Cálculo Diferencial e Integral II - Integral Múltipla

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Aula 5 – Integral Múltipla
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Conteúdo Programático desta aula
	Equação do plano tangente;
	Definição de Integral Múltipla;
	Propriedades de Integral Múltipla;
	Interpretação geométrica de Integral dupla;
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NOME DA DISCIPLINA
Equação do plano tangente
	Definição. Uma função é dita de classe C1 em A quando existem as derivadas parciais em cada ponto de A e estas são contínuas. Logo f de classe C1 implica em f diferenciável.
	Proposição. Se f e g são funções de classe C1 no ponto x0, então:
 1. f + g é de classe C1 em x0. 
 2. f*g é de classe C1 em x0. 
 3. Se g (x0)≠0, f/g é de classe C1 em x0.
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Equação do plano tangente
	Teorema. Se f é diferenciável no ponto x0 , então f é contínua em x0.
	Definição. Seja f:A ⊂ R2 → R uma função diferenciável no ponto (x0,y0). A equação do plano tangente ao G(f) no ponto (x0,y0,f(x0,y0)) é:
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NOME DA DISCIPLINA
Equação do plano tangente
	Teorema. Se f é diferenciável no ponto x0 , então f é contínua em x0.
	Definição. Seja f:A ⊂ R2 → R uma função diferenciável no ponto (x0,y0). A equação do plano tangente ao G(f) no ponto (x0,y0,f(x0,y0)) é:
	Segue, de imediato, que os vetores normais ao plano tangente no ponto (x0,y0,z0), onde z = f (x0,y0), são: 
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NOME DA DISCIPLINA
Equação do Plano Tangente: Exemplo
	Determine a equação do plano tangente ao gráfico de 
 nos pontos 
 Solução: Observe que f é diferenciável em R2.
 Temos também que
 Portanto as equações do planos tangentes ao G(f) nos pontos (1,1,-5) e (-1,-1,-7) é igual a
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NOME DA DISCIPLINA
Função de várias variáveis – Integrais Iteradas
Suponha que f(x,y) seja contínua num retângulo R, a  x  b, c  y  d.
Considere a integral 
A função F é contínua no intervalo [c,d]. Logo,
Uma integral desta forma é denominada de integral iterada.
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Função de várias variáveis – Integrais Iteradas
Região da integração: retângulo R, a  x  b, c  y  d.
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Função de várias variáveis – Integrais Iteradas
A região de integração das integrais iteradas não precisa, necessariamente, ser um retângulo. Podemos fazer integrais iteradas sobre regiões como segue abaixo:
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Função de várias variáveis – Integrais Iteradas
A região de integração das integrais iteradas não precisa, necessariamente, ser um retângulo. Podemos fazer integrais iteradas sobre regiões como segue abaixo:
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Função de várias variáveis – Integrais Iteradas
Exemplo: Calcular
Resolução: 
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Integração dupla
	Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros.
	Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo. Mas, para integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a função f, não somente sobre retângulos, mas também sobre um região D de forma mais geral.
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NOME DA DISCIPLINA
Integração dupla: cálculo
	Se f (x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] × [c, d], a integral dupla é igual a integral iterada.
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Integração dupla: cálculo
	Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / x em [a, b] e h(x)  y  g(x)}, a integral dupla é igual a integral iterada.
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Integração dupla: cálculo
	Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / y em [c, d] e h(y)  x  g(y)}, a integral dupla é igual a integral iterada.
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Integração dupla
	Vamos supor que D seja uma região limitada, o que significa que D pode ser cercada por uma região retangular R. Definimos, então, uma nova função F com domínio R por
	
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Integrais Dupla para 
Domínios Não Retangulares
	Múltiplo constante:
	Soma e diferença:
	Aditividade: (R = R1 + R2)
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Interpretação geométrica da integral dupla
	Considere a integral dupla
 supondo f positiva sobre a região B.
	Portanto o gráfico de f é uma superfície acima do plano xy. A soma de Riemann é a soma dos volumes dos paralelepípedos cujas as bases são retângulos determinados pela rede e cujas as alturas correspondentes são os valores f(xi,yi).
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	Quando a malha tende a zero, essas somas vão se aproximando do que podemos chamar volume do sólido S, delimitado pelo domínio B, pelo gráfico de f, e pelas retas que passam pela fronteira de B e são paralelos ao eixo Z. Definimos assim, 
Interpretação geométrica da integral dupla
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Interpretação geométrica da integral dupla
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Interpretação geométrica da integral dupla
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Integral Múltipla: Exemplo
	Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2. 
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Integral Múltipla
ò
ò
ò
ò
òò
=
=
b
a
d
c
d
c
b
a
R
dydx
y
x
f
dxdy
y
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dA
y
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)
,
(
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,
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,
(
ò
ò
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=
b
a
x
g
x
h
A
dydx
y
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dA
y
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,
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,
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c
y
g
y
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y
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x
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y
x
f
k
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y
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R
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y
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y
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y
x
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+
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R
R
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y
x
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y
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b
a
b
a
x
g
x
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A
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(
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ò
ò
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c
y
h
y
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ò
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1
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xy
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x
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1
1
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+
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x
x
x
x
x
ò
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1
4
3
2
2
2
4
2
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1
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x
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1
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4
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ç
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32
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