Lajes CEAP.

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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
Assunto: Cálculo de Lajes 
Prof. Ederaldo Azevedo 
Aula 3 
 
e-mail: ederaldoazevedo@yahoo.com.br 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
 
3. CALCULO DE LAJES 
3.1. Conceitos preliminares: 
 Estrutura é a parte ou o conjunto das partes de uma 
construção que se destina a resistir a carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
3. CALCULO DE LAJES 
3.1. Conceitos preliminares: 
 Tipos de Elementos estruturais de acordo com as 
dimensões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
Laje 
Paredes Estruturais 
Pilar 
Vigas 
3. CALCULO DE LAJES 
3.1. Conceitos preliminares: 
 
 Lajes é o elemento estrutural de uma edificação 
responsável por transmitir as ações(carregamento 
perpendicular ao seu plano) que nela chegam para as 
vigas (ou diretamente para os pilares no caso de lajes 
cogumelos) que a sustentam, e destas para os pilares. 
 
 Lajes são elementos estruturais bidimensionais, 
caracterizadas por ter a espessura muito menor do que 
as outras duas dimensões. 
 
 As lajes são os primeiros elementos estruturais a 
receberem a carga a qual é destinada uma estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. CALCULO DE LAJES 
3.1. Conceitos preliminares: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maciças ou 
Simples 
TIPOS DE 
LAJES 
Cogumelo 
Nervuradas 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
 
 
Em Concreto 
Protendido 
Pré-moldada 
3. CALCULO DE LAJES 
3.1. Conceitos preliminares: 
Lajes maciças ou comum 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
3. CALCULO DE LAJES 
3.1. Conceitos preliminares: 
Lajes nervuradas 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
3. CALCULO DE LAJES 
3.1. Conceitos preliminares: 
Lajes Cogumelo 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
3. CALCULO DE LAJES 
3.1. Conceitos preliminares: 
Lajes Pré-moldadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
3. CALCULO DE LAJES 
3.1. Conceitos preliminares: 
Lajes Protendidas(alveolares) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes Maciças - Dimensionamento: 
Roteiro para Cálculo de lajes em CA: 
 
 1º Classificar as lajes; 
 2º Calcular as Cargas Atuantes; 
 3º Det. condições de apoio das lajes; 
 4º Pré-dimensionar a altura(espessura das lajes); 
 5º Verificar as flexas; 
 6º Calcular os momentos; 
 7º Determinar as armaduras longitudinais; 
 8º Calcular as reações das lajes nas vigas de apoio; 
 9º Verificar efeito das forças cortantes(cizalhamento); 
 10º Detalhar as armaduras. 
 
 
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3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes Maciças - Dimensionamento: 
1º Passo: Classificar a laje 
 Classificação: 
 a) Lajes armadas em uma direção; 
 b) Lajes armadas em duas direções. 
 
a) Lajes armadas em uma direção: quando a relação entre 
o maior e o menor vão é maior que 2. 
 ly > 2 ly= maior vão ; lx= menor vão 
lx 
 
b) Lajes armadas em duas direções(em cruz): quando a 
relação entre o maior e o menor vão é menor ou igual a 2. 
 ly ≤ 2 
 lx 
 
 
 
 
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3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
2º Passo: Cálculo das Cargas/m² 
 a) Carga Acidental 
 
 
 
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Local Carga acidental -Laje
Carga Acidental 
(kN/m²)
Hall de banco 3
Sala de depósito de livro 4
Salão de danças de clubes 5
Edifícios residenciais: dormitórios,
sala, copa, cozinha e banheiro
1,5
Edifícios residenciais: despensa, área
de serviço e lavanderia
2
Forros 0.5
Escada, lajes de garagens 3
TABELA 1 - CARGAS ACIDENTAIS NBR 6120
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
2º Passo: Cálculo das Cargas/m² 
 b) Carga Permanente: 
 
 
 
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Material kgf/m³ kN/m³
Concreto Armado 2.500 kgf/m³ 25 kN/m³
Concreto Simples 2.400 kgf/m³ 24 kN/m³
Alvenaria tijolo barro maciço 1.800 kgf/m³ 18 kN/m³
Alvenaria tijolo furado 1.300 kgf/m³ 13 kN/m³
Alvenaria blocos de concreto 1.400 kgf/m³ 14 kN/m³
Acabamento de piso 100 kgf/m³ 1 kN/m³
Acabamento de teto 30 kgf/m³ 0,3 kN/m³
Impermeabilização de laje 100 kgf/m³ 1 kN/m³
TABELA 2 - PESO ESPECÍFICO DE MATERIAIS
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
2º Passo: Cálculo das Cargas/m² 
 b) Carga Permanente: 
b.1 Peso Próprio: (exercício de aplicação de cargas) 
 Para achar o peso próprio é preciso determinar a 
altura(espessura) estimada da laje; 
 Esta altura para edifícios comum varia entre 5cm a 12 
cm; 
 
 
 
 
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CARACTERÍSTICA CONSTRUTIVA DA LAJE
ESPESSURA MÍNIMA 
(cm)
LAJES DE COBERTURA NÃO EM BALANÇO 5 cm
LAJE DE PISO OU DE COBERTURA EM BALANÇOS 7 cm
LAJES SUPORTE VEÍCULOS DE P.tot ≤ 30 kN 10 cm
LAJES SUPORTE VEÍCULOS DE P.tot > 30 kN 12 cm
TABELA 3 - VALORES MÍNIMOS ESPESSURA LAJES - NBR 6118
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
3º Passo: Determinaçao das Condições de apoio 
 Definição de Quadros: 
 Definir quadros de lajes é definir a geometria e as 
condições de apoio. 
 Para isso cada laje deve ser tratada individualmente de 
acordo com a vinculação(condições de apoio) com as 
demais. 
 Condições de apoio existente: 
 
 
 
 
 
 
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Apoio simples 
(alvenaria ou vigas) 
Engastada 
(lajes adjacentes) 
3. CALCULO DE LAJES 
 
 
 
 
 
 
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1
y
x
lx
ly 2 3
4 5 6
7 8 9
SITUAÇÕES DE VINCULAÇÃO DAS PLACAS ISOLADAS CONSTANTES NOS QUADROS
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
4º Passo: Pré-dimensionamento da espessura da laje 
 Para determinar a espessura estimada da laje usa-se a 
fórmula; 
 
 
 
 
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d ≥ l 
 Ψ2 Ψ3 
l = vão menor e Ψ2 Ψ3 dados nas tabelas 4 e 5, a seguir 
h= d + c + 1,5Φ 
h= espessura da laje; 
c= cobrimento= 2cm;tabela 6 
Φ= diâmetro da armadura. 
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
4º Passo: Pré-dimensionamento da espessura da laje 
 
 Para encontrar o coeficiente
correto neste e nos demais 
quadros é preciso cálcular o parãmetro λ, que reflete a 
geometria da laje, expresso por: 
 
 
 
 
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λ= ly 
 lx 
lx = a menor dimensão da placa; 
ly= a maior dimensão. 
Entrar com valor de λ nas tabelas 4 e 5, para det. Ψ2 Ψ3 
3. CALCULO DE LAJES 
 
 
 
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λ caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 caso 5 caso 6 caso 7 caso 8 caso 9
1,00 1,50 1,70 1,70 1,80 1,90 1,90 2,00 2,00 2,20
1,05 1,48 1,67 1,69 1,78 1,87 1,89 1,97 1,99 2,18
1,10 1,46 1,64 1,67 1,76 1,83 1,88 1,94 1,97 2,15
1,15 1,44 1,61 1,66 1,74 1,80 1,87 1,91 1,96 2,13
1,20 1,42 1,58 1,64 1,72 1,76 1,86 1,88 1,94 2,10
1,25 1,40 1,55 1,63 1,70 1,73 1,85 1,85 1,93 2,08
1,30 1,38 1,52 1,61 1,68 1,69 1,84 1,82 1,91 2,05
1,35 1,36 1,49 1,60 1,66 1,66 1,83 1,79 1,90 2,03
1,40 1,34 1,46 1,58 1,64 1,62 1,82 1,76 1,88 2,00
1,45 1,32 1,43 1,57 1,62 1,59 1,81 1,73 1,87 1,98
1,50 1,30 1,40 1,55 1,60 1,55 1,80 1,70 1,85 1,95
1,55 1,28 1,37 1,54 1,58 1,52 1,79 1,67 1,84 1,93
1,60 1,26 1,34 1,52 1,56 1,48 1,78 1,64 1,82 1,90
1,65 1,24 1,31 1,51 1,54 1,45 1,77 1,61 1,81 1,88
1,70 1,22 1,28 1,49 1,52 1,41 1,76 1,58 1,79 1,85
1,75 1,20 1,25 1,48 1,50 1,38 1,75 1,55 1,78 1,83
1,80 1,18 1,22 1,46 1,48 1,34 1,74 1,52 1,76 1,80
1,85 1,16 1,19 1,45 1,46 1,31 1,73 1,49 1,75 1,78
1,90 1,14 1,16 1,43 1,44 1,27 1,72 1,46 1,73 1,75
1,95 1,12 1,13 1,42 1,42 1,24 1,71 1,43 1,72 1,73
2,00 1,10 1,10 1,40 1,40 1,20 1,20 1,40 1,70 1,70
Tabela 4 - Valores de Ψ2 utilizados no pré-dimensionamento da espessira das lajes
3. CALCULO DE LAJES 
 
 
 
 
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Aço Vigas e Lajes nervuradas Lajes maciças
CA-25 25 35
CA-32 22 33
CA-40 20 30
CA-50 17 25
CA-60 15 20
Tabela 5 - Valores de Ψ3 utilizados no pré-dimensionamento da espessura das lajes
Fraca Moderada Forte Muito forte
2,0 2,5 3,5 4,5
Tabela 6 - Cobrimento mínimo da armadura "c" (cm)
Classe de agressividade do ambiente
3. CALCULO DE LAJES 
4º Passo: Pré-dimensionamento da espessura da laje 
 Exercício: 
 Sejam três lajes disposta no desenho abaixo, pré- 
dimensione a altura da laje 
 
 
 
 
 
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L1
L2
L3
5,006,00
4
,0
0
6
,0
0
3. CALCULO DE LAJES 
4º Passo: Pré-dimensionamento da espessura da laje 
 Exercício: 
 Definição dos apoios: 
 
 
 
 
 
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L3
CASO 3
CASO 4
L2
CASO 4
L1
3. CALCULO DE LAJES 
4º Passo: Pré-dimensionamento da espessura da laje 
 Exercício: 
 Determinar “λ” : 
 
 
 
 
 
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λ= ly 
 lx 
lx = a menor dimensão da placa; 
ly= a maior dimensão. 
Entrar com valor de λ nas tabelas 4 e 5, para det. Ψ2 Ψ3 
3. CALCULO DE LAJES 
4º Passo: Pré-dimensionamento da espessura da laje 
 Exercício: 
 Determinar “λ”, Ψ2 , Ψ3, d e h : 
 
 
 
 
 
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Laje Caso lx ly λ Ψ2 Ψ3 d(m) h(m)
L1 4 6,00 6,00 1,00 1,80 25 0,133 0,173
L2 4 4,00 6,00 1,50 1,60 25 1,100 0,14
L3 3 5,00 10,00 2,00 1,40 25 0,143 0,18
Vamos admitir inicialmente barras de 10.00 mm:
h= d + 2,5 + 1,0 = d + 4,0cm = d + 0,04 m,
h maior será a altura da laje é de 18,3 cm;
logo altura será de h= 18 cm
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
4º Passo: Pré-dimensionamento da espessura da laje 
 Cálculo Prático de espessura da laje p/ comparação: 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
Para laje em cruz 
hmínimo= lx 
 40 
Para laje em balanço 
hmínimo= l 
 15 
lx – menor vão da laje; 
l – menor vão da laje; 
3. CALCULO DE LAJES 
4º Passo: Pré-dimensionamento da espessura da laje 
 Cálculo Prático de espessura da laje p/ comparação: 
 
 
 
 
 
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Exemplo: Determinar a espessura mínima da laje abaixo: 
 
 
 480 d h 
 
 
 390 
lx= 390cm 
hminimo = 390 = 9,75 adotamos hmínimo = 10 cm 
 40 
h – espessura total (bruta) da laje; 
d – distancia da armadura até a borda superior da laje. 
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
5º Passo: Verificação de flexa 
 Flexa(a): é o deslocamento(deformação)transversal 
máximo de uma barra reta(vigas) ou placa(lajes) e é dada 
pela fórmula: 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
a = p.𝑙𝑥4. α 
 E. ℎ3 100 
p – carregamento uniformemente distribuído sobre a laje; 
α – Coeficiente da Tabela 8; 
lx – menor vão da laje; 
E – módulo de deformabilidade do concreto (E= 21.287.000 kN/m²); 
h – altura ou espessura da laje; 
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
5º Passo: Verificação de flexa 
 Flexa máxima(limite) de lajes: fazer comparação de “a” 
com a flexa limite encontrada. 
 
 
 
 
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Exemplo Deslocamento a considerar Deslocamento - limite
Deslocamentos visiveis em elementos 
estruturais
Carga Total(permanente + acidental) l x/250
Vibrações sentidas no piso Carga Acidental l x/350
lx= menor vão da laje considerada
TABELA 7 - DESLOCAMENTO LIMITE (FLEXA)
3. CALCULO DE LAJES 
5º Passo: Verificação de flexa 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
λ caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 caso 5 caso 6 caso 7 caso 8 caso 9
1,00 4,67 3,20 3,20 2,42 2,21 2,21 1,81 1,81 1,46
1,05 5,17 3,61 3,42 2,67 2,55 2,31 2,04 1,92 1,60
1,10 5,64 4,04 3,63 2,91 2,92 2,41 2,27 2,04 1,74
1,15 6,09 4,47 3,82 3,12 3,29 2,48 2,49 2,14 1,87
1,20 6,52 4,91 4,02 3,34 3,67 2,56 2,72 2,24 1,98
1,25 6,95 5,34 4,18 3,55 4,07 2,63 2,95 2,33 2,10
1,30 7,36 5,77 4,35 3,73 4,48 2,69 3,16 2,42 2,20
1,35 7,76 6,21 4,50 3,92 4,92 2,72 3,36 2,48 2,30
1,40 8,14 6,62 4,65 4,08 5,31 2,75 3,56 2,56 2,37
1,45 8,51 7,02 4,78 4,23 5,73 2,80 3,73 2,62 2,45
1,50 8,87 7,41 4,92 4,38 6,14 2,84 3,91 2,68 2,51
1,55 9,22 7,81 5,00 4,53 6,54 2,86 4,07 2,53 2,57
1,60 9,54 8,17 5,09 4,65 6,93 2,87 4,22 2,87 2,63
1,65 9,86 8,52 5,13 4,77 7,33 2,87 4,37 2,78 2,68
1,70 10,15 8,87 5,17 4,88 7,70 2,88 4,51 2,79 2,72
1,75 10,43 9,19 5,26 4,97 8,06 2,88 4,63 2,81 2,76
1,80 10,71 9,52 5,36 5,07 8,43 2,89 4,75 2,83 2,80
1,85 10,96 9,82 5,43 5,16 8,77 2,89 4,87 2,85 2,83
1,90 11,21 10,11 5,50 5,23 9,08 2,90 4,98 2,87 2,85
1,95 11,44, 10,39 5,58 5,31 9,41 2,90 5,08 2,89 2,88
2,00 11,68 10,68 5,66 5,39 9,72 2,91 5,19 2,91 2,91
œ 15,35 15,35 6,38 6,38 15,35 3,07 6,38 3,07 3,07
Tabela 8 -Coeficientes "α" para cálculo de flexas em lajes retangulares
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
5º Passo: Verificação de flexa 
 
 Obs.: Para a não verificação da flexa(deformação), nas 
lajes de edifícios basta adotarmos como espessura 
mínima: 
 
 
 
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Para laje em cruz
hmínimo= lx 
 40 
Para laje em balanço 
hmínimo= l 
 15 
lx – menor vão da laje; 
l – menor vão da laje; 
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
6º Passo: Cálculo dos Momentos máximos. 
 Os momentos fletores máximos existente, são os positivos 
representado pela letra “m”, e os negativos, pela letra 
“x”. 
 São determinados pelas Equações abaixo, e pelas tabelas 
a seguir. 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
“mx e my”- momentos máximos positivos por unidade de comprimento. 
mx= μx. p.𝑙𝑥2 
 100 
my= μy. p.𝑙𝑥2 
 100 
p – carregamento uniformemente distribuído sobre a laje; 
μx – Coeficiente da Tabela 9; 
μy – Coeficiente da Tabela 9; 
lx – menor vão da laje; 
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
6º Passo: Cálculo dos Momentos máximos. 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
“Xx e Xy”- momentos máximos negativos por unidade de comprimento. 
Xx= μx’. p.𝑙𝑥2 
 100 
Xy= μy’. p.𝑙𝑥2 
 100 
p – carregamento uniformemente distribuído sobre a laje; 
μx’ – Coeficiente da Tabela 9; 
μy’ – Coeficiente da Tabela 9; 
lx – menor vão da laje; 
6º Passo: Cálculo dos Momentos máximos. 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
μx μy μx μy μ'y μx μ'x μy
1,00 4,41 4.41 3.07 3.94 8.52 3.94 8.52 3.07
1,05 4,80 4.45 3.42 3.78 8.79 4.19 8.91 2.84
1,10 5,18 4.49 3.77 3,90* 9.18 4.43 9.30 2.76
1,15 5,56 4.49 4.14 3.97 9.53 4.64 9.63 2.68
1,20 5,90 4.48 4.51 4.05 9.88 4.85 9.95 2.59
1,25 6,27 4.45 4.88 4,10* 10.16 5.03 10.22 2.51
1,30 6.60 4.42 5.25 4.15 10.41 5.20 10.48 2.42
1,35 6.93 4.37 5.60 4.18 10.64 5.36 10.71 2.34
1,40 7.25 4.33 5.95 4.21 10.86 5.51 10.92 2.25
1,45 7.55 4.30 6.27 4.19 11.05 5.64 11.10 2.19
1,50 7.86 4.25 6.60 4.18 11.23 5.77 11.27 2.12
1,55 8.12 4.20 6.90 4.17 11.39 5.87 11.42 2.04
1,60 8.34 3.14 7.21 4.14 11.55 5.98 11.55 2.95
1,65 8.62 4.07 7.42 4.12 11.67 6.07 11.67 2.87
1,70 8.86 4.00 7.62 4.09 11.79 6.16 11.80 2.79
1,75 9.06 3.96 7.66 5.05 11.88 6.24 11.92 1.74
1,80 9.27 3.91 7.69 3.99 11.96 6.31 12.04 1.68
1,85 9.45 3.83 8.22 3.97 12.03 6.38 12.14 1.64
1,90 9.63 3.75 8.74 3.94 12.14 6.43 12.24 1.59
1,95 9.77 3.71 8.97 3.88 12.17 6.47 12.29 1.54
2,00 10.00 3.64 9.18 3,80* 12.20 5.51 12.34 1.48
œ 12.57 3.77 9.18 3,80* 12,20* 7.61 12.76 1.48
λ
Caso 1 Caso 2 Caso 3
Tabela 9A - Coeficientes μ's,(Caso 1, 2 e 3), Lajes retangulares uniformemente carregadas
6º Passo: Cálculo dos Momentos máximos. 
 
 
 
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μx μ'x μy μ'y μx μy μ'y μx μ'x μy
1,00 2.81 6.99 2.81 6.99 2.15 3.17 6.99 3.17 6.99 2.15
1,05 4.05 7.43 2.81 7.18 2.47 3.32 7.43 3.29 7.20 2.07
1,10 3.30 7.87 2.81 7.36 2.78 3.47 7.87 3.42 7.41 1.99
1,15 3.53 8.28 2,80* 7.50 3.08 3.58 8.26 3.52 7.56 1.89
1,20 3.76 8.69 2.79 7.63 3.38 3.70 8.65 3.63 7.70 1.80
1,25 3.96 9.03 2.74 7.72 3.79 3.80 9.03 3.71 7.82 1.74
1,30 4.16 9.37 2.69 7.81 4.15 3.90 9.33 3.79 7.93 1.67
1,35 4.33 9.65 2.65 7.88 4.50 3.96 9.69 3.84 8.02 1.59
1,40 4.51 9.93 2,60* 7.94 4.85 4.03 10.00 3.90 8.11 1.52
1,45 4.66 10.41 2.54 8.00 5.19 4.09 10.25 3.94 8.13 1.45
1,50 4.81 10.62 2.47 8.06 5.53 4.14 10.49 3.99 8.15 1.38
1,55 4.93 10.82 2.39 8.09 5.86 4.16 10.70 4.03 8.20 1.34
1,60 5.06 10.99 2.31 8.12 6.18 4.17 10.91 4.06 8.25 1.28
1,65 5.16 11.16 2.24 8.14 6.48 4.14 11.08 4.09 8.28 1.23
1,70 5.27 11.30 2.16 8.15 6.81 4.12 11.24 4.12 8.30 1.18
1,75 5.36 11.43 2.11 8.16 7.11 4.12 11.39 4.14 8.31 1.15
1,80 5.45 1,1,55 2.04 8.17 7.41 4.10 11.43 4.15 8.32 1.11
1,85 5.53 11.57 2.99 8.17 7.68 4.08 11.65 4.16 8.33 1.08
1,90 5.60 11.67 2.93 8.18 7.95 4.04 11.77 4.17 8.33 1.04
1,95 5.67 11.78 1.91 8.19 8.21 3.99 11.83 4.17 8.33 1.01
2,00 5.74 11.89 1.88 8.20 8.47 3.92 11.88 4.18 8.33 0.97
œ 7.06 12.50 1.95 8.20 12.58 4.13 11.88 4.18 8.33 0.97
Tabela 9B - Coeficientes μ's,(Caso 4, 5 e 6), Lajes retangulares uniformemente carregadas
λ
Caso 4 Caso 5 Caso 6
6º Passo: Cálculo dos Momentos máximos. 
 
 
 
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μx μ'x μy μ'y μx μ'x μy μ'y μx μ'x μy μ'y
1,00 2.13 5.46 2.60 6.17 2.60 6.17 2.13 5.46 2.11 5.15 2.11 5.15
1,05 2.38 5.98 2.66 6.46 2.78 6.47 2.09 5.56 2.31 5.50 2.10 5.29
1,10 2.63 6.50 2.71 6.75 2.95 6.76 2.04 5.65 2.50 5.85 2.09 5.43
1,15 2.87 7.11 2.75 6.97 3.09 6.99 1.98 5.70 2.73 6.14 2.06 5.51
1,20 3.11 7.72 2.78 7.19 3.23 7.22 1.92 5.75 2.94 6.43 2.02 5.59
1,25 3.43 8.81 2.79 7.36 3.34 7.40 1.85 5.75 3.04 6.67 1.97 5.64
1,30 3.56 8.59 2.77 7.51 3.46 7.57 1.78 5.76 3.13 6.90 1.91 5.68
1,35 3.76 8.74 2.74 7.63 3.55 7.70 1.72 5.75 3.25 7.09 1.86 5.69
1,40 3.96 8.88 2.71 7.74 3.64 7.82 1.64 5.74 3.38 7.28 1.81 5.70
1,45 4.15 9.16 2.67 7.83 3.71 7.91 1.59 5.73 3.48 7.43 1.73 5.71
1,50 4.32 9.44 2.63 7.91 3.78 8.00 1.53 5.72 3.58 7.57 1.66 5.72
1,55 4.48 9.68 2.60 7.98 3.84 8.07 1.47 5.69 3.66 7.68 1.60 5.72
1,60 4.63 9.91 2.55 8.02 3.89 8.14 1.42 5.66 3.73 7.79 1.54 5.72
1,65 4.78 10.13 2.50 8.03 3.94 8.20 1.37 5.62 3.80 7.88 1.47 5.72
1,70 4.92 10.34 2.45 8.10 3.98 8.25 1.32 5.58 3.86 7.97 1.40 5.72
1,75 5.04 10.53 2.39 8.13 4.01 8.30 1.27 5.56 3.91 8.05 1.36 5.72
1,80 5.17 10.71 2.32 8.17 4.04 8.34 1.20 5.54 3.95 8.12 1.32 5.72
1,85 5.26 10.88 2.27 8.16 4.07 8.38 1.17 5.55 3.98 8.18 1.26 5.72
1,90 5.36 11.04 2.22 8.14 4.10 8.42 1.14 5.56 4.01 8.24 1.21 5.72
1,95 5.45 11.20 2.14 8.13 4.11 8.45 1.11 5.60 4.04 8.29 1.19 5.72
2,00 5.55 11.35 2.07 8.12 4.13 8.47 1.08 5.64 4.07 8.33 1.16 5.72
œ 7.07 12.50 2.05 8.12 4.18 8.33 1.09 5.64 4.19 8.33 1.17 5.72
Caso 9
Tabela 9C- Coeficientes μ's,(Caso 7, 8 e 9), Lajes retangulares uniformemente carregadas
λ
Caso 7 Caso 8
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais 
 Vimos como se calculam nas lajes os Momentos fletores 
no meio do vão e nos apoios. São nesses locais, seja 
nas lajes isoladas ou conjugadas, seja nas lajes em cruz, 
seja nas lajes armadas em uma só direção, que ocorrem 
os maiores Momentos Fletores positivos e os maiores 
Momentos Fletores Negativos. 
 
 O processo de dimensionamento determina a área de 
aço(As)(armadura) necessária para resistir aos esforços 
tendo de posse dos momentos fletores e a espessura 
da laje. 
 
 
 
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3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais 
 Para o dimensionamento das armaduras devem ser 
conhecidos o fck do concreto e o tipo de aço(CA-60 ou 
CA-50). 
 Roteiro de cálculo: 
 a) cálculo de k6 
 
 
 
 
 
 
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k6= 105 . b.𝑑2 
 M 
b – 1 m (cálculo por metro) (faixa de 1m de laje); 
d – distancia da borda mais comprimida ao centro de gravidade da armadura(m); 
M - Momento em kNm; 
M = (ou X)são valores calculados pela tabela; 
M – momento fletor positivo; 
X – momento fletor negativo. 
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais 
 Para o dimensionamento das armaduras devem ser 
conhecidos o fck do concreto e o tipo de aço(CA-60 ou 
CA-50). 
 Roteiro de cálculo: 
 a) cálculo de k6 
 
 Encontrado o k6 pela fórmula anterior, faço a interação na 
tabela, pré-definindo o fck, e o tipo de aço e encontro
o 
K3. 
 
 
 
 
 
 
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3. CALCULO DE LAJES 
7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
fck = 20 Mpa fck = 25 Mpa fck = 30 Mpa CA25 CA50A CA60B
0,01 1.447,0 1.158.00 965 0.647 0.323 0,269
0,02 726,0 581 484 0.649 0.325 0,271
0,03 486,0 389 324 0.652 0.326 0.272
0,04 366,0 293 244 0.655 0.327 0.273
0,05 294,0 235 196 0.657 0.329 0.274
0,06 246,0 197 164 0,660 0,330 0.275
0,07 212,0 169 141 0.663 0.331 0.276
0,08 186,0 149 124 0.665 0.333 0.277
0,09 166,0 133 111 0.668 0.334 0.278
0,10 150,0 120 100.1 0.671 0.335 0,280
0,11 137,0 110 91.4 0.674 0.337 0.281
0,12 126,0 100.9 84.1 0.677 0.338 0.282
0,13 117,0 93.6 78 0.679 0,340 0.283
0,14 109,0 87.2 72.7 0.682 0.341 0.284
0,15 102,2 81.8 68.1 0.685 0.343 0.285
0,16 96,2 77,0 64.2 0.688 0.344 0.287
0,17 91,0 72.8 60.6 0.691 0.346 0.288
0,18 86,3 69 57.5 0.694 0.347 0.289
0,19 82,1 65.7 54.7 0.697 0.349 0,290
0,20 78,3 62.7 52.2 0,700 0,350 0.292
0,21 74,9 59.9 49.9 0.703 0.352 0.293
0,22 71,8 57.5 47.9 0.706 0.353 0.294
0,23 69,0 55.2 46,0 0.709 0.355 0,296
0.25 64,1 51.2 42.7 0.716 0.358 0,298
0.26 61,9 49.5 41.2 0.719 0.359 0,300
Tabela 10A - Dimensionamento de lajes maciças armadas em cruz
ξ = x/d
Valores de k6 para concreto Valores de k3 /aço
fck = 20 Mpa fck = 25 Mpa fck = 30 Mpa CA25 CA50A CA60B
0.27 59,8 47.9 39.9 0.722 0.361 0.301
0.28 58,0 46.4 38.6 0.725 0.363 0.302
0.29 56,2 45 37.5 0.729 0.364 0.304
0.30 54,6 43.7 36.4 0.732 0.366 0.305
0.31 53,1 42.5 35.4 0.735 0.368 0.306
0.32 51,6 41.3 34.4 0.739 0.369 0.308
0.33 50,3 40.3 33.5 0.742 0.371 0.309
0.34 49,1 39.2 32.7 0.746 0.373 0.311
0.35 47,9 38.3 31.9 0.749 0.374 0.312
0.36 46,8 37.4 31.2 0.752 0.376 0.313
0.37 45,7 36.6 30.5 0.756 0.378 0.315
0.38 44,7 35.8 29.8 0.76 0,380 0.316
0.39 43,8 35 29.2 0.763 0.382 0.318
0.40 42,9 34.3 28.6 0.767 0.383 0.319
0.41 42,0 33.6 28,0 0,770 0.385 0.321
0.42 41,2 33,0 27.5 0.774 0.387 0.323
0.43 40,5 32.4 27,0 0.778 0.389 0.324
0.44 39,0 31.8 26.5 0.782 0.391 0.326
0.45 39.1 31.2 26,0 0.786 0.393
0.46 38.4 30.7 25.6 0.789 0.395
0.47 37.8 30.2 25.2 0.793 0.397
0.48 37.2 29.7 24.8 0.797 0.399
0.49 36.6 29.3 24.4 0.801 0.401
0.50 36,0 28.8 24,0 0.805 0.403
Tabela 10B - Dimensionamento de lajes maciças armadas em cruz
ξ = x/d
Valores de k6 para concreto Valores de k3 /aço
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais 
 Roteiro de cálculo: 
 b) cálculo de As 
Conhecido k3, determino o As através da fórmula abaixo: 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
As = k3 x M 
 10 d 
d – distancia da borda mais comprimida ao centro de gravidade da armadura(m); 
M - Momento em kNm; 
M = (ou X)são valores calculados pela tabela; 
M – momento fletor positivo; 
X – momento fletor negativo. 
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais 
 Cálculo de k6 e K3 e As 
 Por exemplo: 
 Seja M (ou X)= 1,8 kNm e d= 9,5 cm, o concreto de fck 
=20 Mpa e seja o aço CA50A determine a area de 
armadura na faixa de um metro: 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
k6= 105 . b.𝑑2 
 M 
k6= 105 . 1.(0.095)2= 501 
 1,8 
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais 
 Cálculo de k6 e K3 e As 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
O valor mais próximo da Tabela é K6=486 K3 
K6 CA25 CA50A CA50B 
486 0,652 0,326 0,272 
Temos conhecido K3=0,326 e a área de armadura por metro é calculada como: 
Aplicando a fórmula: 
As = k3 x M 
 10 d 
Temos: 
As = 0,326 x 1,8 = 0,62 cm²/m 
 10 0,095 
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais 
 Escolha das Barras e Espaçamentos: 
 a) Bitola máxima das barras 
 A bitola máxima nas lajes, definida pela NBR - 6118, é: 
 
 
 
 Recomenda-se utilizar como bitola mínima para 
armadura positiva φ = 5,0mm e utilizar para a armadura 
negativa, no mínimo φ = 8,0mm, para evitar que esta se 
amasse muito (pelo peso de funcionários) antes da 
concretagem, o que reduz a altura útil da laje. 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
Φmax= h 
 8 
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais 
 Escolha das Barras e Espaçamentos: 
 b) Espaçamento das barras: 
 Lajes armadas em cruz: O espaçamento máximo da 
armadura principal positiva é 20cm. 
 Lajes armadas em 1 direção: O espaçamento máximo 
da armadura principal positiva é 20 cm ou 2h(o menor 
dos dois). 
 Para facilitar a concretagem de uma laje, costuma-se 
utilizar o espaçamento s, entre as barras de no mínimo 
8cm. 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais 
 Cont. exercício 
 Cálculo da Quant. de barras por metro de laje: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
n= As 
 As1 
n – número de barras por metro de laje; 
As – Área total de aço; 
As1 = Área de uma barra. 
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais 
 Cont. exercício 
 Nosso As do exercício é As= 0,62 cm²/m; 
 Assim aplicando a Tabela 11 abaixo, temos uma área 
inexistente, isso significa que podemos utilizar uma 
armadura mínima com espaçamento mínimo. 
 
 Assim escolhemos Φ=5.0 e n= As = 0,62/0,196 = 3,16 u 
 As1 
 Arredondando 4 barras que dividindo por 1m gera um 
espaçamento de 0,25m, não atendendo o espaçamento 
máximo da norma que é de 20cm. Assim o espaçamento 
será de 20 cm sendo então 5 Φ de 5.0 c. 20. 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
3. CALCULO DE LAJES 
7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
5,0 6,3 8,0 10,0 12,5 16,0
7,5 3.33 4.19 6.66 10.66 16.66 26.66
8 2,50 3.93 6.25 10,00* 15.62 25,00
9 2,22 3,50 5.55 8.88 13.88 22.22
10 2,00 3.15 5,00 8,00 12.5 20,00
11 1,82 2.86 4.54 7.27 11.36 18.18
12 1.67 2.62 4.16 6.66 10.41 16.66
12.5 1,60 2.52 4,00 6,40 10,00 16,00
13 1.54 2.42 3.84 6.15 9.61 15.38
14 1.43 2.25 3.57 5.71 8.92 14.28
15 1.33 2,10 3.33 5.33 8.33 13.33
16 1.25 1.96 3.12 5,00 7.81 12,50
17 1.18 1.85 2.94 4,70 7.35 11.76
18 1.11 1.75 2.77 4.44 6.94 11.11
19 1.05 1.65 2.63 4.21 6.57 10.52
20 1,00 1.57 2,50 4,00 6.25 10,00
21 0.95 1,50 2.38 3,80 5.95 9.52
22 0.91 1.43 2.27 3.63 5.68 9.09
23 0.87 1.36 2.17 3.47 5.43 8.69
24 0.83 1.31 2.08 3.33 5,20 8.33
25 0,80 1.26 2,00 3.2 5,00 8,00
26 0.77 1.21 1.92 3.07 4,80 7.69
27 0.74 1.16 1.85 2.96 4.62 7,40
28 0.71 1.12 1.78 2.85 4.46 7.14
29 0.69 1.08
1.72 2.75 4.31 5.89
30 0.67 1.05 1.66 2.66 4.16 6.66
Espaçamento 
(cm)
Bitola da barra de aço em mm
Tabela11 - Área de Armadura para lajes
Área em cm²/m de armadura
3. CALCULO DE LAJES 
7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Estribos 5,0 / 3/16" 0,16 0,196 0,392 0,588 0,784 0,980 1,176 1,372 1,568 1,764 1,960
6,3 / 1/4" 0,25 0,315 0,630 0,945 1,260 1,575 1,890 2,205 2,520 2,835 3,150
8,0 / 5/16" 0,40 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00
10,0 / 3/8" 0,63 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,00
12,5 / 1/2" 1,00 1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00 11,25 12,50
16,0 / 5/8" 1,60 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00
20,0 / 3/4" 2,50 3,15 6,30 9,45 12,60 15,75 18,90 22,05 25,20 28,35 31,50
25,0 / 1" 4,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00
32,0 / 1.1/4" 6,30 8,00 16,00 24,00 32,00 40,00 48,00 56,00 64,00 72,00 80,00
Estribos, lajes, 
vigas e pilares
Vigas e pilares
Estruturas 
maiores p/ 
pilares
Tabela Mãe para Aços
Usos mais 
comuns
Diâmetro 
(mm)/(pol)
Peso linear 
(kgf/m) 
(10N/m)
Área das seções das barras As (cm²)
Número de Barras
7º Passo: Determinar as Armaduras Longitudinais 
 Exemplo 2: 
 Seja M (ou X)= 18 kNm e d= 9,5 cm, o concreto de fck 
=20 Mpa e seja o aço CA50A determine a área de 
armadura na faixa de um metro, a quantidade de barras e 
espaçamento das armaduras. 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Sistemas Estruturais em Concreto Armado 
k6= 105 . 1.(0,095)2 K6= 50,13 
 18 
K6=50,13 tabela 10B, K3=0,371 
 
As = 0,371 x 18 = 7,03 cm²/m 
 10 0,095 
Da Tabela 11, conclui-se que podemos usar Φ 10.0 c/ 11cm 
Ou seja cada 1m de laje tem que existir 9 Φ 10.0 c/ 11cm. 
3. CALCULO DE LAJES 
3.2. Lajes maciças - Dimensionamento: 
8º Passo: Calcular as reações das lajes nas vigas de 
apoio. 
 
 Vimos como se calculam nas lajes os Momentos fletores 
no meio do vão e nos apoios. São nesses locais, 
seja................................................. 
 
 
 
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