente: fac
Indica o número de elementos 
somados até determinada classe, 
começando da primeira. Ou seja, 
se queremos saber a fac da terceira 
classe, devemos fazer f1 + f2 + f3
Decrescente: fad
Indica o número de elementos 
somados até determinada classe, 
começando da última. Ou seja, 
se queremos saber a fac da 
antepenúltima classe, devemos 
fazer 
fn + fn-1 + fn-2
Frequência relativa acumulada (temos 
dois tipos):
Crescente: Frc
Indica o percentual de elementos 
somados até determinada classe, 
começando da primeira. Ou seja, 
se queremos saber a Frc da terceira 
classe, devemos fazer F1 + F2 + F3
Decrescente: Frd
Indica o percentual de elementos 
somados até determinada classe, 
começando da última. Ou seja, 
se queremos saber a Frc da 
antepenúltima classe, devemos fazer 
Fn + Fn-1 + Fn-2
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Estatística Descritiva
PÁGINA 2
Média
Rol Dados Tabulados Distribuição de Frequência
x = Σxin x = 
Σfi.xi
n x = 
Σfi.PMi
n
Moda
Rol Item mais frequente
Dados Tabulados Item mais frequente
Distribuição de 
Frequência
Moda de Czuber:
Mo = lim inf + 
(∆a)
(∆a + ∆p) ∙ h
∆a = diferença anterior = frequência da classe modal – frequência da 
classe anterior (se não existir, é 0);
∆p = diferença posterior = frequência da classe modal – frequência da 
classe posterior (se não existir, é 0).
Moda de King:
Mo = lim inf + (
fp
fp + fa
) ∙ h
fp = é a frequência da classe posterior à classe modal.
fa = é a frequência da classe anterior à classe modal.
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Mediana
Rol
Dados 
Tabulados
Distribuição de Frequências
n impar -> PC = (n + 1)/2
Md = elemento correspondente
Igual Rol
Md = lim inf + (n/2 – fac anterior).h
 fi
1) Aplicar, para a classe correspon-
dente, a fração da mediana
2) É uma interpolação da ogiva para 
o elemento n/2
n par -> dois PCs
PC1 = n/2
PC2 = a vizinha posterior
Md = (Elemento PC1 + Elemento PC2)/2
Estatística Descritiva
PÁGINA 3
Desvio-padrão
População Amostra
Rol
 
σ = 
1
n [ Σxi
2 - 
(Σxi)2
n ] S = 
1
n-1 [ ΣXi
2 - 
(Σxi)2
n ]
Dados 
Tabulados σ = 
1
n [ Σfixi
2 - 
(Σfixi)2
n ] S = 
1
n-1 [ Σfixi
2 - 
(Σfixi)2
n ]
Dist. de 
Frequências σ = 
1
n [ ΣfiPMi
2 - 
(ΣfiPMi)2
n ] S = 
1
n-1 [ ΣfiPMi
2 - 
(ΣfiPMi)2
n ]
Variância = σ2 = S2
Coeficiente de Variação = CV = Sx = 
σ
μ
Variação relativa = Vr = CV2
Se a questão nada disser, temos POPULAÇÃO,
e usamos as equações para população (sem o “-1”).
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QUESTÕES DE CONCURSO
1. (2010/ESAF/MPOG/APO) Ana é nutricionista e está determinando o peso médio 
– em quilos (kg) – de todos os seus 50 clientes. Enquanto Ana está somando os 
pesos de seus clientes, para calcular a média aritmética entre eles, sem perceber, 
ela troca os dígitos de um dos pesos; ou seja, o peso XY kg foi trocado por YX kg. 
Esta troca involuntária de dígitos alterou a verdadeira média dos pesos dos 50 
clientes: a média aritmética ficou acrescida de 0,9 kg. Sabendo-se que os pesos 
dos 50 clientes de Ana estão entre 28 e 48 kg, então o número que teve os dígitos 
trocados é, em quilos, igual a:
a) 38
b) 45
c) 36
d) 40
e) 46
2. (2009/ESAF/SEFAZ-SP/APOFP) Determine a mediana das seguintes observa-
ções:
17, 12, 9, 23, 14,6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9.
a) 13,5
b) 17
c) 14,5
d) 15,5
e) 14
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3. (FCC/TRF 4ª REGIÃO/ANALISTA/2010) Em uma empresa, a quantidade de em-
pregados do sexo masculino supera em 100 a quantidade de empregados do sexo 
feminino. A média dos salários dos homens é igual a R$ 2.000,00 e a das mulhe-
res R$ 1.800,00. Se a média dos salários de todos os empregados é igual a R$ 
1.920,00, então a quantidade de empregados do sexo masculino é igual a
a) 600.
b) 500.
c) 400.
d) 300.
e) 200. 
4. (FCC/BB/ESCRITURÁRIO/2006) Os salários dos 40 empregados de uma empresa, 
em 31 de dezembro de 2005, estavam distribuídos conforme a tabela abaixo:
Salários (R$) Número de funcionários
400,00 4
550,00 8
1000,00 10
1400,00 16
1800,00 2
Nesse caso, tem-se que a média aritmética dos salários dos empregados é
a) R$ 1 400,00
b) R$ 1 230,00
c) R$ 1 150,00
d) R$ 1 100,00
e) R$ 1 050,00 
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5. (CESPE/CEHAP/ADMINISTRADOR/2009) O custo médio nacional para a cons-
trução de habitação com padrão de acabamento normal, segundo levantamento 
realizado em novembro de 2008, foi de R$ 670,00 por metro quadrado, sendo R$ 
400,00/m2 relativos às despesas com materiais de construção e R$ 270,00/m2 
com mão de obra. Nessa mesma pesquisa, os custos médios regionais apontaram 
para os seguintes valores por metro quadrado: R$ 700,00 (Sudeste), R$ 660,00 
(Sul), R$ 670,00 (Norte), R$ 640,00 (Centro-Oeste) e R$ 630,00 (Nordeste).
Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e Índices da Construção 
Civil. SINAPI/IBGE, nov./2008 (com adaptações). 
Com base nas informações apresentadas no texto, assinale a opção correta. 
a) A média aritmética dos custos médios regionais por metro quadrado é igual ao 
custo médio nacional do metro quadrado. 
b) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sul corresponde à mediana 
dos custos médios regionais por metro quadrado. 
c) Mais de 65% do custo médio nacional do metro quadrado é relativo às despesas 
com materiais de construção.
d) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sudeste é 10% superior ao 
custo relativo à região Nordeste. 
6. (CESPE/INSS/ANALISTA DO SEGURO SOCIAL/2008)
Distribuição percentual da população brasileira por faixa etária
Faixa etária 2007 2050*
0 a 14 anos 27,5 17,7
15 a 24 anos 18,3 12,6
15 a 64 anos 66,1 63,5
60 anos ou mais 9,0 24,7
70 anos ou mais 4,0 13,2
80 anos ou mais 1,2 5,3
*estimativa Fonte: IBGE
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De acordo com dados do IBGE, em 2007, 6,4% da população brasileira tinha 65 
anos de idade ou mais e, em 2050, essa parcela, que constitui o grupo de idosos, 
corresponderá a 18,8% da população. Com base nessas informações e nas apre-
sentadas na tabela acima, julgue os itens seguintes. 
Considere-se que os anos de idade estejam distribuídos de forma equiprovável na 
faixa de 15 a 18 anos. Nessa situação, a média e a mediana das idades nessa faixa 
serão ambas iguais a 16,5 anos. 
(A) Certo (B) Errado 
7. (FCC/TRT 1A REGIÃO/ANALISTA (ESTATÍSTICA)/2011) Em dezembro de 2010, a 
distribuição dos valores dos salários recebidos pelos empregados de uma empresa 
é apresentada pela tabela de frequências relativas abaixo, em que todos os inter-
valos de classe têm a mesma amplitude.
Classe de Salários Frequência Relativa (%)
A B 15,00
B C 25,00
C D 31,25
D E 16,25
E F 12,50
Total 100,00
Sabe-se que C = R$ 2.500,00 e que o valor da mediana, obtido por interpolação 
linear, é igual a R$ 2.820,00. Então, utilizando interpolação linear, obtém-se o valor 
do primeiro quartil da distribuição que é igual a
a) R$ 1.600,00.
b) R$ 1.700,00.
c) R$ 1.800,00.
d) R$ 1.900,00.
e) R$ 2.000,00.
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8. (FCC/TRT 1ª REGIÃO/ANALISTA (ESTATÍSTICA)/2011) Em um período de 200 
dias úteis, observou-se em uma repartição pública a autuação de processos apre-
sentando uma certa característica. A fórmula fk = 10 + 45 K - 10 K2 fornece a in-
formação do número de dias úteis (fk) em que se verificou a autuação de K destes 
processos, sendo que K assume somente os valores 0, 1, 2, 3 e 4. Calculando, para 
o período considerado, os respectivos valores da média aritmética (quantidade de 
processos autuados por dia), da mediana e da moda, a soma destes 3 valores é
a) 7,75.
b) 7,25.
c) 6,75.
d) 6,50.
e) 6,25.
9. (FCC/TRT 4ª REGIÃO/ANALISTA JUDICIÁRIO/2010)
Um levantamento realizado em um setor de um órgão público, durante 250 dias 
úteis, forneceu a distribuição dos números de processos analisados apresentada no 
gráfico abaixo. No eixo horizontal constam as quantidades detectadas de processos 
e as colunas representam as respectivas quantidades de dias.
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Com relação a este levantamento, a média aritmética (número de processos por 
dia), a mediana e a moda são iguais, respectivamente, a
a) 3,48; 3,50 e 4,00. 
b) 3,48; 4,00 e 4,00. 
c) 4,35; 3,50 e 3,50. 
d) 4,35; 3,50 e 4,00. 
e) 4,00; 4,00 e 4,00. 
10. (FCC/SEFIN-RO/AUDITOR-FISCAL/2010) Em uma cidade é realizado um levan-
tamento referente aos valores recolhidos de determinado tributo estadual no perí-
odo de um mês. Analisando os documentos de arrecadação, detectou-se 6 níveis 
de valores conforme consta no eixo horizontal do gráfico abaixo, em que as colunas 
representam as quantidades de recolhimentos correspondentes.
Com relação às medidas de posição deste levantamento tem-se que o valor da
a) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a moda. 
b) média aritmética é igual ao valor da mediana. 
c) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00. 
d) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00. 
e) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00. 
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11. (FCC/TRT 23ª REGIÃO (MT)/ANALISTA (ESTATÍSTICA)/2011) Em um setor de 
um órgão público, verificou-se a existência de 6 valores de salário entre seus 32 
funcionários. A tabela abaixo fornece a quantidade de funcionários que recebe cada 
valor de salário, em que (3X - 2Y) = 0.
Salários (R$) 1,500 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000 TOTAL
Quantidade de
funcionários
X Y Y 2,5X X 0,5X 32
Com relação aos valores destes salários, a soma da média aritmética com a me-
diana e com a moda é igual a
a) R$ 11.375,00. 
b) R$ 10.875,00.
c) R$ 10.500,00. 
d) R$ 10.375,00.
e) R$ 9.675,00.
12. (FCC/INFRAERO/ESTATÍSTICO/2011)
A tabela de frequências relativas abaixo corresponde à distribuição da renda mensal 
das pessoas que adquiriram pacotes de excursão de uma empresa de turismo em 
2010. O valor da média aritmética da renda (Me) foi obtido considerando que todos 
os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto 
médio deste intervalo. O valor da mediana (Md) foi obtido pelo método da interpo-
lação linear.
Renda (R$) Frequência Relativa
2.500 3.500 K
3.500 4.500 2k + 0,125
4.500 5.500 3k + 0,150
5.500 6.500 4k + 0,075
6.500 7.500 5k - 0,100
Total 1,000
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O valor da moda (Mo), obtido pela relação de Pearson: Mo = 3Md - 2Me , é igual a 
a) R$ 4.250,00.
b) R$ 4.500,00.
c) R$ 4.750,00.
d) R$ 5.000,00.
e) R$ 5.250,00. 
13. (FCC/TRT 23A REGIÃO (MT)/ANALISTA JUDICIÁRIO (ESTATÍSTICA)/2011) Uma 
tabela de frequências absolutas refere-se à distribuição dos 80 preços unitários de 
venda de uma determinada peça no mercado. Analisando essa tabela, observam-se 
as seguintes informações: 
I. Os intervalos de classe, fechados à direita e abertos à esquerda, apresentam a 
mesma amplitude igual a R$ 0,40.
II. O valor da mediana, obtido por interpolação linear, pertence ao intervalo [3,20; 
3,60) e é igual a R$ 3,35.
III. 30 preços unitários são iguais ou superiores a R$ 3,60.
A porcentagem de preços unitários inferiores a R$ 3,20 é igual a 
a) 42,5%. 
b) 45,0%. 
c) 46,0%. 
d) 46,5%. 
e) 47,5%.
14. (2016/ESAF/ANAC/ANALISTA ADMINISTRATIVO) Os valores a seguir represen-
tam uma amostra
3 3 1 5 4 6 2 4 8
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Então, a variância dessa amostra é igual a
a) 4,0
b) 2,5.
c) 4,5.
d) 5,5
e) 3,0
15. (2009/ESAF/RFB/AFRFB) Considere a seguinte amostra aleatória das idades 
em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa 
amostra, marque a única opção correta:
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 
26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28.
a) A média e a mediana das idades são iguais a 27.
b) A moda e a média das idades são iguais a 27.
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08.
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074.
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.
16. (2009/ESAF/RFB/AFRFB) A tabela mostra a distribuição de frequências relati-
vas populacionais (f’) de uma variável X:
X f'
– 2 6a
1 1a
2 3a
Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respec-
tivamente:
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a) μx = - 0,5 e σ2x = 3,45 
b) μx = 0,5 e σ2x = 3,45
c) μx = 0 e σ2x = 1
d) μx = - 0,5 e σ2x = 3,7
e) μx = 0,5 e σ2x = 3,7
17. (2006/ESAF/ENAP/ESTATÍSTICO) Considere os seguintes conjuntos de obser-
vações referentes a cinco diferentes variáveis:
A. {1; 1; 1; 1; 1; 50},
B. {1, 1, 1, 1; 50; 50},
C. {1, 1, 1, 50, 50, 50},
D. {1, 1, 50, 50, 50, 50},
E. {1, 50, 50, 50, 50, 50}.
O conjunto de observações que apresenta a maior variabilidade, medida pelo des-
vio-padrão, é o referente à variável
a) A.
b) B.
c) E.
d) D.
e) C.
18. (FCC/BACEN/ANALISTA/2006)
Em um colégio, a média aritmética das alturas dos 120 rapazes é de m centíme-
tros com uma variância de d2 centímetros quadrados (d > 0). A média aritmética 
das alturas das 80 moças é de (m – 8) centímetros com um desvio-padrão igual a 
20d/21 centímetros. Se o correspondente coeficiente de variação encontrado para 
o grupo de rapazes é igual ao coeficiente de variação encontrado para o grupo de 
moças, tem-se que a média aritmética dos dois grupos reunidos é de
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a) 162,0 cm
b) 164,6 cm
c) 164,8 cm
d) 166,4 cm
e) 168,2 cm 
19. (FCC/INFRAERO/ESTATÍSTICO/2011) Duas empresas X e Y possuem 150 e 
100 empregados, respectivamente. A média aritmética dos salários da empresa X 
supera a da empresa Y em R$ 500,00 e o desvio-padrão da empresa X supera o da 
empresa Y em R$ 200,00. Se os coeficientes de variação das empresas X e Y são 
respectivamente iguais a 20% e 15%, então a média aritmética de todos os em-
pregados das empresas X e Y, em conjunto, apresenta o valor de
a) R$ 2.150,00.
b) R$ 2.200,00.
c) R$ 2.300,00. 
d) R$ 2.450,00. 
e) R$ 2.550,00. 
20. (FCC/TRT 1ª REGIÃO/ANALISTA (ESTATÍSTICA)/2011)
Um histograma representa a distribuição dos preços unitários de venda de um 
determinado equipamento no mercado. No eixo das ordenadas estão assinaladas 
as respectivas densidades de frequência para cada intervalo em (R$)−1. Define-se 
densidade de frequência de um intervalo de classe como sendo o quociente da di-
visão da respectiva frequência relativa pela correspondente amplitude do intervalo. 
Um intervalo de classe do histograma corresponde aos preços unitários maiores ou 
iguais a R$ 32,00 e inferiores a R$ 44,50 com uma densidade de frequência igual a 
1,6 × 10−2 (R$)−1. Se todos os intervalos de classe do histograma têm a mesma fre-
quência relativa, então um intervalo de classe com densidade de frequência igual a 
5,0 × 10−3 (R$)−1 apresenta uma amplitude de
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b) R$ 48,00.
c) R$ 40,00.
d) R$ 32,00.
e) R$ 24,00.
21. (FCC/TRT 23A REGIÃO/ANALISTA (ESTATÍSTICA)/2011)
A média aritmética dos salários de todos os empregados de uma empresa é igual 
a R$ 2.000,00 com um coeficiente de variação igual a 10%. A partir de uma certa