Estado de deformação 2D e 3D e circulo de mohr

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Índice
1.	Estado de deformação 2D	1
2.	Estado de deformação 3D	3
3.	Deformações principais Principais	3
4.	Círculo de Mohr em 2D	4
4.1.	Construção do ciclo de Mohr	5
5.	Ciclo de Mohr 3D	6
ERD
1. Estado de deformação 2D 
Sejam os pontos A, B e P, pontos de um corpo sujeito a deformação. Ao distorcer o sistema ABP, ocorreram variações de forma e dimensões, dando origem ao novo sistema A’B’P’, como ilustra a o gráfico a seguir.
P(x, y)
P’
A(x+Δx, y)
A'
Onde os novos pontos tem as seguintes coordenadas`
 
 
 
Para a determinar as deformações nos eixos x e y, tem que se ter em conta a deformação linear, dada por: 
Para x: 
 
Então: 
A última expressão se assemelha a expressão da definição da deriva, logo:
 
De forma análoga podemos obter a deformação em y:
 
 
De acordo com Toleto (2017), as deformações angulares que ocorrem entre dois segmentos de recta originalmente perpendicular entre si, e são dadas por: 
E com as deformações em x e y, observando os seus podemos concluir a figura a seguir figura.
Figure 1:Estado de deformação 2D. Fonte: Morilla (s.d)
Portanto, usando a tangente, teremos que: e e logo, a deformação angular no plano xy será igual a: 
Portanto, o estado deformacional do corpo será caracterizado pelo seguinte tensor de deformação. 
2. Estado de deformação 3D
Figure 2Estado de deformacao 3D. Fonte: Bittencourt (s.d) pag 5
De modo a obter os elementos de deformação em 3D faz-se de forma análoga a do 2D, onde para alem de se adicionar um eixo z, adiciona-se também um deslocamento na direcção do z, o que resulta nas seguintes componentes:
; ; 
; e 
Portanto, o estado deformacional do corpo será caracterizado pelo seguinte tensor de deformação:
 
3. Deformações principais Principais 
Segundo Toledo (2017), as deformações principais são aquelas, segundo as quais o tensor de deformação é diagonal e essas são simbolizadas por , onde:
 e 
Portanto, considerando o estado deformacional ou de deformação de um corpo, para determinar as deformações principais é preciso satisfazer a equação a seguir:
Onde a equação resultante será a equação cúbica: 
Onde: 
Para 2D, as componentes que envolvem z são iguais a 0 o que resultará em uma equação quadrática: 
Onde e 
4. Círculo de Mohr em 2D
De acordo com Salamuni (s,d) O círculo de Mohr é um método gráfico desenvolvido por Christian Otto Mohr que permite a representação do estado de tensões num ponto. Desse modo, ele consiste na solução gráfica das equações de transformação de tensão, a seguir:
 
Elevando-se ao quadrado cada membro e somando-se as últimas equações acima tem-se:
Chamando, e , chega-se a:
De acordo com Bittencourt (s.d), se definirmos eixos coordenados com positiva para a direita e positiva para baixo e então construirmos o gráfico da ultima equação, veremos que essa equação representa um circulo de raio R e o centro no ponto 
A
E
Figure 3: circulo de Mohr
Onde a 
4.1. Construção do ciclo de Mohr 
De acordo com Bittencourt (s.d), para traçar o ciclo de Mohr em 2D, tem que se seguir os seguintes passos:
1. Com os eixos coordenados e definidos, primeiro marca-se o centro do círculo C, que está localizado no eixo σ a uma distância de da origem.	
2. Marcar o ponto de referencia A cujas coordenadas são (.
3. Unir o ponto A ao centro C, determinando a hipotenusa CA, que representa o raio R do círculo. 
4. E traçar o circulo tendo usando o raio encontrado.
5. As componentes de tensão de cisalhamento máxima e de tensão normal média são determinadas pelo círculo com as coordenadas do ponto E(,
5. Ciclo de Mohr 3D
	
Figure 4: tetraedro de tensão. Fonte: Toledo(2017)
	
Figure 5: Circulo de Mohr 3D
O circulo de Mohr 3 dimensional consiste em determinar os círculos de Mohr em cada plano do tetraedro.
Onde o circulo 1, 2 e 3 são determinados pelas equações a seguir:
Ciculo 1: ; com 
Circulo 2: com e 
Circulo 3: com e 
Construindo estes três círculos obedecendo os passos de construção do ciclo de Mohr mencionados acima, chegaremos a situação da fig5.
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