Fenomenos_dos_Transportes

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Fisiologia 
1 
Fenômenos dos Transportes 
André Felipe da Silva de Oliveira 
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Fenômenos dos Transportes 
2 
 
DIREÇÃO SUPERIOR 
Chanceler Joaquim de Oliveira 
Reitora Marlene Salgado de Oliveira 
Presidente da Mantenedora Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Planejamento e Finanças Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Organização e Desenvolvimento Jefferson Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor Administrativo Wallace Salgado de Oliveira 
Pró-Reitora Acadêmica Jaina dos Santos Mello Ferreira 
Pró-Reitor de Extensão Manuel de Souza Esteves 
 
DEPARTAMENTO DE ENSINO A DISTÂNCIA 
Gerência Nacional do EAD Bruno Mello Ferreira 
Gestor Acadêmico Diogo Pereira da Silva 
 
FICHA TÉCNICA 
Texto: André Felipe da Silva Oliveira 
Revisão Ortográfica: Rafael Dias de Carvalho Moraes 
Projeto Gráfico e Editoração: Antonia Machado, Eduardo Bordoni, Fabrício Ramos e Victor Narciso 
Supervisão de Materiais Instrucionais: Antonia Machado 
Ilustração: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
Capa: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
 
COORDENAÇÃO GERAL: 
Departamento de Ensino a Distância 
Rua Marechal Deodoro 217, Centro, Niterói, RJ, CEP 24020-420 www.universo.edu.br 
 
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universo – Campus Niterói 
 
O48f Oliveira, André Felipe da Silva de. 
Fenômenos dos transportes / André Felipe da Silva de 
Oliveira ; revisão de Rafael Dias de Carvalho Moraes. – 1. ed. 
– Niterói, RJ: UNIVERSO: Departamento de Ensino a 
Distância, 2017. 
148 p. : il. 
 
1. Engenharia mecânica. 2. Teoria do transporte. 3. 
Mecânica dos fluidos. 4. Dinâmica dos fluidos. 5. 
Cinemática. 6. Perda de carga. 7. Calor - Transmissão. 8. 
Ensino à distância. I. Moraes, Rafael Dias de Carvalho. II. 
Título. 
CDD 620.1 
 
Bibliotecária: Elizabeth Franco Martins – CRB 7/4990 
 
Informamos que é de única e exclusiva responsabilidade do autor a originalidade desta obra, não se r esponsabilizando a ASOEC 
pelo conteúdo do texto formulado. 
© Departamento de Ensi no a Dist ância - Universidade Salgado de Oliveira 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, arquivada ou transmitida de nenhuma forma 
ou por nenhum meio sem permissão expressa e por escrito da Associação Salgado de Oliveira de Educação e Cultura, mantenedor a 
da Univer sidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO). 
Fenômenos dos Transportes 
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P alavr a da Reit or a 
 
Acompanhando as necessidades de um mundo cada vez mais complexo, 
exigente e necessitado de aprendizagem contínua, a Universidade Salgado de 
Oliveira (UNIVERSO) apresenta a UNIVERSO EAD, que reúne os diferentes 
segmentos do ensino a distância na universidade. Nosso programa foi 
desenvolvido segundo as diretrizes do MEC e baseado em experiências do gênero 
bem-sucedidas mundialmente. 
São inúmeras as vantagens de se estudar a distância e somente por meio 
dessa modalidade de ensino são sanadas as dificuldades de tempo e espaço 
presentes nos dias de hoje. O aluno tem a possibilidade de administrar seu próprio 
tempo e gerenciar seu estudo de acordo com sua disponibilidade, tornando-se 
responsável pela própria aprendizagem. 
O ensino a distância complementa os estudos presenciais à medida que 
permite que alunos e professores, fisicamente distanciados, possam estar a todo 
momento ligados por ferramentas de interação presentes na Internet através de 
nossa plataforma. 
Além disso, nosso material didático foi desenvolvido por professores 
especializados nessa modalidade de ensino, em que a clareza e objetividade são 
fundamentais para a perfeita compreensão dos conteúdos. 
A UNIVERSO tem uma história de sucesso no que diz respeito à educação a 
distância. Nossa experiência nos remete ao final da década de 80, com o bem-
sucedido projeto Novo Saber. Hoje, oferece uma estrutura em constante processo 
de atualização, ampliando as possibilidades de acesso a cursos de atualização, 
graduação ou pós-graduação. 
Reafirmando seu compromisso com a excelência no ensino e compartilhando 
as novas tendências em educação, a UNIVERSO convida seu alunado a conhecer o 
programa e usufruir das vantagens que o estudar a distância proporciona. 
Seja bem-vindo à UNIVERSO EAD! 
Professora Marlene Salgado de Oliveira 
Reitora. 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Fenômenos dos Transportes 
 
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Sumário 
 
Apresentação da disciplina ............................................................................................. 07 
Plano da disciplina ............................................................................................................ 09 
Unidade 1 – Introdução aos Fenômenos de Transporte ......................................... 11 
Unidade 2 – Propriedades e Grandezas Medidas em um Fluido ........................... 23 
Unidade 3 – Fluidoestática ............................................................................................. 47 
Unidade 4 – Cinemática dos fluidos ............................................................................. 67 
Unidade 5 – Perdas de Carga.......................................................................................... 93 
Unidade 6 – Transferência de Calor .............................................................................. 109 
Considerações finais ......................................................................................................... 141 
Conhecendo o autor ........................................................................................................ 142 
Referências .......................................................................................................................... 143 
Anexos.................................................................................................................................. 145 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Fenômenos dos Transportes 
 
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Apresentação da disciplina 
 
O termo fenômenos de transporte refere-se ao estudo sistemático e unificado 
da transferência de momentum (ou quantidade de movimento), energia e matéria. 
O estudo desta disciplina é de fundamental importância para os estudantes 
das engenharias. Pois os fenômenos de transferência de energia e matéria nos 
envolvem a todo instante. Desde os mais simples equipamentos utilizados em uma 
cozinha doméstica até os equipamentos de transporte mais sofisticados da NASA. 
Em todos eles estão presentes os estudos dos fenômenos de transporte. 
Conhecer e aprender a aplicar a teoria que envolve os fenômenos de 
transporte é o objetivo principal deste material. 
Buscamos aqui, trazer de maneira mais simplificada possível a modelagem 
matemática que envolve estes fenômenos, sem desprezar a complexidade que dos 
mesmos. Iniciamos os estudos a partir dos fluidos estáticos, passando para a 
análise da dinâmica dos mesmos e finalmente abordamos os mecanismos de 
transferência de energia em forma de calor. 
Estamos certos de que o estudo aqui presente é ao mesmo tempo desafiador e 
instigante. E que certamente acrescentará grande valor à sua formação acadêmica. 
 
Bons estudos! 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Fenômenos dos Transportes 
 
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Plano da Disciplina 
 
Caro aluno, 
Continuaremos os estudos dos Fenômenos de Transporte, com o objetivo de 
desenvolver o espírito científico e o raciocínio lógico. Para que você possa 
compreender e interpretar, teórica e praticamente, os fenômenos físicos. Com a 
finalidade de facilitar a compreensão segue uma síntese de cada unidade, 
ressaltando seus objetivos específicos para que você possa ter uma visão ampla do 
conteúdo que irá estudar. 
Vejamos, então, o conteúdo programático, bem como seus objetivos 
específicos: 
Unidade 1 - Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Nesta primeira unidade, faremos uma introdução aos fenômenos de 
transporte apresentando também asunidades de medida utilizadas na 
modelagem que será apresentada nas unidades seguintes. 
Unidade 2 - Propriedades e grandezas medidas em um fluido 
Nesta unidade, buscamos trazer as definições das principais grandezas 
utilizadas nos estudo de fluidos. Buscaremos compreender as definições de 
pressão, tensão, massa específica, peso específico e viscosidade em fluidos. 
Unidade 3 - Fluidoestática 
Nesta unidade, estudaremos o caso particular de fluidos em equilíbrio, 
analisaremos a atuação de forças sobre um volume de fluido e apresentaremos 
algumas equações importantes para a análise de problemas nestas condições. 
Unidade 4 - Cinemática dos fluidos 
Nesta unidade, abordaremos conceitos e formulações matemáticas 
importantes para a descrição do movimento de fluidos. Para isso, faremos a 
classificação de alguns tipos de escoamento e analisaremos a importância da 
conservação de algumas grandezas como massa, energia e momento para a 
Fenômenos dos Transportes 
 
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descrição de movimento dos fluidos. Após esta análise, veremos algumas 
simplificações e aplicações destas equações como a equação de Bernoulli e o 
estudo do fenômeno de Venturi. 
Unidade 5 - Perdas de Carga 
Nesta unidade, veremos como é possível aproximar melhor a modelagem 
matemática de um escoamento. Calcularemos as perdas de carga geradas por 
fricção e perda de carga em tubulações, assim como as perdas ou acréscimo de 
cargas geradas por máquinas. 
Unidade 6 - Transferência de Calor 
Nesta unidade, serão abordados os mecanismos de transferência de calor. 
Estudaremos a modelagem do problema de condução de calor em paredes 
planas e cilíndricas, de camada única ou de camadas múltiplas. Estudaremos o 
efeito da associação em série a paralelo destas paredes no cálculo do fluxo de calor. 
Veremos como aplicar a lei do resfriamento de Newton para abordar 
problemas de convecção. E finalmente estudaremos o fenômeno de radiação, e a 
aplicação da equação de Stefan-Boltmann para o cálculo de fluxo de calor em 
corpos que liberam energia por meio da radiação. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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1 Introdução aos Fenômenos de Transporte 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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A expressão fenômenos de transporte refere-se ao estudo sistemático e 
unificado da transferência de momento (mecânica dos fluidos), energia 
(transferência de calor) e matéria (transferência de massa). 
O transporte (transferência) destas grandezas e a construção de seus modelos 
possuem analogias, tanto físicas como matemáticas, de tal forma que a análise 
matemática empregada é praticamente a mesma. Nesta disciplina, estudaremos 
estas semelhanças e por meio de equações simples, abordaremos problemas 
práticos em mecânica de fluidos e transferência de calor. 
Nesta primeira unidade, analizaremos as diferenças entre sólidos e fluidos, 
passando pela definição de fluido e formas de descrever o movimento destes 
fluidos. 
Ao final, verificaremos as unidades de medidas comumente utilizadas nos 
estudos de mecânica de fluidos. 
 
Objetivos da unidade: 
 Compreender a diferença entre fluidos e sólidos; 
 Conhecer algumas aplicações da mecânica de fluidos; 
 Entender as bases das formulações matemáticas em problemas de 
mecânica de fluidos; 
 Compreender o conceito de volume de controle e sistema na mecânica 
de fluidos; 
 Entender as unidades de medidas utilizadas no Sistema Internacional e 
saber como realizar conversões entre sistemas de unidades diferentes. 
 
Plano da unidade: 
 Definição de fluido 
 Método de análise 
 Dimensões e unidades 
 Medidas e Unidades 
 
Bons estudos! 
Fenômenos dos Transportes 
 
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A mecânica dos fluidos é a ciência que tem por objetivo o estudo do 
comportamento físico dos fluidos em estado de repouso ou movimento e das leis 
que regem estes comportamentos. 
Quando se analisa o comportamento de um fluido em repouso, trabalha-se 
em uma subdivisão chamada estática dos fluidos. Quando se trata um fluido em 
movimento, utilizam-se conceitos e metodologias que compreendem a dinâmica 
dos fluidos. 
 
A mecânica dos fluidos pode ser aplicada nos seguintes tipos de problemas: 
- Ação de fluidos sobre superfícies submersas. 
Ex.: barragens, tanques e piscinas. 
- Equilíbrio de corpos flutuantes. 
Ex.: embarcações. 
- Estudo de lubrificações. 
Ex.: lubrificação de motores, engrenagens, máquinas. 
- Transporte de sólidos por via pneumática ou hidráulica. 
Ex.: elevadores. 
- Cálculo de instalações hidráulicas. 
Ex.: bombas, turbinas, perda de carga em tubulações prediais. 
- Instalações de vapor. 
Ex.: caldeiras. 
- Ação de fluidos sobre veículos e aeronaves (aerodinâmica). 
 
Definição de fluido 
Diferentemente dos sólidos que resistem à deformação, um fluido é aquela 
substância que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de 
cisalhamento. Apresenta a capacidade de fluir facilmente, e consequentemente 
tomar a forma do recipiente que o contém, como consequência da incapacidade 
de suportar as tensões de cisalhamento quando em equilíbrio estático. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Os fluidos tendem a escoar (ou fluir) e os sólidos tendem a se deformar ou 
dobrar quando interagimos com eles. 
Os fluidos compreendem as fases líquidas e gasosas (ou de vapor) da matéria. 
A diferença entre um fluido e um sólido é clara quando comparada a seus 
comportamentos. Um sólido deforma-se quando uma tensão de cisalhamento lhe 
é aplicada, e a sua deformação não aumenta continuamente com o tempo como 
ocorre com os fluidos. 
 
Método de análise 
Para analisarmos um problema de mecânica dos fluidos, é necessário avaliar a 
conservação de algumas quantidades físicas como massa, momento angular e 
energia. E cada uma destas grandezas pode ser avaliada através das seguintes 
equações: 
- Equação da conservação da massa; 
- Segunda lei do movimento de Newton; 
- Princípio da quantidade angular; 
- Primeira lei da termodinâmica; 
- Segunda lei da termodinâmica. 
 
Para um fluido não estático, como se pode descrever matematicamente o seu 
movimento? 
Uma primeira possibilidade seria subdividir todo o fluido em elementos 
suficientemente pequenos para que possam ser tratados como partículas. E depois 
se descreveria o movimento de cada uma destas partículas. 
A posição destas partículas seria definida por um vetor posição r0 num dado 
instante de tempo t0. Logo, num instante posterior t1, a posição da partícula seria r1 = 
r1(t1, r0, t0), que é função do tempo atual (t1), da posição e tempo iniciais (r0e t0). Desta 
forma, a posição da partícula varia como função do tempo e da posição inicial. 
Se conseguirmos calcular a posição r de cada partícula do fluido em função do 
tempo teremos a descrição completa do movimento do fluido. Este método devido 
Fenômenos dos Transportes 
 
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a Lagrange é de difícil utilização e não muito empregado, devido ao grande 
número de variáveis envolvidas. 
Um outro método interessante, devido a Leonhard Paul Euler, torna a análise 
de escoamento mais simples. Este método propõe que sejam fixados pontos r 
distribuídos no volume de escoamento e em cada um destes seja medida a 
velocidade em cada instante de tempo. Assim, temos a velocidade como função da 
posição e do tempo. 
v = v(r, t) 
Fica assim definido também, um campo vetorial (campo de velocidades) 
através da associação de um valor de velocidade para cada ponto do volume de 
controle. 
Volume de controle 
Volume de controle é um volume arbitrário dentro do espaço em que o fluido 
ocupa. As fronteiras deste volume formam a superfície de controle que envolve e 
define todo o volume do sistema em estudo. 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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São nestes volumes de controle que as equações citadas anteriormente são 
avaliadas, juntamente com outras relações adicionais, como equações de estado 
ou constitutivas, para que possam descrever o comportamento das propriedadesfísicas do fluido em determinadas condições. 
É importante saber, que as fronteiras do sistema podem ser fixas ou móveis, e 
que a massa contida neste sistema é sempre conservada (permanece a mesma). 
De maneira similar às análises feitas sobre problemas com corpos rígidos, 
onde é necessário definir um diagrama de corpo livre, que mostra as forças 
atuando sobre o corpo, aqui na mecânica de fluidos, é necessário começar definir 
muito cuidadosamente um volume de controle, que terá papel muito importante 
na formulação matemática dos problemas em estudo. 
 
Exemplo de especificação de um volume de controle: 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Dimensões e unidades 
As quantidades físicas primárias que conhecemos, como comprimento (L), 
tempo (t), massa (M) e Temperatura (T) são dimensões de um tipo de problema, e 
que recebem um nome específico (unidade de medida). 
Ex 1. A dimensão primária de tempo pode ser medida em unidades de 
segundos (s), minutos (min) ou horas (h). 
Ex 2. A dimensão primária de comprimento pode ser medida em unidades 
de metros (m) e seus múltiplos: centímetros (cm), milímetros (mm), quilômetros 
(Km) etc. 
Medidas e Unidades 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) foi adotado em 1960, na 10ª 
Conferência Internacional de Pesos e Medidas, sendo constituído de sete unidades 
de dimensões primárias. 
SI 
Dimensão Unidade Símbolo 
tempo segundos s 
comprimento metro m 
massa quilograma kg 
temperatura termodinâmica Kelvin K 
intensidade luminosa candela cd 
corrente elétrica ampère A 
quantidade de substância mole mol 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Neste sistema, a grandeza secundária Força, é medida em Newton (N) 
1 N = 1 Kg.m/s2 (secundária) 
Além do sistema internacional de medidas, temos outros também utilizados 
nas ciências e engenharias, como o Sistema de Unidades Métrico Absoluto (CGS), o 
Sistema de Unidades Gravitacional Britânico e o Sistema de Unidades Inglês 
Técnico ou de Engenharia, que são mostrados nas tabelas que seguem. 
CGS 
Dimensão Unidade Símbolo 
tempo segundo s 
comprimento centímetro cm 
massa grama g 
temperatura termodinâmica Kelvin K 
 
Desta forma, a grandeza Força, é medida pela unidade dina (dyn) 
1 dyn = 1 g.cm/s2 (secundária) 
 
Sistema de Unidades Gravitacional Britânico 
Dimensão Unidade Símbolo 
tempo segundo s 
comprimento pé ft 
massa slug slug 
temperatura 
termodinâmica 
Rankine R 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Força é medida pela unidade libra-força (lbf) 
1 lbf = 1 slug.ft/s2 (secundária) 
 
Sistema de Unidades Inglês Técnico ou de Engenharia 
Dimensão Unidade Símbolo 
tempo segundo s 
comprimento pé ft 
massa libra-massa lbm 
temperatura termodinâmica Rankine R 
 
Assim, a força é dada por libra-força (lbf) 
1 slug = 32,2 lbm 
 
Conversão das unidades de medida 
Exemplo: 
Um reservatório com capacidade de 2,5 × 103 m3 é alimentado segundo a 
vazão de 50 L/s. Determine o tempo necessário para o enchimento completo do 
reservatório em horas, minutos e segundos. 
Solução: 
O volume total do reservatório é 2500 m3 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Sabendo que 1 m3 corresponde a 1000 L, temos que 
2500 m3 = 2500 x 103 L 
Como a vazão é de 50 L/s, dividimos o volume total em litros pela vazão, 
encontrando um total de 50000 s para o tempo de enchimento. 
Sabendo que 1 hora corresponde a 3600 s, por meio de uma regra de três 
simples, obtemos o valor de 13,8888888 horas. 
 
E 0,88888888 horas corresponde a 53,33333333 minutos. 
e 0,33333333 minutos corresponde a 20 segundos. 
 
Assim, o tempo total para enchimento do reservatório será de 13h53min20s 
 
Leitura complementar: 
-FOX, R.W.; MCDONALD, A. T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 5. ed. 
LTC, Rio de Janeiro, 2001. 
- SEARS, F.W. Física. LTC, Rio de Janeiro, 1999. 
 
 
É hora de se avaliar 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Exercícios - Unidade 1 
 
1.Um tanque cilíndrico de 6 m de diâmetro e 18 m de altura está 
completamente cheio de água (massa específica = 1000 Kg/m3). Calcule o peso da 
massa de água contida no tanque, considerando a aceleração da gravidade igual a 
10 m/s2 e utilizando as unidades do sistema internacional. 
 
2.Sobre o problema anterior, qual é a massa de água contida no tanque em 
gramas (g)? 
 
3.Ainda sobre o problema anterior, escreva a massa específica do fluido em 
g/cm3 . 
 
4.Para calibrar os pneus de um automóvel, seu manual recomenda a pressão 
de 32 psi (32 libras /pol2). Chegando ao posto de abastecimento, o proprietário do 
veículo constata que o manômetro do compressor de ar registra as pressões em 
MPa (MegaPascal). Que pressão deve ser utilizada? 
Considere 1 Psi = 6 894.75729 Pascals 
 
5.Considere o tanque do problema 1 sendo enchido a uma vazão de entrada 5 
L/s. Quanto tempo é necessário para que o tanque esteja completo (Escreva o 
tempo no formato H:min:s)? 
 
6. Um pequeno tanque de aço tem o formato de um paralelepípedo 
retangular, de largura 50 cm, comprimento 32 cm e altura 25 cm. Para encher 3/4 
dele com água, quantos litros de água serão usados? 
 
7. Um depósito cujo volume era de 8,6 m³ estava cheio de água. Por um cano 
vazaram 4000 litros. Quantos litros ainda há no tanque? 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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8. Segundo o Sistema Internacional de Unidades (SI), os nomes dos múltiplos e 
submúltiplos de uma unidade são formados mediante os seguintes prefixos: Assim, 
por exemplo, se a unidade de medida é o metro (m), temos: 30 nm (nanômetros) = 
30 × 10−9 m (metros). Com base nessas informações, se a unidade de medida é o 
litro (l), então a expressão 
, 	 ℓ . , ℓ 				, ℓ é equivalente a _________________ 
Fator Pelo qual a 
unidade é multiplicada 
Prefixo Símbolo 
1 000 000 000 000 = 1012 Tera T 
1 000 000 000 = 109 Giga G 
1 000 000 = 106 Mega M 
1 000 = 103 Quilo k 
100 =102 Hecto h 
10 = 101 Deca da 
0,1 = 10-1 Deci d 
0,01 = 10-2 Centi c 
0,001 = 10-3 Mili m 
0,000 001 = 10-6 Micro 
0,000 000 001 = 10-9 Nano n 
0,000 000 000 001 = 10-12 Pico p 
 
9. Às 8 horas e 45 minutos de certo dia, foi aberta uma torneira, com a 
finalidade de encher de água um tanque vazio. Sabe-se que:– o volume interno do 
tanque é 2,5 m3;– a torneira despejou água no tanque a uma vazão constante de 
2L/min e só foi fechada quando o tanque estava completamente cheio. Nessas 
condições, a torneira foi fechada que horas? 
 
10. Uma sala tem o formato aproximado de dois paralelepípedos grudados. 
Um destes tem largura de 4 metros e comprimento de 3 metros, e o outro tem 
largura e comprimento iguais, de 2 metros. A altura da sala é de 2,5 metros. Deseja-
se comprar um ar condicionado para resfriar esta sala, e cada ar condicionado 
indica o volume, em litros, que ele consegue refrigerar. Então, é preciso comprar o 
menor ar condicionado, dentre aqueles que têm capacidade de resfriar esta sala. 
Das opções abaixo, qual é a mais indicada? 
a) 5.000 L 
b) 10.000 L 
c) 20.000 L 
d) 50.000 L 
e) 100.000 L 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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2 Propriedades e Grandezas Medidas em um Fluido 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Para avaliar o escoamento de um fluido, além de definir o volume a ser 
estudado, conforme explicado na unidade anterior, é fundamental medir algumas 
propriedades que ajudam a caracterizar o estado deste fluido. 
 
Objetivo da unidade: 
 
 Compreender as definições de pressão, tensão, massa específica, peso 
específico e viscosidade em fluidos. 
 
Plano da unidade: 
 Pressão 
 Tensões em um fluido 
 Massa especifica 
 Peso específico 
 Campo de velocidades 
 Viscosidade 
 
 
Bons estudos! 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Pressão 
 
Os fluidos quase sempre se caracterizam porterem suas moléculas fracamente 
ligadas, proporcionando uma considerável mobilidade destas. 
Em um líquido, como a água, por exemplo, o volume é pouco sensível às 
variações de pressão (fluido incompressível); em um gás, ao contrário, o volume 
varia bastante com a pressão aplicada sobre ele (fluido compressível). 
Para entendermos um pouco melhor, considere um recipiente cilíndrico cheio 
de água e fechado por meio de um êmbolo, conforme a figura 1. A água contida no 
interior do cilindro não permite que o êmbolo desça. Ainda que seja exercida uma 
força F qualquer sobre este sistema, o volume ocupado pela água permanece o 
mesmo. 
 
 
Ao contrário, se preenchemos o mesmo recipiente com um gás e aplicamos a 
mesma força F sobre o pistão, o gás é comprimido e seu volume diminui. E isso 
acontece porque as moléculas de um gás encontram-se livres, ocupando todo o 
espaço que as contém, e quando este espaço é reduzido, as moléculas do gás 
tendem a se aproximar, aumentando o valor de uma grandeza que chamamos 
pressão. 
Na explicação deste sistema, citamos três importantes grandezas físicas que 
serão muito usadas no estudo dos fenômenos de transporte. Força, volume e 
pressão. 
Fenômenos dos Transportes 
 
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A força é o agente físico capaz de alterar o estado de repouso ou movimento 
de um corpo material. Ela é capaz também, de causar deformações na estrutura de 
corpos sólidos. 
Por sua definição, uma força pode ser escrita matematicamente como F = m a. 
E sabendo que no Sistema Internacional de medidas (SI) massa é medida em Kg 
(Quilograma) e aceleração em m/s2(metro por segundo ao quadrado), a unidade 
de Força é dada pela multiplicação ( Kg * m/s2), que leva o nome de Newton (N). 
Logo, 	 	 	 	 ( Um Newton é igual a um quilograma metro por segundo ao 
quadrado ) 
O volume, por sua vez, é uma grandeza que expressa a magnitude da extensão 
de um corpo, ou seja, o espaço que este corpo ocupa num sistema de referência. E 
como extensão das definições de comprimento e área, o volume é medido no 
sistema Internacional pela unidade m3 (m*m*m) que corresponde a uma 
capacidade de 1000 L (litros). 
1m3 = 1000 L 
A pressão é uma grandeza muito importante no estudo de fluidos e deve ser 
entendida conforme a sua definição: 
P = F/A (pressão é igual à Força dividido pela área). 
Observemos o seguinte exemplo: 
Ao pressionarmos um lápis entre as duas mãos abertas, a terceira lei de 
Newton (Lei de ação e reação), nos diz que a força aplicada a uma extremidade do 
lápis tem o mesmo valor que a força que o lápis aplica na outra mão. Contudo, é 
fácil perceber, que a mão que está em contato com a ponta do lápis sofre mais com 
a ação da força aplicada. 
Neste caso, o que percebemos, é a ação de uma pressão maior neste lado que 
possui a ponta, visto que a área de contato é bastante menor se comparada à área 
do lado sem ponta. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Veja: 
P > p (pressão nas extremidades) , A > a (áreas de contato) 
 
 
Sabendo que no sistema internacional de medidas a força é medida em 
Newton (N) e a área em m2 (metro quadrado), damos a esta grandeza derivada 
(N/m2), o nome de Pascal (Pa), que é a unidade de pressão do Sistema 
Internacional de medidas. 
Ou seja, 
1 Pa = 1 N / m2 ( Um Pascal é igual a um Newton por metro quadrado ). 
Observe no quadro abaixo outras unidades de pressão utilizadas no mundo e 
as relações de conversão entre estas. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Tabela de conversão de escalas de pressão 
 Pascal Bar atmosfera 
padrão 
libra por polegada 
quadrada 
(Pa) (bar) (atm) (psi) 
1 Pa ≡ 1 N/m2 10−5 9.8692×10−6 1.450377×10−4 
1 bar 105 ≡ 100 kPa 
≡ 106 dyn/cm2 
0.98692 14.50377 
1 atm 1.01325×105 1.01325 1 14.69595 
1 psi 6.8948×103 6.8948×10−2 6.8046×10−2 ≡ 1 lbF /in2 
 
 
Exemplo: 
Calcule a pressão exercida pelos quatro pneus de um carro que tem massa 
1200 Kg e sabendo que a área de contato de cada pneu com o chão é 204 cm2. 
Considere a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2. 
A área de contato total dos 4 pneus é 
204 cm2 x 4 = 816 cm2 
Que corresponde a 0,0816 m2 
Fenômenos dos Transportes 
 
29 
Então, a pressão exercida nos pneus pode ser calculada pela expressão 
 	 	 
 
onde 	 	 	 	 	 ⋅ 	 	 	 	 ⋅ 	 	 	 	 
 
Logo, 	 	 , 	 . 	 
 
 
Tensões Em Um Fluido 
 
Considerando as forças existentes em um meio material, podemos separar 
estas em dois tipos principais: As forças superficiais e as forças volumétricas. 
As forças superficiais são aquelas que atuam diretamente num elemento de 
superfície do material, podendo gerar tensões de dois tipos: 
● Tensão Normal 
● Tensão Tangencial 
 
As tensões normais são aquelas aplicadas perpendicularmente ao elemento de 
superfície, e quando apontam para o interior do elemento chamam-se “tensões 
normais de compressão” (pressão); e quando apontam para fora do elemento de 
superfície são chamadas de “tensões normais de tração” (figura 3). 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
30 
 
As tensões tangenciais, como o nome diz, têm direção tangente às superfícies 
de contato, e por isso tendem a produzir um deslizamento entre os elementos de 
fluido. É sobre estas tensões tangenciais que está a principal diferença entre sólidos 
e fluidos. 
Os corpos sólidos, quando são submetidos a forças externas tangenciais, 
tendem a equilibrar estas com as tensões tangenciais internas ao corpo. Isto faz 
que eles sofram uma deformação que aumenta conforme a intensidade da força 
externa aplicada. Já os líquidos, não conseguem equilibrar essas forças externas. 
Ainda que sejam pequenas, estas fazem o fluido escoar e permanecer em 
movimento até que a força seja cesse. 
Desta forma, uma força pequena pode gerar uma grande deformação ou 
deslocamento num fluido, desde que atue sobre este por longo tempo, e isso 
dependerá da viscosidade do fluido, que é uma medida da resistência que o fluido 
oferece no deslizamento entre camadas adjacentes. 
Podemos dizer que um fluido está em equilíbrio, quando o mesmo tem 
velocidade nula. Ou seja, não está sob ação de tensões tangenciais. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
31 
 
Massa específica 
 
Uma propriedade importante em qualquer meio material é a massa específica, 
que também é conhecida nos sólidos como densidade. Essa grandeza fornece a 
quantidade de massa por unidade de volume (no SI a sua unidade é Kg/m3) e é 
comumente representada pela letra grega ⍴ (rô). A massa específica pode variar 
ponto a ponto em um meio material ou ser constante em todo o meio. Quando 
isso ocorre, dizemos que o meio é homogêneo, e podemos escrever 
matematicamente através da seguinte razão: 
 
 
 
Apesar da unidade de massa específica no SI ser Kg/m3, também é bastante 
utilizada a relação g/cm3 para medir a mesma. A relação entre estas é a seguinte: 
1 g/cm3 = 1000 Kg/m3 
Na tabela 1, são mostrados alguns valores de massa específica de materiais 
conhecidos. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
32 
 
Tabela 1 - Densidade de alguns elementos mais conhecidos 
Líquidos Sólidos 
Material Densidade 
(g/cm3) 
Material Densidade (g/cm3) 
água a 4 ºC 1.0000 Magnésio 1.7 
água a 20 ºC 0.998 Alumínio 2.7 
Gasolina 0.70 Cobre 8.3-9.0 
Mercúrio 13.6 Ouro 19.3 
Leite 1.03 Aço 7.8 
Gases na CNTP* Chumbo 11.3 
Material Densidade 
(g/cm3) 
Platina 21.4 
Ar 0.001293 Urânio 18.7 
Hidrogênio 0.00009 Ósmio 22.5 
Hélio 0.000178 gelo a 0 ºC 0.92 
CO2 0.001977 
 
*CNTP - condições normais de temperatura e pressão 
Para obter a massa específica em Kg/m3, apenas multiplique por 1000. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
33 
 
Exemplo 1 
 
Determine a massa e o peso do ar no interior de uma sala de aula com uma 
altura de 3,0 m e um piso com uma área de 9,0 m x 5,0 m. Qual seria o valor da 
massa e do peso, caso o volume estivesse preenchido com água? 
 
Na tabela 1, encontramos a massa específica do ar e da água a 20ºC.O volume da sala é 
V = (9,0 m)x(5,0 m)x(3,0 m) = 135 m3 
 
A massa do ar pode ser obtida por: 	 	 	 	 , 	 / ⋅ 	 	 , 	 
Assim, o peso do ar é: 	 	 	 ⋅ 	 	 , 	 ⋅ , 	 / 	 	 , 	 
A massa de água necessária para ocupar o mesmo volume seria: 	 	 	 / ⋅ 	 	 	 , 	 		 
Logo, o peso seria: 	 	 	 ⋅ 	 	 , 	 		 ⋅ , 	 / 	 	 , 	 	 	 
 
que corresponde ao peso de 130 toneladas de água. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
34 
 
Peso específico 
 
Representado pela letra , o peso específico é uma grandeza que representa o 
peso de uma unidade de volume de um fluido. E por isso, é escrito 
matematicamente como: 	 	 	 ⋅ 	 
logo, 	 	 ⋅ 
com unidade de medida 	 	 ⋅ 	 
 
Exemplo: 
Se 5 m3 de uma determinada substância pesa 42 KN, determine o peso 
específico e a massa específica. 
Solução: 
Calculando o peso específico 
	 ⋅ 		 	 	 
Com este resultado podemos encontrar a massa específica apenas dividindo a 
expressão anterior pela aceleração da gravidade (g = 10 m/s2). 
Logo, 	 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
35 
 
Campo de Velocidades 
 
Um fluido é considerado um meio contínuo. Suas moléculas interagem 
continuamente umas com as outras, e não apresentam comportamento de 
partícula. Neste tipo de sistema, a velocidade em qualquer ponto do campo de 
escoamento pode variar de um instante a outro. Assim, a sua representação geral 
pode ser dada como função das dimensões de espaço e tempo. V V x, y, z, t 	ou	 (Escoamento transiente) 
 
O vetor velocidade, pode também ser escrito em termos dos seus três 
componentes escalares. V μı vȷ ωk = Mi; = Ni; = Ômega 
 
Se as propriedades do escoamento não mudam em cada ponto com o passar 
do tempo, dizemos que este é um escoamento permanente ou estacionário. V V x, y, z 	ou	 (Escoamento permanente) 
 
Em termos das dimensões, um escoamento pode ser classificado como 
Unidimensional, Bidimensional e Tridimensional, de acordo com a quantidade de 
coordenadas espaciais necessárias para especificar o campo de velocidade. V V x, y, z, t (Escoamento tridimensional e transiente) 
 V V x, y, z (Escoamento tridimensional e permanente) 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
36 
 
 
Viscosidade 
 
A viscosidade é uma propriedade que representa a capacidade que um fluido 
tem para resistir às tensões de cisalhamento. Ou seja, corresponde ao atrito interno 
entre as moléculas que compõem o fluido. 
A viscosidade mede a resistência de um líquido em fluir, e não está 
diretamente relacionada com a massa específica do líquido, que é uma relação 
massa/volume. Um exemplo claro desta diferença, podemos verificar com o óleo, 
que é mais viscoso do que a água, embora sendo menos denso. 
Tensão de cisalhamento 
 
A Tensão de cisalhamento é definida como a razão entre a componente 
tangencial da força e o módulo da área na qual esta força está sendo aplicada. 
 (1) 
Similarmente à pressão, que é definida como a razão entre a componente 
normal da força e o módulo da área em que esta força é aplicada. 	 (2) 
Fenômenos dos Transportes 
 
37 
 
 
Para compreendermos a formulação matemática da viscosidade, 
consideremos um fluido em repouso entre duas placas planas. 
 
 
A placa superior se desloca pela ação de uma força tangencial Ft 
Esta força gera uma tensão de cisalhamento 
A camada de fluido diretamente em contato com a placa superior adquire a 
mesma velocidade da placa. 
Consequentemente, pelo princípio da aderência, as camadas inferiores vão 
adquirindo velocidades cada vez menores, até que o valor chegue à zero junto à 
placa inferior. 
Esta diferença de velocidades verificada em uma seção normal às placas é que 
gera as tensões de cisalhamento e causa uma deformação contínua no fluido. 
Fenômenos dos Transportes 
 
38 
Por meio desta análise, podemos verificar também, que a tensão de 
cisalhamento é proporcional à variação de velocidade na direção normal às placas. 	 	 (3) 
 
O coeficiente de proporcionalidade que transforma a equação anterior em 
uma igualdade é chamado viscosidade dinâmica ( ) 	 			 (4) ( Lei de Newton da viscosidade) 
Matematicamente, a viscosidade dinâmica é um coeficiente de 
proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade. 
Quando o fluido apresenta uma relação linear entre as tensões de cisalhamento e o 
gradiente de velocidade, eles são classificados como fluidos newtonianos. 
 
Relação linear entre tensão de cisalhamento e gradiente de velocidade 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
39 
 
Essa viscosidade dinâmica depende fortemente da temperatura do fluido, e 
causa grande diferença de comportamento entre líquidos e gases. Nos líquidos, a 
viscosidade diminui com o aumento da temperatura. 
 
Dimensão da viscosidade (SI) 
 
Comparando as equações 1 e 4 	 	 		 	 ⋅ 	 
verificamos que a unidade de medida da viscosidade dinâmica é 
	 	 ⋅ 
Dividindo a viscosidade absoluta, , pela massa específica do fluido, , 
obtemos uma outra quantidade útil, que é a viscosidade cinemática: 	 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
40 
Influência da temperatura na viscosidade dinâmica: 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
41 
 
Nos líquidos, a intensidade das ligações moleculares é a causa dominante da 
viscosidade. Conforme a temperatura de um líquido aumenta, estas forças de 
ligação coesivas diminuem, resultando na diminuição da viscosidade; 
Nos gases, a viscosidade é efeito das colisões aleatórias entre as moléculas do 
gás. E como esta agitação molecular aumenta com a temperatura, a viscosidade 
dos gases também aumenta com a temperatura. 
A viscosidade dos líquidos e gases também varia com a pressão. Mas muito 
pouco dentro de um intervalo de pressão considerável. Assim, costuma-se 
considerar a viscosidade como independente da pressão. 	 	 Viscosidade como função da temperatura 
Fluidos Newtonianos e não Newtonianos 
Como dissemos anteriormente, os fluidos newtonianos são aqueles que 
apresentam uma relação linear entre as tensões de cisalhamento e o gradiente de 
velocidade. Portanto, a viscosidade aparece como um valor constante. 
Já os fluidos não newtonianos apresentam uma viscosidade que não 
apresenta este comportamento regular. Esta pode variar com a força aplicada, e até 
mesmo variar no tempo; gerando um comportamento diferenciado como o das 
misturas heterogêneas como concreto, massa de amido e água etc. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
42 
 
Assim, podemos dizer que fluidos não newtonianos não têm viscosidade 
muito bem definida. 
Figura xxx: Tensão de cisalhamento em alguns tipos de fluido 
 
Fonte:Fox R. W., McDonald A. T. e Pritchard P. J., Introdução à mecânica dos fluidos 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
43 
 
Exemplo 
Um reservatório graduado contém 500 ml de um líquido que pesa 6 N. 
Determine o peso específico e massa específica do líquido ( considerar g=9,8 m/s2 ). 
Solução 	 	 	 	 	 , 	 	 	 , ⁻ 	 	 	 ⋅ 	 	 	, 	 	 / 
 	 	 /, 	 / , 	 / 
 
É hora de se avaliar! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
44 
 
 
Exercícios - Unidade 2 
 
1. A massa específica de um fluido é 610 Kg/m3. Determine o peso específico 
deste fluido. 
 
 
 
 
 
 
2. O peso de 3 dm³ de uma substância é 23,5 N. A viscosidade Cinemáica é de 
10-5 m2/s. Se g = 10 m/s² qual será a viscosidade dinâmica no SI? 
 
 
 
 
 
 
 
3. A Lua possui massa de 7,35 x 1022 Kg e raio igual a 1740 Km. Qual é a sua 
densidade média? 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
45 
 
4. Você compra uma peça retangular de metal com massa de 0,0158 Kg e com 
dimensões 5,0 x 15,0 x 30,0 mm. O vendedor diz que o metal é ouro. Para verificar 
se é verdade você deve calcular a densidade média da peça. Qual o valor obtido? 
 
 
 
 
 
 
5. Um sequestrador exige como resgate um cubode platina com 40,0 Kg. Qual 
é o comprimento da aresta? 
 
 
 
 
 
 
 
6. Para um carro com massa 1650 Kg, qual deverá ser a área de contato de 
cada pneu com o solo, para que haja uma pressão de 8,25 x 104 Pa entre eles? 
Considere a aceleração da gravidade 10 m/s2. 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
46 
7. Um tanque de ar comprimido contém 6 Kg de ar a 80ºC, com peso 
específico de 38,68 N/m3. Determine o volume do tanque. 
 
 
 
 
8. Um reservatório cilíndrico possui diâmetro de base igual a 2m e altura de 
4m, sabendo-se que o mesmo está totalmente preenchido com gasolina (ρ = 720 
kg/m³), determine a massa de gasolina presente no reservatório. 
 
 
 
 
9. Um reservatório cúbico com 2m de aresta está completamente cheio de 
óleo lubrificante (ver propriedaes na Tabela). Determine a massa de óleo quando 
apenas ¾ do tanque estiver ocupado. Dados: γH2O = 10000N/m³, g = 10m/s². 
 
 
 
 
10. Duas placas planas paralelas estão situadas a 3 mm de distância. A placa 
superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto que a inferior está imóvel. 
Considerando que um óleo ( , 	 	 / 		 	 / 	) ocupa o 
espaço entre elas, determine a tensão de cizalhamento que agirá sobre o óleo. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
47 
 
3 Fluidostática 
Fenômenos dos Transportes 
 
48 
 
Nesta unidade, estudaremos o caso particular de fluidos em equilíbrio, 
analisaremos a atuação de forças sobre um volume de fluido e apresentaremos 
algumas equações importantes para a análise de problemas nestas condições. 
 
Objetivo da unidade 
Analisar atuação de forças sobre um volume de fluido; 
Apresentar algumas equações importantes para análise de problemas nestas 
condições. 
 
Plano da unidade: 
 Equações Básicas da Fluidostática 
 Aplicações da equação fundamental da hidrostática 
 Pressões Absoluta e Manométrica 
 Atmosfera Padrão 
 Empuxo Hidrostático em Superfície Submersa 
 
Bons estudos! 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
49 
 
Um fluido está em equilíbrio quando as porções que o compõem estão 
também em equilíbrio. E para que isso aconteça, é necessário que as forças que 
atuam em cada porção do fluido se anulem. 
 
Esta exigência é consequência da 2ª Lei de Newton. Visto que, se houver a 
presença de força resultante não nula, o fluido tenderá ao escoamento. 
Tipos de forças atuantes sobre uma porção de fluido 
 
Forças Volumétricas 
São forças que possuem longo alcance, como a gravidade, que atua em todos 
os elementos do fluido e, portanto, a resultante será sempre proporcional ao 
volume. Um segundo exemplo de força volumétrica é a força elétrica que atua 
sobre um fluido carregado. Para o caso da força de atração gravitacional, podemos 
escrever a resultante como: 	 	 	 	 	 	 
 
Forças Superficiais 
É um tipo de força que ocorre entre porções adjacentes do fluido. Ocorre pela 
interação interatômica, e, portanto, são de curto alcance. 
Um exemplo de força superficial é a reação de contato entre um fluido e o 
recipiente que o contêm. Assim como a força que uma camada de fluido exerce 
sobre outra camada adjacente. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
50 
 
Figura 2.1: Exemplo de força superficial 
 
 
A força superficial sobre um elemento de superfície é proporcional à área . 
Figura 2.2: elemento de volume sob ação de forças superficiais 
 
 
A figura 2.2 representa um elemento de fluido, com elemento de superfície , 
cuja orientação é indicada pelo vetor normal n. Neste sistema, convenciona-se que 
uma tensão positiva ao longo de n é uma tensão de tração e uma tensão negativa 
ao longo de n é uma tensão de pressão. 
Quando desprezamos o peso do fluido, a pressão no interior do mesmo será a 
mesma em todos os pontos do volume. Contudo, o peso de um fluido não é 
desprezível e verificamos o efeito disso com bastante facilidade em nosso 
cotidiano. 
Fenômenos dos Transportes 
 
51 
Quando mergulhamos em uma piscina ou em um mar aberto, é fácil perceber 
que todo o volume de água que fica acima de nós exerce uma pressão sobre o 
nosso corpo e que é percebida primeiramente pelos ouvidos. 
À medida que vamos descendo a maiores profundidades, esta pressão vai 
aumentando. Podemos deduzir uma expressão que modela matematicamente 
este comportamento da natureza da seguinte maneira. 
Consideremos inicialmente um volume de fluido em equilíbrio. Deste volume, 
analisemos um infinitesimal elemento de volume com altura dy (fig 2.3). Neste as 
superfícies inferior e superior possuem a mesma área A e as suas respectivas alturas 
são y e y + dy. Desta maneira, o volume do elemento de fluido é dV = A dy, com 
massa dada por é 	 	 	 	 	 peso dado por 	 	 	 	 	 . 
Figura 2.3: Elemento de volume dV de um fluido em equilíbrio 
 
 
Agora, considerando as forças que atuam sobre este elemento de fluido, 
vemos que a força resultante que atua na superfície inferior deste volume é ⋅ e 
a força resultante que atua na superfície superior é dada por . Lembre-
se: 	 	 / (pressão é igual à força por unidade de área). 
Como o elemento de fluido está em equilíbrio, a soma das componentes 
verticais das forças atuantes deve ser igual a zero. Desta condição, temos: 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
52 
Logo, 	 	 	 	 ⋅ ⋅ ⋅ = 0 
(Somatório das componentes verticais de força) 
Para obter o perfil de pressão, dividimos a expressão acima pela área: 	 	 	 	 	 	 	 
 	 (equação 2.1) 
 
Esta equação obtida nos mostra a variação da pressão em relação à altura. E 
nos diz que à medida que y aumenta p diminui. Ou seja, à medida que subimos 
através do fluido em equilíbrio, a pressão diminui. Como já esperávamos. 
Para estendermos esta análise para um volume maior de fluido em equilíbrio, 
consideramos p1 e p2 as pressões para as alturas y1 e y2 respectivamente e e 
constantes. 
Logo, 	 	 	 	(equação 2.2) 
E para tornar mais simples a aplicação desta expressão, podemos escrevê-la 
em termos da profundidade h abaixo da superfície do fluido (figura 2.4). 
Figura 2.4: Aumento da pressão com a profundidade em um fluido em 
equilíbrio. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
53 
Consideramos para isto, o ponto 1 com pressão p em qualquer nível abaixo da 
superfície e o ponto 2 na superfície do fluido, onde a pressão é . Desta forma, a 
profundidade do ponto 1 abaixo da superfície é ,	 	 	 permitindo 
reescrever a equação 2.2 como 	 	 (equação 2.3) 
Esta expressão é uma simplificação (estudo unidimensional) da Lei de Stevin 
(Equação Fundamental da Hidrostática), que mostra que a pressão no interior de 
um fluido aumenta linearmente com a profundidade. 
Desta expressão, podemos chegar a duas conclusões: 
– A diferença de pressão entre dois pontos de uma massa líquida em equilíbrio 
é igual à diferença de profundidade multiplicada pelo peso específico (	 	 	
 ). 
– No interior de um fluido em repouso, pontos de uma mesma profundidade 
suportam a mesma pressão. 
Exemplo: 
Calcule em atm a pressão a que um submarino fica sujeito quando baixa a 
uma profundidade de 100 metros. Para a água do mar adote que a densidade vale 
1000 kg/m3. 
Figura 2.5: Submarino submerso 
 
Solução: 
Fenômenos dos Transportes 
 
54 
Profundidade = 100 metros (altura) 
Densidade da água = 1000 kg/m³ 
Aceleração da gravidade (g) = 10 m/s² 
Pressão na profundidade 100 m: 	 	 	 	 	 , 	 / 	 / 	 	 , 	 	 , 	 	 	 	 , 	 	 	 	 
Lembramos aqui, que na superfície do mar, a pressão p0 é a pressão 
atmosférica e que têm valor aproximado de 1 atm ao nível do mar. 
Deste cálculo simples, verifica-se que a cada 10 metros de profundidade a 
pressão aumenta 1 atm (atmosfera). 
Aplicações da Equação Fundamental da Hidrostática 
Vasos Comunicantes 
 “A altura de um líquido incompressível em equilíbrio estático preenchendo 
diversos vasos comunicantes independe da forma dos mesmos.” A superfície livre é 
horizontal, e o líquido sobre até a mesma altura h em todos os ramos. Resulta da 
Leide Steven. 
Figura 2.6: Vasos comunicantes 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
55 
Uma utilização muito comum deste princípio é para a medição de nível na 
construção civil. O pedreiro costuma utilizar uma mangueira de borracha 
completamente cheia de água. Ele estende esta na forma de uma letra U. Em 
ambos os ramos do tubo, o nível de água será o mesmo, e assim ele consegue fazer 
que partes distantes de uma mesma construção estejam no mesmo nível (cota). 
Vasos comunicantes com fluidos de densidades diferentes 
Figura 2.7: Vasos comunicantes com fluidos de densidades diferentes 
 
 	 	 
 
A pressão sobre a linha 1-2 é p 
Calculando através da Lei de Stevin a pressão nos pontos 1 e 2, teremos: 
 	 	 	 	 	 	 	 	 
 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
56 
Pressão absoluta, Pressão atmosférica e pressão manométrica 
Se a pressão no interior de um balão de aniversário (bola inflável) fosse igual à 
pressão atmosférica, o balão ficaria murcho. A pressão no seu interior deve ser 
maior do que a pressão atmosférica para que ele possa permanecer firme. Neste 
caso, a grandeza que importa é a diferença de pressão entre o interior e exterior do 
balão. A esta diferença, damos o nome de pressão manométrica. À pressão total 
que é dada pela soma da pressão no interior mais a pressão do meio exterior 
damos no nome de pressão absoluta. 
Portanto, quando calibramos o pneu de um carro, o aparelho calibrador nos 
mostra o valor da pressão manométrica. 
No interior deste aparelho existe um manômetro, que é o que realmente mede 
a pressão. 
Medidores de pressão 
Manômetro de tubo fechado 
Um dos primeiros instrumentos de medida de pressão, que é o mais simples, 
foi baseado em uma coluna de fluido e desenvolvido por Torricelli; 
Consistia em um tubo de vidro com 1,0 m de comprimento, fechado em uma 
das extremidades que após ser preenchido com mercúrio, era emborcado em uma 
cuba do mesmo elemento. A coluna de mercúrio no tubo vertical, inicialmente com 
um metro de comprimento, sofre redução de altura em razão da fuga do fluido 
pela abertura inferior, diminuindo o comprimento indicado por H. Esse fenômeno 
provoca o aparecimento de um espaço sobre a coluna de mercúrio, que é ocupado 
por seu vapor. Da eq. (2.3) pode-se determinar a pressão atmosférica patm em 
termos da altura H da coluna de mercúrio. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
57 
 
Figura 2.8: Manômetro de mercúrio (tubo fechado) 
 
 	 	 	 
 	 	 	 
 	 	 
 
Vicenzo Viviane ao realizar este experimento elaborado por Torricelli obteve a 
medida de 76 cm para a coluna de mercúrio. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
58 
 
Manômetro de tubo aberto 
Figura 2.9: Manômetro de tubo aberto 
 
 
Este tipo de manômetro é utilizado para medir pressões manométricas. Possui 
um tubo em forma de U contendo um fluido de densidade conhecida. Em uma 
das extremidades é conectado um recipiente com fluido de densidade também 
conhecida e cuja pressão deseja-se medir. 
A outra extremidade do tubo fica aberta (pressão atmosférica). 
Assim temos: 	 	 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
59 
 
Princípio de Pascal 
Conforme a equação fundamental da hidrostática, a diferença de pressão 
entre dois pontos de um líquido homogêneo em equilíbrio é constante, 
dependendo apenas do desnível entre eles. 
Logo, se variamos a pressão num ponto do líquido, essa variação se transmite 
a todo o líquido. Assim, todos os pontos do líquido sofrem a mesma variação de 
pressão. 
Este princípio fica bastante evidente no funcionamento de uma prensa ou 
elevador hidráulico conforme o da figura 2.6. 
Figura 2.6: Prensa hidráulica 
 
 
Quando uma força F1 é exercida para baixo sobre o pistão menor de área A1 o 
líquido (incompressível) contido no dispositivo exerce uma força para cima de 
módulo F2 sobre o pistão maior de área A2. 
A variação de pressão ΔP produzida pela força de entrada F1 exercida pelo 
pistão menor é transferida ao pistão maior, sobre o qual passa a atuar uma força de 
saída F2. A equação a seguir relaciona estas grandezas: 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
60 
 
 
 	 	 
 
Como A2 > A1, pela relação acima fica claro que a força de saída F2 exercida 
sobre a carga é maior que a força de entrada F1. 
 
Exemplo: 
Numa prensa hidráulica, as áreas dos êmbolos são SA = 100cm2 e SB = 20cm2. 
Sobre o êmbolo menor, aplica-se uma força de intensidade de 30N que o desloca 
15cm. Determine: 
a) a intensidade da força que atua sobre o êmbolo maior. 
b) o deslocamento sofrido pelo êmbolo maior. 
 
Solução: 
 
a) Pelo Princípio de Pascal: 
 		
 
 
 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
61 
b) O volume de líquido transferido do êmbolo menor para o maior é o mesmo. 
Logo, 	 	 	 ⋅ 	 ⋅ 	 	 ⋅ 	 
 
Princípio de Arquimedes 
 “Um corpo total ou parcialmente imerso num fluido recebe do fluido um 
empuxo igual e contrário ao peso da porção de fluido deslocada e aplicado no 
centro de gravidade da mesma.” 
O empuxo é um fenômeno bastante conhecido. Naturalmente percebe-se que 
um corpo imerso em água parece possuir peso menor do que ar. Quando este 
corpo possui densidade menor que a do fluido, ele flutua. 
Este efeito é resultado das forças de superfície que atuam sobre o corpo 
quando o mesmo é imerso no fluido. O somatório das forças de superfície é igual 
ao peso da porção de fluido deslocado. 
Considerando o cilindro submerso da figura 2.11 
Figura 2.11: cilindro sólido submerso em líquido 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
62 
Observa-se que as forças de contato que agem na lateral do cilindro, se 
anulam uma a uma. Contudo, as forças que agem na área superior e inferior do 
mesmo podem ser escritas como função da pressão nestas profundidades 
correspondentes. Assim, a resultante é a força de empuxo, dada por: 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 
(Empuxo é igual ao peso de fluido deslocado) 
 
Onde e são as forças sobre as superfícies inferior e superior de área A 
do sólido respectivamente; 
V é o volume do objeto submerso 
Exemplo: 
Em um recipiente há um líquido de densidade 2,56g/cm³. Dentro do líquido 
encontra-se um corpo de volume 1000 cm³, que está totalmente imerso. Qual o 
empuxo sofrido por este corpo? Dado g=10m/s² 
Resposta: 
Primeiramente devemos calcular a quantidade do fluido deslocado: 	 , 
Depois realizamos o cálculo do empuxo: 	 	 , 	 / 	 / , ) 
Leitura complementar: 
 
-FOX, R.W.; MCDONALD, A. T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 5. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2001. 
- YYOUNG, HUGH D. Física II: Termodinâmica e ondas. 10ª ed. São Paulo: Addison 
Wesley, 2003. 
 
É hora de se avaliar! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no 
processo de ensino-aprendizagem. 
Fenômenos dos Transportes 
 
63 
 
Exercícios - Unidade 3 
 
1. Suponha que uma caixa d’água de 10 metros esteja cheia de água cuja 
densidade é igual a 1 g/cm3. A pressão atmosférica na região vale 105 Pa eg é igual 
a 10 m/s2. Calcule a pressão, em Pa, no fundo da caixa d’água e marque a opção 
correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um elevador de veículos é acionado por um cilindro de 45cm2 de área útil, 
no qual se pode aplicar uma força máxima de 1200N. O óleo pelo qual é 
transmitida a pressão é comprimido em outro cilindro de 765 cm2. Qual é a 
capacidade de levantamento do elevador? A resposta deve ser dada em 
quilogramas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
64 
 
3. No elevador mostrado na figura a seguir, o carro no cilindro à esquerda, na 
posição E, tem uma massa de 900 kg, e a área da secção transversal do cilindro é 
2500 cm2. Considere a massa do pistão desprezível e a aceleração da gravidade 
igual a 10 m/s2. A área da secção transversal do cilindro, na posição D, é 25 cm2, e 
o pistão tem massa desprezível. 
 
Se o elevador for preenchido com óleo de densidade 900 kg/m3, a força 
mínima F, emnewton, necessária para manter o sistema em equilíbrio será? 
 
 
 
4. Um cubo de madeira de aresta 20 cm tem massa 4,8 kg. Colocado em um 
tanque com água, ele flutua parcialmente imerso. Adotando g = 10 m/s2 e dágua = 
1,0 . 103 kg/m3, a força vertical mínima capaz de deixá-lo totalmente imerso vale, 
em newtons. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
65 
 
5. Imagine que você esteja diante de uma piscina de 4 metros de 
profundidade. Calcule a pressão no fundo dessa piscina em Pa (pascal) e atm. 
 
 
 
 
 
6. Uma pequena bola de borracha está presa por um fio leve ao fundo de um 
recipiente cheio com água, como mostra figura. Se o volume da bola submersa for 
500 cm3 e sua massa for 100g, qual será a tensão no fio? (Considere a aceleração da 
gravidade local igual a 10 m/s2 e a massa específica da água 1g/cm3) 
 
 
 
 
 
7. Os raios das seções dos êmbolos de uma prensa hidráulica medem 5 cm e 
25 cm. Se aplicarmos ao êmbolo menor uma força perpendicular de 40N, qual será 
a força exercida pelo líquido sobre o êmbolo maior? 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
66 
 
8.Um bloco sólido, maciço e homogêneo, possui 10 cm de altura, 4 cm de 
profundidade, 6 cm de comprimento e massa de 480 g. Determine a massa 
específica da substância que o constitui. 
 
 
 
 
 
 
9.Na figura abaixo, a densidade do líquido A é , 	 / e a do líquido C 
é , 	 / , então, determine a densidade do líquido B em g/cm3. 
 
 
 
10.Uma balsa tem 10 m² de área da base em contato com a água, cuja 
densidade é 1 . 10³ kg.m-3. Nesta situação, a balsa flutua, estando submersa 7,5 cm 
de sua altura. Um homem, após subir na balsa e esperar as águas se acalmarem, 
verifica que a altura submersa torna-se 8,2 cm. Qual a massa do homem em Kg. 
 
 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
67 
 
4 Cinemática dos Fluidos 
Fenômenos dos Transportes 
 
68 
Nesta unidade veremos como extrair e analisar grandezas importantes de um 
fluido em movimento. 
 
Objetivo da unidade: 
Abordar conceitos e formulações matemáticas importantes para a descrição 
do movimento de fluidos. Para isso, faremos a classificação de alguns tipos de 
escoamento e analisaremos a importância da conservação de algumas grandezas 
como massa, energia e momento para a descrição de movimento dos fluidos. Após 
esta análise veremos algumas simplificações e aplicações destas equações como a 
equação de Bernoulli e o estudo do fenômeno de Venturi. 
 
Plano da unidade: 
 Descarga de uma grandeza N 
 Tipos de regime de escoamento 
 Tipos de escoamento 
 Equação de Bernoulli 
 Tubo de Pitot 
 Fenômeno de Venturi 
 
Bons estudos! 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
69 
 
Descarga de uma grandeza N 
Na mecânica dos fluidos, podemos definir 
grandezas de dois tipos: Intensivas, que são 
independentes da massa de fluido em análise e 
extensivas, que terão seus valores alterados de 
acordo com a quantidade de massa em estudo. 
Deste modo, as grandezas intensivas poderão ser 
escritas em função das grandezas extensivas da 
seguinte maneira. 	 
 
Para definir o escoamento e os processos de 
transferência que ocorrem em um fluido, é 
necessário quantificar as grandezas envolvidas no movimento deste. E de maneira 
geral, isso é feito definindo-se o transporte de uma grandeza extensiva N que 
também terá a sua correspondente grandeza intensiva n no escoamento. 
 
Conceito 
Cinemática é a parte da mecânica dos 
fluidos que estuda o movimento e a vazão 
de uma massa fluida entre delimitadas 
superfícies sob a ação da gravidade e/ou 
pressões externas. O movimento dos 
fluidos é geralmente conhecido como 
escoamento, e que é caracterizado pela 
movimentação de suas moléculas, umas em 
relação às outras e aos limites impostos ao 
sistema em estudo (massa de fluido). Estes 
escoamentos são descritos por alguns 
parâmetros físicos que podem variar no 
tempo e nos espaço, permitindo a 
classificação do mesmo e também 
proporcionando uma descrição matemática 
do fenômeno. 
Fenômenos dos Transportes 
 
70 
 
A tabela a seguir apresenta alguns exemplos de grandezas extensivas e suas 
correspondentes grandezas intensivas. 
Tabela 4.1: Grandezas intensivas e extensivas 
Extensivas Intensivas 
Massa m 1 
Quantidade de movimento mV Velocidade V 
Volume vol Volume específico V 
Energia Interna U Energia interna específica U 
Energia cinética ½ m V² Energia cinética específica ½ V² 
Energia potencial mgh Energia potencial específica Gh 
 
Descarga de uma grandeza extensiva N 
A descarga de uma grandeza genérica N pode ser matematicamente expressa 
como a razão entre a quantidade da grandeza física referida N e o tempo que esta 
quantidade leva para atravessar uma superfície de referência (superfície de 
controle). 
 
 
A partir desta equação, pode-se obter uma segunda expressão para o cálculo 
da descarga da grandeza N por meio da área A do escoamento e da velocidade V 
do fluido. E como a grandeza N e a velocidade V variam em função do espaço, o 
problema deve ser tratado de forma diferencial, adotando-se um elemento de 
fluido com um volume de área dA e comprimento dx, com massa específica ⍴ que 
no instante t localiza-se no limite da região à esquerda da superfície de referência. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
71 
 
Fig 4.1: Fluido com velocidade V através da superfície A. 
 
A quantidade da grandeza dN contida no elemento de fluido de massa dm, 
pode ser escrita como: 	 	 	 	 	 	 	 	 
Assim, temos que: 	 	 	 	 
 
Onde dx / dt representa a componente horizontal da velocidade Vx, calculada 
pelo produto do módulo do vetor velocidade e do cosseno do ângulo α entre a 
velocidade e a normal à superfície de controle: 	 	 	 |	 | 	 
 
E substituindo na quinta equação, temos: 	 	 	 	 	 	 	 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
72 
Considerando um versor na direção da normal à superfície de referência, 
pode-se definir o vetor área 	 	 	 	 em que dA é o módulo do vetor área. 
Dessa forma, reescreve-se a equação (3.6): 	 	 	 | |	| |	 	 
 
Em notação vetorial, tem-se: 	 	 	 
 
A descarga da grandeza N que atravessa a área A pode ser obtida integrando-
se a equação anterior 	 	 	 	 
Descarga, vazão e fluxo 
a ) Descarga de massa Dm ou simplesmente descarga . é definida como a 
quantidade de massa que atravessa a superfície de controle na unidade de tempo. 
 
 
 
E as unidades de medidas para esta grandeza são 
 	 
b) Vazão (Q) é definida como relação entre volume de fluido que atravessa 
uma superfície e o tempo gasto para atravessá-la. 	 	 
 	 		 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
73 
E suas unidades de medida são: 
 	 , havendo a possibilidade de expressá-las também nas unidades 
m³/h, L/min, L/h. 
c) Fluxo é a quantidade de uma grandeza que atravessa uma superfície por 
unidade de tempo e área, podendo ser escrita como: 	 	 
 
Tipos de regime de escoamento 
 
Regime permanente 
O regime permanente é caracterizado pelo fato de as propriedades do fluido 
não variarem com o tempo em um mesmo ponto. Podendo variar de ponto a 
ponto. 
Considerando o esquema a seguir, podemos exemplificar este tipo de regime: 
Em (1) entra uma certa quantidade de líquido que é idêntica à quantidade que 
sai em (2), assim, as propriedades como velocidade, pressão, massa específica etc., 
têm valores fixos em cada ponto com o passar do tempo, mas variam conforme a 
posição. 
 
Regime Variado 
Neste regime ocorre a variação das propriedades do fluido em um mesmo 
ponto com o passar do tempo. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
74 
 
Tipos de escoamento 
 
A definição dos tipos de escoamento foi baseada na experiência de Reynolds 
(1883). E esta experiência consistia de um reservatório contendo água, um tubo 
transparente com válvula de regulagem ligado a este reservatório, e dentro deste 
reservatório principal foi colocado um reservatório menor contendo corante e que 
permitia a injeção de um filete decorante no eixo do tubo transparente (ver figura). 
 
 
Nesta experiência, concluiu-se que ao abrir a válvula (5), é formado um filete 
reto e contínuo de fluido colorido no eixo do tubo e ao abrir ainda mais a válvula 
(5), este mesmo filete começa a apresentar ondulações e desaparece depois do 
ponto de injeção. 
 
Escoamento Laminar 
Um escoamento laminar é aquele em que os vetores de velocidade 
permanecem quase que constantes em cada ponto do escoamento. Isto significa 
que o fluido escoa sem agitações, mantendo-se em lâminas, ou seja, linhas de 
corrente que não se cruzam. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
75 
 
Escoamento turbulento 
É aquele escoamento em que as partículas do fluido se misturam de forma não 
linear, num movimento caótico, consequente das velocidades transversais 
existentes entre os elementos de fluido. 
Este experimento de Reynolds permitiu inferir que é possível distinguir o 
regime de escoamento (laminar ou turbulento) avaliando um número 
adimensional que posteriormente ficou conhecido como Número de Reynolds e é 
definido como: 	 	 
 
Onde 
Re - número de Reynolds 
 - massa específica do fluido 
D - é o comprimento de referência do problema 
- viscosidade dinâmica do fluido 
 
Assim, foi observado que 
Para valores de Re < 2000 o escoamento comporta-se como laminar 
Para valores de Re entre 2000 e 2400 temos um comportamento de transição 
entre laminar e turbulento 
E para valores de Re > 2400 
Relação entre vazão e velocidade de escoamento 
Como vimos anteriormente, a vazão é definida como o volume de fluido que 
atravessa certa seção de escoamento por unidade de tempo. Considerando a figura 
a seguir, e pela definição de vazão temos que: 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
76 
	 		 	 ⋅ ⋅ 
 
Onde 
Q - vazão em volume do fluido 
Vol - volume do fluido 
T - tempo 
S - deslocamento do fluido 
A - área da seção transversal do tubo 
V - velocidade do fluido 
 
Mas devemos sempre considerar, que na realidade a distribuição de 
velocidades na seção A não é uniforme, apresentando um perfil aproximadamente 
em forma de parábola. 
Fig. Distribuição de velocidades numa seção de escoamento. 
 
 
Mas devemos sempre considerar que, na realidade, a distribuição de 
velocidades na seção A geralmente não é uniforme, apresentando um perfil 
aproximadamente em forma de parábola. Isso ocorre pelo fato de os fluidos 
possuírem certa viscosidade, que causa aderência às superfícies sólidas com as 
quais estão em contato. 
Fenômenos dos Transportes 
 
77 
O conceito de perfil uniforme de velocidade no interior de um tubo é uma 
simplificação que tem como objetivo simplificar os cálculos e representar por meio 
de um valor médio na seção o perfil parabólico de velocidade na seção. 
Essa velocidade média de escoamento é determinada a partir da igualdade 
das vazões dadas pelo perfil real de velocidade e pelo perfil uniforme de 
velocidade média na seção. 
Equação de continuidade 
Consideremos um escoamento de um fluido por um tubo cuja vazão em 
massa é dada por 
 
Qm = ρ . Q = 
m
t
 
Onde Qm é a vazão em massa do fluido. 
Podemos considerar Qm1 a vazão mássica na entrada do tubo e Qm2 a vazão 
mássica na saída do mesmo tubo; 
Considerando também, o regime de escoamento permanente, podemos dizer 
que a vazão Qm1 é igual à Qm2, pois não há perda ou acréscimo de massa no interior 
do tubo. 
E, por isso, podemos escrever: 
 
Qm1 = Qm2 ou ρ1 . Q1	= ρ2 . Q2 ou ρ1 . V1. A1	= ρ2 . V2 . A2 
 
Que é conhecida como equação de continuidade ou conservação de massa, 
onde V1 e V2 são as velocidades médias nas seções 1 e 2 de áreas A1 e A2 
respectivamente do escoamento. 
No caso em que o fluido é incompressível as densidades 	 	 são iguais, e a 
equação fica simplificada por: 
V1 . A1	= V2. A2 
 
-Equação de conservação de energia 
Fenômenos dos Transportes 
 
78 
Ao analisar um escoamento, podemos dizer que estão associadas ao fluido 
alguns tipos de energia. 
-Energia Potencial 
É devida à posição do fluido no campo gravitacional em relação ao plano 
horizontal de referência. E é medida pelo potencial de realização de trabalho no 
sistema. 
Fig - energia potencial 
 
 
Pode ser obtida pela seguinte expressão 
 
Ep = m × g × z 
 
Energia cinética 
É a energia característica de um sistema que se encontra em movimento 
(possui massa e velocidade). Pode ser expressão pela seguinte equação: 
Ec	= m ×	V22 
Energia de pressão 
É a energia que corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que 
atuam sobre o fluido. 
Considerando o escoamento da figura a seguir e com uma seção transversal 
de área suficientemente pequena, de maneira que a pressão seja uniforme na 
seção, então a força aplicada pelo fluido externo à seção A deverá ser 	 	 
Fenômenos dos Transportes 
 
79 
 
E no intervalo de tempo dt, o fluido será deslocado para uma distância ds sob 
a ação desta força aplicada que também produzirá um trabalho dado por: 	 	 	 	 	 	 	 	 	 
 
Assim, temos que: 
 	 
 
Fig - esquema - energia de pressão 
 
 
Energia mecânica total do fluido 
 
Considerando apenas os efeitos mecânicos sobre um escoamento, a energia 
total do sistema fluido será escrita por: 
E = Ep + Ec + Epr 
 
Ep = m × g × z + 
m × V2
2
	+ p ×	dv 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
80 
Equação de Bernoulli 
O princípio da conservação de energia é a aplicação da Primeira Lei da 
termodinâmica a uma sistema. E numa formulação de volume de controle pode ser 
escrita como 
Qc	-	W	= dEdt 
Onde é o calor trocado entre o meio e o sistema, sendo positivo quando 
entra no sistema 
é o trabalho trocado enre o sistema e o meio, sendo positivo quando sai do 
sistema 
E representa a energia do sistema. 
 
Desta maneira, a energia total do sistema pode ser expressa como: 
 
ES= e
S
dm= e
VS
ρdV com e=eint + gz + 
1
2
v2 
 
Onde 
é a energia interna específica associada à temperatura 
V é o módulo do vetor velocidade 
Z é a altura do elemento de fluido de massa dm em relação ao nível de 
referência. 
Escrevendo a Primeira Lei da termodinâmica na formulação integral para um 
volume de controle, temos: 
Qc - W = 
∂
∂t
e
VS
ρdV + e
SC
ρvdA 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
81 
Onde os termos da equação 
Representam na sequência 
 
+ A taxa de calor adicionada pelo meio ao volume de controle 
- A taxa de trabalho realizado pelo volume de controle pelo meio 
= (IGUAL) 
+ Vazão de energia para fora do volume de controle 
- Vazão de energia para dentro do volume de controle 
+ Taxa de acúmulo de energia no volume de controle 
 
A equação de Bernoulli propriamente dita é consequência da aplicação da 
equação de Euler a um escoamento em regime permanente. Esta equação é de 
larga aplicação na mecânica de fluidos e, para chegar à dedução da mesma, deve-
se considerar um volume de controle com propriedades uniformes nas seções de 
entrada e saída, 
e+ 
p
ρ
	
SC
ρvdA	= 
eint1 + gz1 + 
v1
2
2
+ 
p
1
ρ
1
	 -ρ
1
 V1 A1 	+ eint2 + gz2 + v222 + p2ρ
2
	 -ρ
2
 V2 A2 
 
e além disso devemos considerar outras hipóteses: 
- O regime é permanente (não varia no tempo): logo 	
∂
∂t
e
VC
ρdV = 0 
 
O escoamento é incompressível: 	 	 
O escoamento é invíscido (viscosidade nula): 
Não existe a interação de calor e trabalho: 	 e , , 
 
E aplicando-as sobre a equação completa, temos: 
Fenômenos dos Transportes 
 
82 
0	= eint1 + gz1 + v122 + p1ρ
1
 ρ
1
 V1 A1 + eint2 + gz2 + 
v2
2
2
+ 
p
2
ρ
2
 ρ
2
 V2 A2 
 
E sabendo que a lei de conservação de massa implica que : 
 
ρ
1
 . V1 . A1	= ρ2 . V2. A2 
 
Podemos cancelar os termos de vazão mássica e energia interna, ficamos com: 
 
gz1 + 
v1
2
2
+ 
p
1
ρ
= gz2 + 
v2
2
2
+ 
p
2
ρ
	⟺ 	 z1 + v122g + p1ρg = z2 + v222g + p2ρg 
 
Essas relações apresentadas são conhecidas como Equação de Bernoulli e que 
nos mostra que ao longo deum filamento de fluido a soma das parcelas 
z1 + 
v1
2
2g
+ 
p
1
ρg
 
É igual a um valor constante 
 
z1 + 
v1
2
2g
+ 
p
1
ρg
	=	constante 
 
Os termos desta equação possuem dimensão de comprimento e são 
denominadas CARGAS. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
83 
 
Carga cinética - 
Carga de pressão - 
Carga de posição - z 
 
Exemplo 1: 
A figura mostra um esquema de um dispositivo para borrifar água. O ar é 
soprado pelo tubo (1) formando um jato com velocidade V sobre a extremidade do 
tubo (2). Esse jato se expande no meio da atmosfera estagnada, de modo que a 
velocidade do ar tende a zero longe da saída do tubo. A água é aspirada pelo tubo 
(2). Considerando regime permanente e sem atrito viscoso, sendo á	 , determine o valor mínimo da velocidade V do jato de ar para que a água 
aflore na extremidade do tubo (2). 
[Fundamentos de fenômenos de transporte- Um texto para cursos básicos] 
 
Hipóteses: 
 Regime permanente; 
 Escoamento incompressível; 
 Sem perdas por atrito. 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
84 
Considerando a linha de corrente horizontal entre o ponto A e o ponto B 
localizado longe da saída do tubo, temos que γ 	 	Vg 	 	 pρ g 	 		 γ 	 	Vg 	 	 pρ g	
 
 
A velocidade do escoamento de ar tende a zero longe da saída do tubo (1), de 
modo que no ponto B temos que 	 	 					 					 	 	 
 
E como a linha de corrente é horizontal, temos que 	 , de modo que no 
ponto B temos pρ g	 	Vg 	 		 pρ g	
 
E que pode ser escrita como 
 p 	p 	 ρ V 
 
Para a água aflorar na extremidade do tubo (2) é necessário que p 	p 	 ρá gh	 	 ρ gh 
 
 
De forma que ρ V 	 	 ρ gh 
 
E resulta em V 	 gh 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
85 
 
Aplicações 
Tubo de Pitot 
Para medir grandezas como velocidade e pressão em um fluido em 
movimento, é necessário inserir no meio de estudo algum instrumento que 
naturalmente irá perturbar o meio em questão. 
Um instrumento bastante utilizado é o tubo de Pitot, que consiste em um 
corpo afilado onde contém em seu interior um manômetro diferencial que mede a 
diferença de pressão p - p0 conforme mostrado na figura a seguir. Este instrumento 
é bastante utilizado para medir a velocidade de aviões. 
 
No ponto O é onde ocorre uma estagnação do escoamento, ou seja, a 
velocidade fica muito próxima de zero e a pressão se eleva para p0 (chamamos de 
pressão dinâmica) e no ponto A a velocidade tem o mesmo valor daquela antes de 
o fluido encontrar o tubo. 
Desta maneira, a equação de Bernoulli fica reduzida ao ponto O. p 	 	p	 	 ρv 
Assim, a diferença de pressão entre os pontos O e A é dada por p 	 	p	 	 ρ gh	 	 ρv 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
86 
Permitindo que escrevamos a velocidade v de escoamento do fluido como 
v	 	 ρρ gh 
Fenômeno de Venturi 
O chamado fenômeno de venturi ou efeito venturi, ocorre quando um fluido 
atravessando um conduto fechado, diminui sua pressão quando passa por uma 
seção menor do que a inicial. Considere um fluido incompressível, atravessando 
um tubo como o da figura abaixo em regime de escoamento estacionário. As 
seções 1 e 2 possuem áreas A1 e A2 de respectivas pressões e velocidades (p1, v1) e 
(p2, v2) com dimensões suficientemente pequenas para que as grandezas 
especificadas sejam constantes e a altura geométrica das duas seções sejam iguais. 
Fenômeno de Venturi 
 
 
 
Pela equação de Bernoulli, temos que p 	 ρv 	 	p 	 ρv 
E pela equação de continuidade, verifica-se que v 	 	AA v 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
87 
 A velocidade na seção 2 deverá ser maior do que na seção 1. Esta aceleração 
impressa ao fluido é causada por uma força que é consequência da redução de 
pressão na seção. 
Por isso, ao se colocar manômetros nas seções 1 e 2 é possível verificar essa 
redução de pressão conforme visto na figura anterior. 
Estamos encerrando a unidade. Sempre que tiver uma dúvida entre em 
contato com seu tutor virtual através do ambiente virtual de aprendizagem e 
consulte sempre a biblioteca virtual. 
 
 
É hora de se avaliar 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no 
processo de ensino-aprendizagem. 
Fenômenos dos Transportes 
 
88 
 Exercícios – Unidade 4 
 
1. Água escoa em regime permanente no duto de seção circular mostrado na 
figura com fluxo de massa m 	 	 kg/s. Sendo ρ	 	 kg/ a massa 
específica da água, determine a vazão do escoamento e as velocidades médias nas 
seções (1) e (2). 
 
 
2. Na tubulação convergente da figura, calcule a vazão em volume e a 
velocidade na seção 2 sabendo que o fluido é incompressível. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
89 
3. Num tubo convergente escoa ar em regime permanente. A área da maior 
seção do tubo é 20 cm² e a da menor seção é 10 cm². A massa específica do ar na 
seção (1) é 0,12 Kg/m³ enquanto que na seção (2) é 0,09 Kg/m³. Sendo a velocidade 
na seção (1) 10 m/s, determine: 
 
a) A velocidade na seção (2); 
b) A vazão em massa de ar nas seções (1) e (2); 
c) A vazão em volume de ar nas seções (1) e (2). 
 
4. No tanque misturador da figura entram água 	 	 / ) e óleo ρ 	 kg/m com vazões respectivas de 20 e 10 L/s formando uma emulsão. 
Determine a massa específica e a velocidade da emulsão formada. 
 
5. Os dois tanques cúbicos com água são esvaziados ao mesmo tempo, pela 
tubulação indicada na figura, em 500 s. Determine a velocidade da água na seção 
A, supondo desprezível a variação de vazão com a altura. 
 
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6. No medidor de Venturi da figura, o desnível h é de 12 cm. Os diâmetros são 
de 15 cm e 8 cm. Estime a velocidade com que o ar entra por A, supondo que o 
fluxo é laminar. ρ 	 	 , g/cm ;	ρ 	 	 , kg/m . Use g	 	 , m/s e despreze a 
compressibilidade do ar. 
 
 
7. O tubo de Pitot (fig. xxxxxxxx) é usado para medir a velocidade do ar nos 
aviões. Ele é formado por um tubo externo com pequenos furos B (existem 4 na 
figura) que permitem a entrada de ar no tubo; esse tubo está ligado a um dos 
lados de um tubo em forma de U. O outro lado do tubo em forma de U está ligado 
ao furo A na frente do medidor, que aponta no sentido do movimento do avião. 
Em A, o ar fica estagnado, de modo que vA = 0. Em B, porém, a velocidade do ar é 
presumivelmente igual à velocidade v do ar em relação ao avião. 
Fenômenos dos Transportes 
 
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a)Use a equação de Bernoulli para mostrar que 
v	 	 ρghρ 
Onde ρ é a massa específica do líquido contido no tubo em U e h é a diferença 
entre os níveis do líquido no tubo. 
 
b) Suponha que o tubo contém álcool e que a diferença de nível h é 26,0 cm. 
Qual é a velocidade do avião em relação ao ar? A massa específica do ar é 1,03 
kg/m³ e a do álcool é 810 kg/m³. 
 
8.Um medidor venturi é ligado entre dois pontos de um cano (fig. xxxxxx). A 
seção reta A na entrada e na saída do medidor é igual à seção reta do cano. O fluido 
entra no medidor com velocidade V e depois passa com velocidade v por uma 
“garganta” de seção mais estreita a. Um manômetro liga a parte mais larga do 
medidor à parte mais estreita. A variação da velocidade do fluido é acompanhada 
por uma variação dp da pressão do fluido, que produz uma diferença na altura do 
líquido nos dois lados do manômetro. (A diferença corresponde à pressão na 
garganta menos a pressão no cano.) 
Aplicando a equação de Bernoulli e a equação de continuidade ao pontos 1 e 
2 na fig, mostre que 
v	 	 ρghρ 
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9. Suponha que o fluido é água doce, que a seção reta é 64 cm² no cano e 32 
cm² na garganta, e que a pressão é 55 kPa no cano e 41 kPa na garganta. Qual é a 
vazão de água em metros cúbicos por segundo? 
 
 
10. Um líquido de massa específica 900 kg/m³ escoa em um tubo horizontal 
com seção reta de 1,90 x 10⁻² m² na região A e uma seção reta de 9,50 x 10⁻² m² na 
região B. A diferença de pressão entre as duas regiões