Calculo diferencial e integral

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i. Introdução 
O presente trabalho aborda sobre as integrais duplas e múltiplas, especificamente a mudança de base, onde a integral múltipla é uma integral definida para funções de múltiplas variáveis. Assim como a integral definida de uma função positiva de uma variável representa a área entre o gráfico e o eixo x, a integral dupla de uma função de duas variáveis representa o volume entre o gráfico e o plano que contém seu domínio.
ii. Objetivos
Geral
· Conhecer as integrais múltiplas.
Específicos:
· Determinar geometricamente as integrais múltiplas;
· Determinar os métodos de mudança de variáveis;
· Apresentar exemplos práticos.
iii. Metodologias
Para a realização deste trabalho o autor usou o módulo da disciplina e a internet.
1. Integral dupla e tripla
1.1. Integrais Duplas
A integral dupla e uma extensão do conceito de integral definida na reta para funções de duas variáveis reais, e podemos obter essa extensão se expandirmos a soma de Riemann de uma variável real, para duas variáveis reais. Quando fazemos essa expansão, mudamos o conjunto de integração, pois se integrarmos uma função de uma variável, utilizando o cálculo simples de uma integral, e que essa função seja definida em um intervalo fechado e que pertença ao conjunto dos números reais. Porém, quando integramos uma integral dupla, determinamos que ela fosse definida em uma região fechada no R2.
1.1.1. Interpretação geom´etrica
Sabendo que a Soma de Riemann é um método de aproximação da área total inferior a curva em um gráfico, então para resolvermos o problema de determinar áreas, chegamos a definição de integral definida. Assim aplicaremos um procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegaremos a definição de integral dupla. Podemos observar que através da Soma de Riemann chegaremos a uma interpretação geométrica do conceito de integral dupla, assim:
Primeiramente vamos considerar um retângulo
Continuando a demonstração, vamos obter partições desse retângulo definido anteriormente.
Obter partições de um retângulo consiste em divide-lo em subretangulos. Seja o retângulo R1 vamos dividir o intervalo [a; b] em m sob intervalos [],de mesmo comprimento , e dividir também o intervalo [c; d] em n subintervalos [ ], de mesmo comprimento . Então, traçando retas paralelas aos eixos coordenados, formamos as partições do retângulo R. Assim, podemos conceituar partição do retângulo R em uma linguagem formal.
Definição: Sejam Assim chamamos de partição do retângulo R o conjunto. Uma partição determina de retângulos 
Podemos observar no gráfico e ao longo do que foi demonstrado anteriormente que, quando tornam-se arbitrariamente grandes (), então os lados do retângulo se aproximem de zero, isto é, .
Para dar continuidade a demonstração, vamos construir as somas de Riemann: seja B um conjunto limitado, uma função, e R um retângulo com uma partição para cada seja um ponto escolhido arbitrariamente. 
A integral dupla de sobre o retângulo é integral dupla de f sobre o retângulo é 
O elemento é a área infinitesimal ou área elementar usualmente representada por . No calculo de integrais, quando for necessário enfatizar as variáveis de integração, usa-se a notação a qual é mais adequado. 
As propriedades básicas da Integral dupla são similares aquelas para integral simples e o seguinte resultado admitindo sem demonstração, e na verdade consequências das propriedades do limite.
Proposição: se são funções continuas no retângulo compacto é uma constante real, então: 
1. Linearidade: 
2. Aditividade: 
3. Valor medio: Existe pelo menos um ponto ) no retângulo , tal que 
onde A(R) _e a área da região de R.
: Exemplo 1vamos explanar neste exemplo, como usar a definição para calcular a integral dupla da função 
Solução: 
Utilizando o método da indução finita demonstra-se: 
Consideremos a partição determinada pelos pontos
E consequentemente : 
Exemplo: Calcule o volume do solido que esta acima do quadrado e abaixo do paraboloide elíptico pode ser aproximado pela subdivisão de em quatro quadrados iguais.
Solução: os quadrados são ilustrados na Figura, e a área de cada um vale 1. O Paraboloide é o gráfico de Aproximando o volume pela Soma de Riemann m = n = 2, temos:
1.1.2. Integrais Alteradas
 Geralmente é difícil calcular as integrais de funções de uma variável real diretamente da definição de integral, mas que o Teorema Fundamental do Cálculo fornece um método mais fácil para calculá-las. O cálculo de integrais duplas pela definição é ainda mais complicado, porém, nesta seção, veremos como expressar uma integral dupla como uma integral iterada, cujo valor pode ser obtido calculando-se duas integrais unidimensionais.
Um teorema que ser a útil para o calculo de Integrais Duplas. Transformaremos o problema de encontrar uma integral dupla por um problema de calcular duas integrais (de uma variável) repetidas.
1.1.3. Teorema de Fubini
Seja uma função integrável no retângulo Suponhamos que existe para todo e que exista para todo então.
Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que for limitada em R, podendo ser descontínua em um numero finito de pontos de R.
Demonstração: Sejam partição vamos chamar 
 e de 
Portanto, temos para todo Logo 	
	
 
A outra igualdade do enunciado prova-se de maneira análoga
Podemos também fazer uma interpretação geométrica do teorema de Fubini assim: 
Seja um retângulo e uma função integrável em R. para cada y fixo em podemos considerar a função . Chamaremos de Se cada y a função é integrável em , então podemos considerar a função.
É de observar que para todo , então é a área hachurada
 
Observe que se tomarmos uma partição de [c; d], então as Somas de Riemann da função são da forma.
E é o volume do solido de base e altura ou seja, as Somas de Riemann de se aproximam das Somas de Riemann de . A partir de agora vamos fazer algumas aplicações das integrais duplas e do Teorema de Fubini. 
Exemplo. Calcule o valor da integral
Exemplo. Calcule o valor da integral
Solução
O valor obtido nesta integral representa a diferença do volume da parte do solido que esta acima do retângulo R e do volume da parte do solido que esta abaixo de R. Como o resultado foi zero, estes volumes são iguais.
Observação. Se mudarmos a ordem de integração, invertendo as integrais iteradas, a resolução da mesma ira requerer a aplicação de técnicas de integração, tornando o trabalho mais complicado. Então é importante observar o tipo de função que iremos integrar e fazer uma boa escolha da ordem de integração.
1.2. Integrais Triplas
Assim como definimos integrais unidimensionais para funções de uma única variável e duplas para funções de duas variáveis, vamos definir integrais triplas para funções de três variáveis. Inicialmente, trataremos o caso mais simples, quando f é definida em uma caixa retangular:
O primeiro passo é dividir B em subcaixas. Fazemos isso dividindo o intervalo [a, b] em l subintervalos de comprimentos iguais, dividindo [c, d] em m subintervalos de comprimentos , e dividindo [r, s] em n subintervalos de comprimento . Os planos que passam pelas extremidades desses subintervalos, paralelos aos planos coordenados, subdividem a caixa B em lmn subcaixas
 como mostrado na Figura. Cada subcaixa tem volume Assim formamos a soma tripla de Riemann.
Onde o ponto de amostragem está em . Por analogia com a definição da integral dupla (15.1.5), definimos a integral tripla como o limite das somas triplas de Riemann em se esse limite existir.
Novamente, a integral tripla sempre existe se f for contínua. Escolhemos o ponto de amostragem como qualquer ponto de cada subcaixa, mas, se escolhermos o ponto ( , obteremos uma expressão com aparência menos complicada para a integral tripla:
Assim como para as integrais duplas, o método prático para calcular uma integral tripla consiste em expressá-la como uma integral iterada, como segue. Teoremade Fubini para as Integrais Triplas Se f é contínua em uma caixa retangular , então
A integral iterada do lado direito do Teorema de Fubini indica que primeiro integramos em relação a x (mantendo y e z fixados), em seguida integramos em relação a y (mantendo z fixado) e, finalmente, em relação a z. Existem cinco outras ordens possíveis de integração todas fornecendo o mesmo resultado. Por exemplo, se primeiro integrarmos em relação a y, então em relação a z e depois a x, teremos
Exemplo.
Calcule a integral tripla onde B é a caixa retangular dada por: 
Resolução
Podemos usar qualquer uma das seis possíveis ordens de integração. Se escolhermos integrar primeiro em relação a x, depois em relação a y e então em relação a z, obteremos 
=
1.3. Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas
Em cálculo unidimensional, frequentemente usamos uma mudança de variável (uma substituição) para simplificar uma integral. Revertendo os papéis de x e u, podemos escrever a Regra da Substituição como;
Onde 
 
Uma mudança de variáveis pode também ser útil em integrais duplas. Já vimos um exemplo disso: a conversão para coordenadas polares. As novas variáveis r e estão relacionadas às velhas variáveis x e y pelas equações.