Aula_04_Expanso_em_Srie_de_Taylor

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Computação
Numérica
Joilson B. A. Rêgo
A Série de Taylor
Erro de
discretização
ReferênciasComputação Numérica
Aula 04 - Expansão em Série de Taylor
Joilson B. A. Rêgo
ECT/UFRN
2017.1
Computação
Numérica
Joilson B. A. Rêgo
A Série de Taylor
Erro de
discretização
Referências
Sumário
A Série de Taylor
Erro de discretização
Referências
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Erro de
discretização
Referências
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A Série de Taylor
Erro de discretização
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Erro de
discretização
Referências
A Série de Taylor
I Teorema: Se a função f e suas n+ 1 derivadas
forem contínuas no intervalo [x0;x0 + h], então o
valor da função f(x0 + h)é dada por:
f(x0 + h) = f(x0) + h.f
′
(x0) +
h2
2!
f
′′
(x0) + . . .
+
hn
n!
f (n)(x0) +
h(n+1)
(n+ 1)!
f (n+1)(ξ)
onde x0 < ξ < x0 + h
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Erro de
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Referências
Série de Taylor - Aproximação
Polinomial
I Exemplo:
f(x) = −0, 1x4 − 0, 15x3 − 0, 5x2 − 0, 25x+ 1, 2
com x0 = 0 e h = 1.
x
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f(
x)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2 Aproximação de Ordem zero (1,2)
Aproximação de Primeira Ordem (0,95)
Aproximação de Segunda Ordem (0,45)
Aproximação de Terceira Ordem (0,3)
Valor Verdadeiro (0,2)
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discretização
Referências
Série de Taylor (Maclaurin) - Função
exponencial
I A função Exponencial
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
e−x =
∞∑
n=0
(−1)nx
n
n!
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Erro de
discretização
Referências
Série de Taylor (Maclaurin) - Funções
Seno e Cosseno
I Função Seno
sen(x) =
∞∑
n=0
(−1)n x
(2n+1)
(2n+ 1)!
I Função Cosseno
cos(x) =
∞∑
n=0
(−1)n x
(2n)
(2n)!
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Erro de
discretização
Referências
Exemplo
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
1.5
2
2.5
3
Aproximação em série de Taylor da função exponencial de x = π /4 e N = 3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Aproximação em série de Taylor da função exponencial de x = -π /4 e N = 3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Aproximação em série de Taylor da função seno de θ = π /4 e N = 3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Aproximação em série de Taylor da função cosseno de θ = π /4 e N = 3
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Erro de
discretização
Referências
Exemplo
I Exemplo: Use expansões em séries de Taylor
com n variando de 0 a 2 para aproximar
f(x) = cos(x) em x(i+ 1) = π
3
com base no
valor de f(x) e suas derivadas em x(i) = π
4
.
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Exemplo em Scilab do cálculo do
cosseno
clear; clc;
n = 0:2;
// Cálculo do valor de h
x0 = %pi/4;
x1 = %pi/3;
h = x1 - x0;
// Inserção das derivadas de cada termo
d = [sqrt(2)/2 -sqrt(2)/2 -sqrt(2)/2];
// Sequência utilizando Taylor
s_cos = d .* (h).^n ./(factorial(n));
// Valor aproximado
valor_aprox = sum(s_cos);
// Valor real
valor_real = cos(x0);
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Referências
Série de Taylor - função cosseno
I Exemplo: f(x) = cos(x).
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
f(
x)
 =
 c
os
(x
) 
co
m
 d
ife
re
nt
es
 te
rm
os
-3
-2
-1
0
1
2
3
Exemplo de aplicação da série de Taylor
cos(x)
série com 2 termos
6 termos
12 termos
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Sumário
A Série de Taylor
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discretização
Referências
Erro de discretização
I Seja,
f(x0 + h) = f(x0) + h.f
′
(x0) +
h2
2!
f
′′
(x0) + . . .
+
hn
n!
f (n)(x0) +
h(n+1)
(n+ 1)!
f (n+1)(ξ)
de modo que podemos escrever a seguinte
expressão:
f
′
(x0) =
f(x0 + h)− f(x0)
h
−
(
h
2
f
′′
(x0) +
h2
6
f
′′′
(x0) + · · ·
)
assim, o erro de discretização pode ser escrito
como:∣∣∣∣f ′(x0)− f(x0 + h)− f(x0)h
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣(h2f ′′(x0) + h26 f ′′′(x0) + · · ·
)∣∣∣∣
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discretização
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Erro de discretização
Estimativa do erro de discretização
se f ′′(x0) 6= 0, com h pequeno, podemos estimar o
erro de discretização por:
∣∣∣∣f ′(x0)− f(x0 + h)− f(x0)h
∣∣∣∣ ≈ h2 ∣∣∣f ′′(x0)∣∣∣
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discretização
Referências
Exemplo
I f(x) = sen(x) no ponto x0 = 1, 2. Suponha que
queremos a seguinte relação:∣∣∣∣f ′(x0)− f(x0 + h)− f(x0)h
∣∣∣∣ < 10−10
h
10-20 10-15 10-10 10-5 100
E
rr
o 
ab
so
lu
to
10-15
10-10
10-5
100
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Referências
Exercícios
Calcule a expansão em série de Taylor em torno de
x0 = 0 para as seguintes funções:
I f(x) = sen(x)
I f(x) = cos(x)
I f(x) = eix
Utilize o resultado da questão anterior para provar
que eix = cos(x) + i.sen(x), e com isto provar a
famosa identidade de Euler,
eiπ + 1 = 0
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Referências
Sumário
A Série de Taylor
Erro de discretização
Referências
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Referências
Referências
I CHAPRA, Steven C; CANALE, Raymond P.
Métodos numéricos para engenharia. São
Paulo: McGraw-Hill, c2008. xxi, 809 p. ISBN:
9788586804878.
I FRANCO, Neide Maria Bertoldi. Cálculo
numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2006. 505 p. ISBN: 9788576050872.
	A Série de Taylor
	Erro de discretização
	Referências