EXERCÍCIOS SOBRE ARRANJO SIMPLES RESOLVIDOS

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EXERCÍCIOS SOBRE ARRANJO SIMPLES RESOLVIDOS
1. Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Eles serão escolhidos através do voto individual dos membros do conselho da empresa. Vamos determinar de quantas maneiras distintas essa escolha pode ser feita 
Trata-se de um agrupamento de 15 pessoas tomadas 2 a 2 
Os cargos poderão ser ocupados de 210 maneiras distintas 
2. Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos 
 O sorteio terá 151.200 possibilidades de sequência de 6 algarismos 
3. Uma família é composta por seis pessoas (pai, mãe e quatro filhos) que nasceram em meses diferentes do ano. Calcule as sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros dessa família 
Sabemos que 1 ano é composto de 12 meses, então devemos determinar o número de sequência através do arranjo de 12, tomados 6 a 6 
4. Um número de telefone é formado por 8 algarismos. Determine quantos números de telefone podemos formar com algarismos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 8 
O número 2 deve ser fixado na 1ª posição e o 8 na última. Restaram, por tanto, 6 posições e 8 algarismos, pois eles precisam ser diferentes. Considerando que a ordem dos algarismos diferencie dois números de telefone, vamos arranjar 8 algarismos 6 a 6 
Podemos formar 40.320 números de telefones com os algarismos distintos e que comecem com 2 e terminem com 8 
Qual o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PADRINHO?
Neste exemplo temos um arranjo simples com 8 elementos agrupados 8 a 8. Calculemos então A8, 8:
Portanto:
Podemos formar 40320 anagramas com as letras da palavra PADRINHO.
Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando. Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno?
Como o campeonato possui dois turnos, os jogos Equipe A x Equipe B e Equipe B x Equipe A tratam-se de partidas distintas, então estamos trabalhando com arranjos simples onde importa a ordem dos elementos. Devemos calcular A10, 2:
Então:
Podem ser realizados 90 jogos entre os times participantes.
Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?
Obviamente, como em qualquer corrida, a ordem de chegada é um fator diferenciador dos agrupamentos. Como temos 7 corredores e queremos saber o número de possibilidades de chegada até a terceira posição, devemos calcular A7, 3:
Logo:
210 são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados.
1 – Uma escola tem 9 professores de matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 são possíveis? Os agrupamentos são combinações simples, pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta pelo menos uma pessoa diferente. Invertendo a ordem dos elementos, não alteramos o grupo.
Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9 professores de matemática (mi): 
Mas aqui consideramos distintos os agrupamentos do tipo (m3,m7,m6,m9) e (m7,m3,m6,m9)
A quantidade de agrupamentos formados por esses professores, mudando-se apenas a ordem, é dada por P4 = 4!=24.
Logo, o número de combinações simples será o quociente 3024:24=126.
2. Ainda usando o exemplo anterior. Dos 9 professores de matemática dentre os quais 4 irão a um congresso, calcular quantos grupos serão possíveis.
3. Resolver a equação Cx, 2 = 3.
 Logo V = {3}
4. Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes?
Dos 2 levantadores escolheremos 1, e dos 10 atacantes apenas 5 serão escolhidos. Como a ordem não faz diferença, temos:
escolhas do levantador.
escolhas dos 5 atacantes.
Logo, teremos 2 · 252 = 504 formas de escolher o time.
5. Durante o jogo, 2 atacantes e o levantador foram substituídos. De quantas formas isso poderia ser feito?
Dos jogadores que não estavam na quadra, 1 era levantador e 5 eram atacantes. Assim, só há uma forma de substituir o levantador e C5, 2 formas de substituir os dois atacantes. Logo, as substituições poderiam ter sido feitas de:
 formas diferentes.
6. Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podem ser formadas?
comissões.
7. De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos?
 modos.
8. Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?
  saladas
9. De quantas maneiras podemos escolher 2 estudantes numa classe com 30 alunos?
A questão é a mesma que perguntar quantos subconjuntos de dois elementos possui um conjunto com 30 elementos. A resposta é:
10. Num grupo de 9 pessoas há 2 garotas e 7 rapazes. De quantas maneiras podemos escolher
4 membros do grupo sendo que, no mínimo, há uma garota dentre os escolhidos?
Se dentre os 4 membros escolhidos há uma garota, essa escolha pode ser feita de C7, 2 . C2, 1 maneiras distintas. Se dentre os 4 membros escolhidos há duas garotas, essa escolha pode ser feita de C7, 2 . C2, 2 maneiras distintas. Portanto, o número pedido é
Ou seja. C7, 2 . C2, 1 + C7, 2 . C2, 2 = 91
11. De quantas maneiras podemos dividir 10 rapazes em dois grupos de cinco?
O primeiro grupo pode ser escolhido de C10, 5 modos. Escolhido o primeiro grupo, sobram 5 pessoas e só há uma maneira de formar o segundo grupo. A resposta parece ser C10, 5 . 1
Entretanto, contamos cada divisão duas vezes. Por exemplo, a divisão dos rapazes nos dois grupos {a, b, c, d, e} e {f, g, h, i, j} é idêntica a divisão nos grupos: {f, g, h, i, j} e {a, b, c,d, e}, e foi contada como se fossem distintas. Portanto, a resposta é:
Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9 professores de
matemática (mi): A9, 4 = 3024
Mas aqui consideramos distintos os agrupamentos do tipo (m3,m7,m6,m9) e (m7,m3,m6,m9).
A quantidade de agrupamentos formados por esses professores, mudando-se apenas a ordem, é dada por p4 = 4!=24.
Logo, o número de combinações simples será o quociente 3024:24=126.
2. Ainda usando o exemplo anterior. Dos 9 professores de matemática dentre os quais
4 irão a um congresso, calcular quantos grupos serão possíveis.
9.7.2 126
4.3.2.5!
9.8.7.6.5!
4!.5!
9!
4!(9 4)! 9! 9,4
3. Resolver a equação Cx, 2 = 3.
Logo V = {3}
4. Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra
no início do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes?
Dos 2 levantadores escolheremos 1, e dos 10 atacantes apenas 5 serão escolhidos.
Como a ordem não faz diferença, temos:
1!.1!
2!
1!(2 1)!
2!
2,1
5.4.3.2
10.9.8.7.6
5!.5!
10!
5!(10 5)! 10! 10,5
C Escolhas dos 5 atacantes.
Logo, teremos 2 · 252 = 504 formas de escolher o time.
5. Durante o jogo, 2 atacantes e o levantador foram substituídos. De quantas formas
isso poderia ser feito?
Dos jogadores que não estavam na quadra, 1 era levantador e 5 eram atacantes.
Assim, só há uma forma de substituir o levantador e C5, 2 formas de substituir os dois
atacantes. Logo, as substituições poderiam ter sido feitas de:
3!.2!
5.4.3!
3!.2!
5!
2!(5 2)!
5!
1. 1. 5,2
C formas diferentes.
6. Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podem ser formadas?
3!.2!
5.4.3!
3!.2!
5!
3!(5 3)!
5!
5,3
C comissões.
7. De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos?
4.2!
6.5.4.3!
2!.4!
6!
2!(6 2)!
6!
6,2
C modos.
8. Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8
frutas distintas?
5.3!
8.7.6.5!
5!.3!
8!
5!(8 5)!
8!
8,5
C saladas
9. De quantas maneiras podemos escolher 2 estudantes numa classe com 30 alunos?
A questão é a mesma que perguntar quantossubconjuntos de dois elementos possui
um conjunto com 30 elementos. A resposta é
10. Num grupo de 9 pessoas há 2 garotas e 7 rapazes. De quantas maneiras podemos escolher 4 membros do grupo sendo que, no mínimo, há uma garota dentre os escolhidos?
Se dentre os 4 membros escolhidos há uma garota, essa escolha pode ser feita de C7,3 . C2,1 maneiras distintas. Se dentre os 4 membros escolhidos há duas garotas, essa escolha pode ser feita de C7,2 . C2,2 maneiras distintas. Portanto, o número pedido é
Ou seja. C7,3 . C2,1 + C7,2 . C2,2 = 91
11. De quantas maneiras podemos dividir 10 rapazes em dois grupos de cinco?
O primeiro grupo pode ser escolhido de C10,5 modos. Escolhido o primeiro grupo,
sobram 5 pessoas e só há uma maneira de formar o segundo grupo. A resposta parece ser C10,5 . 1 Entretanto, contamos cada divisão duas vezes. Por exemplo, a divisão dos rapazes nos dois grupos {a, b, c, d, e} e {f, g, h, i, j} é idêntica a divisão nos grupos: {f, g, h, i, j} e {a, b, c,d, e}, e foi contada como se fossem distintas. Portanto, a resposta é: 5!(10 5)! = 10,5 = 126
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