Operações com Números Reais e Naturais

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Adição e subtração
menos (-) com menos (-): soma e conserva o sinal.
mais (+) com mais (+): soma e conserva o sinal.
menos (-) com mais (+): subtrais e conserva o sinal do maior.
mais (+) com menos (-): subtrais e conserva o sinal do maior.
Multiplicação e divisão
menos (-) com menos (-): dá mais (+).
mais (+) com mais (+): dá mais (+).
mais (+) com menos (-): dá menos (-).
Veja os exemplos
(+ 5) + (+ 45) = 5 + 45 = 50 (mais com mais: soma e conserva o sinal)
(+ 50) + (- 35) = 50 - 35= 15 (mais com menos: subtrais e conserva o sinal do maior)
(+ 15) + (- 20) = - 5 (mais com menos: subtrais e conserva o sinal do maior)
(- 5) + (- 10) = - 15 (menos com menos: soma e conserva o sinal)
(- 15) + (+ 50) = 35 (menos com mais: subtrais e conserva o sinal do maior)
(+ 10) . (+ 4) = + 40 (mais com mais: dá mais)
(- 2) . (+ 4) = - 8 (menos com mais: dá menos)
(+ 4) . (- 2) = - 8 (mais com menos: dá menos)
(- 3) . (- 2) = + 6 (menos com menos: dá mais)
NÚMEROS REAIS
Os números reais são elementos de um conjunto, que é formado pela reunião dos termos numéricos descrito abaixo:
· Números naturais → conjunto dos números naturais (N)
· Números inteiros → conjunto dos números inteiros (Z)
· Números racionais → conjunto dos números racionais (Q)
· Números irracionais → conjunto dos números irracionais (I)
Da união desses conjuntos obtemos o conjunto dos números reais, que pode ser representado pela seguinte relação:
R=N∪Z∪Q∪I
Lê-se: Conjunto dos reais = (conjunto dos naturais) união (conjunto dos inteiros) união (conjunto dos racionais) união (conjunto dos irracionais)
OU
R=Q∪I
Lê-se: Conjunto dos reais = (conjunto dos racionais) união (conjunto dos irracionais)
Para compreender melhor, quais são os termos numéricos que fazem parte do conjunto dos números reais, acompanhe os exemplos a seguir:
Conjunto dos números naturais: Esse conjunto é formado somente por números que são iguais ou maiores que o zero. Exemplo:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ...}
Conjunto dos números inteiros: Os elementos desse conjunto são os números inteiros positivos e negativos. Exemplo:
Z = {... -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5 ...}
Conjunto dos números racionais: Todo o número racional e do tipo ab, com a e b inteiros, sendo b ≠ 0. Fazem parte desse conjunto os números: naturais, inteiros positivos/negativos, decimais, fração e dízima periódica. Exemplo:
Q = {... -3; -2,5; -1, 0, +12; +1; +1,8; +2 ...}
Conjunto dos números irracionais: Os números irracionais não podem ser representados por uma fração. Possuem infinitas casas decimais, por esse motivo não apresenta período. Os números irracionais são considerados uma dízima não periódica. Exemplo:
I = { -2,345...; -1,452...; 1,679...}
Diagrama de inclusão
O conjunto dos números reais pode ser representado pelo diagrama de inclusão abaixo:
 
I⊂R
Lê-se: (Conjunto dos irracionais) está contido (Conjunto dos reais)
N⊂Z⊂Q⊂R
Lê-se: (Conjunto dos naturais) está contido (Conjunto dos inteiros) está contido (Conjunto dos racionais) está contido (Conjunto do reais)
NÚMEROS NATURAIS
O conjunto dos números naturais (ou o conjunto dos inteiros não negativos), representado pelo símbolo N, é a nossa principal ferramenta de contagem. Eles são basicamente “os números que usamos para contar”: 2 carros, 12 ovos, 3 pessoas...
N={0,1,2,3,4,5,...}
O homem primitivo precisava de uma representação simbólica para contabilizar seus elementos, objetos e tudo o que lhes pertenciam ou tinham a necessidade de administrar. Neste caso, o número zero ainda não era descrito como numeral, afinal, demorou milhares de anos até que por volta de 450 d.C., os hindus introduziram uma coluna vazia em seus ábacos donde veio o conceito de uma representação do vazio numericamente.
O zero é também um elemento de contagem, por isso ele faz parte dos números naturais. Porém em matemática podemos trabalhar com os números naturais sem o zero, onde simbolicamente representamos por:
N∗={1,2,3,4,5,...}
ou também por:
N−{0}={1,2,3,4,5,...}
Uma definição formal da estrutura do conjunto dos naturais foi dada pelo matemático Giuseppe Peano, onde introduziu os famosos axiomas de Peano. Estes axiomas exibem os números naturais como ordinais, ou seja, objetos que ocupam lugares determinados em uma sequência. O número 1 é o primeiro natural, o 2 é o que sucede o 1, o 3 vem em seguida do 2, e assim por diante. Os números naturais também ocorrem como resultado de uma operação de contagem, então, o conjunto N é infinito. Antes de enunciar estes axiomas vamos apresentar algumas propriedades a respeito dos números naturais. Comecemos pela adição:
Para quaisquer x,y,z∈N valem as propriedades:
Associativa: x+(y+z)=(x+y)+z
Comutativa: x+y=y+x
Lei do Corte: x+y=x+z⇒y=z
Elemento Neutro: x+0=0+x=x
Agora, para a multiplicação:
Associativa: x⋅(y⋅z)=(x⋅y)⋅z
Comutativa: x⋅y=y⋅x
Lei do Corte: x⋅y=x⋅z⇒y=z
Monotonicidade: x<y⇒x⋅z<y⋅z
Estas propriedades foram construídas a partir dos axiomas de Peano onde, para melhor compreensão dos mesmos, recomenda-se um conhecimento básico sobre conjuntos numéricos e de funções. As definições abaixo consideram o conjunto dos naturais sem o zero (N∗). Enunciamos:
Seja uma função S:N→N e para qualquer n∈N a lei de associação S(n), que é o valor em que a função S assume no ponto n, é chamada de sucessor de n.
1º Axioma:
A função é injetiva S:N→N, ou seja, para todo x,y∈N:
S(x)=S(y)⇒x=y
Isto significa que se dois números que pertencem aos naturais têm o mesmo sucessor então eles são iguais.
2º Axioma:
O conjunto N−S(N) possui apenas um elemento. Em outras palavras, existe um único número natural que não é sucessor de nenhum outro, logo, este número é o um.
3º Axioma (Princípio da Indução):
Seja o subconjunto A⊂N tal que 1∈A e, para qualquer n∈A, temos que S(n)∈A, então A=N.
Estes axiomas servem para a construção dos números naturais, bem como todas as propriedades que derivam deles. Esta abordagem rigorosa serviu para estruturar o conceito de número que depois formaram a base para outros conjuntos numéricos usuais na matemática: os inteiros Z, os racionais Q, os reais R, etc.
NÚMEROS INTEIROS
O sistema de numeração foi desenvolvido para quantificar. Ao longo do tempo, houve a necessidade de representar números que fossem menores que o zero. Situações como: medir a temperatura de regiões que nevam, estar em andares abaixo do solo, ou seja, subsolo e saldo de gols são situações em que utilizamos os números negativos.
A reta numérica
O conjunto dos inteiros é formado por números positivos e negativos. Esse conjunto é infinito nos dois sentidos da reta numérica.
Relação de Inclusão
A notação para representação do conjunto dos números inteiros é o símbolo  A relação de inclusão no conjunto dos inteiros envolve o conjunto dos números naturais (). Sendo que:
Lê-se:
 está contido em 
ou
Conjunto dos naturais está contido nos inteiros.
Veja a representação em diagramas.
Elementos do conjunto : {+ 1, + 2, + 3, + 4, + 5}
Elementos do conjunto : {- 5, - 4, - 3, - 2, -1, +1, +2, +3, +4, +5}
Observe que os números naturais  = {+ 1, + 2, + 3, + 4, + 5} pertencem ao conjunto dos números inteiros Z = {- 5, - 4, - 3, - 2, -1, +1, +2, +3, +4, +5}, isso porque .
Subconjunto dos números inteiros
Conjunto dos números inteiros não negativos
Exemplo:  = {0, +1, +2, +3, +4, +5 ...}
Conjunto dos números inteiros não positivos
Exemplo:  = {... -5, -4, -3, -2, 0}
Conjunto dos números inteiros positivos não nulos
Exemplo:  = {+1, +2, +3, +4, +5 ...}
Obs. Utilizar o (*) significa que o número zero não pertence ao conjunto.
Conjunto dos números inteiros negativos não nulos
Exemplo:  = {... -5, -4, -3, -2, -1}
Obs. Utilizar o (*) significa que o número zero não pertence ao conjunto.
NÚMEROS RACIONAIS
O conjunto dos números racionais é constituído por números: inteiro (positivo e negativo), decimais, dizima periódica composta/ simples e frações. Utilizamos esses números para representar quantidades e medidas. Os conjuntos dos números naturais e inteiros fazem parte do conjunto dos números racionais. Na reta numéricapodemos representar esse conjunto da seguinte forma:
Notação e relação de inclusão
O conjunto dos números racionais é representado pelo símbolo Q. A relação de inclusão é estabelecida com os conjuntos dos números naturais (N) e inteiros (Z). Observe o diagrama a seguir:
N⊂Z⊂Q
Lê-se:
· N está contido em Z,
· Z está contido em Q,
· N está contido em Q.
Elementos do conjunto dos números naturais (N)
N = {0, +1, +2, +3, +4, +5}
Elementos do conjunto dos números inteiros (Z)
Z = {-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5}
Elementos do conjunto dos números racionais (Q)
Q = {-7; -6; -5; -4; -3,4; -3; -2; -1,55...; -1; -0,422...; −13; -0,02; 0; +12; +0,8; +1; +2; +3; +4; +5; +9,6}
Subconjuntos dos números racionais
Os números racionais também possuem subconjuntos, os mesmos estão listados a seguir:
Conjunto dos números racionais não nulos
Q*={x∈Q/x≠0}
Exemplo: Q* = {...+2,5; -2; -1,5; -1; +12, +1; +1,5; +2; + 2,5...}
Obs. O (*) significa que o zero não pertence ao conjunto por ser o elemento nulo.
Conjunto dos números racionais não negativos
Q+={x∈Q/x≥0}
Exemplo: Q+ = {0; +12, +1; +1,5; +2; +2,5 ...}
Conjunto dos números racionais positivos e não nulo
Q+*={x∈Q/x>0}
Exemplo: Q+* = {+12, +1; +1,5; +2; +2,5 ...}
Conjunto dos números racionais não positivos
Q−={x∈Q/x≤0}
Exemplo: Q− = {-2; -1,5; -1; 0}
Conjunto dos números racionais negativos e não nulo
Q−*={x∈Q/x<0}
Exemplo: Q−* = {-2; -1,5; -1}
NÚMEROS IRRACIONAIS
Para uma melhor compreensão da definição de número irracional, é necessário que sejam apresentadas algumas propriedades dos números racionais. Definimos um número racional como qualquer número que possa ser escrito da forma pq, com p sendo um número inteiro e q um número inteiro diferente de zero. Formalmente escrevemos o conjunto dos números racionais Q da seguinte maneira:
Q={pq:p∈Z;q∈Z*}
Então, podemos dizer que qualquer fração (ou razão) que possa ser obtida pela divisão de dois números inteiros nessas condições é chamado de número racional. A questão agora é: Como sabemos se um número é racional?
Abaixo temos alguns casos possíveis para a sua representação:
1) Frações (redutíveis ou não): 14, 75, 12135, ...
2) Números decimais finitos: 4,5 ; 7,32 ; 2,31 ; ....
3) Números mistos: 275, 934, ...
4) Dízimas periódicas: 0,7777... ou 0,7 ; 0,393939... ou 0,39; 13,147147147... ou 13,147
Há ainda alguns números que possuem representação decimal, porém não sabemos, de pronto, se ele pode ou não ser um racional. Vamos analisar por exemplo o número 2–√, que possui o seguinte valor aproximado.
2–√≈1,414213562...
Ora, não podemos afirmar que o número possui uma dízima periódica, pois não sabemos se a representação decimal irá repetir um padrão (isso pode ocorrer na 20ª casa decimal ou na 100.000ª). Para definirmos números que estão nesta forma, digamos, incerta, devemos recorrer ao Teorema Fundamental da Aritmética para classificá-lo.
Teorema Fundamental da Aritmética (T.F.A.): Todo número inteiro maior do que 1, 0 e -1 pode ser escrito (ou decomposto) pelo produto de fatores primos de forma única.
Exemplos:
· O número 15 pode ser escrito como (3.5), onde 3 e 5 são primos;
· 28 = 2.2.7 (2 e 7 são primos)
· 135 = 3.3.3.5
Se elevarmos qualquer número inteiro a uma potência de qualquer valor (2, 3, 4, ...) o T.F.A. continuará valendo, por exemplo:
· 152 = 32.52 = 9.25 = 225
· 282 = 22.22.72 = 4.4.49 = 784
· 1353 = 33. 33. 33.53 = 27.27.27.125 = 2460375
Podemos então generalizar. Qualquer número inteiro x pode ser escrito da seguinte forma:
x=P1⋅P2⋅P3...Pn
E se elevarmos esse número inteiro a qualquer potência de valor m teremos:
xm=Pm1⋅Pm2⋅Pm3...Pmn
Sendo P1,P2,P3,...Pn números primos.
Voltando ao 2–√, temos uma dúvida a respeito de sua classificação. Porém, podemos partir da premissa de que ele é um número racional. Se ele for racional, então pode ser escrito da forma pq. E se ele pode ser obtido pela razão entre dois inteiros então é válido dizer que:
pq=2–√
Então uma nova pergunta surge: Existe um número racional que elevado ao quadrado seja igual a dois? Para responder essa pergunta, devemos então operar ambos os lados da equação, o que nos resulta em:
(pq)2=(2–√)2
Como o índice da raiz a direita também é dois (raiz quadrada), então anulamos a raiz, por definição:
p2q2=2
O que nos garante escrever que:
p2=2q2
Como p é um número inteiro, então ele obedece ao T.F.A. quando elevado a uma potência e também pode ser decomposto em fatores primos. Mas note que na expressão, a potência de 2, que é igual a um, não acompanha a definição do T.F.A. o que é um absurdo! Elevando qualquer inteiro a uma potencia m, os primos que o compõe também devem ser elevados a mesma potencia m, o que não ocorre com 2 nesta expressão e sim apenas com o inteiro q. Concluindo então que não pode ser escrito da forma p/q, logo ele não é um número racional, e sim, Irracional. Em outras palavras, não existem dois inteiros p e q que quando divididos têm como resultado 1,414213562...
Formalmente definimos então um Número Irracional, que é representado por I, como sendo um número que não pode ser obtido da forma p/q, com p e q inteiros. Alguns exemplos de números irracionais são:
1. Raízes quadradas de números primos: 2–√, 3–√, 5–√ ...
2. Algumas constantes: π, e, ln 2, ln 3
Considerações sobre os sinais de adição (+) e subtração (-)
· Quando o sinal de adição (+) anteceder um parêntese, colchete ou chaves, deveremos eliminar o parêntese, o colchete ou chaves, na ordem de resolução, reescrevendo os números internos com o seus sinais originais.
· Quando o sinal de subtração (-) anteceder um parêntese, colchete ou chaves, deveremos eliminar o parêntese, o colchete ou chaves, na ordem de resolução, reescrevendo os números internos com o seus sinais invertidos.
Resolvendo expressões
Vejam a expressão numérica 15 x 2 – 30 ÷ 3 + 7
15 x 2 – 30 ÷ 3 + 7 → primeiro resolveremos a multiplicação e a divisão, em qualquer ordem.
30 – 10 + 7 → Agora resolveremos a adição e subtração, também em qualquer ordem.
27 (Resultado Final)
Acompanhem a resolução da expressão 10 x [30 ÷ (2 x 3 + 4) + 15]
10 x [30 ÷ (2 x 3 + 4) + 15] → primeiro resolveremos a multiplicação interna aos parênteses.
10 x [30 ÷ (6 + 4) + 15] → resolveremos a adição interna aos parênteses, desta forma os eliminando.
10 x [30 ÷ 10 + 15] → resolveremos a divisão interna aos colchetes.
10 x [3 + 15] → resolveremos a adição interna aos colchetes.
10 x [18] → eliminaremos os colchetes, como o sinal de multiplicação os antecede, apenas reescreveremos o número interno com o seu sinal de origem.
10 x 18 → resolveremos a multiplicação.
180 (Resultado Final)
Observem a expressão 25 + {14 – [25 x 4 + 40 – (20 ÷ 2 + 10)]} e acompanhem as sua respectiva resolução:
25 + {14 – [25 x 4 + 40 – (20 ÷ 2 + 10)]} → primeiro resolveremos a divisão interna aos parênteses.
25 + {14 – [25 x 4 + 40 – (10 + 10)]} → resolveremos a adição interna aos parênteses.
25 + {14 – [25 x 4 + 40 – (20)]} → eliminaremos os parênteses, como o sinal que os antecede é negativo, inverteremos o sinal interno.
25 + {14 – [25 x 4 + 40 – 20]} → resolveremos a multiplicação interna aos colchetes.
25 + {14 – [100 + 40 – 20]} → resolveremos a adição e subtração, em qualquer ordem, internas aos colchetes.
25 + {14 – [120]} → eliminaremos os colchetes, como o sinal que os antecede é negativo, inverteremos o sinal interno.
25 + {14 – 120} → resolveremos a subtração interna aos colchetes.
25 + {- 106} → eliminaremos as chaves, como o sinal que as antecede é positivo, manteremos o sinal interno original.
25 – 106 → resolveremos a subtração
- 81 (Resultado Final)
O que é expressão algébrica?
As expressões algébricas são formadas por três itens básicos: números conhecidos, números desconhecidos e operações matemáticas. As expressões numéricas e algébricas seguem a mesma ordem de resolução. Dessa maneira, operações dentro de parênteses têm prioridade sobre as outras, assim como multiplicações e divisões têm prioridade sobre adições e subtrações.
Os números desconhecidos são chamados de incógnitas e normalmente são representados porletras. Alguns livros e materiais também os denominam de variáveis. Os números que acompanham essas incógnitas são chamados de coeficientes.
Assim sendo, são exemplos de expressões algébricas:
1) 4x + 2y
2) 16z
3) 22xa + y – 164x2y2
Valor numérico das expressões algébricas
Quando a incógnita deixa de ser um número desconhecido, basta substituir seu valor na expressão algébrica e resolvê-la do mesmo modo que as expressões numéricas. Para tanto, é preciso saber que o coeficiente sempre multiplica a incógnita que acompanha. Como exemplo, vamos calcular o valor numérico da expressão algébrica a seguir, sabendo que x = 2 e y = 3.
4x2 + 5y
Substituindo os valores numéricos de x e y na expressão, teremos:
4·22 + 5·3
Observe que o coeficiente multiplica a incógnita, mas, para facilitar a escrita, o sinal de multiplicação é omitido nas expressões algébricas. Para finalizar a resolução, basta calcular a expressão numérica resultante:
4·22 + 5·3 = 4·4 + 5·3 = 16 + 15 = 31
Vale dizer que duas incógnitas que aparecem juntas também estão sendo multiplicadas. Se a expressão algébrica acima fosse:
2xy + xx + yy = 2xy + x2 + y2
Seu valor numérico seria:
2xy + x2 + y2 = 2·2·3 + 22 + 33 = 12 + 4 + 9 = 25
Monômios
Monômios são expressões algébricas formadas apenas por multiplicação de números conhecidos e incógnitas. São exemplos de monômios:
1) 2x
2) 3x2y4
3) x
4) xy
5) 16
Perceba que números conhecidos são considerados monômios, assim como apenas as incógnitas. Além disso, o conjunto de todas as incógnitas e seus expoentes é chamado de parte literal, e o número conhecido é chamado de coeficiente de um monômio.
Todas as operações matemáticas básicas em monômios podem ser realizadas com alguns ajustes nas regras e algoritmos.
Adição e subtração de monômios
Só podem ser realizadas quando os monômios possuem parte literal idêntica. Quando isso acontecer, some ou subtraia apenas os coeficientes, mantendo a parte literal dos monômios na resposta final. Por exemplo:
2xy2k7 + 22xy2k7 – 20xy2k7 = 4xy2k7
Para mais informações, detalhes e exemplos sobre soma e subtração de monômios, clique aqui.
Multiplicação e divisão de monômios
A multiplicação de monômios não necessita de que as partes literais sejam iguais. Para multiplicar dois monômios, multiplique primeiro os coeficientes e, depois, multiplique incógnita a incógnita usando propriedades de potência. Por exemplo:
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4x3k2yz·15x2k4y = 60x3 + 2k2 + 4y1 + 1z = 60x5k6y2z
A divisão é feita da mesma maneira, entretanto, dividem-se os coeficientes e utiliza-se a propriedade da divisão de potências de mesma base para a parte literal.
Para mais exemplos e detalhes, consulte o texto sobre divisão de monômios clicando aqui.
Polinômios
Polinômios são expressões algébricas formadas pela adição algébrica de monômios. Assim, um polinômio nasce quando somamos ou subtraímos dois monômios distintos. Atenção: todo monômio também é polinômio.
Veja alguns exemplos de polinômios:
1) 2x + 2x2
2) 2x + 3xy + 3y
3) 2ab + 16 – 4ab3
Adição e subtração de polinômios
É feita colocando-se lado a lado todos os termos semelhantes (monômios que possuem parte literal igual) e somando-os. Quando os polinômios não possuem termos semelhantes, eles não podem ser somados ou subtraídos. Quando polinômios possuem um termo que não é semelhante a nenhum outro, esse termo não é somado nem subtraído, apenas repetido no resultado final. Por exemplo:
(12x2 + 21y2 – 7k) + (– 15x2 + 25y2) =
12x2 + 21y2 – 7k – 15x2 + 25y2 =
12x2 – 15x2 + 21y2 + 25y2 – 7k =
– 3x2 + 46y2 – 7k
Multiplicação de polinômios
A multiplicação de polinômios sempre é feita com base na propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (também conhecida como chuveirinho). Por meio dela, devemos multiplicar o primeiro termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo, depois o segundo termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo e assim sucessivamente até que todos os termos do primeiro polinômio tenham sido multiplicados.
Para isso, é claro, usamos as propriedades de potência quando necessário. Por exemplo:
(x2 + a2)(y2 + a2) = x2y2 + x2a2 + a2y2 + a4
Mais informações e exemplos sobre multiplicação, adição e subtração de polinômios podem ser encontrados clicando aqui.
Divisão de polinômios
É o procedimento mais difícil das expressões algébricas. Uma das técnicas mais usadas para dividir polinômios é muito parecida com a usada para divisão entre números reais: procuramos um monômio que, multiplicado pelo termo de grau mais alto do divisor, seja igual ao termo de grau mais alto do dividendo. Depois, basta subtrair do dividendo o resultado dessa multiplicação e “descer” o resto para continuar a divisão. Por exemplo:
(x2 + 18x + 81):(x + 9) =
x2 + 18x + 81 | x + 9
– x2 – 9x          x + 9 
9x + 81  
– 9x – 81     
      0
Expressão algébrica
Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números, são também denominadas expressões literais. As letras constituem a parte variável das expressões, pois elas podem assumir qualquer valor numérico. No passado as letras foram pouco utilizadas na representação de números desconhecidos, atualmente as letras associadas a números constituem a base da álgebra e contribui de forma eficiente na resolução de várias situações matemáticas. Veja alguns exemplos de expressões algébricas:
2x – 5
3a + 2y
x² + 7x
5 + x – (5x – 2)
10y – 10x
a² – 2ab + b²
As expressões algébricas podem ser utilizadas para representar situações problemas, como as propostas a seguir:
1 – Determine a expressão que representa o perímetro das seguintes figuras:
Perímetro: soma dos lados de qualquer polígono.
4x + 1 + 2x + 4x + 1 + 2x
12x + 2
2x + 6 + 3x – 2 + x + 8
6x + 12
2 – O dobro de um número adicionado a 20: 2x + 20
3 – A diferença entre x e y: x – y
4 – O triplo de um número qualquer subtraído do quádruplo do número: 3x – 4x
5 – Represente algebricamente a área do retângulo a seguir:
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2x * (3x+5)
6x² + 10x
Equação de Diofanto
6 – Um sexto dela foi uma bela infância. Depois de 1/12 da sua vida, a sua barba cresceu. Um sétimo da sua vida passou-se num casamento sem filhos. Mas, cinco anos após isso, nasceu o seu primeiro filho, que viveu uma vida feliz durante apenas metade do tempo de vida do seu pai. E, em profundo pesar, o pobre velho terminou os seus dias na Terra, quatro anos após perder o filho.