Apostila de Fenômenos dos Transportes

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FENÔMENO DOS
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. MCs. Márcio Lunardelli
 
 
 
 
 
 
ALUNO: ___________________________________________________________
 
 
CURSO: ___________________________________________________________
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE 
FENÔMENO DOS TRANSPORTES
rcio Lunardelli 
_____________________________________ RA: _________________________
CURSO: ___________________________________________________________ TERMO/TURMA: __________
1ª. Edição – fevereiro de 2020 
 
TRANSPORTES 
_________________________ 
TERMO/TURMA: __________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
APRESENTAÇÃO .................................................................................................................... 5 
 
1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 6 
1.1. MECANISMOS ENVOLVIDOS CONCEITUAÇÃO ................................................................ 6 
1.1.1.VANTAGENS DESTA UNIÃO ............................................................................................ 6 
1.1.2. FENÔMENOS DE TRANSFERÊNCIA ............................................................................... 6 
1.1.3. TRANSPORTE DE MASSA ................................................................................................ 7 
 
2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................... 9 
2.1. TRAJETÓRIA, RAIA E LINHA DE FLUXO ............................................................................. 9 
2.2. ESCOAMENTOS VISCOSO E NÃO-VISCOSO ..................................................................... 10 
2.3. ESCOAMENTOS LAMINAR E TURBULENTO .................................................................... 12 
2.4. ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL E INCOMPRESSÍVEL ................................................... 13 
 
3. ESTÁTICA DOS FLUIDOS ................................................................................................ 14 
3.1. VARIAÇÃO DA PRESSÃO COM POSIÇÃO NUM FLUIDO ESTÁTICO ........................... 14 
3.2. VARIAÇÃO DA PRESSÃO COM A POSIÇÃO NUM FLUIDO EST. E INCOMPR. ........... 15 
3.2.1. EQUAÇÃO DA HIDROSTÁTICA .................................................................................... 16 
3.2.2. ATMOSFERA PADRÃO ................................................................................................... 16 
3.3. RELAÇÕES DE PRESSÃO ...................................................................................................... 17 
 
4. FORÇAS HIDROSTÁTICAS EM SUPERFÍCIES PLANAS ............................................ 19 
 
5. FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADES .................................................................................. 21 
 
6. EQUAÇÕES BÁSICAS NA FORMA INTEGRAL P/ VOLUME DE CONTROLE......... 22 
6.1. EQUAÇÕES BÁSICAS ............................................................................................................. 23 
6.2. RELAÇÃO ENTRE AS DERIVADAS DO SISTEMA E FORMULAÇÃO DO ..................... 23 
6.3. CONSERVAÇÃO DE MASSA ................................................................................................. 24 
6.3.1. INTERPRETAÇÃO FISÍCA............................................................................................... 24 
6.3.2. EQUAÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE .................................................................... 25 
6.3.3. CASOS PARTICULARES ................................................................................................. 25 
 
7. EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOV. LINEAR PARA UM V.C INERCIAL. ....... 26 
 
8. EQUAÇÃO DA Q.M.L. COM V.C. DESLOCANDO-SE COM VELOCIDADE CTE .... 28 
 
9. EQUAÇÃO DA Q.M.L. PARA UM V.C. COM ACELERAÇÃO LINEAR ..................... 29 
 
10. PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA ....................................................................... 29 
10.1. DINÂMICA DO ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL NÃO-VISCOSO ........................... 29 
10.1.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 29 
10.1.2. EQUAÇÃO DE BERNOULLI .......................................................................................... 29 
10.1.3. CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO ATRAVÉS DE CANOS ...... 31 
10.1.4. PRESSÕES ESTÁTICAS DE ESTAGNAÇÃO E DINÂMICA ...................................... 33 
 
11. ANÁLISE DIMENSIONAL E SIMILITUDE ................................................................... 37 
11.1. INTRODUÇÃO........................................................................................................................ 37 
11.2. NATUREZA DA ANALISE DIMENSIONAL ....................................................................... 37 
11.3. TEOREMA DE BUCKINGHAM PI ....................................................................................... 38 
 
12. ESCOAMENTOS LAMINAR E TURBULENTO............................................................ 38 
12.1. ESCOAMENTO LAMINAR E TUBULENTO ....................................................................... 38 
12.2. PERDAS SECUNDÁRIAS ...................................................................................................... 42 
12.3. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS DE ESCOAMENTO EM CANOS ................................... 43 
12.3.1. SISTEMAS DE PASSO ÚNICO ...................................................................................... 44 
12.4. EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUÍDO PERFEITO INCOMPRESSÍVEL............... 44 
12.4.1. POTÊNCIA FORNECIDA OU RETIRADA DO FLUÍDO - RENDIMENTO ............... 45 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS ........................................................................................................ 48 
 
G A B A R I T O ...................................................................................................................... 58 
 
BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................... 59 
 
 
 
 
 
 
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APRESENTAÇÃO 
 
As notas de aula aqui apresentadas, têm como fundamento colocar, todo o programa e 
algumas questões sobre o assunto (Fenômenos de Transportes), para que sejam discutidas e 
acompanhadas pelos alunos dos cursos de Engenharia, com mais objetividade, profundidade 
e simplicidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. MCs. Márcio Fernando Lunardelli 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FENÔMENOS DOS TRANSPORTES 
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1.INTRODUÇÃO 
 
1.1. MECANISMOS ENVOLVIDOSCONCEITUAÇÃO 
 
Mecânica dos Fluidos é uma matéria de interesse muito amplo no contexto da Engenharia. 
 
No âmbito da Engenharia Civil está ligada ao estudo de Hidráulica. Com o nascimento da 
EMEC e ENQ trouxeram uma nova ênfase para o estudo da Mecânica dos Fluidos, pois novas 
abordagens foram introduzidas e requeridas. 
 
Com isso tornou-se necessário para a solução dos problemas ASSOCIAREM-SE a Mecânica 
dos Fluidos + Transmissão de calor + Transferência de Massa. Em consequência disto 
evidenciaram notáveis semelhanças entre esses fenômenos, destas diferentes áreas. 
 
 
1.1.1.VANTAGENS DESTA UNIÃO 
 
Tratamento corrente e paralelo destes 3 ramos da ciência e este conjunto passou a chamar 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE. 
 
Oferecendo: 
• Economia de tempo e espaço na apresentação da matéria 
• Eliminação das duplicações e triplicações 
• Melhor entendimento dos fenômenos e das formulações devido ao apoio mútuo oferecido 
pela analogia. 
 
A seguir veremos alguns dos fenômenos envolvidos na disciplina: 
 
 
1.1.2. FENÔMENOS DE TRANSFERÊNCIA 
 
Dois são os mecanismos de transporte: 
 
• ADVECÇÃO: processo direto através do qual o fluido transporta (porque se move). 
 
•DIFUSÃO (OU CONDUÇÃO): processo de transferência do meio fluido movimento ou 
repouso no sentido decrescente da concentração da propriedade transferida. 
 
Exemplo: Café quente em uma xícara grossa. 
 
� Primeiro haverá difusão ou condução de calor do café para a xícara (diferença de 
temperatura). 
 
� Segundo: se for transferida de sala por uma pessoa teremos transporte advectivo de 
energia de uma sala para outra. Isto é: a energia interna é transportada junto com a 
xícara + café de uma sala para outra por causa do movimento do sistema. 
 
 
 
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1.1.3. TRANSPORTE DE MASSA 
 
Os fluidos em movimento devem satisfazer o princípio da conservação de massa. 
Aplicações tecnológicas do processo de transferência de massa: 
a) Processo de mistura e absorção; 
b) Poluição do ar; 
c) Contaminação das águas superficiais; 
d) Evaporação dos oceanos, lagos e rios; 
e) Reoxigenação dos cursos d’água. 
 
 
1.1.4. TRANSPORTE DE CALOR 
 
Baseado no princípio da conservação da energia ou 1ª Lei da Termodinâmica 
 
Aplicações: 
a) Geração de energia (termoelétricas, termonucleares); 
b) Poluição térmica de rios e estuários; 
c) Torres de refrigeração (dissipação de energia). 
 
 
1.4.1.1. FLUIDO 
 
Definição: toda substância que deforma continuamente quando solicitada por um esforço 
tangencial (tensão de cisalhamento). 
 
 
 Figura 1.1 (a) – Sólido. Figura 1.1 (b) – Fluído. 
 
 
1.4.1.2. EQUAÇÕES BÁSICAS 
 
1. Princípio da conservação da massa (M); 
2. Princípio da conservação da quantidade de movimento linear (ML) (2ª Lei de Newton); 
3. Princípio da conservação de energia (1ª lei da termodinâmica); 
4. Princípio da taxa de crescimento da entropia (2ª lei da termodinâmica). 
 
 
1.4.1.3. REGIÕES DE INTERESSE 
 
Alguns métodos de análise devem ser conhecidos para avaliar o sistema que se está tentando 
analisar. 
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Figura 1.2 - Pistão cilíndrico. 
 
 
SISTEMA: definido como uma quantidade fixa identificável por massa; os limites do sistema 
separam-no do meio exterior, porém a massa não os atravessa. 
 
VOLUME DE CONTROLE: Um volume de controle é um volume arbitrário no espaço 
através do qual o líquido escoa. O contorno geométrico do volume de controle é superfície de 
controle. 
 
 
 
Figura 1.3 
 
 
1.4.1.4. METODOLOGIA DE SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
 
1. Conhecer o problema e sempre formular com suas próprias palavras; 
2. Determine as informações que conhece; 
3. Estabeleça um volume de controle ou sistema (fixe um sistema de coordenadas); 
4. Formule as equações a serem utilizadas; 
5. Faça hipóteses significativas (seja coerente!!); 
6. Obtenha sempre que possível resposta em forma algébrica; 
7. Faça as substituições numéricas (usando um sistema de unidades – S.I. de preferência). 
 
 
 
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1.4.1.5 REVISÃO DO SISTEMA DE UNIDADES 
 
 INTERNACIONAL PRÁTICO INGLÊS PRÁTICO 
T k °C k °F 
L m m ft ft 
M kg kg lb lb 
F kg.m/s² kgf lb.ft = poundal lbf 
P N/m² = Pascal kgf/m² poundal/ft² lbf/t² = psi 
E n.m = Joule kgf.m poundal.ft lbf.ft = btu 
 segundo 
 radiano 
 
Tabela 1.1 – Sistema de unidades 
 
 p = 1	ft	~	12	in = 30,5	cm 
 lbf = 1	lbf	~	�1	lb	x	32,17	 ft s�⁄ � 
 1lb	~	0,45	kg 
 ∗ gc = 9,81	 N kgf	~	1	kgf = 9,81	N⁄ 
 Fator	de	conversão	 ⇨ F = m. a∗ gc 
 
 
2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
2.1. TRAJETÓRIA, RAIA E LINHA DE FLUXO 
 
TRAJETÓRIA: é a linha que une todos os pontos ocupados por uma partícula ao longo do 
tempo. 
 
Ex.: Uso de corante (fotos ~ tempo de exposição = trajetória). 
 
 
 
Figura 2.1 
 
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RAIA: é a linha formada por todas as partículas que passaram por um determinado ponto 
“fixo” do escoamento. 
 
 
 
Figura 2.2 
 
 
LINHA DE FLUXO: é a linha tangente ao vetor velocidade em cada ponto no campo de 
escoamento. Não poderá ocorrer escoamento através de uma linha de fluxo. 
 
 
 
Figura 2.3 
 
 
Observação:As 3 linhas coincidem em regime permanente (velocidade em cada ponto ~ 
constante em relação ao tempo. 
 
� Escoamento Permanente: trajetória coincide com a raia e a linha de fluxo. 
� Escoamento Transitório (transiente): trajetória, linhas de fluxo e raias não coincidem. 
 
 
2.2. ESCOAMENTOS VISCOSO E NÃO-VISCOSO 
 
NÃO VISCOSO: É uma simplificação da análise do escoamento dos fluidos, muito útil para a 
solução de problemas em engenharia. 
 
Característica: fluido desliza sobre a parede sólida 
 
• Perfil de velocidade uniforme: 
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Figura 2.4 
 
 
• Inexistência de arrasto aerodinâmico: 
 
 
 
Figura 2.5 
 
 
VISCOSO: Adere na superfície sólida. 
Velocidade do fluído = velocidade do sólido na interface (fluido/sólido) 
 
 
 
Figura 2.6 
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Força de arrasto e de sustentação diferente de zero. Aparece região chamada de CAMADA 
LIMITE. 
 
CAMADA LIMITE: é uma região próxima a uma parede sólida que tem seu escoamento 
alterado em virtude da existência desta parede. 
É a região do escoamento que concentra os efeitos viscosos. 
 
 
 
Figura 2.7 – Perfil de camada limite. 
 
São consequências da camada limite: 
• Esteira – vórtices; 
• Separação – escoamento descola da superfície sólida. 
 
 
2.3. ESCOAMENTOS LAMINAR E TURBULENTO 
 
Importante porque a forma de análise é diferente para escoamento laminar e turbulento. 
 
Escoamento Laminar: contido por lâminas paralelas com baixo efeito de mistura. 
 
 
 
Figura 2.8 – Escoamento laminar. 
 ⇨A massa de uma lâmina não se mistura com a massa da lâmina seguinte. 
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Escoamento Turbulento: é um escoamento caótico com elevado efeito de mistura, 
tridimensional composto por um número infinito de vórtices, que atuam sobre um escoamento 
médio. 
 
 
 
Figura 2.9 – Escoamento turbulento. 
 
 ⇨NÚMERO DE REYNOLDS 
 
Re = D	-	V		-	ρμ 
 
Onde, 
 ρ = massa específica do fluído; 
V = velocidade média do escoamento; 
D = diâmetro do cano; 
 Μ = viscosidade do fluído. 
 
Para canalizações: Re < 2000 = laminar 
Re > 4000 = turbulento 
 
 
2.4. ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL E INCOMPRESSÍVEL 
 
Todos os fluidos são compressíveis. Os líquidos são menos compressíveis que os gases. 
 
 
 
 
 
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3. ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
Forças num Fluido: 
• Forças de Campo = peso; 
• Contato: componente normal = pressão; 
componente tangencial = cisalhamento. 
 
Fluido Estático: 
• Todas as partículas em repouso ou com a mesma velocidade 
 
Equilíbrio Estático: 
• Só tem forças de campo e componente normal de contato 
 
 
Lei de Pascal: 
 
 
 
Figura 3.1 – Lei de Pascal. 
 ⇨A pressão em um ponto é igual em todas as direções: P = PX = PY = PZ 
 
 
3.1. VARIAÇÃO DA PRESSÃO COM POSIÇÃO NUM FLUIDO ESTÁTICO 
 P = f�x, y, z� = hipótese 
 ΣF = 0 
 7Px − P�x + ∆x�;			∆y			∆z = 0 7Py − P�y + ∆y�;			∆x			∆z − �ρ	g	∆x	∆y	∆z� = 0 7Pz − P�z + ∆z�;			∆x			∆y = 0 
 
Dividindo tudo por ∆x, ∆y, e ∆z, temos, 
 
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7Px − P�x + ∆x�;∆x = 0 
 7Py − P�y + ∆y�;∆y − ρg = 0 
 7Pz − P�z + ∆z�;∆z = 0 
 
Levando ao limite, temos, 
 
lim ∆x 
∆y	~	0															 7Px − P�x + ∆x�;∆x = dfdx ∆z 
 
 
⇨	−dPdx = 0																																			 ⇨ 	−dPdy − ρg = 0																																			 ⇨ 	−dPdz = 0 
 																																																																	P =	\		f�x, z� 
 
 
 
3.2. VARIAÇÃO DA PRESSÃO COM A POSIÇÃO NUM FLUIDO ESTÁTICO E 
INCOMPRESSÍVEL ( ρ = Constate). 
 −dPdy = −ρgFigura 3.2 
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= dP = ρg	= dy>?>
@?
@ 
 PA − P = −ρg	�yA − y�. . . . .			-7−1; 
 P − PA = ρg	�y − yA�	; 			se	a	superDície	for	a	superDície	livre	do	Dluído		 → 		 �y − yA� = h. 
 P − PGHI = ρ	-	g	-	h					 → 		P − PGHI = γ	-	h 
 
 
3.2.1. EQUAÇÃO DA HIDROSTÁTICA 
 
A pressão é associada com a altura do fluido. 
 
 
 
Figura 3.2 
 ⇨ Fluido incompressível transmite pressão em todas as direções. 
 
 PK = PL = Cte 
 
FN = PK-ANFN = F�- ANA� 
 
F� =	PL-A�F� = FN- A�AN 
 
 
3.2.2. ATMOSFERA PADRÃO 
 
Temperatura 288 K 
Pressão 101300 Pa 
Massa específica 1,225 kg / m³ 
Viscosidade absoluta 1,78 * 10 –5 kg / ms 
 
ρ água doce = 999 
ρ água do mar = 1027 
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Exemplo: 
 
 Po 
 h 
 2 Po 
 
 
 hH2O = ? 
h 
 hágua do mar = ? 
 
 
 
3.3. RELAÇÕES DE PRESSÃO 
 ⇨no vácuo absoluto, p = 0 (ausência de matéria); ⇨pressão absoluta é medida em relação ao vácuo, p ≥ 0; ⇨pressão manométrica é medida em relação à pressão atmosférica; ⇨manômetro indica a pressão em relação à pressão ambiente que o envolve; 
 
 PMN 
 
Patm Pabsoluta 
 10atm P = 0 
 
760mmHg Patm Pmanométrica 
 14,7 Psi Pab 
 1,01x105 Pascal 
 
 
 
Pman = Pab - Patm 
 
 
Exemplo:Vácuo de 200 mm Hg 
 
 
 
 
 
 
 
 
Manometria: Barômetro 
 PGHI-	A = �PPGQRS-	A� + �ρ	-	g	-	A	-	h� 
 PGHI = ρ	-	g	-	h 
 
P = Po + P	g	h 
2	Po = �Po + 999�-�9,8	-	h� 
Po = 101.300 = 999	-	9,81	-	h 
h	H�O = 101.300999 -	9,81 = 10,33 
háWXY	Z[	KY\ = 101.3001027 -	9,81 = 10,08 
 
 
 
 
P = Po + P	g	h			 → 			101300 − �13,6	-	999	-	9,81	-	200�1000 
P = 74643	Pa 
760KK^W = 101300	Pa 
 
 
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⇨ Manômetro em U: 
 
 
 
Figura 3.3 
 
 
Temos, 
 PA = �ρB	-	g	-h�� − �ρA	-	g	-hN� + PGHI 
 PA − PGHI = �ρB	-	g	-h�� − �ρA	-	g	-hN� 
 
 
EXERCÍCIO APLICATIVO 
A água escoa nas tubulações A e B. Óleo, com densidade relativa 0,8 enche as partes 
superiores do tubo manométrico em forma de U invertido. As partes inferiores são 
preenchidas com mercúrio (densidade relativa 13,6). Determinar a diferença de pressões, PA – 
PB, em lb/in². 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. FORÇAS HIDROSTÁTICAS EM SUPERFÍCIES PLANAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1 
 
Não existem tensões de cisalhamento em um fluido estático, a força hidrostática num 
elemento qualquer da superfície deve atuar normal à superfície. A força de pressão atuando 
sobre um elemento da superfície superior, dA, é dada por: 
 dF = −ρ	-	dA					�1� 
 
dA = sentido positivo; 
Indica dF atua contra a superfície, oposto a dA; 
A força resultante é calculada pela soma das contribuições infinitesimais sobre toda a área. 
 
= Fr = −ρ	dA					�2�G 
 
Para obter uma relação da equação anterior os elementos de área dA e p devem ser expressas 
em função da mesma variável. 
 dpdh = ρ															dp = ρ	g	dh					�3� 
 
h = + da superfície sobre o líquido para baixo 
integrando em relação a pressão-altura a forma de se obter uma expressão para pressão (p) em 
qualquer profundidade h. 
 
= dp = = p	g	dh`A
@
@a 
 
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Portanto, 
 
p − pA= ρ	g	dh`A 
 
desconhecido como, p = p	�h� 
 
e como, 
 
p = pA= ρ	g	dh`A 					�4� 
 
 
Substituindo (4) em (1), temos: 
 
dF = −bPA += ρ	g	dh`A c 	dA 
 
 
Substituindo (5) em (2), temos: 
 
dF = −bPA += ρ	g	dh`A c 	dA 
 
FS = = bPA += ρ	g	dh`A c 	dAG 
 h = y	-	sen	α dh = sen	α	-	dy 
 
 
FS = = bPA −= 	ρ	g	dh`A c 	dAG 
 
FS = = −PA	dAG += e= ρ	g	sen	α	dy
> f 	dAG 
 
 
Se o fluído for incompressível: ρ = Cte. 
 
FS = = PA	dA + = ρ	g	sen	α	y	dAGG 
 
FS = PA	A + p	g	sen	α= y	dAG 
 FS = �PA + Pg�-	A 
 
P0 + PC = pressão no centróide da área considerada. 
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LOCALIZAÇÃO DA FORÇA RESULTANTE 
 
yh 		→ FS = = y	ρ	dAG 										e										xh 		→ FS = = x	ρ	dAG 
 
 
x’ e y’ são coordenadas do ponto de aplicação da força resultante. 
 
 
5. FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADES 
 
FORÇAS DE FLUTUAÇÃO: Se um objeto está imerso ou flutuando na superfície de um 
líquido: é a força que atua sobre ele devido à pressão do líquido. 
 
 
 
Figura 5.1 
 dpdh = ρ	g 
 
Integrando com ρ = cte, temos, 
 dp = ρ	g	dh 
 
=dp = =ρ	g	dh 
 p = pA + ρ	g	h 
 
A força vertical resultante sobre o elemento é: 
 dFi = �PA = ρ	g	h��	dA − �PA = ρ	g	hN�	dA 
 dFi = ρ	g	�h� − hN�	dA 
 
mas, �h� − hN�	dA = dv, o volume do elemento. Assim, 
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Fi = =dFi = =v	ρ	g	dv = p	g	v 
 
Onde, 
v = volume do objeto; 
FY = força de pressão vertical resultante ou força de flutuação do objeto; 
 
 
 
Figura 5.2 
 
Este princípio foi utilizado por Arquimedes em 220 a.C com a coroa do Rei Hiero II. 
 
Observação:A força de corpo devido a gravidade sobre um objeto atua através de seu centro 
de gravidade (CG). 
 
EXERCÍCIO APLICATIVO 
Como resultado de uma promoção você foi transferido de sua localidade. Você tem de 
transportar um aquário em sua caminhoneta. O aquário mede 12 in x 24 in x 12 in. Que 
volume de água você deve pôr no aquário para estar razoavelmente seguro de que não 
transbordará durante a viagem? 
 
 
6. EQUAÇÕES BÁSICAS NA FORMA INTEGRAL P/ VOLUME DE 
CONTROLE 
 
REVISÃO: 
Na física → Equações básicas → Sistemas; 
 
No fenômeno dos transportes → Dificuldade de identificação da massa de um sistema; 
 
Equações Básicas → Volume de controle. 
 
 
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Figura 6.1 
 
 
6.1. EQUAÇÕES BÁSICAS 
 
6.1.1. Equações da conservação da massa. 
 
CONTINUIDADE: Massa de um sistema permanece constante com o passar do tempo. 
 jdM dt⁄ l		sistema = 0 
 
M	sist = =massamnmo	dm = =vmnmo	ρ	dv 
 
6.1.2. 2ª Lei de Newton (P) 
 
6.1.3. Equação da Quantidade de Movimento Angular (H) 
 
6.1.4. 1ª Lei da termodinâmica (E) 
 
6.1.5. 2ª Lei da termodinâmica (S) 
 
 
6.2. RELAÇÃO ENTRE AS DERIVADAS DO SISTEMA E FORMULAÇÃO DO 
VOLUME DE CONTROLE 
 
Descobriu-se que quando escritos na forma de taxa de variação, cada equação envolvia a 
derivada p em relação ao tempo de uma propriedade extensiva do sistema. 
 
N → qualquer propriedade extensiva arbitraria do sistema 
 
η → propriedade extensiva por unidade de massa 
 
nmnmo = =massamnmo	η	dm = =vmnmo η	ρ	dv 
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QUANTIDADE DE 
MASSA QUE SAI DO 
V.C. NA UNIDADE DE 
TEMPO. 
QUANTIDADE DE 
MASSA QUE ENTRA 
NO V.C. NA UNIDADE 
DE TEMPO. 
TAXA DE VARIAÇÃO 
DE MASSA DENTRO 
DO V.C. 
N η 
M 1 Massa 
P V Momento linear / velocidade 
H r * v Momento angular / velocidade angular 
E E Energia total / energia específica 
S S Entropia total / entropia específica 
 
Tabela 3.1 
 
N = =η	ρ	dv			 → �genérico� 
 
7dN dt⁄ ;mnmorKY = d dt⁄ = η	ρ	dv + = η	ρ	v	dAmsts 
 
Relação [dN / dt]sistema é a formulação do volume de controle. 
 
Observação:Na dedução da Equação Geral (I) asseguramos que a relação é valida no instante 
que o sistema e o volume de controle coincidam. 
 
Isto é verdade, pois à medida que ∆ t → 0, o sistema e o volume de controle ocupam o 
mesmo volume e possuem os mesmos limites. 
 
[dN / dt] sistema é a taxa de variação total de uma propriedade extensiva qualquer do sistema. 
 
d / dt ∫vc η ρ dv → taxa de variação da propriedade N ao longo de todo volumede controle 
 
ρ v dA → fluxo de massa através da área dA 
 
η ρ v dA → fluxo de propriedade N através de dA 
 
∫sc η ρ v dA → taxa de fluxo da propriedade N através da s.c 
 
Observação: A velocidade V é medida em relação ao s.c. 
 
 
6.3. CONSERVAÇÃO DE MASSA 
 
6.3.1. INTERPRETAÇÃO FISÍCA 
 
 
O = - + 
 
 
O = (10 kg / s) (8 kg / s) (- 2 kg / s) 
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6.3.2. EQUAÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE 
 
dM / d t ﴿ sistema = 0 
 
M sist = ∫massa sist dm = ∫v sist ρ dv 
 
Para deduzirmos a formulação do v.c. para conjunto de massa , temos: 
 
N = M 
 
η = 1 * na equação geral (I) 
 
dM / d t ﴿ sist = d / dt ∫ vc ρ dv + ∫s.c. ρ v dA 
 
O = d / dt ∫ vc ρ dv + ∫s.c. ρ v dA 
 
∫s.c. ρ v dA → este produto é escalar ; o sinal depende da direçao ( sentido ) do 
vetor velocidade relativo ao vetor área n dA 
 
+ = quando o escoamento se dá para fora, através da s.c. (cos180o = -1) 
 
- = quando o escoamento se dá para dentro, através da s.c. (cos0o = +1) 
 
0 = quando o escoamento é tangente a s.c. 
 
 
6.3.3. CASOS PARTICULARES 
 
a) Regime Permanente; 
 
b) Escoamento Incompressível. 
 
REGIME PERMANENTE: é aquele no qual nenhuma das propriedades do fluido varia com 
o tempo » Com isso o primeiro termo é igual a zero ( 0 ) 
 
O = ∫s.c. ρ v dA 
 
- ρ v dA → massa flui para dentro através da s.c. 
 
+ ρ v dA → massa flui para fora através da s.c. 
 
∫A entrada ρ v dA = + ∫A saída ρ v dA 
 
ESCOAMENTO ÍNCOMPRESSIVEL: É o escoamento no qual a massa especifica (ρ) 
permanece constante. 
 
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0 = ρ ∫vc dv + ρ ∫sc v dA 
 
0 = ρ v + ρ ∫sc v dA 
 
como ρ = cte e tamanho do volume é fixo, temos, 0 = ∫sc v dA. 
 
Observação: A quantidade de volume que entra é igual à quantidade de volume que sai da s.c 
 
[ v ] = LT-1 
 
→ L³T-1 = vazão volumétrica (q) ou 
 
[dA] = L² 
 
∫sc v dA = q → taxa volumétrica de escoamento 
 
m* = ∫sc ρ v dA = q → taxa volumétrica de escoamento 
 
EXERCÍCIO APLICATIVO 
Consideremos o movimento permanente da água (ρ = 1,94 slug/ft³) através do dispositivo da 
figura abaixo. As áreas são: A1 = 0,2 ft², A2 = 0,5 ft² e A3 = A4 = 0,4 ft². A massa fluída que 
sai pela seção 3 vale 3,88 slug/s. O volume que entra pela seção 4 é de 1,0 ft³/s, e V1 = 10ift/s. 
Admitindo que as propriedades do fluído sejam uniformes em todas as seções, determinar a 
velocidade do escoamento na seção 2. 
 
 
 
 
7. EQUAÇÃO DA QUANTIDADEDE MOV. LINEAR PARA UM V.C. 
INERCIAL 
 
2a LEI DE NEWTON 
 
V.C. INERCIAL: é um volume de controle não acelerado em relação a um sistema de 
referencia estacionário. 
 
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Dedução da formula matemática para um sistema: 
 
F = dP / dt )sistP = momento linear 
 
Psist = ∫massa(sist) v dm = ∫v(sist) ρ v dA 
 
 
É a força resultante F inclui todas as força e superfície e de corpo atuando sobre o sistema 
 
F = FS + FB 
 
 
Para um V.C, 
 
dN / d t )sist = d / d t ∫vc η ρ dv + ∫sc η ρ v dA 
 
Onde, 
N = P; 
η = V. 
 
dp / dt)sist = d / dt ∫vc ρ dA + ∫sc v ρ v dA [ I ] 
 
 
Sabemos, que, 
 
dP / dt )sist = F ) sobre o sistema[ II ] 
 
V.C. e sistema coincidem no tempo t0 
 
FSOBRE O SISTEMA = FSOBRE O VOLUME DE CONTROLE 
 
Em vista disso, as equações [ I ] e [ II ] fornecem a formulação de volume de controle. 
 
F = FS + FB = d /dt ∫ vc v ρ dv + ∫sc v ρ v dA [ III ] 
 
Por esta equação, vê-se que a soma de todas as forças (de superfície e de corpo) atuando sobre 
um v.c, não acelerado é igual a soma da taxa de variação do momento dentro do v.c. e a taxa 
de efluxo de momentum resultante através da s.c. 
 
Ao se usar qualquer equação básica para uma analise de controle, deverá primeiro traçar os 
limites do volume de controle e identificar um sistema de coordenadas apropriado. 
 
Na equação [ III ] , a força F representa todas as forças aluando no volume de controle Ele 
inclui tanto as forças de superfície como as de corpo (campo). 
 
 
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A equação do Momento é uma equação vetorial 
 
Fx = FSx + FBx = d / d t ∫vc µ ρ dA + ∫ sc µ ρ v dA 
 
Fy = FSy + FBy = d / d t ∫vc r ρ dA + ∫ sc r ρ v dA 
 
Fz = FSz + FBz = d / d t ∫vc w ρ dA + ∫ sc w ρ v dA 
 
Onde, 
µ, r, w = são componentes de velocidade; 
Fx, Fy, Fz= são componentes de força. 
 
O sinal do positivo escalar ρ vdA depende da direção (sentido ) do vetor-velocidade ., v, 
em relação ao vetor-área dA 
 
I etapa para determinação do fluxo de momento 
 
sinal de ρ v dA, ou seja 
ρ v dA = ρ |V dA| cos α = ± |ρ v dA cos α.| 
 
Como o sinal para cada componente de velocidade u ..r., w., dependem da escolha do sistema 
de coordenadas , o sinal deve ser levado em conta ao substituirmos valores numéricos nos 
termos: 
 
µ ρ v dA = µ { ± |ρ v dA cos α } 
 
e assim por diante. 
 
 
8. EQUAÇÃO DA Q.M.L. COM V.C. DESLOCANDO-SE COM 
VELOCIDADE CTE 
 
No item e exercícios anteriores em que ilustram aplicações da equação do momentum para 
volumes de controle inerciais foram considerados apenas volumes de controle estacionários 
 
Deve-se enfatizar que um volume de controle (fixo em relação a um sistema de referencia x, 
y, z) movendo-secom uma velocidade constante,Vrf relativa a um sistema de referencia 
(inercial) xyz é também inercial p já que não possui acelerações em relação à x, y, z. 
 
A equação [ III ] do item 04 , que expressa derivadas do sistema em termos das variáveis do 
volume de controle , é valida para qualquer tipo de movimento do sistema de coordenadas 
xyz ( fixo ao volume de controle ) desde que: 
 
1) Todas as velocidades sejam em relação ao vc 
 
2) Todas as derivadas em relação ao tempo sejam medidas em relação ao v.c 
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Então temos: 
 
dN / dt )sist = d / dt ∫vc η ρ dv + ∫sc η ρ v dA 
 
Como todas as derivadas devem ser medidas em relação ao v.c. ficamos: 
 
F = FS + FB = d / dt ∫ vc v xyz ρ dv +∫ sc v xyz ρ v xyz dA 
 
É idêntica a equação (III) enceto quanto a inclusão do subscrito x, y, z para enfatizar que as 
quantidades de movimento devem constituir medidas relativas ao volume de controle. 
 
 
9.EQUAÇÃO DA Q.M.L. PARA UM V.C. COM ACELERAÇÃO 
LINEAR 
 
F + FB - ∫vc a ref ρ dA = d / dt ∫vc v xyz ρ dv + ∫ sc v xyz ρ v xyz dA 
 
Onde, 
 
FB = ∫vc β ρ dv 
 
 
10. PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA 
 
10.1. DINÂMICA DO ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL NÃO-VISCOSO 
 
10.1.1. INTRODUÇÃO 
 
Todos os fluidos reais possuem viscosidade, entretanto os fluidos muitas vezes agem como se 
fossem não viscosos. Portanto, é interessante investigar a dinâmica de um fluido ideal que 
seja incompressível e tenha viscosidade nula. 
 
A analise da movimentação de fluidos ideais é mais simples do que os escoamentos viscosos, 
porque às tensões de cisalhamento não se encontram presentes no escoamento não-viscoso. 
 
As tensões normais são as únicas tensões que devem ser consideradas na analise. 
 
 
10.1.2. EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
Integração das equações de EULLER ao longo de uma linha de fluxo para escoamento 
permanente 
 
Linha de Fluxo é a linha traçada tangente ao vetor velocidade em cada ponto no campo de 
escoamento; fornece uma representação gráfica conveniente. 
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Escoamento Permanente: as trajetórias das partículas as linhas de fluxo coincidem 
 
Escoamento não permanente: coordenadas de linha de fluxo podem descrever este 
escoamento fornecendo uma representação gráfica dos campos de velocidades instantâneas. 
 
 
A equação de EULLER para escoamento permanente ao longo de uma linha de fluxo é dada 
por: 
 
(-1/ ρ) (dp/ds)– g (dz/ds) = v (dv/ds) [ I ] 
 
 
Se uma partícula de fluido se movimenta a uma distancia ds ao longo de uma linha de fluxo, 
então: 
 
(dp/ds) ds = dp A variação da Pressão ao longo de s 
 
(dz/ds) ds = dz A variação da Elevação ao longo de s 
 
(dv/ds) ds = dv A variação da Velocidade ao longo de s 
 
Assim, depois de multiplicar a equação ( l ) por ds pode-se escrever: 
 
(- dp / ρ ) – g dz = v dv (ao longo de s) 
 
ou 
 
dp / p + gdz + vdv = 0 (ao longo de s) 
 
 
A integração desta equação resulta 
 
∫ dp /p + ∫ g dz + ∫ v dv = cte 
 
∫ dp / ρ + gz + v² / 2 = cte (ao longo de s ) [ II ] 
 
ρ = cte 
 
 
Antes que a equação II possa ser usada, devem especificar a relação entre a pressão p, e a 
massa especifica ρ. Para o caso especial de escoamento incompressível ρ = cte e a equação [ 
III ] torna-se: 
 
P / ρ + g z + v² / 2 = cte ( ao longo da linha de fluxo) [ III ] 
 
 
A equação [ III ] é chamada de EQUAÇÃO DE BERNOULLI. 
Ela é muitas vezes usada impropriamente porque as restrições na sua dedução não são 
consideradas. É importante lembrar as suposições feitas ao derivar a equação de Bernouli. 
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 Página 31 
Estas são: 
 
01) Escoamento permanente; 
 
02) Escoamento incompressivo; 
 
03) Escoamento livre de fricção; 
 
04) Escoamento ao longo de uma linha de fluxo. 
 
A equação de Bernouli é uma equação poderosa e de grande utilidade porque ela relaciona 
variações de pressão com a velocidade e variações de elevação ao longo de uma linha de 
fluxo. 
 
Entretanto ela fornece resultados corretos somente quando aplicada a uma situação de 
escoamento onde todas as quatro restrições são razoáveis. 
 
Portanto, conservar as restrições firmemente para das quando se considerar o uso da equação 
de Bernouli. 
 
OBSERVAÇÃO: Em geral a constante de Bernouli possui valores distintos ao longo de linhas 
de fluxo distintas. 
 
10.1.3. CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO ATRAVÉS DE CANOS 
 
� Equação de Bernoulli 
� Perdas de Carga 
� Aplicações 
 
Um melhor entendimento sobre a natureza das perdas de carga de pressão em escoamentos 
viscosos internos pode ser obtidos através da equação da energia 
 
Considere o escoamento em regime permanente através da canalização (joelho redutor), 
abaixo: 
 
 
Figura 10.1 
1 
2 
V.C 
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Página 32 
Com uma formulação para v.c. semelhante as já feitas para problemas de conservação de 
massa e força, temos: 
 
[ P1 / ρ + v1² / 2 + gz] - [ P2 / ρ + v2² / 2 + gz] = ht 
 energia I energia II perdas 
 
1 e 2→ indica a secção do cano 
P → pressão 
v → velocidade 
2 → altura referencial 
ρ → massa especifica 
g → aceleração da gravidade 
 
O termo ( P / ρ + v²/2 + gz ) representa energia mecânica por unidade de massa. 
 
O termo ( ht ) representa a conversão preversível de Emec para Etérmica por causa da 
natureza viscosa do escoamento, ou seja, por haver fricção interna ( a perda acrescenta-se o 
atritodo cano) 
 
[ P1 / ρ + v1² / 2 + gz] - [ P2 / ρ + v2² / 2 + gz] = ht = [ L² / T²] 
 
E1 – E2 = ht 
 
Diferença de energia entre as secções l e 2 é chamada perda de carga " ( ht ) . 
 
Com o escoamento num cano horizontal, com secção uniforme, e sem fricção viscosa (ht = 0), 
a perda de carga ou perda de energia será nula, a equação torna-se: 
 
[P1 / ρ + v1² / 2 + gz] = [ P2 / ρ + v2² / 2 + gz] 
 
CHAMADA EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
Em alguns casos o escoamento parece não permanente de um sistema de referencia mas 
permanente de um outro porque se translada no escoamento 
 
Como a equação de Bernoulli foi deduzida integrando a 2ª Lei de Newton para uma partícula 
do fluido ela pode ser aplicada em qualquer sistema de referencia inercial 
 
 
EXERCÍCIO APLICATIVO 
O ar escoa com baixa velocidade por um bocal horizontal que descarrega na atmosfera. A área 
do bocal à entrada mede 0,1 m² e a saída, 0,02 m². O escoamento é, essencialmente, de fluído 
incompressível e de atrito desprezível. Determinar a pressão manométrica necessária à 
entrada do bocal para produzir a velocidade de saída de 50 m/s. 
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10.1.4. PRESSÕES ESTÁTICAS DE ESTAGNAÇÃO E DINÂMICA 
 
A pressão p que se usou na dedução da equação de Bernoulli é a pressão termodinâmica, a 
qual é comumente chamada, de pressão estática. 
 
A pressão estática é aquela pressão que seria medida por um instrumento movendo-se com o 
escoamento. Entretanto tal medição é difícil de executar na pratica 
 
É possível medir experimentalmente a pressão estática no item 2, mostramos que não existe 
variação de pressão na direção normal as linhas de fluxo do escoamento quando estas 
linhas de fluxo eram retilíneas 
 
Este fato torna possível medir a pressão estática em um fluido em movimento usando uma 
tomada de pressão "TAP" de parede colocada numa região onde as linhas de fluxo do 
escoamento são retilíneas. 
 
 
 
Figura 10.2 
 
A tomada de pressão consiste num pequeno orifício perfurado cuidadosamente na parede, 
com seu eixo perpendicular a superfície. 
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Página 34 
Se o orifício for perpendicular as paredes do conduto e livre de rebarbas , medições precisas 
da pressão estática podem ser efetuadas conectando a tomada de pressão a um instrumento de 
medição 
 
Numa corrente de fluído afastada da parede , ou num local onde as linhas de fluxo sejam 
curvas, medições precisas da pressão estática podem ser levadas a efeito pelo uso cuidadoso 
de um sensor de pressão estática, mostrado na figura 8.4. 
 
 
 
Figura 10.3 
 
Sensores deste tipo devem ser projetados de forma que os orifícios de medição sejam 
colocados corretamente em relação à ponta e haste do sensor para evitar resultados falsos 
Quando em uso, a secção de medição deve estar alinhadas com a direção do 
escoamento local. 
 
Sensores de pressão estática, tais como os mostrados na figura 02 e outras variedades de 
forma, são encontrados comercialmente em tamanho a partir de 1/16 pol de diâmetro ( 0,16 
cm ) . 
 
A pressão de estagnação é aquele valor obtido quando o fluido em escoamento é desacelerado 
até atingir velocidade nula através de um processo livre de fricção. Em escoamento 
compressível a equação de Bernoulli pode ser usada para relacionar variações na velocidade e 
pressão de uma linha de fluxo para tal processo. 
 
Desprezando diferenças em elevação, a elevação P / ρ + v² / 2 + gz = cte, fica: 
 
 P / ρ + v² / 2 = cte. 
 
Se a pressão estática for p em um ponto no escoamento onde a velocidade v, então a pressão 
de estagnação p pode ser calculada através de: 
 
P0 / ρ + v0² / 2 + gz = P / ρ + v² / 2 
 
ou 
 
P0 = ½ ρ v² = P0 - P 
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(pressão de estagnação v0 = 0) 
 
A equação l é uma expressão matemática da definição da pressão de estagnação valida para 
escoamento incompressível. O termo 1/2 pv² usualmente chamado de pressão dinâmica 
 
Resolvendo para pressão dinâmica, resulta, 
 
½ ρ v² = P0 - P 
 
e para velocidade, 
 
V = u2	�PA − P�ρ 					 7	2	; 
 
Assim, se a pressão de estagnação e a pressão estática pudessem ser medidas em um ponto a 
equação 2 nos daria a velocidade de escoamento local 
 
A pressão de estagnação é medida em laboratório usando-se um sensor com orifício orientado 
diretamente contra a corrente conforme mostrado na figura 03 
 
 
 
Figura 10.4 
 
Este sensor é chamado de SENSOR DE PRESSÃO DE ESTAGNAÇÃO,ou TUBO DE 
PITOT. Como antes, a secção de medição deve estar alinhada com a direção local do 
escoamento. 
 
Foi visto que a pressão estática em um ponto pode ser medida com uma tomada de pressão 
ou sensor.Se soubéssemos a pressão no mesmo ponto, então a velocidade de escoamento poderia ser 
calculada através da equação 2. 
 
Dois esquemas experimentais possíveis são mostrados nas figuras 8.6 e 8.7. 
 
 
 
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Página 36 
a)Tubo de altura de carga total usado com tomada de pressão estática de parede. 
 
 
 
Figura 10.5 
 
 
b) Tubo de Pitot estático. 
 
 
 
Figura 10.6 
 
Na figura 4a a pressão estática corresponde ao ponto A é medida através da tomada de 
pressão estática na parede. 
 
A pressão de estagnação é medida diretamente em Apelo Tubo de Altura de Carga Total, 
conforme mostrado. 
 
Observação: A haste do tubo de altura de carga total é colocada à jusante do local de 
medição para minimizar distúrbios no escoamento local. 
 
 
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 Página 37 
Dois sensores são muitas vezes combinados como no arranjo de tubo de Pitot estático da 
figura 4b. O tubo interno é usado para medir a pressão de estagnação no ponto B enquanto a 
pressão estática em C é medida pêlos pequenos orifícios no tubo exterior. 
 
EXERCÍCIO APLICATIVO 
Um tudo de Pitot é inserido em escoamento de ar (em CNTP) para medir a velocidade do 
fluxo. A inserção do tubo é feita de modo que fique apontado para montante, medindo, 
portanto, a pressão de estagnação; A pressão estática é medida na mesma seção de 
escoamento por meio de uma tomada na parede. Se a diferença de pressões for de 30 mm de 
mercúrio, determinar a velocidade do escoamento. 
 
 
11. ANÁLISE DIMENSIONAL E SIMILITUDE 
 
11.1. INTRODUÇÃO 
 
A historia do desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos sempre dependeu grandemente de 
resultados experimentais, porque muitos poucos escoamentos reais podem ser resolvidos 
exatamente através de métodos analíticos apenas. As soluções de problemas da vida real 
envolvem uma combinação de analise e informação experimental . 
 
Inicialmente a situação de escoamento físico real é aproximada através de um modelo 
matemático que seja suficientemente simples para fornecer uma solução. A seguir, 
medições experimentais são executadas para conferir os resultados analíticos. Com base nas 
medições , refinamentos podem ser introduzidos na analise e assim por diante 
 
Entretanto o trabalho experimental de laboratório é ao mesmo tempo demorado e caro. Um 
objetivo obvio é obter o máximo de informação através do mínimo de experiências. A 
analise dimensional é uma ferramenta importante que , muitas vezes , nos auxilia a atingir 
este objetivo. 
 
Os parâmetros adimensionais obtidos podem também ser usados para correlacionar dados 
para apresentação sucinta usando o numero mínimo possível de gráficos . 
 
 
11.2. NATUREZA DA ANALISE DIMENSIONAL 
 
Em sua maioria, os fenómenos em Mecânica dos Fluidos dependem de maneira complexa 
dos parâmetros geométricos e de escoamento. 
 
Perguntas são realizadas para um dado experimento e as respostas correlacionadas com os 
parâmetros „ que envolve a analise dos dados e consequentemente aplicados a um teorema , o 
TOEREMA DE BUCKINGHAM PI. 
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Página 38 
11.3. TEOREMA DE BUCKINGHAM PI 
 
XEROX 
 
EXERCÍCIOS APLICATIVOS 
 
XEROX 
 
 
12. ESCOAMENTOS LAMINAR E TURBULENTO 
 
12.1. ESCOAMENTO LAMINAR E TUBULENTO 
 
Por volta de 1880, OSBORNE REYNOLDS, um engenheiro britânico, estudou a transição 
entre os escoamentos laminar e turbulento em um cano. 
 
Ele descobriu que o parâmetro Re = ρ v D / µ é um critério pelo qual o estado de um 
escoamento pode ser determinado 
 
 
 
 
 
 
 Abrindo pouco Abrindo Medianamente Abrindo muito 
 
Figura 12.1 
 
 
Nesta experiência, a água flui de um reservatório grandes proporções de um cano 
transparente. Um filamento fino de corante introduzido na entrada do tubo permite a 
observação visual do escoamento. 
 
Vazões baixas (Re baixo) → escoamento laminar. 
 
Corante 
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 Página 39 
Vazões altas (Re alto) → escoamento turbulento. 
Re = ρ v D / µ ouRe = v D / υ 
 
υ = µ / ρ 
 
Onde, 
Re = numero de Reynolds 
ρ = massa especifica (kg/m³) 
v = velocidade (m/s) 
D = diâmetro (m) 
µ = viscosidade (kg/sm) 
υ = viscosidade cinemática (m²/s) 
 
Re < 2000 → laminar 
 
Re > 4000 → turbulento 
 
2000 < Re < 4000 → transição 
 
No escoamento laminar, a queda de pressão pode ser computada analiticamente para 
escoamento completamente desenvolvido em um cano horizontal. 
 
Q = π ∆ p D4 4 / 128µ l 
 
Onde: 
∆ p = 128 µ L Q / π D4 
 
∆ p = 128 µ L (v π D² / 4) / π D4 
 
∆ p = 32 L / D µ v / D [Eq. 1] 
 
 
No calculo da perda de carga em canos temos: 
 
p1 / ρ + v1² / 2 + gz1 – [ p2 / + v2² + gz2] = h1t 
 
Com o escoamento num cano na horizontal com secção uniforme p e sem fricção viscosa (ht 
= 0). 
 
A perda de energia ou perda de carga será nulo, a equação torna-se: 
 
∆ p / ρ + ( v1 - v2 )² / 2 + g (z1 – z2 ) = h1t 
 
∆ p / ρ = 0 
 
Para o calculo da perda de carga: 
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ht → é a perda de carga total e é encarada como a soma dos efeitos de fricção no escoamento 
completamente desenvolvido mais as perdas secundarias, entradas, conexões etc. 
 
ht = h1 + (hs) → cotovelos, curvas, registros, joelhos etc. 
 
Para escoamento completamente desenvolvido 
 
hs = 0 e v1² / 2 = v2² / 2 
 
Então: 
 
ht = [ p1 – p2 / ρ] + g (z1 – z2) 
 
e, onde, z1 = z2 → cano horizontal 
 
ht = ∆p / ρ [Eq. 2] 
 
Conhecemos a expressão de ∆p para deslocamentos laminar através de um cano na horizontal. 
 
Substituindo ( l ) em ( 2 ) 
 
h1t = ∆p / ρ = 32 L µ v / D ρ D 
 
h1t = L / D * v² / 2 * (64 µ ρ v D) 
 
h1t = (64 / Re) * L / D * v² / 2 
 
h1t = f * L / D * v² / 2 
 
f = (64 / Re) conhecido apenas para regime laminar 
 
[64 / Re] → isto é encarado como fator de fricção para perda de carga 
 
Corno os escoamentos tem normalmente Re > 2000 ( regime transição e turbulento ) o f é 
determinado experimentalmente 
 
Os resultados estão no diagrama de MOODY, na página seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Página 41 
 
Figura 12.2 – Diagrama de Moody. 
 
 
Para se determinar a perda de carga para escoamento completamente desenvolvido com 
condições conhecidas o número de Reynolds (Re) do escoamento é calculada em primeiro 
lugar 
 
O valor da rugosidade relativa e/D para o escoamento é obtido através da figura (8.13 - FOX) 
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Página 42 
 
Então, o fator de fricção, f, é lido através da curva apropriada na (Fig 8.12 - Moody), nos 
valores conhecidos de Re e e/D. 
 
Finalmente, a perda de carga é calculada utilizando a equação ( 3 ) 
 
 
EXERCÍCIOS APLICATIVOS 
 
Exercício 1. 
Calcule a perda de carga para o escoamento de um cano liso seco uniforme na horizontal 
conforme os dados abaixo: 
 
ρ = 1.000 kg/m3 ; V= 0,034 m/s.; µ = 0,001 kg/m.s 
 
 
 
 
 
 
a) Perda de carga?Resposta: ∆H = 2,18 x 10-4 m 
b) Comprimento de 5 m. Qual a perda de pressão?Resposta: ∆P = 0,218 kgf/m2 
 
Exercício 2. 
Calcule a perda de carga de 10 m com diâmetro de 0,05 m. A vazão é 0,01 m³/s e sua 
rugosidade e/D = 0,0002; ρ = 1.000 kg/m3; µ = 0,001 kg/m.s Resposta: ∆H = 4,51 m 
 
Exercício 3. 
Determinar a perda de carga por km de uma tubulação de ferro galvanizado de seção circular 
de diâmetro de 50,8 cm. O fluido é óleo ( ѵ = 1,06x10-5 m2/s) e a vazão é 190 l/s.
 Resposta: ∆H=1,95m 
 
Exercício 4. 
Calcular a vazão de água num conduto de ferro fundido, sendo dados: D = 10 cm; ѵ = 0,7x10-
6 m2/s; f = 0,027; ϪH2O = 1000 kgf/cm
3 e sabendo-se que os dois manômetros instalados a uma 
distância de 10 m indicam respectivamente 1,5 kgf/cm2e 1,45 kgf/cm2. 
Resposta: Q= 14,9 l/s 
 
12.2. PERDAS SECUNDÁRIAS 
 
O escoamento através de um encanamento pode requerer a passagem através de uma 
variedade de conexão p curvas ou variações abruptas de área. 
 
5,0 cm 
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 Página 43 
Perdas de carga adicionais ocorrem principalmente como resultado da separação do 
escoamento (energia é eventualmente dissipada pela mistura violenta nas zonas separadas). 
 
Estas perdas serão secundarias (dai o termo perdas secundarias) se o sistema de encanamento 
em questão inclui comprimentos longos de área de cano constante . 
 
A perda de carga secundaria pode ser expressa como: 
 
h1m = k * v² / 2 
 
Onde, o coeficiente de perda K, deve ser determinado experimentalmente para cada situação. 
 
A perda de carga secundaria pode também ser expressa como: 
 
h1m = f * Le / D * V² / 2 
 
Onde Le consiste num Comprimento equivalente de cano reto. 
 
Dados experimentais para coeficiente de perda secundaria são numerosos, mas eles se 
encontram espalhados ao longo de uma variedade de fontes. 
 
Consequentemente, dados para algumas situações comumente encontradas são resumidas a 
seguir. 
 
l. Acessos e comprimentos de entrada: quadro 8.1; 
 
2. Expansões e Contrações: figura 8.16, quadro 8.2; 
 
3. Saídas: quadro 8.3; 
 
4. Curvas em cano: figura B.18, figura B.19; 
 
5. Válvulas e Conexões: são expressos através de comprimento equivalente de cano reto (Le / 
D); quadro 8.4. 
 
 
12.3. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS DE ESCOAMENTO EM CANOS 
 
Uma vez calculada que a perda de carga total usando-se os métodos do item 01, os problemas 
de escoamento em canos podem ser resolvidos usando-se a equação da energia 
Bernoulli: 
 
P1 / ρ + v² / 2 + gz1 – [ P2 / ρ + v2² / 2 + gz2 ] = ht 
 
As mesmas técnicas básicas são empregadas , mesmo para sistemas de encanamento 
completos 
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Página 44 
 
12.3.1. SISTEMAS DE PASSO ÚNICO 
 
Xerox → pag. 309 → Fox 
 
Passos para se resolver os problemas (4 situações possíveis). 
 
EXERCÍCIO APLICATIVO 
Calcular a vazão da figura abaixo. Trecho 1-2; e/D = 0,01; D = 4 pol (0,106 m). 
 
 
Resposta: Q = 0,02205 m3/s ou 22,05 l/s 
 
12.4. EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUÍDO PERFEITO INCOMPRESSÍVEL 
COM A PRESENÇÃO DE UMA MÁQUINA DE ESCOAMENTO 
 
Máquina	M	 wBomba	�B� − Fornece	energia	ao	DluídoTurbina	�T� − Retira	energia	do	Dluído	 j 
 
BOMBA: 
 
 
 
Figura 12.3 
 
H1< H2 
HB: Energia fornecida ao fluído pela bomba por unidade de peso. 
 
TURBINA: 
 
 
 
Figura 12.4 
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 Página 45 
 
H1> H2 
HT: Energia retirada do fluído pela turbina por unidade de peso (carga ou altura manométrica 
da turbina). 
 
Genéricamente: 
 
 
 
Figura 12.5 
 
Hm> 0 ⇨ M é bomba (Hm = HB) 
Hm< 0 ⇨ M é turbina (Hm – HT) 
 
HN 	+ 	HK 	= 	H� w∃	Máquina:	HN + HK = H�∄	Máquina:	HN = H� j	
 
 
12.4.1. POTÊNCIA FORNECIDA OU RETIRADA DO FLUÍDO NA PASSAGEM PELA 
MÁQUINA – NOÇÃO DE RENDIMENTO 
 
HK = WG 			⇨ 			W = G	-HK 
 
Mas, 
 
γ = GV 			⇨ 			G = γ	-	V 
 
Substituindo, W = γ	-	V	-HK, temos, 
 
÷ t… 			⇨ 		Wt = g	- Vt -HK 
 
Onde, 
W / t = Potência; 
V / t = Vazão. 
 ⇨ N = γ	-	Q	-HK 
 
 
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Página 46 
γ kfg / m³ 
- M.K.S -⇨					Q m³ / s N → kgf.m / s (kg.m / s) 
 Hm M 
 
 
γ N/m³ 
- S.I -⇨Q m³/s N → N.m / s = J / s (watts) 
 Hm M 
 
 
1 CV = 75 kgf.m / s 
 
1 CV = 736 W = 0,736 kW 
 
 
Rendimento (η): 
 
η = Potência	útilPotência	posta	em	jogo 
 ⇨Bomba: 
 
 
 
Figura 12.6 
η� = NN� 
 
Onde, 
N = potência útil = potência fornecida ao fluído; 
NB = potência da bomba. 
 
N� = Nη� 			 ; 			N� = γ	-	Q	-HK75	-η� 			�CV� 
 
 
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 Página 47 
⇨Turbina: 
 
η� = NHN 
 
N = potência retirada do fluído; 
NT = potência útil = potência da turbina. 
 
NH = N	-hH			; 			NH = γ	-	Q	-HK-ηH75 
 
 
EXERCÍCIOS APLICATIVOS 
 
1. Tanque de grandes dimensões. O tanque da figura descarrega água a atmosfera pelo tubo 
indicado. Sendo o tanque de grandes dimensões e o fluído considerado perfeito (∆H ≈ 0), 
determinar a vazão da água descarregada se a área da seção do tubo é10 cm2.V = 15 m/s; 
γH2O = 1000kgf/m
3;η = 75%; g = 10 m/s2 
 (1) 
 B 
5 m (2) Resposta: NBomba = 1,67 CV 
 
2. O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água para a atmosfera através 
de uma tubulação com uma vazão de 10 l/s. Verificar se a máquina instalada é BOMBA ou 
TURBINA e determinar sua potência se o rendimento é 75%. Supor fluido perfeito 
(∆H≈0). 
γH2O = 1000 kgf/m
3; ATubo = 10 cm
2; g = 10 m/s2 
 (1) 
 
20 m 5 m (2) 
 
 M 
Resposta:NTurbina =1,0 CV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Página 48 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
CAPITULOS 1 e 2 
 
1) Empuxo é: 
 
a) a força resultante que age num flutuador 
b) a força necessária para manter um corpo submerso em equilíbrio 
c) a força resultante, exercida num corpo, devido ao fluido que o circunda 
d) igual ao volume de líquido deslocado 
e) uma força inclinada para corpos assimétricos 
 
2) A equação da continuidade para escoamento de um fluido perfeito: 
 
a) estabelece que a energia é constante ao longo de uma linha de corrente 
b) estabelece que o saldo das vazões, num pequeno volume, deve ser zero 
c) pode ser aplicada somente se o escoamento é irrotacional 
d) estabelece que a energia é constante em qualquer ponto do fluido 
e) implica a existência de um potencial de velocidade 
 
3) Um fluido é uma substância que: 
 
a) tem a mesma tensão de cisalham/o num ponto não importa o seu mov. 
b) sempre se expande até encher um recipiente 
c) é praticamente incompressível 
d) não pode ser submetida a forças de cisalhamento 
e) não pode permanecer em repouso sob a ação de qualquer força de cisalham/o 
 
4) O que é massa específica, peso específico e densidade, com suas respectivas 
unidades, exemplos ? 
 
5) Escrever a relação básica pressão-altura para um fluido estático e integrá-la para 
variação de pressão correspondente a quaisquer variações de propriedade do 
fluido. 
 
6) Enunciar as cincos leis básicas que governam o movimento dos fluidos ? 
 
7) Enunciar os três sistemas básicos de unidades? 
 
8) As dimensões da viscosidade cinemática são: 
 
a) FT-2T 
b) ML-1T-1 
c) L2T2 
d) L2T-1 
e) L2T-2 
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 Página 49 
9) Dar definições operacionais dos seguintes termos: 
 
a) Fluído, ex.? 
b) Difusão, advecção e radiação, ex.? 
c) Escoamento permanente? 
d) Trajetória? 
e) Sistema, ex.? 
f) Linhas de fluxo e/ou corrente? 
g) Raia e/ou filete? 
h) Volume de controle, ex.? 
i) Escoamento incompressível e compressível? 
j) Escoamento laminar e turbulento, ex.? 
k) Manômetros, ex.? 
 
10) Para ν = 3x10-8 m2/s e ρ = 800 kg/m3; µ no SI é igual a: 
 
a) 3,75x10-11 
b) 2,4x10-5 
c) 2,4x105 
d) 2,4x1012 
e) nenhuma das respostas anteriores 
 
11) A equação diferencial, correspondente a variação de pressão num fluido em 
repouso, pode ser escrita (com y medido verticalmente para cima): 
 
a) dp = -γ dy 
b) dρ = -γ dy 
c) dy = -ρ dp 
d) dp = -ρ dy 
e) dp = -γ dρ 
 
12) Enunciar a relação entre pressão absoluta e instrumental? 
 
13) Escrever a equação que relaciona taxa de variação de qualquer propriedade extensiva 
arbitrária, N, de um sistema, com variações em relação ao tempo da propriedadeassociada com um volume de controle. Dar o significado físico de cada quantidade da 
equação. 
 
14) Enunciar a metodologia utilizada na solução de problemas em mecânica dos fluídos 
e/ou fenômeno dos transportes? 
 
15) Escrever a formulação para volume de controle da conservação da massa e dar o 
significado físico de cada termo na equação. Aplicar a equação na solução de problemas 
de escoamento. 
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16) Verificar qual a afirmação correta. 
 
a) a pressão atm. local é sempre menor que a pressão normal. 
b) a pressão atm. depende somente da altitude da localidade 
c) a pressão atm. normal é a pressão atm. local média, ao nível do mar 
d) um barômetro indica a diferença entre a pressão atm. local e normal 
e) a pressão atm. normal vale 34 in. de mercúrio abs. 
 
CAPITULO 3 
 
17) Se 9 m3 de óleo pesam 7800 kg, calcular seu peso específico (γ), massa específica (ρ) e 
sua densidade relativa ( d ). 
 
18) Que profundidade de óleo, densidade 0,950, produziria uma pressão de 7,7 kgf/cm2 ? 
Qual a profundidade em água ? PEFETIVA 
 
19) Determine a pressão manométrica em A devida a deflexão do mercúrio ( d = 13,6 ), 
no manômetro U mostrado na Figura. Fluido em A é água. Considere PEFETIVA! 
 
 
 
20) Para uma pressão manométrica em A de - 8000 kgf/m2. Determine a densidade do 
líquido B da coluna manométrica da Figura. PEFETIVA ! 
 
ρ ar = 1,23x10-23 kg/m3. 
 
 
 
21) Os recipientes A e B contém água sob pressão de 17 kgf/cm2 e 14,5 kgf/cm2 
respectivamente. Qual será a deflexão do mercúrio ( h ) no manômetro na Figura. 
 
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22) O recipiente da Figura contém água e ar, como é indicado. Qual é o valor da pressão em 
A, B, C e D em Pa ? Considere PEFETIVA! 
 
 
 
23) Na Figura as áreas do embolo A e do cilindro B são 17800 mm2 e 980000 mm2 
respectivamente e o peso de B é 9000 kg. O recipiente e as conexões estão cheias de óleo 
de densidade 0,750. Qual a força P necessária para o equilibrio, desprezando-se o peso 
de A. 
 
 
 
24) Determinar a pressão no ponto a da Figura, se o líquido A possui densidade de 0,66 e o 
líquido B possui densidade de 7,1. O líquido em torno do ponto a é água e o tanque a 
esquerda está aberto à atmosfera. PABS 
 
 
 
25) Determine a pressão em A da Figura? PABSOLUTA 
 
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26) Uma tubulação industrial composta de 2 tubos paralelos que conduzem vapor a 
diferentes pressões, possui um dispositivo para avaliar esta diferença de pressões, 
conforme esquematizados na Figura; quanto é a pressão em A (Pa) ? Dados: PB = 
50.000 N/m2; ρH20 = 1000 kg/m3; ρHg = 13.600 kg/m3 . Fluido em B é água. 
 
 
 
27) Um manômetro de reservatório é constituido com um tubo de diamentro de 40 mm e 
diâmetro de reservatório de 80 mm. O líquido do manômetro é o óleo vermelho meriam 
com d = 0,727. Determine a deflexão (h/∆h ) do manômetro em mm/mm de pressão 
diferencial de água aplicada. 
 
 
 
28) Na Figura tem-se água em A e B e o líquido manométrico é óleo, de densidade 0,8, h1 
= 400 mm, h2 = 300 mm, h3 = 700 mm. 
 
a) Determinar PA - PB em Pascal. 
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29) Na Figura o tubo contém ar, o líquido manométrico é água, h1 = 500 mm e h2 = 200 
mm. A pressão em A, é em Pascal. Considere Pressão Efetiva. 
 
a ) 10,14 m água abs. 
b ) 0,2 m água vácuo 
c ) 0,2 m água 
d ) 4905 Pa 
e ) – 4905 Pa 
 
 
 
30) Na Figura: h1 = 1,5 ft, h2 = 1,0 ft, h3 = 2,0 ft,d1 = 1,0, d2 = 3,0, d3 = 1,0. Logo, PA - 
PB em KPa. 
 
a ) - 10,5 
b ) 6,25 
c ) 10,5 
d ) - 3,05 
e ) nenhuma das respostas anteriores 
 
 
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31) Determinar as alturas das colunas de água; querosene, d = 0,93, e acetileno tetra bromado 
d = 2,94, equivalentes a 800 mm Hg. 
 
32) Qual é a pressão num ponto 07 m abaixo da superfície livre de um fluido cuja massa 
especifica, em quilograma por metro cúbico, varia segundo a lei ρ = b + ah, onde a = 22 
kg/m4, b = 550 kg/m3 e h é a distância, em metros, medida a partir da superfície livre? 
 
33) Determinar o valor da pressão de 640 mmHg em psi e kgf/cm2 na escala efetiva e 
em kgf/m2 e atm na escala absoluta. ( patm = 10.330 kgf/m2 ) 
 
34) A Figura mostra, esquematicamente, uma prensa hidráulica. Os dois êmbolos tem 
respectivamente as áreas A1 = 30 cm2 e A2 = 300 cm2. Se aplicarmos uma força de 20 
kgf no embolo (1), qual será a força transmitida em (2)? 
 
 
 
35) Se o bloco de ferro no reservatório da figura repousa sem atrito com as paredes, calcular 
as pressões ( kgf/m2 ) que será indicada pelos manômetros metálicos. dFerro = 7,86; 
dÓleo = 0,90; Considere PEFETIVA! 
 
 
 
36) Dado o esquema da Figura abaixo: Fluidos: Ar, Óleo ( d=0,8 ) e Água. 
 
a ) Qual a leitura no manômetro metálico – PM ( kgf/m2 ) ? Considere PEFETIVA! 
b ) Qual a força que age sobre o topo do reservatório? ATopo 10,0 m2 . h em cm 
 
 
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37) No manômetro da Figura o fluido A é água e o B mercúrio. Qual a pressão P1 ( kgf/m2 ) ? 
Pressão Efetiva. 
 
 
 
38) No manômetro diferencial da Figura o fluido A é água, B é óleo (d=0,8) e o fluido 
manométrico é mercúrio. Sendo h1 = 55 cm, h2 = 150 cm, h3 = 90 cm e h4 = 60 cm, qual 
a diferença de pressão Pa- Pb ( kgf/m2 ). 
 
 
 
39) Uma pedra pesa 50 kg no ar e quando imersa na água pesa 55 kg. Determinar o volume 
de pedra e sua densidade. 
 
CAPITULO 4 
 
40) Um tanque com volume de 0,50 m3 contém ar a pressão de 1500 kPa (absoluta ) e T = 15 
°C no tempo t=0, o ar escapa através de uma válvula, saindo com velocidade V = 570 
m/s e uma massa específica ( ρ = 9,39 kg/m3 ) através da área de escoamento-válvula 
(A = 800 mm2). Calcular a vazão de variação de massa específica do ar (taxa de variação 
instantânea) no tanque no tempo t = 0. 
 
Obs: As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes. 
 
 
 
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41) Um fluido com massa especifica de 7.140 kg/m3 está escoando em regime permanente 
através da caixa retangular mostrado na figura abaixo. 
 
Dados: 
A1 = 1,7 m2; A2 = 0,05 m2; A3 = 3 m2; V1 = - 7 i m/s;V2 = + 6 j m/s. 
 
Determine a velocidade 3. (decompor) 
 
 
 
42) Considere um escoamento permanente, incompressível, através da figura abaixo. 
Determine a vazão volumétrica através da abertura 3. E o vetor velocidade em î e j. Fluído 
água. 
 
Dados: 
A1 = 5,0 m2; A2 = 2,0 m2;A3 = 0,5 m2; V1 = 35,0 m/s; V2 = 90,0 m/s. 
 
 
 
43) Um tanque cilíndrico de diâmetro de 600 mmdrena através de uma abertura d = 40 mm no 
fundo do tanque. A velocidade do líquido deixando o tanque pode ser aproximadamente 
expressa por V = �2gh, onde y é a altura do fundo do tanque até a superfície livre. Se o 
tanque está inicialmente cheio, com água até uma profundidade y0 = 3,9 m. Determinar a 
profundidade da água no tempo t = 30 seg. 
 
 
 
44) Para as condições do problema 43, determine o tempo requerido para drenar o tanque 
completamente. 
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 Página 57 
45) A Figura ilustra um sistema de drenos para irrigação. Calcule a velocidade de saída em 
relação ao raio. Considere um regime permanente, a vazão de entrada é Q. 
 
 
 
46) Quando 4800 l/min escoam através de um tubo de 400 mm de diâmetro, que mais tarde é 
reduzido para 200 mm, quais serão as velocidades nos dois tubos? 
 
47) Se a velocidade em um tubo de 450 mm de diâmetro é de 0,5 m/s,qual será a velocidade 
em um jato de 60 mm de diâmetro saindo de um bocal fixado ao tubo? 
 
48) No tubo da Figura abaixo determinar a vazão em volume e a velocidade na seção (2) 
sabendo-se que o fluido é água e que A1 = 20 cm2 e A2 = 7 cm2. V1 = 1,0 m/s (entra). 
 
 
 
49) Na seção 1 de um conduto pelo qual escoa água, a velocidade é 9 ft/s e o diâmetro é 9 ft. 
Este mesmo escoamento passa pela seção 2 onde o diâmetro é 9 ft. Determinar a vazão e a 
velocidade na seção 2. 
 
50) A equação da continuidade pode ser escrita na forma: 
 
a) Q = ρ. A. V 
b) ρ1.A1 = ρ2.A2 
c) p1.A1.V1 = p2.A2.V2 
d) V.p = 0 
e) A1.V1 = A2.V2 
 
51) A velocidade média da água que escoa por um conduto de 24 in é 10 ft/s. A vazão que 
escoa no conduto, em pés cúbicos por segundo, é: 
 
a) 7,85 
b) 31,42 
c) 40 
d) 125,68 
e) nenhuma das respostas anteriores 
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G A B A R I T O 
 
LISTA / Revisado em 2017. 
 
17) γ = 866,67 Kg/m3 ; ρ = 866,67 Kg/m3 ; d = 0,8667 
18) h óleo = 81,05 m h água = 77,00 m 
19) PA = 10.084,68 Pa ( Pefetiva ) 
20) d = 36,0 
21) h = 2,14 m 
22) PA = - 5.886 Pa PB = 5.886 Pa PC=PB PD = 22.661,1 Pa 
23) PA = 5.583,68 kgf/m
2 ; FA = 99,39 Kg 
24) PA = 140.572,26 Pa ( Pabsoluta ) 
25) PA - Patm = - + -- 
26) PA = 64.832,72 Pa 
27) h / ∆h = 0,967 ( Exercício Resolvido no Fox e Mcdonald, 1988) 
28) PA- PB = - 784,8 Pa 
29) d ( PA = 4905 Pa ) 
30) c 
31) Água = 10,87 mca; Querosene = 11,69 m; Ac. Tet.= 3,70 m 
32) P = 43.056,09 Pa 
33) 0,87 Kg/cm2 ; 12,38 psi ; Pabs = 19.028,95 Kg/m2 ; Pabs = 1,842 atm 
34) F2 = 200 Kgf 
35) P1 = 100.000 Kgf/m
2 ; P2 = 103.930 Kgf/m
2 ; P3 = 130.930 Kgf/m
2 
36) a ) PM = 20 Kgf/m
2 ; b ) 200 Kgf ( Pefetiva ) 
37) P1 = 2.986,10 Kgf/m
2 ( Fluido A é água ) 
38) PA- PB = - 20.230 Kgf/m
2 ( Dado: d óleo= 0,80 ) 
39) Não Cai 
40) δρ / δt = - 8,56 ( kg / m3 / s ) ( Exercício Resolvido no Fox e Mcdonald. 1988) 
41) V3 = 4,07 m/s → Vx = - 3,47 i m/s e Vy= + 2,00 j m/s !!! 
42) V3 = 10,0 m/s → Vx = - 8,66 i m/s e Vy= - 5,00 j m/s !!! Q3 = 5 m
3 / s 
43) y = 2,81m 
44) t = 200,3 seg 
45) V = Q / 2 π e 
46) V1= 0,64 m/s ; V2 = 2,55 m/s 
47) V2 = 28,39 m/s 
48) Q = 0,002 m3/s ; V1 = 2,86 m/s ( Dado: V1 = 1,0 m/s ) 
49) Q = 16,24 m3/s ; V2 = 2,745 m/s 
50) e 
51) b 
 
 
 
 
ENGENHARIA CIVIL, ELÉTRICA, MECÂNICA E PRODUÇÃO 
Faculdades Integradas de Ourinhos 
 
 Página 59 
BIBLIOGRAFIA 
 
• FOX &McDONALD Introdução a mecânica dos fluidos. Editora Guanabara Dois. 3ª 
ed. - Rio de Janeiro, 1988, 645 p. 
 
• MARCIUS F. GIOGETTI. Apostila de fenômenos dos transportes. USP / EESC. 
 
• BENNETT, C. O. & MIERS, J. E. Fenômenos de transporte. Editora McGraw-Hill, 
1978. 
 
• STREETER., V. L. & WYLIE, E. B. Mecânica dos fluídos. Editora McGraw-Hi11, 
7a ed., 1980, 585 p. 
 
• KREITH. Princípio de transmissão de calor 
 
• GILES, R.V. ; EVETT, J. B. ; LIU, C. Mecânica de fluidos e hidráulica. 2a ed., São 
Paulo. MAKRON Books, Coleção Schaum. 1996.