Fenomenos_dos_Transportes

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Fisiologia 
1 
Fenômenos dos Transportes 
André Felipe da Silva de Oliveira 
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Fenômenos dos Transportes 
2 
 
DIREÇÃO SUPERIOR 
Chanceler Joaquim de Oliveira 
Reitora Marlene Salgado de Oliveira 
Presidente da Mantenedora Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Planejamento e Finanças Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Organização e Desenvolvimento Jefferson Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor Administrativo Wallace Salgado de Oliveira 
Pró-Reitora Acadêmica Jaina dos Santos Mello Ferreira 
Pró-Reitor de Extensão Manuel de Souza Esteves 
 
DEPARTAMENTO DE ENSINO A DISTÂNCIA 
Gerência Nacional do EAD Bruno Mello Ferreira 
Gestor Acadêmico Diogo Pereira da Silva 
 
FICHA TÉCNICA 
Texto: André Felipe da Silva Oliveira 
Revisão Ortográfica: Rafael Dias de Carvalho Moraes 
Projeto Gráfico e Editoração: Antonia Machado, Eduardo Bordoni, Fabrício Ramos e Victor Narciso 
Supervisão de Materiais Instrucionais: Antonia Machado 
Ilustração: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
Capa: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
 
COORDENAÇÃO GERAL: 
Departamento de Ensino a Distância 
Rua Marechal Deodoro 217, Centro, Niterói, RJ, CEP 24020-420 www.universo.edu.br 
 
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universo – Campus Niterói 
 
O48f Oliveira, André Felipe da Silva de. 
Fenômenos dos transportes / André Felipe da Silva de 
Oliveira ; revisão de Rafael Dias de Carvalho Moraes. – 1. ed. 
– Niterói, RJ: UNIVERSO: Departamento de Ensino a 
Distância, 2017. 
148 p. : il. 
 
1. Engenharia mecânica. 2. Teoria do transporte. 3. 
Mecânica dos fluidos. 4. Dinâmica dos fluidos. 5. 
Cinemática. 6. Perda de carga. 7. Calor - Transmissão. 8. 
Ensino à distância. I. Moraes, Rafael Dias de Carvalho. II. 
Título. 
CDD 620.1 
 
Bibliotecária: Elizabeth Franco Martins – CRB 7/4990 
 
Informamos que é de única e exclusiva responsabilidade do autor a originalidade desta obra, não se r esponsabilizando a ASOEC 
pelo conteúdo do texto formulado. 
© Departamento de Ensi no a Dist ância - Universidade Salgado de Oliveira 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, arquivada ou transmitida de nenhuma forma 
ou por nenhum meio sem permissão expressa e por escrito da Associação Salgado de Oliveira de Educação e Cultura, mantenedor a 
da Univer sidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO). 
Fenômenos dos Transportes 
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P alavr a da Reit or a 
 
Acompanhando as necessidades de um mundo cada vez mais complexo, 
exigente e necessitado de aprendizagem contínua, a Universidade Salgado de 
Oliveira (UNIVERSO) apresenta a UNIVERSO EAD, que reúne os diferentes 
segmentos do ensino a distância na universidade. Nosso programa foi 
desenvolvido segundo as diretrizes do MEC e baseado em experiências do gênero 
bem-sucedidas mundialmente. 
São inúmeras as vantagens de se estudar a distância e somente por meio 
dessa modalidade de ensino são sanadas as dificuldades de tempo e espaço 
presentes nos dias de hoje. O aluno tem a possibilidade de administrar seu próprio 
tempo e gerenciar seu estudo de acordo com sua disponibilidade, tornando-se 
responsável pela própria aprendizagem. 
O ensino a distância complementa os estudos presenciais à medida que 
permite que alunos e professores, fisicamente distanciados, possam estar a todo 
momento ligados por ferramentas de interação presentes na Internet através de 
nossa plataforma. 
Além disso, nosso material didático foi desenvolvido por professores 
especializados nessa modalidade de ensino, em que a clareza e objetividade são 
fundamentais para a perfeita compreensão dos conteúdos. 
A UNIVERSO tem uma história de sucesso no que diz respeito à educação a 
distância. Nossa experiência nos remete ao final da década de 80, com o bem-
sucedido projeto Novo Saber. Hoje, oferece uma estrutura em constante processo 
de atualização, ampliando as possibilidades de acesso a cursos de atualização, 
graduação ou pós-graduação. 
Reafirmando seu compromisso com a excelência no ensino e compartilhando 
as novas tendências em educação, a UNIVERSO convida seu alunado a conhecer o 
programa e usufruir das vantagens que o estudar a distância proporciona. 
Seja bem-vindo à UNIVERSO EAD! 
Professora Marlene Salgado de Oliveira 
Reitora. 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Fenômenos dos Transportes 
 
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Sumário 
 
Apresentação da disciplina ............................................................................................. 07 
Plano da disciplina ............................................................................................................ 09 
Unidade 1 – Introdução aos Fenômenos de Transporte ......................................... 11 
Unidade 2 – Propriedades e Grandezas Medidas em um Fluido ........................... 23 
Unidade 3 – Fluidoestática ............................................................................................. 47 
Unidade 4 – Cinemática dos fluidos ............................................................................. 67 
Unidade 5 – Perdas de Carga.......................................................................................... 93 
Unidade 6 – Transferência de Calor .............................................................................. 109 
Considerações finais ......................................................................................................... 141 
Conhecendo o autor ........................................................................................................ 142 
Referências .......................................................................................................................... 143 
Anexos.................................................................................................................................. 145 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Fenômenos dos Transportes 
 
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Apresentação da disciplina 
 
O termo fenômenos de transporte refere-se ao estudo sistemático e unificado 
da transferência de momentum (ou quantidade de movimento), energia e matéria. 
O estudo desta disciplina é de fundamental importância para os estudantes 
das engenharias. Pois os fenômenos de transferência de energia e matéria nos 
envolvem a todo instante. Desde os mais simples equipamentos utilizados em uma 
cozinha doméstica até os equipamentos de transporte mais sofisticados da NASA. 
Em todos eles estão presentes os estudos dos fenômenos de transporte. 
Conhecer e aprender a aplicar a teoria que envolve os fenômenos de 
transporte é o objetivo principal deste material. 
Buscamos aqui, trazer de maneira mais simplificada possível a modelagem 
matemática que envolve estes fenômenos, sem desprezar a complexidade que dos 
mesmos. Iniciamos os estudos a partir dos fluidos estáticos, passando para a 
análise da dinâmica dos mesmos e finalmente abordamos os mecanismos de 
transferência de energia em forma de calor. 
Estamos certos de que o estudo aqui presente é ao mesmo tempo desafiador e 
instigante. E que certamente acrescentará grande valor à sua formação acadêmica. 
 
Bons estudos! 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Fenômenos dos Transportes 
 
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Plano da Disciplina 
 
Caro aluno, 
Continuaremos os estudos dos Fenômenos de Transporte, com o objetivo de 
desenvolver o espírito científico e o raciocínio lógico. Para que você possa 
compreender e interpretar, teórica e praticamente, os fenômenos físicos. Com a 
finalidade de facilitar a compreensão segue uma síntese de cada unidade, 
ressaltando seus objetivos específicos para que você possa ter uma visão ampla do 
conteúdo que irá estudar. 
Vejamos, então, o conteúdo programático, bem como seus objetivos 
específicos: 
Unidade 1 - Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Nesta primeira unidade, faremos uma introdução aos fenômenos de 
transporte apresentando também asunidades de medida utilizadas na 
modelagem que será apresentada nas unidades seguintes. 
Unidade 2 - Propriedades e grandezas medidas em um fluido 
Nesta unidade, buscamos trazer as definições das principais grandezas 
utilizadas nos estudo de fluidos. Buscaremos compreender as definições de 
pressão, tensão, massa específica, peso específico e viscosidade em fluidos. 
Unidade 3 - Fluidoestática 
Nesta unidade, estudaremos o caso particular de fluidos em equilíbrio, 
analisaremos a atuação de forças sobre um volume de fluido e apresentaremos 
algumas equações importantes para a análise de problemas nestas condições. 
Unidade 4 - Cinemática dos fluidos 
Nesta unidade, abordaremos conceitos e formulações matemáticas 
importantes para a descrição do movimento de fluidos. Para isso, faremos a 
classificação de alguns tipos de escoamento e analisaremos a importância da 
conservação de algumas grandezas como massa, energia e momento para a 
Fenômenos dos Transportes 
 
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descrição de movimento dos fluidos. Após esta análise, veremos algumas 
simplificações e aplicações destas equações como a equação de Bernoulli e o 
estudo do fenômeno de Venturi. 
Unidade 5 - Perdas de Carga 
Nesta unidade, veremos como é possível aproximar melhor a modelagem 
matemática de um escoamento. Calcularemos as perdas de carga geradas por 
fricção e perda de carga em tubulações, assim como as perdas ou acréscimo de 
cargas geradas por máquinas. 
Unidade 6 - Transferência de Calor 
Nesta unidade, serão abordados os mecanismos de transferência de calor. 
Estudaremos a modelagem do problema de condução de calor em paredes 
planas e cilíndricas, de camada única ou de camadas múltiplas. Estudaremos o 
efeito da associação em série a paralelo destas paredes no cálculo do fluxo de calor. 
Veremos como aplicar a lei do resfriamento de Newton para abordar 
problemas de convecção. E finalmente estudaremos o fenômeno de radiação, e a 
aplicação da equação de Stefan-Boltmann para o cálculo de fluxo de calor em 
corpos que liberam energia por meio da radiação. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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1 Introdução aos Fenômenos de Transporte 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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A expressão fenômenos de transporte refere-se ao estudo sistemático e 
unificado da transferência de momento (mecânica dos fluidos), energia 
(transferência de calor) e matéria (transferência de massa). 
O transporte (transferência) destas grandezas e a construção de seus modelos 
possuem analogias, tanto físicas como matemáticas, de tal forma que a análise 
matemática empregada é praticamente a mesma. Nesta disciplina, estudaremos 
estas semelhanças e por meio de equações simples, abordaremos problemas 
práticos em mecânica de fluidos e transferência de calor. 
Nesta primeira unidade, analizaremos as diferenças entre sólidos e fluidos, 
passando pela definição de fluido e formas de descrever o movimento destes 
fluidos. 
Ao final, verificaremos as unidades de medidas comumente utilizadas nos 
estudos de mecânica de fluidos. 
 
Objetivos da unidade: 
 Compreender a diferença entre fluidos e sólidos; 
 Conhecer algumas aplicações da mecânica de fluidos; 
 Entender as bases das formulações matemáticas em problemas de 
mecânica de fluidos; 
 Compreender o conceito de volume de controle e sistema na mecânica 
de fluidos; 
 Entender as unidades de medidas utilizadas no Sistema Internacional e 
saber como realizar conversões entre sistemas de unidades diferentes. 
 
Plano da unidade: 
 Definição de fluido 
 Método de análise 
 Dimensões e unidades 
 Medidas e Unidades 
 
Bons estudos! 
Fenômenos dos Transportes 
 
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A mecânica dos fluidos é a ciência que tem por objetivo o estudo do 
comportamento físico dos fluidos em estado de repouso ou movimento e das leis 
que regem estes comportamentos. 
Quando se analisa o comportamento de um fluido em repouso, trabalha-se 
em uma subdivisão chamada estática dos fluidos. Quando se trata um fluido em 
movimento, utilizam-se conceitos e metodologias que compreendem a dinâmica 
dos fluidos. 
 
A mecânica dos fluidos pode ser aplicada nos seguintes tipos de problemas: 
- Ação de fluidos sobre superfícies submersas. 
Ex.: barragens, tanques e piscinas. 
- Equilíbrio de corpos flutuantes. 
Ex.: embarcações. 
- Estudo de lubrificações. 
Ex.: lubrificação de motores, engrenagens, máquinas. 
- Transporte de sólidos por via pneumática ou hidráulica. 
Ex.: elevadores. 
- Cálculo de instalações hidráulicas. 
Ex.: bombas, turbinas, perda de carga em tubulações prediais. 
- Instalações de vapor. 
Ex.: caldeiras. 
- Ação de fluidos sobre veículos e aeronaves (aerodinâmica). 
 
Definição de fluido 
Diferentemente dos sólidos que resistem à deformação, um fluido é aquela 
substância que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de 
cisalhamento. Apresenta a capacidade de fluir facilmente, e consequentemente 
tomar a forma do recipiente que o contém, como consequência da incapacidade 
de suportar as tensões de cisalhamento quando em equilíbrio estático. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Os fluidos tendem a escoar (ou fluir) e os sólidos tendem a se deformar ou 
dobrar quando interagimos com eles. 
Os fluidos compreendem as fases líquidas e gasosas (ou de vapor) da matéria. 
A diferença entre um fluido e um sólido é clara quando comparada a seus 
comportamentos. Um sólido deforma-se quando uma tensão de cisalhamento lhe 
é aplicada, e a sua deformação não aumenta continuamente com o tempo como 
ocorre com os fluidos. 
 
Método de análise 
Para analisarmos um problema de mecânica dos fluidos, é necessário avaliar a 
conservação de algumas quantidades físicas como massa, momento angular e 
energia. E cada uma destas grandezas pode ser avaliada através das seguintes 
equações: 
- Equação da conservação da massa; 
- Segunda lei do movimento de Newton; 
- Princípio da quantidade angular; 
- Primeira lei da termodinâmica; 
- Segunda lei da termodinâmica. 
 
Para um fluido não estático, como se pode descrever matematicamente o seu 
movimento? 
Uma primeira possibilidade seria subdividir todo o fluido em elementos 
suficientemente pequenos para que possam ser tratados como partículas. E depois 
se descreveria o movimento de cada uma destas partículas. 
A posição destas partículas seria definida por um vetor posição r0 num dado 
instante de tempo t0. Logo, num instante posterior t1, a posição da partícula seria r1 = 
r1(t1, r0, t0), que é função do tempo atual (t1), da posição e tempo iniciais (r0e t0). Desta 
forma, a posição da partícula varia como função do tempo e da posição inicial. 
Se conseguirmos calcular a posição r de cada partícula do fluido em função do 
tempo teremos a descrição completa do movimento do fluido. Este método devido 
Fenômenos dos Transportes 
 
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a Lagrange é de difícil utilização e não muito empregado, devido ao grande 
número de variáveis envolvidas. 
Um outro método interessante, devido a Leonhard Paul Euler, torna a análise 
de escoamento mais simples. Este método propõe que sejam fixados pontos r 
distribuídos no volume de escoamento e em cada um destes seja medida a 
velocidade em cada instante de tempo. Assim, temos a velocidade como função da 
posição e do tempo. 
v = v(r, t) 
Fica assim definido também, um campo vetorial (campo de velocidades) 
através da associação de um valor de velocidade para cada ponto do volume de 
controle. 
Volume de controle 
Volume de controle é um volume arbitrário dentro do espaço em que o fluido 
ocupa. As fronteiras deste volume formam a superfície de controle que envolve e 
define todo o volume do sistema em estudo. 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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São nestes volumes de controle que as equações citadas anteriormente são 
avaliadas, juntamente com outras relações adicionais, como equações de estado 
ou constitutivas, para que possam descrever o comportamento das propriedadesfísicas do fluido em determinadas condições. 
É importante saber, que as fronteiras do sistema podem ser fixas ou móveis, e 
que a massa contida neste sistema é sempre conservada (permanece a mesma). 
De maneira similar às análises feitas sobre problemas com corpos rígidos, 
onde é necessário definir um diagrama de corpo livre, que mostra as forças 
atuando sobre o corpo, aqui na mecânica de fluidos, é necessário começar definir 
muito cuidadosamente um volume de controle, que terá papel muito importante 
na formulação matemática dos problemas em estudo. 
 
Exemplo de especificação de um volume de controle: 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Dimensões e unidades 
As quantidades físicas primárias que conhecemos, como comprimento (L), 
tempo (t), massa (M) e Temperatura (T) são dimensões de um tipo de problema, e 
que recebem um nome específico (unidade de medida). 
Ex 1. A dimensão primária de tempo pode ser medida em unidades de 
segundos (s), minutos (min) ou horas (h). 
Ex 2. A dimensão primária de comprimento pode ser medida em unidades 
de metros (m) e seus múltiplos: centímetros (cm), milímetros (mm), quilômetros 
(Km) etc. 
Medidas e Unidades 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) foi adotado em 1960, na 10ª 
Conferência Internacional de Pesos e Medidas, sendo constituído de sete unidades 
de dimensões primárias. 
SI 
Dimensão Unidade Símbolo 
tempo segundos s 
comprimento metro m 
massa quilograma kg 
temperatura termodinâmica Kelvin K 
intensidade luminosa candela cd 
corrente elétrica ampère A 
quantidade de substância mole mol 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Neste sistema, a grandeza secundária Força, é medida em Newton (N) 
1 N = 1 Kg.m/s2 (secundária) 
Além do sistema internacional de medidas, temos outros também utilizados 
nas ciências e engenharias, como o Sistema de Unidades Métrico Absoluto (CGS), o 
Sistema de Unidades Gravitacional Britânico e o Sistema de Unidades Inglês 
Técnico ou de Engenharia, que são mostrados nas tabelas que seguem. 
CGS 
Dimensão Unidade Símbolo 
tempo segundo s 
comprimento centímetro cm 
massa grama g 
temperatura termodinâmica Kelvin K 
 
Desta forma, a grandeza Força, é medida pela unidade dina (dyn) 
1 dyn = 1 g.cm/s2 (secundária) 
 
Sistema de Unidades Gravitacional Britânico 
Dimensão Unidade Símbolo 
tempo segundo s 
comprimento pé ft 
massa slug slug 
temperatura 
termodinâmica 
Rankine R 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Força é medida pela unidade libra-força (lbf) 
1 lbf = 1 slug.ft/s2 (secundária) 
 
Sistema de Unidades Inglês Técnico ou de Engenharia 
Dimensão Unidade Símbolo 
tempo segundo s 
comprimento pé ft 
massa libra-massa lbm 
temperatura termodinâmica Rankine R 
 
Assim, a força é dada por libra-força (lbf) 
1 slug = 32,2 lbm 
 
Conversão das unidades de medida 
Exemplo: 
Um reservatório com capacidade de 2,5 × 103 m3 é alimentado segundo a 
vazão de 50 L/s. Determine o tempo necessário para o enchimento completo do 
reservatório em horas, minutos e segundos. 
Solução: 
O volume total do reservatório é 2500 m3 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Sabendo que 1 m3 corresponde a 1000 L, temos que 
2500 m3 = 2500 x 103 L 
Como a vazão é de 50 L/s, dividimos o volume total em litros pela vazão, 
encontrando um total de 50000 s para o tempo de enchimento. 
Sabendo que 1 hora corresponde a 3600 s, por meio de uma regra de três 
simples, obtemos o valor de 13,8888888 horas. 
 
E 0,88888888 horas corresponde a 53,33333333 minutos. 
e 0,33333333 minutos corresponde a 20 segundos. 
 
Assim, o tempo total para enchimento do reservatório será de 13h53min20s 
 
Leitura complementar: 
-FOX, R.W.; MCDONALD, A. T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 5. ed. 
LTC, Rio de Janeiro, 2001. 
- SEARS, F.W. Física. LTC, Rio de Janeiro, 1999. 
 
 
É hora de se avaliar 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Exercícios - Unidade 1 
 
1.Um tanque cilíndrico de 6 m de diâmetro e 18 m de altura está 
completamente cheio de água (massa específica = 1000 Kg/m3). Calcule o peso da 
massa de água contida no tanque, considerando a aceleração da gravidade igual a 
10 m/s2 e utilizando as unidades do sistema internacional. 
 
2.Sobre o problema anterior, qual é a massa de água contida no tanque em 
gramas (g)? 
 
3.Ainda sobre o problema anterior, escreva a massa específica do fluido em 
g/cm3 . 
 
4.Para calibrar os pneus de um automóvel, seu manual recomenda a pressão 
de 32 psi (32 libras /pol2). Chegando ao posto de abastecimento, o proprietário do 
veículo constata que o manômetro do compressor de ar registra as pressões em 
MPa (MegaPascal). Que pressão deve ser utilizada? 
Considere 1 Psi = 6 894.75729 Pascals 
 
5.Considere o tanque do problema 1 sendo enchido a uma vazão de entrada 5 
L/s. Quanto tempo é necessário para que o tanque esteja completo (Escreva o 
tempo no formato H:min:s)? 
 
6. Um pequeno tanque de aço tem o formato de um paralelepípedo 
retangular, de largura 50 cm, comprimento 32 cm e altura 25 cm. Para encher 3/4 
dele com água, quantos litros de água serão usados? 
 
7. Um depósito cujo volume era de 8,6 m³ estava cheio de água. Por um cano 
vazaram 4000 litros. Quantos litros ainda há no tanque? 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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8. Segundo o Sistema Internacional de Unidades (SI), os nomes dos múltiplos e 
submúltiplos de uma unidade são formados mediante os seguintes prefixos: Assim, 
por exemplo, se a unidade de medida é o metro (m), temos: 30 nm (nanômetros) = 
30 × 10−9 m (metros). Com base nessas informações, se a unidade de medida é o 
litro (l), então a expressão 
, 	 ℓ . , ℓ 				, ℓ é equivalente a _________________ 
Fator Pelo qual a 
unidade é multiplicada 
Prefixo Símbolo 
1 000 000 000 000 = 1012 Tera T 
1 000 000 000 = 109 Giga G 
1 000 000 = 106 Mega M 
1 000 = 103 Quilo k 
100 =102 Hecto h 
10 = 101 Deca da 
0,1 = 10-1 Deci d 
0,01 = 10-2 Centi c 
0,001 = 10-3 Mili m 
0,000 001 = 10-6 Micro 
0,000 000 001 = 10-9 Nano n 
0,000 000 000 001 = 10-12 Pico p 
 
9. Às 8 horas e 45 minutos de certo dia, foi aberta uma torneira, com a 
finalidade de encher de água um tanque vazio. Sabe-se que:– o volume interno do 
tanque é 2,5 m3;– a torneira despejou água no tanque a uma vazão constante de 
2L/min e só foi fechada quando o tanque estava completamente cheio. Nessas 
condições, a torneira foi fechada que horas? 
 
10. Uma sala tem o formato aproximado de dois paralelepípedos grudados. 
Um destes tem largura de 4 metros e comprimento de 3 metros, e o outro tem 
largura e comprimento iguais, de 2 metros. A altura da sala é de 2,5 metros. Deseja-
se comprar um ar condicionado para resfriar esta sala, e cada ar condicionado 
indica o volume, em litros, que ele consegue refrigerar. Então, é preciso comprar o 
menor ar condicionado, dentre aqueles que têm capacidade de resfriar esta sala. 
Das opções abaixo, qual é a mais indicada? 
a) 5.000 L 
b) 10.000 L 
c) 20.000 L 
d) 50.000 L 
e) 100.000 L 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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2 Propriedades e Grandezas Medidas em um Fluido 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Para avaliar o escoamento de um fluido, além de definir o volume a ser 
estudado, conforme explicado na unidade anterior, é fundamental medir algumas 
propriedades que ajudam a caracterizar o estado deste fluido. 
 
Objetivo da unidade: 
 
 Compreender as definições de pressão, tensão, massa específica, peso 
específico e viscosidade em fluidos. 
 
Plano da unidade: 
 Pressão 
 Tensões em um fluido 
 Massa especifica 
 Peso específico 
 Campo de velocidades 
 Viscosidade 
 
 
Bons estudos! 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Pressão 
 
Os fluidos quase sempre se caracterizam porterem suas moléculas fracamente 
ligadas, proporcionando uma considerável mobilidade destas. 
Em um líquido, como a água, por exemplo, o volume é pouco sensível às 
variações de pressão (fluido incompressível); em um gás, ao contrário, o volume 
varia bastante com a pressão aplicada sobre ele (fluido compressível). 
Para entendermos um pouco melhor, considere um recipiente cilíndrico cheio 
de água e fechado por meio de um êmbolo, conforme a figura 1. A água contida no 
interior do cilindro não permite que o êmbolo desça. Ainda que seja exercida uma 
força F qualquer sobre este sistema, o volume ocupado pela água permanece o 
mesmo. 
 
 
Ao contrário, se preenchemos o mesmo recipiente com um gás e aplicamos a 
mesma força F sobre o pistão, o gás é comprimido e seu volume diminui. E isso 
acontece porque as moléculas de um gás encontram-se livres, ocupando todo o 
espaço que as contém, e quando este espaço é reduzido, as moléculas do gás 
tendem a se aproximar, aumentando o valor de uma grandeza que chamamos 
pressão. 
Na explicação deste sistema, citamos três importantes grandezas físicas que 
serão muito usadas no estudo dos fenômenos de transporte. Força, volume e 
pressão. 
Fenômenos dos Transportes 
 
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A força é o agente físico capaz de alterar o estado de repouso ou movimento 
de um corpo material. Ela é capaz também, de causar deformações na estrutura de 
corpos sólidos. 
Por sua definição, uma força pode ser escrita matematicamente como F = m a. 
E sabendo que no Sistema Internacional de medidas (SI) massa é medida em Kg 
(Quilograma) e aceleração em m/s2(metro por segundo ao quadrado), a unidade 
de Força é dada pela multiplicação ( Kg * m/s2), que leva o nome de Newton (N). 
Logo, 	 	 	 	 ( Um Newton é igual a um quilograma metro por segundo ao 
quadrado ) 
O volume, por sua vez, é uma grandeza que expressa a magnitude da extensão 
de um corpo, ou seja, o espaço que este corpo ocupa num sistema de referência. E 
como extensão das definições de comprimento e área, o volume é medido no 
sistema Internacional pela unidade m3 (m*m*m) que corresponde a uma 
capacidade de 1000 L (litros). 
1m3 = 1000 L 
A pressão é uma grandeza muito importante no estudo de fluidos e deve ser 
entendida conforme a sua definição: 
P = F/A (pressão é igual à Força dividido pela área). 
Observemos o seguinte exemplo: 
Ao pressionarmos um lápis entre as duas mãos abertas, a terceira lei de 
Newton (Lei de ação e reação), nos diz que a força aplicada a uma extremidade do 
lápis tem o mesmo valor que a força que o lápis aplica na outra mão. Contudo, é 
fácil perceber, que a mão que está em contato com a ponta do lápis sofre mais com 
a ação da força aplicada. 
Neste caso, o que percebemos, é a ação de uma pressão maior neste lado que 
possui a ponta, visto que a área de contato é bastante menor se comparada à área 
do lado sem ponta. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Veja: 
P > p (pressão nas extremidades) , A > a (áreas de contato) 
 
 
Sabendo que no sistema internacional de medidas a força é medida em 
Newton (N) e a área em m2 (metro quadrado), damos a esta grandeza derivada 
(N/m2), o nome de Pascal (Pa), que é a unidade de pressão do Sistema 
Internacional de medidas. 
Ou seja, 
1 Pa = 1 N / m2 ( Um Pascal é igual a um Newton por metro quadrado ). 
Observe no quadro abaixo outras unidades de pressão utilizadas no mundo e 
as relações de conversão entre estas. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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Tabela de conversão de escalas de pressão 
 Pascal Bar atmosfera 
padrão 
libra por polegada 
quadrada 
(Pa) (bar) (atm) (psi) 
1 Pa ≡ 1 N/m2 10−5 9.8692×10−6 1.450377×10−4 
1 bar 105 ≡ 100 kPa 
≡ 106 dyn/cm2 
0.98692 14.50377 
1 atm 1.01325×105 1.01325 1 14.69595 
1 psi 6.8948×103 6.8948×10−2 6.8046×10−2 ≡ 1 lbF /in2 
 
 
Exemplo: 
Calcule a pressão exercida pelos quatro pneus de um carro que tem massa 
1200 Kg e sabendo que a área de contato de cada pneu com o chão é 204 cm2. 
Considere a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2. 
A área de contato total dos 4 pneus é 
204 cm2 x 4 = 816 cm2 
Que corresponde a 0,0816 m2 
Fenômenos dos Transportes 
 
29 
Então, a pressão exercida nos pneus pode ser calculada pela expressão 
 	 	 
 
onde 	 	 	 	 	 ⋅ 	 	 	 	 ⋅ 	 	 	 	 
 
Logo, 	 	 , 	 . 	 
 
 
Tensões Em Um Fluido 
 
Considerando as forças existentes em um meio material, podemos separar 
estas em dois tipos principais: As forças superficiais e as forças volumétricas. 
As forças superficiais são aquelas que atuam diretamente num elemento de 
superfície do material, podendo gerar tensões de dois tipos: 
● Tensão Normal 
● Tensão Tangencial 
 
As tensões normais são aquelas aplicadas perpendicularmente ao elemento de 
superfície, e quando apontam para o interior do elemento chamam-se “tensões 
normais de compressão” (pressão); e quando apontam para fora do elemento de 
superfície são chamadas de “tensões normais de tração” (figura 3). 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
30 
 
As tensões tangenciais, como o nome diz, têm direção tangente às superfícies 
de contato, e por isso tendem a produzir um deslizamento entre os elementos de 
fluido. É sobre estas tensões tangenciais que está a principal diferença entre sólidos 
e fluidos. 
Os corpos sólidos, quando são submetidos a forças externas tangenciais, 
tendem a equilibrar estas com as tensões tangenciais internas ao corpo. Isto faz 
que eles sofram uma deformação que aumenta conforme a intensidade da força 
externa aplicada. Já os líquidos, não conseguem equilibrar essas forças externas. 
Ainda que sejam pequenas, estas fazem o fluido escoar e permanecer em 
movimento até que a força seja cesse. 
Desta forma, uma força pequena pode gerar uma grande deformação ou 
deslocamento num fluido, desde que atue sobre este por longo tempo, e isso 
dependerá da viscosidade do fluido, que é uma medida da resistência que o fluido 
oferece no deslizamento entre camadas adjacentes. 
Podemos dizer que um fluido está em equilíbrio, quando o mesmo tem 
velocidade nula. Ou seja, não está sob ação de tensões tangenciais. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
31 
 
Massa específica 
 
Uma propriedade importante em qualquer meio material é a massa específica, 
que também é conhecida nos sólidos como densidade. Essa grandeza fornece a 
quantidade de massa por unidade de volume (no SI a sua unidade é Kg/m3) e é 
comumente representada pela letra grega ⍴ (rô). A massa específica pode variar 
ponto a ponto em um meio material ou ser constante em todo o meio. Quando 
isso ocorre, dizemos que o meio é homogêneo, e podemos escrever 
matematicamente através da seguinte razão: 
 
 
 
Apesar da unidade de massa específica no SI ser Kg/m3, também é bastante 
utilizada a relação g/cm3 para medir a mesma. A relação entre estas é a seguinte: 
1 g/cm3 = 1000 Kg/m3 
Na tabela 1, são mostrados alguns valores de massa específica de materiais 
conhecidos. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
32 
 
Tabela 1 - Densidade de alguns elementos mais conhecidos 
Líquidos Sólidos 
Material Densidade 
(g/cm3) 
Material Densidade (g/cm3) 
água a 4 ºC 1.0000 Magnésio 1.7 
água a 20 ºC 0.998 Alumínio 2.7 
Gasolina 0.70 Cobre 8.3-9.0 
Mercúrio 13.6 Ouro 19.3 
Leite 1.03 Aço 7.8 
Gases na CNTP* Chumbo 11.3 
Material Densidade 
(g/cm3) 
Platina 21.4 
Ar 0.001293 Urânio 18.7 
Hidrogênio 0.00009 Ósmio 22.5 
Hélio 0.000178 gelo a 0 ºC 0.92 
CO2 0.001977 
 
*CNTP - condições normais de temperatura e pressão 
Para obter a massa específica em Kg/m3, apenas multiplique por 1000. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
33 
 
Exemplo 1 
 
Determine a massa e o peso do ar no interior de uma sala de aula com uma 
altura de 3,0 m e um piso com uma área de 9,0 m x 5,0 m. Qual seria o valor da 
massa e do peso, caso o volume estivesse preenchido com água? 
 
Na tabela 1, encontramos a massa específica do ar e da água a 20ºC.O volume da sala é 
V = (9,0 m)x(5,0 m)x(3,0 m) = 135 m3 
 
A massa do ar pode ser obtida por: 	 	 	 	 , 	 / ⋅ 	 	 , 	 
Assim, o peso do ar é: 	 	 	 ⋅ 	 	 , 	 ⋅ , 	 / 	 	 , 	 
A massa de água necessária para ocupar o mesmo volume seria: 	 	 	 / ⋅ 	 	 	 , 	 		 
Logo, o peso seria: 	 	 	 ⋅ 	 	 , 	 		 ⋅ , 	 / 	 	 , 	 	 	 
 
que corresponde ao peso de 130 toneladas de água. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
34 
 
Peso específico 
 
Representado pela letra , o peso específico é uma grandeza que representa o 
peso de uma unidade de volume de um fluido. E por isso, é escrito 
matematicamente como: 	 	 	 ⋅ 	 
logo, 	 	 ⋅ 
com unidade de medida 	 	 ⋅ 	 
 
Exemplo: 
Se 5 m3 de uma determinada substância pesa 42 KN, determine o peso 
específico e a massa específica. 
Solução: 
Calculando o peso específico 
	 ⋅ 		 	 	 
Com este resultado podemos encontrar a massa específica apenas dividindo a 
expressão anterior pela aceleração da gravidade (g = 10 m/s2). 
Logo, 	 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
35 
 
Campo de Velocidades 
 
Um fluido é considerado um meio contínuo. Suas moléculas interagem 
continuamente umas com as outras, e não apresentam comportamento de 
partícula. Neste tipo de sistema, a velocidade em qualquer ponto do campo de 
escoamento pode variar de um instante a outro. Assim, a sua representação geral 
pode ser dada como função das dimensões de espaço e tempo. V V x, y, z, t 	ou	 (Escoamento transiente) 
 
O vetor velocidade, pode também ser escrito em termos dos seus três 
componentes escalares. V μı vȷ ωk = Mi; = Ni; = Ômega 
 
Se as propriedades do escoamento não mudam em cada ponto com o passar 
do tempo, dizemos que este é um escoamento permanente ou estacionário. V V x, y, z 	ou	 (Escoamento permanente) 
 
Em termos das dimensões, um escoamento pode ser classificado como 
Unidimensional, Bidimensional e Tridimensional, de acordo com a quantidade de 
coordenadas espaciais necessárias para especificar o campo de velocidade. V V x, y, z, t (Escoamento tridimensional e transiente) 
 V V x, y, z (Escoamento tridimensional e permanente) 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
36 
 
 
Viscosidade 
 
A viscosidade é uma propriedade que representa a capacidade que um fluido 
tem para resistir às tensões de cisalhamento. Ou seja, corresponde ao atrito interno 
entre as moléculas que compõem o fluido. 
A viscosidade mede a resistência de um líquido em fluir, e não está 
diretamente relacionada com a massa específica do líquido, que é uma relação 
massa/volume. Um exemplo claro desta diferença, podemos verificar com o óleo, 
que é mais viscoso do que a água, embora sendo menos denso. 
Tensão de cisalhamento 
 
A Tensão de cisalhamento é definida como a razão entre a componente 
tangencial da força e o módulo da área na qual esta força está sendo aplicada. 
 (1) 
Similarmente à pressão, que é definida como a razão entre a componente 
normal da força e o módulo da área em que esta força é aplicada. 	 (2) 
Fenômenos dos Transportes 
 
37 
 
 
Para compreendermos a formulação matemática da viscosidade, 
consideremos um fluido em repouso entre duas placas planas. 
 
 
A placa superior se desloca pela ação de uma força tangencial Ft 
Esta força gera uma tensão de cisalhamento 
A camada de fluido diretamente em contato com a placa superior adquire a 
mesma velocidade da placa. 
Consequentemente, pelo princípio da aderência, as camadas inferiores vão 
adquirindo velocidades cada vez menores, até que o valor chegue à zero junto à 
placa inferior. 
Esta diferença de velocidades verificada em uma seção normal às placas é que 
gera as tensões de cisalhamento e causa uma deformação contínua no fluido. 
Fenômenos dos Transportes 
 
38 
Por meio desta análise, podemos verificar também, que a tensão de 
cisalhamento é proporcional à variação de velocidade na direção normal às placas. 	 	 (3) 
 
O coeficiente de proporcionalidade que transforma a equação anterior em 
uma igualdade é chamado viscosidade dinâmica ( ) 	 			 (4) ( Lei de Newton da viscosidade) 
Matematicamente, a viscosidade dinâmica é um coeficiente de 
proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade. 
Quando o fluido apresenta uma relação linear entre as tensões de cisalhamento e o 
gradiente de velocidade, eles são classificados como fluidos newtonianos. 
 
Relação linear entre tensão de cisalhamento e gradiente de velocidade 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
39 
 
Essa viscosidade dinâmica depende fortemente da temperatura do fluido, e 
causa grande diferença de comportamento entre líquidos e gases. Nos líquidos, a 
viscosidade diminui com o aumento da temperatura. 
 
Dimensão da viscosidade (SI) 
 
Comparando as equações 1 e 4 	 	 		 	 ⋅ 	 
verificamos que a unidade de medida da viscosidade dinâmica é 
	 	 ⋅ 
Dividindo a viscosidade absoluta, , pela massa específica do fluido, , 
obtemos uma outra quantidade útil, que é a viscosidade cinemática: 	 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
40 
Influência da temperatura na viscosidade dinâmica: 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
41 
 
Nos líquidos, a intensidade das ligações moleculares é a causa dominante da 
viscosidade. Conforme a temperatura de um líquido aumenta, estas forças de 
ligação coesivas diminuem, resultando na diminuição da viscosidade; 
Nos gases, a viscosidade é efeito das colisões aleatórias entre as moléculas do 
gás. E como esta agitação molecular aumenta com a temperatura, a viscosidade 
dos gases também aumenta com a temperatura. 
A viscosidade dos líquidos e gases também varia com a pressão. Mas muito 
pouco dentro de um intervalo de pressão considerável. Assim, costuma-se 
considerar a viscosidade como independente da pressão. 	 	 Viscosidade como função da temperatura 
Fluidos Newtonianos e não Newtonianos 
Como dissemos anteriormente, os fluidos newtonianos são aqueles que 
apresentam uma relação linear entre as tensões de cisalhamento e o gradiente de 
velocidade. Portanto, a viscosidade aparece como um valor constante. 
Já os fluidos não newtonianos apresentam uma viscosidade que não 
apresenta este comportamento regular. Esta pode variar com a força aplicada, e até 
mesmo variar no tempo; gerando um comportamento diferenciado como o das 
misturas heterogêneas como concreto, massa de amido e água etc. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
42 
 
Assim, podemos dizer que fluidos não newtonianos não têm viscosidade 
muito bem definida. 
Figura xxx: Tensão de cisalhamento em alguns tipos de fluido 
 
Fonte:Fox R. W., McDonald A. T. e Pritchard P. J., Introdução à mecânica dos fluidos 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
43 
 
Exemplo 
Um reservatório graduado contém 500 ml de um líquido que pesa 6 N. 
Determine o peso específico e massa específica do líquido ( considerar g=9,8 m/s2 ). 
Solução 	 	 	 	 	 , 	 	 	 , ⁻ 	 	 	 ⋅ 	 	 	, 	 	 / 
 	 	 /, 	 / , 	 / 
 
É hora de se avaliar! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
44 
 
 
Exercícios - Unidade 2 
 
1. A massa específica de um fluido é 610 Kg/m3. Determine o peso específico 
deste fluido. 
 
 
 
 
 
 
2. O peso de 3 dm³ de uma substância é 23,5 N. A viscosidade Cinemáica é de 
10-5 m2/s. Se g = 10 m/s² qual será a viscosidade dinâmica no SI? 
 
 
 
 
 
 
 
3. A Lua possui massa de 7,35 x 1022 Kg e raio igual a 1740 Km. Qual é a sua 
densidade média? 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
45 
 
4. Você compra uma peça retangular de metal com massa de 0,0158 Kg e com 
dimensões 5,0 x 15,0 x 30,0 mm. O vendedor diz que o metal é ouro. Para verificar 
se é verdade você deve calcular a densidade média da peça. Qual o valor obtido? 
 
 
 
 
 
 
5. Um sequestrador exige como resgate um cubode platina com 40,0 Kg. Qual 
é o comprimento da aresta? 
 
 
 
 
 
 
 
6. Para um carro com massa 1650 Kg, qual deverá ser a área de contato de 
cada pneu com o solo, para que haja uma pressão de 8,25 x 104 Pa entre eles? 
Considere a aceleração da gravidade 10 m/s2. 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
46 
7. Um tanque de ar comprimido contém 6 Kg de ar a 80ºC, com peso 
específico de 38,68 N/m3. Determine o volume do tanque. 
 
 
 
 
8. Um reservatório cilíndrico possui diâmetro de base igual a 2m e altura de 
4m, sabendo-se que o mesmo está totalmente preenchido com gasolina (ρ = 720 
kg/m³), determine a massa de gasolina presente no reservatório. 
 
 
 
 
9. Um reservatório cúbico com 2m de aresta está completamente cheio de 
óleo lubrificante (ver propriedaes na Tabela). Determine a massa de óleo quando 
apenas ¾ do tanque estiver ocupado. Dados: γH2O = 10000N/m³, g = 10m/s². 
 
 
 
 
10. Duas placas planas paralelas estão situadas a 3 mm de distância. A placa 
superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto que a inferior está imóvel. 
Considerando que um óleo ( , 	 	 / 		 	 / 	) ocupa o 
espaço entre elas, determine a tensão de cizalhamento que agirá sobre o óleo. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
47 
 
3 Fluidostática 
Fenômenos dos Transportes 
 
48 
 
Nesta unidade, estudaremos o caso particular de fluidos em equilíbrio, 
analisaremos a atuação de forças sobre um volume de fluido e apresentaremos 
algumas equações importantes para a análise de problemas nestas condições. 
 
Objetivo da unidade 
Analisar atuação de forças sobre um volume de fluido; 
Apresentar algumas equações importantes para análise de problemas nestas 
condições. 
 
Plano da unidade: 
 Equações Básicas da Fluidostática 
 Aplicações da equação fundamental da hidrostática 
 Pressões Absoluta e Manométrica 
 Atmosfera Padrão 
 Empuxo Hidrostático em Superfície Submersa 
 
Bons estudos! 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
49 
 
Um fluido está em equilíbrio quando as porções que o compõem estão 
também em equilíbrio. E para que isso aconteça, é necessário que as forças que 
atuam em cada porção do fluido se anulem. 
 
Esta exigência é consequência da 2ª Lei de Newton. Visto que, se houver a 
presença de força resultante não nula, o fluido tenderá ao escoamento. 
Tipos de forças atuantes sobre uma porção de fluido 
 
Forças Volumétricas 
São forças que possuem longo alcance, como a gravidade, que atua em todos 
os elementos do fluido e, portanto, a resultante será sempre proporcional ao 
volume. Um segundo exemplo de força volumétrica é a força elétrica que atua 
sobre um fluido carregado. Para o caso da força de atração gravitacional, podemos 
escrever a resultante como: 	 	 	 	 	 	 
 
Forças Superficiais 
É um tipo de força que ocorre entre porções adjacentes do fluido. Ocorre pela 
interação interatômica, e, portanto, são de curto alcance. 
Um exemplo de força superficial é a reação de contato entre um fluido e o 
recipiente que o contêm. Assim como a força que uma camada de fluido exerce 
sobre outra camada adjacente. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
50 
 
Figura 2.1: Exemplo de força superficial 
 
 
A força superficial sobre um elemento de superfície é proporcional à área . 
Figura 2.2: elemento de volume sob ação de forças superficiais 
 
 
A figura 2.2 representa um elemento de fluido, com elemento de superfície , 
cuja orientação é indicada pelo vetor normal n. Neste sistema, convenciona-se que 
uma tensão positiva ao longo de n é uma tensão de tração e uma tensão negativa 
ao longo de n é uma tensão de pressão. 
Quando desprezamos o peso do fluido, a pressão no interior do mesmo será a 
mesma em todos os pontos do volume. Contudo, o peso de um fluido não é 
desprezível e verificamos o efeito disso com bastante facilidade em nosso 
cotidiano. 
Fenômenos dos Transportes 
 
51 
Quando mergulhamos em uma piscina ou em um mar aberto, é fácil perceber 
que todo o volume de água que fica acima de nós exerce uma pressão sobre o 
nosso corpo e que é percebida primeiramente pelos ouvidos. 
À medida que vamos descendo a maiores profundidades, esta pressão vai 
aumentando. Podemos deduzir uma expressão que modela matematicamente 
este comportamento da natureza da seguinte maneira. 
Consideremos inicialmente um volume de fluido em equilíbrio. Deste volume, 
analisemos um infinitesimal elemento de volume com altura dy (fig 2.3). Neste as 
superfícies inferior e superior possuem a mesma área A e as suas respectivas alturas 
são y e y + dy. Desta maneira, o volume do elemento de fluido é dV = A dy, com 
massa dada por é 	 	 	 	 	 peso dado por 	 	 	 	 	 . 
Figura 2.3: Elemento de volume dV de um fluido em equilíbrio 
 
 
Agora, considerando as forças que atuam sobre este elemento de fluido, 
vemos que a força resultante que atua na superfície inferior deste volume é ⋅ e 
a força resultante que atua na superfície superior é dada por . Lembre-
se: 	 	 / (pressão é igual à força por unidade de área). 
Como o elemento de fluido está em equilíbrio, a soma das componentes 
verticais das forças atuantes deve ser igual a zero. Desta condição, temos: 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
52 
Logo, 	 	 	 	 ⋅ ⋅ ⋅ = 0 
(Somatório das componentes verticais de força) 
Para obter o perfil de pressão, dividimos a expressão acima pela área: 	 	 	 	 	 	 	 
 	 (equação 2.1) 
 
Esta equação obtida nos mostra a variação da pressão em relação à altura. E 
nos diz que à medida que y aumenta p diminui. Ou seja, à medida que subimos 
através do fluido em equilíbrio, a pressão diminui. Como já esperávamos. 
Para estendermos esta análise para um volume maior de fluido em equilíbrio, 
consideramos p1 e p2 as pressões para as alturas y1 e y2 respectivamente e e 
constantes. 
Logo, 	 	 	 	(equação 2.2) 
E para tornar mais simples a aplicação desta expressão, podemos escrevê-la 
em termos da profundidade h abaixo da superfície do fluido (figura 2.4). 
Figura 2.4: Aumento da pressão com a profundidade em um fluido em 
equilíbrio. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
53 
Consideramos para isto, o ponto 1 com pressão p em qualquer nível abaixo da 
superfície e o ponto 2 na superfície do fluido, onde a pressão é . Desta forma, a 
profundidade do ponto 1 abaixo da superfície é ,	 	 	 permitindo 
reescrever a equação 2.2 como 	 	 (equação 2.3) 
Esta expressão é uma simplificação (estudo unidimensional) da Lei de Stevin 
(Equação Fundamental da Hidrostática), que mostra que a pressão no interior de 
um fluido aumenta linearmente com a profundidade. 
Desta expressão, podemos chegar a duas conclusões: 
– A diferença de pressão entre dois pontos de uma massa líquida em equilíbrio 
é igual à diferença de profundidade multiplicada pelo peso específico (	 	 	
 ). 
– No interior de um fluido em repouso, pontos de uma mesma profundidade 
suportam a mesma pressão. 
Exemplo: 
Calcule em atm a pressão a que um submarino fica sujeito quando baixa a 
uma profundidade de 100 metros. Para a água do mar adote que a densidade vale 
1000 kg/m3. 
Figura 2.5: Submarino submerso 
 
Solução: 
Fenômenos dos Transportes 
 
54 
Profundidade = 100 metros (altura) 
Densidade da água = 1000 kg/m³ 
Aceleração da gravidade (g) = 10 m/s² 
Pressão na profundidade 100 m: 	 	 	 	 	 , 	 / 	 / 	 	 , 	 	 , 	 	 	 	 , 	 	 	 	 
Lembramos aqui, que na superfície do mar, a pressão p0 é a pressão 
atmosférica e que têm valor aproximado de 1 atm ao nível do mar. 
Deste cálculo simples, verifica-se que a cada 10 metros de profundidade a 
pressão aumenta 1 atm (atmosfera). 
Aplicações da Equação Fundamental da Hidrostática 
Vasos Comunicantes 
 “A altura de um líquido incompressível em equilíbrio estático preenchendo 
diversos vasos comunicantes independe da forma dos mesmos.” A superfície livre é 
horizontal, e o líquido sobre até a mesma altura h em todos os ramos. Resulta da 
Leide Steven. 
Figura 2.6: Vasos comunicantes 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
55 
Uma utilização muito comum deste princípio é para a medição de nível na 
construção civil. O pedreiro costuma utilizar uma mangueira de borracha 
completamente cheia de água. Ele estende esta na forma de uma letra U. Em 
ambos os ramos do tubo, o nível de água será o mesmo, e assim ele consegue fazer 
que partes distantes de uma mesma construção estejam no mesmo nível (cota). 
Vasos comunicantes com fluidos de densidades diferentes 
Figura 2.7: Vasos comunicantes com fluidos de densidades diferentes 
 
 	 	 
 
A pressão sobre a linha 1-2 é p 
Calculando através da Lei de Stevin a pressão nos pontos 1 e 2, teremos: 
 	 	 	 	 	 	 	 	 
 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
56 
Pressão absoluta, Pressão atmosférica e pressão manométrica 
Se a pressão no interior de um balão de aniversário (bola inflável) fosse igual à 
pressão atmosférica, o balão ficaria murcho. A pressão no seu interior deve ser 
maior do que a pressão atmosférica para que ele possa permanecer firme. Neste 
caso, a grandeza que importa é a diferença de pressão entre o interior e exterior do 
balão. A esta diferença, damos o nome de pressão manométrica. À pressão total 
que é dada pela soma da pressão no interior mais a pressão do meio exterior 
damos no nome de pressão absoluta. 
Portanto, quando calibramos o pneu de um carro, o aparelho calibrador nos 
mostra o valor da pressão manométrica. 
No interior deste aparelho existe um manômetro, que é o que realmente mede 
a pressão. 
Medidores de pressão 
Manômetro de tubo fechado 
Um dos primeiros instrumentos de medida de pressão, que é o mais simples, 
foi baseado em uma coluna de fluido e desenvolvido por Torricelli; 
Consistia em um tubo de vidro com 1,0 m de comprimento, fechado em uma 
das extremidades que após ser preenchido com mercúrio, era emborcado em uma 
cuba do mesmo elemento. A coluna de mercúrio no tubo vertical, inicialmente com 
um metro de comprimento, sofre redução de altura em razão da fuga do fluido 
pela abertura inferior, diminuindo o comprimento indicado por H. Esse fenômeno 
provoca o aparecimento de um espaço sobre a coluna de mercúrio, que é ocupado 
por seu vapor. Da eq. (2.3) pode-se determinar a pressão atmosférica patm em 
termos da altura H da coluna de mercúrio. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
57 
 
Figura 2.8: Manômetro de mercúrio (tubo fechado) 
 
 	 	 	 
 	 	 	 
 	 	 
 
Vicenzo Viviane ao realizar este experimento elaborado por Torricelli obteve a 
medida de 76 cm para a coluna de mercúrio. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
58 
 
Manômetro de tubo aberto 
Figura 2.9: Manômetro de tubo aberto 
 
 
Este tipo de manômetro é utilizado para medir pressões manométricas. Possui 
um tubo em forma de U contendo um fluido de densidade conhecida. Em uma 
das extremidades é conectado um recipiente com fluido de densidade também 
conhecida e cuja pressão deseja-se medir. 
A outra extremidade do tubo fica aberta (pressão atmosférica). 
Assim temos: 	 	 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
59 
 
Princípio de Pascal 
Conforme a equação fundamental da hidrostática, a diferença de pressão 
entre dois pontos de um líquido homogêneo em equilíbrio é constante, 
dependendo apenas do desnível entre eles. 
Logo, se variamos a pressão num ponto do líquido, essa variação se transmite 
a todo o líquido. Assim, todos os pontos do líquido sofrem a mesma variação de 
pressão. 
Este princípio fica bastante evidente no funcionamento de uma prensa ou 
elevador hidráulico conforme o da figura 2.6. 
Figura 2.6: Prensa hidráulica 
 
 
Quando uma força F1 é exercida para baixo sobre o pistão menor de área A1 o 
líquido (incompressível) contido no dispositivo exerce uma força para cima de 
módulo F2 sobre o pistão maior de área A2. 
A variação de pressão ΔP produzida pela força de entrada F1 exercida pelo 
pistão menor é transferida ao pistão maior, sobre o qual passa a atuar uma força de 
saída F2. A equação a seguir relaciona estas grandezas: 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
60 
 
 
 	 	 
 
Como A2 > A1, pela relação acima fica claro que a força de saída F2 exercida 
sobre a carga é maior que a força de entrada F1. 
 
Exemplo: 
Numa prensa hidráulica, as áreas dos êmbolos são SA = 100cm2 e SB = 20cm2. 
Sobre o êmbolo menor, aplica-se uma força de intensidade de 30N que o desloca 
15cm. Determine: 
a) a intensidade da força que atua sobre o êmbolo maior. 
b) o deslocamento sofrido pelo êmbolo maior. 
 
Solução: 
 
a) Pelo Princípio de Pascal: 
 		
 
 
 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
61 
b) O volume de líquido transferido do êmbolo menor para o maior é o mesmo. 
Logo, 	 	 	 ⋅ 	 ⋅ 	 	 ⋅ 	 
 
Princípio de Arquimedes 
 “Um corpo total ou parcialmente imerso num fluido recebe do fluido um 
empuxo igual e contrário ao peso da porção de fluido deslocada e aplicado no 
centro de gravidade da mesma.” 
O empuxo é um fenômeno bastante conhecido. Naturalmente percebe-se que 
um corpo imerso em água parece possuir peso menor do que ar. Quando este 
corpo possui densidade menor que a do fluido, ele flutua. 
Este efeito é resultado das forças de superfície que atuam sobre o corpo 
quando o mesmo é imerso no fluido. O somatório das forças de superfície é igual 
ao peso da porção de fluido deslocado. 
Considerando o cilindro submerso da figura 2.11 
Figura 2.11: cilindro sólido submerso em líquido 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
62 
Observa-se que as forças de contato que agem na lateral do cilindro, se 
anulam uma a uma. Contudo, as forças que agem na área superior e inferior do 
mesmo podem ser escritas como função da pressão nestas profundidades 
correspondentes. Assim, a resultante é a força de empuxo, dada por: 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 
(Empuxo é igual ao peso de fluido deslocado) 
 
Onde e são as forças sobre as superfícies inferior e superior de área A 
do sólido respectivamente; 
V é o volume do objeto submerso 
Exemplo: 
Em um recipiente há um líquido de densidade 2,56g/cm³. Dentro do líquido 
encontra-se um corpo de volume 1000 cm³, que está totalmente imerso. Qual o 
empuxo sofrido por este corpo? Dado g=10m/s² 
Resposta: 
Primeiramente devemos calcular a quantidade do fluido deslocado: 	 , 
Depois realizamos o cálculo do empuxo: 	 	 , 	 / 	 / , ) 
Leitura complementar: 
 
-FOX, R.W.; MCDONALD, A. T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 5. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2001. 
- YYOUNG, HUGH D. Física II: Termodinâmica e ondas. 10ª ed. São Paulo: Addison 
Wesley, 2003. 
 
É hora de se avaliar! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no 
processo de ensino-aprendizagem. 
Fenômenos dos Transportes 
 
63 
 
Exercícios - Unidade 3 
 
1. Suponha que uma caixa d’água de 10 metros esteja cheia de água cuja 
densidade é igual a 1 g/cm3. A pressão atmosférica na região vale 105 Pa eg é igual 
a 10 m/s2. Calcule a pressão, em Pa, no fundo da caixa d’água e marque a opção 
correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um elevador de veículos é acionado por um cilindro de 45cm2 de área útil, 
no qual se pode aplicar uma força máxima de 1200N. O óleo pelo qual é 
transmitida a pressão é comprimido em outro cilindro de 765 cm2. Qual é a 
capacidade de levantamento do elevador? A resposta deve ser dada em 
quilogramas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
64 
 
3. No elevador mostrado na figura a seguir, o carro no cilindro à esquerda, na 
posição E, tem uma massa de 900 kg, e a área da secção transversal do cilindro é 
2500 cm2. Considere a massa do pistão desprezível e a aceleração da gravidade 
igual a 10 m/s2. A área da secção transversal do cilindro, na posição D, é 25 cm2, e 
o pistão tem massa desprezível. 
 
Se o elevador for preenchido com óleo de densidade 900 kg/m3, a força 
mínima F, emnewton, necessária para manter o sistema em equilíbrio será? 
 
 
 
4. Um cubo de madeira de aresta 20 cm tem massa 4,8 kg. Colocado em um 
tanque com água, ele flutua parcialmente imerso. Adotando g = 10 m/s2 e dágua = 
1,0 . 103 kg/m3, a força vertical mínima capaz de deixá-lo totalmente imerso vale, 
em newtons. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
65 
 
5. Imagine que você esteja diante de uma piscina de 4 metros de 
profundidade. Calcule a pressão no fundo dessa piscina em Pa (pascal) e atm. 
 
 
 
 
 
6. Uma pequena bola de borracha está presa por um fio leve ao fundo de um 
recipiente cheio com água, como mostra figura. Se o volume da bola submersa for 
500 cm3 e sua massa for 100g, qual será a tensão no fio? (Considere a aceleração da 
gravidade local igual a 10 m/s2 e a massa específica da água 1g/cm3) 
 
 
 
 
 
7. Os raios das seções dos êmbolos de uma prensa hidráulica medem 5 cm e 
25 cm. Se aplicarmos ao êmbolo menor uma força perpendicular de 40N, qual será 
a força exercida pelo líquido sobre o êmbolo maior? 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
66 
 
8.Um bloco sólido, maciço e homogêneo, possui 10 cm de altura, 4 cm de 
profundidade, 6 cm de comprimento e massa de 480 g. Determine a massa 
específica da substância que o constitui. 
 
 
 
 
 
 
9.Na figura abaixo, a densidade do líquido A é , 	 / e a do líquido C 
é , 	 / , então, determine a densidade do líquido B em g/cm3. 
 
 
 
10.Uma balsa tem 10 m² de área da base em contato com a água, cuja 
densidade é 1 . 10³ kg.m-3. Nesta situação, a balsa flutua, estando submersa 7,5 cm 
de sua altura. Um homem, após subir na balsa e esperar as águas se acalmarem, 
verifica que a altura submersa torna-se 8,2 cm. Qual a massa do homem em Kg. 
 
 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
67 
 
4 Cinemática dos Fluidos 
Fenômenos dos Transportes 
 
68 
Nesta unidade veremos como extrair e analisar grandezas importantes de um 
fluido em movimento. 
 
Objetivo da unidade: 
Abordar conceitos e formulações matemáticas importantes para a descrição 
do movimento de fluidos. Para isso, faremos a classificação de alguns tipos de 
escoamento e analisaremos a importância da conservação de algumas grandezas 
como massa, energia e momento para a descrição de movimento dos fluidos. Após 
esta análise veremos algumas simplificações e aplicações destas equações como a 
equação de Bernoulli e o estudo do fenômeno de Venturi. 
 
Plano da unidade: 
 Descarga de uma grandeza N 
 Tipos de regime de escoamento 
 Tipos de escoamento 
 Equação de Bernoulli 
 Tubo de Pitot 
 Fenômeno de Venturi 
 
Bons estudos! 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
69 
 
Descarga de uma grandeza N 
Na mecânica dos fluidos, podemos definir 
grandezas de dois tipos: Intensivas, que são 
independentes da massa de fluido em análise e 
extensivas, que terão seus valores alterados de 
acordo com a quantidade de massa em estudo. 
Deste modo, as grandezas intensivas poderão ser 
escritas em função das grandezas extensivas da 
seguinte maneira. 	 
 
Para definir o escoamento e os processos de 
transferência que ocorrem em um fluido, é 
necessário quantificar as grandezas envolvidas no movimento deste. E de maneira 
geral, isso é feito definindo-se o transporte de uma grandeza extensiva N que 
também terá a sua correspondente grandeza intensiva n no escoamento. 
 
Conceito 
Cinemática é a parte da mecânica dos 
fluidos que estuda o movimento e a vazão 
de uma massa fluida entre delimitadas 
superfícies sob a ação da gravidade e/ou 
pressões externas. O movimento dos 
fluidos é geralmente conhecido como 
escoamento, e que é caracterizado pela 
movimentação de suas moléculas, umas em 
relação às outras e aos limites impostos ao 
sistema em estudo (massa de fluido). Estes 
escoamentos são descritos por alguns 
parâmetros físicos que podem variar no 
tempo e nos espaço, permitindo a 
classificação do mesmo e também 
proporcionando uma descrição matemática 
do fenômeno. 
Fenômenos dos Transportes 
 
70 
 
A tabela a seguir apresenta alguns exemplos de grandezas extensivas e suas 
correspondentes grandezas intensivas. 
Tabela 4.1: Grandezas intensivas e extensivas 
Extensivas Intensivas 
Massa m 1 
Quantidade de movimento mV Velocidade V 
Volume vol Volume específico V 
Energia Interna U Energia interna específica U 
Energia cinética ½ m V² Energia cinética específica ½ V² 
Energia potencial mgh Energia potencial específica Gh 
 
Descarga de uma grandeza extensiva N 
A descarga de uma grandeza genérica N pode ser matematicamente expressa 
como a razão entre a quantidade da grandeza física referida N e o tempo que esta 
quantidade leva para atravessar uma superfície de referência (superfície de 
controle). 
 
 
A partir desta equação, pode-se obter uma segunda expressão para o cálculo 
da descarga da grandeza N por meio da área A do escoamento e da velocidade V 
do fluido. E como a grandeza N e a velocidade V variam em função do espaço, o 
problema deve ser tratado de forma diferencial, adotando-se um elemento de 
fluido com um volume de área dA e comprimento dx, com massa específica ⍴ que 
no instante t localiza-se no limite da região à esquerda da superfície de referência. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
71 
 
Fig 4.1: Fluido com velocidade V através da superfície A. 
 
A quantidade da grandeza dN contida no elemento de fluido de massa dm, 
pode ser escrita como: 	 	 	 	 	 	 	 	 
Assim, temos que: 	 	 	 	 
 
Onde dx / dt representa a componente horizontal da velocidade Vx, calculada 
pelo produto do módulo do vetor velocidade e do cosseno do ângulo α entre a 
velocidade e a normal à superfície de controle: 	 	 	 |	 | 	 
 
E substituindo na quinta equação, temos: 	 	 	 	 	 	 	 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
72 
Considerando um versor na direção da normal à superfície de referência, 
pode-se definir o vetor área 	 	 	 	 em que dA é o módulo do vetor área. 
Dessa forma, reescreve-se a equação (3.6): 	 	 	 | |	| |	 	 
 
Em notação vetorial, tem-se: 	 	 	 
 
A descarga da grandeza N que atravessa a área A pode ser obtida integrando-
se a equação anterior 	 	 	 	 
Descarga, vazão e fluxo 
a ) Descarga de massa Dm ou simplesmente descarga . é definida como a 
quantidade de massa que atravessa a superfície de controle na unidade de tempo. 
 
 
 
E as unidades de medidas para esta grandeza são 
 	 
b) Vazão (Q) é definida como relação entre volume de fluido que atravessa 
uma superfície e o tempo gasto para atravessá-la. 	 	 
 	 		 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
73 
E suas unidades de medida são: 
 	 , havendo a possibilidade de expressá-las também nas unidades 
m³/h, L/min, L/h. 
c) Fluxo é a quantidade de uma grandeza que atravessa uma superfície por 
unidade de tempo e área, podendo ser escrita como: 	 	 
 
Tipos de regime de escoamento 
 
Regime permanente 
O regime permanente é caracterizado pelo fato de as propriedades do fluido 
não variarem com o tempo em um mesmo ponto. Podendo variar de ponto a 
ponto. 
Considerando o esquema a seguir, podemos exemplificar este tipo de regime: 
Em (1) entra uma certa quantidade de líquido que é idêntica à quantidade que 
sai em (2), assim, as propriedades como velocidade, pressão, massa específica etc., 
têm valores fixos em cada ponto com o passar do tempo, mas variam conforme a 
posição. 
 
Regime Variado 
Neste regime ocorre a variação das propriedades do fluido em um mesmo 
ponto com o passar do tempo. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
74 
 
Tipos de escoamento 
 
A definição dos tipos de escoamento foi baseada na experiência de Reynolds 
(1883). E esta experiência consistia de um reservatório contendo água, um tubo 
transparente com válvula de regulagem ligado a este reservatório, e dentro deste 
reservatório principal foi colocado um reservatório menor contendo corante e que 
permitia a injeção de um filete decorante no eixo do tubo transparente (ver figura). 
 
 
Nesta experiência, concluiu-se que ao abrir a válvula (5), é formado um filete 
reto e contínuo de fluido colorido no eixo do tubo e ao abrir ainda mais a válvula 
(5), este mesmo filete começa a apresentar ondulações e desaparece depois do 
ponto de injeção. 
 
Escoamento Laminar 
Um escoamento laminar é aquele em que os vetores de velocidade 
permanecem quase que constantes em cada ponto do escoamento. Isto significa 
que o fluido escoa sem agitações, mantendo-se em lâminas, ou seja, linhas de 
corrente que não se cruzam. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
75 
 
Escoamento turbulento 
É aquele escoamento em que as partículas do fluido se misturam de forma não 
linear, num movimento caótico, consequente das velocidades transversais 
existentes entre os elementos de fluido. 
Este experimento de Reynolds permitiu inferir que é possível distinguir o 
regime de escoamento (laminar ou turbulento) avaliando um número 
adimensional que posteriormente ficou conhecido como Número de Reynolds e é 
definido como: 	 	 
 
Onde 
Re - número de Reynolds 
 - massa específica do fluido 
D - é o comprimento de referência do problema 
- viscosidade dinâmica do fluido 
 
Assim, foi observado que 
Para valores de Re < 2000 o escoamento comporta-se como laminar 
Para valores de Re entre 2000 e 2400 temos um comportamento de transição 
entre laminar e turbulento 
E para valores de Re > 2400 
Relação entre vazão e velocidade de escoamento 
Como vimos anteriormente, a vazão é definida como o volume de fluido que 
atravessa certa seção de escoamento por unidade de tempo. Considerando a figura 
a seguir, e pela definição de vazão temos que: 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
76 
	 		 	 ⋅ ⋅ 
 
Onde 
Q - vazão em volume do fluido 
Vol - volume do fluido 
T - tempo 
S - deslocamento do fluido 
A - área da seção transversal do tubo 
V - velocidade do fluido 
 
Mas devemos sempre considerar, que na realidade a distribuição de 
velocidades na seção A não é uniforme, apresentando um perfil aproximadamente 
em forma de parábola. 
Fig. Distribuição de velocidades numa seção de escoamento. 
 
 
Mas devemos sempre considerar que, na realidade, a distribuição de 
velocidades na seção A geralmente não é uniforme, apresentando um perfil 
aproximadamente em forma de parábola. Isso ocorre pelo fato de os fluidos 
possuírem certa viscosidade, que causa aderência às superfícies sólidas com as 
quais estão em contato. 
Fenômenos dos Transportes 
 
77 
O conceito de perfil uniforme de velocidade no interior de um tubo é uma 
simplificação que tem como objetivo simplificar os cálculos e representar por meio 
de um valor médio na seção o perfil parabólico de velocidade na seção. 
Essa velocidade média de escoamento é determinada a partir da igualdade 
das vazões dadas pelo perfil real de velocidade e pelo perfil uniforme de 
velocidade média na seção. 
Equação de continuidade 
Consideremos um escoamento de um fluido por um tubo cuja vazão em 
massa é dada por 
 
Qm = ρ . Q = 
m
t
 
Onde Qm é a vazão em massa do fluido. 
Podemos considerar Qm1 a vazão mássica na entrada do tubo e Qm2 a vazão 
mássica na saída do mesmo tubo; 
Considerando também, o regime de escoamento permanente, podemos dizer 
que a vazão Qm1 é igual à Qm2, pois não há perda ou acréscimo de massa no interior 
do tubo. 
E, por isso, podemos escrever: 
 
Qm1 = Qm2 ou ρ1 . Q1	= ρ2 . Q2 ou ρ1 . V1. A1	= ρ2 . V2 . A2 
 
Que é conhecida como equação de continuidade ou conservação de massa, 
onde V1 e V2 são as velocidades médias nas seções 1 e 2 de áreas A1 e A2 
respectivamente do escoamento. 
No caso em que o fluido é incompressível as densidades 	 	 são iguais, e a 
equação fica simplificada por: 
V1 . A1	= V2. A2 
 
-Equação de conservação de energia 
Fenômenos dos Transportes 
 
78 
Ao analisar um escoamento, podemos dizer que estão associadas ao fluido 
alguns tipos de energia. 
-Energia Potencial 
É devida à posição do fluido no campo gravitacional em relação ao plano 
horizontal de referência. E é medida pelo potencial de realização de trabalho no 
sistema. 
Fig - energia potencial 
 
 
Pode ser obtida pela seguinte expressão 
 
Ep = m × g × z 
 
Energia cinética 
É a energia característica de um sistema que se encontra em movimento 
(possui massa e velocidade). Pode ser expressão pela seguinte equação: 
Ec	= m ×	V22 
Energia de pressão 
É a energia que corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que 
atuam sobre o fluido. 
Considerando o escoamento da figura a seguir e com uma seção transversal 
de área suficientemente pequena, de maneira que a pressão seja uniforme na 
seção, então a força aplicada pelo fluido externo à seção A deverá ser 	 	 
Fenômenos dos Transportes 
 
79 
 
E no intervalo de tempo dt, o fluido será deslocado para uma distância ds sob 
a ação desta força aplicada que também produzirá um trabalho dado por: 	 	 	 	 	 	 	 	 	 
 
Assim, temos que: 
 	 
 
Fig - esquema - energia de pressão 
 
 
Energia mecânica total do fluido 
 
Considerando apenas os efeitos mecânicos sobre um escoamento, a energia 
total do sistema fluido será escrita por: 
E = Ep + Ec + Epr 
 
Ep = m × g × z + 
m × V2
2
	+ p ×	dv 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
80 
Equação de Bernoulli 
O princípio da conservação de energia é a aplicação da Primeira Lei da 
termodinâmica a uma sistema. E numa formulação de volume de controle pode ser 
escrita como 
Qc	-	W	= dEdt 
Onde é o calor trocado entre o meio e o sistema, sendo positivo quando 
entra no sistema 
é o trabalho trocado enre o sistema e o meio, sendo positivo quando sai do 
sistema 
E representa a energia do sistema. 
 
Desta maneira, a energia total do sistema pode ser expressa como: 
 
ES= e
S
dm= e
VS
ρdV com e=eint + gz + 
1
2
v2 
 
Onde 
é a energia interna específica associada à temperatura 
V é o módulo do vetor velocidade 
Z é a altura do elemento de fluido de massa dm em relação ao nível de 
referência. 
Escrevendo a Primeira Lei da termodinâmica na formulação integral para um 
volume de controle, temos: 
Qc - W = 
∂
∂t
e
VS
ρdV + e
SC
ρvdA 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
81 
Onde os termos da equação 
Representam na sequência 
 
+ A taxa de calor adicionada pelo meio ao volume de controle 
- A taxa de trabalho realizado pelo volume de controle pelo meio 
= (IGUAL) 
+ Vazão de energia para fora do volume de controle 
- Vazão de energia para dentro do volume de controle 
+ Taxa de acúmulo de energia no volume de controle 
 
A equação de Bernoulli propriamente dita é consequência da aplicação da 
equação de Euler a um escoamento em regime permanente. Esta equação é de 
larga aplicação na mecânica de fluidos e, para chegar à dedução da mesma, deve-
se considerar um volume de controle com propriedades uniformes nas seções de 
entrada e saída, 
e+ 
p
ρ
	
SC
ρvdA	= 
eint1 + gz1 + 
v1
2
2
+ 
p
1
ρ
1
	 -ρ
1
 V1 A1 	+ eint2 + gz2 + v222 + p2ρ
2
	 -ρ
2
 V2 A2 
 
e além disso devemos considerar outras hipóteses: 
- O regime é permanente (não varia no tempo): logo 	
∂
∂t
e
VC
ρdV = 0 
 
O escoamento é incompressível: 	 	 
O escoamento é invíscido (viscosidade nula): 
Não existe a interação de calor e trabalho: 	 e , , 
 
E aplicando-as sobre a equação completa, temos: 
Fenômenos dos Transportes 
 
82 
0	= eint1 + gz1 + v122 + p1ρ
1
 ρ
1
 V1 A1 + eint2 + gz2 + 
v2
2
2
+ 
p
2
ρ
2
 ρ
2
 V2 A2 
 
E sabendo que a lei de conservação de massa implica que : 
 
ρ
1
 . V1 . A1	= ρ2 . V2. A2 
 
Podemos cancelar os termos de vazão mássica e energia interna, ficamos com: 
 
gz1 + 
v1
2
2
+ 
p
1
ρ
= gz2 + 
v2
2
2
+ 
p
2
ρ
	⟺ 	 z1 + v122g + p1ρg = z2 + v222g + p2ρg 
 
Essas relações apresentadas são conhecidas como Equação de Bernoulli e que 
nos mostra que ao longo deum filamento de fluido a soma das parcelas 
z1 + 
v1
2
2g
+ 
p
1
ρg
 
É igual a um valor constante 
 
z1 + 
v1
2
2g
+ 
p
1
ρg
	=	constante 
 
Os termos desta equação possuem dimensão de comprimento e são 
denominadas CARGAS. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
83 
 
Carga cinética - 
Carga de pressão - 
Carga de posição - z 
 
Exemplo 1: 
A figura mostra um esquema de um dispositivo para borrifar água. O ar é 
soprado pelo tubo (1) formando um jato com velocidade V sobre a extremidade do 
tubo (2). Esse jato se expande no meio da atmosfera estagnada, de modo que a 
velocidade do ar tende a zero longe da saída do tubo. A água é aspirada pelo tubo 
(2). Considerando regime permanente e sem atrito viscoso, sendo á	 , determine o valor mínimo da velocidade V do jato de ar para que a água 
aflore na extremidade do tubo (2). 
[Fundamentos de fenômenos de transporte- Um texto para cursos básicos] 
 
Hipóteses: 
 Regime permanente; 
 Escoamento incompressível; 
 Sem perdas por atrito. 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
84 
Considerando a linha de corrente horizontal entre o ponto A e o ponto B 
localizado longe da saída do tubo, temos que γ 	 	Vg 	 	 pρ g 	 		 γ 	 	Vg 	 	 pρ g	
 
 
A velocidade do escoamento de ar tende a zero longe da saída do tubo (1), de 
modo que no ponto B temos que 	 	 					 					 	 	 
 
E como a linha de corrente é horizontal, temos que 	 , de modo que no 
ponto B temos pρ g	 	Vg 	 		 pρ g	
 
E que pode ser escrita como 
 p 	p 	 ρ V 
 
Para a água aflorar na extremidade do tubo (2) é necessário que p 	p 	 ρá gh	 	 ρ gh 
 
 
De forma que ρ V 	 	 ρ gh 
 
E resulta em V 	 gh 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
85 
 
Aplicações 
Tubo de Pitot 
Para medir grandezas como velocidade e pressão em um fluido em 
movimento, é necessário inserir no meio de estudo algum instrumento que 
naturalmente irá perturbar o meio em questão. 
Um instrumento bastante utilizado é o tubo de Pitot, que consiste em um 
corpo afilado onde contém em seu interior um manômetro diferencial que mede a 
diferença de pressão p - p0 conforme mostrado na figura a seguir. Este instrumento 
é bastante utilizado para medir a velocidade de aviões. 
 
No ponto O é onde ocorre uma estagnação do escoamento, ou seja, a 
velocidade fica muito próxima de zero e a pressão se eleva para p0 (chamamos de 
pressão dinâmica) e no ponto A a velocidade tem o mesmo valor daquela antes de 
o fluido encontrar o tubo. 
Desta maneira, a equação de Bernoulli fica reduzida ao ponto O. p 	 	p	 	 ρv 
Assim, a diferença de pressão entre os pontos O e A é dada por p 	 	p	 	 ρ gh	 	 ρv 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
86 
Permitindo que escrevamos a velocidade v de escoamento do fluido como 
v	 	 ρρ gh 
Fenômeno de Venturi 
O chamado fenômeno de venturi ou efeito venturi, ocorre quando um fluido 
atravessando um conduto fechado, diminui sua pressão quando passa por uma 
seção menor do que a inicial. Considere um fluido incompressível, atravessando 
um tubo como o da figura abaixo em regime de escoamento estacionário. As 
seções 1 e 2 possuem áreas A1 e A2 de respectivas pressões e velocidades (p1, v1) e 
(p2, v2) com dimensões suficientemente pequenas para que as grandezas 
especificadas sejam constantes e a altura geométrica das duas seções sejam iguais. 
Fenômeno de Venturi 
 
 
 
Pela equação de Bernoulli, temos que p 	 ρv 	 	p 	 ρv 
E pela equação de continuidade, verifica-se que v 	 	AA v 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
87 
 A velocidade na seção 2 deverá ser maior do que na seção 1. Esta aceleração 
impressa ao fluido é causada por uma força que é consequência da redução de 
pressão na seção. 
Por isso, ao se colocar manômetros nas seções 1 e 2 é possível verificar essa 
redução de pressão conforme visto na figura anterior. 
Estamos encerrando a unidade. Sempre que tiver uma dúvida entre em 
contato com seu tutor virtual através do ambiente virtual de aprendizagem e 
consulte sempre a biblioteca virtual. 
 
 
É hora de se avaliar 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no 
processo de ensino-aprendizagem. 
Fenômenos dos Transportes 
 
88 
 Exercícios – Unidade 4 
 
1. Água escoa em regime permanente no duto de seção circular mostrado na 
figura com fluxo de massa m 	 	 kg/s. Sendo ρ	 	 kg/ a massa 
específica da água, determine a vazão do escoamento e as velocidades médias nas 
seções (1) e (2). 
 
 
2. Na tubulação convergente da figura, calcule a vazão em volume e a 
velocidade na seção 2 sabendo que o fluido é incompressível. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
89 
3. Num tubo convergente escoa ar em regime permanente. A área da maior 
seção do tubo é 20 cm² e a da menor seção é 10 cm². A massa específica do ar na 
seção (1) é 0,12 Kg/m³ enquanto que na seção (2) é 0,09 Kg/m³. Sendo a velocidade 
na seção (1) 10 m/s, determine: 
 
a) A velocidade na seção (2); 
b) A vazão em massa de ar nas seções (1) e (2); 
c) A vazão em volume de ar nas seções (1) e (2). 
 
4. No tanque misturador da figura entram água 	 	 / ) e óleo ρ 	 kg/m com vazões respectivas de 20 e 10 L/s formando uma emulsão. 
Determine a massa específica e a velocidade da emulsão formada. 
 
5. Os dois tanques cúbicos com água são esvaziados ao mesmo tempo, pela 
tubulação indicada na figura, em 500 s. Determine a velocidade da água na seção 
A, supondo desprezível a variação de vazão com a altura. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
90 
 
 
6. No medidor de Venturi da figura, o desnível h é de 12 cm. Os diâmetros são 
de 15 cm e 8 cm. Estime a velocidade com que o ar entra por A, supondo que o 
fluxo é laminar. ρ 	 	 , g/cm ;	ρ 	 	 , kg/m . Use g	 	 , m/s e despreze a 
compressibilidade do ar. 
 
 
7. O tubo de Pitot (fig. xxxxxxxx) é usado para medir a velocidade do ar nos 
aviões. Ele é formado por um tubo externo com pequenos furos B (existem 4 na 
figura) que permitem a entrada de ar no tubo; esse tubo está ligado a um dos 
lados de um tubo em forma de U. O outro lado do tubo em forma de U está ligado 
ao furo A na frente do medidor, que aponta no sentido do movimento do avião. 
Em A, o ar fica estagnado, de modo que vA = 0. Em B, porém, a velocidade do ar é 
presumivelmente igual à velocidade v do ar em relação ao avião. 
Fenômenos dos Transportes 
 
91 
a)Use a equação de Bernoulli para mostrar que 
v	 	 ρghρ 
Onde ρ é a massa específica do líquido contido no tubo em U e h é a diferença 
entre os níveis do líquido no tubo. 
 
b) Suponha que o tubo contém álcool e que a diferença de nível h é 26,0 cm. 
Qual é a velocidade do avião em relação ao ar? A massa específica do ar é 1,03 
kg/m³ e a do álcool é 810 kg/m³. 
 
8.Um medidor venturi é ligado entre dois pontos de um cano (fig. xxxxxx). A 
seção reta A na entrada e na saída do medidor é igual à seção reta do cano. O fluido 
entra no medidor com velocidade V e depois passa com velocidade v por uma 
“garganta” de seção mais estreita a. Um manômetro liga a parte mais larga do 
medidor à parte mais estreita. A variação da velocidade do fluido é acompanhada 
por uma variação dp da pressão do fluido, que produz uma diferença na altura do 
líquido nos dois lados do manômetro. (A diferença corresponde à pressão na 
garganta menos a pressão no cano.) 
Aplicando a equação de Bernoulli e a equação de continuidade ao pontos 1 e 
2 na fig, mostre que 
v	 	 ρghρ 
Fenômenos dos Transportes 
 
92 
9. Suponha que o fluido é água doce, que a seção reta é 64 cm² no cano e 32 
cm² na garganta, e que a pressão é 55 kPa no cano e 41 kPa na garganta. Qual é a 
vazão de água em metros cúbicos por segundo? 
 
 
10. Um líquido de massa específica 900 kg/m³ escoa em um tubo horizontal 
com seção reta de 1,90 x 10⁻² m² na região A e uma seção reta de 9,50 x 10⁻² m² na 
região B. A diferença de pressão entre as duas regiõesé 7,20 x 10³ Pa. Quais são (a) 
a vazão e (b) a vazão mássica? 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
93 
 
5 Perdas de Carga 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
94 
Nesta unidade veremos como é possível aproximar melhor a modelagem 
matemática de um escoamento. 
Objetivo da unidade 
Calcular as perdas de carga geradas por fricção e perda de calor em 
tubulações, assim como as perdas ou acréscimo de cargas gerados por máquinas. 
 
Plano da unidade: 
 Conceito 
 Método dos comprimentos equivalentes 
 Equação de Bernoulli para sistemas contendo bombas e turbinas 
 Potência fornecida ao escoamento 
 Equação de Bernoulli para fluido não ideal com máquina no escoamento 
 
Bons estudos! 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
95 
 Conceito 
Em escoamentos reais geralmente não é possível trabalhar sobre as hipóteses 
utilizadas para a modelagem que nos levou à equação de Bernoulli anteriormente 
apresentada. Os escoamentos geralmente apresentam dissipação de energia 
mecânica por conta do atrito gerado pela viscosidade do fluido, acarretando uma 
variação na energia interna do fluido durante o escoamento. 
A equação de Bernoulli sem dissipação de energia apresentada na unidade 
anterior, não considerava a dissipação de energia mecânica e as propriedades do 
fluido eram consideradas constantes nas seções transversais. 
Agora, consideremos um escoamento num tubo de corrente definido pelo 
volume de controle. 
Sobre este escoamento definimos as seguintes hipóteses: 
 O escoamento é permanente; 
 O escoamento é incompressível ( ρ constante); 
 O escoamento possui propriedades uniformes nas seções transversais; 
 O escoamento possui atrito viscoso. 
 
Esta última hipótese resume a conversão de parte da energia mecânica do 
fluido em variação da energia interna do mesmo e um fluxo de calor entre o fluido 
e a vizinhança através da superfície de controle. 
Com essas hipóteses, a equação para a energia fica escrita como: 
δQ
dt
	= e	+	p
ρ
	 ρ 	V . n	
s.c.
dA 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
96 
 
Integrando esta expressão entre as seções 1 e 2 da figura, chegamos a 
δQ
dt
 = gy
1
 + 
V1
2
2
	+	u1 	+ p1ρ ( -ρV1A1 ) + gy2 + V222 	+	u2 	+ p2ρ ( ρV2A2 ) 
 
E considerando a equação de continuidade em regime permanente onde 
representa o fluxo de massa do escoamento 
 
ρV1A1 	= ρV2A2	=	m 
 
Podemos reescrever a equação (2) como 
δQ
dt
 = gy
1
 + 
V1
2
2
	+	u1 	+ p1ρ m + gy2 + V222 	+	u2 	+ p2ρ m 
 
Que quando dividida multiplicada por 
1
mg
 e reorganizada, pode ser expressa 
da seguinte maneira: 
y
1
 + 
V1
2
2g
	+	 p1
ρg
 - y
2
 + 
V2
2
2g
	+	 p2
ρg
 = 
1
g
	 u2 	- u1 	-	 δQdm 
 
A diferença de carga entre as seções 1 e 2 devida à dissipação da energia 
mecânica do escoamento por meio do atrito viscoso é comumente chamada de 
perda de carga (hp) e na expressão acima é correspondente ao termo que está à 
direita da igualdade. 
hp	= 1g	 u2 - u1 - δQdm 
 
Neste termo a diferença (u2 - u1) representa a variação da energia interna por 
unidade de massa do fluido entre as seções; 
E 
δQ
dm
representa a quantidade de calor por unidade de massa que é transferida 
do fluido para o entorno do volume de controle estudado. 
Fenômenos dos Transportes 
 
97 
Reescrevendo a equação (4), obtemos a equação de Bernoulli com perda de 
carga por atrito viscoso entre as seções 1 e 2. 
y
1
 + 
V1
2
2g
 + 
p
1
ρg
= y
2
 + 
V2
2
2g
 + 
p
2
ρg
	+	hp 
 
Perda de carga em escoamentos de fluidos reais em tubulações 
A perda de carga total hp que representa a quantidade de energia mecânica 
por unidade de massa que é convertida em energia térmica é geralmente 
composta por duas parcelas: 
Perda de carga distribuída: hp,d que é, como vimos anteriormente, devida ao 
atrito viscoso entre o escoamento e o meio externo ao volume observado. 
Perda de carga localizada: hp,l que é devida aos equipamentos, conexões ou 
acessórios localizados no caminho em que o escoamento se desenvolve. Alguns 
exemplos disso são válvulas, reduções, orifícios, curvas, etc. 
Desta maneira, a perda de carga total pode ser escrita como 
hp	= hp,d	+ hp,l 
Quando aplicamos a equação de Bernoulli com perda de carga à um tubo 
horizontal de de seção circular constante como o da figura 1 a seguir, verifica-se 
que a perda de carga distribuída é igual à queda de carga de pressão entre as 
seções analisadas. 
Veja que V1 = V2, pois a seção nos pontos 1 e 2 são iguais e y1 = y2. 
Figura 1: Tubo horizontal de seção transversal circular 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
98 
Então a partir da expressão 
y
1
 + 
V1
2
2g
 + 
p
1
ρg
= y
2
 + 
V2
2
2g
 + 
p
2
ρg
	+	hp,d 
Obtemos 
hp,d 	p1 	-		p2ρg 
Essa perda de carga distribuída pode ser calculada pela equação de Darcy-
Weisbach, escrita da seguinte maneira 
hp,d	=	ƒ	 LD V	22g 
 
Onde, 
ƒ	 é o fator de atrito 
ƒƒ = ƒ Re , 
e
D
	 ƒ 
 
que é função do número de Reynolds e da rugosidade relativa do tubo (e/D). O 
valor deste parâmetro é obtido diretamente do diagrama de Moody mostrado na 
figura 2 onde 
L é o comprimento de referência da tubulação 
D é o diâmetro da tubulação (interno) 
 é a velocidade média do escoamento 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
99 
 
Figura 2: Diagrama de Moody para fator de atrito em tubos de seção circular. 
 
 
Figura 3: Diagrama de Moody - Rugosidade Relativa para tubos de seção circular. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
100 
Para então calcularmos a perda de carga distribuída em uma tubulação de 
seção circular, primeiramente devemos obter a rugosidade relativa e/D através do 
diagrama de Moody (figura 3) que fornece a este valor a partir do diâmetro do 
tubo. Em seguida calculamos o número de Reynolds para o escoamento e 
aplicamos este valor em conjunto com o valor da rugosidade relativa no diagrama 
de Moody para o fator de fricção f (figura 2). De posse deste valor de ƒ obtemos por 
meio da equação (10) o valor da perda de carga distribuída. 
Para o caso de escoamento de fluido newtoniano em regime laminar 
totalmente desenvolvido em tubo de seção circular é possível calcular o fator de 
fricção f analiticamente e somente como função do número de Reynolds por meio 
da seguinte equação; 
ƒƒ = 
64
Re
ƒ 
No caso de escoamentos em regime turbulento deve-se utilizar o fator de 
atrito f como função do número de Reynolds e da rugosidade relativa, com auxílio 
dos ábacos de Moody conforme descrito anteriormente. 
Para determinarmos as perdas de carga localizadas hp,l nestes escoamentos 
descritos utilizamos a seguinte expressão, onde a constante K é um coeficiente de 
perda de carga localizada que é tabelado para cada tipo de conexão ou 
equipamento. 
hp,l	=	K V	22g 
 Método dos comprimentos equivalentes 
Chamamos de comprimento equivalente, aquele comprimento que causaria a 
mesma perda de carga de um equipamento ou peça local. Este valor também é 
conhecido como comprimento fictício ou virtual. 
Essa relação de comprimento equivalente à uma peça localizada em relação à 
perda de carga fica evidente quando comparamos a equação de Darcy-Weisbach 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
101 
 
hp,d	=	ƒ	 LD V	22g 
Com a expressão para a perda de carga localizada 
hp,l	=	K V	22g 
Por meio desta comparação, percebemos que para um mesmo valor de 
hp,d = hp,l 
Temos a seguinte equivalência 
ƒ	 L
D
	 K 
Onde L seria o comprimento equivalente Leq 
Leq = K 
D
ƒ
 
 
 Equação de Bernoulli para sistemas contendo bombas e 
turbinas 
Consideremos agora um escoamento num tubo horizontal de seção circular e 
com uma máquina ativa entre os ponto 1 e 2. 
 
 
Chamaremos de máquina, qualquer elemento introduzido no escoamento que 
seja capaz de fornecer ou remover energia em forma de trabalho. Por isso, teremos 
dois tipos principais de máquinas: as bombas e as turbinas. 
As bombas agem imprimindo energia mecânica ao fluido, fazendo que ele se 
movimente. 
Fenômenos dos Transportes102 
Já as turbinas são máquinas que recebem a energia do fluido para serem 
movimentadas. 
Para o caso de uma bomba entre os pontos 1 e 2 a equação de Bernoulli para 
um fluido ideal é expressa por 
y
1
 + 
V1
2
2g
 + 
p
1
ρg
	+	hB	= y2 + V222g + p2ρg 
Onde hB é a carga correspondente à energia mecânica que é transferida da 
bomba para o fluido entre os pontos 1 e 2 (carga manométrica da bomba). 
Assim, de modo geral, temos 
H1 + HB = H2 ( com H1 < H2) 
No caso de uma turbina o termo hB da equação 19 é substituído pela carga 
manométrica da turbina hT e acréscimo do sinal negativo pelo fato de a turbina 
retirar energia mecânica do escoamento e transferir para a vizinhança. Assim, a 
equação de Bernoulli fica escrita da seguinte maneira 
H1 - HT = H2 ( com H1 > H2) 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
103 
 Potência fornecida ao escoamento 
A potência é definida como sendo a energia (trabalho) empregada por 
unidade de tempo. E matematicamente é escrita como 
P	= W
t
 
 
E sabendo que o trabalho W é definido como 
 
W = d  F 
 
Onde F que age sobre o fluido e d o deslocamento realizado 
Podemos escrever a potência como 
 
P = 
d  F
t
 
 
Escrevendo essa expressão para um fluido, temos que 
P = mgH 
 
Onde m é a massa de fluido, g é a aceleração da gravidade e H é a carga 
manométrica da bomba ou turbina. 
Então a potência P é escrita como 
E como mg = γV (onde γ é o peso específico do fluido) e sabendo que a vazão 
volumétrica Q é dada por V/t, podemos escrever a mesma expressão da seguinte 
maneira: 
P = γQH 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
104 
 
Exemplo 
Vejamos o seguinte exemplo: 
Um reservatório de grande diâmetro libera água por um tubo na parte inferior 
com vazão de 10 L/s. Considerando que o fluido seja ideal, determine se a máquina 
instalada é bomba ou turbina e determine a potência deste equipamento, se o 
rendimento do mesmo é 75%. (Considere a área da seção transversal do tubo igual 
a 10 cm2) 
 
Podemos obter a velocidade na saída do tubo através do cálculo da vazão 
volumétrica 
Q = v2 . A 
v2 	= QA 	= 10 × 10-3(m3/s)10 × 10-4(m2) 	=	10m/s 
Situando os pontos (1) e (2) na superfície superior do tanque e na saída do 
tubo respectivamente, a equação de Bernoulli fica escrita da seguinte forma: 
 
z1 + 
v1
2
2g
 + 
p
1γ 	+	H	= y2 + v222g + p2γ 
 
Como a pressão nos pontos p1 e p2 é a pressão atmosférica, a equação 
anterior é simplificada por 
20 + H = 5 + 
102
2 × 9,81
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
105 
 
E desta, obtemos o valor para H 
H = -9,9m 
Como o valor da carga H é negativo, verificamos que a máquina especificada é 
uma turbina. E sua potência podemos obter pela expressão 
P = γQHT = 9800N/m3  ( 10  10-3 )m3/s  9,9m= 
P	=	970,2 N ×m
s
	=	970,2 J/s =	970,2W 
Mas como o rendimento da turbina é de apenas 75%, a potência liberada pela 
mesma é 
PT = P  ηT = 970,2  0,75 = 727,6W 
 
 Equação de Bernoulli para fluido não ideal com máquina 
no escoamento 
Se o fluido em estudo não puder ser aproximado de um fluido ideal, ou seja, 
tiver dissipação de energia por atrito viscoso entre as seções analisadas, 
 
 
Teremos que a carga na seção 1 será maior do que na seção 2. 
H1 > H2 
E considerando também a presença de uma máquina no circuito, a equação 
de bernoulli fica escrita como 
z1 + 
v1
2
2g
 + 
p
1γ + HM = y2 + v222g + p2γ + Hp 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
106 
Estamos encerrando a unidade. Sempre que tiver uma dúvida entre em 
contato com seu tutor virtual através do ambiente virtual de aprendizagem e 
consulte sempre a biblioteca virtual. 
 
É hora de se avaliar 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
107 
 
Exercícios – Unidade 5 
 
O problema especificado a seguir, será base para os exercícios de número 1 a 6 
Uma caixa d’água de 1,0 m de altura está apoiada sobre uma lage de 4,0 m de 
altura e alimenta a tubulação de um chuveiro. Considerando que o diâmetro da 
tubulação próximo ao chuveiro na seção (2) é ½ polegada e que a seção está a 2,0 
m do solo. 
 
 
1. Determine a vazão em volume de água que chega ao chuveiro. 
 
2. Calcule a vazão em volume de água considerando que a altura da lage é 10 m. 
 
3. Calcule a vazão em volume de água considerando o tubo com seção 
transversal de ¾ de polegada para a altura de lage igual a 4,0 m. 
 
4. Calcule a vazão em volume de água considerando o tubo com seção 
transversal de ¾ de polegada para a altura de lage igual a 10,0 m. 
 
5. Comente a influência desta mudança na seção do tubo. 
Fenômenos dos Transportes 
 
108 
 
6: Calcule o número de Reynolds e o fator de fricção na seção (2) para o caso 
em que a altura da lage é de 10m e a seção do tubo é de ½ polegada. 
 
7. O sistema mostrado na figura possui uma máquina que é uma bomba e é 
preenchido com água. A bomba tem potência de 3600 W e seu rendimento é 80%. 
A água é descarregada na atmosfera a uma velocidade de 5 m/s pelo tubo, cuja 
área da seção é 10 cm² . Determine a perda de carga entre as seções (1) e (2) do 
circuito. 
 
 
8. Em um tubo de Venturi onde passa querosene (massa específica = 0,85 
Kg/m3) como fluido ideal, a área na seção (1) tem 24 cm² enquanto a seção (2) tem 
12 cm². As velocidades médias do querosene nas seções 1 e 2 são respectivamente 
4,5 e 9 m/s. Um manômetro cujo fluido manométrico é mercúrio ( = 133280 N/m³) 
é ligado entre as seções 1 e 2 e indica um desnível h. Qual é o valor deste desnível? 
 
9. Um tipo de óleo com massa específica igual a 900 kg/m³ e coeficiente de 
viscosidade cinemática igual a 0,00001 m²/s, escoa com vazão volumétrica qv = 0,2 
m³/s em um tubo de ferro fundido com 500m de comprimento e diâmetro de 200 
mm. Determine a perda de carga neste sistema. 
 
10. Calcule a queda de pressão para o tubo da questão anterior, quando ele é 
inclinado em 10 graus com relação à direção do escoamento. 
Fenômenos dos Transportes 
 
109 
 
6 Transferência de Calor 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
110 
Nesta unidade serão abordados os mecanismos de transferência de calor. 
Veremos como modelar o problema de condução de calor em paredes planas 
e cilíndricas, de camada única ou de camadas múltiplas. Estudaremos a associação 
em série a paralelo destas parades no cálculo do fluxo de calor. 
Veremos como aplicar a lei do resfriamento de Newton para abordar 
problemas de convecção. E finalmente estudaremos o fenômeno de radiação, e a 
aplicação da equação de Stefan-Boltmann para o cálculo de fluxo de calor em 
corpos que liberam energia por meio da radiação. 
Objetivo da unidade 
Apresentar os mecanismos de transferência de calor. 
 
Plano da unidade: 
 Introdução 
 Condução de calor 
 Convecção 
 Radiação térmica 
 
Bons estudos! 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
111 
 Introdução 
Os processos de transporte são caracterizados por uma tendência ao 
equilíbrio, que é verificada quando não há variação das propriedades do sistema. 
Estes sistemas têm em comum uma força motriz que é consequência de uma 
diferença de potencial, que estabelece o sentido do movimento de uma 
quantidade física. E além disso, deve existir um meio que fica caracterizado pela 
geometria e substância material que o compõe, e que por meio destas 
propriedades afetam a velocidade e direção do processo. 
A transferência de calor, ou simplesmente calor, é essa energia em trânsito 
entre dois potenciais térmicos diferentes. Portanto, sempre haverá transferência de 
calor quando houver diferença de temperatura em um meio ou entre meios 
distintos. 
Como exemplo, vejamos a situação em que dois corpos distintos e a 
temperaturas diferentes são colocados em contato direto. Neste caso haverá a 
transferência de calor do corpo com maior temperatura (T1)para o corpo com 
menor temperatura (T2) até o momento em que a temperatura dos dois corpos 
sejam equivalentes. 
Neste caso dizemos que ocorreu o equilíbrio térmico. 
Figura 1 
 
Por esta observação torna-se claro que o calor não está contido em um corpo. 
Ele é identificado como um fenômeno transitório, que cessa quando não há mais 
diferença de temperatura num sistema. 
Por isso, lembre-se: Calor é a energia em trânsito! 
O calor pode ser transferido entre os corpos por diferentes processos, que são 
referidos como mecanismos de transferência de calor que serão explicados a 
seguir. 
Fenômenos dos Transportes 
 
112 
 
Transferência de calor por condução 
A transferência de calor por condução ocorre quando a transferência de energia 
se dá em um meio estacionário, que pode ser fluido ou sólido, em consequência 
exclusiva de um gradiente de temperatura. Neste mecanismo a energia é transferida 
molécula à molécula do meio, não havendo o transporte de matéria. Vejamos a figura 
2, que mostra a transferência de calor por condução através de uma parede sólida 
submetida à uma diferença de temperatura entre as suas faces. 
Figura 2 
 
 
Transferência de calor por convecção 
Chamamos convecção o processo pelo qual a energia é transferida entre uma 
superfície e um fluido em movimento devido à diferença de temperatura entre 
eles. Observe na figura 3, que a superfície está a uma temperatura Ts maior que a 
temperatura do fluido em movimento, que vai recebendo a quantidade de calor q 
no processo de convecção. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
113 
 
Figura 3 
 
 
 
Transferência de calor por radiação 
A transferência de calor por radiação ocorre quando não há um meio 
interveniente para ocorrer a troca de calor. Neste caso a energia é transmitida na 
forma de ondas eletromagnéticas entre as superfícies que estão à diferentes 
temperaturas. Chamamos isso de radiação térmica. Na figura 4 é mostrada a 
transferência de calor por radiação entre duas superfícies que estão à diferentes 
temperaturas (T1 > T2). 
 
Figura 4 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
114 
Mecanismos combinados de transferência de calor 
Na maioria dos fenômenos cotidianos e situações práticas do dia a dia existem 
dois ou mais mecanismos de transferência de calor atuando ao mesmo tempo. E 
para realizar uma abordagem quantitativa destes fenômenos é necessário verificar 
qual dos mecanismos predomina. Ou seja, verificar qual deles transfere a maior 
quantidade de energia (calor), e então detalhar este. Contudo, se houver alguma 
variação nas condições do problema, novamente deve-se reavaliar a 
predominância deste fenômeno, que poderá ter passado a ser secundário diante 
dos outros mecanismos de transferência envolvidos. 
Um exemplo clássico é o sistema térmico definido por uma garrafa térmica. Ele 
é composto geralmente por uma ampola de vidro com dupla camada , em que no 
interior se encontra o líquido aquecido. No espaço entre as camadas de vidro é 
feito vácuo para evitar a transferência de calor por condução. Seguindo a camada 
de vidro externa da ampola, temos uma camada de ar, que também atua como 
isolante material isolante térmico. E finalmente temos a capa plástica da garrafa, 
que é o último meio pelo qual a energia térmica deve ultrapassar até atingir o meio 
exterior. Veja na figura 5 os mecanismos de transferência de calor combinados que 
estão listados a seguir. 
Figura 5: Mecanismos combinados de transferência de calor em uma garrafa 
térmica 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
115 
Q1 - convecção natural entre o líquido e a parede interna da ampola de vidro 
Q2 - condução através da parede de vidro 
Q3 - convecção natural da parede externa da ampola para o ar 
Q4 - convecção natural do ar para a capa plástica 
Q5 - radiação entre as superfícies externa da ampola e interna da capa plástica 
Q6 - condução através da capa plástica 
Q7 - convecção natural da capa plástica para o ar exterior 
Q8 - radiação entre a superfície externa da capa e as vizinhanças 
 
 Condução de calor 
 
Condução unidimensional de calor através de parede de uma camada 
Veremos agora como quantificar a transferência de energia (calor) através de 
uma parede plana submetida a uma diferença de temperatura. 
Consideremos a parede com espessura L e sendo constituída de um material 
com condutividade térmica k constante, conforme o esquema mostrado na figura 
6. As superfícies da parede são mantidas às temperaturas T1 e T2, constantes, sendo 
T1 > T2. Veremos como obter o fluxo de calor nesta parede. 
Figura 6 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
116 
Considerando que esta parede seja de grandes dimensões no plano yz e que a 
sua espessura L é pequena, podemos considerar esse como um problema de 
condução de calor unidimensional com gradiente de temperatura na direção 
perpendicular às superfícies da parede. Ou seja, a condução de calor ocorre na 
direção x. 
Para obter o fluxo de calor utilizaremos a Lei de Fourier, que é uma lei empírica 
(construída a partir da observação do fenômeno) que nos diz que o fluxo de calor é 
proporcional à diferença de potencial térmico e inversamente proporcional à 
distância (espessura de material). 
Observe a figura a seguir para entender melhor 
Figura 7 
 
Considere uma barra cilíndrica composta por material homogêneo de 
condutividade térmica k e envolvida por um material isolante térmico na sua 
lateral. 
Com base em experiências observou-se que variando a área da seção 
transversal da barra A, o comprimento , e também as temperatura T1 e T2, 
chega-se à seguinte relação de proporcionalidade: 
q	α	A ΔT
Δx
 (1) 
 
E para transformar esta proporcionalidade em uma igualdade, utiliza-se uma 
constante de proporcionalidade k que é definida como a condutividade térmica do 
meio, como mostrado na equação 2 que representa da Lei de Fourier. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
117 
 
q = -k A
dT
dx
 (2) 
onde 
q	é o fluxo de calor por condução 
k é a condutividade térmica do material 
A é a área da seção transversal através da qual flui o calor 
dT / dx é a razão da variação da temperatura T com a distância na direção do 
fluxo de calor. 
O sinal negativo que aparece na equação é devido ao fato de o fluxo de calor 
estar no sentido positivo do eixo x e o gradiente de temperatura diminuir nesta 
direção. Veja que a temperatura menor (T2) ocorre numa posição x maior que a 
posição da temperatura menor (T1). 
A condutividade térmica k que aparece na equação de Fourier é uma 
propriedade de cada material, que especifica uma maior ou menor facilidade em 
conduzir calor. Sua unidade no sistema internacional de medidas é 
W
m . K
 (3) 
 
 (Watt por metro por Kelvin) 
Segue alguns valores de condutividade térmica para os materiais mais 
comuns. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
118 
 
Tabela 1: Alguns valores de condutividade térmica 
Substância k (W/m.K) 
Metais 
Aço Inoxidável 14 
Chumbo 35 
Ferro 67 
Latão 109 
Alumínio 235 
Cobre 401 
Prata 428 
Gases 
Ar (seco) 0,026 
Hélio 0,15 
Hidrogênio 0,18 
Materiais de construção 
Espuma de poliuretano 0,024 
Lã de pedra 0,043 
Fibra de vidro 0,048 
Pinho 0,11 
Vidro de janela 1,0 
Fonte: Fundamentos de Física, volume 2 - Halliday & Resnick - 9ª edição 
Fenômenos dos Transportes 
 
119 
 
Aplicando a Lei de Fourier ao problema de condução em parede plana 
Dando continuidade ao problema de condução em parede plana, mostrado na 
figura 6. Podemos agora utilizar a equação de Fourier para obter o fluxo de calor 
através da parede. 
Observando que no ponto x = 0 a temperatura é T1 e na superfície externa ( x = 
L) a temperatura é T2, podemos reorganizar a equação e integrá-la nestes limites. 
q . dx = -k . A . dT	
q . dx=	L
0
k . A . dT
T1
T2
	
q . L = k . A . (	T1	-	T2 	) (4) 
 
Desta integração obtemos o fluxo de que calor que pode ser escrito como 
q = 
k . A . (	T1	-	T2	)
L
 (5) 
 
Umexemplo prático que ilustra bem a utilização deste resultado é ocorre 
quando deseja-se construir um isolamento térmico para uma geladeira ou forno. 
No caso da geladeira, deseja-se reduzir a troca de calor do meio exterior com o 
interior do refrigerador. E para isso podemos pensar em algumas alternativas, 
como por exemplo, aumentar a espessura da parede que separa os dois meios, ou 
mudar o material desta parede. Para o caso do forno, o isolamento têm o objetivo 
de reduzir as perdas térmicas através da parede do forno. E da mesma maneira 
podemos sugerir a troca da parede por outra com menor condutividade térmica; 
reduzir a área da superfície do forno; aumentar a espessura da parede; ou até 
mesmo diminuir a temperatura interna do forno. Todas estas opções podem ser 
avaliadas a partir da equação 5. 
Analogia entre resistência térmica e resistência elétrica 
Podemos dizer que dois fenômenos se comportam de maneira análoga, 
quando podemos utilizar equações semelhantes para abordar o funcionamento de 
ambos. É o que ocorre com os fenômenos de condução térmica (discutido nesta 
unidade) e o fenômeno de resistência elétrica (aprendido no ensino médio). 
Fenômenos dos Transportes 
 
120 
A lei de Ohm nos mostra que a corrente elétrica i em um circuito que possui 
uma certa resistência elétrica R é função da razão entre a diferença de potencial 
elétrico e a resistência R. 
i = 
ΔU
R
 (6) 
 
Se reorganizarmos a equação de Fourier e a deixamos no formato da equação 6 
q = 
ΔT
L
k . A
 
(7) 
 
podemos observar a analogia existente entre esta e a lei de Ohm,onde (ΔT) é 
equivalente à diferença de potencial elétrico e o termo 
(L / k A) é equivalente a um resistência térmica (R) que a parede oferece à 
transferência de calor. 
Figura 8 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
121 
Associação de paredes planas em série 
Consideremos um sistema composto por uma sequência de paredes planas 
como a da figura 6 e submetidas à uma diferença de temperatura. 
Permanecendo constantes estas temperaturas, podemos dizer que o sistema 
está em regime permanente, e portanto podemos considerar o sistema com um 
fluxo de calor contínuo. 
Como exemplo de aplicação deste tipo de associação em série podemos 
analisar a transferência de calor através da parede de um forno que já se encontre 
em regime permanente. Essa parede pode ser composta por uma camada interna 
de metal com condutividade k1 e espessura L1; uma camada intermediária de 
material isolante térmico de condutividade k2 e espessura L2; e finalmente uma 
camada externa também metálica, mas de condutividade k3 e espessura L3. 
Figura 9 
 
 
No esquema da figura 9, podemos visualizar a variação de temperatura em 
cada camada da parede do forno. O fluxo de calor que atravessa cada camada 
pode se obtido individualmente, como vemos na equação 8. 
q = 
k1 . A1 
L1
( T1 - T2 ) ; q = 
k2 . A2 
L2
( T2 - T3 ) ; q = 
k3 . A3 
L3
( T3 - T4 ) (8) 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
122 
 
Colocando as diferenças de temperatura em evidência e somando as equações 
membro a membro, chegamos à expressão 
 
 T1 - T4 = 
q . L1
k1 . A1
 + 
q . L2
k2 . A2
 + 
q . L3
k3 . A3
 
(9) 
 
Logo, temos que 
q = 
 T1 - T4 
R1 	R2 	R3 (10) 
 
Disto concluímos que para um caso geral com n paredes planas associadas em 
série, o fluxo de calor será dado por 
 
 
onde a resistência total Rt é a soma das resistências de cada camada da parede. 
 
Rt = R1 + R2 + …+ Rn 
 
Associação de paredes planas em paralelo 
Consideremos agora um sistema de paredes planas e associadas em paralelo 
conforme o esquema da figura 10. As paredes ficam submetidas à uma diferença 
de temperatura constante e conhecida. Consideraremos que todas as paredes 
estão sujeitas a mesma diferença de temperatura (T1 - T2) mas podem ser 
compostas por materiais e dimensões diferentes. 
 
q = 
( ΔT )	total
Rt
 
(11) 
Fenômenos dos Transportes 
 
123 
 
Figura 10 
 
 
Da mesma maneira que no caso da associação de paredes planas em série, é 
possível neste caso obter o fluxo de calor em cada parede plana individualmente. 
q = 
k1 . A1 
L1
( T1 - T2 ) ; q = 
k2 . A2 
L2
( T1 - T2 ) (12) 
 
O fluxo total de calor através das paredes paralelas é dado pela soma dos 
fluxos q1 e q2: 
q = 
k1 . A1 
L1
( T1 - T2 ) ; q = 
k2 . A2 
L2
( T1 - T2 ) 
q = q
1
	+	q
2
	= k1 . A1 
L1
 T1 - T2 + 
k2 . A2 
L2
 T1 - T2 =	
 
k1 . A1 
L1
 +	 k2 . A2 
L2
	 T1 - T2 (13) 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
124 
 
Sabendo que 
R	= L
k . A
 
 
temos que 
1
R
 = 
k . A
L
 
 
que substituída na equação 13 resulta em 
q = 
1 
R1
 + 
1 
R2
 T1 - T2 = 
 T1 - T2 
Rt
 
 
onde 
1 
Rt
 = 
1 
R1
 + 
1 
R2
 
 
 
Seguindo a mesma lógica da associação de resistores em paralelo, para o caso 
de n paredes planas em paralelo, o fluxo de calor é dado por 
 
q = 
( ΔT )	total
Rt
 
 
onde a resistência total Rt é dada por 
 
1 
Rt
 =
1
Ri
	=	n
i=1
1 
R1
 + 
1 
R2
 + … + 
1 
Rn
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
125 
 
Condução de calor através superfícies cilíndricas 
Para obtermos a equação de condução de calor em superfícies cilíndricas, 
vamos considerar um cilindro vazado, conforme mostrado na figura 11, onde a 
superfície interna tem raio r1 e está a uma temperatura T1 e a superfície externa 
está num raio r2 e submetida à temperatura T2. 
O fluxo de calor que atravessa essa superfície também é obtido através da 
equação de Fourier, onde dT/ dr é o gradiente de temperatura radial. 
q = -k A
dT
dr
 (15) 
 
E como a área da superfície cilíndrica é função do comprimento e do raio, essa 
mesma equação pode ser escrita da seguinte maneira. 
q = -k ( 2	π	r	L )dT
dr
 (16) 
 
que integrada no raio e na temperatura torna-se 
q 
dr
r
r2
r1
= -k 2 π L dT
T2
T1
	
q [ ln r2-	 ln r1 ]= -2 k π L T2 - T1 	
q ln
r2
r1
 = 2 k π L T1 - T2 (17) 
 
De onde obtemos que o fluxo de calor através da parede cilíndrica será 
q	= 2 k π L
 ln
r2
r1
 
 T1 - T2 
(18) 
 
Por ter a equação 18 a mesma forma geral da equação de condução em 
paredes planas, ela também permite a utilização do conceito de resistência 
térmica, onde o R é dado por 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
126 
 
R = 
 ln
r2
r1
 
2 k π L
 (19) 
 
Assim ficamos com a seguinte relação 
 
q = 
2 k π L
 ln
r2
r1
 
 ΔT = 
ΔT
R
 
(20) 
 
Que para um caso geral com n paredes cilíndricas associadas em paralelo, 
pode ser escrita como 
q = 
( ΔT )	total
Rt
 
 
 
onde a resistência total Rt é a soma das resistências de cada camada da parede. 
 
Rt = R1 + R2 + …+ Rn 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
127 
Exemplo: 
Um tubo de aço com condutividade térmica k = 35 kcal/h.m.ºC tem um 
diâmetro externo de 3 polegadas, espessura de 0,2 polegadas e 150 m de 
comprimento. O mesmo transporta amônia a - 20 ºC, que caracteriza um 
convecção desprezível na superfície). Para o isolamento deste tubo há duas 
opções: a borracha (k = 0,13 kcal/h.m.ºC) de 3’’ de espessura e o isopor (k = 0,24 
kcal/h.m.ºC) de 2’’ de espessura. Por razões de ordem técnica, o fluxo máximo de 
calor não deve ultrapassar 7000 Kcal/h. Sabendo que a temperatura na face externa 
do isolamento é de 40ºC, vamos determinar primeiramente as resistências térmicas 
dos dois tipos de isolamento. Em seguida iremos obter o fluxo de calor para cada 
um dos isolamentos, verificando qual será utilizado. E finalmente, para aquele 
isolamento que não foi utilizado, especificaremos qual deve ser a espessura 
mínima para atender ao limite imposto no problema. 
Calculando as resistências 
Figura 11 
 
Te = 40ºC 
Ti = -20ºC 
L = 150 m 
ka = 35 Kcal/h.m.ºC 
ke = 0,13 Kcal/h.m.ºC 
ki = 0,24 Kcal/h.m.ºC 
r2 = 1,5’’ = 1,5 x 0,0254 = 0,0381 m 
r1 = 1,5’’ - 0,2’’ = 1,3 x 0,0254 = 0,03302 m 
r3 = re = 1,5’’ + 3’’ = 4,5 x 0,0254 = 0,1143 m 
r3 = ri = 1,5’’ + 2’’ = 3,5 x 0,0254 = 0,0889m 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
128 
 
Re= ln rer2 2 π ke L 	= ln 0,11430,0381 2 × π × 0,13 × 150 	= 0,00897h .	C / Kcal 
Ri = 
 ln
0,0889
0,0381 
2 × π × 0,24 × 150
	= 0,00375h .	C / Kcal 
 
 
Calculando os fluxos de calor 
q
e
 = 
Te 	-	Ti
Re+	Ra = 40	-	( -20 )
0,00897+ 	 ln 0,03810,03302 2 × π × 35 × 150	
q
e
 = 6685,7 Kcal / h	
q
i
 = 
Te 	-	Ti
Ri	+	Ra = 40	-	( -20 )0,00375	+ 0,0000043 	
q
i
 = 15981,7 Kcal / h	
 
Portanto, deve ser utilizado o isolamento de borracha, que permite um fluxo 
de calor menor em relação ao isopor. 
Calculando a espessura adequada para o revestimento de isopor 
q
Adeq
 = 
Te - Ti
Ri+ Ra
	=	 40 - ( -20 )
 ln
r'i
0,0381 
2 × π × 0,24 × 150 + 0,0000043
	
7000 = 
60
 ln
r'i
0,0381 
2 × π × 0,24 × 150 + 0,0000043
	
 ln
r'i
0,0381
 = 1,9378	
e1,9378 	=	 r'i
0,0381
	
r'i = 0,265m = 10,4'' 
Fenômenos dos Transportes 
 
129 
Logo, a espessura adequada para um possível revestimento de isopor, seria 
e = 10,4''	-	1,5''	= 8,9''	
 
 Convecção 
 
A Transferência de calor por convecção, referida simplesmente como 
convecção, é a transferência de calor de um local para outro através do 
movimento de fluidos. E este movimento dos fluidos aumenta a transferência de 
calor entre a superfície sólida e o próprio fluido. 
 
A convecção é normalmente o mecanismo dominante de transferência de 
calor em líquidos e gases. Nela são realmente descritos os efeitos combinados de 
condução de calor e fluxo de fluido. 
Existem, dois tipos de transferência de calor convectiva: 
 Convecção natural - quando o movimento do fluido é causado por forças 
de flutuação que são resultantes das variações de densidade devido a 
variações de temperatura no fluido. Na ausência de uma fonte externa, 
quando a massa do líquido está em contato com uma superfície quente, 
suas moléculas separam-se dispersam-se, fazendo com que a massa de 
fluido torne-se menos densa. Quando isso acontece, o fluido é deslocado 
vertical ou horizontalmente, enquanto o fluido mais frio se torna mais 
denso que o fluido aquecido e desce. Desta forma, o volume mais quente 
transfere calor para o volume mais frio deste fluido. 
 Convecção forçada - quando o líquido é forçado a fluir sobre a superfície 
por uma fonte externa de energia, como ventiladores, agitadores e 
bombas, criando uma corrente de convecção induzidas artificialmente. 
 
A convecção térmica é descrita de forma básica pela lei do resfriamento de 
Newton, que estabelece que a taxa de perda de calor de um corpo é proporcional à 
diferença das temperaturas entre o corpo e seus arredores. 
Fenômenos dos Transportes 
 
130 
 
q = h A ΔT (21) 
onde 
q é o fluxo de calor transferido por convecção; 
A é a área de transferência de calor; 
ΔT é a diferença de temperatura entre a superfície e a do fluido numa posição 
longe da superfície; 
h é o coeficiente de transferência de calor por convecção ou coeficiente de 
película. 
Figura 12 
 
 
A equação de Newton para convecção é aparentemente simples, contudo a 
complexidade do fenômeno de convecção aparece presente no coeficiente de 
película definido nesta. Este coeficiente é uma função que depende fortemente de 
características do escoamento e propriedades do fluido, assim como dos 
parâmetros geométricos. 
A unidade de medida do coeficiente de película h é dada por W / m².K (Watt 
por metro quadrado por Kelvin) no Sistema Internacional, ou Kcal / h.m².ºC 
(quilocaloria por hora por metro quadrado por grau Celsius) no sistema métrico. 
Como determinar o coeficiente de película h? 
Conforme explicamos, o coeficiente de película é uma função que depende de 
diversas variáveis, logo ela é uma função do tipo 
Fenômenos dos Transportes 
 
131 
h = f ( D, cp, , ⍴, , k, V, g, ΔT ) 
onde 
D é a dimensão em que domina o fenômeno de convecção (diâmetro, altura, 
etc.) 
cp é o calor específico do fluido 
 é o coeficiente de expansão volumétrica ⍴ é a massa específica do fluido 
 é a viscosidade dinâmica do fluido 
k é a condutividade térmica do fluido 
V é a velocidade do fluido 
ΔT é a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido 
 
Obter uma expressão que considerasse todas estas variáveis exigiria uma 
expressão extremamente complexa e de difícil solução. Para contornar esta 
dificuldade, os problemas práticos são divididos em casos particulares para os 
quais é possível obter correlações experimentais e/ou teóricas. Estas correlações 
geralmente são estabelecidas em função do número adimensional de Nusselt, que 
fisicamente representa a razão entre a transferência de calor de um fluido por 
convecção (ou seja, a transferência do fluido em movimento) e a condução (que 
pode ser considerada um caso extremo de convecção, ou seja, a convecção de um 
fluido em repouso). 
Para a convecção forçada, por exemplo, o número de Nusselt será função dos 
números Reynolds e Prandt 
Nu = f (Re, Pr) 
onde 
Nu = 
h	D
k
 Re	= D	V	ρ
μ
 Pr	=Cp 	μ
k
 
(22) 
 
Na convecção forçada o fluxo de calor q entre uma parede aquecida à 
temperatura Ts e um fluido mais frio (temperatura média, longe da parede, T∞ ) 
será determinado a partir da lei de Newton do resfriamento (já enunciada). O 
número de Nusselt será o parâmetro adimensional principal, que fornecerá o 
coeficiente convectivo h que permite calcular o calor transferido. 
Fenômenos dos Transportes 
 
132 
Já para a convecção natural a equação será do tipo 
Nu = f (Gr, Pr) 
onde 
Gr = 
D3 δ g ΔT
μ2
 
Tabela 2 
Fórmulas aproximadas, com Nu = hL / k = CRem Pr1/3; L – dimensão transversal 
Geometria Fluido L C m Validade Re 
Cilindro circular 
Gás ou 
líquido 
D 
0.989 
0.911 
0.683 
0.193 
0.027 
0.330 
0.385 
0.466 
0.618 
0.805 
0.4 – 4 
4 – 40 
40 – 4000 
4000 – 40 000 
40 000 – 400 000 
Quadrado (lado a) Gás a 0.102 0.675 5000 – 100 000 
Quadrado, 45o Gás √2a 0.246 0.588 5000 – 100 000 
Hexágono (alinhado, a-lado) Gás 2a / √3 0.153 0.638 5000 – 100 000 
Hexágono, 45o Gás 2a 
0.160 
0.0385 
0.368 
0.782 
5000 – 19 500 
19 500 – 100 000 
Placa vertical Gás H 0.228 0.731 4000 – 15 000 
Elipse (alinhada b-eixo menor) Gás b 0.248 0.612 2500 – 15 000 
( Propriedades a Tf = 0.5 ( Tw + T∞ )) 
 
Exemplo 
Consideremos ar atmosférico escoando a 20 ºC e velocidade de 1 m/s sobre 
uma placa quadrada de aresta 1m. Se a temperatura da parede é 40ºC, calculemos 
a taxa de calor transferida por convecção da parede para o ar. 
A temperatura de filme (média entre a temperatura da parede e do fluido), 
usada como referência para o cálculo das propriedades do ar é dada por 
Tf= 
1
2
 Tp+ Tf = 
1
2
 40+ 20 =30C 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
133 
A partir de tabelas de propriedades do ar, obtemos os seguintes valores ⍴ = 1,164 kg/m³ 
k = 0,002588 W/m.K 
 = 1,872 x 10⁻5 kg/m.s 
ν = 1,608 x 10-5 m²/s 
Pr = 0,7282 
 
Para as dimensões da placa, o número de Reynolds terá valor 
Re = 
VL
v
= 
1 ×1
1,608 ×10-5
=62179	
 
que corresponde a um escoamento laminar na camada limite pois Re < 5 x 105. 
Para este caso, a correlação a ser utilizada para o número de Nusselt é 
Nu = 0,664 Re1/2 Pr1/3 
que fornecerá o valor de Nu = 149,0 
E assim, podemos a partir da expressão que define o número de Nusselt, obter 
o coeficiente de película h 
Nu = 
h	L
k
 
h = 
Nu k
L
=3,855W / m2 . C 
Determinado o coeficiente de convecção h, podemos obter finalmente a taxa 
de transferência de calor através da lei do resfriamento de Newton. 
Q	=	h A Tp	- Tf 	=	3,855 ×	1 ×	 40	-	20	 	=	77W 
 
Radiação térmica 
A Irradiação térmica, radiação térmica ou radiação de corpo negro é a 
radiação eletromagnética emitida por um corpo em qualquer temperatura, e que 
consiste em uma das três formas de básicas de transmissão de calor. Por meio 
deste tipo de radiação ocorre transferência de energia térmica na forma de ondas 
eletromagnéticas. 
Fenômenos dos Transportes 
 
134 
Uma característica muito importanteneste processo é o fato de que o calor é 
transferido de um corpo a outro sem o auxílio de um meio intermediário 
(condutor). 
Ao contrário da condução e convecção, a radiação ocorre perfeitamente no 
vácuo, não havendo, portanto, necessidade de um meio material para a colisão 
entre partículas como na condução ou transferência de massa como na convecção. 
Isto acontece porque a radiação térmica se propaga através de ondas 
eletromagnéticas de maneira semelhante às ondas de rádio, radiações luminosas, 
raio-X, raios-γ, etc, diferindo apenas no comprimento de onda. Este conjunto de 
fenômenos de diferentes comprimentos de 
ondas, representado simplificadamente na figura 13 é conhecido como 
espectro eletromagnético. 
Figura 13 - Espectro eletromagnético 
 
Fonte:https://pt.wikipedia.org/wiki/Espectro_eletromagn%C3%A9tico#/media/File:Espectro_EM_pt.svg 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
135 
A potência da radiação térmica emitida por um corpo dependerá sempre da 
temperatura da superfície emissora. A faixa de comprimentos de onda abrangidas 
pela radiação térmica está entre 0,1 e 100 micrometros (10-6 m). E nela estão 
inseridas as radiações conhecidas como ultravioleta, luz visível e infravermelho. 
Qualquer superfície material com temperatura acima do zero absoluto emite 
continuamente radiações térmicas. E para medir a capacidade de emissão destes 
corpos emissores é definido o seu poder de emissão (E), que é medido na unidade 
(Kcal/h.m²) no sistema métrico. 
Chamamos de CORPO NEGRO, um corpo padrão teórico, que teria a 
capacidade de emitir e absorver a radiação em qualquer temperatura e em máxima 
quantidade possível. E este corpo é utilizado como padrão para comparação de 
outros materiais reais. 
A partir da concepção do corpo negro é definido o corpo cinza, ou cinzento, em 
que a energia emitida ou absorvida é uma fração da energia emitida ou absorvida 
pelo corpo negro. A radiação destes corpos se aproxima mais dos corpos reais. 
Daí então, defini-se a grandeza emissividade ( ε) , que é a razão entre o poder 
de emissão de um corpo cinzento e o do corpo negro. 
ε = 
Ec
En
 
(23) 
 
Desta equação torna-se óbvio que a emissividade de corpos cinzentos sempre 
será menor do que 1. 
A lei de Stefan-Boltzmann 
A taxa P em que um objeto emite energia através de radiação eletromagnética 
depende da área A da superfície do objeto e da temperatura T desta área (em 
Kelvin) e é dada por 
P = σ ε AT4 (24) 
onde σ = 5,6704 x 10-8 W/m².K4 é conhecida como constante de Stefan-
Boltzmann. 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
136 
Nesta expressão a temperatura deverá ser expressa em Kelvin, de modo que a 
radiação de um corpo à temperatura de zero absoluto seja igual à zero. 
Para um corpo que absorve a energia térmica de um ambiente (com 
temperatura uniforme) por meio da radiação, define-se a taxa Pabs de absorção de 
energia térmica como 
Pabs = σ ε ATamb
4 (25) 
 
E assim, podemos considerar que um objeto que irradia energia para um 
ambiente enquanto recebe energia do mesmo ambiente terá uma taxa líquida de 
troca de energia dada por 
Pliq	= Pabs-	P	= σ ε A ( Tamb4 	- T4 ) (26) 
 
Exemplo 
Se a área de um filamento de tungstênio de uma lâmpada de 100W de 
potência é 0,26 cm2 e sua emissividade é 0,36, qual será a temperatura do 
filamento? 
Primeiramente, vamos resolver a equação para T, uma vez que esta é a variável 
que desejamos encontrar 
T	= P	A ε σ	 1/4 
P
A
	= ε σ T4 
 
Agora substituímos os valores fornecidos: 
T	= 100
 0,26 × 10-4 × 0,36 × 5,67 × 10-8 
1/4
=	3705K	=	34320C 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
137 
 
Assim, a temperatura do filamento será de 34320 ºC. 
Estamos encerrando a unidade. Sempre que tiver uma dúvida entre em 
contato com seu tutor virtual através do ambiente virtual de aprendizagem e 
consulte sempre a biblioteca virtual. 
 
 
É hora de se avaliar 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
Fenômenos dos Transportes 
 
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 Exercícios – Unidade 6 
 
1. Uma esfera com 0,5 m de raio, cuja emissividade é 0,850, está a 27ºC em um 
local onde a temperatura ambiente é 77ºC. Com que taxa a esfera (a) emite e (b) 
absorve radiação térmica? (c) Qual é a taxa de troca de energia da esfera? 
 
2. Considere a placa da figura a seguir. Suponha que L = 25,0 cm, A = 90,0 cm² 
e que o material é cobre. Se TQ = 125ºC, TF = 10,0ºC e o sistema está no regime 
estacionário, determine a taxa de condução de calor através da placa. 
 
3. Uma barra cilíndrica de cobre de 1,2 m de comprimento e 4,8 cm² de seção 
reta é bem isolada e não perde energia através da superfície. A diferença de 
temperatura entre as extremidades é 100ºC, já que uma está imersa em uma 
mistura de água e gelo e a outra em uma mistura de água e vapor. (a) Com que 
taxa a energia é conduzida pela barra? (b) Com que taxa o gelo derrete na 
extremidade fria? 
 
4. Qual é a taxa de perda de energia em watts por metro quadrado através de 
uma janela de vidro de 3 mm de espessura se a temperatura externa é -20ºF e a 
temperatura interna é +72ºF? 
 
5. Uma janela para tempestades, feita com a mesma espessura de vidro, é 
instalada do lado de fora da primeira, com um espaço de 7,5 cm entre as duas 
janelas. Qual é a nova taxa de perda de energia se a condução é o único 
mecanismo importante de perda de energia? 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
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6. Uma camada de material refratário ( k=1,5 kcal/h.m.ºC ) de 50 mm de 
espessura está localizada entre duas chapas de aço ( k = 45 kcal/h.mºC ) de 6,3 mm 
de espessura. As faces da camada refratária adjacentes às placas são rugosas de 
modo que apenas 30 % da área total está em contato com o aço. Os espaços vazios 
são ocupados por ar ( k=0,013 kcal/h.m.ºC ) e a espessura média da rugosidade de 
0,8 mm. Considerando que as temperaturas das superfícies externas da placa de 
aço são 430 ºC e 90 ºC, respectivamente; calcule o fluxo de calor que se estabelece 
na parede composta. OBS : Na rugosidade, o ar está parado (considerar apenas a 
condução) 
 
 
7. Um tubo de aço ( k = 35 kcal/h.m.ºC ) tem diâmetro externo de 3”, espessura 
de 0,2”, 150 m de comprimento e transporta amônia a -20 ºC (convecção 
desprezível). Para isolamento do tubo existem duas opções : isolamento de 
espuma de borracha ( k = 0,13 kcal/h.m.ºC ) de 3” de espessura e isolamento de 
isopor (k = 0,24 kcal/h.m.ºC ) de 2” de espessura. Por razões de ordem técnica o 
máximo fluxo de calor não pode ultrapassar 7000 Kcal/h. Sabendo que a 
temperatura na face externa do isolamento é 40ºC, calcule as resistências térmicas 
dos isolantes. 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
140 
8. Para o problema anterior, calcule o fluxo de calor para cada opção e diga 
qual isolamento deve ser usado; 
 
9. Em uma placa plana de 150 mm de comprimento e 100 mm de largura, 
eletricamente aquecida, a máxima temperatura permissível no centro da placa é 
135 °C. Para este caso específico o número de Grashof é 2,2 x 107 e o número de 
Prandt é 0,7. Sabendo que a equação empírica, obtida com o auxílio da análise 
dimensional, que descreve a convecção natural ( regime laminar ) em uma placa 
plana é dada pela equação abaixo: 
Nu = 0,555 × Gr1/4 × Pr1/4 onde, Nu = 
h . L
k
 ( L:	comprimento da placa ) 
 
Calcule o fluxo de calor transferido por convecção, por ambos lados da placa, 
para o ar atmosférico a 25 °C ( kar = 0,026 Kcal/h.m.°C ). 
 
10. Um reator de uma indústria trabalha à temperatura de 600 ºC. Foi 
construído de aço 
inoxidável (ε= 0,06 ) com 2,0 m de diâmetro e 3,0 m de comprimento. Tendo 
em vista o alto fluxo de calor, deseja-se isola-lo com uma camada de lã de rocha ( k 
= 0,05 Kcal/h.m.ºC e e = 0,75 ) para reduzir a transferência de calor a 10% da atual. 
Calcular : 
 
a) o fluxo de calor (radiação e convecção) antes doisolamento; 
 
b) a espessura de isolante a ser usada nas novas condições, sabendo que a 
temperatura externa do isolamento deve ser igual a 62 ºC. 
 
 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
141 
 
Considerações finais 
 
Buscamos trazer neste livro texto o que entendemos como sendo essencial 
para o entendimento dos chamados fenômenos de transporte de maneira 
satisfatória e eficiente diante da nossa proposta. O conteúdo aqui apresentado foi 
elaborado para ser estudado dentro de um semestre letivo na modalidade de 
ensino à distância. 
Apresentamos a teoria relacionada a cada fenômeno, desenvolvendo a 
matemática necessária para a modelagem. Na sequência, apresentamos alguns 
problemas como exemplo, e finalmente em cada unidade, concluímos com uma 
sequência de problemas que gradualmente buscam desenvolver as habilidades e 
competências previstas para este curso. 
Esperamos que você tenha se estimulado a desenvolver as soluções dos 
problemas propostos e também, buscar as obras aqui referenciadas, como 
aprofundamento e apoio ao entendimento dos temas desenvolvidos. Este é um 
caminho necessário no estudo de todas as disciplinas exatas como esta. 
Finalmente, desejamos que o conteúdo aqui apresentado seja útil na sua 
formação como profissional. 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
142 
 
Conhecendo o autor 
 
André Felipe da Silva de Oliveira 
Formado Bacharel em Física pela Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
(UERJ), onde estudou Física de Partículas e Altas energias, realizando simulações 
computacionais voltadas para a identificação de partículas elementares em 
grandes detectores do LEP e LHC (Cern) como Delphi (Detector With Photon and 
Hadron Identification) e CMS (Compact Muon Solenoid). 
Cursou Mestrado Profissional no Instituto de Engenharia Nuclear (IEN/CNEN) 
com ênfase em reatores nucleares. Desenvolvendo simulações em mecânica de 
fluidos computacional e Inteligência Artificial voltadas para o estudo de segurança 
passiva de reatores de pesquisa. Atualmente, leciona nos cursos de Engenharia de 
Produção, Engenharia Civil e Engenharia Ambiental da Universidade Salgado de 
Oliveira, ministrando os cursos de Física I, Física II, Mecânica e Mecânica dos sólidos, 
Fenômenos de transporte e Fontes Alternativas de Energia. E desenvolve pesquisas 
voltadas para otimização de sistemas via inteligência artificial e tecnologias no 
setor de energia. 
 
 
Fenômenos dos Transportes 
 
143 
Re ferência s 
 
FOX, Robert W; McDONALD, Alan T. Introdução à mecânica dos fluidos. Rio de 
Janeiro: LTC editora, 5ª edição, 2001. 
 
GIORGETTY, Marcius F. Fundamentos de Fenômenos de Transporte – Para 
Estudantes de Engenharia. Rio de Janeiro: Editora Elsevier, 2015. 
 
HALLIDAY & RESNICK. Fundamentos da Física. vol. 2. 9ª ed. Rio de Janeiro: LTC 
editora, 2012. 
 
LIVI, Celso P. Fundamentos de Fenômenos de Transporte: Um texto para cursos 
básicos. 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC editora, 2012. 
 
MATTOS, Edson Ezequiel de; FALCO. Reinaldo de. Bombas industriais. 2ª ed. Rio 
de Janeiro: Interciência, 1998. 
 
NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física básica. Vol. 2. 4ª ed. São Paulo: Edgard 
Blücher, 2002. 
 
TIPLE, Paul A; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros. Vol. 1. 6ª ed. Rio 
de Janeiro: LTC editora, 2014. 
 
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A nexos 
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Gabaritos 
 Gabaritos 
Exercícios – Unidade 1 
1. 5 MN 
2. 5,089 x 10⁸ g 
3. 1 g/cm³ 
4. 220,6 MPa 
5. 28:16:36 
6. 30L 
7. 4600L 
8. 2187,5 ML 
9. 5 horas e 35 minutos do dia seguinte 
10. letra D 
 
Exercícios – Unidade 2 
1. 5984,1 N/m³ 
2. 0,007 Pa s 
3. 3,33x10³ Kg/m³ 
4. 7,03x10³ kg/m³ 
5. 12,3 cm 
6. 0,05 m² 
7. 1,52 m³ 
8. 9047,78 Kg 
9. 3360 Kg 
10. 18,1 Pa 
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Exercícios – Unidade 3 
1. 2 x 105 Pa 
2. 2,04x103kg 
3. 0 
4. 32N 
5. 140000 Pa = 1,4 atm 
6. 4N 
7. 1000N 
8. 2000 kg/ m3 
9. 2,85 g/cm3 
10. 70 kg 
 
Exercícios – Unidade 4 
1. Q = 0,05 m³/s; v1 = 1,6 m/s e v2 = 6,4 m/s 
2. Q = 5 L/s; v2 = 10 m/s 
3. a) 26,7 m/s; b) 2,4 x 10-³ utm/s c) 20,0 L/s; 26,7 L/s (fluido compressível) 
4. , 	 / 	 	 / 	 
5. 	 / 
6 - 13 m/s 
9 - 2,0 x 10⁻²m³/s 
10 - a - 0,0776 m³/s; b - 69,8 kg/s 
 
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Exercícios – Unidade 5 
1.Q = 0,971 L/s 
2. Q = 1,68 L/s 
3. 2,17 L/s. 
4. 3,77 L/s 
5. pessoal 
6. Re = 258,77, f = 0,247 
7. 62,5 m 
8. 0,206 m 
9. 117m 
10. 265x10³ Pa 
 
Exercícios – Unidade 6 
1. a)1,23 KW b) 2,28KW c)1,05KW 
2. 1,66 kJ/s 
3. a) 16 J/s b)0,048 g/s 
4. 1,7 x 104 W/m² 
5. 18 W/m² 
6. 9418 kcal/h 
7. 0,00897 h.ºC/Kcal e 0,00375 h.ºC/Kcal 
8. 6685,7 kcal/h e 15981 kcal/h 
9. 19,89 kcal/h 
10. 42400 Kcal/h ; 12,8 cm