Aula 04 - Distribuição de Frequência

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Métodos Quatitativos I
4º Aula
Distribuição de frequência
Nesta aula estudaremos o que é ROL, as distribuições 
de frequência, seus elementos e seus tipos. Vocês sabem 
do que estamos falando? Conhecem ou já ouviram falar 
de algum? Sabem para que eles servem?
Bons estudos!
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula vocês serão capazes de: 
• fazer a distribuição de frequências;
• aplicar a Regra de Sturges;
• conhecer e saber calcular: ROL, fi (frequência simples), FAC (frequência acumulada, li (limite inferior), li (limite 
superior), h (amplitude de classes), AT (amplitude total).
23
1 - Distribuição de frequência: ROL
2 - Regra de Sturges
Seções de estudo
1 – Distribuição de frequência: ROL
2 – Regra de Sturges
Conceito: Segundo Crespo (2002), a esse tipo de tabela, 
cujos elementos não foram numericamente organizados, 
denominamos tabela primitiva.
Conceito: Denominamos frequência o numero de alunos que fica 
relacionado a um determinado valor da variável. Obtemos assim, 
uma tabela que recebe o nome de distribuição de frequência:
Primeiramente, iremos abordar a melhor forma de 
descrever os dados estatísticos resultantes de variáveis 
quantitativas, após o levantamento, após a amostragem, de 
dados como altura dos alunos de uma turma, peso dos alunos, 
salários dos operários de uma empresa etc.
Suponhamos que fizemos uma coleta de dados relativos às 
estruturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos 
alunos da disciplina de Estatística, resultando a seguinte tabela 
de valores:
Partindo dos dados acima, ou seja, da tabela primitiva, 
a averiguação dos dados fica difícil, pois os valores estão 
desordenados, e dessa forma averiguar em torno de que valor 
tende a se concentrar as estaturas, qual a menor ou qual a maior 
estatura ou, ainda, quantos alunos se acham abaixo ou acima 
de uma dada estatura, torna-se uma tarefa morosa e trabalhosa.
Com o propósito de facilitar o trabalho, foi criada uma 
tabela organizada a qual damos o nome de Rol, onde os dados 
aparecem organizados de forma crescente ou decrescente, 
ficando da forma a seguir:
Extraído do site: <http://www.ipanema.com/
livros/olha/page14.gif>
166 160 161 150 162 160 165 167 164 160
162 161 168 163 156 173 160 155 164 168
155 152 163 160 155 155 169 151 170 164
154 161 156 172 153 157 156 158 158 161
TABELA ESTATURAS DE 40 ALUNOS
Fonte: Retirado de Crespo (2002).
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173
TABELA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS
Da forma agora apresentada, poderemos verificar, com 
clareza e facilidade, qual a menor (150 cm) e a maior estatura 
(173 cm), que variação obteve entre a maior e a menor (173 – 
150 = 23 cm). 
Dependendo da disponibilização desses dados na tabela, 
a variável altura torna-se mais visível, podendo ser melhor 
estudada. Observe como faremos a primeira distribuição de 
frequências dessas alturas. Iremos dispor os valores da altura 
ordenados em uma coluna e, ao lado de cada valor, o número 
de vezes, ou seja, a frequência em que eles aparecem.
ALTURA DOS ALUNOS
ESTATURA
(cm) FREQ.
150
151
152
153
154
155
156
157
158
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
172
173
1
1
1
1
1
4
3
1
2
5
4
2
2
3
1
1
1
2
1
1
1
1
Total 40
Bem, mas, observando melhor, poderemos agrupar 
essas estaturas para que a tabela seja melhor 
utilizada, colocando os valores em intervalos 
de classes, que chamamos, a cada um deles de 
frequência de uma classe (número de valores 
da variável pertencentes à classe (i)).
Segundo Crespo 
(2002), classes 
de frequência 
ou classes são 
intervalos de 
variável.
Estamos a toda hora falando em classes... Mas como saber 
quantas classes estipular para cada tabela? Como subdividi-
las? Para isso temos a Regra de Sturges, que pode nos auxiliar. 
Ela nos fornece o número de classes em função do número 
de valores da variável, número da amostra que obtivemos.
i ≅ 1 + 3,3 . log n , onde: 
i é o número de classe;
Métodos Quantitativos I 24
Observando a tabela poderemos constatar outro item: os limites 
de classe. Temos dois limites: o inferior (li) e o superior (Li). Se 
tomarmos como exemplo i = 1 (1ª classe) termos como li (limite 
inferior) 150 e Li (limite superior) 154.
Temos, ainda, como medir o intervalo de uma classe através da 
Amplitude de um intervalo de classe ou intervalo de classe, por meio 
de hi = Li − li. Se tomarmos i = 2 como exemplo, teremos h2 = 158 – 
154 = 4 cm de amplitude de intervalo de classe.
Existe também como medirmos a amplitude total da distribuição 
(AT), que é a diferença entre o limite superior da última classe (limite 
superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite 
inferior mínimo) – AT = L(max) – l(min). Para a tabela da estatura 
dos 40 alunos teremos:
AT = 174 – 150
AT = 24 cm
L(max) − l(min)
i
173 − 150
6
23
6
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
ALTURA DOS ALUNOS
ESTATURA
(cm) FREQ.
150 154
154 158
158 162
162 166
166 170
170 174
4
9
11
8
5
3
Total 40
É importante observar dois pontos. Primeiramente, 
observa-se o símbolo ├─. Esse símbolo serve para delimitar 
o intervalo que estaremos trabalhando. Note que do lado 
esquerdo existe ├─, onde essa barra inclui o valor que está 
a sua esquerda. No caso da tabela, os valores 150 da classe 1, 
154 da classe 2, 158 da classe 3, 162 da classe 4, 166 da classe 
5 e 170 da classe 6, todos eles possuem esse símbolo, que 
serve para dizer que esse intervalo inicia-se por esse valor. 
Tomamos como exemplo a classe 1, onde apresenta 150 ├─ 
154. Para essa classe existirão alturas compreendidas de 150 
cm a 153 cm. Como do lado direito não aparece o símbolo 
─┤, então a altura 154 não pertence a esse intervalo e sim ao 
próximo, pois aparecerá da forma 154 ├─ 158, e assim por 
diante. 
Dessa forma teremos valores compreendidos para 
cada classe:
i = 1 (1ª classe) – 150, 151, 152, 153
i = 2 (2ª classe) – 154, 155, 156, 157
i = 3 (3ª classe) – 158, 159, 160, 161
i = 4 (4ª classe) – 162, 163, 164, 165
i = 5 (5ª classe) – 166, 167, 168, 169
i = 6 (6ª classe) – 170, 171, 172, 173
Outro ponto que devemos observar é a segunda 
coluna da tabela. Para cada intervalo estipulado, contaremos 
a quantidade de vezes que eles aparecem. Observem... Para 
os valores de 150 a 153 (1ª classe), aparecerão 4 vezes, sendo 
uma frequência de cada valor. Já na 2ª classe, 9 vezes, sendo 
1 da altura 154 cm, 4 da 155 cm, 3 da 156 cm e 1 da 157 
cm, totalizando 9 vezes, e assim sucessivamente. Isso é o 
que chamamos de frequência simples ou absoluta (fi). O 
resultado total deve permanecer 40, pois foi o total de alunos 
que formam a amostra inicial. Há também, o que chamamos de 
frequência acumulada (FAC), que é o total das frequências 
de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de 
uma dada classe. 
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
ALTURA DOS ALUNOS
ESTATURA
(cm) FREQ. FAC
150 154
154 158
158 162
162 166
166 170
170 174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
Total 40
Para procedermos com os cálculos de frequência 
acumulada, tomou-se como referência inicial a frequência da 
primeira classe (4), em seguida, somou-se o valor 4 à 2ª classe 
e resultou em 13, para a próxima somou-se 13 à 11, resultando 
24 e assim por diante...
Se considerarmos os valores máximo e mínimo, 173 e 150, 
e fizermos a diferença dos mesmos, teremos o que chamamos 
de Amplitude Amostral (AA), ou seja, AA = 173 – 150 = 
23 cm.
n é o número total de dados (amostra).
No nosso exemplo da amostragem da estatura dos 40 
alunos temos:
i ≅ 1 + 3,3 . log 40
i ≅ 1 + 3,3 . 1,6
i ≅ 1 + 5,28
i ≅ 6,28
Como o resultado não foi exato, arredondamos para 6, 
pois 6,28 está mais próximo de 6 do que 7.
Para sabermos a distância de um intervalo e outro 
utilizamos a seguinte fórmula:
 
h = _____________
h = _________
h = ___
h = 3,8
Considerando que 3,8 está mais próximo de 4, adotamos 
4 cm de “diferença” entre os intervalos.
Observem a nova distribuição de valorese perceba que 
em cada classe teremos uma amplitude de 4, ou seja, meus 
limites inferior e superior terão variação de 4. Vejam como se 
apresentam os valores da tabela a seguir:
25
Para calcularmos o ponto médio (xi) 
de uma classe, somamos os limites inferior e 
superior e depois dividimos por dois. 
 Vejam a seguir, um pouco mais de exemplo:
• Exemplo 1: Para a tabela a seguir, façam 
a distribuição de frequências utilizando a Regra 
de Sturges:
Segundo 
Crespo (2002), 
ponto médio 
de uma classe 
é o ponto 
que divide 
o intervalo 
de classe em 
duas partes 
iguais.
84 68 33 52 47 73 68 61 73 77
74 71 81 91 65 55 67 35 85 88
59 80 41 50 53 65 76 85 73 60
67 41 78 56 94 35 45 55 64 74
65 94 66 48 39 69 89 98 42 54
Vejam que em primeiro lugar é necessário 
colocar os valores em ordem crescente... ordená-los... 
fazer o ROL. Desta forma temos:
33 41 50 55 64 67 71 74 81 89
35 42 52 56 65 67 73 76 84 91
35 45 53 59 65 68 73 77 85 94
39 47 54 60 65 68 73 78 85 94
41 48 55 61 66 69 74 80 88 98
Depois da ordenação feita, agora resta aplicar a Regra 
de Sturges, vamos lá?!! Lembrem-se de que agora temos 50 
termos, então devemos considerar N = 50.
i ≅ 1 + 3,3 . log N
i ≅ 1 + 3,3 . log 50
i ≅ 1 + 3,3 . 1,69
i ≅ 1 + 5,6
i ≅ 6,6
i = 7 aproximadamente
Para sabermos a distância de um intervalo e outro 
utilizamos a seguinte fórmula:
 
h = _____________
h = _________
h = ___
h = 9,28
Dessa forma iremos considerar ou h = 9,28 ou 
arredondamos este valor para cima e teremos h = 10, 
aproximadamente.
Dessa forma teremos valores compreendidos para cada 
classe:
i = 1 (1ª classe) – 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42
i = 2 (2ª classe) – 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52
i = 3 (3ª classe) – 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62
i = 4 (4ª classe) – 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72
i = 5 (5ª classe) – 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82
i = 6 (6ª classe) – 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92
i = 7 (7ª classe) – 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102
L(max) − l(min)
i
98 − 33
7
65
7
Notas dos alunos
Notas fi
33 43
43 53
53 63
63 73
73 83
83 93
 93 103
7
5
8
11
10
6
3
Total 50
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
Montando a tabela, considerando os valores acima 
encontrados temos:
• Exemplo 2: Conhecidas às notas de 50 alunos, obtenha 
a distribuição de frequência, tendo 30 para limite inferior da 
primeira classe e 10 para intervalo de classe.
84 68 33 52 47 73 68 61 73 77
74 71 81 91 65 55 67 35 85 88
59 80 41 50 53 65 76 85 73 60
67 41 78 56 94 35 45 55 64 74
65 94 66 48 39 69 89 98 42 54
Observem que primeiramente deverá fazer o ROL, ou 
seja, colocar todos os valores acima em ordem crescente, para 
depois distribuí-los na tabela. Em seguida terão que colocar as 
notas em intervalos conforme foi orientado pelo enunciado 
do exemplo, começando em 30 e tendo intervalos de 10 em 
10. Se observarem o exemplo anterior, verão que teremos que 
contar quantos valores existem nos intervalos de cada uma 
das classes.
Observem que na tabela a seguir, existem os valores 
pertencentes à cada uma das classes disponibilizadas!!!
(1ª classe) 33 35 35 39
(7ª classe) 91 94 94 98
(2ª classe) 41 41 42 45 47 48
(3ª classe) 50 52 53 54 55 55 
56 57 59
(1ª classe) 33 35 35 39
(4ª classe) 60 61 64 65 65 65 
66 67 68 68 69
(5ª classe) 71 73 73 73 74 74 
76 77 78
(6ª classe) 80 81 84 85 85 88 89
Notas dos alunos
Notas Freq. fi
30 40
40 50
50 60
60 70
70 80
80 90
 90 100
4
6
9
11
9
7
4
Total 50
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
Vejam que ao final teremos em frequência a quantidade 
de números existentes em cada uma das classes. 
Importante lembrarem e observarem que podemos 
construir as tabelas, fazer a distribuição de frequências de 
duas formas: ou pela Regra de Sturges, ou considerando 
a sugestão do enunciado. Para as duas formas temos as 
tabelas válidas. 
Métodos Quantitativos I 26
Então vamos ver mais alguns exemplos?!
• Exemplo 3: Relembrando alguns conceitos... Vejam a 
tabela a seguir e relembrem os dados... 
Áreas (m2) N0de lotes (fi )
300 400
400 500
500 600
600 700
700 800
800 900
 900 1000
1000 1100
1100 1200
14
46
58
76
68
62
48
22
6
Total 396
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
a) A amplitude total – é a diferença do maior para o 
menor valor da distribuição.
AT = 1200 – 300 = 900
b) O limite superior da quinta classe – o maior valor da 
quinta linha... ou seja= 800
c) O limite inferior da oitava classe – o menor valor da 
oitava linha... ou seja = 1000
d) O ponto médio da sétima classe. – para encontrar este 
valor, basta somar os valores (maior e menor) da sétima linha 
e dividir por 2... 
 
xi = __________ = _____ = 950
e) A amplitude do intervalo da segunda classe – é o valor 
da diferença do maior pelo menor valor da quinta linha. 
h = 500 – 400 = 100
f) A frequência da quarta classe – é o valor correspondente 
em fi da quarta linha. = 76
g) A frequência acumulada da quinta classe – para 
encontrar este valor, basta somar todos os valores de fi até a 
quinta linha... 
14 + 46 + 58 + 76 + 68 = 262
1 – Distribuição de Frequência: ROL
Nessa seção estudamos a forma que os dados são 
coletados e disponibilizados em uma tabela. Estudamos 
como podemos distribuir esses valores em tabela e que nome 
se dá a cada um desses valores.
900 + 1000
2
1900
2
Retomando a aula
Parece que estamos indo bem. Espero que agora 
tenha fi cado mais claro o entendimento de vocês 
sobre distribuição de frequência. Vamos, então, 
recordar: 
Não esqueçam! Em caso de dúvidas, acessem as ferramentas “Fórum” 
ou “Quadro de Avisos”
CRESPO. A. A. Estatística fácil. 18. ed. São Paulo: 
Saraiva, 2002.
PINHEIRO, J. I. D. et al. Estatística básica – a arte de 
trabalhar com dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2009.
VIEIRA, S. Elementos de Estatística. São Paulo: Ed. Atlas, 
1999.
Sala do Mestre. Disponível em: <http://goo.gl/tVXeS2>.
Estatística geral. Disponível em: <http://goo.gl/y6J1S3>.
Distribuição de frequência. Disponível em: <http://goo.
gl/4LN3Na>.
Vale a pena
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2 – Regra de Sturges
Na seção 2, colocamos uma forma específica de estruturar 
esses dados em tabela. A regra de Sturges permite distribuirmos 
os dados de forma homogênea.
Minhas anotações