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Fundamentos da geodésia e da cartografia A geodésia é a ciência da medição da Terra, e a cartografia é a ciência da concepção, produção, difusão, utilização e análise dos mapas. Neste capítulo, apresentamos os fundamentos e as diferenciações dessas duas áreas que, em conjunto, possuem aplicações pertinentes em projetos de engenharia, na administração urbana, na demarcação de fronteiras, entre outros. Vamos, ainda, acompanhar os desdobramentos dessas duas áreas ao longo da história, com a evolução do pensamento humano e o aperfeiçoamento dos equipamentos, gerando conceitos fundamentais que até hoje embasam a alta tecnologia de mensuração (por exemplo, Eratóstenes calculou o raio da Terra com uma precisão incrível entre os anos 276 e 196 a.C.). Encerramos com a descrição das diversas superfícies de representação da Terra e suas orientações de cálculo. capítulo 1 Objetivos de aprendizagem Reconhecer as principais definições, diferenciações e aplicações da geodésia e da cartografia. Pontuar os avanços mais significativos ao longo da história dessas duas áreas no mundo e no Brasil. Identificar as diversas superfícies de representação da Terra, com seus conceitos, perspectivas e orientações de cálculo específicas. Fu nd am en to s de G eo dé si a e C ar to gr af ia 2 Definições e aplicações “A geodésia é a ciência da medição e representação da superfície da Terra.” O autor divide a geodésia em uma geodésia superior, composta pelas áreas física, astronômica e matemática, que serviriam para a definição da figura da Terra, e uma geodésia inferior, também chamada de geodésia prática. Para cumprir esse objetivo, sugeria-se naquela época: y a medição exata de uma linha-base de alguns quilômetros; y a determinação da latitude, da longitude e do azimute de um dos extremos da base; y a ampliação dessa base, pela técnica de triangulação; y o cálculo da triangulação, de forma a obter as coordenadas geodésicas dos pontos da triangulação. Bomford (1977) já relacionava a geodésia com a topografia, e o seu primeiro objetivo era fornecer um arcabouço preciso para controlar levantamentos topo- gráficos. No caso prático da definição de forma e dimensão, e diante das irregularidades da superfície terrestre, a geodésia parte para a determinação de pontos coordenados escolhidos sobre essa superfície, em número e distribuição compatível com a preci- são desejada. Os demais pontos são obtidos por interpolação, formando assim o “ar- cabouço” citado, que representa, por meio dessas coordenadas, a região em questão. Com os avanços das técnicas de posicionamento por satélite, os conhecimentos do campo gravitacional ganharam tanta importância que já são citados na defini- ção do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (2015): “Geodésia é a ciência que estuda a forma, a dimensão e o campo da gravidade da Terra” (similarmente à obra de Gemael, de 1994). Com o uso dessas novas tecnologias, foi possível a medi- ção da variação temporal das coordenadas, sendo incorporada mais essa função à geodésia. Primeiro posicionar, depois representar! Logo, como posicionar? Considerando a etimologia da palavra geodésia, sua origem é grega e significa “particionando a Terra”. Assim, podemos entendê-la como a ciência da medição da Terra. Pela definição clássica de Helmert (1880): 3 Segundo Vanícek e Krakiwsky (1986), o estudo da geodésia conduz a uma subdivisão em três conhecimentos fundamentais, contidos na própria definição de geodésia: y do posicionamento; y do campo de gravidade; y das variações temporais de ambos. Para cumprir essas operações, disciplinas e conteúdos programáticos dos cursos de Engenharia de Agrimensura e Engenharia Cartográfica de algumas universidades (UFV, UFPR, UNESP, IME, UNESC, etc.) adotam estas nomenclaturas: y geodésia geométrica; y geodésia física; y geodésia por satélites ou geodésia celeste. Logo, entre os levantamentos geodésicos, é possível utilizar operações geomé- tricas (medidas angulares e lineares), ou técnicas baseadas em fenômenos físicos (por exemplo, valer-se de medidas gravimétricas para conhecimento do campo da gravidade), e, mais modernamente, satélites artificiais (com o amparo de aspectos geométricos e físicos) para avaliar grandezas. Neste livro, são enfatizados apenas os aspectos da geodésia geométrica, ficando a geodésia física e a geodésia por satélites a cargo de outras literaturas (ANDRADE, 1988; ARANA, 2000; BLITZKOW; LEICK, 1992; GEMAEL, 1991, 1999; SEEBER, 1986). Alguns tópicos da geodésia por satélites, especificamente das coordenadas medi- das pelos receptores, serão utilizados em exemplos, excluindo-se a descrição de como essas coordenadas foram obtidas. Entre as aplicações da geodésia geométrica, a principal atividade é o apoio carto- gráfico e topográfico, ou seja, a implantação do apoio básico por meio de pontos de controle horizontais e verticais para a produção de mapas nacionais e regionais ou municipais, ou, ainda, apenas para controlar poligonais topográficas. Na Figura 1.1, observa-se a rede planimétrica brasileira, que tem o IBGE como seu mantenedor. Além dessa aplicação, são citadas também (ARANA, 2000; GEMAEL, 1999; SÁ, 2000, 2006; TULER; SARAIVA, 2014): y Em projetos de engenharia – A construção de grandes obras, como estra- das, barragens, túneis, grandes pontes, dutos (minerodutos, gasodutos, etc.) e linhas de transmissão, está vinculada a pontos de controle que possuem suas coordenadas geodésicas ou UTM, em geral obtidas pelo receptor GPS. Em grandes indústrias (siderúrgicas, mineradoras, petrolíferas, etc.) há o as- sentamento de divisas ou de componentes estruturais em locais predetermi- nados, também com suas coordenadas geodésicas. Muitas vezes são neces- sários estudos do movimento do solo e do nível da água antes e durante os trabalhos, como na construção de barragens e túneis de água, que envolvem o conhecimento da forma das superfícies equipotenciais do campo de gravi- dade (geopes). A monitoração de estruturas e a determinação de superfícies também são trabalhos geodésicos. PARA SABER MAIS Para mais informações sobre as estações e suas coordenadas, visite o site do IBGE, em www.ibge.gov.br. Fu nd am en to s de G eo dé si a e C ar to gr af ia 4 y Na administração urbana – Nas áreas urbanas, os serviços de utilidade pública devem ser definidos e documentados por meio de pontos de con- trole para futuras consultas, daí a importância do georreferenciamento dos equipamentos e serviços urbanos. Entre esses serviços estão o zoneamen- to urbano, o apoio para o cadastro multifinalitário, o estudo para traçados das cidades, o planejamento de redes e traçados para os diversos modos de transporte, a gestão da segurança pública, a gestão de áreas de riscos, a adequação e o ordenamento para a equidade de políticas sociais urbanas (zonea mentos de escolas, de saúde, de segurança, de acesso ao trabalho e renda), a distribuição de água, a coleta de esgotos, a gestão da limpeza urba- na e do armazenamento de resíduos sólidos, etc. y Na demarcação de fronteiras – A definição de fronteiras nacionais e regio- nais é realizada por meio do posicionamento geodésico. Essas demarcações, bem como a dos limites privados, são importantes para legalizar áreas para Figura 1.1 Rede planimétrica do SGB. Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (2015). ca pí tu lo 1 Fu nd am en to s da g eo dé si a e da c ar to gr af ia 5 a exploração de lavra, a delimitação de áreas de proteção ambiental e reser- vas florestais, bem como propriedades para efeitos de impostos e receitas, processos de indenizações, compra e venda deimóveis, loteamentos, divi- são de áreas, etc. O posicionamento e a demarcação dessas fronteiras devem ser apoiados em redes geodésicas homologadas pelo IBGE. Por exemplo, a definição de fronteiras de propriedades rurais, obtidas por meio de técnicas geodésicas, já é uma realidade exigida pelo INCRA, por meio do Georreferen- ciamento de Imóveis Rurais (Lei 10.267/01). Desta forma, a geodésia define, por meio de modelos e formulações, a referência geométrica (rede geodésica) para apoiar as diversas aplicações da área de geociên- cias, bem como fornece as técnicas de levantamento para incorporar os pontos a essa rede de referência. Esses pontos coordenados a determinar são “insumos” de quaisquer atividades das tecnologias de geoprocessamento (análises em um Sistema de Informações Geo- gráficas – SIG, de construção de uma modelagem digital de terrenos ou de uma carta temática da cartografia digital, de seleção e processamento de pontos de um sensoriamento remoto, etc.) para as mais variadas aplicações. O dado fundamental de entrada nesses sistemas é a posição do ponto, ou seja, as coordenadas geodé- sicas do local (Figura 1.2). IMPORTANTE A definição de fronteiras de propriedades rurais, obtidas por meio de técnicas geodésicas, já é uma realidade exigida pelo INCRA, por meio do Georreferenciamento de Imóveis Rurais (Lei 10.267/01). Obras Navegação Monitoramento de frota Agricultura de precisão GeorrefenciamentoLogística Segurança Levantamentos Navegação Figura 1.2 Aplicações da geodésia. Fontes: (A) Sandrexim/iStock/Thinkstock (B) illcha/iStock/Thinkstock (C) Pacific Survey Supply (c2011) (D) anek_s/iStock/Thinkstock (E) New Holland Agriculture (c2015) (F) Henryk Sadura/iStock/Thinkstock (G) CandyBoxImages/iStock/Thinkstock (H) Bet_Noire/iStock/ Thinkstock (I) SEEWORLD (2013). Fu nd am en to s de G eo dé si a e C ar to gr af ia 6 Pronto, posicionamos! E agora, como representar? Considerando o dicionário cartográfico do IBGE (OLIVEIRA, 1993; INSTITUTO BRA- SILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA, 2015) e a ACI, define-se cartografia como: Conjunto de estudos e operações científicas, artísticas e técnicas, baseado nos resultados de observações diretas ou de análises de documentação, visando à elaboração e preparação de cartas, projetos e outras formas de expressão, bem como a sua utilização (INTERNATIONAL CARTOGRAPHIC ASSOCIATION, 2014). Em outras palavras, é a ciência que trata da concepção, da produção, da difusão, da utili- zação e do estudo dos mapas. Na literatura (OLIVEIRA, 1993; INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA, 2014 e outros), há a distinção entre os termos mapa, carta e planta ao se referir a uma representação cartográfica. Essas denominações estão associa- das à escala de levantamento e a sua representação, ou seja, para escalas menores utiliza- -se o termo mapa; para escalas médias, carta; e para escalas locais, planta. Atualmente, os mapas e as cartas estão cada vez mais populares, em função da acessibilidade permitida pelos computadores e softwares. Métodos de edição, gra- vação e impressão possibilitam que os dados geográficos sejam rapidamente pro- cessados, bem como representados (Figura 1.3). Figura 1.3 Popularização do uso de produtos cartográficos. Fonte: Google Maps (c2015). DEFINIÇÃO De acordo com a escala de levantamento e sua representação, a denominação associada é a seguinte: • Para escalas menores, utilizamos mapa. • Para escalas médias, utilizamos carta. • Para escalas locais, utilizamos planta. ca pí tu lo 1 Fu nd am en to s da g eo dé si a e da c ar to gr af ia 7 A cartografia, segundo Maling (1989), é classificada didaticamente em: y Cartografia matemática – trata dos aspectos matemáticos ligados à concepção e à construção dos mapas, isto é, das projeções cartográficas (ver Capítulo 3). y Cartometria – trata das medições efetuadas sobre mapas, designadas à me- dição de ângulos e direções, distâncias, áreas, etc. (ver Capítulo 3). Outra atividade importante, atribuída à cartografia temática, são as convenções e os símbolos cartográficos, isto é, os símbolos e as cores utilizados para representar os elementos desejados. De forma a facilitar a leitura e interpretação dos mapas, existe uma padronização internacional de símbolos e cores, que será apresentada no Capítulo 3. Tais simbologias já eram utilizadas desde a antiguidade (séculos XVI e XVII), mas com finalidade mais ilustrativa e artística do que técnica (Figura 1.4). (A) (B) (C) (D) Figura 1.4 Representações cartográficas do passado e do contemporâneo. Fonte: (A) antipathique/iStock/Thinkstock; (B) Ministério da Defesa. Manual Técnico T 34-700. Con- venções Cartográficas. Exército Brasileiro, 2a ed.; (C) Bernard Allum/ iStock/Thinkstock e (D) Google Maps. Qualquer atividade de planejamento regional ou local, ou qualquer acompanhamento e execução de obra de engenharia, deve basear-se em um produto cartográfico, seja em um mapa, uma carta ou uma planta, estando estes impressos ou em formato digital. Os mapas e as cartas servem para: y lançar limites geográficos (mapas políticos); y realçar acidentes do relevo do terreno (linha de cumeada, delimitação de ba- cias hidrográficas, divisores de água, talvegues, etc.); Fu nd am en to s de G eo dé si a e C ar to gr af ia 8 y definir assuntos temáticos (transporte, vegetação, clima, solo, relevo, geo- logia, ecologia, economia, litologia, pluviometria, geobotânica, educação, língua, entre outros) (Figura 1.5), sendo que estes ainda podem compor um SIG e conduzir, por exemplo, a uma gestão otimizada de riscos ambientais, da distribuição espacial de equipamentos e serviços urbanos, bem como do roteamento de cargas, do transporte público, e de diversas outras aplicações (Figura 1.6). Geologia Grau de urbanização Unidades de conservação Vegetação Clima Transportes Figura 1.5 Mapas temáticos na cartografia. Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (2015). ca pí tu lo 1 Fu nd am en to s da g eo dé si a e da c ar to gr af ia 9 Figura 1.6 Uso da cartografia no SIG. Fonte: Os autores. Já as plantas, geralmente topográficas, podem apenas representar os elementos naturais e artificiais de uma localidade (cadastro de benfeitorias, identificação de acidentes do relevo por meio do traçado de curvas de nível, inventário urbano, pro- fundidade de cursos d’água e barragens, inventário industrial, etc.) (Figura 1.7) e/ou servir para projeto e execução (locação) de obras de engenharia, como terraple- nagens, construção de vias (rodovias, ferrovias, dutovias, etc.), pontes, interseções viárias, barragens, túneis, edificações prediais, canalizações, torres de alta tensão, loteamentos, entre outros, de forma a viabilizar esses empreendimentos (Figura 1.8). Fu nd am en to s de G eo dé si a e C ar to gr af ia 10 Figura 1.7 Exemplo de planta topográfica de uma localidade. Fonte: Os autores. Figura 1.8 Exemplo de planta topográfica para a construção de um projeto de estradas. Fonte: Os autores. Enfim, as operações de obtenção de coordenadas, tomada de distâncias, cálculo de áreas, organização de informações temáticas, podem ser realizadas gráfica ou analiticamente com base nos produtos cartográficos citados. ca pí tu lo 1 Fu nd am en to s da g eo dé si a e da c ar to gr af ia 11 Um breve histórico: geodésia e cartografia Um pouco sobre a evolução da ciência geodésica A geodésia evoluiu em precisão, considerando seu objetivoprincipal fornecer o “arcabouço” de coordenadas geodésicas a fim de definir o melhor modelo para a Terra. Uma vez que a busca do melhor modelo para a Terra é milenar, houve muitas con- tribuições para essa ciência. Segundo Gemael (1995), Tuler e Saraiva (2014), sua evolução possui duas etapas principais: 1) Pré-história 2) História De Erastóstenes (século II a.C.) às expedições francesas (1870). 1o período: das expedições francesas a 1900; 2o período: do século XX ao lançamento do primeiro Sputnik; 3o período: século atual. Por volta do século VII a.C., florescem importantes escolas do pensamento, princi- palmente na Grécia. Com os primeiros pensadores gregos, inicia-se a procura de explicações físicas para a Terra e o Universo. Nessa mesma época, surgem as primei- ras especulações sobre o formato da Terra. Sabe-se, contudo, que há dois milênios e meio, Pitágoras se recusava a aceitar a concepção simplista de uma Terra plana; Sócrates tinha as mesmas ideias, mas não conseguia prová-las. Em 350 a.C., Aristóteles argumentou e demonstrou a teoria da esfericidade, antes admitida por meio de considerações puramente filosóficas, tornando-se o funda- dor da ciência geográfica. Veja seus argumentos: [...] o contorno circular da sombra projetada pela Terra nos eclipses da Lua; a variação do aspecto do céu estrelado com a altitude e a diferença de ho- rário na observação de um mesmo eclipse para observadores situados em meridianos afastados (BERRY, 1961). Considerada uma das experiências mais importantes da humanidade, o astrô- nomo e matemático Eratóstenes, entre os anos 276 e 196 a.C., determinou o raio da Terra com uma grande precisão para sua época (TULER; SARAIVA, 2014), com o valor para a circunferência da Terra como 50 x 500 = 25.000 milhas, ou seja, aproximadamente +0,40% do atualmente aceito pela UIGG (União Internacional de Geodésia e Geofísica). Fu nd am en to s de G eo dé si a e C ar to gr af ia 12 Outros filósofos, matemáticos e astrônomos também ofereceram suas contribui- ções, como Ptolomeu, que já no século II afirmava a esfericidade (e a imobilidade) da Terra (sistema geocêntrico). Copérnico (1473–1543) contrariou as ideias de imo- bilidade, conferindo à Terra os movimentos de rotação e translação (heliocentris- mo). Newton (1643–1727) e Huygens (1629–1695) não aceitaram a harmonização entre o movimento de rotação e a forma perfeitamente esférica, abrindo a era elip- soidal (Terra achatada). Outro fato histórico (1735–1751) foi a realização de medições de arcos meridianos em duas diferentes latitudes do globo: uma no Norte do Peru (atualmente Equador) e ou- tra na Finlândia. Essas medições tinham como único fim a confirmação das teses de Newton e Huygens da Terra achatada nos polos, ou seja, definindo o elipsoide como a figura matemática e como primeira aproximação na geometria da Terra. Em 1743, Clairaut publicou os resultados dessa investigação na sua obra clássica sobre geodésia. O desenvolvimento do cálculo de probabilidades por Laplace, em 1818, e do método dos mínimos quadrados de Gauss, em 1809, aperfeiçoou a retificação de observações e melhorou os resultados das triangulações. Em 1873, Listings usou, pela primeira vez, o nome geoide para a figura física da Terra. O final do século XIX foi marcado pelos trabalhos de medições de arcos meridianos para determinar os parâmetros do elipsoide que melhor representasse a aproximação com a Terra física. Nessa época, os elipsoides mais importantes eram os de Bessel de 1841 e de Clarke de 1886 e 1880 (GEMAEL, 1995). Também marcou este final de século o início dos estudos da geodinâmica, com base no geoide não homogêneo, e das especulações teóricas sobre a forma de equilíbrio de uma massa fluida isolada no espaço e submetida à ação da gravidade. Mais adiante, entre o início do século passado até antes do lançamento do primeiro satélite artificial (Sputnik 1, 1957), merecem destaque os avanços na geodésia físi- ca, a fabricação dos primeiros equipamentos eletrônicos (distanciômetro eletrôni- co) e o início do uso dos computadores. Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (2015), os primeiros le- vantamentos geodésicos no Brasil foram realizados em 1939, pelo então Conselho Nacional de Geografia (CNG), com o objetivo de determinar as coordenadas astro- nômicas em cidades e vilas para a atualização da Carta do Brasil ao Milionésimo, de 1922. Em 1944, foi medida a primeira base geodésica nas proximidades de Goiânia e iniciou-se o estabelecimento sistemático do Sistema Geodésico Brasileiro (SGB). A primeira definição para a superfície de referência do SGB foi a do Elipsoide In- ternacional de Hayford, de 1924, com semieixo maior igual a 6.378.388 metros, e achatamento igual a 1/297. Como ponto datum, tinha-se o vértice Córrego Alegre. A segunda iniciativa de estabelecer os parâmetros mais confiáveis se deu com o SAD–69. A fim de se obter um único sistema de referência para a América do Sul e um conhecimento mais detalhado do geoide no continente, foi adotado como superfície de referência o Elipsoide Internacional de 1967 (UGGI 67). IMPORTANTE Os primeiros levantamentos geodésicos no Brasil foram realizados em 1939, a fim de determinar as coordenadas astronômicas em cidades e vilas para a atualização da Carta do Brasil ao Milionésimo, de 1922. Em 1944, foi medida a primeira base geodésica nas proximidades de Goiânia, iniciando o estabelecimento sistemático do Sistema Geodésico Brasileiro (SGB). ca pí tu lo 1 Fu nd am en to s da g eo dé si a e da c ar to gr af ia 13 Como consequência do avanço das técnicas de posicionamento, na década de 1970 as redes geodésicas passaram a ter um caráter tridimensional, dando origem à era da geodésia espacial (tridimensional), iniciada pelo sistema TRANSIT. Em fins da década de 1980, o IBGE, por meio do seu departamento de geodésia, criou o projeto GPS, com o intuito de estabelecer metodologias que possibilitassem o uso pleno da tecnologia do sistema NAVSTAR/GPS. Para suporte dos trabalhos geodésicos, o IBGE apresenta as estações da RBMC (Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo) (Figura 1.9), que desempenham jus- tamente a função de fornecer um banco de dados de coordenadas conhecidas per- tencentes ao Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) para aplicação em levantamento relativo por GPS (Capítulo 2). Figura 1.9 A RBMC construída pelo IBGE. Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (2015). Fu nd am en to s de G eo dé si a e C ar to gr af ia 14 Não menos importante neste contexto é o estabelecimento, em 2005, do novo siste- ma de referência geodésico para o SGB e para o Sistema Cartográfico Nacional (SCN): o Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas (SIRGAS), em sua realização do ano de 2000, 4 (SIRGAS-2000). Em 25 de fevereiro de 2015, encerrou-se o período de 10 anos de transição para a adoção desse novo sistema geodésico de referência. No atual momento, a geodésia experimenta um uso generalizado da tecnologia GPS, com base em um sistema geodésico mundial (geocêntrico), com facilidade de posi- cionamento automático e de alta precisão. A evolução da ciência cartográfica A ciência cartográfica, com seus princípios matemáticos já sedimentados, evoluiu significativamente na construção e edição automatizada de mapas e cartas, por meio do uso de softwares e equipamentos computacionais. A partir do momento em que o homem pré-histórico começou a representar seus caminhos percorridos e seus territórios de caça nas paredes das cavernas, ele já havia começado, mesmo que de forma empírica, a fazer cartografia, pois estava re- presentando graficamente o terreno natural. Isso talvezexplique a razão de definir cartografia também como a arte de representar. Os gregos foram os primeiros a se preocupar com o conjunto terrestre, já em 500 a.C., inaugurando a Era dos Discários, que representa a Terra como um disco rodeado por águas (CIVITA, 1973; GURGEL, 2012; MOURA, 1993). A concepção da Terra esférica se deu por Pitágoras, no século IV a.C. Mais adiante, no século II, Ptolomeu dedicou-se à construção de globos, projeções e mapas (a Figura 1.10 mostra o que é considerado o primeiro atlas, feito por Ptolomeu). Figura 1.10 Mapa-múndi de Ptolomeu, século II. Fonte: marzolino/iStock/Thinkstock. 15 Na Idade Média, a Europa utilizava o mapa-múndi circular, o Orbis Terrarum, dos romanos, apesar da pouca exatidão geográfica. Na Era Medieval, a cartografia teve um novo avanço com a descoberta da bússola, introduzida por viajantes da China, que começou a ser mais usada no século XIII. A partir disso, surgiram as cartas Por- tulanas (CIVITA, 1973; GURGEL, 2012; MOURA, 1993). Mais adiante, no século XIV, houve avanços expressivos na cartografia devido à busca por novas rotas marítimas comerciais de especiarias. Esse comércio seria um importante fator para o início da Era dos Descobrimentos. Somente a partir de 1700 é que a cartografia perdeu o caráter artístico em função da precisão científica. Com a ajuda de equipamentos, como bússolas, sextantes e cronômetros (Figura 1.11), as medições (triangulação, determinação de latitudes e longitudes) são aperfeiçoadas, corrigindo-se erros acumulados durante séculos, tidos como verdades geográficas (CIVITA, 1973; GURGEL, 2012; MOURA, 1993). (A) (B) (C) Figura 1.11 (A) Bússola, (B) sextante e (C) cronômetro. Fonte: (A) Nastco/iStock/Thinkstock; (B) Hemera Technologies/PhotoObjects.net/Thinkstock e (C) yevgenromanenko/iStock/Thinkstock Atualmente existem recursos de sensoriamento remoto e de posicionamento por satélites para obtenção de pontos coordenados e produção de cartas. Neste sen-ção de cartas. Neste sen- cartas. Neste sen- tido, a cartografia está relacionada ao geoprocessamento, uma vez que o mapa é o principal meio de apresentação dos resultados, por ser a forma de visualização mais natural e de interpretação mais intuitiva para a informação espacial. Superfícies de representação da Terra As obras de engenharia (rodovias, ferrovias, barragens, canalizações e dutos, edifi- cações em geral, loteamentos, etc.) são concebidas, muitas vezes, “até onde a vista IMPORTANTE Somente no início do século XVIII a cartografia se tornou mais precisa cientificamente. Bússolas, sextantes e cronômetros aperfeiçoaram as medições, corrigindo erros acumulados durante séculos, tidos como verdades geográficas. IMPORTANTE A cartografia está relacionada ao geoprocessamento, uma vez que o mapa é o principal meio de apresentação dos resultados, por ser a forma de visualização mais natural e de interpretação mais intuitiva para a informação espacial. Fu nd am en to s de G eo dé si a e C ar to gr af ia 16 alcança”, ou seja, na superfície física da Terra. Em outras palavras, não temos uma noção da curvatura do planeta, a não ser que consigamos ver uma ligeira tendência dessa curvatura no horizonte a partir do sobrevoo em uma aeronave ou da obser- vação do pôr do sol na linha do horizonte em uma praia, por exemplo. Desde que Eratóstenes provou a esfericidade terrestre, inclusive com o cálculo aproximado de seu raio (TULER; SARAIVA, 2014), busca-se uma forma de referen- ciar os pontos medidos, a partir de uma melhor definição geométrica para a Terra. Segundo Freitas (1980), do ponto de vista físico, um sistema de referência de co- ordenadas é o conjunto de um ou mais eixos com orientação definida no espaço e com uma escala adequada, por meio do qual uma posição e uma orientação pos-por meio do qual uma posição e uma orientação pos- sam ser definidas sem ambiguidade (Figura 1.12). 20º 30º Eixo Y 60 50 40 30 20 10 Ei xo Z Coordenadas absolutas e relativas Ponto A = 0,0,0 – Absolutas Ponto B = 40,50,60 – Absolutas Ponto C = @10,–10,–50 – Relativas cartesianas Ponto D = @40,<30,<20 – Relativas esféricas Ponto B Ponto D Ponto CPonto A 10 20 30 40 50 60 70 80 90 50 40 30 20 Figura 1.12 Exemplo de um sistema de referência para as coordenadas topográficas. Fonte: Os autores. Logo, a partir da definição de sistemas de referências, apoiam-se os sistemas de coordenadas. Nos levantamentos geodésicos e topográficos, bem como nas representações car- tográficas, para posicionamento (planimétrico e altimétrico), seis superfícies de- vem ser consideradas, como detalhadas no Quadro 1.1. DEFINIÇÃO Segundo Freitas (1980), do ponto de vista físico, um sistema de referência de coordenadas é o conjunto de um ou mais eixos com orientação definida no espaço e com uma escala adequada, por meio do qual uma posição e uma orientação possam ser definidas sem ambiguidade. 17 Quadro 1.1 As seis superfícies consideradas nos levantamentos geodésicos e topográficos e nas representações cartográficas Física É a superfície física da Terra, ou seja, é onde são efetuadas as operações geodésicas e topográficas. Em resumo, é onde são executados os levantamentos de campo e apoiadas as obras de engenharia. Esférica É uma superfície idealizada como uma primeira aproximação da forma e dimensão para a Terra (ver Seção Terra esférica e as coordenadas geográficas). Geoide É a superfície que melhor representa fisicamente a Terra, definida pelo prolongamento do nível médio dos oceanos (ver Seção Terra geoidal e as coordenadas astronômicas). Elipsoide É a superfície com possibilidade de tratamento matemático originada pela rotação de uma elipse em torno de seu eixo menor, que melhor se adapte ao geoide (ver Seção Terra elipsoidal e as coordenadas geodésicas). Plano topográfico É uma superfície originada por um plano normal e tangente à vertical do lugar, no ponto de origem do levantamento (ver Seção Terra plana e as coordenadas topográficas). Projeção cartográfica São superfícies originadas a partir de superfícies auxiliares (ver Seção Terra projetada e as coordenadas de uma projeção cartográfica). Terra esférica e as coordenadas geográficas A superfície esférica é uma aproximação simplista e prática da forma da Terra. Em geodésia, quando se deseja efetuar algum cálculo aproximado ou quando as dis- tâncias entre os pontos geodésicos são relativamente pequenas, a Terra é conside-ésicos são relativamente pequenas, a Terra é conside-s, a Terra é conside- rada esférica. O modelo esférico facilita alguns cálculos geodésicos, e a sua utiliza- ção está associada ao nível de precisão a ser alcançado. No estudo da astronomia de campo, o objetivo principal é determinar as coorde- nadas geográficas ou astronômicas de um ponto. Nessa operação, em primeira aproximação, a Terra é considerada esférica. Logo, o formulário para tal foi desen-erra é considerada esférica. Logo, o formulário para tal foi desen-é considerada esférica. Logo, o formulário para tal foi desen- considerada esférica. Logo, o formulário para tal foi desen- volvido para essa superfície, especificamente com os elementos da trigonometria esférica. Ainda no estudo de projeções cartográficas, um conceito importante é o de esfera- -modelo, que é uma esfera imaginária “desenhada” na escala da projeção e que serve IMPORTANTE Em geodésia, quando se deseja efetuar algum cálculo aproximado, ou quando as distâncias entre os pontos geodésicos são relativamente pequenas, a Terra é considerada esférica. Logo, o formulário para os cálculos foi desenvolvidocom elementos da trigonometria esférica. 18 como modelo para auxiliar na construção e obtenção de algumas projeções carto- gráficas. Logo, no estudo dessas projeções cartográficas, ao considerar a Terra como esférica, o erro obtido é quase insignificante devido às escalas de representação. O raio da esfera que representa a Terra depende diretamente da escala de trabalho: 000.500 1 Epara 2 ba R 000.500 1 EparaMNR < + = >⋅= )sene1( a N 22 φ⋅− = 2 3 22 2 )sene1( )e1(a M φ⋅− −⋅ = em que: N = Raio de curvatura do primeiro vertical (ou grande normal) que depende da latitude e da primeira excentricidade (o que será visto mais adiante); M = Raio de curvatura da seção meridiana que depende da latitude do ponto e da primeira excentricidade (o que será visto mais adiante); a = Semieixo maior do elipsoide; b = Semieixo menor do elipsoide. Por exemplo, considerando o sistema SAD–69 como o elipsoide de referência e, para a elipse desse sistema, o semieixo maior de 6.378.160,00 m (valor de “a”) e o semieixo menor de 6.356.774,72 m (valor de “b”), com escala < 1/500.000 (Tabela 1.1), o raio médio será: km367.6Rm36,467.367.6R 2 72,774356..600,160378..6 R médiomédiomédio ≅∴=∴ + = Em cartografia, comumente é considerado o raio de 6.367 km para a Terra. Esse raio representa a melhor definição da esfera em relação ao elipsoide e é justificado a partir de uma unidade de medida oficial da milha náutica (nmi) igual a 1.852 me- tros. Uma milha náutica, por definição, é o arco de um círculo máximo na superfície terrestre (ortodrômica) correspondente a um ângulo central de um minuto (1nmi = arco de 1’), portanto, calcula-se o raio a partir de: km367.6Rm01947,707.366.6R '1 180852.1 Rm852.1'1dearcooporém,'1 180 R a o o ≅∴=∴ ⋅pi × =∴=⋅ ⋅pi = No gráfico da Figura 1.13, têm-se valores de raios médios versus as latitudes dos pontos, considerando N e M. DEFINIÇÃO Esfera-modelo é uma esfera imaginária “desenhada” na escala da projeção e que serve como modelo para auxiliar na construção e obtenção de algumas projeções cartográficas. IMPORTANTE Em cartografia, comumente é considerado o raio de 6.367 km para a Terra. Esse raio representa a melhor definição da esfera em relação ao elipsoide e é justificado a partir de uma unidade de medida oficial da milha náutica (nmi) igual a 1.852 metros. ca pí tu lo 1 Fu nd am en to s da g eo dé si a e da c ar to gr af ia 19 6.355 km 6.360 km 6.365 km 6.370 km 6.375 km 6.380 km 6.385 km 0° 5° 10° 15° 20° 25° 30° 35° 40° 45° 50° R m éd io Latitudes Rmédio versus latitudes Figura 1.13 Valores de raios médios em função das latitudes. Fonte: Os autores. Com a adoção da esfera (globo terrestre), são definidos os seguintes elementos geográficos para a Terra (Quadro 1.2 e Figuras 1.14 e 1.15). Quadro 1.2 Elementos geográficos para a Terra Eixo terrestre É o eixo ao redor do qual a Terra faz seu movimento de rotação. Círculos máximos São círculos que têm seus centros coincidentes com o centro do globo terrestre, que também possuem raios máximos. Um arco do círculo máximo é denominado ortodrômica. Plano meridiano É o plano que passa pelo eixo terrestre e corta a superfície da Terra. Esse plano define os meridianos, que são linhas de interseção entre o plano meridiano e a superfície esférica da Terra, sendo um círculo máximo. Plano paralelo É o plano normal ao plano meridiano. Este define os paralelos, que são linhas de interseção entre o plano paralelo e a superfície da Terra, sendo o maior deles o equador terrestre, e também um círculo máximo. Paralelos especiais São os paralelos definidos pelo plano paralelo e o eixo da eclíptica: círculos polares, trópicos e o próprio equador. Plano da eclíptica É um plano definido pelo movimento de translação da Terra. O plano da eclíptica define a origem dos trópicos. Eixo da eclíptica É um eixo perpendicular ao plano da eclíptica que passa pelo centro da Terra. O eixo da eclíptica forma um ângulo de 23° 26' 21,418" (ano 2000) (≈ 23° 27') com o eixo de rotação da Terra. As interseções do eixo da eclíptica com a superfície terrestre originam os círculos polares. 20 φ φ φ φ φ Figura 1.14 Elementos geográficos para a Terra – plano e eixo da eclíptica. Fonte: Os autores. Quadro 1.3 Coordenadas geográficas e sua definição Latitude É o ângulo formado pelo raio que passa por esse lugar e o plano do equador. Para o ponto “P1” (Figura 1.16), a latitude de A (φA ), ou “fi de A”, é igual a 10º S. Uma vez que o raio de curvatura da esfera é constante, essa quantidade também é igual à medida angular do arco de meridiano entre o equador e o lugar. Longitude É o ângulo com vértice no centro da Terra, medido a partir do plano do meridiano de Greenwich até o meridiano de referência. Para o ponto “P1” na figura, a longitude de A (λA), ou “lambda de A”, é igual a 60º W (Figura 1.16). A partir desses elementos geográficos, são definidas as coordenadas geográficas (Quadro 1.3 e Figuras 1.15 e 1.16): IMPORTANTE As coordenadas geográficas são dadas por um par de ângulos para determinar um ponto na superfície esférica terrestre: um ângulo de latitude e um ângulo de longitude, conhecidos também como coordenadas LAT/LONG, ou φ, λ, sempre nessa ordem. Logo, as coordenadas geográficas são dadas por um par de ângulos para determi- nar um ponto na superfície esférica terrestre: um ângulo de latitude e um ângulo de longitude, conhecidos também como coordenadas LAT/LONG, ou φ, λ, sempre nessa ordem. 21 90º N 0º Equador Latitude φ = 0º Meridiano de Greenwich Longitude λ = 0º Figura 1.15 Coordenadas geográficas. Fonte: Os autores. Na representação das latitudes, é necessário colocar o hemisfério Norte (N) ou Sul (S) para determinar o correto posicionamento do ponto. Da mesma forma, as longi- tudes devem ser seguidas de Leste (E ou L) ou Oeste (W ou O). Para cálculos esféricos, com o uso da trigonometria esférica, devem ser utilizados valores negativos (–) para coordenadas Sul e Oeste, e positivos (+) para Norte e Les- te. As latitudes variam de 90º S a 0º e 0º a 90º N (ou – 90º a + 90º), e as longitudes variam de 180º W a 0º e 0º a 180º E (ou – 180º a + 180º). A Figura 1.16 mostra um exemplo de aplicação. Equador Latitude 0º GREENWICH Longitude 0º Coordenadas P1: (10º S; 60º W) ∆φ = 5º ∆λ = 5º NORTE LESTE SUL OESTE Figura 1.16 Exemplo de pontos coordenados. Fonte: Os autores. IMPORTANTE Na representação das latitudes, é necessário colocar o hemisfério Norte (N) ou Sul (S) para determinar o correto posicionamento do ponto. Da mesma forma, as longitudes devem ser seguidas de Leste (E ou L) ou Oeste (W ou O). IMPORTANTE Valores negativos (–) são usados para coordenadas Sul e Oeste, e positivos, (+) para Norte e Leste. As latitudes variam de 90º S a 0º e de 0º a 90º N (ou – 90º a + 90º), e as longitudes variam de 180º W a 0º e 0º a 180º E (ou – 180º a + 180º). Fu nd am en to s de G eo dé si a e C ar to gr af ia 22 Os fundamentos da trigonometria esférica são aplicados na astronomia de campo e em algumas fórmulas da geodésia, que considera como princípio a Terra esférica. Alguns conceitos importantes estão no Quadro 1.4 (FERRAZ, 1980). Quadro 1.4 Conceitos importantes relacionados à trigonometria esférica Superfície esférica (ou apenas, esfera) É o lugar geométrico em que todos os pontos possuem a mesma distância (raio) a partir de um ponto central. Círculomáximo Considere que três pontos sobre essa superfície esférica determinem um plano; se contiver o centro da esfera, esse plano será um círculo máximo. Um arco desse círculo será denominado ortodrômica, sendo considerada a menor distância entre esses dois pontos (Figura 1.17). Polígono esférico É uma porção da superfície terrestre delimitada por arcos de circunferências máximas. Caso existam três arcos de círculos máximos, obtém-se um triângulo esférico, desde que os três pontos não estejam situados sobre a mesma circunferência máxima (Figura 1.18). Desta forma, um triângulo esférico fica constituído de três ângulos esféricos (A, B e C) e três lados esféricos que são arcos de circunferência máxima (a, b e c). Na Figura 1.18, considerando a Terra esférica, o segmento “b” poderia ser um arco de meridia- no geográfico; o segmento “c”, um arco do equador geográfico; e o segmento “a”, um arco de círculo máximo. Figura 1.17 Círculos máximos. Fonte: Os autores. ca pí tu lo 1 Fu nd am en to s da g eo dé si a e da c ar to gr af ia 23 O A B C a b c A B C a b c c Raio Figura 1.18 Representação dos ângulos de um triângulo esférico. Fonte: Os autores. Conforme exemplificado pela Figura 1.19, a menor distância entre dois pontos no mesmo paralelo é um arco de círculo máximo (ortodrômica). Com exceção do equador geográfico, que também é círculo máximo, as distâncias medidas pelo arco de um paralelo qualquer sempre serão maiores do que as ortodrômicas cor- respondentes. Figura 1.19 Ortodrômica. Fonte: Os autores. A trigonometria esférica serve para calcular a distância esférica entre dois pontos coordenados, ou seja, a partir de suas coordenadas geográficas (φ e λ), neste caso, considerando a Terra esférica. Fu nd am en to s de G eo dé si a e C ar to gr af ia 24 Uma das propriedades dos triângulos esféricos estabelece que, conhecendo três elementos quaisquer de um triângulo esférico, é possível determinar os outros três. Logo, é aplicada a fórmula dos quatro elementos relativa aos lados (FERRAZ, 1980, p. 7): “Em todo triângulo esférico, o cosseno de um dos lados é igual ao produto do cosseno dos outros dois lados, mais o produto dos senos dos mesmos lados pelo cosseno do ângulo por eles formados.” Logo, com base na Figura 1.18, temos as seguintes fórmulas: cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C Como exemplo, calcula-se a distância esférica entre dois pontos coordenados (A e B) apresentados nas Figuras 1.20 e 1.21, em que se resume a solução de um triân- gulo esférico, aplicando-se o formulário anterior: M eridia no de G r een wich Plano do Equador λ λA B – A B N S λA λ B φ A φ B 9 0 ° – φ B M eridiano que passa emA Me rid ian o qu e pa ss a em B ortodrômica λ λA B – 90 ° – φ A Figura 1.20 Representação dos elementos para o cálculo da ortodrômica. Fonte: Os autores. cos (ortodrômica) = cos(90° – φA) cos(90° – φB) + sen(90° – φA) sen(90° – φB) cos(λB – λA) Como cos(90° – φi) = sen – φi cos(90° – φi) = cos – φi Tem-se cos(α) = sen(φA) sen(φB) + cos(φA) cos(φB) cos(λB – λA) α = arc cos(sen(φA) sen(φB) + cos(φA) cos(φB) cos(λB – λA))
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