26418618_Apostila_de_Fsica_Frente_1-1-1

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S U M Á R I O 
 
CAPÍTULO 1 - VETORES 1 
 1 - Grandezas escalares e grandezas vetrotoriais 1 
 2 - Vetores 1 
 3 - Operações com vetores – Soma vetorial 1 
 4 - Operações com vetores – subtração de vetores 2 
 5 - Método gráfico do paralelogramo 2 
 6 - Ângulo formado entre dois vetores 3 
 7 - Decomposição de vetores 3 
 8 - Multiplicação de um vetor por um número 5 
 9 - Propriedade do polígono fechado de vetores 5 
10 - Representação i e j para vetores 6 
11 – Expandindo para a notação i, j e k para vetores 7 
12 - Breve Revisão de Geometria Plana 7 
 - Pensando em classe 10 
 - Pensando em casa 14 
 
CAPÍTULO 2 – DE ARISTÓTELES A GALILEU 
 1 – Introdução 20 
 2 – O Pensamento Aristotélico e o senso comum 20 
 3 – Galileu chega ao conceito de Inércia 20 
 4 – O princípio da Relatividade de Galileu 22 
 5 – A primeira lei de Newton do movimento 23 
 6 – Entendendo o conceito de equilíbrio 23 
 7 – Entendendo o conceito de repouso 24 
 8 – O Papel da Força no Movimento dos Corpos 24 
 9 – Subindo ou descendo ? Acelerado ou retardado ? 25 
 – Pensando em classe 27 
 – Pensando em casa 29 
 10 – Aceleração: a rapidez com que a velocidade varia 34 
 11 – Movimento Uniforme (MU) 35 
 12 – Movimento Uniformemente Variado (MUV) 35 
 13 – A velocidade escalar média no MUV 36 
 14 – A função horária da Velocidade no MUV 36 
 15 – A função horária da posição no MUV 37 
 16 – Interpretação de gráficos 37 
 17 – Conversando sobre o lançamento horizontal 38 
 18 – Conversando sobre o lançamento obliquo 40 
 – Pensando em classe 43 
 – Pensando em casa 49 
19 - Força produz aceleração 56 
20 - Massa e peso 56 
21 - Massa resiste a aceleração 57 
22 - Segunda lei de Newton do movimento 57 
23 - Quando a aceleração é g – Queda Livre 58 
24 - Forças e interações 59 
 - Leitura Complementar: A natureza das forças 60 
25 - Terceira lei de newton do movimento 62 
26 - Ação e reação em massas diferentes 62 
27 – Força de tração T em fios ideais 64 
28 – Força de tração T em polias ideais 65 
29 – Forças e deformações em molas ideais 66 
30 – O Formato da Trajetória e o Par de Eixos Padrão 66 
 - Pensando em classe 70 
 - Pensando em casa 74 
 
CAPÍTULO 3 – ESTUDO DO ATRITO 
 1 - Força de atrito seco de escorregamento entre sólidos 78 
 2 - Força de atrito estático e cinético 79 
 3 - A força de atrito na escala microscópica 80 
 4 - Resistência dos fluidos 82 
 - Pensando em classe 88 
 - Pensando em casa 94 
 
CAPÍTULO 4 – DINÂMICA DO MOVIMENTO CURVILÍNEO 
1 – Introdução 101 
2 - As componentes tangencial e centrípeta da aceleração 102 
3 - Forças em trajetória curvilínea 103 
4 - Estudo do movimento de um Pêndulo Simples 104 
5 – Dinâmica do MCU plano horizontal 105 
6 - Uma questão intrigante: por que a lua não cai na Terra ? 107 
7 - Comentários finais – Características do MCU 109 
8 - Resumo das propriedades - Componentes da aceleração 111 
 - Pensando em classe 112 
 - Pensando em casa 117 
 
APÊNDICE – REFERENCIAIS NÃO-INERCIAIS 
1 – O Domínio de Validade das leis de Newton 125 
2 – Introdução ao Referencial Inercial 125 
3 – Propriedades dos Referenciais não-inerciais 127 
4 - O Referencial Não Inercial 128 
5 - O Princípio da Equivalência de Einstein 128 
6 - O elevador acelerado para cima 129 
7 - O elevador acelerado para baixo 130 
8 - Vagão acelerado horizontalmente 130 
9 – Forças de Interação e Forças de Inércia 132 
 - Pensando em classe 136 
 - Pensando em casa 138 
 
CAPÍTULO 5 – TRABALHO E ENERGIA 
 1 - Por que estudar trabalho e energia ? 140 
 2 - O significado físico do trabalho realizado por uma força 140 
 3 - Entendendo o sinal algébrico do trabalho 141 
 4 - Trabalho realizado por forças internas 144 
 5 - Trabalho realizado por força constante inclinada 144 
 6 - Trabalho realizado por força de intensidade variável 146 
 7 - Aplicação: Cálculo do trabalho realizado pela força elástica 147 
 8 - Princípio da Trajetória Alternativa (P. T. A.) 148 
 9 - Princípio do trabalho total ou trabalho resultante 148 
10 - Trabalho realizado pela força peso 150 
11 - Forças conservativas e forças não-conservativas 151 
12 - O Princípio da conservação da Energia Mecânica 151 
13 - Condições para a conservação da Energia Mecânica 153 
14 - Potência média e potência instantânea 155 
15 – Máquinas 155 
16 - O simples conceito de rendimento 156 
 - Pensando em classe 159 
 - Pensando em casa 163 
 
CAPÍTULO 6 – SISTEMA DE PARTÍCULAS 
 1 - A quantidade de movimento (qdm) de uma partícula 172 
 2 - O impulso: o ganho de quantidade de movimento 172 
 3 - Impulso aplicado por uma força de intensidade variável 174 
 4 - O conceito de Sistema 175 
 5 - O conceito de Forças internas e Externas 176 
 6 - Entendo o impulso trocado entre dois corpos como uma mera transferência de 
 quantidade de movimento entre eles. 
176 
 7 - Coeficiente de restituição numa colisão 178 
 8 - Tipos de Colisão 178 
 9 - Caso Especial: Colisão elástica Unidimensional entre partículas de massas iguais 180 
 10 - Caso Especial: Colisão Unidimensional em que uma das massas é muito maior do 
 que a outra 
180 
  Leitura Complementar: O Efeito da Baladeira Gravitacional 181 
 - Pensando em classe 183 
 - Pensando em casa 190 
 
CAPÍTULO 7 – HIDROSTÁTICA 
 1 - O Conceito de Pressão 197 
 2 - Pressão exercida por uma coluna líquida 198 
 3 - A pressão atmosférica 201 
 4 - A Variação da Pressão no Interior de um gás 203 
 5 - A experiência de Torricelli 203 
 6 - Bebendo água de canudinho 205 
 7 - O Sifão 207 
 8 - O Princípio de Arquimedes do Empuxo 208 
 9 - A lógica por trás do Princípio de Arquimedes 209 
10 - Calculando o empuxo a partir das leis de Newton 211 
11 – Empuxo e Densidade 211 
12 – Calculando o Empuxo Duplo 213 
13 – Empuxo Não-Arquimedianos 214 
14 – Referenciais não-inerciais na Hidrostática 220 
15 – O Princípio de Pascal 222 
16 – Mecanismos Hidráulicos 222 
 - Pensando em classe 224 
 - Pensando em casa 233 
 
CAPÍTULO 8 – ESTÁTICA 
 1 – Introdução 247 
 2 - Momento de Uma Força 247 
 - Pensando em Classe 249 
 - Pensando em Casa 251 
 
CAPÍTULO 9 – GRAVITAÇÃO UNIVERSAL 
 1 - Introdução 253 
 2 - Geocentrismo 253 
 3 - Heliocentrismo 253 
 4 - As três Leis de Kepler 254 
 5 - Lei da Gravitação Universal de Newton 254 
 6 - Intensidade do Campo Gravitacional 255 
 7 – Corpos em órbita 256 
 8 - Imponderabilidade no Interior de Satélites 256 
 9 – Entendendo as marés 256 
 - Pensando em Classe 258 
 - Pensando em Casa 262 
 
CAPÍTULO 10 – ESPELHOS PLANOS 
 1 - Introdução 265 
 2 - Imagem de um Objeto Pontual 265 
 3 - Imagem de um Corpo Extenso 266 
 4 - Deslocamento e Velocidade da Imagem 266 
 5 - Campo Visual de um Espelho Plano 267 
 6 - Dois Espelhos Associados 267 
 7 - Rotação de um Espelho Plano 268 
 8 - Velocidade no Espelho Plano 268 
 9 – Enantiomorfismo 269 
 
CAPÍTULO 11 – ESPELHOS ESFÉRICOS 
 1 - Introdução 271 
 2 - Elementos dos Espelhos Esféricos 271 
 3 - Leis da Reflexão 272 
 4 - Condições de Gauss 272 
 5 - Focos 272 
 6 - Raios Principais no Espelho Esférico 274 
 7 - Construção Geométrica de Imagens 274 
 8 - Espelho Esférico Convexo 275 
 9 – Espelho Esférico Côncavo 275 
10 - Estudo Analítico 277 
 
CAPÍTULO 12 – REFRAÇÃO DA LUZ 
 1 - Introdução 279 
 2 - Índice de Refração 279 
 3 - Leis de Refração da Luz 279 
 4 - Ângulo Limite e Reflexão Total 280 
 5 - Dioptro Plano 280 
 6 - Lâmina de Fases Paralelas 281 
 7 - Prisma Óptico 282 
 8 - Prismas de Reflexão Total 282 
 9 – Decomposição da Luz Branca 283 
10 - Refração atmosférica, Miragens e Arco-íris. 284 
 
CAPÍTULO 13 – LENTES ESFÉRICAS1 - Introdução 286 
 2 - Tipos: Elementos e Nomenclatura 286 
 3 - Comportamento Óptico 287 
 4 - Focos 287 
 5 - Distância Focal e Pontos Antiprincipais 288 
 6 - Propriedades 288 
 7 - Construção Geométrica de Imagens 289 
 8 - Estudo Analítico 291 
 9 – Vergência (V) 291 
10 - Fórmulas dos Fabricantes 291 
11 – Associação de Lentes 292 
12 – Instrumentos Ópticos 293 
13 – Lupa 293 
14 – Máquina Fotográfica 293 
15 – Projetor 294 
16 – Microscópio Composto 294 
17 – Luneta Astronômica 294 
18 – Óptica da Visão 294 
19 – Comportamento Óptico do Globo Ocular 295 
20 – Acomodação Visual 295 
21 – Defeitos da Visão 295 
 - Pensando em classe 299 
 - Pensando em casa 311 
 
 CAPÍTULO 14 – Gases e Termodinâmica 
1 – Entendendo o Estado Gasoso 326 
2 – Leis experimentais dos gases 326 
3 – A Equação de Estado do Gás ideal 328 
4 – A Equação geral dos gases 329 
5 – A Densidade do gás ideal 329 
6 – Mistura de gases que não reagem entre si 330 
6.1 – Lei de Dalton das Pressões Parciais 331 
7 – Transformações gasosas particulares 332 
7.1 – Transformação isovolumétrica – Estudo gráfico e analítico 332 
7.2 – Transformação isobárica – Estudo gráfico e analítico 333 
7.3 – Transformação isotérmica – Estudo gráfico e analítico 334 
8 – A Teoria Cinética dos Gases 336 
9 – Interpretação molecular da pressão de um gás ideal 337 
10 - Interpretação molecular da temperatura de um gás ideal 337 
11 – A Energia interna de um gás Ideal 339 
12 – Trabalho em Transformações gasosas 339 
13 – Maneiras para Aquecer ou Esfriar um gás 341 
13.1 – Fornecendo energia ao gás 341 
13.2 – Extraindo energia do gás 342 
13.3 – Aumentando a energia interna U do gás 342 
13.4 – Diminuindo a energia interna U do gás 342 
14 – A 1ª Lei da Termodinâmica 343 
15 – A Expansão Livre – Um caso especial 344 
16 – Funções de Estado e Funções de Caminho 345 
17 – Calores Molares dos gases - Cp e Cv 346 
17.1 – Calor fornecido ao gás no processo isovolumétrico (Qv) 347 
17.2 – Calor fornecido ao gás no processo isobárico (Qp) 347 
17.3 – Analise Comparativa entre Qp e Qv 348 
17.4 – Proporção entre Qp, Qv, U e isob nesse contexto 348 
18 – Relação entre Cv e U 349 
19 – A transformação adiabática 349 
19.1 – Processos adiabáticos no dia-a-dia 350 
19.2 – Estudo analítico da transformação adiabática 351 
19.3 – Estudo gráfico da transformação adiabática 351 
20 – Ciclos Termodinâmicos 352 
20.1 – A variação da energia interna U num ciclo termodinâmico 352 
20.2 – O trabalho realizado num ciclo termodinâmico 352 
20.3 – O calor trocado por um gás num ciclo termodinâmico 353 
20.4 – A primeira lei da termodinâmica aplicada a um ciclo 353 
20.5 – Interpretando o Ciclo – Máquinas Térmicas 354 
20.6 – O conceito de rendimento de uma máquina térmica 354 
20.7 – Máquinas Frigoríficas 355 
20.8 – Eficiência de máquinas frigoríficas 355 
21 – A segunda lei da Termodinâmica 355 
22 – O ciclo de Carnot 356 
22.1 – A máquina de Carnot na prática – Exemplo Numérico 357 
23 – Uma visão histórica das máquinas térmicas 359 
23.1 – Ciclo Otto – motores de automóveis 359 
24 – Leis da Termodinâmica – Considerações Finais 360 
25 – AutoTestes comentados 363 
 - Pensando em classe 365 
 - Pensando em casa 375 
 
Gabarito Comentado 403 
Manual de Resoluções 415 
Cronograma de aulas da Frente 2 459 
 
 
VetoresAula 01
 
Simétrico Pré-Universitário – Há 23 anos ensinando com excelência os estudantes cearenses – www.simétrico.com.br 
1. Grandezas escalares e grandezas vetoriais 
Na natureza, algumas grandezas físicas ficam bem definidas 
quando lhes é atribuído um valor numérico (módulo) e uma 
unidade de medida. São as chamadas grandezas escalares. 
Essas grandezas não têm nenhuma orientação e a sua aritmética é 
simples como a utilizada no caixa de uma padaria. Dentre elas, 
podemos citar massa, tempo, comprimento, temperatura, energia, 
corrente elétrica, resistência elétrica, potência. 
 
É isso aí turma !
Massa é uma
grandeza escalar.....
infelizmente .
 
 
Entretanto, existem grandezas que, além de um valor numérico 
(módulo) e uma unidade de medida, também recebem uma 
orientação, caracterizada por uma direção e um sentido. São as 
chamadas grandezas vetoriais. As operações matemáticas com 
essas grandezas precisam levar em conta não só o valor numérico, 
mas também a sua orientação. Assim, lançamos mão da geometria 
para nos auxiliar nas operações matemáticas com essas 
grandezas. Deslocamento, velocidade, aceleração, força, impulso 
, quantidade de movimento, velocidade angular, momento de uma 
força são exemplos de grandezas vetoriais. 
A força é uma grandeza
vetorial ! Estou aplicando
uma força vertical para cima !
 
 
2. Vetores 
Para representar as grandezas físicas orientadas (vetoriais), 
utilizamos um ente geométrico denominado Vetor. Trata-se de um 
segmento de reta orientado (orientação dada pela flecha) que 
apresenta uma direção, um sentido e um módulo, que está 
relacionado com o comprimento do vetor. Um vetor, portanto, pode 
representar qualquer grandeza física vetorial. 
A B
d

a

b

c

 
figura 1 
 
A figura ilustra o vetor AB que tem direção horizontal, sentido da 
esquerda para a direita e módulo dado pelo comprimento AB . 
O vetor AB também pode ser simplesmente designado por uma 
única letra minúscula d

. Para nos referirmos apenas ao módulo 
do vetor d

, podemos usar o símbolo | d

| ou simplesmente d. 
Dizemos que dois vetores são iguais, se e somente se, 
apresentarem a mesma direção (forem paralelos), o mesmo 
sentido (flecha) e mesmo módulo (comprimento). Sendo assim, 
podemos dizer que: 
a

= b

 e a

  d

  c

. 
Os vetores b

 e c

 são iguais apenas em módulo e direção. 
Simbolicamente, podemos escrever | b

| = | c

| apesar de 
b

  c

. 
 
3. Operação com vetores – soma vetorial 
Conforme dito, um vetor pode representar qualquer grandeza 
vetorial. Assim, para ilustrar a operação da “soma vetorial”, 
utilizaremos vetores que representam o deslocamento de uma 
pessoa, que têm sua origem no ponto de partida e, sua 
extremidade, no ponto de chegada. 
Imagine que uma pessoa partiu do ponto A e fez o percurso ABCD 
parando no ponto D. Cada um dos seus deslocamentos parciais 
AB, BC e CD podem ser representados, respectivamente, pelos 
vetores a

, b

 e c

 conforme a figura 2. O deslocamento resultante 
dessa pessoa é representado pelo vetor r

, que parte do ponto 
inicial A e tem sua extremidade no ponto final D como mostra a 
figura 3. Dizemos que r

 é a soma vetorial ou a resultante dos 
vetores a

, b

 e c

 e, simbolicamente, escrevemos: 
r

 = a

 + b

 + c

 
 
A
B C
Da

b

c

 
figura 2 
A
B C
Da

b

c

r

 
figura 3 
 
Admitindo que os módulos dos deslocamentos valem 
| a

| = 9 km, | b

| = 8 km e | c

| = 3 km, a fim de obter o vetor r

, 
você não deve efetuar o cálculo: 
r

 = a

 + b

 + c

 = 9 + 8 + 3 = 20 km 
Afinal de contas, a expressão acima não se trata de uma soma 
algébrica ou soma escalar. As flechinhas sobre cada letra indicam 
que estamos realizando uma soma vetorial ou geométrica e que 
não se pode substituir diretamente os valores numéricos na 
expressão. Devemos fazer uso das propriedades da geometria e, a 
partir do diagrama dos vetores ilustrado na figura 3, obter o módulo 
do vetor r

. 
A partir do Teorema de Pitágoras, o triângulo hachurado na figura 3 
nos permite escrever : 
(a–c)2 + ( b )2 = ( r )2  ( 9–3 )2 + ( 8 )2 = ( r )2  r = 10 km 
Física
 
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2 
Assim, sempre que desejarmos calcular o resultado de uma 
operação com vetores, é preciso primeiro traçar o diagrama vetoriale, só em seguida, utilizar a geometria plana para efetuar a 
operação. 
Em linhas gerais, para se obter a resultante entre vários vetores, 
basta dispor os vetores um após o outro, com a extremidade de um 
na origem do próximo. O vetor soma é sempre obtido ligando a 
origem do primeiro à extremidade do último. Esse processo gráfico 
chama-se método do polígono. 
A seguir, destacamos uma série de relações vetoriais existentes no 
diagrama da figura 4. Observe: 
 
c

a

b

d

e

f

g

 
 
figura 4 
a

 + b

 + d

 + f

 = g

 
mas ( a

 + b

) = c

, portanto: 
( a

 + b

) + d

 + f

 = g

 
c

 + d

 + f

 = g

 
mas ( c

 + d

) = e

, portanto: 
( c

 + d

) + f

 = g

 
e

 + f

 = g

 
As relações vetoriais acima mostram que a soma de vetores é 
associativa. É fácil ver que também é válida a propriedade 
comutativa para a adição, ou seja, 
 
a

 + b

 = b

 + a

 : 
Graficamente, temos: 
c

a

cba


b

 
 
 figura 5 
a
b

cab


c

 
 
 figura 6 
 
4. Operação com vetores – subtração de vetores 
Sejam os vetores a

, b

 e c

 mostrados na figura 7. Desejamos 
obter o vetor r

 tal que r

 = a

 + b

 – c

. Para isso, definimos 
o vetor oposto a c

, representado por – c

. Note que os vetores 
c

 e – c

 têm o mesmo módulo (comprimento), mesma direção 
(são paralelos) e sentidos opostos ( flechas contrárias) como na 
figura 7. 
Entendi, prôfi ! Esse 
-C é um vetor 
negativo, né ?
Jorge, não existe vetor 
negativo naum ! Assim 
como não existe 
triângulo negativo !
 
O vetor – c

 não se trata de um vetor negativo, afinal de contas, um 
vetor é um ente geométrico e, assim como não existem quadrados 
negativos ou triângulos negativos, não existem vetores negativos. 
Apenas, da mesma forma que existe um vetor chamado c

, 
também existe um vetor chamado – c

, é o nome dele, chama-se 
vetor “menos cê ”. 
b
a

c

c


 
 
figura 7 
b

r

a

c


 
 
figura 8 
Assim, reescrevemos a expressão r

 = a

 + b

– c

 como 
r

 = a

 + b

 + (– c

) e traçamos o diagrama vetorial naturalmente, 
dispondo os vetores a

, b

 e (– c

) em série, um após o outro e 
traçando o vetor resultante r

 como mostra a figura 8. Mais uma 
vez, determinaremos o módulo de r

 com base na geometria da 
figura. 
 
5. Método gráfico do paralelogramo 
Para determinar a resultante entre vários vetores através do 
método do polígono, vimos que devemos dispor um vetor após o 
outro (figura 9a), com a extremidade de um coincidindo com a 
origem do seguinte (em série). O vetor resultante é obtido ao final, 
ligando a origem do primeiro vetor à extremidade do 
último (figura 9b). 
Uma forma alternativa de se traçar a resultante entre dois vetores 
a

 e b

 que formam um ângulo  entre si é através do método do 
paralelogramo. Nesse método, que se aplica a apenas dois 
vetores de cada vez, devemos dispor os dois vetores de forma que 
Física
 
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3 
suas origens fiquem coincidentes (figura 9c). Traçando-se as retas 
paralelas r e s, determinamos um paralelogramo. Traçando-se a 
diagonal desse paralelogramo (figura 9d) a partir da origem dos 
vetores, determina-se o vetor resultante r

 tal que 
r

 = a

 + b

. 
b

a


 
Figura 9 a 
b

a


b
a
r

 

 
Figura 9 b 
b

a


r
s
 
Figura 9 c 
a

b

b
a
r

 
 
Figura 9 d 
 
É fácil ver que os traçados gráficos mostrados na figura 9b e 9d 
são equivalentes e determinam o mesmo vetor r

, por qualquer 
um dos métodos. A partir da lei dos cossenos, pode-se demonstrar 
que, se a

 e b

 são dois vetores que formam um ângulo  entre 
si ( figura 9d ), a resultante r

 = a

 + b

 tem módulo dado pela 
relação: 
 cos.b.a.2 b a r 222 
 
Para uma importante revisão de geometria plana, veja a página 7. 
 
6. Ângulo formado entre dois vetores 
O ângulo  formado entre dois vetores, por definição, é o menor 
ângulo determinado entre eles quando suas origens estão 
coincidentes. 
 
b

a

60o 60o
60o
120o
c

 
b

a

60o 60o
60o
120o
c

 
Figura 10 Figura 11 
Para esclarecer melhor, considere os vetores a

, b

 e c

 
apoiados sobre um triângulo eqüilátero na figura 10. 
Observando apenas os vetores a

 e b

, alguém, à primeira vista, 
poderia julgar que o ângulo formado entre eles é de 60, o que 
estaria errado visto que suas origens não estão coincidentes. 
Assim, ainda é preciso mover um dos vetores paralelamente a si a 
fim de tornar a sua origem coincidente com a do outro, como 
sugere a figura 11. Portanto, o ângulo  formado entre os vetores 
a

 e b

 não será 60, mas sim, o seu suplemento 
180 – 60 = 120. 
Já os vetores a

 e c

, na figura 10, têm origens coicindentes e, 
portanto, o ângulo formado entre eles realmente vale 60, assim 
como o ângulo formando entre b

 e c

. 
7. Decomposição de vetores 
A decomposição de vetores é uma ferramenta muito útil na análise 
de problemas de Física. Seja um vetor genérico F

. Estamos 
interessados em determinar as componentes horizontal e vertical 
xF

 e yF

 do vetor F

. 

xF

yF

F

 

xF

yF
F

 
 
Figura 12 a 
 
Figura 12 b 
 
Para isso, posicionamos o vetor F

 na origem de um sistema de 
eixos cartesianos e determinamos as projeções desse vetor sobre 
os eixos x e y (figura 12 a). Os vetores projeções xF

 e yF

 
mostrados na figura 12 claramente satisfazem a relação vetorial 
F

 = xF

 + yF

 . 
 
E aí...brother.... como se
determinam os módulos das
componentes Fx e Fy
conhecendo o módulo de F ?
Ora Raul.....basta usar os
conceitos de seno e
cosseno no triângulo
retângulo. Veja a seguir !
Observando o triângulo retângulo da figura 12b, é fácil ver que: 
 
sen  = 
F
Fy
  Fy = F . sen 
 
cos  = 
F
Fx
  Fx = F . cos 
 
Adicionalmente, pelo teorema de Pitágoras, os módulos dos 
vetores projeções xF

 e yF

 satisfazem a relação algébrica: 
(F)2 = (Fx)2 + (Fy)2 
A seguir, ilustramos uma aplicação clássica da decomposição de 
forças em Mecânica. 
 
Exemplo resolvido 1: Uma caixa de peso P = 120 N encontra-se 
apoiada sobre um plano inclinado liso que forma um ângulo 
 = 36 com a horizontal e escorrega ladeira abaixo. Determine o 
valor da componente do peso responsável pelo movimento da 
caixa. Dado  = 36 , sen36 = 0,6 cos36 = 0,8 
 
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4 
Solução: 
A figura 13a mostra as duas forças aplicadas sobre a caixa: o 
peso P exercido pela Terra e a reação normal N exercida pelo 
plano inclinado. 
P


90-
N

 
figura 13a 
N


 PP
P.sen.c
os

 
figura 13b 
 
Se o plano inclinado forma um ângulo  com a horizontal, é fácil 
perceber que a força peso P também forma um ângulo  com a 
direção da normal N. Assim, decompondo a força peso em suas 
componentes (figura 13b), temos que: 
 
P.sen = P. sen36 = 120 x 0,6 = 72 N 
P.cos = P. cos36 = 120 x 0,8 = 96 N 
 
Estando a caixa em equilíbrio na direção normal, temos 
N = P.cos = 96 N. A componente P.sen = 72 N é a 
responsável pelo movimento da caixa ladeira abaixo. 
 
Exemplo resolvido 2 : Uma bola de tênis, movendo-se com 
velocidade 1V

 de módulo 40 m/s, colide elasticamente com o solo 
horizontal de acordo com a figura 14 e retorna com velocidade 2V

 
de mesmo módulo 40 m/s. 
Dado sen54 = 0,8 cos54= 0,6 , pergunta-se: 
a) É correto afirmar que 1V

 = 2V

 e, portanto, que 
0 V V V 12

 ? 
b) Caso contrário, determine o valor da variação da velocidade 
vetorial 12 V V V

 da bola na colisão. 
54o 54o
1V

2V

 
figura 14 
Solução: 
a) Os vetores 1V

 e 2V

 certamente NÃO são idênticos, pois têm 
orientações diferentes. Apenas apresentam o mesmo módulo, 
portanto 1V

  2V

 e 0 V V V 12

 . 
b) )V ( V V V V 1212

 , ou seja, devemos achar a 
resultante (+) entre os vetores 2V

 e – 1V

 
 
54o 54o
1V

 2
V

 
 
figura 15 
 
  VV
Vy Vy
Vx Vx
= 54
o
 
figura 16 
 
O vetor – 1V

 é obtido invertendo-se a flecha do vetor 1V

 . 
A figura 15 ilustra o diagrama vetorial preparado para que se 
determine a resultante )V ( V V 12

 . 
Na figura 16 , tomamos | 2V

| = | – 1V

| = V = 40 m/s e 
decompomos os vetores para achar a resultante: 
Na horizontal, as componentes Vx se cancelam e a resultante será 
puramente vertical, de módulo: 
| V

 | = Vy + Vy = 2.V.cos  = 2 x 40 x 0,6 = 48 m/s 
| V

 | = 48 m/s 
54o 54o
2V

1V


V


 
figura 17 
 
Assim o vetor diferença )V ( V V 12

 é vertical, 
apontando para cima (figura 17) e tem módulo dado por 
| V

 | = 48 m/s 
 
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5 
8. Multiplicação de um vetor por um número 
Seja um vetor a

. O resultado da multiplicação desse vetor por 
um número real n é um outro vetor de mesma direção de a

 
(paralelo a a

) e cujo sentido depende do sinal de n. Observe a 
figura 18: 
a

a

a

a2

a


a


a


a3


 
figura 18 
Nota-se que o vetor 2 a

 é paralelo ao vetor a

, tem a mesma 
direção e sentido de a

 e módulo (comprimento) duas vezes maior 
que a

. Já o vetor –3 a

 tem a mesma direção de a

 
(são paralelos) e sentido contrário de a

 (flecha invertida) e 
módulo 3 vezes maior que a

. 
Assim, generalizando: 
 Se b

 = n. a

 com n  R , então o vetor b

 é paralelo ao 
vetor a

 
 Se n > 0, os vetores b

 e a

 apontarão no mesmo sentido 
 Se n < 0, os vetores b

 e a

 apontarão em sentidos 
opostos 
 Se b

 = n. a

  | b

| = | n. a

|  | b

| = | n | . | a

| 
 b = n. a 
 
Grandeza 
Relação 
vetorial 
Conseqüência matemática da 
relação vetorial 
Força F

 a . m F

 
Como a massa m de um corpo 
é sempre positiva (m > 0), 
concluímos que a aceleração 
a

 causada por uma força F

 
está sempre na mesma direção 
e sentido da referida força. 
Força elétrica 
eF

 
E q. eF

 
A força elétrica eF

 é sempre 
paralela ao campo elétrico E

 
que a transmite. 
 Se q > 0 , eF

 e E

 terão 
o mesmo sentido 
 Se q < 0 , eF

 e E

 terão 
sentidos opostos 
Quantidade 
de 
Movimento Q

 
Vm. Q

 
Como a massa m de um corpo 
é sempre positiva (m > 0), 
concluímos que a quantidade 
de movimento Q

 de um móvel 
está sempre na mesma direção 
e sentido da sua velocidade V

 
Impulso de 
uma força I

 
t . F I 

 
Como t é sempre positivo 
(t > 0), concluímos que o 
Impulso I

 aplicado por uma 
força está sempre na mesma 
direção e sentido da referida 
força F

. 
Muitas grandezas vetoriais na Física são definidas pelo produto 
entre um número real n e um outro vetor. A tabela nessa página 
mostra alguma dessas grandezas, bem como a interpretação 
física. 
Se o estudante conhece bem as propriedades matemáticas dos 
vetores, ele percebe que as conclusões mostradas na tabela 
anterior são meras conseqüências matemáticas da relação 
vetorial que define essas grandezas. Isso significa que essas 
conclusões não merecem ser memorizadas. O aluno deve ser 
capaz de reproduzi-las por si só posteriormente, sempre que se 
deparar com aquelas relações vetoriais. 
 
9. Propriedade do polígono fechado de vetores 
 
Se n vetores, dispostos em série, um após o outro, formam 
um polígono fechado, então a resultante desses vetores é 
nula. 
 
 
A
B
 
 
figura 19 
 
A
B
 
 
figura 20 
 
Para compreender melhor o significado dessa propriedade, 
considere os 8 vetores da figura 19 dispostos num polígono 
fechado. Se uma pessoa parte do ponto A, segue no sentido anti-
horário o caminho formado pela série de vetores e retorna ao ponto 
A, qual o deslocamento efetivo dessa pessoa ? Certamente é nulo. 
Essa é uma forma simples de entender a propriedade do polígono 
fechado de vetores. A resultante de todos os vetores é nula. 
Uma outra forma de visualizar que a resultante dos vetores é nula 
consiste em, inicialmente, determinar a resultante de todos os 
vetores exceto um deles, por exemplo, o vetor AB , como indica a 
figura 20. Em seguida, somamos a resultante de todos os vetores 
exceto AB com o vetor AB faltante e, assim, obtemos a 
resultante final de todos os vetores. 
A resultante dos 7 vetores na figura 20, partindo de B e 
percorrendo no sentido anti-horário o caminho de vetores, até o 
ponto A é dada, graficamente, pelo vetor BA . Agora somando a 
resultante dos 7 vetores BA com o 8o vetor AB que foi 
temporariamente deixado de fora, temos: 
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AB + BA = 0

 
 
Essa é uma forma mais elaborada de entender a propriedade do 
polígono fechado de vetores. A recíproca dessa propriedade 
também é verdadeira, ou seja: 
, 
Se n vetores tem resultante nula, então eles formam um 
polígono fechado quando dispostos em série, um após o 
outro. 
 
Essa recíproca é muito útil na solução de problemas de Estática. 
Note que o símbolo 0

 deve ser lido como “vetor nulo” e não, 
“zero”. Da mesma forma, uma matriz 2x2 toda preenchida com 
zeros é chamada de “matriz 2x2 nula” e não, “matriz zero”. 
Um número real qualquer como o zero ( 0 ) pertence a um espaço 
de uma única dimensão R. Um vetor no plano pertence a um 
espaço de duas dimensões R2 e um vetor no espaço pertence a 
um espaço de três dimensões R3. Elementos que pertencem a 
espaços diferentes não são comparáveis. Muitos estudantes fazem 
mal uso da simbologia de vetores por não atentarem para esses 
fatos. 
 
10. Representação i, j para vetores 
Chamamos de “versores unitários” um conjunto de vetores que 
apresentam módulo unitário e que são utilizados apenas para 
indicar uma direção. Os versores mais utilizados universalmente 
são o i e o j. 
x
y
i
j
- i
- j
 
figura 21 
 
O versor i trata-se de um vetor unitário | i | = 1 que aponta na 
direção positiva do eixo x ao passo que o versor j é um vetor 
unitário | j | = 1 que aponta no sentido positivo do eixo y 
( figura 21) . 
A notação vetorial utilizando os versores unitários i e j é 
bastante prática. Por exemplo, considere o vetor a

 mostrado na 
figura 22, cujas componentes são ax = 3 e ay = 4. Na notação i 
j, esse vetor pode ser representado como: 
 
a

 = ax.i + ay.j ou a

 = 3.i + 4.j . 
O módulo de a

 é dado pelo teorema de Pitágoras: 
| a

| = 2222 )4()3( )ay()ax(  = 5 
a

3
x
y
4
2
5
b

 
figura 22 
s

3
y
4
2
5
x
 
figura 23 
O vetor b

 pode ser representado por b

 = 5.i + 2.j . 
A grande vantagem da notação i j é que as operações com vetores 
passam a ser algébricas. Veja: 
O vetor b a s

 é dado por: 
b a s

 = 3.i + 4.j + 5.i + 2.j  s

 = 8.i + 6.j 
O módulo de s

 é dado por 
| s

| = 2222 )6()8( )sy()sx(  | s

| = 10 
O vetor diferença b a d

 também pode ser facilmente 
determinado: 
b a d

 = ( 3.i + 4.j ) – ( 5.i + 2.j ) = –2.i + 2.j 
 
2
2
d

 
figura 24 
 
A representação gráfica do vetor diferença d

 é mostrada na 
figura 24. O exemplo resolvido 2 mostra como é prático se 
trabalhar com a notação i j para vetores. As figuras 22 e 23 
permitem ao estudante perceber o que realmente está ocorrendo 
quando somamos dois vetores: na verdade, suas projeções é que 
são somadas, no sentido real da palavra, para em seguida, 
determinarmos graficamente o vetor resultante s

. 
Física
 
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7 
 
Exemplo resolvido 3 : Determine o módulo da resultante entre os 
vetores a

, b

, c

 e d

 ilustrados na figura. Considere que cada 
célula é quadrada de lado unitário. 
 
a

b

c

d

 
Solução: 
Inicialmente escrevemos cada vetor na notação i j : 
a

 = 0.i + 5.j b

 = 6.i + 2.j 
c

 = –4.i + 0.j d

 = –2.i – 2.j 
Em seguida, efetuamos a soma operando as componentes i e j 
individualmente: 
s

 = a

 + b

 + c

 + d

 = 
s

 = 0.i + 5.j + 6.i + 2.j – 4.i + 0.j – 2.i – 2.j 
s

 = 0.i + 5.j  s

 = +5.j 
O vetor s

= +5.j está mostrado na figura 
ao lado e seu módulo é dado por : 
| s

| = 2222 )5()0( )sy()sx(  
| s

| = 5 s

 
 
11. Expandindo para a notação i, j e k para vetores 
Da mesma forma que i representa um vetor de módulo unitário 
apontando no sentido positivo do eixo x e j representa um vetor 
de módulo unitário apontando no sentido positivo do eixo y, 
também se define k como sendo um vetor de módulo unitário 
apontando no sentido positivo do eixo z num sistema 
tridimensional xyz. 
Dessa forma, poderíamos definir um vetor a

 tal que: 
a

 = 3i + 4j + 12k 
cuja representação gráfica é mostrada na figura. 
O módulo do vetor a

 é calculado, determinando-se o comprimento 
da diagonal do paralelepípedo mostrado na figura, dado por: 
| a | = 2 2 2(3) (4) (12)  = 9 16 144  
| a | = 13 
Para revisar como se calcula a diagonal de um paralelepípedo, 
veja a propriedade 3 na página 8 – Cálculo da Diagonal maior de 
um Paralelepípedo. 
x
y
z
a
3 4
12
 
12. Breve Revisão de Geometria 
É importante que o aluno esteja bem familiarizado com as 
propriedades usuais da geometria plana, tais como Lei dos senos, 
Lei dos cossenos, Teorema de Pitágoras, Propriedades dos 
triângulos retângulos, a fim de operar com os vetores sem maiores 
dificuldades. Vamos a uma pequena revisão: 
 
Propriedade 1: Lei dos Cossenos 
Aplicação: Calcula o 3º lado de um triângulo, do qual se 
conhecem dois lados e um ângulo. 
 
a2 = b2 + c2  2.b.c. cos 
esse é o lado
oposto a esse ângulo
 
 
Note que, na lei dos cossenos, o lado a que aparece no 1º 
membro da fórmula é sempre o lado oposto ao ângulo . 
Para exemplificar o uso da Lei dos cossenos, determinaremos, a 
seguir, o comprimento do 3º lado de um triângulo do qual 
conhecemos dois lados e um ângulo. 
5 cm
8 cm
60o
?
 
a2 = b2 + c2  2.b.c. cos 
esse é o lado
oposto a esse ângulo
 
 
Chamaremos de  o ângulo de 60o do triângulo . O lado oposto ao 
ângulo  é sempre o lado a na lei dos cossenos e, nesse 
exercício, será nessa incógnita. Os lados b e c podem ser 
escolhidos em qualquer ordem. Assim, temos: 
a = ? 
b = 8 cm 
c = 5 cm 
 = 600 
 
 
a2 = b2 + c2  2.b.c. cos 
a2 = (8)2 + (5)2  2 x 8 x 5. cos(60o) 
a2 = 64 + 25  40 
a2 = 49 
a = 7 
 
Assim, o lado a desconhecido tem um comprimento de 7 cm. 
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8 
Propriedade 2: Cálculo da Diagonal de um Paralelogramo 
Aplicação: Calcula o comprimento da diagonal S de um 
paralelogramo, do qual se conhecem os dois lados a e b e o 
ângulo  formado entre eles. A diagonal a ser calculada parte 
do mesmo vértice que contém o ângulo . 
a
b
a
b
S

 
s2 = a2 + b2 + 2.a.b. cos 
essa diagonal
parte desse ângulo
 
 
O aluno atento deve perceber que, apesar da semelhança, a 
fórmula acima não é a lei dos cossenos, não recebendo 
denominação alguma. Tais fórmulas são diferentes (diferem pelo 
sinal algébrico) pelo simples fato de que calculam coisas 
diferentes. 
 
Exemplo resolvido 4 : Dois vetores a

 e b

, de módulos 
respectivamente iguais a 8 e 7, formam um ângulo  = 60o 
entre si. Determine o módulo do vetor s

 = a

 + b

 
Solução: 
Pelo método do paralelogramo, determinaremos a diagonal S que 
parte do ângulo  = 60o , com o uso da fórmula da diagonal: 
8 cm
60o
8 cm
7 cm
S
a
b
7 cm
 
Substuindo a = 8 cm, b = 7 cm,  = 60o na fórmula, vem : 
s2 = a2 + b2 + 2.a.b. cos 
s2 = (8)2 + (7)2 + 2 x 8 x 7 x (1/2) 
s2 = 64 + 49 + 56 
S2 = 169  S = 13. 
Profinho, e como eu faria
para calcular a outra diagonal
do paralelogramo ?
 
Ora, Claudete. A outra diagonal parte do ângulo de 120o, 
suplementar ao ângulo de 60o . Assim, Substuindo a = 8 cm, 
b = 7 cm,  = 120o na fórmula que calcula diagonais de paralelo-
gramos, lembrando que cos120o = 1/2, vem : 
s2 = a2 + b2 + 2.a.b. cos 
s2 = (8)2 + (7)2 + 2 x 8 x 7 x (1/2) 
s2 = 64 + 49  56 
S2 = 57  S = 57 cm 
8 cm
7 cm
S8 cm
7 cm
120o
 
A lei dos cossenos, aplicada ao triângulo em destaque na figura 
abaixo, também permite calcular a diagonal a, agora interpretada 
como sendo o 3º lado de um triângulo do qual se conhecem dois 
lados e um ângulo. Encontraremos a mesma resposta obtida 
acima. Veja: 
8 cm
7 cm
a8 cm
7 cm
60o
 
a2 = b2 + c2  2.b.c. cos 
esse é o lado
oposto a esse ângulo
 
Substituindo os valores na lei dos cossenos, vem: 
a = ? 
b = 7 cm 
c = 8 cm 
 = 600 
 
a2 = b2 + c2  2.b.c. cos 
a2 = (7)2 + (8)2  2 x 7 x 8. cos(60o) 
a2 = 49 + 64  56 
a2 = 57 
a2 = 57  a = 57 cm 
 
Obtivemos o mesmo resultado de antes ! 
O aluno atento deve perceber que a lei dos cossenos NÃO é 
igual à fórmula que calcula a diagonal do paralelogramo. 
Conforme vimos, tais fórmulas são diferentes pelo simples fato de 
que calculam coisas diferentes. 
 
Propriedade 3: Cálculo da Diagonal (D) maior de um 
Paralelepípedo 
Seja um paralelepído (uma caixa de sapato) de dimensões 
A, B e C. O Teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo em 
destaque na figura abaixo, permite escrever: 
 
X2 = A2 + B2 ( I ) 
 
A
B
C
X
A
B
 
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Aplicando, mais uma vez, o Teorema de pitágoras no outro 
triângulo retângulo destacado a seguir, podemos escrever: 
 
D2 = C2 + X2 ( II ) 
 
DC
X
X
 
 
Substituindo I em II, vem: 
D2 = C2 + X2 
D2 = C2 + ( A2 + B2 ) 
A2 + B2 + C2 = D2 
 
A famosa relação acima calcula o comprimento da diagonal maior 
D de um paralelepípedo, conhecendo-se as dimensões 
A, B e C do mesmo. 
 
 
PENSAMENTO DO DIA 
 
 

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10 
Pensando em Classe
Pensando em Classe
 
Questão 1 
Determine o módulo do vetor resultante em cada um dos sistemas abaixo. Todos os vetores têm o 
mesmo módulo igual a 1: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
Questão 2 
A figura mostra um hexágono regular de lado a sobre o qual se apoiam5 vetores. A resultante 
desses vetores tem módulo dado por : 
a) 3.a. 3 
b) 4.a 
c) 6.a 
d) 6.a. 3 
e) 12 a 
 
 
 
 
Questão 3 
O esquema a seguir mostra cinco vetores a

, b

, c

, d

 e e

 apoiados sobre um pentágono 
regular. A relação vetorial que existe entre eles é: 
a) a

 + b

 + c

= d

 + e

 
b) a

 + e

 + b

 + c

= d

 
c) a

 + b

 + c

 + d

 + e

 = 0

 
d) a

 + c

 + d

 = b

 + e

 
e) a

 + e

 = b

 + c

 + d

 
 
e

a

b

c

d

 
 
Questão 4 
Através do Método da Decomposição, determine a resultante dos vetores do sistema abaixo: 
 
20 U
4 U
7 U 
cos = 0,6
sen  = 0,8

 
 
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Questão 5 
Sejam a

 e b

 os dois vetores mostrados na figura a seguir. O prof Renato Brito pede para você : 
a) determinar o módulo dos vetores s

 e d

 tais que s

 = a

 + b

 e d

 = a

 – b

 . 
b) determinar a orientação dos vetores s

 e d

 de acordo com o seguinte código 
(1), (2) , (3) e (4)  
 
4 cm 4 cm
5 cm 5 cm
5 cm 5 cm
a

b

 
 
 
Questão 6 
Sejam a

 e b

 os dois vetores mostrados a seguir. Dado que | a

| = | b

| = 15 cm , sen  = 0,8 
cos  = 0,6 , usando o método da decomposição, o prof Renato Brito pede que você determine 
o módulo dos vetores s

 e d

 tais que s

 = a

 + b

 e do vetor d

 = a

 – b

. 


b
a


 
 
 
 
Questão 7 
Dois vetores de mesma intensidade U formam entre um ângulo de 120. Determine a intensidade 
da resultante deles. 
60o
60o
U
U
 
 
 
Questão 8 
Usando o resultado da questão anterior, determine mentalmente a resultante dos vetores abaixo: 
a) 
 
120o 120o
120o
a
aa
 
b) 
 
120o
120o
6
4
120o
4
 
 
 
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c) 
 
30
o
30
o
10
10
33
 
d) 
 
 
8 8
26
45
o 45
o
 
 
Questão 9 
Considere que um satélite esteja girando em torno da Terra em movimento circular uniforme com 
velocidade escalar V constante. Pergunta-se: 
 
a) a velocidade do satélite permanece constante durante 
o movimento, ou seja, DCBA V V V V

 ? 
b) determine o módulo da variação da velocidade 
AB V V V

 em função de V 
c) determine o módulo da variação da velocidade 
AC V V V

 em função de V 
V
A
V
B
V
C
V
D
 
Questão 10 
Resolva as seguintes equações vetoriais e determine o módulo do vetor x

 em cada caso: 
a) 
6
5 3 X5

0

 
b) 
60o
60o
6
6
X2

6
2
 
 
Questão 11 
Em cada ítem abaixo, determine os vetores a

 e b

 fazendo uso dos versores unitários i e j, bem 
como o módulo do vetor diferença d

 = a

 – b

. Admita que as células são quadrados de lado 1. 
 a) 
 
a

b

 
 b) 
 
a

b

 
Dica: Atenção, só contamos quadradinhos na horizontal e na vertical. Na diagonal, quem conta para a gente é o 
Pitágoras, ok ?  
 
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Questão 12 
Duas forças F1 e F2 tem módulos respectivamente iguais a 6 N e 10 N. Assim, o módulo da força 
resultante R entre elas só pode assumir valores no intervalo: 
a) 4  R  12 
b) 6  R  12 
c) 6  R  16 
d) 4  R  16 
 
 
 
Questão 13 
Duas forças F1 e F2 tem módulos respectivamente iguais a 6 N e 8 N. Assim, a força resultante entre 
elas pode assumir qualquer um dos valores abaixo, exceto: 
a) 4 N 
b) 3 N 
c) 2 N 
d) 1 N 
 
 
 
 
Questão 14 
Dois vetores a

 e b

 , de intensidades respectivamente iguais a 5 cm e 3 cm , formam entre si 
um ângulo  = 60o. O vetor s

 tal que s

 = a

 + b

, tem módulo: 
a) 8 cm b) 7 cm c) 6 cm d) 9 cm e) 4 cm 
 
 
 
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Pensando em Casa
Pensando em Casa
 
Para um bom aprendizado da física, o estudante deve inicialmente ler a teoria completa do capítulo, escrita 
pessoalmente pelo prof Renato Brito. Em seguida, deve rever todas as questões resolvidas em classe e que 
estão copiadas no seu caderno (o caderno é imprescindível !) . Só então, o aluno deve partir para a fixação dos 
conceitos na lista de exercícios de casa. 
 
Questão 1 -  
Determine o módulo do vetor resultante em cada um dos sistemas abaixo. Todas as figuras são 
polígonos regulares de lado 1 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
O símbolo , no começo de algumas questões, indica que aquelas questões encontram-se resolvidas no 
Manual de Resoluções que encontra-se anexado a essa apostila, a partir da página 415 
 
 
Questão 2 -  
O vetor resultante da soma AB + BE + CA é: 
a) AE 
b) AD 
c) CD 
d) CE 
e) BC 
 
A
C
B D
E 
 
 
Questão 3 -  
Seis vetores de mesmo módulo F estão dispostos em série, um após o outro, formando um 
hexágono regular, de modo que a resultante deles é nula. Se o prof. Renato Brito inverter o sentido 
de apenas um dos vetores, a força resultante nesse sistema passa a valer: 
a) F 
b) 2F 
c) 3F 
d) 5F 
e) 4F 
 
 
 
Matheus
Riscado
Matheus
Riscado
Matheus
Riscado
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Questão 4 -  
A figura mostra um hexágono regular de lado a sobre o qual se apoiam 5 vetores. A 
resultante desses vetores tem módulo dado por : 
a) 3.a. 3 
b) 4.a 
c) 6.a 
d) 6.a. 3 
e) 12 a 
 
Dica: Veja a questão 2 de classe 
Questão 5 -  
Nos sistemas abaixo, os vetores têm mesma intensidade a e estão dispostos ao longo de um 
hexágono regular. Determine a resultante dos vetores em cada caso, sem efetuar cálculos, usando 
apenas as propriedades aprendidas nas questões de aprendizagem. 
 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
Questão 6 
Suponha agora que uma bola de frescobol que se movia horizontalmente com velocidade 1V

 de 
módulo 30 m/s, colide elasticamente com o solo horizontal de acordo com a figura e retorna com 
velocidade 2V

 de módulo 20 m/s. Qual dos vetores abaixo melhor representa a variação da 
velocidade vetorial 12 V V V

 da bola durante a ocasião ? 
 
a) 
60 m/s
 
b) 
50 m/s
 
c) 
10 m/s
 
 
 
 
1V

2V

 
 
Colisão da bola 
d) 
10 m/s
 
e) 
 NULA 
 
 
 
Questão 7 -  
A figura mostra dois vetores a

 e b

 de mesma intensidade. Os vetores s

 = a

 + b

 e d

 = a

 – b

 
têm módulo respectivamente iguais a: 
a) 13 cm, 24 cm 
b) 10 cm, 24 cm 
c) 16 cm, 26 cm 
d) 26 cm, 0 cm 
e) 24 cm, 10 cm 
 
 
5 cm 5 cm
12 cm 12 cm
12 cm 12 cm
a

b

 
 
 
 
Matheus
Riscado
Matheus
Riscado
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Questão 8 
Sejam a

 e b

 os dois vetores a seguir. Usando o método da decomposição, determine o módulo 
do vetor s

 = a

 + b

 e do vetor d

 = a

 – b

. 
Dado: | a

| = | b

| = 10 cm , sen  = 0,6 cos  = 0,8 
 

b

a

 
 
Questão 9 
Uma bola de tênis, movendo-se com velocidade 1V

 de módulo 50 m/s, colide elasticamente com o 
solo horizontal de acordo com a figura e retorna com velocidade 2V

 de mesmo módulo 50 m/s. 
60o 60o
1V

2V

 
 
Determine qual dos vetores a seguir melhor representa a variação da velocidade vetorial 
12 V V V

 da bola durante a ocasião. 
 
a) 
50 m/s
 
b) 
50 m/sc) 
50 m/s
60o
 
d) 
25 m/s
60o
 
e) 
50 m/s
60o
 
 
Dica: veja exemplo resolvido 2 – página 4 
 
Questão 10 
Determine m e n t a l m e n t e a resultante dos vetores abaixo em cada caso: 
 
a) 
 
60
o
60
o
10
10
8
 
b) 
 
30
o
30
o
8
8
36
 
c) 
 
8 8
60
o 60
o
8
 
d) 
 
8 8
26
45
o 45
o
 
 
Matheus
Riscado
Matheus
Riscado
Matheus
Riscado
Matheus
Riscado
Matheus
Riscado
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Questão 11 -  
Através do Método da Decomposição, determine a resultante dos vetores para cada sistema 
abaixo. Dado sen = 0,6 e cos = 0,8 
a) 
10 U
3 U
4 U 
 
b) 
a
10 U20 U

1 U
10 U 
b
c
d
 
Dica: o vetor b faz um ângulo  com a vertical. Por que ? 
O símbolo , no começo de algumas questões, indica que aquelas questões encontram-se resolvidas no 
Manual de Resoluções que encontra-se anexado a essa apostila, a partir da página 415 
 
Questão 12 
Na figura abaixo, uma caixa de 20 kg encontra-se em equilíbrio estático sobre um plano inclinado 
que forma um ângulo  = 36 com a horizontal, graças à força de atrito. Se a gravidade local vale 
g = 10 m/s2, decomponha a força peso e, em seguida, determine (sen = 0,6 cos = 0,8): 
a) o valor da força normal N 
b) o valor da força de atrito. Dica: veja exemplo resolvido 1 – página 3 
 
P

N


90-
Fat
 
 
Questão 13 -  
Dois vetores a

 e b

 tem intensidades respectivamente iguais a 8 cm e 7 cm. Determine o ângulo  
formado entre esses vetores, para que a resultante deles tenha módulo igual a 13 cm. 
 
 
 
 
 
 
Questão 14 -  
Determine o módulo do vetor diferença d

 = a

 – b

 em cada um dos sistemas abaixo. Admita que 
as células são quadrados de lado 1 e use o Método do Polígono ou do Paralelogramo. 
 
 a) 
a

b

 
 b) 
a

b

 
 
Física
 
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Questão 15 -  
Em cada ítem abaixo, determine os vetores a

 e b

 fazendo uso dos versores unitários i e j, bem 
como o módulo do vetor diferença d

 = a

 – b

. Admita que as células são quadrados de lado 1. 
 a) 
a

b

 
 b) 
a

b

 
Dica: veja explicação e exemplo resolvido nas páginas 6 e 7. 
 
Questão 16 -  
Duas bolas de sinuca A e B, de massas mA = 4 kg e mB = 2 kg, se movem sobre um plano 
horizontal liso em movimento uniforme, com velocidades AV

(3.i + 5.J) e BV

( 6.i – 1.J) em 
m/s. Determine o módulo da velocidade cmV

 do centro de massa desse sistema, dada pela 
fórmula abaixo: 
 cmV

 = A A B B
A B
m .V m .V
m m


 
Questão 17 
Determine o módulo e a orientação aproximada do vetor que resulta em cada sentença vetorial a 
seguir: 
a) 3. ( 2  ) – 4. ( 3) + 2.( 2 ) = (exemplo resolvido) 
 = ( 6  ) + ( 12 ) + ( 4 ) = 
 = ( 6  ) + ( 8) = 
 = 10  
 
b) (–3).( 2  ) + 4. ( 3  ) – 2.( 5 ) + 3.( 6 ) 
 
 
c) (–2).( 7  ) + 4.( 4 ) + 2. ( 2  ) – 3.( 2 ) 
 
 
Questão 18 -  
Resolva as seguintes equações vetoriais e determine o módulo do vetor x

 em cada caso: 
a) 
6
2 6 X2

0

 
b) 
60o
60o
4
4
X2

6
4
 
c) 
30o
6
30o
6
8
X2

 
 
Física
 
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Questão 19 
Duas forças F1 e F2 tem módulos respectivamente iguais a 6 N e 10 N. Assim, o módulo da força 
resultante R entre elas só pode assumir valores no intervalo: 
a) 4  R  12 
b) 6  R  12 
c) 6  R  16 
d) 4  R  16 
 
 
Dica: veja questão 12 de classe 
 
Questão 20 
Duas forças F1 e F2 tem módulos respectivamente iguais a 6 N e 8 N. Assim, a força resultante entre 
elas pode assumir qualquer um dos valores abaixo, exceto: 
a) 4 N 
b) 3 N 
c) 2 N 
d) 1 N 
 
 
 
Questão 21 - (Medicna Christus 2013) 
Suponha que dois músculos com uma inserção comum, mas diferentes ângulos de tração se 
contraiam simultaneamente como mostra a figura ao lado. O ponto “O” representa a inserção comum 
dos músculos vastos lateral e medial, do quadríceps da coxa, na patela. 
OA é o vetor que descreve a tração do vasto lateral. 
OB é o vetor que descreve a tração do vasto medial. 
Sendo os dois vetores de módulos iguais a 10u e 15u, o 
intervalo que representa a variação possível para o módulo do 
vetor soma V é: 
a) 1 u  v  1,5 u. 
b) 5 u  v  25 u. 
c) 10 u  v  15 u. 
d) 15 u  v  25 u. 
e) 25 u  v  150 u. 
 
Dica: veja questão 19 de casa 
 
Matheus
Riscado
Matheus
Riscado
De Aristóteles a GalileuAula 2
 
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1 – Introdução 
Há mais de 2000 anos atrás, os cientistas da Grécia antiga 
estavam familiarizados com algumas das idéias que estudamos 
hoje. Tinham um bom entendimento de algumas propriedades da 
luz, mas eram confusos sobre o movimento. Um dos primeiros a 
estudar seriamente o movimento foi Aristóteles, o mais 
proeminente filósofo-cientista da Grécia antiga. 
 
2 - O Pensamento Aristotélico e o Senso Comum. 
Denominamos “senso comum” o conjunto de princípios e 
conclusões que consideramos corretas com base em nossas 
experiências cotidianas. Entretanto, muitas vezes a simples 
observação dos fenômenos do dia-a-dia, mascaradas por efeitos 
que fogem à nossa capacidade de observação, nos leva a 
conclusões equivocadas mas que são admitidas corretas até que 
uma nova observação mais cautelosa, regada por um raciocínio 
lógico dedutivo, nos faz perceber a necessidade de rever nossos 
conceitos e ser mais cautelosos com tudo aquilo que 
denominamos senso comum. Ao contrário do que se possa 
imaginar, nossos sentidos nem sempre são tão confiáveis. 
 
F F F F
 
Figura 1 - O estado natural dos corpos é o de repouso. Um corpo só 
se manterá em movimento enquanto uma força atuar sobre ele. 
Quando esta for suprimida o corpo deve retornar ao repouso. Esse é o 
ponto de vista de Aristóteles (384-322 a.c.). Se você ainda pensa 
assim, seu ponto de vista está atrasado 2000 anos . 
 
Por exemplo, sabemos que se uma força suficientemente grande 
for aplicada sobre uma mesa, esta acabará se movendo ao longo 
do piso. Entretanto, percebemos que esse movimento cessa tão 
logo a força seja suprimida. Conclusão do senso comum: para 
manter um corpo em movimento, é necessária a atuação de uma 
força a favor do deslocamento. Tão logo todas as forças sejam 
suprimidas, o corpo voltará ao estado de repouso, o estado natural 
dos corpos livres da ação de forças. 
Quando uma pedra e uma folha de papel são abandonadas do alto 
de um prédio, facilmente percebe-se que a pedra chega ao solo 
antes que o papel, o que leva à seguinte conclusão do senso 
comum: Os corpos mais pesados caem mais rapidamente que os 
corpos mais leves. 
 
 
figura 2 - Aristóteles (384 – 322 a.c.) foi um dos mais famosos filósofos gregos e 
um dos primeiros a se preocupar com o movimento dos corpos. 
 
Esses dois exemplos de senso comum citados acima constituem a 
base do pensamento Aristotélico sobre o movimento dos corpos. 
Aristóteles acreditava que a resistência natural ao movimento 
(atrito, resistência do ar) era algo inerente ao movimento, sendo 
impossível suprimi-la. Ele fez deste o fato central da sua teoria do 
movimento segundo a qual era fundamental que houvesse uma 
força empurrando ou puxando os corpos para mantê-los em 
movimento. 
Curiosamente, até hoje, as idéias aristotélicas sobre o movimento 
ainda coincidem com o pensamento do senso comum das pessoas 
leigas em ciências. Uma pessoanão devidamente instruída, 
quando questionada sobre “quem cairá primeiro, uma pedra ou 
uma folha de papel”, certamente responde que “a pedra cairá 
antes, por ser mais pesada”. 
 
 
Figura 3 – Galileu Galilei 
As idéias aristotélicas sobre o movimento dominaram o mundo 
científico por mais de dois mil anos e começaram a ser 
questionadas no século dezesseis por Copérnico e Galileu. Apesar 
de não ter sido o primeiro a apontar algumas dificuldades nas 
concepções de Aristóteles, Galileu foi o primeiro a fornecer 
refutações definitivas apoiadas no método experimental por ele 
introduzido no estudo das ciências naturais. 
 
3 – Galileu chega ao conceito de Inércia 
 
Figura 4 – A lendária demonstração de Galileu sobre a queda dos corpos. 
 
Para demonstrar o erro na hipótese de Aristóteles sobre a queda 
dos corpos, conta-se que Galileu deixou cair, do alto da torre 
inclinada de Pisa, vários objetos com pesos diferentes e comparou 
Física
 
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21 
as quedas. Ao contrário do que afirmava Aristóteles, Galileu 
comprovou que uma pedra duas vezes mais pesada que outra não 
caía realmente duas vezes mais rápido. Desprezando o efeito do 
ar, Galileu percebeu que objetos de pesos diferentes, soltos ao 
mesmo tempo, caíam juntos e atingiam o chão ao mesmo tempo. 
Modernamente, sabemos que, na ausência da resistência do ar (no 
vácuo), todos os corpos são igualmente acelerados e caem juntos. 
Esse comportamento ainda é aproximadamente observado mesmo 
em situações em que a resistência do ar esteja presente, desde 
que ela ainda seja desprezível, como no caso das pedras 
abandonadas por Galileu do alto da torre. 
Em geral, quando a força de resistência do ar está presente, ela 
afeta diferentemente o movimento de queda dos corpos, sendo que 
aqueles mais pesados e com formato mais “aerodinâmico” tendem 
a cair mais rapidamente que os demais. Estudaremos a força de 
resistência do ar em detalhes no capítulo de Atrito. 
A metodologia investigativa de Galileu, aliando suas habilidades 
experimentais ao seu raciocínio lógico, constitui a base do método 
experimental. Pelo seu pioneirismo, Galileu é considerado o 
precursor da grande revolução ocorrida na Física a partir do século 
XVII. 
Para chegar ao conceito de Inércia, Galileu realizou uma série de 
experimentos com planos inclinados. Numa de suas mais famosas 
experiências, ele colocou dois de seus planos inclinados (Figura 5) 
um de frente para o outro. Ele observou que uma bola liberada do 
topo de um plano inclinado, a partir do repouso, rolava para baixo e 
então subia o outro plano inclinado até alcançar uma altura quase 
igual à sua altura inicial. Raciocinou que apenas o atrito a impedia 
de chegar até exatamente a mesma altura inicial, pois quanto mais 
liso era o plano inclinado, mais próximo daquela altura a bola 
chegava. 
 
Posição inicial Posição final
Posição inicial Posição final
Posição inicial
Onde é a posição final ?
 
 
Figura 5 – Planos inclinados de Galileu 
 
Ele então reduziu a inclinação do plano de subida. Novamente a 
bola alcançava a mesma altura, embora tivesse que percorrer uma 
distância maior. Reduzindo o valor do ângulo gradativamente, a 
bola vai cada vez mais longe para atingir a mesma altura inicial. 
Galileu, então, pôs a seguinte questão: “se eu disponho esse plano 
na horizontal, quão longe a bola deve ir para alcançar a mesma 
altura inicial ?” A resposta óbvia é “ela jamais alcançará essa 
altura inicial, se moverá para sempre, perpetuamente, na ausência 
de atrito”. 
A propriedade de um objeto tender a se manter em movimento 
numa linha reta (movimento retilíneo e uniforme) foi chamada de 
inércia. 
O conceito de inércia não era o senso comum e os antigos tinham 
muita dificuldade em compreendê-lo. Por exemplo, considere que 
uma pessoa esteja no topo do mastro de um navio que se move 
para frente com velocidade constante em alto mar. Admita que 
essa pessoa segure, em suas mãos, uma bola de canhão. Até o 
século XVI, acreditava-se que, se a bola de canhão fosse 
abandonada do repouso pela pessoa, a bola iria descendo e 
ficando para trás (figura 6), em relação ao navio e, portanto, não 
cairia no pé do mastro. 
v
v
v
v
 
Figura 6 – Segundo o pensamento aristotélico, o barco permaneceria se movendo 
para a frente. A bola abandonada iria ficando para trás, em relação ao navio, e não 
cairia no pé do mastro. O conceito de inércia ainda não era conhecido. 
 
Se eles conhecessem o conceito de inércia, entenderiam que os 
movimentos horizontais e verticais ocorrem de forma independente 
(é o chamado Princípio da Independência dos Movimentos de 
Galileu) e que, portanto, a bola de canhão acompanha o 
movimento horizontal do barco durante a sua queda, conforme a 
figura 7. 
Os antigos acreditavam no modelo geocêntrico para o sistema 
solar, defendendo que a Terra encontrava-se em repouso no 
centro do universo. Para eles, era senso comum o fato de que 
seria impossível existir uma força suficientemente grande capaz 
de manter a Terra se movendo para frente. Se eles conhecessem 
o conceito de inércia, entenderiam que a Terra poderia se manter 
em movimento sem que nenhuma força fosse necessária para a 
manutenção da sua rapidez. Um corpo em MCU, por exemplo, não 
requer uma força tangencial para mantê-lo em movimento, mas tão 
somente uma força radial (ctp) para garantir a sua gradual 
mudança de direção, ao descrever a órbita curvilínea. 
 
Física
 
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v
v
 
Figura 7 – A inércia em ação – Na natureza, o barco se move para frente e a bola 
cai ao pé do mastro. Isso ocorre pelo fato do movimento de queda vertical descrito 
pela bola ser independente do seu MRU original para a direita, acompanhando o 
movimento do navio. 
Outro argumento curioso (cômico, na verdade ) dos aristotélicos 
a favor da imobilidade da Terra era o seguinte: Se a Terra 
estivesse se movendo ao redor do sol, seria necessária uma 
velocidade orbital da ordem de 30 km/s para que ela completasse 
uma volta a cada ano. Assim, imagine um pássaro pousado num 
galho de uma árvore observando uma suculenta minhoca no chão. 
Se o pássaro decidir apanhar a minhoca, gastando um segundo 
para descer até o chão e pegá-la, segundo os antigos, ele jamais 
conseguirá, caso a Terra esteja em movimento. Isso porque, 
durante um segundo de descida do pássaro, a Terra, juntamente 
com o chão e a minhoca, se deslocará 30 km para frente e, 
portanto, o pássaro jamais alcançará a minhoca a tempo ! Como os 
pássaros comem minhocas diariamente, parecia claro para os 
antigos que a Terra só pode estar em repouso. 
 
Figura 8 – A inércia em ação – O movimento horizontal do pássaro, da minhoca e 
da árvore acompanha o movimento da Terra. O movimento vertical do pássaro é 
independente do seu movimento horizontal. 
 
Atualmente, entendemos que o movimento de descida do pássaro 
ocorre independente do seu movimento horizontal a 30 km/s, 
acompanhando o movimento da Terra, árvore, chão e minhoca. 
Assim, por inércia, ele prossegue horizontalmente junto com a 
Terra, enquanto desce, apanha a minhoca e sobe, o que permite 
matar a sua fome diariamente, ainda que a Terra esteja se 
movendo ao redor do sol  ! Se os antigos estivessem corretos, 
você é capaz de imaginar o que ocorreria caso você chegasse bem 
próximo a uma parede vertical em sua casa e desse um pulo para 
cima ? Estaria literalmente cometendo suicídio  ! 
As pessoas de 400 anos atrás tinham dificuldades com idéias 
como essa não só por falharem em reconhecer o conceito de 
inércia, mas porque estavam acostumadas a locomoverem-se em 
veículos que trepidavam bastante. Carruagens puxadas por 
cavalos, em estradas sacolejantes, não os conduziam aos 
experimentos capazes de revelar os efeitos da inércia.Hoje nós 
atiramos uma moeda para cima dentro de um carro ou avião e 
apanhamos a moeda de volta, da mesma forma que o faríamos 
caso estivéssemos parados. Nós vemos a evidência da lei da 
inércia quando a moeda nos acompanha. A força vertical da 
gravidade afeta apenas o movimento vertical da moeda. Em suma, 
a inércia é parte na nossa rotina diária nos tempos modernos, 
embora nem todos tenham essa percepção da física presente no 
cotidiano. 
 
Figura 9 – Pessoa no interior de um avião em MRU - A inércia em ação – A moeda 
lançada para cima retorna novamente à mão da pessoa, acompanhando o seu 
movimento horizontal. No referencial do avião, a moeda executa um mero 
movimento vertical de sobe e desce. 
 
Nossas noções do movimento atualmente são muito diferentes 
daquelas dos nossos ancestrais. Aristóteles não reconheceu a 
idéia de inércia porque não percebeu que todas as coisas que se 
movem seguem as mesmas leis. Ele imaginava que as leis que 
regiam os movimentos celestes eram muito diferentes daquelas 
que regiam os movimentos na Terra. Galileu e Newton, por outro 
lado, perceberam que todos os objetos em movimentos seguem as 
mesmas leis. Para eles, corpos que se movem em MRU, na 
ausência de atrito, não requerem a ação de forças para 
permanecer em movimento. 
Podemos apenas especular como a ciência teria progredido se 
Aristóteles tivesse reconhecido a unidades de todos os tipos de 
movimento a 2000 anos atrás. 
 
4 - O Princípio da Relatividade de Galileu 
O princípio da inércia traz consigo o Princípio da Relatividade de 
Galileu segundo o qual é impossível um observador distinguir se 
encontra-se num referencial parado ou num referencial em 
movimento retilíneo uniforme, visto que experimentará exatamente 
as mesmas sensações em ambos os referenciais. 
 
 
Figura 10 – A inércia em ação – Uma partida de tênis jogada em qualquer 
referencial Inercial transcorre da mesma forma, quer você esteja jogando em terra 
firme, quer você esteja jogando no interior de um Boeing voando em MRU. 
 
Por exemplo, todas as leis da Física válidas durante uma partida 
de tênis em Winbledon também são igualmente válidas caso os 
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jogadores estejam jogando tênis numa ampla quadra instalada no 
interior de um Wide Boeing Large voando em movimento retilíneo e 
uniforme em relação à Terra. A verdade é que, sem olhar pela 
janela, os jogadores no interior do avião não têm como distinguir 
em qual das situações se encontram, visto que a trajetória seguida 
pela bola, as sensações fisiológicas, a gravidade, tudo funciona 
exatamente como se estivessem jogando numa quadra em terra 
firme. 
A lei da inércia é sempre válida em referenciais que encontram-se 
parados ou que se deslocam em movimento retilíneo e uniforme, 
os chamados Referenciais Inerciais ou Galileanos. Um metrô que 
esteja se movendo aceleradamente para frente, por exemplo, não 
é um referencial inercial visto que, em seu interior não será válida a 
lei da inércia. O que isso significa ? 
Caso um passageiro desse metrô jogue uma moeda verticalmente 
para cima, perceberá que a moeda subirá e descerá sendo 
arrastada para trás, caindo no piso numa posição atrás do 
passageiro. Referenciais acelerados como estes são denominados 
Referenciais Não-Inerciais. No momento estamos interessados em 
tratar somente com Referenciais Inerciais. As Leis de Newton só 
são válidas em referenciais inerciais. 
A importância do Princípio da Relatividade de Galileu é tão grande 
para a compreensão da Física como um todo, que enfatizaremos o 
seu enunciado: 
 
As leis da física são sempre as mesmas, esteja você parado ou se 
movendo uniformemente em linha reta. 
 
Ora, mas se as leis da natureza não são afetadas pelo movimento 
retilíneo e uniforme, tampouco o serão experimentos, máquinas, 
medidas ou observações. Em outras palavras, não há como você 
dizer se está parado ou se movendo em MRU com base em 
medidas ou experimentos. Assim, o Princípio da Relatividade pode 
ser enunciado da seguinte forma: 
 
Nenhum experimento ou medida física é capaz de distinguir se um 
observador encontra-se parado ou em movimento retilíneo e 
uniforme. 
 
5 –A primeira lei de Newton do movimento 
Em 1642, no ano da morte de Galileu, nasce Isaac Newton. Aos 23 
anos de idade, Newton formulou as suas famosas leis do 
movimento, que suplantaram em definitivo as idéias aristotélicas 
que haviam dominado o pensamento das melhores mentes por 
quase dois milênios. 
A primeira lei de Newton é uma reafirmação do conceito de 
inércia, proposto por Galileu. Newton refinou esse conceito 
estabelecendo que: 
 
Todo objeto permanece em seu estado de repouso ou de 
movimento retilíneo e uniforme (em suma, permanece em 
equilíbrio) , a menos que seja obrigado a mudar aquele estado, 
devido à ação de forças sobre ele. 
 
A palavra chave nesta lei é permanece: Um corpo permanece 
fazendo seja o que for, a menos que uma força seja exercida sobre 
ele. Se ele estiver em repouso, permanecerá em repouso. Isto é 
ilustrado quando uma toalha de mesa é habilmente puxada por 
baixo dos pratos sobre uma mesa, deixando esses pratos em seus 
estados iniciais de repouso. Se um objeto estiver se movendo, ele 
permanecerá se movendo, sem fazer curvas ou alterar sua rapidez, 
enquanto não sofrer a ação de uma força que altere o seu estado 
de movimento. Ao contrário do que dizia Aristóteles, o estado 
natural dos corpos não é o repouso, mas sim, o equilíbrio. 
 
Figura 11 – Isaac Newton 
 
6 – Entendendo o conceito de Equilíbrio 
A palavra “equilíbrio” é um termo bastante amplo. Genericamente, 
dizemos que um corpo ou um sistema encontra-se em equilíbrio 
quando suas características permanecem estáveis no tempo, 
imutáveis, constantes, ou seja, quando elas não variam. 
 
O Equilíbrio é um estado em que não ocorrem mudanças. 
 
Por exemplo, dizemos que a economia de um país encontra-se 
equilibrada quando a taxa de juros permanece estável, quando a 
cotação do dólar não varia, assim como o PIB, a renda per capita 
etc. Da mesma forma, um sistema físico-químico encontra-se em 
equilíbrio quando as concentrações das substâncias em seu 
interior permanecem constantes no tempo. 
O mesmo ocorre na mecânica: um corpo encontra-se em equilíbrio 
quando sua velocidade permanece constante no decorrer do tempo 
(podendo ser nula ou não). 
Tanto um quadro pendurado na parede em “repouso permanente” 
como uma bola de boliche que se move em MRU num solo liso 
encontram-se em equilíbrio. Mas o que há em comum em duas 
situações aparentemente tão distintas ? O fato de a velocidade 
permanecer constante (vetorialmente constante) em ambas as 
situações, quer essa velocidade seja ou nula ou não. 
Para ser mais claro e explícito, podemos dizer que: 
 Um corpo só encontra-se em equilíbrio se sua VELOCIDADE 
permanecer CONSTANTE em direção, sentido e valor; 
 Todo corpo que tenha VELOCIDADE CONSTANTE em direção, 
sentido e valor (quer ela seja nula ou não) encontra-se em 
EQUILÍBRIO; 
 Só existem dois possíveis estados de equilíbrio mecânico: o 
“repouso permanente” e o “movimento retilíneo e uniforme”. 
Assim, todo corpo em equilíbrio só pode estar em um desses 
dois estados, respectivamente denominados “equilíbrio 
estático” e “equilíbrio dinâmico”. 
 Todo corpo que estiver se movendo em trajetória NÃO-
RETILÍNEA, ou seja, CURVILÍNEA, não estará em equilíbrio, 
por apresentar velocidade variável. Afinal, por estar fazendo 
curvas, a velocidade do móvel estará mudando de direção em 
cada ponto da trajetória, mantendo-se tangente à ela, o que já é 
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suficiente para dizermos que a sua velocidade não é constante, 
por se tratar de uma grandeza vetorial. 
 Conforme aprenderemos, o agente que causaa VARIAÇÃO DA 
VELOCIDADE (direção, sentido e valor) de um corpo é a 
FORÇA. Na ausência dela, o corpo certamente apresentará 
VELOCIDADE CONSTANTE, isto é, estará em EQUILÍBRIO. 
 O equilíbrio não tem nada a ver com “se a velocidade do corpo é 
grande, pequena ou nula”. Ele não diz respeito ao valor da 
velocidade, mas sim, à constância do vetor velocidade. Se o 
vetor velocidade permanece constante, o corpo está em 
equilíbrio. Caso contrário, não está em equilíbrio, simples assim. 
 
7 – Entendendo o conceito de repouso 
O conceito de “repouso” é bastante simples. Dizemos que um 
corpo está em repouso num certo referencial quando sua 
velocidade é nula ( V = 0) naquele referencial. 
Profinho, um corpo pode
estar momentaneamente
em repouso sem estar
em equilíbrio ?
Certamente,
Claudete !
 
Basta imaginar qualquer situação em que um corpo pare de se 
mover (v = 0) apenas para inverter o sentido do seu movimento. 
Por exemplo, quando lançamos um corpo verticalmente para cima, 
sujeito à gravidade terreste, num certo momento ele atingirá o 
ponto de altura máxima. Naquele instante, ele estará 
momentaneamente em repouso (v=0), mas não estará em 
equilíbrio. Por que não? Porque a força resultante agindo no corpo 
não é nula naquele momento, visto que continua sendo atraído 
pela massa da Terra (massas se atraem, isso chama-se força 
gravitacional). No instante em que ele pára a fim de inverter o 
sentido do movimento, temos força resultante FR = P e aceleração 
a = g para esse corpo. 
 
T
T
T
T
P
P
P
P
P


P
y
P
x
T
 
Figura 12 – durante a oscilação do pêndulo, ele nunca estará em 
equilíbrio (FR = 0), visto que a tração T jamais cancelará a força peso 
P em nenhum instante da oscilação. Nos extremos da oscilação, 
dizemos que o pêndulo apenas encontra-se em repouso momentâneo 
(velocidade nula), pois inverterá o sentido do seu movimento naquele 
ponto. 
 
O mesmo ocorre a um pêndulo simples que está oscilando 
(figura 12). Nos extremos da sua oscilação ele se encontra 
momentaneamente em repouso (ele pára a fim de inverter o 
sentido do movimento), mas não se encontra em equilíbrio. 
Mesmo na posição mais baixa da oscilação teremos T > P, visto 
que a trajetória circular descrita pelo pêndulo requer que a força 
resultante tenha uma componente centrípeta radial apontando para 
dentro da curva (centrípeta) naquele ponto. ( calminha, tudo isso 
será explicado com detalhes no capítulo 4). 
Profinho, um corpo pode
estar em equilíbrio sem
estar em repouso ?
Certamente,
Claudete !
 
Todo corpo que se move em MRU encontra-se em equilíbrio, 
esqueceu, Claudete ? Mas ainda assim, não está em repouso por 
apresentar velocidade, ou seja, por estar em movimento. 
Sempre que o corpo pára apenas para inverter o sentido do seu 
movimento, ele encontra-se apenas em repouso momentâneo 
(v = 0), mas não encontra-se em equilíbrio (FR  0, a  0). 
O estudante precisa estar bastante atento, visto que muitos textos 
de física usam a palavra repouso referindo-se ao caso particular 
de “repouso permanente”. Cabe ao leitor analisar o contexto e, 
com bom senso, dar a devida interpretação ao enunciado proposto 
pelo autor. Ao pé da letra, “repouso” significa “parado” apenas. 
Repouso
(V = 0)
Permanente
Momentâneo
Parou prá inverter o 
sentido do movimento
V = 0, mas a  0, FR  0
Não é Equilíbrio
V = 0, FR = 0, a = 0
Estado de Equilíbrio
 
8 – O papel da Força no movimento dos corpos 
Ao descobrir a propriedade da inércia, Galileu percebeu que, 
definitivamente, a presença de uma força resultante não é 
necessária para manter um corpo em movimento. 
V
 
Para melhor esclarecer, considere a caixa da figura acima que se 
move ao longo de uma superfície horizontal lisa sendo empurrada 
por um operador. Se, de repente, a mão do operador perder o 
contato com a caixa, o que ocorrerá ao seu movimento posterior ? 
 A caixa prosseguirá em movimento retilíneo horizontal, freiando 
gradativamente até parar ? Não, pois essa redução no valor da 
velocidade requer a presença de uma força agindo contra a 
velocidade (Figura 13). 
F
V
 
F
V
 
Figura 13 Figura 14 
Física
 
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 A caixa prosseguirá em movimento retilíneo horizontal, acelerando 
gradativamente ? Não, pois esse aumento no valor da velocidade 
requer a presença de uma força agindo a favor da velocidade 
(Figura 14). 
 A caixa prosseguirá em movimento não-retilíneo, descrevendo 
uma trajetória curvilinea ? Não, pois essa mudança de direção e, 
consequentemente, essa mudança da velocidade vetorial da 
caixa requer a presença de uma força . 
 A caixa não prosseguirá em movimento mas, sim, parará 
instantaneamente  logo após a caixa ser abandonada ? Falso, 
pois essa redução brusca de velocidade requer a ação de uma 
grande força se opondo ao seu movimento para freiar a a 
caixa.  
Como vemos, qualquer MUDANÇA DE VELOCIDADE, tanto na 
sua direção (movimentos curvilíneos), quanto no seu sentido 
(inversão de movimento), ou mesmo no seu valor (movimentos 
não-uniformes), implica a presença de uma força resultante agindo 
sobre o corpo. 
 
O papel da força, no movimento, é causar VARIAÇÃO DE 
VELOCIDADE. Se a força resultante agindo sobre o corpo for 
NULA, sua velocidade PERMANECERÁ INVARIÁVEL (em direção, 
sentido e valor). 
 
Mas, afinal de contas, o que ocorrerá ao movimento da caixa que 
se movia horizontalmente com velocidade v quando, de repente, 
todas as forças que agiam nela desapareceram ? 
Ora, na ausência total de forças, a velocidade que a caixa já 
possuía PERMANECERÁ CONSTANTE enquanto perdurar a 
ausência de forças. Isso significa que: 
 a velocidade não poderá aumentar de valor ( a caixa não poderá 
se mover cada vez mais rapidamente); 
 a velocidade não poderá diminuir de valor ( a caixa não poderá 
se mover cada vez mais lentamente, isto é, a caixa não pode 
parar); 
 a velocidade não poderá mudar de direção (a caixa não poderá 
fazer a curva). 
Assim, só resta a essa pobre caixa descrever qual tipo de 
movimento ? Sim !! O movimento retilineo uniforme MRU, o único 
tipo de movimento que se mantém, mesmo na ausência total de 
forças, evidenciando que a presença de forças não é necessária 
para que haja movimento, sendo necessária apenas para 
mudanças de movimento (mudanças de velocidade). 
 
 9 – Subindo ou descendo ? Acelerado ou retardado ? 
Quando dizemos que um corpo está subindo verticalmente, 
estamos dizendo que, necessariamente, a sua velocidade está 
apontando para cima V. Ao contrário, quando dizemos que um 
corpo está descendo verticalmente, isso implica que a sua 
velocidade, necessariamente, está apontando para baixo V. 
 
O vetor velocidade V de um corpo sempre aponta para onde o 
corpo e s t á i n d o naquele momento. 
 
E quanto à sua aceleração? Se o corpo está subindo, a sua 
aceleração aponta para cima ou para baixo ? Apenas com essa 
informação, nada se pode afirmar. O que sabemos é que toda 
aceleração é causada por uma força. Uma força vertical F para 
cima causa uma aceleração a vertical para cima, assim como 
uma força F vertical para baixo causa uma aceleração a 
vertical para baixo, e assim por diante. Generalizando, podemos 
dizer que: 
A aceleração a causada por uma força F sempre aponta na 
mesma direção e sentido da força que a originou. 
Isso está implícito no caráter vetorial da 2ª Lei de Newton: 
F m . a 
Sendo m um número positivo, os vetores F e a têm a mesma 
direção e sentido. 
Caso haja várias forças agindo no corpo simultaneamente, a 
aceleração a é determinada pela força total (resultante) RF , a 
partir da 2ª lei de Newton: 
 RF m a 
A aceleração a causada pela força total (resultante) RF agindo 
num corpo sempre aponta na mesma direção e sentido dessa 
força resultante. 
Assim, saber “para onde”