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1a SÉRIE
ENSINO MÉDIO
Volume 2
MATEMÁTICA
CADERNO DO ALUNO
MAT 1 SERIE MEDIO_CAA.indd 1 18/02/14 15:45
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO ALUNO 
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
1a SÉRIE
VOLUME 2
Nova edição
2014-2017
governo do estado de são paulo
secretaria da educação
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretária-Adjunta
Cleide Bauab Eid Bochixio
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e 
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta 
Coordenadora de Gestão da 
Educação Básica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gestão de 
Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informação, 
Monitoramento e Avaliação 
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção
Coordenadora de Infraestrutura e 
Serviços Escolares
Dione Whitehurst Di Pietro
Coordenadora de Orçamento e 
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o 
Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri
Caro(a) aluno(a),
Você está recebendo o Caderno de Matemática para o 2o semestre. Ao longo do 1o semestre, 
você encontrou desafios que exigiram dedicação e muito estudo para construir os conhecimentos e 
desenvolver as habilidades compreendidas no curso. Parabéns pelo empenho!
Agora, há outros desafios pela frente. Neste Caderno, o foco será a ideia de crescimento ou de-
crescimento exponencial. Para esse estudo, você revisará as potências já apresentadas no Ensino Fun-
damental, uma vez que o significado delas será consolidado com suas operações usando expoentes 
inteiros, racionais e reais.
Com os estudos sobre potência, você compreenderá que esse conhecimento é importante para 
a construção do gráfico da função exponencial e para o reconhecimento de uma função crescente 
ou decrescente.
Além disso, o Caderno explora as propriedades dos logaritmos e sua linguagem, ampliando 
as possibilidades de compreensão de uma extensa classe de fenômenos associados ao crescimento e 
decrescimento exponencial, e, a partir de situações contextualizadas, você poderá analisar os enunciados, 
utilizar a linguagem matemática para expressar as condições descritas e interpretar os resultados de 
acordo com as informações fornecidas pela situação-problema.
Ainda neste caderno, aprofundando os conhecimentos das relações essenciais entre a Geometria e a 
Trigonometria, você será convidado a explorar o estudo das regularidades na inscrição e na circunscrição 
de polígonos. Para finalizar, você perceberá que, por meio da Trigonometria, é possível relacionar os lados 
e os ângulos de um triângulo retângulo e, também, conhecer duas relações importantes entre os lados e 
os ângulos de um triângulo qualquer: a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos.
Esperamos que você participe de todas as atividades propostas pelo seu professor e, com isso, 
possa aprender cada vez mais. Será de suma importância que você se aproprie desses conhecimen-
tos, pois está iniciando o seu percurso no Ensino Médio e, portanto, todos os conceitos estudados 
contribuirão para melhorar o seu desempenho. O objetivo é contribuir para que o estudo da 
Matemática seja cada vez mais prazeroso. Aproveite bastante!
Equipe Curricular de Matemática
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB
Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
Matemática – 1a série – Volume 2
5
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 
AS POTÊNCIAS E O CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO 
EXPONENCIAL: A FUNÇÃO EXPONENCIAL
!
?
Suponhamos que no país X a produção de determinado alimento foi igual a uma tone-
lada no final do ano de 2000. Em virtude dos incentivos econômicos, essa produção passou 
a triplicar anualmente a partir daquele momento. 
Uma tabela com as quantidades produzidas ao final de cada ano é apresentada a seguir.
Ano Produção P (em toneladas) Potência correspondente
2000 1 30
2001 3 31
2002 9 32
2003 27 33
2004 81 34
2005 243 35
2006 729 36
2007 2 187 37
2008 6 561 38
2009 19 683 39
... ... ...
2015 14 348 907 315
2000 + n 3n
A regularidade da multiplicação pelo fator 3, a cada ano, conduz naturalmente à re-
presentação da produção correspondente, de modo simplificado, por meio de uma potên-
cia de 3. Observe que, a cada aumento em uma unidade no ano, a produção em toneladas 
é multiplicada por 3. Ao acompanhar a tabela, conclui-se que n anos após o ano 2000, o 
valor da produção P será 3n toneladas.
Leitura e análise de texto
Matemática – 1a série – Volume 2
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VOCÊ APRENDEU?
 1. Tomando a situação descrita pela tabela apresentada na seção Leitura e análise de texto, como 
você representaria a produção P do país X meio ano após o início da produção? E quatro anos 
e três meses após o início do processo?
 2. Para analisar a função exponencial y = ax, ou seja, f(x) = ax, sendo a > 0 e a ≠ 1, para todo núme-
ro real, construímos, a seguir, uma tabela com diversos valores de x e os valores correspondentes 
de f(x) para alguns valores de a. Preencha os espaços em branco da tabela.
x 2x 3x ª 1 __ 2 º 
x
 ª 1 __ 3 º 
x
1 2 1 __ 2 
2 22 = 4 ª 1 __ 3 º 
2
 = 1 __ 9 
3 23 = 8 33 = 27 ª 1 __ 2 º 
3
 = 1 __ 8 
0 30 = 1 ª 1 __ 2 º 
0
 = 1
–3 3–3 = 1 ___ 
33
 = 1 ___ 27 ª 1 __ 3 º
 –3
 = 33 = 27
 1 __ 2 2
 1 __ 2 = ® 
__
 2 ≅ 1,41 ª 1 __ 2 º 
 1 __ 2 = ® 
___
 1 __ 2 
 
 = 1 ____ 
 ® 
__
 2 
 0,71≅
Matemática – 1a série – Volume 2
7
 3. Tendo como base os valores obtidos na tabela apresentada na atividade anterior, vamos 
esboçar os gráficos das funções exponenciais a seguir, observando o crescimento ou o 
 decrescimento em cada caso. Para isso, construa os gráficos das funções I e II em um mes-
mo sistema de eixos. Faça o mesmo para as funções III e IV. Divida o espaço milimetrado 
a seguir em duas partes, uma para cada par de gráficos.
 I. y = 2x II. y = ª 1 __ 2 º 
x
 III. y = 3x IV. y = ª 1 __ 3 º 
x
Matemática – 1a série – Volume 2
8
PESQUISA INDIVIDUAL
Construção de gráficos com auxílio de um software
Alguns softwares livres, como o Graphmatica, o Geogebra ou o Winplot, podem ser utiliza-
dos para construir gráficos de funções de vários tipos. Veja a seguir, como exemplo, o gráfico das 
funções exponenciais y = 5x e y = ª ® 
____
 125 º 
x
, desenhado com o auxílio do Graphmatica.
40
30
20
10
0 1–1–2 2 4
y
50
3–3
60
– 10
5
15
25
35
45
55
y = ( ® 
____
 125 )x
y = 5x
Para aprofundar o estudo dos gráficos das funções exponenciais, procure “baixar” da in-
ternet um software específico para a sua construção ou, se possível, utilize o espaço da sala de 
informática da escola. Com o auxílio de um desses softwares, desenhe os gráficos e, em seguida, 
responda às questões apresentadas.
Quadro-resumo
Analisando as tabelas e os gráficos que você construiu, podemos observar o seguinte:
•	 	quando	x aumenta uma unidade a partir de qualquer valor, ax é multiplicado por a. 
De fato, ax + 1 = ax ⋅ a, ou seja, para cada unidade a mais no valor de x, o valor de ax 
crescerá ou decrescerá, dependendo apenas do valor de a;
•	 	sendo	a	> 1, quando o valor de x aumenta, o valor de ax também aumenta, ou seja, 
a função f(x) = ax é crescente;
•	 	sendo	0	< a < 1, quando o valor de x aumenta, o valor de ax diminui, ou seja, a função 
f(x) = ax é decrescente.
Matemática – 1a série – Volume 2
9
 4. Desenhe os gráficos das seguintes funções e escreva o que você observou. 
 I. f(x) = ª 1 __ 2 º 
x
 II. f(x) = (2)–x 
 
 5. Desenhe os gráficos das seguintes funções em um mesmo sistema de eixos na malha 
a seguir:
 I. f(x) = 3x III. f(x) = 32x
 II. f(x) = ª 1 __ 3 º 
x
 IV. f(x) = 3–0,5x
Matemática – 1a série – Volume 2
10
 a) Escreva cada uma das funções na forma y = (ak)
x
, com a > 0 e a ≠ 1, identificando o valorde k.
Matemática – 1a série – Volume 2
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 b) Analisando os gráficos das funções, identifique quais delas são crescentes ou decrescentes.
Quadro-resumo
Verifique, com base nos itens a e b, que, de modo geral, dada uma constante k, o gráfico 
de uma função do tipo f(x) = akx, com a > 0 e a ≠ 1, pode ser obtido imaginando-se o 
gráfico de y = (ak)
x
. Dependendo do valor de k, a função poderá ser crescente ou decres-
cente. Sendo a > 1, quando k é positivo, a função é crescente; quando k é negativo, a 
função é decrescente.
Assim, considerando a função exponencial f(x) = ª 1 __ 2 º 
x
, e notando que 1 __ 2 = 2
–1, podemos 
escrever que: f(x) = ª 1 __ 2 º 
x
= 2(–1)x = 2–x. De modo geral, sendo 0 < a < 1, então 1 __ a > 1, ou seja, 
toda função exponencial f(x) = ax decrescente pode ser representada na forma f(x) = ª 1 __ a º 
–x
. 
Observamos o fato no gráfico a seguir:
y = 2–x y = 3–x y = 5–x y = 3xy = 5x y = 2x
3
12
6
15
21
9
18
24
– 4 –3 –2 –1 0 1 32 4 x
y
 6. Uma população N de micróbios cresce exponencialmente de acordo com a expressão N = 5 000 ⋅ 3t, 
sendo t em horas.
 a) Calcule o valor de N para os seguintes valores de t:
 I) t = 2 h II) t = 0,5 h
 III) t = 2
3
 h IV) t = 1,25 h
Matemática – 1a série – Volume 2
12
 b) Esboce o gráfico de N como função de t: N = f(t). (Estabeleça uma escala apropriada no 
eixo y.)
 7. Em determinado país X, a produção de automóveis cresce em progressão geométrica, ano após 
ano, a partir do início do ano 2000, tendo aumentado 50% ao ano, desde então. Sabendo-se 
que em 2004 foram produzidos 162 000 automóveis, pergunta-se:
Matemática – 1a série – Volume 2
13
 a) Qual foi a quantidade produzida no ano 2000?
 b) Qual é a produção estimada para o ano de 2010?
 8. É possível construir o gráfico de uma função do tipo f(x) = 2kx de modo análogo ao de y = 2x, 
quando k é positivo, ou ao de y = 2–x, quando k é negativo. Nos dois casos, ocorrerá apenas 
uma mudança na escala no eixo x. Para compreender tal fato, construa o gráfico de cada par de 
funções a seguir no mesmo sistema de coordenadas:
 a) y = 2x e y = 23x
Matemática – 1a série – Volume 2
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 b) y = 3−x e y = 3−0,5x
 c) y = 5x e y = 51,5x
Matemática – 1a série – Volume 2
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 d) y = 7x e y = 7– 0,1x
LIÇÃO DE CASA
 9. A população N de determinado município cresce exponencialmente desde a sua fundação, há 
20 anos, de acordo com a expressão N = 3 000 ⋅ 100,1t, sendo t em anos. Calcule:
 a) O valor de N quando o município foi fundado (t = 0).
 b) O valor de N dez anos após a fundação.
Matemática – 1a série – Volume 2
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 c) O valor de N nos dias atuais.
 d) Quanto tempo, após a fundação, a população atingirá a marca de 3 000 000 de habitantes, 
se o ritmo de crescimento continuar assim.
 e) Quanto tempo, após a fundação, o valor de N atingirá 600 000.
Matemática – 1a série – Volume 2
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 
QUANDO O EXPOENTE É A QUESTÃO, O LOGARITMO 
É A SOLUÇÃO: A FORÇA DA IDEIA DE LOGARITMO
!
?
A ideia de logaritmo: mais viva e importante do que nunca
Os logaritmos foram criados no início do século XVII com o objetivo de simplificar 
cálculos. Se comparada com o período atual, aquela era uma época com poucos recursos 
tecnológicos, em que os cálculos eram realizados com parcos instrumentos e eram muito tra-
balhosos, sobretudo os referentes à navegação. Quando surgiram, a principal característica 
e a grande vantagem dos logaritmos era simplificar os cálculos de um modo facilmente 
compreensível.
Hoje, no entanto, existem muitos instrumentos disponíveis para efetuar os mais in-
trincados cálculos: das calculadoras eletrônicas aos computadores (com preços cada vez 
mais acessíveis). Para que, então, estudar logaritmos? 
A história da Matemática, no entanto, revela-nos uma especial surpresa quando o as-
sunto é logaritmo. A despeito de seu enorme sucesso no século XVII, hoje, em pleno século 
XXI, os logaritmos são mais importantes do que o foram no momento de sua criação. Já 
não precisamos mais deles para simplificar os cálculos, mas seu significado e a força de sua 
linguagem tornaram-se fundamentais para a expressão e a compreensão de fenômenos em 
diferentes contextos, alguns deles surgidos em pleno século XX: nas medidas da intensida-
de sonora, da energia destruidora dos terremotos, do índice de acidez de um líquido, da 
rapidez com que uma substância radioativa se desintegra etc. Sem dúvida, hoje, mais do 
que antes, aprender logaritmos é fundamental. 
Para iniciar nosso percurso na aprendizagem dos logaritmos, retornaremos, no en-
tanto, à problemática inicial: a simplificação dos cálculos.
Simplificação de cálculos: uma ideia brilhante do século XVII
Para compreender o significado dos logaritmos quando surgiram, imaginemos a seguinte 
situação: temos que calcular o valor de E indicado na expressão a seguir.
E = 381,5 ⋅ (20,87)
3 ⋅ (4 182)4
(7,935)2
5
Leitura e análise de texto
Matemática – 1a série – Volume 2
18
Realizar as operações indicadas, sem dispor de uma calculadora, seria um trabalho 
braçal imenso. Uma simplificação muito interessante foi elaborada por alguns matemáticos 
no início do século XVII, entre os quais estavam o inglês Henry Briggs (1561-1630) e o 
escocês John Napier (1550-1617). Cada um propôs uma alternativa a seu modo, mas a 
ideia central subjacente era a seguinte:
•	 	é	 possível	 escrever	 qualquer	 número	 positivo	 N como uma potência de 10: 
N = 10n;
•	 	assim	 procedendo,	 o	 cálculo	 de	 uma	multiplicação	 se	 transforma	 no	 cálculo	 de	 
uma adição (dos expoentes); o cálculo de uma divisão se transforma no cálculo 
de uma subtração (dos expoentes); o cálculo de uma raiz se transforma no cálculo de 
uma divisão (do expoente do radicando pelo índice do radical), e assim por diante.
Assim, na expressão E apresentada anteriormente, escreveríamos:
381,5 = 10a 20,87 = 10b 4 182 = 10c 7,935 = 10d
Conhecendo os valores de a, b, c e d, e usando apenas propriedades da potenciação, 
podemos afirmar que o valor da expressão E será:
E = 10
 (a + 3b + 4c – 2d) _______________ 
5
 
A chave da questão é a representação de qualquer número positivo N como 10n, o que 
é fácil quando se tem N igual a 10, 100, 1 000, 10 000 etc., mas já não parece tão simples 
para valores de N como 2, 17, ® 
____
 537 , 30, 200 ou 1 932,5, por exemplo.
Não é simples, mas é possível, e esse é o grande mérito dos matemáticos que investiram 
nesse terreno: a possibilidade de escrever N como 10n é equivalente à afirmação de que é 
possível calcular o valor da potência 10x para qualquer número real x, e não apenas para os 
valores inteiros de x.
Pois bem, quando escrevemos N = 10n e nos preparamos para simplificar os cálculos 
envolvendo tal número, estamos entrando na seara dos logaritmos. 
Se N = 10 n, então o expoente n é chamado “logaritmo de N”: n = log N.
Matemática – 1a série – Volume 2
19
VOCÊ APRENDEU?
 1. Para a familiarização com a linguagem, calcule os logaritmos dos números a seguir, seguindo o 
modelo apresentado nos itens a e f:
 a) Sendo N = 100 = 102, então o logaritmo de N é 2: log 100 = 2.
 b) Sendo N = 10 = 101,
 c) Sendo N = 1 = 100,
 d) Sendo N = ® 
___
 10 = 10
 1 __ 2 ,
 e) Sendo N = 0,01 = 10–2,
 f ) Sendo N = 13, como 101 < 13 < 102, então o logaritmo de N é um número n tal que 
1 < n < 2; assim, 1 < log 13 < 2.
 g) Sendo N = 3,22,
 h) Sendo N = 751,
Sendo N menor ou igual a zero, então N não tem logaritmo, pois 10n é sempre positivo 
para todo n.
Atenção!
Matemática – 1a série – Volume 2
20
Leitura e análise de texto
Tabelas de logaritmos
Para facilitar os cálculos, tal como era sugerido pelos criadores dos logaritmos, foram 
elaboradas longas tabelas contendo uma lista dos valores de N e do logaritmo correspon-
dente, representado por log N. Tais tabelas (tábuas de logaritmos) eram disponibilizadas 
para os calculadores e constituíram algo que se assemelha aos modernos softwares de hoje.
N (N= 10n) n (n = log N)
10 000 4
6 000 3,77815
3 000 3,47712
2 000 3,30103
1 000 3
600 2,77815
300 2,47712
200 2,30103
100 2
60 1,77815
30 1,47712
20 1,30103
10 1
6 0,77815
3 0,47712
2 0,30103
1 0
Os valores apresentados1 foram escolhidos como exemplos, mas são sugestivos de cer-
tas regularidades existentes em uma tabela de logaritmos.
1 Os valores decimais foram aproximados, pois esses números possuem infinitas casa decimais.
Matemática – 1a série – Volume 2
21
Por exemplo, como a razão 3 000 _____ 300 é igual a 10, a diferença entre seus logaritmos deve 
ser igual a 1, ou seja, eles têm a mesma parte decimal, diferindo apenas na parte inteira. 
O mesmo acontece com os logaritmos de 300, de 30 e de 3.
Também notamos que, como 6 = 2 ⋅ 3, então log 6 = log 2 + log 3 ≅ 0,30103 + 
+ 0,47712 ≅ 0,77815.
Fatos assim constituem indícios de que não é necessário colocar na tabela os 
logaritmos de todos os números, o que seria impossível. Tabelando-se os logaritmos de 
alguns números, por exemplo, os naturais de 1 a 10 000, os demais podem ser calcula-
dos a partir deles de forma aproximada.
Observações sobre a tabela de logaritmos (ou tábua de logaritmos)
I. Se na tabela aparecem apenas os números naturais de 1 a 10 000, não vamos encontrar nela, 
por exemplo, 381,5. Entretanto, sabemos que seu logaritmo situa-se entre 2 e 3 e que sua 
parte decimal é a mesma de 3 815. Assim, determinamos o logaritmo de 381,5.
II. A construção de uma tabela é um processo longo e trabalhoso. Os logaritmos dos números que 
não são potências inteiras da base são números irracionais e, na prática, são expressos em termos 
aproximados, com um número fixo de casas decimais. 
 Acompanhe os passos do exemplo a seguir:
•	 o logaritmo de 1 é 0;
•	 o logaritmo de 10 é 1;
•	 para preencher as lacunas entre 1 e 10, podemos extrair a raiz quadrada de 10;
•	 	como		® 
___
 10 = 10
 1 __ 2 , segue que log ® 
___
 10 = 0,5;
•	 extraindo a raiz quadrada da raiz quadrada de 10, temos o log 4 ® 
___
 10 = 0,25;
•	 de modo geral, sendo A e B dois números cujos logaritmos conhecemos, extraindo a raiz 
quadrada de A ⋅ B, temos: log ® 
___
 AB = 1 __ 2 · (log A + log B);
•	 assim, com paciência, as lacunas entre as potências inteiras podem ser preenchidas. 
As tábuas de logaritmos são um instrumento de importância histórica, mas sem interesse no 
presente, uma vez que dispomos de muitos outros instrumentos para calcular logaritmos.
Matemática – 1a série – Volume 2
22
VOCÊ APRENDEU?
 2. Existem métodos de cálculo para os logaritmos dos números que não são potências inteiras de 10. 
Tais valores (aproximados, pois são números irracionais) podem ser obtidos por meio de calcula-
doras (ou encontrados em tabelas de logaritmos) e estão disponíveis para o uso de todos. Como 
sabemos, os números entre 1 e 10 têm logaritmos entre 0 e 1. Em uma calculadora científica, ob-
temos: log 2 ≅ 0,3 (ou seja, 2 ≅ 100,3) e log 3 ≅ 0,47 (ou seja, 3 ≅ 100,47 ). Com base nesses valores 
aproximados, calcule:
a) log 6 d) log 12
b) log 9 e) log 72
c) log 4 f ) log 3 600
LIÇÃO DE CASA
 3. A população de certa região A cresce exponencialmente de acordo com a expressão 
NA = 6 000 ⋅ 10
0,1t (t em anos). Em outra região B, verifica-se que o crescimento da popula - 
ção ocorre de acordo com a fórmula NB = 600 ⋅ 10
0,2t (t em anos). De acordo com esses modelos 
de crescimento, responda às questões a seguir.
 a) Qual é a população inicial de cada uma das regiões?
Matemática – 1a série – Volume 2
23
 b) Depois de quantos anos, a partir do instante inicial, as duas regiões terão a mesma população?
 c) Qual é a população de cada uma das regiões 15 anos após o instante inicial?
 (Dado: 10
 3 __ 2 ≅ 31,62.)
 
Logaritmos em qualquer base: significado e aplicações
Já vimos que é possível es-
crever cada número positivo N 
como uma potência de 10: se 
N = 10n, então n = log N.
Na verdade, pode-se escrever 
cada número positivo N como 
uma potência de uma base a 
(a > 0 e a ≠ 1) que não necessita 
ser igual a 10. 
De modo geral, se N = an, 
então dizemos que n é o logaritmo 
de N na base a e escrevemos: n = 
= loga N.
Por exemplo, como 16 = 24, 
dizemos que 4 é o logaritmo 
de 16 na base 2, e escrevemos: 
4 = log2 16.
Leitura e análise de texto
Potência Logaritmo
8 = 23 3 = log2 8
625 = 54 4 = log5 625
9 = 81
 1 __ 2 1 __ 2 = log81 9
3 = 81
 1 __ 4 1 __ 4 = log81 3
 1 ___ 32 = 2
−5 –5 = log2 ª 1 ___ 32 º 
 
3
 ® 
__
 7 = 7
 1 __ 3 1 __ 
3
 = log7 
3
 ® 
__
 7 
 1 ____ ® 
__
 5 
 = 5
– 1 __ 2 – 1 __ 
2
 = log5 1 ____ ® 
__
 5 
 
Matemática – 1a série – Volume 2
24
VOCÊ APRENDEU?
 4. Calcule os logaritmos indicados a seguir:
 a) log2 128 e) log2 ª 1 ____ 256 º 
 b) log3 81 f ) log3 ª 1 ____ 243 º 
 c) log13 169 g) log169 13
 d) log5 3 125 h) log125 25
Quando a base escolhida para 
expressar um número N como uma 
potência é igual a 10, con venciona-
-se que ela pode ficar subentendi-
da; se optarmos por outra base a, 
diferente de 10, somos obrigados 
a registrá-la. Assim, log N repre-
senta o logaritmo de N na base 10, 
também chamado logaritmo deci-
mal de N; já o logaritmo de N em 
qualquer outra base a, deverá ser 
escrito: loga N.
Potência Logaritmo
N = N1 1 = logN N
1 = 170 0 = log17 1
N = a7 7 = loga N
N = 13a a = log13 N
x = 3n n = log3 x
x = y z z = logy x
Matemática – 1a série – Volume 2
25
 5. Se um número N situa-se entre an e an + 1, então loga N situa-se entre os inteiros n e n + 1. Com 
base nesse fato, indique dois inteiros consecutivos entre os quais se situam os logaritmos a se-
guir:
 a) log2 52 b) log3 300 c) log7 400 d) log5 813
 (Observação: você pode indicar a resposta usando a notação dos logaritmos, sem precisar 
calculá-los.)
 6. Uma população N de micróbios cresce exponencialmente de acordo com a expressão N = 5 000 ⋅ 3t, 
sendo t em horas. Indique o valor de t para o qual se tem:
 a) N = 15 000 c) N = 250 000 e) N = 470 000
 b) N = 25 000 d) N = 350 000
Matemática – 1a série – Volume 2
26
LIÇÃO DE CASA
 
 7. A partir de um valor inicial igual a 1 000, certa população P1 de bactérias dobra a cada 
meia hora, ou seja, P1 = 1 000 ⋅ 2
2t (t em horas). Simultaneamente, partindo de um valor 
inicial oito vezes maior, outra população P2 de bactérias cresce mais lentamente que P1, 
dobrando de valor a cada duas horas, ou seja, P2 = 8 000 ⋅ 2
0,5t (t em horas).
 Pergunta-se:
 a) Em que instante t as duas populações terão o mesmo valor?
 b) Em que instante t a população P1 será oito vezes maior que a população P2?
 c) Quais serão os valores de P1 e P2 quando t = 3? 
 (Utilize o valor aproximado 2
 3 __ 2 ≅ 2,83.)
Matemática – 1a série – Volume 2
27
 8. Certa substância radioativa decompõe-se de tal forma que sua massa m reduz-se à metade do 
valor inicial a cada 4 horas, ou seja, m = mo ⋅ 2
–0,25t, sendo mo o valor inicial da massa. Partindo-
-se de 60 gramas da substância, pergunta-se:
 a) Qual será a massa restante após 8 horas?
 b) Após quanto tempo a massa restante será igual a 12 gramas? 
 (Utilize o valor aproximado 5 ≅ 22,32.)
Logaritmos: propriedades fundamentais em qualquer base
Já vimos que os logaritmos nada mais são que expoentes. Suas propriedades mais fun-
damentais decorrem das correspondentes propriedades das potências. 
Quando se afirma, por exemplo, que para multiplicar potências de mesma base man-
tém-se a base e somam-se os expoentes, ou seja, que am ⋅ an = am + n, simultaneamente está se 
afirmando que o expoente a que se deve elevar a base a para se obter o produto (am ⋅ an) é igual a 
(m + n), o que significa dizer que o logaritmo de (am ⋅ an) é igual a (m + n). Em outras 
palavras, o logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.
Podemos observar a relação entre as propriedades das potências e dos logaritmos na 
tabela a seguir (a > 0, a ≠ 1; m, n e k naturais quaisquer).Leitura e análise de texto
Matemática – 1a série – Volume 2
28
Propriedade
Potências
 M = am N = an
Logaritmos
 m = loga M n = loga N
Produto M ⋅ N = am ⋅ an = am + n loga (M ⋅ N) = loga M + loga N
Quociente M __ N = 
am
an
 = am – n loga ª M ___ N º = loga M – loga N
Potência Mk = (am)k = amk loga (M
k) = k ⋅ loga M
Raiz k ® 
___
 M = M
 1 __ k = (am)
 1 __ k = a
 m ___ k loga (M
 1 __ k ) = 1 __ 
k
 ⋅ loga M
Tais propriedades são válidas para qualquer base a em que estivermos calculando os 
logaritmos. As propriedades relativas a potências também podem ser estendidas para qual-
quer expoente real k.
Para a determinação dos logaritmos na base 10, ou seja, dos logaritmos decimais, 
existem tabelas construídas desde o século XVII, por meio de aproximações sucessivas. 
Atualmente, podemos obter os logaritmos utilizando calculadoras eletrônicas científicas. 
Uma vez construída uma tabela de logaritmos para uma determinada base, por exem-
plo, a base 10, podemos definir o logaritmo de um número N em qualquer outra base por 
meio de um procedimento simples, descrito a seguir:
•	 	temos	o	logaritmo	de	N na base 10, que é igual a n, ou seja, N = 10n; 
Matemática – 1a série – Volume 2
29
VOCÊ APRENDEU?
 9. Estabelecendo-se que log 2 = 0,30103, calcule:
 a) o logaritmo de 10 na base 2;
•	 	queremos	o	logaritmo	de	N em outra base a, ou seja, queremos saber o valor de m 
tal que N = am;
•	 	como	N	= 10n = am, conhecendo o logaritmo da nova base a, ou seja, sabendo o 
valor de k tal que a = 10k, podemos escrever:
 N = 10n = am = (10k)m, de onde segue que 10n = 10km, e, então, m = n
k
;
•	 ou	seja,	em	palavras:
 logaritmo de N na base a = 
logaritmo de N na base 10
 _____________________ 
logaritmo de a na base 10
 ;
•	 em	notação	simbólica,	temos:	 
 loga N = 
log N
 _____ 
log a
 
•	 	com	um	procedimento	análogo,	podemos	obter	a	 expressão	que	permite	a	mu-
dança de uma base conhecida a para uma nova base b:
 logaritmo de N na base b = 
logaritmo de N na base a 
 _____________________ 
 logaritmo de b na base a
 ;
 logb N = 
loga N ______ 
loga b
 
Matemática – 1a série – Volume 2
30
 b) o logaritmo de 5 na base 10;
 c) o logaritmo de 5 na base 2;
 d) o logaritmo de 64 na base 5.
Leitura e análise de texto
Logaritmos: uma linguagem sugestiva em diferentes contextos
No início do século XVII, o que motivou o desenvolvimento dos logaritmos foi a sim-
plificação de cálculos. Tal significado prático não é, hoje, especialmente relevante diante 
dos inúmeros recursos tecnológicos disponíveis. No entanto, a relevância dos logaritmos 
permaneceu e é possível afirmar que ela aumentou. Como explicar tal fato?
A força da ideia de logaritmo provém do fato de que os logaritmos são expoentes, que 
podem ser utilizados para simplificar cálculos, mas que também são especialmente adequa-
dos para representar de modo sugestivo grandezas de valores muito grandes, como a ener-
gia liberada por ocasião dos terremotos, ou muito pequenas, como a quantidade de íons 
de hidrogênio livres em um líquido, que são responsáveis pela sua acidez, por exemplo. 
A expressão das grandezas correspondentes a esses fenômenos, por meio de potências de 
10, torna os números envolvidos menores (de 0 até por volta de 9 graus na escala Richter, 
e de 0 a 14 na indicação do pH). Como se sabe, a água tem pH igual a 7, a acidez de um 
líquido é tanto maior quanto menor é seu pH, entre 0 e 7, e o caráter básico, que se opõe 
ao ácido, significando menos H+ por litro, aumenta quanto mais o pH se aproxima de 14.
Matemática – 1a série – Volume 2
31
VOCÊ APRENDEU?
 10. A energia liberada por ocasião de um terremoto pode ser muito grande, sendo frequentemente 
expressa por uma potência de 10. Para medir o potencial destrutivo de um terremoto, utili - 
za-se a escala Richter, que leva em consideração apenas o expoente da potência considerada em 
cada caso. Esse expoente indica a magnitude do terremoto. Existem aparelhos apropriados para 
medir tal magnitude: os sismógrafos. A tabela a seguir registra o local, o ano de ocorrência e a 
magnitude de alguns terremotos que ficaram famosos pelos estragos produzidos.
Local Ano de ocorrência Magnitude
Los Angeles 1994 6,6
Japão 1993 7,8
Irã 1990 7,7
São Francisco 1989 7,1
Armênia 1988 6,9
Cidade do México 1985 8,1
Grã-Bretanha 1984 5,5
Alasca 1964 8,4
Chile 1960 8,3
Ex-União Soviética 1952 8,5
São Francisco 1906 8,3
Colômbia 1906 8,6
Ilha de Krakatoa 1883 9,9
Com base nas informações anteriores, responda às seguintes questões:
 a) Um terremoto de 8 graus na escala Richter é potencialmente quantas vezes mais destrutivo 
do que um terremoto de 4 graus?
Matemática – 1a série – Volume 2
32
 b) Um caminhão muito pesado passou pela rua e produziu um pequeno tremor. Um sismó-
grafo registrou 2,5 graus na escala Richter. Se 4 caminhões passarem juntos pela rua, 
podemos afirmar que o tremor correspondente será de 10 graus?
 11. Para caracterizar a acidez de um líquido, usa-se um indicador chamado pH (potencial hidro-
geniônico). O pH indica a quantidade aproximada de íons H+ que se encontram livres no 
líquido, indicando a concentração (quantidade por unidade de volume) de tais íons. A própria 
água (H2O) tem íons H
+ livres: são relativamente poucos, mas existem. Há, na água, cerca de 
1 íon-grama de H+ para cada 107 litros. Em uma limonada existem mais íons H+ livres: digamos, 
1 íon-grama para cada 102 litros. Em alguns líquidos, há menos íons H+ do que na água: no 
leite de magnésia, por exemplo, há cerca de 1 íon-grama de H+ para cada 1010 litros. Dizemos 
que o pH da água é 7, o pH da limonada é 2, e o pH do leite de magnésia é 10. A escala do pH 
varia de 0 a 14, situando-se a água em seu ponto médio. Os líquidos com pH entre 0 e 7 têm 
caráter ácido; os que têm pH entre 7 e 14 têm caráter básico. Para combater a acidez estomacal, 
por exemplo, costuma-se ingerir uma colher de leite de magnésia. 
A escala de pH também é logarítmica, ou seja, os valores são expoentes. Mas como se trata de 
números pequenos, uma vez que a quantidade de íons H+ por litro é pequena, os expoentes 
encontram-se no denominador:
•	 	a	água	tem	1	íon-grama	de	H+ para cada 107 litros, ou seja, a razão é 1 ____ 
107
 , e dizemos que 
seu pH é 7;
•	 	um	ácido	tem	mais	íons-grama	de	H+; por exemplo, se tem 1 para cada 103 litros, ou seja, a 
razão é 1 ____ 
103
 , e dizemos que seu pH é 3;
•	 	já	um	líquido	básico	tem	menos	H+; por exemplo, se tem 1 para cada 1012 litros, ou seja, a 
razão é 1 ____ 
1012
 , e dizemos que seu pH é 12.
 A tabela a seguir apresenta os valores aproximados do pH de alguns líquidos.
Matemática – 1a série – Volume 2
33
Líquido pH
Ácido sulfúrico 0,1
Suco de laranja 3,0
Vinho 3,4
Suco de tomate 4,2
Café 5,0
Leite 6,9
Água 7,0
Sangue humano 7,4
Água do mar 8,2
Leite de magnésia 10,0
Amônia 13,0
Hidróxido de potássio 14,0
 Com base nas informações apresentadas, responda às seguintes questões: 
 a) O que significa dizer que determinado líquido tem pH igual a 6?
 b) Se um líquido tem 1 íon-grama de H+ para cada 100 litros, qual é o seu pH?
Matemática – 1a série – Volume 2
34
 c) Se um líquido tem pH igual a 8, ele tem mais ou menos íons de hidrogênio livres do que a 
água? Quantas vezes?
 d) Qual é a diferença entre os valores do pH de dois líquidos, um deles com mil vezes mais 
íons H+ livres do que o outro?
LIÇÃO DE CASA
 12. A orelha humana é muito versátil e percebe sons de uma gama de intensidade muito ampla. 
A intensidade sonora é a medida da energia transportada pelas ondas por segundo e por uni-
dade de área (perpendicular à direção da propagação). 
 Entre o som de baixa intensidade, quase inaudível, e o ruído que produz dor nas orelhas, 
a intensidade varia em uma escala que vai de 1 a 1012. Para medir a intensidade sonora, 
utiliza-se apenas o expoente correspondente a cada intensidade. Ele corresponde ao núme-
ro debéis (plural de bel, unidade escolhida em home nagem ao físico Alexandre Graham 
Bell). Assim, se ao som fracamente audível corresponde 0 bel, ao som que produz dor cor-
responderão 12 béis. Como o bel revelou-se uma uni dade muito grande para distinguir os 
diversos níveis de som, em situações práticas costuma-se usar o decibel, que corresponde à 
décima parte do bel. 
 A tabela a seguir registra as intensidades sonoras correspondentes a algumas situações 
cotidianas. 
Matemática – 1a série – Volume 2
35
Tipo de som
Intensidade 
(watt/m2)
Números 
proporcionais
Medida 
em bel
Medida 
em decibel
Som fracamente audível 10–12 1 0 0
Ruído das folhas de 
uma árvore 10
–11 10 1 10
Sussurro humano 10–10 102 2 20
Conversa comum 10–6 106 6 60
Barulho dos carros no 
tráfego pesado 10
–5 107 7 70
Britadeira manual 
usada na rua 10
–2 1010 10 100
Som que produz dor 
e dano 1 10
12 12 120
Com base nas informações anteriores, responda às seguintes questões:
a) Um som de intensidade de 90 decibéis é quantas vezes mais intenso que outro de intensi-
dade de 80 decibéis?
b) Quantos decibéis correspondem a uma britadeira defeituosa, que emite som com intensi-
dade 100% maior do que o normal (tabela)? (Considere log 2 ≅ 0,3.)
c) Qual fórmula relaciona o número n de béis de um som com sua intensidade sonora I?
Matemática – 1a série – Volume 2
36
d) Qual fórmula que relaciona o número n de decibéis de um som com sua intensidade sonora I?
PESQUISA INDIVIDUAL
Se você observar uma calculadora científica, identificará a tecla log. Essa tecla é utili zada 
para calcular o valor do logaritmo de qualquer número, só que na base 10. Com o conceito 
de mudança de base e com uma calculadora desse tipo, é possível calcular os logaritmos em 
qualquer base. Crie um procedimento para, com o uso da calculadora científica, determinar o 
valor de log 2,5 54. Registre, em folha avulsa, uma lista com 5 logaritmos com bases diferentes 
de 10 e use o procedimento apresentado para calcular seus valores.
Matemática – 1a série – Volume 2
37
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 
AS FUNÇÕES COM VARIÁVEL NO EXPOENTE: 
A EXPONENCIAL E SUA INVERSA, A LOGARÍTMICA
!
?
Potências e logaritmos: das tabelas às funções
Já sabemos que, ao calcular os valores da potência ax, se tivermos a < 0, algumas potên-
cias não poderão ser calculadas: não podemos, por exemplo, calcular a potência (– 3)
 1 __ 
2
 
, 
uma vez que não existe um número real que seja a raiz quadrada de um número negativo. 
Também não interessa muito o caso em que a = 1, uma vez que 1x = 1 para todo x real.
Portanto, sendo a > 0 e a ≠ 1, podemos calcular a potência ax para todo x real. Isso 
significa que a função y = ax, ou seja, f(x) = ax está definida para todo número real x, e 
f(x) sempre assumirão valores positivos, já que ax > 0 para todo x real. 
Sabemos ainda que, sempre que aumentamos os valores de x:
•	os	valores	de	ax aumentam correspondentemente quando a > 1;
•	os	valores	de	ax diminuem correspondentemente quando 0 < a < 1.
De modo análogo, sabemos que a igualdade y = ax equivale a afirmar que x = loga y. 
Observemos tal fato no gráfico da função exponencial (caso a > 1):
Portanto, a cada número positivo y corresponde um número real x, que é o seu logaritmo 
na base a. É possível, então, estabelecer uma correspondência entre cada número positivo e 
seu logaritmo em uma determinada base a, ou seja, é possível definir uma função que, a cada 
número positivo, associa seu logaritmo. Essa função será chamada de função logarítmica e é 
representada por f(x) = loga x.
Leitura e análise de texto
x = loga y
y = ax
y
x
Matemática – 1a série – Volume 2
38
Observando o nome das variáveis:
•	 	na	 função	 exponencial,	x é a variável independente, à qual atribuímos qualquer 
valor real, positivo, nulo ou negativo, e y = ax é a variável dependente do valor 
de x, que será, no caso em questão, sempre positiva;
•	 	na	 função	 logarítmica,	 a	 variável	 independente	 é	 um	 número	 positivo	 y, 
que escolhemos livremente, e a variável dependente é o logaritmo x desse 
número, que poderá assumir qualquer valor real, positivo, nulo ou negativo.
Temos, portanto, a função logarítmica x = loga y. Construindo o gráfico de x como 
função de y, situando o eixo y na horizontal, como fazemos para a variável independente, 
e representando os valores de x na vertical, temos o gráfico a seguir (caso a > 1):
y = ax
x
x = loga y
y
Naturalmente, se nomearmos a variável independente de x, como é usual, então a 
variável dependente y será tal que y = loga x, ou seja, a função logarítmica é representada 
por f(x) = loga x. Nessas condições, seu gráfico, no caso a > 1, é esboçado a seguir:
f(x) = loga x a > 1
x
y
Notamos, no caso em que a > 1, que a função exponencial f(x) = ax é crescente, bem 
como a correspondente função logarítmica. Representando os dois gráficos em um mesmo 
sistema de coordenadas, obtemos:
1
0
1
0
Matemática – 1a série – Volume 2
39
a > 1
y = ax
y = loga x
Analogamente, no caso em que 0 < a < 1, a função exponencial de base a será decres-
cente, assim como a correspondente função logarítmica. Os gráficos são representados 
a seguir:
y = ax y = loga x
0 < a < 1
x
y
VOCÊ APRENDEU?
 1. A função y = 5x – 8 estabelece que partimos de x, multiplicamos seu valor por 5 e depois 
subtraímos 8 de seu resultado. Para definir a função inversa de x, partimos de y, somamos 8 e 
depois dividimos o resultado por 5, o que é representado por x = 
(y + 8) ______ 5 . Desse modo, 
podemos dizer que a função y = f(x) = 5x – 8 e a função x = g(y) = (y + 8) ______ 5 são funções inversas.
 Preencha com um X os parênteses cujas funções y = f(x) e x = g(y), representadas a seguir, são 
inversas uma da outra:
 ( ) y = x + 7 e x = y – 7 ( ) y = x2 (x ≥ 0) e x = ® 
__
 y (y ≥ 0)
y
x1
1
0
1
0 1
Matemática – 1a série – Volume 2
40
 ( ) y = 3x e x = 1 __ 3 y ( ) y = 5x – 8 e x = 
y + 8 _____ 5 
 ( ) y = 1 __ x (x ≠ 0) e x = 
1 __ y (y ≠ 0) ( ) y = x
3 e x = 3 ® 
__
 y 
 ( ) y = x –11 _____ 
4
 e x = 4y + 11 ( ) y = 3x – 1 ______ 7 e x = 
7y + 1 ______ 3 
 2. Sabendo que as funções f(x) e g(x) são inversas uma da outra, associe, com um traço, cada 
função à sua respectiva inversa:
 f(x) = x – 5 g(x) = 3 ® 
_____
 x – 1 
 f(x) = x3 + 1 g(x) = log7 x
 f(x) = 7x g(x) = 3x
 f(x) = log3 x g(x) = x + 5
 Observe, em cada exemplo, que f(g(x)) = x, ou seja, partindo-se de x, chegamos ao valor g(x); 
partindo-se de g(x) e calculando o valor de f(x) em g(x), obtendo x. O esquema a seguir traduz 
o que foi dito:
f(x)
g(x)
g(x) f(g(x)) = xx
f(x) e g(x) são funções inversas uma da outra
PESQUISA INDIVIDUAL
Construção de gráficos com auxílio de um software
Do mesmo modo que utilizamos os softwares Graphmatica, o Geogebra ou Winplot para 
a análise das funções exponenciais, vamos usá-los aqui para observar uma interessante relação 
entre os gráficos de funções inversas.
Vamos construir os gráficos de cada par de funções inversas apresentadas nas atividades 
1 e 2 da seção Você aprendeu? e observar que cada par (m; n) de um gráfico corresponde ao 
par (n; m) do gráfico de sua função inversa. Observe a figura a seguir e note que pontos como 
(m; n) e (n; m) são simétricos em relação à reta y = x, que é bissetriz dos quadrantes ímpares:
Matemática – 1a série – Volume 2
41
(m; n)
(n; m)
m n
m
n
y = x
y
x
No caso das funções exponencial e logarítmica, podemos concluir, então, que a cada 
ponto do gráfico de y = ax, corresponde um ponto do gráfico de y = loga x, que é simétrico 
ao primeiro em relação à reta y = x. Em outras palavras, os gráficos das funções y = ax e 
y = loga x são simétricos em relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares). 
Podemos observar tal fato nos gráficos a seguir:
a > 1
y = ax
y = loga x
0 < a < 1
y = ax
y = x
y = loga x
y
x
y
x
y = x
1
1
0
1
0 1Matemática – 1a série – Volume 2
42
De fato, se substituirmos em x = loga y o valor de y calculado em y = a
x, obtemos:
 x = loga (a
x) = x
Simetricamente, se substituirmos em y = ax, o valor x = loga y, obtemos:
y = aloga y = alogaax = ax = y
Ou seja, acontece algo similar ao que ocorre quando multiplicamos um número por k 
e em seguida dividimos o resultado por k: a segunda operação desfaz o que a primeira fez e 
retornamos ao valor inicial.
Em outras palavras, as funções f(x) = ax e g(x) = loga x são chamadas inversas uma da 
outra e é verdade que g(f(x)) = x e que f(g(x)) = x.
VOCÊ APRENDEU?
 3. Considere as funções f(x) = 10x e g(x) = log x. 
 a) Esboce seus gráficos no mesmo sistema de coordenadas.
Matemática – 1a série – Volume 2
43
 b) Determine os pontos A, B, C e D dos gráficos, tais que:
 A = (0; f(0)), B = (1; g(1)), C = (10; g(10)) e D = (1; f(1)).
 c) Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, utilizando o teorema de Pitágoras, e mostre 
que ele é um trapézio isósceles.
 4. Quais das seguintes funções são crescentes? Quais são decrescentes?
 a) f(x) = log11 x c) h(x) = log 1 __ 3 
 x e) n(x) = log
 3 __ 2 
 x
 b) g(x) = ( ® 
___
 11 )x d) m(x) = ª 1 __ 3 º 
x
 f ) j(x) = 5–x
Matemática – 1a série – Volume 2
44
LIÇÃO DE CASA
 5. As funções exponencial e logarítmica representam padrões de crescimento/decrescimento mui-
to distintos. Sendo a > 1, a função f(x) = ax cresce cada vez mais rapidamente, enquanto a 
função g(x) = loga x cresce cada vez mais lentamente. É possível compreender tal fato obser-
vando os gráficos das duas funções. Se comparar com o padrão de crescimento da função linear 
y = x, vê-se que a exponencial cresce mais depressa e a logarítmica cresce mais devagar. 
g(x) = loga x
f(x) = ax
y
x
y = x
 Na atividade 3 da seção Você aprendeu?, você construiu os gráficos das funções f(x) = 10x e 
g(x) = log x. Retome os dados do problema citado para responder às questões a seguir.
 a) Quando o valor da variável independente x aumenta em 1 unidade, a partir de um valor 
qualquer x0, qual é o aumento E no valor da função f(x) = a?
 b) Quando o valor da variável independente x aumenta em 1 unidade, a partir de um valor 
qualquer x0, qual é o aumento L no valor da função g(x) = loga x?
Matemática – 1a série – Volume 2
45
 c) O que acontece com o valor de E quando x0 se torna cada vez maior? Explique. 
 d) O que acontece com o valor de L quando x0 se torna cada vez maior? Explique.
Matemática – 1a série – Volume 2
46
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
AS MÚLTIPLAS FACES DAS POTÊNCIAS E DOS LOGARITMOS: 
PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EM 
DIFERENTES CONTEXTOS
!
?
Desafio! 
É muito conhecida a lenda do tabuleiro de xadrez: para retribuir o jovem inventor pela 
criação do jogo, o rei concede-lhe qualquer coisa que desejasse, e o jovem pede “apenas” 
1 grão de trigo pela primeira casa, 2 grãos pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta, 
e assim por diante, até chegar a 263 grãos pela sexagésima quarta casa. Assim, a soma 
de todos os grãos (1 + 2 + 22 + 23 + ... + 263) é igual a 264 – 1 grãos, e esse núme-
ro, apesar de não parecer, é tão grande que seria impossível atender ao inocente pedido. 
Quantos algarismos tem o número 264 ? (Dado: log 2 ≅ 0,3.)
VOCÊ APRENDEU?
 1. Aplicando seus conhecimentos sobre logaritmos, determine qual dos dois números é maior: 
107 ou 710 ? (Dado: log 7 ≅ 0,845.)
Matemática – 1a série – Volume 2
47
 2. Considere uma folha de papel comum, com espessura de aproximadamente 0,08 mm. 
 a) Suponha que a folha seja dobrada ao meio dez vezes, sem rasgar. Qual seria a espessura do 
papel dobrado?
 b) Suponha agora que a folha tivesse tamanho suficiente para ser dobrada ao meio 50 vezes, 
sem rasgar. Qual seria a espessura do papel dobrado?
 c) Nas condições do item b, após quantas dobraduras a espessura do papel dobrado ultrapassaria 
a distância da Terra à Lua?
 (Dados: a distância aproximada da Terra à Lua é de 384 000 km; log 2 ≅ 0,3; log 3 ≅ 0,48.)
 d) Nas condições do item b, após quantas dobraduras a espessura do papel dobrado ultrapas-
saria a distância da Terra ao Sol? 
 (Dados: a distância aproximada da Terra ao Sol é de 150 000 000 km.)
Matemática – 1a série – Volume 2
48
 3. Algumas estimativas sugerem que a população máxima que o planeta Terra pode acolher, de 
acordo com as terras cultiváveis disponíveis, seja da ordem de 45 bilhões de pessoas. Atual-
mente, a população da Terra é de aproximadamente 7 bilhões e o censo revela que a população 
tem dobrado a cada 30 anos. Com base nessas suposições, calcule em quantos anos, a partir de 
agora, a população da Terra atingiria o limite suportável.
 4. Um capital Co é aplicado a uma taxa de juros compostos de 12% ao ano. Nesse regime, os 
juros gerados a cada período são incorporados ao Capital para o cálculo dos juros do período 
seguinte. Calcule em quantos anos o capital dobrará seu valor, levando em conta que os juros 
são incorporados ao capital apenas ao final de cada ano. (Dados: log 2 ≅ 0,301 e log 7 ≅ 0,845).
LIÇÃO DE CASA
 5. Um capital C0 é aplicado a uma taxa de juros de 1% ao mês (os juros são incorporados ao 
capital apenas ao final de cada mês e esse novo valor será a base para o cálculo dos juros do 
próximo). Calcule em quantos anos o capital dobrará seu valor inicial e compare com o resul-
tado da atividade anterior. (Dados: log 2 ≅ 0,301 e log 101 ≅ 2,004.)
Matemática – 1a série – Volume 2
49
 6. A primeira escala para a medida do brilho das estrelas foi criada por Hiparco, cerca de 150 a. C. 
Ele dividiu cerca de 850 estrelas então visíveis a olho nu e classificou-as em seis grupos, de acordo 
com a intensidade do brilho, atribuindo, quando vistas da Terra, grandeza 1 às mais brilhantes e 
6 às de menor brilho. Por volta de 1850, apoiado no trabalho de Hiparco, um astrônomo inglês 
chamado Norman Pogson (1829-1891) propôs uma escala logarítmica para a medida do brilho 
de uma estrela. Considerando, na escala de Hiparco, a estrela mais brilhante como 100 vezes 
mais brilhante do que a visível de brilho mais fraco, Pogson atribuiu grandeza 0 à estrela mais 
brilhante e grandeza 5 à menos brilhante na antiga escala; como 2,55 ≅ 100, ele considerou cada 
nível de gran deza 2,5 vezes maior do que o nível anterior:
Grandeza 1 2 3 4 5 6 n
Brilho 1 (2,5)–1 (2,5)–2 (2,5)–3 (2,5)–4 (2,5)–5 2,5–(n – 1)
Números
proporcionais
(maior brilho, 
1a grandeza)
2,55 2,54 2,53 2,52 2,5
(menor brilho, 
6a grandeza)
1 2,5–(n – 6)
 Pogson ainda estendeu a escala de modo a classificar a grande quantidade de estrelas e demais 
corpos celestes brilhantes, na perspectiva de um observador na Terra. A escala foi estendida 
tanto para cima como para baixo, incluindo os logaritmos que não são inteiros:
Corpo brilhante Sol Lua Sirius Betelgeuse Antares Deneb
Grandeza –27 –11 –1,5 0,5 1 1,26
 Existem outras escalas para a medida da grandeza (ou magnitude) de uma estrela, levando em 
consideração seu brilho em sentido absoluto e não apenas o que é percebido por um observador 
na Terra. A escala de Pogson fornece a grandeza aparente, ou seja, relativa a um observador na 
Terra. Em uma escala absoluta, que leva em consideração as distâncias entre os corpos celestes 
envolvidos, o Sol é uma estrela de 5a grandeza, enquanto Sirius é uma estrela de 1a grandeza.
Com base na escala de Pogson, responda às questões a seguir:
 a) Betelgeuse é mais ou menos brilhante do que Antares? Quantas vezes?
Matemática – 1a série – Volume 2
50
 b) Sirius é mais ou menos brilhante do que Antares? Quantas vezes?
 c) Quantas vezes a Lua é menos brilhante do que o Sol?
 7. Para estimar a idade de um fóssil, o químico norte-americano W. F. Libby criou o chamado 
Método do Carbono 14, pelo qual recebeu o Prêmio Nobel de Química de 1960. O mé - 
to do consiste no seguinte:
•	 o elemento químico carbono 14 forma-se nas camadas superiores da atmosfera por efeito 
da radiação cósmica sobre o nitrogênio. Admite-se que sua presençana superfície da Terra 
ocorre em uma proporção constante em relação à do carbono 12, que é o carbono comum;
•	 os animais e as plantas absorvem o carbono 14 pela respiração e pela alimentação, e, en-
quanto estão vivos, mantêm uma proporção fixa desse elemento. Depois de mortos, a ab-
sorção da substância deixa de existir, e a quantidade que possuíam começa a se desintegrar, 
transformando-se em carbono comum;
•	 o carbono 14 desintegra-se em uma proporção constante em relação ao valor inicial: a cada 
5 730 anos, a massa inicial reduz-se à metade (em outras palavras, a meia-vida do carbono 
14 é igual a 5 730 anos);
•	 em consequência, se determinarmos a proporção do carbono 14 em relação ao carbono co-
mum em um fóssil (um peixe incrustado em uma pedra, um osso, uma planta ressecada, um 
pedaço de madeira etc.), podemos estimar há quanto tempo ele existe.
Fóssil Idade estimada
Carvão da caverna de Lascaux, França 15 516 ± 900 anos
Carvão nos monumentos de Stonehenge, Inglaterra 3 789 ± 275 anos
Linho encontrado em uma caverna do Mar Morto 1 917 ± 200 anos
Pinturas rupestres em São Raimundo Nonato, no Piauí Cerca de 60 000 anos
Matemática – 1a série – Volume 2
51
Suponhamos, então, que um fóssil tenha sido encontrado e que desejamos estimar sua idade. 
 a) Se a análise laboratorial determinou que 50% do carbono 14 inicial já se desintegrou, 
qual seria a idade estimada do fóssil?
 b) A massa m de carbono 14 varia com o tempo de acordo com a seguinte expressão: 
m(t) = m0 . ª 1 __ 2 º 
 t _____ 5 730 
(cada vez que t assume valores múltiplos sucessivos de 5 730, a massa 
reduz-se à metade). Se for constatada que a massa de carbono 14 restante no fóssil é apenas 
10% da massa inicial, qual seria a idade estimada do fóssil? (Dado: log 2 ≅ 0,301.)
 c) Se o laboratório indicar que a porcentagem do carbono 14 que se desintegrou foi de 75%, 
qual é a idade estimada do fóssil?
 d) Se for constatada que a massa de carbono 14 restante no fóssil é apenas 1% da massa inicial, 
qual é a idade estimada do fóssil? (Dado: log 2 ≅ 0,301).
 
Matemática – 1a série – Volume 2
52
Leitura e análise de texto
Crescimento exponencial e papéis logarítmicos
Já vimos que, para a > 1, o gráfico de y = ax cresce cada vez mais rapidamente, enquanto 
que o gráfico de y = loga x cresce cada vez mais lentamente.
y = loga x
y = ax
y
x
Tal fato pode dificultar, em alguns casos, a construção do gráfico, devido à grande 
diferença na ordem de grandeza dos valores representados nos dois eixos. Por exemplo, vamos 
fazer o gráfico de y = 10x com base na tabela seguinte:
x 1 2 3 4 5 6 7
y = 10x 101 102 103 104 105 106 107
A escala a ser escolhida no eixo x deve ser suficiente para representar valores de 1 a 7; já 
a escala no eixo y deve ser suficiente para representar valores até 10 milhões.
Uma maneira de contornar tal dificuldade prática é a seguinte: vamos “comprimir” a 
escala no eixo y, representando os valores dos expoentes das potências de 10, em vez de 
representá-los usando intervalos de mesmo tamanho para representar as variações nas potên-
cias. Assim, cada unidade no eixo y significa 10 vezes a anterior, e não o sucessor da anterior, 
como no eixo x. Começamos na vertical com 1, depois 10, depois 100, depois 1 000; para 
baixo, temos 0,1; 0,01; 0,001, e assim por diante. Em outras palavras, vamos escrever no 
eixo y o valor da potência 10x, mas cada quadrinho representa, na verdade, uma unidade a 
mais no expoente. É como se estivéssemos fazendo o gráfico de y = X, com X = 10x. Assim, 
o gráfico obtido para y = 10x será a reta y = X. Observando o gráfico, é possível compreender o 
que foi dito:
52
Matemática – 1a série – Volume 2
53
y = 10x
valores de 10x
y = X
(sendo X = 10x)
0,01
0,1
1
10
100
1000
0,001
–1 2–2 10 3
y
x
Existem papéis impressos com as escalas assim transformadas na vertical, para facilitar a 
construção de gráficos em situações como a descrita. Tais papéis são chamados de monolog.
A figura a seguir ilustra uma folha de um papel monolog:
Exemplo ilustrativo
O gráfico a seguir representa a produção industrial do Brasil, estado por estado. Em 
virtude da grande diferença nos níveis de produção, a escala adotada no eixo y é logarítmica. 
Note que na base do eixo y está assinalado “MONOLOG”. Um segmento do mesmo 
tamanho representa, no eixo y, tanto o intervalo de 0 a 1 quanto o intervalo de 1 a 10 
e o intervalo de 10 a 100. No eixo y são representadas, portanto, as potências de 10 em 
segmentos proporcionais aos seus expoentes. 
53
Matemática – 1a série – Volume 2
54
Produção
industrial por estado
Fonte: IBGE, 2000. Disponível em: <http://biblioteca.
ibge.gov.br/>. Acesso em 8 abr. 2014.
Escala logarítmica no eixo x
Algo semelhante poderia ser feito para a função y = log x, se tivéssemos que fazer o grá-
fico a partir de uma tabela como a apresentada a seguir:
x 101 102 103 104 105 106 107
y = log x 1 2 3 4 5 6 7
No caso, a escala a ser comprimida é a do eixo x, onde representamos as potências; mas 
cada unidade representa a passagem de uma potência de 10 a outra potência de 10, ou seja, 
representa o logaritmo de x. Assim, o gráfico de y = log x torna-se o gráfico da reta y = X, 
onde X = log x. 
54
Matemática – 1a série – Volume 2
55
Naturalmente, poderíamos utilizar, para o gráfico anterior, o mesmo papel monolog, 
apenas trocando as posições dos eixos x e y.
Escalas logarítmicas nos dois eixos
É possível ainda que desejemos comprimir as escalas nos dois eixos. Isso pode ser espe-
cialmente conveniente quando queremos representar funções em que tanto os valores de x 
quanto os de y variam em intervalos muito amplos e queremos concentrar as atenções nos 
expoentes de x e de y. Existem papéis que já trazem a representação de tal “contração” nos 
dois eixos, sendo apropriados para uma representação proporcional dos expoentes de x e de 
y, em vez de uma representação proporcional aos valores de x e y.
Exemplo ilustrativo
Para fazer o gráfico de y = x7, calculando os logaritmos dos dois membros da igualdade, 
temos: log y = 7 · log x. Usando um papel que represente o logaritmo nos dois eixos, é como 
se fizéssemos o gráfico de Y = 7X, onde Y = log y e X = log x. Uma folha de papel desse tipo, 
chamado de papel dilog, é representada a seguir:
Ao final deste caderno, encontram-se os anexos de papel monolog e dilog.
Matemática – 1a série – Volume 2
56
 8. Tendo por base as informações anteriores sobre papéis monolog e dilog, pergunta-se:
 a) Como fica o gráfico da função y = 5x se usarmos o papel monolog disponível ao final deste Cader-
no, sendo as unidades do eixo y representativas não dos valores de x, mas dos logaritmos de x?
 b) Como fica o gráfico da função y = log5 x se usarmos o papel monolog descrito anteriormente, 
sendo as unidades do eixo x representativas não dos valores de x, mas dos logaritmos de x?
Matemática – 1a série – Volume 2
57
 c) Como fica o gráfico da função y = x5 se usarmos um papel dilog, cuja escala, tanto no eixo 
x quanto no eixo y, representa não os valores de x e de y, mas os seus logaritmos?
58
Matemática – 1a série – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 
RAMPAS, CORDAS, PARSECS: RAZÕES PARA ESTUDAR 
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
VOCÊ APRENDEU?
 1. Dizemos que uma rampa tem inclinação de 10% se nos elevarmos verticalmente 10 metros a 
cada 100 metros percorridos horizontalmente. Faça um desenho, em escala, de uma rampa com 
inclinação de 40%.
59
Matemática – 1a série – Volume 2
 2. Para calcular a inclinação a de uma rua, podemos observar o ângulo b formado pelo poste (verti-
cal) com o leito da rua, conforme indica a figura a seguir. Se tal ângulo for igual a 84°, qual será a 
inclinação da rua?
 (Dica: consulte a tabela trigonométrica disponível no Anexo, no final deste Caderno.)
b
a
a
 3. Ao lado de uma rua, na forma de uma rampa de inclinação de 10%, foi construída uma escada 
para pedestres. O trecho da rua em que ela foi construída tem 80 m de comprimento, medidoshorizontalmente. Se os degraus da escada devem ser iguais, tendo uma altura de, no máximo, 
16 cm, quantos degraus, no mínimo, deverá ter a escada?
60
Matemática – 1a série – Volume 2
 4. Em uma circunferência de raio 1 m, podemos traçar cordas de todos os tamanhos possíveis de 
0 m a 2 m. Algumas dessas cordas, de comprimento c1 a c7 , estão representadas na figura a seguir. 
Os quatro ângulos indicados têm medida de 60°.
c4 c5
c3
c1
c6
c2 c7
 a) Calcule o comprimento de cada uma das cordas.
61
Matemática – 1a série – Volume 2
 b) Calcule a razão entre a semicorda e o raio em cada caso. Em seguida, faça uma tabela com 
os valores da semicorda e da razão anteriormente referida. Indique também na tabela os 
ângulos centrais correspondentes a cada corda e os ângulos dos quais tais razões são 
os senos.
 c) Explique como você poderia utilizar a tabela que construiu para calcular o comprimento de 
uma corda correspondente a um ângulo central de 60° em uma circunferência de raio 5 m.
62
Matemática – 1a série – Volume 2
 d) Calcule o raio de uma circunferência na qual uma corda de 100 m corresponde a um ângulo 
central de 60°.
 e) Calcule o raio de uma circunferência na qual uma corda de 100 m corresponde a um ângulo 
central de 6°. 
63
Matemática – 1a série – Volume 2
Leitura e análise de texto
No triângulo retângulo de hipotenusa c, o ângulo a é oposto ao cateto a e o ângulo b é 
oposto ao cateto b. Já sabemos que a razão a
b
 é a tangente de a, a razão a
c
 é o seno de a 
e, analogamente, a razão b
a
 é a tg b e a razão b
c
 é o sen b. 
sen a = a
c
 ; tg a = a
b
sen b = b
c
 ; tg b = b
a
 a
c
a
b
b
Sobre as retas secantes às circunferências, podemos dizer que o que se chama secante 
de a é a razão c __ 
b
 , sendo representada por sec a; analogamente, sec b = c __ a .
Assim, como se convencionou chamar o seno do complementar de a de cosseno de a, 
representando-se por cos a o sen (90° – a), também se convenciona chamar: 
	 •			a	tangente do complementar de a de cotangente de a, representando-se por cotg a;
	 •			a	secante do complementar de a de cossecante de a, representando-se por cossec a. 
LIÇÃO DE CASA
 5. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise de texto, mostre que: 
 a) sen a = cos b
64
Matemática – 1a série – Volume 2
 b) sen b = cos a
 c) cossec b = sec a
 d) tg a = cotg b 
 e) sec a = 1 _____ cos a 
 f ) cossec b = 1 _____ sen b 
 g) tg a = sen a _____ cos a 
65
Matemática – 1a série – Volume 2
 h) cotg a = cos a _____ sen a 
 i) sen2 a + cos2 a = 1
 j) 1 + tg2 a = sec2 a
 k) 1 + cotg2 a = cossec2 a
Leitura e análise de texto
Distância astronômicas: das cordas ao parsec
Quando observamos um ponto P fechando os olhos alternadamente, temos uma visão 
um pouco diferente. Aparentemente, o ponto muda de posição, e essa mudança pode ser 
medida por um ângulo chamado paralaxe.
o1
o2
P
a = ângulo de paralaxe
a
Analogamente, quando olhamos para o Sol a partir de um ponto P da superfície da 
Terra, temos uma visão ligeiramente diferente da que teríamos se estivéssemos no centro C 
da Terra. Tal efeito é chamado paralaxe, e também se mede por um ângulo, conforme 
representado na figura a seguir:
66
Matemática – 1a série – Volume 2
P
S
a = ângulo de paralaxe
a
O ângulo de paralaxe é muito utilizado em trabalhos científicos de Astronomia para a 
medida de distâncias entre os corpos celestes. As ideias básicas a seu respeito são: 
	 •				as	 observações	 astronômicas	 são	 comumente	 feitas	 tendo	 o	 Sol	 como	 referência.	 
Ao se observar uma estrela E vista da Terra T e do Sol S, haverá uma diferença angular 
(paralaxe) entre as duas observações;
	 •				quanto	 maior	 for	 o	 efeito	 de	 paralaxe,	 mais	 próxima	 estará	 a	 estrela	 e,	 quanto	 
menor o ângulo de paralaxe, mais distante estará a estrela;
	 •				convenciona-se	que	a	unidade	utilizada	para	medir	distâncias	interestelares	é	a	distância	
que corresponde a um ângulo de paralaxe de 1” ª 160 do minuto, ou seja, 
1
3 600 do grauº;
	 •				tal	unidade	de	distância	é	chamada	parsec (uma contração das palavras paralaxe e 
second ). A figura a seguir representa essa afirmação: 
distância TS ≅ 150 milhões de km (distância da Terra ao Sol)
se o ângulo a = 1”, então a distância SE será 1 parsec
(a figura não está em escala)
S
T
a
E
Para calcular 1 parsec em km, basta notar que tg a = ST ___ SE e, em consequência, SE =  
ST ____ tg a .
Sabemos que a distância aproximada (média anual) da Terra ao Sol é de 150 milhões 
de km. Obtendo-se o valor da tangente de 1” em uma tabela de tangentes ou em uma 
calculadora, encontramos tg 1” = 0,000004848.
Logo, SE = 150 ⋅ 10
6
 ___________ 
0,000004848
 ≅ 3,09 ⋅ 1013 km, ou seja, 1 parsec ≅ 3,09 ⋅ 1013 km.
Exemplo ilustrativo
Quando	observada	da	Terra,	a	estrela	Alfa	Centauri,	que	é	a	mais	próxima	do 
Sistema Solar, apresenta um ângulo de paralaxe de 0,75”. Como é menor do que 1”, tal 
ângulo mostra que a distância de Alfa Centauri até o Sol é maior do que 1 parsec. De 
fato, obtendo a tangente de 0,75” em uma calculadora, te mos tg 0,75” ≅ 0,000003636. 
Logo, a distância SE é igual a: 
SE ≅ 150 ⋅ 10
6
 ___________ 
0,000003636
 ≅ 4,13 ⋅ 1013 km ≅ 1,34 parsec.
C
67
Matemática – 1a série – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
 6. Responda às questões a seguir.
 a) Se uma estrela está a 10 parsec do Sol, o ângulo de paralaxe é maior ou menor do que 1”?
	 b)	 A	distância	da	Terra	ao	Sol	é	conhecida	como	Unidade	Astronômica,	e	é	representada	
pela sigla UA. A quantas UA corresponde 1 parsec?
 c) Uma unidade muito utilizada para medir grandes distâncias é o ano-luz, que é igual à dis-
tância percorrida pela luz em 1 ano. A quantos anos-luz corresponde 1 parsec?
 (Dica: a velocidade da luz no vácuo é de aproximadamente 300 000 km/s.)
 7. Uma estrela vista da Terra apresenta um ângulo de paralaxe de 0,5”. Calcule:
 a) a distância da estrela ao Sol em UA;
68
Matemática – 1a série – Volume 2
 b) a distância da estrela à Terra em parsec.
69
Matemática – 1a série – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 
DOS TRIÂNGULOS À CIRCUNFERÊNCIA: VAMOS 
DAR UMA VOLTA?
VOCÊ APRENDEU?
 1. Sabemos que sen² a + cos² a = 1. Tendo como referência a circunferência de raio igual a 1 
representada a seguir, calcule o valor do sen 45o e, com ele, complete a tabela com os valores 
do seno de cada um dos ângulos indicados.
 
315o
225o
135o
45o
 
ângulo Seno
45° 
135° 
225° 
315° 
 2. Considere o hexágono regular de lado igual a 1 representado a seguir. Lembrando que 
sen 30° =  1 __ 2 , calcule o seno dos ângulos a, b, y e d indicados na figura.
a
b
γ
δ
70
Matemática – 1a série – Volume 2
LIÇÃO DE CASA
 3. Construa uma tabela com os valores das seis razões trigonométricas (sen, cos, tg, cotg, sec e 
cossec) para os ângulos de 0°, 90°, 180°, 270° e 360°, indicando também os sinais das razões 
nos intervalos compreendidos entre tais valores.
71
Matemática – 1a série – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
 4. Construindo-se uma circunferência de raio 1 com centro no sistema de coordenadas, pode-
mos representar geometricamente todas as razões trigonométricas. Já vimos que o seno e o 
cosseno de um ângulo a, medidos a partir do eixo x em sentido anti-horário, são, respectiva-
mente, a ordenada e a abscissa do ponto A da circunferência que corresponde ao ângulo a. 
Identifique, na circunferência citada, o segmento orientado que representa:
 a) a tangente de a b) a secante de a
 5. Conhecendo os valores do sen 30° =  1 __ 2 e do cos 30° =  
 ® 
__
 3 ____ 2 , calcule o seno e o cosseno dos ân-gulos a indicados a seguir:
 a) 120° 
72
Matemática – 1a série – Volume 2
 b) 150°
 c) 210°
 d) 240°
 e) 300°
 f ) 330°
LIÇÃO DE CASA
 6. Em uma circunferência de raio 1 m, um ponto P percorre um arco s correspondente a um 
ângulo central a. Calcule os valores de s e do seno de a nos casos indicados a seguir:
360º
30º
90º
45º180º
73
Matemática– 1a série – Volume 2
 a) a = 360°
 b) a = 180°
 c) a = 90°
 d) a = 45°
 e) a = 30°
74
Matemática – 1a série – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
 7. Em uma circunferência de raio R, um ângulo central de medida a em graus corresponde a um 
arco de comprimento s e a uma corda de comprimento c. Complete a tabela a seguir. Caso 
necessário, utilize uma calculadora.
a s c
180° 
120°
90°
60°
30°
10°
0°
75
Matemática – 1a série – Volume 2
Leitura e análise de texto
ângulos notáveis em polígonos regulares inscritos
Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência, isto é, pode ter todos 
os seus vértices pertencentes a uma mesma circunferência, que é chamada circunferência 
circunscrita ao polígono. Chamaremos de l3 o lado do triângulo regular inscrito (triângulo 
equilátero), de l4 o lado do quadrilátero regular (quadrado), de l6 o lado do hexágono regular, 
e assim por diante.
l3
l4
l6
Na figura, estão representados os três polígonos regulares citados. Observamos que o ângulo 
central correspondente ao lado de cada um deles é igual a 360° dividido pelo número de lados, ou 
seja, é de 120° para o triângulo equilátero (360° ÷ 3), de 90° para o quadrado (360° ÷ 4) e de 60° 
para o hexágono (360° ÷ 6). 
l3
l4
l6
60º90º120º
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 
POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS: REGULARIDADES 
NA INSCRIÇÃO E NA CIRCUNSCRIÇÃO
76
Matemática – 1a série – Volume 2
De modo geral, sendo n o número de lados do polígono regular inscrito considerado, 
a medida do ângulo central correspondente a seu lado é igual a 360
o
n . O ângulo central 
correspondente ao lado do pentágono regular, por exemplo, é igual a 72°.
Sendo a o ângulo central correspondente ao lado de um polígono regular de n lados, 
temos, então: a = 360
o
n .
l3
60º
30º
30º
α = 120º
l4
l6
120º
α = 90º 
90º 
= 60º
45º
45º
60º
60ºα
l3
60º
30º
30º
α = 120º
l4
l6
120º
α = 90º 
90º 
= 60º
45º
45º
60º
60ºα
77
Matemática – 1a série – Volume 2
l3
60º
30º
30º
α = 120º
l4
l6
120º
α = 90º 
90º 
= 60º
45º
45º
60º
60ºα
Consideremos agora a medida do ângulo interno de cada um dos polígonos inscritos. 
Ela é igual a 60° no caso dos triângulos equiláteros, 90° no caso dos quadrados e 120° no 
caso dos hexágonos.
De modo geral, notamos que, em cada caso, a soma de duas metades do ângulo 
interno com o ângulo central deve ser igual a 180°, uma vez que tais ângulos constituem 
um triângulo. 
Em consequência, sendo ai o ângulo interno de um polígono regular de n lados, temos: 
2 
ai __ 2 + 
360o
n = 180°, ou seja, ai= 180° – 
360o
n .
Comparando as expressões obtidas para a e para ai, notamos que, em cada polígono, 
esses ângulos são suplementares, ou seja, a + ai = 180°.
VOCÊ APRENDEU?
 1. Complete a tabela a seguir, indicando o ângulo central correspondente ao lado e o ângulo in-
terno de cada um dos polígonos regulares indicados.
78
Matemática – 1a série – Volume 2
Polígono regular 
(n lados)
ângulo central a 
(em graus)
ângulo interno ai 
(em graus)
triângulo (n = 3)
quadrado (n = 4)
pentágono (n = 5)
hexágono (n = 6)
heptágono (n = 7)
octógono	(n	=	8)
eneágono (n = 9)
decágono (n = 10)
dodecágono (n = 12)
pentadecágono (n = 15)
icoságono (n = 20)
hectógono	(n	=	100)
quilógono	(n	=	1	000)
79
Matemática – 1a série – Volume 2
 2. Observando a tabela obtida na atividade anterior, notamos que, quanto maior o número 
de	lados	de	um	polígono	regular,	menor	é	seu	ângulo	central	e	mais	próxima	de	180°	é	a	
medida de seu ângulo interno, o que significa que o polígono vai ficando cada vez mais 
arredondado. Podemos imaginar uma circunferência como se fosse um polígono com um 
número de lados tão grande que o ângulo central correspondente a cada lado é zero e o 
ângulo interno é 180°. Tente desenhar um icoságono regular de lado 1 cm e verifique como 
ele pode, praticamente, ser identificado com uma circunferência. Agora, imagine o que acon-
teceria se você tentasse desenhar um	quilógono	regular...	Registre	suas	conclusões.
LIÇÃO DE CASA
 3. Verifique se existe um polígono regular:
 a) cujo ângulo externo seja igual ao ângulo interno;
 b) cujo ângulo interno seja igual ao dobro do ângulo externo;
 c) cujo ângulo central seja igual ao ângulo interno.
80
Matemática – 1a série – Volume 2
Leitura e análise de texto
Inscrevendo polígonos na circunferência
Quando inscrevemos um polígono regular em uma circunferência de raio 1, existe 
uma relação simples entre o lado x do polígono e o ângulo central a correspondente. 
De fato, temos sen  ª 
a __ 2 º = 
x __ 2 e, em consequência, x = 2 ⋅ sen  ª 
a __ 2 º .
l
Li
x
R
a
Li
2
x
2
a
2
Se o raio da circunferência for igual a R, então o lado Li do polígono inscrito será pro-
porcionalmente maior, e teremos: R __ 1 
= 
Li __ x 
.
Logo, temos Li = R ⋅ x, ou seja, Li = 2Rsen ª a2 º .
Exemplos ilustrativos
Na tabela a seguir, estão indicados os ângulos centrais correspondentes aos lados dos 
polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 7 e 8 lados e os comprimentos dos lados correspondentes.
Polígonos regulares ângulo central (em graus) Comprimento do lado
triângulos 120 R ® 
__
 3 
quadrados 90 R ® 
__
 2 
pentágonos 72 ≅ 1,176R
hexágonos 60 R
heptágonos ≅ 51,4 ≅ 0,867R
octógonos 45 ≅ 0,765R
81
Matemática – 1a série – Volume 2
 Observação!
•	 Os valores dos senos necessários foram obtidos em uma tabela ou em uma calculadora.
•	 Note que, dividindo Li por 2R, obtemos o seno da metade do ângulo central, em 
cada caso.
•	 Como a medida do ângulo central a é igual a 360° _____ n , o comprimento do lado do 
polígono regular inscrito fica determinado pelo valor de n: para cada valor de n asso-
ciamos o valor de a correspondente, e, para cada a, o valor de Li está determinado.
Analogamente, quando circunscrevemos um polígono regular a uma circunferência 
de raio 1, sendo Lc o lado do polígono circunscrito, temos: 
•	 polígono inscrito: 
Li __ 2 = sen  ª 
a __ 2 º ;
•	 polígono circunscrito: 
Lc __ 2 = tg ª 
a __ 2 º .
l
l
Li
Lc
a a
2
sen
 
 ª 
a
2 º
tg
 
 ª 
a
2 º
Logo, concluímos que, em uma circunferência de raio 1, os valores de Li e Lc são tais que:
 Li = 2sen  ª 
a __ 2 º Lc = 2tg  ª 
a __ 2 º 
Se a circunferência tiver raio R, analogamente ao que foi mostrado para os polígonos 
inscritos, o valor de Lc é ampliado na mesma proporção do raio, que passou de 1 para 
R. Assim:
 Li = 2Rsen  ª 
a __ 2 º Lc = 2Rtg  ª 
a __ 2 º 
82
Matemática – 1a série – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
 4. Calcule o lado do polígono regular de n lados inscrito e do polígono de n lados circunscrito à 
circunferência de raio 1 nos seguintes casos: 
 a) n = 3, 6, 12, 24
 b) n = 4, 8, 16, 32
 (Observação: obtenha valores aproximados para os lados, usando a tabela de senos disponível 
no final deste Caderno ou uma calculadora.)
83
Matemática – 1a série – Volume 2
 5. Em uma circunferência de raio 5 cm, inscreve-se um polígono regular de 36 lados. Tendo por 
base o comprimento da circunferência, qual é a diferença porcentual entre o perímetro desse 
polígono e o comprimento da circunferência? (Dado: sen 5° ≅ 0,0872.)
84
Matemática – 1a série – Volume 2
a
2
sen
 
 ª 
a
2 º
 6. Em uma circunferência de raio 1 dm, circunscreve-se um polígono regular de 36 lados. 
A área do polígono circunscrito supera em quantos por cento a área do círculo correspondente? 
(Dado: tg 5° ≅ 0,0875.)
l
l
Li
Lc
a
tg
 
 ª 
a
2 º
85
Matemática – 1a série – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8 
A HORA E A VEZ DOS TRIÂNGULOS NÃO RETÂNGULOS
VOCÊ APRENDEU?
 1. Mostre que, se um ângulo a é inscrito em uma circunferência, sua medida é igual à metade da 
medida do ângulo central t correspondente.
 2. Dado um triângulo qualquer de lados a, b e c, sempre podemos inscrevê-lo em uma cir-
cunferência, de modo que os ângulos correspondentes a, b e y sejam ângulos inscritos na 
circunferência, conforme mostra a figura a seguir.A
c
b
a
b
a
B
C
γ
86
Matemática – 1a série – Volume 2
Mostre que é válida a proporção: a _____ sen a = 
b _____ sen b = 
c _____ sen y (Lei dos Senos).
 3. Um triângulo tem lados de medidas 5 m, 6 m e 10 m. 
 a) Esse triângulo é retângulo?
 b) Se dobrarmos as medidas dos três lados, o novo triângulo terá seus ângulos alterados?
 c) Seria possível reduzir o lado de 6 m ao meio, construindo um triângulo de lados 5 m, 3 m 
e 10 m?
87
Matemática – 1a série – Volume 2
d) Qual é a razão entre o seno do ângulo oposto ao lado de 5 m e o seno do ângulo oposto ao 
lado de 10 m? 
LIÇÃO DE CASA
 4. Um ângulo a inscrito em uma circunferência de diâmetro 10 m subentende uma corda de 5 m. 
Determine a medida de a em graus.
10
a
a
a
5
88
Matemática – 1a série – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
 5. Um triângulo tem ângulos a, b e y opostos aos lados a (2 m), b (3 m) e c (4 m).
 a) Esse triângulo é retângulo?
 b) Calcule o cosseno do ângulo y.
 c) Calcule o seno dos ângulos a e b.
89
Matemática – 1a série – Volume 2
 6. Quando duas forças de intensidades F1 e F2 agem simultaneamente sobre o mesmo ponto P, a 
força resultante pode ser representada pela Regra do Paralelogramo e tem uma intensidade R 
que pode ser calculada de acordo com a Lei dos Cossenos. Sendo t o ângulo formado pelas duas 
forças, conforme a figura a seguir, mostre que devemos ter R2 = F1
2 + F2
2 + 2F1⋅ F2 ⋅ cos t.
θ
R
F1
F2
F1
P
LIÇÃO DE CASA
 7. Duas forças de 100 N são aplicadas a uma pequena esfera. O ângulo formado pelas suas linhas 
de ação é igual a t, conforme mostra a figura. Calcule a intensidade da resultante R das duas 
forças em N para os seguintes valores de t:
100
R
100
θ
 a) 0° 
90
Matemática – 1a série – Volume 2
 b) 30° 
 c) 45° 
 d) 60° 
 e) 90° 
91
Matemática – 1a série – Volume 2
 f ) 120° 
 g) 150°
 h) 180°
92
Matemática – 1a série – Volume 2
ANEXO 
TABELA TRIGONOMÉTRICA
ângulo (em graus) Seno Cosseno Tangente
1 0,017452 0,999848 0,017455
2 0,034899 0,999391 0,034921
3 0,052336 0,998630 0,052408
4 0,069756 0,997564 0,069927
5 0,087156 0,996195 0,087489
6 0,104528 0,994522 0,105104
7 0,121869 0,992546 0,122785
8 0,139173 0,990268 0,140541
9 0,156434 0,987688 0,158384
10 0,173648 0,984808 0,176327
11 0,190809 0,981627 0,194380
12 0,207912 0,978148 0,212557
13 0,224951 0,974370 0,230868
14 0,241922 0,970296 0,249328
15 0,258819 0,965926 0,267949
16 0,275637 0,961262 0,286745
17 0,292372 0,956305 0,305731
18 0,309017 0,951057 0,324920
19 0,325568 0,945519 0,344328
20 0,342020 0,939693 0,363970
21 0,358368 0,933580 0,383864
22 0,374607 0,927184 0,404026
23 0,390731 0,920505 0,424475
24 0,406737 0,913545 0,445229
25 0,422618 0,906308 0,466308
26 0,438371 0,898794 0,487733
27 0,453990 0,891007 0,509525
28 0,469472 0,882948 0,531709
29 0,484810 0,874620 0,554309
30 0,5 0,866025 0,577350
93
Matemática – 1a série – Volume 2
ângulo (em graus) Seno Cosseno Tangente
31 0,515038 0,857167 0,600861
32 0,529919 0,848048 0,624869
33 0,544639 0,838671 0,649408
34 0,559193 0,829038 0,674509
35 0,573576 0,819152 0,700208
36 0,587785 0,809017 0,726543
37 0,601815 0,798636 0,753554
38 0,615661 0,788011 0,781286
39 0,629320 0,777146 0,809784
40 0,642788 0,766044 0,839100
41 0,656059 0,754710 0,869287
42 0,669131 0,743145 0,900404
43 0,681998 0,731354 0,932515
44 0,694658 0,719340 0,965689
45 0,707107 0,707107 1
46 0,719340 0,694658 1,035530
47 0,731354 0,681998 1,072369
48 0,743145 0,669131 1,110613
49 0,754710 0,656059 1,150368
50 0,766044 0,642788 1,191754
51 0,777146 0,629320 1,234897
52 0,788011 0,615661 1,279942
53 0,798636 0,601815 1,327045
54 0,809017 0,587785 1,376382
55 0,819152 0,573576 1,428148
56 0,829038 0,559193 1,482561
57 0,838671 0,544639 1,539865
58 0,848048 0,529919 1,600335
59 0,857167 0,515038 1,664279
60 0,866025 0,5 1,732051
94
Matemática – 1a série – Volume 2
ângulo (em graus) Seno Cosseno Tangente
61 0,874620 0,484810 1,804048
62 0,882948 0,469472 1,880726
63 0,891007 0,453990 1,962611
64 0,898794 0,438371 2,050304
65 0,906308 0,422618 2,144507
66 0,913545 0,406737 2,246037
67 0,920505 0,390731 2,355852
68 0,927184 0,374607 2,475087
69 0,933580 0,358368 2,605089
70 0,939693 0,342020 2,747477
71 0,945519 0,325568 2,904211
72 0,951057 0,309017 3,077684
73 0,956305 0,292372 3,270853
74 0,961262 0,275637 3,487414
75 0,965926 0,258819 3,732051
76 0,970296 0,241922 4,010781
77 0,974370 0,224951 4,331476
78 0,978148 0,207912 4,704630
79 0,981627 0,190809 5,144554
80 0,984808 0,173648 5,671282
81 0,987688 0,156434 6,313752
82 0,990268 0,139173 7,115370
83 0,992546 0,121869 8,144346
84 0,994522 0,104528 9,514364
85 0,996195 0,087156 11,43005
86 0,997564 0,069756 14,30067
87 0,998630 0,052336 19,08114
88 0,999391 0,034899 28,63625
89 0,999848 0,017452 57,28996
90 1 0 -
13
MONOLOG
9
8
7
6
5
3
4
2
12
9
8
7
6
5
3
4
2
11
9
8
7
6
5
3
4
2
1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
11
9
8
7
6
5
3
4
2
1
12
9
8
7
6
5
3
4
2
13
9
8
7
6
5
3
4
2
96
Matemática – 1a série – Volume 2
12 119 8 7 6 5 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1
DILOG
98
Matemática – 1a série – Volume 2
13
MONOLOG
9
8
7
6
5
3
4
2
12
9
8
7
6
5
3
4
2
11
9
8
7
6
5
3
4
2
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10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
11
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7
6
5
3
4
2
1
12
9
8
7
6
5
3
4
2
13
9
8
7
6
5
3
4
2
100
Matemática – 1a série – Volume 2
12 119 8 7 6 5 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1
DILOG
102
Matemática – 1a série – Volume 2
CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL
NOVA EDIÇÃO 2014-2017
COORDENADORIA DE GESTÃO DA 
EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB
Coordenadora 
Maria Elizabete da Costa
Diretor do Departamento de Desenvolvimento 
Curricular de Gestão da Educação Básica 
João Freitas da Silva
Diretora do Centro de Ensino Fundamental 
dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação 
Profissional – CEFAF 
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenadora Geral do Programa São Paulo 
faz escola
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenação Técnica 
Roberto Canossa 
Roberto Liberato 
Suely Cristina de Albuquerque Bomfim
EQUIPES CURRICULARES
Área de Linguagens 
Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos 
Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli 
Ventrella.
Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria 
Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, 
Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto 
Silveira.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês e 
Espanhol): Ana Beatriz Pereira Franco, Ana Paula 
de Oliveira Lopes, Marina Tsunokawa Shimabukuro 
e Neide Ferreira Gaspar.
Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria 
Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos 
Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, 
Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli 
Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.
Área de Matemática 
Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, 
Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio 
Yamanaka, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira 
Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione. 
Área de Ciências da Natureza 
Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth 
Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e 
Rodrigo Ponce. 
Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, 
Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e 
Maria da Graça de Jesus Mendes. 
Física: Anderson Jacomini Brandão, Carolina dos 
Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata 
Cristina de Andrade Oliveira e Tatiana Souza da 
Luz Stroeymeyte.
Química: Ana Joaquina Simões S. de Mattos 
Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João 
Batista Santos Junior, Natalina de Fátima Mateus e 
Roseli Gomes de Araujo da Silva.
Área de Ciências Humanas 
Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e 
Teônia de Abreu Ferreira.
Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, 
Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.
História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria 
Margarete dos Santos Benedicto e Walter Nicolas 
Otheguy Fernandez.
Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de 
Almeida e Tony Shigueki Nakatani.
PROFESSORES