mc3a9todo-dos-deslocamentos-2

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Método dos Deslocamentos
A formulação matemática do método das forças e dos deslocamentos é bastante
semelhante, devendo a escolha do método de análise incidir num ou noutro conforme
seja mais vantajoso.
O método dos deslocamentos pode ser aplicado quer as estruturas isostáticas quer a
hiperestáticas sendo especialmente útil na análise das segundas, nomeadamente,
quando o grau de indeterminação estático é elevado. Este método é melhor adaptável
à programação automática que o método das forças, porque neste todos
deslocamentos são restringidos ao contrário do que acontece no método das forças em
que apenas algumas liberações são introduzidas para se obter a estrutura isostática.
Mas antes de se proceder a descrição do método vejamos o que se entende por grau de
indeterminação cinemática.
3.1. - Noção de indeterminação cinemática.
Designaremos por indeterminação cinemática o número de restrições (vínculos)
necessárias para eliminar os deslocamentos dos nós da estrutura. Por outras palavras,
diremos que o grau de indeterminação cinemática é a soma dos graus de liberdade
(rotações e translações) independentes, de todos os nós da estrutura, inclusive os
apoios (não é mais do que o número de graus de liberdade da estrutura). Refere-se que
um sistema de deslocamentos dos nós é independente se cada deslocamento puder
variar arbitrariamente e independentemente de todos os outros.
Vejamos alguns exemplos elucidativos do grau de indeterminação cinemática :
grau 3 (D1, D2 e D3) ou grau 2 (D1 e D2) se desprezada a deformação axial
grau 4 (D1, D2, D3 e D4) ou grau 2 (D1 e D2) desprezados os efeitos dos esforços normais
3.2. - Descrição do método
a) Numa primeira fase determina-se o grau de indeterminação cinemática e
escolhe-se um sistema de coordenadas de modo a poder-se identificar a posição
e a direcção dos deslocamentos dos nós. Em seguida são introduzidas forças de
restrição (em número igual ao grau de indeterminação cinemática) que impedem
os deslocamentos dos nós (as forças são do mesmo tipo, sentido e direcção dos
deslocamentos impedidos).
b) Depois determinam-se as forças de restrição somando as forças de fixação dos
extremos das barras convergentes nos nós (um a um). Tais forças devem
impedir os deslocamentos para qualquer tipo de acção externa quer sejam
cargas, variações de temperatura, pré-esforços, etc.). Estas acções podem ser
consideradas separadamente ou em conjunto.
Se na estrutura que está a ser analisada existir aí algum deslocamento prescrito,
por exemplo, um assentamento de apoio, as forças de restrição correspondentes
ao impedimento deste(s) deslocamento(s) devem ser considerados nesta etapa.
Determina-se ainda nesta fase os esforços internos nas barras correspondentes
as forças de restrição (nos impedidos de movimentarem-se).
c) A estrutura considerada deformada de tal modo que numa das coordenadas
generalizadas o deslocamento seja aí unitário e nulo em todas as outras. As
forças necessárias para levar a estrutura a esta configuração são então calculadas
sendo o procedimento repetido para cada uma das restantes coordenadas as
generalizadas (restrições impostas inicialmente).
d) Os deslocamentos necessários para eliminar as forças de restrição (obtida em b))
são determinados aplicando a sobreposição dos efeitos para os diversos
deslocamentos impostos e igualando às forças de restrição.
e) Os esforços na estrutura original são obtidos adicionando aos esforços na
estrutura restringida os esforços originados pelos deslocamentos determinados
em d).
Problema : Determinar os esforços nas barras da estrutura representada na figura
devido a acção combinada 1) da carga extrema P e 2) do alongamento �k no
comprimento da barra k (motivado por acréscimo de temperatura nesta barra).
Resolução
O grau de indeterminação estático é 2, as translações segundo os eixos xx e yy de
sentidos positivos arbitrários.
Para 1) o deslocamento do nó A é impedido introduzindo em A uma força igual e
oposta a P, de componentes F11 e F21 nas direcções 1 e 2 (o segundo índice indica a
causa, neste caso 1))
Para 2) o alongamento �k da barra k pode ser impedido por uma força tal que aplicada
em A origina na barra k um encurtamento da mesma grandeza. O valor da força de
compressão correspondente será 
k
kk
k
EA
l
� cujas componentes nas direcções 1 e 2
serão (o segundo índice indica o caso 2)
kk
k
kk
22
kk
k
kk
12
sinEAF
cos
EAF
���
���
l
l
A força total de restrição do nó terá as componentes
F1 = F11 + F12 ; F2 = F21 + F22
Podemos também concluir que quando os deslocamentos são restringidos, em 1) não
há esforços internos em qualquer das barras e em 2) aparece somente o esforço de
compressão 
k
kk
k
EA
l
� na barra k. Representando por {Ar} os esforços axiais nas
barras nas condições de restrição teremos Ar1 = Ar2 = ... = Ark�1 = 0 , k
EAA
k
kk
rk l
��
; Ark+1 = ... = Arm = 0
Devido ao deslocamento unitário de A, gera-se na barra genérica i uma força de
compressão i
i
ii cos
EA
�
l
 e para manter o nó nesta posição teremos de aplicar as forças
De um modo similar na hipótese D2 = 1 e D1 = 0 teremos de aplicar as forças
Mas na estrutura real não existem só forças de restrição, para além disso sabemos que
o nó D experimenta um deslocamento determinado de componentes D1 e D2 Então a
sobreposição das forças de restrição introduzidas e das correspondentes aos
deslocamentos reais deve ser nula.
F1 + k11D1 + k12D2 = 0
F2 + k21D1 + k22D2 = 0
Estas equações podem ser escritas na forma matricial
{F} + [K]{D} = 0 � [K]{D} = {�F}
em que o vector coluna {F} depende do carregamento da estrutura; os elementos da
matriz [K] são as forças correspondentes a deslocamentos unitários e são chamados
coeficientes de rigidez. A matriz [K] é a chamada matriz de rigidez. Os elementos do
vector {D} são os deslocamentos desconhecidos
{D} = [K]�1{�F}
Num caso geral de n restrições, a ordem das matrizes {D}, [K] e {F} são n�1, n�n e
n�1, respectivamente. A matriz [K] é uma matriz quadrada simétrica.
O esforço final em qualquer barra i pode ser obtido por sobreposição do esforço nessa
barra nas condições de restrição e dos correspondentes aos deslocamentos dos nós
Ai = Ari + (Aui1D1 + Aui2D2 + ... + AuinDn)
A realização da sobreposição para todas as barras na forma matricial.
{A}m�1 = {Ar} m�1 + [Au] m�n{D} n�1
onde os elementos de A são os esforços finais nas barras; os elementos de Ar são os
esforços nas barras nas condições de restrição e os elementos de Au são os esforços
nas barras correspondentes aos deslocamentos unitários. Especificamente os
elementos da coluna j de [Au] são os esforços nas barras correspondentes ao
deslocamento Dj = 1, enquanto todos os outros deslocamentos são nulos. Para o caso
em estudo é fácil de concluir que
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
���
�
���
�
���
�
�
m
mm
m
mm
2
22
2
22
1
11
1
11
u
sin
m
EA
cos
m
EA
... 
sin
2
EA
cos
2
EA
sin
1
EA
cos
1
EA
A
Notemos que num pórtico de nós rígidos podemos pretender os esforços em qualquer
secção ou as reacções dos apoios. Por esta razão, consideramos que a rotação A
representa qualquer acção, podendo ser o esforço axial, transverso, momento flector,
torção numa secção genérica ou uma reacção num apoio.
Problema : Trace o diagrama dos momentos flectores na estrutura indicada
admitindo que são desprezáveis as variações dos comprimentos da barras devido ao
esforço axial.
Resolução
O grau de indeterminação cinemática é 3 correspondente aos deslocamentos indicados
na figura e as forças de restrição são a soma das forças de fixação nas extremidades
das barras.
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
8
P
P
2
P
8
P
P
8
P
8
P
2
P
F
l
l
l
lll
Os valores dos momentos flectores nas extremidades 1, 2, ... , 6 são
� � 
0
0
1
1
1
1
8
PAr
�
�
�
�
�
�
�
�
�
l
 nas condições de restrição
Os elementos da matriz de rigidez são as forças necessárias (correspondentes às
coordenadas 1, 2 e 3) para manter as deformações a seguir apresentadas
llllll
lll
llllll
12EI
2
4EI4EIk 2EIk 24EI
)2(
6EIk
2EIk 8EIk 6EIk
24EI
)2(
6EIk 6EIk 108EI
)2(
2EI112EIk
33322231
2322221
221321233311
��������
����
���������
Portanto
� �
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
12224-
286-
24-6-108
EIK
2
l
l
lll
l
e da equação
� �� � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
����
0,0156
0,1355
0,0087
EI
PDFD K
2l
É fácil concluir que
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
4024
8024
420 
240 
046
026
EIAu
l
l
l
l
l
O valor dos momentos finais
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
4024
8024
420 
240 
046
026
EIAu
l
l
l
l
l
O diagrama de momentos virá :
Problema : Trace o diagrama dos momentos na estrutura indicada desprezando as
deformações devidas ao esforço axial e admitindo EI constante.
Resolução
O grau de indeterminação cinemática é 3 sendo as incógnitas as indicadas, assim
como as forças de fixação dos extremos devido às cargas aplicadas.
As forças nas extremidades das barras correspondentes a cada um dos deslocamentos
unitários dos nós estão indicados nas figuras seguintes.
Obtidos os elementos da matriz de rigidez, da equação [K]{D} = {�F}
�
�
�
�
�
�
���
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
��
�
3
2
2
222
2
2
05310
0570
08620
EI
P{D}
6252
60
0.417
P{D}
48.93887543
4.87592
328
EI
l.
l.
l.
.
.
l
ll
.
l
lll
lll
Para traçar o diagrama de momentos flectores precisamos de conhecer os momentos
A1, A2, ... , A6 nas extremidades
l
.
.
.
.
.
.
l.
l.
l.
ll
l
.
l
ll
lll
ll
ll
l P
7400
6830
6830
0300
0300
3090
05310
05700
08620
EI
P
9.375
2
50
375950
4.540
4.522
7.504
7.502
EI
10
1
10
1
2
1
12
1
12
1
P{A}
3
2
2
2
2
2
2
2
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Donde o diagrama de momentos flectores
Problema : Determinar as três componentes da reacção na extremidade A da
grelha horizontal da figura quando submetida a uma carga uniforme q em AC.
Considerar que todas têm a mesma secção e que a relação das rigidezas de torção e de
flexão é 0.50
EI
GY
�
Resolução : O grau de indeterminação cinemática é 3, correspondente às incógnitas
1,2 e 3 indicadas
E com facilidade se conclui que :
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
27
0
3
2
q}{A ; 
20.25EI040.5EI
020.25EI40.5EI
40.5EI40.5EIEI729
K ; 
36
0
2
q{F}
2
r
2
2
22
2 l
ll
ll
ll
l
l
� �
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
ll
.
l
.
l
.
l
.
EI30EI513
0EI7500
EI5130EI540
A
2
23
4
Donde :
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
� {D}A}{A de e 
00340
00200
00100
EI
q{D} 4r
2
2
3
l.
l.
l.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
2
2
2
2
3
2
06110
00150
41970
q
00340
00200
00100
EI
q
30513
07500
5130540
EI
27
0
3
q{A} 
l.
l.
l.
l.
l.
l.
l
l
.
.
l
.
l
.
ll
l
3.3. - Análise duma estrutura para diferentes hipóteses de carga
Os elementos da matriz de rigidez da estrutura é independente das cargas, depedendo
unicamente das propriedades da estrutura (constantes elásticas e geometria). Então
para um número p de hipóteses de cargas podemos obter as soluções correspondentes
a partir da equação matricial.
[D]n�p = [K]�1[�F]n�p
em que cada coluna de [D] e [�F] corresponde a uma dada hipótese de carga.
Vimos já o estudo da estrutura pelo método das forças quando as estruturas são
submetidas a acções como variações de temperatura, falhas no comprimento das
peças, retracção ou pré-esforço, etc.
A equação {D}= [K�1][�F] é igualmente aplicável no estudo da estrutura submetida a
este tipo de acções mas agora {F} representa as forças necessárias para impedir os
deslocamentos dos nós devido aos efeitos anotados.
Quando se tratar de um movimento de apoios ainda a referida equação pode ser
aplicada, mesmo que o movimento de apoio não corresponda a um dos deslocamentos
desconhecidos da indeterminação cinemática. Claro que nesta hipótese é necessário
proceder a necessária adaptação.
Problema : Trace o diagrama de momentos flectores quando :
(1) ocorre um assentamento vertical � no apoio A
(2) ocorre uma rotação � no sentido inverso em B
Resolução :
(1) O grau de indeterminação cinemática é 2, correspondentes às incógnitas D1 e D2
em B e C.
As forças de restrição necessárias para manter D1 = D2 = 0
Os momentos nas extremidades das barras nas condições de restrição dos nós são :
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
0
0
0
0
6
6
EI
A
...
A
A
A 2
r6
r2
r1
r l
Os elementos da matriz de rigidez
Os momentos flectores nas secções consideradas originados por cada um dos
deslocamentos unitários (D1 e D2) são :
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
20
40
42
24
04
02
EIAu l
Da equação {D}= [K]�1{�F}
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
	
�
�
�
�
�
1
4
0
6EI
82
28
60EI
D 2l
l
ou seja :
�
�
�
�
�
�
��
l
l
5
 D
5
4D
2
1
A forma deformada da viga correspondente ao assentamento � :
Os momentos correspondentes
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
���
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
40
80
80
82
82
44
EI
20
80
20
4042
24
04
02
EI
0
0
0
0
6
6
EI{A} 22
.
.
.
.
.
.
l
.
.
lll
Para o equilíbrio dos nós B e C a soma dos momentos nos extremos que concorrem
nesses nós deve ser nulo, donde pode-se utilizar este facto como via de verificação
dos resultados.
O diagrama de momentos será :
(2) Esta hipótese ocorria se a viga ABCD estivesse rigidamente ligada em B a uma
viga transversal horizontal que sofresse uma torção definida pelo ângulo � em B.
Para produzir esta rotação deve actuar em B uma força }{F1� , donde à deformada
indicada corresponde as forças externas
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
F
}{F 1
Os deslocamentos e as forças estão relacionados por :
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
� �
0
F
D
D
kk
kk 1
2
1
2221
1211
Os elementos da matriz de rigidez já foram determinados em (1); D1 = � e D2 é
desconhecido
Resolvendo : k21D1 + k22D2 = 0 � D2 = �
22
21
k
k D1 = � 4
��
Os momentos nos extremos serão obtidos atendendo a que {Ar} = 0 e a {An}
determinado em (1)
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
0.5
1
1
3.5
4
2
EI
4
20
40
42
24
04
02
EI{A}
ll
3.4. - Efeito de deslocamentos prescritos
O método usado em (2) será considerado agora em relação ao caso geral de uma
estrutura com um grau de indeterminação cinemática n onde ocorrem m
deslocamentos �1, �2, ..., �m em m pontos.
Na matriz de rigidez podemos escrever os esforços nas secções correspondentes aos
deslocamentos conhecidos nas primeiras m linhas e colunas
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
������
�
�
nn1)n(mnmn2n1
1)n(m1)1)(m(m1)m(m1)2(m1)1(m
mn1)m(mmmm2m1
1n1)1(m1m1211
k...kk...kk
.....................
k...kk...kk
k...kk...kk
.....................
k...kk...kk
K
ou
� �
� � � �
� � � ��
�
�
	
�
�
�
2221
1211
KK
KK
K
onde os [kji] são as submatrizes de [K]. As ordens de [K11], [K12], [K21] e [K22] são
respectivamente m�m; m�(n�m); (n�m) � m e (n�m )�(n�m).
Para produzir deslocamentos �1, �2, ..., �m devem ser aplicadas as forças externas �1F ,
�
2F , ..., 
�
mF nas coordenadas 1, 2, ..., m respectivamente (nas restantes coordenadas
não actuam forças). Como consequência daqueles deslocamentos ocorrem nas
restantes coordenadas os deslocamentos Dm+1, ..., Dn. A equação que relaciona as
forças e os deslocamentos é :
� � � �
� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
� �
{0}
}{F
}{D
}{D
KK
KK
1
2
1
2221
1211
onde {D1} é o vector de deslocamentos conhecidos � e {D2} é o vector de
deslocamentos desconhecidos Dm+1, ..., Dn. O vector { �1F } é o vector das forças
desconhecidas nas coordenadas 1, 2, ..., m.
Da 2ª linha da equação matricial tira-se que :
{D2} = �[K22�1][K21]{D1}
Conhecidos os deslocamentos das n incógnitas, os esforços em qualquer secção
poderão ser determinados por :
{A} = [Au]{D}
onde {A} é qualquer acção e [Au] é a mesma acção correspondente a um
deslocamento unitário numa só coordenada. Esta equação é a mesma que :
{A} = {Ar} + [Au]{D} com {Ar} = 0
porque as acções compreendidas são devidas unicamente aos efeitos dos
deslocamentos {D}.
As forças { �1F } são dadas por :
� � � � � � � �� � }{D K K KK }{F 12112212111 �� ��
equação obtida da 1ª linha da equação matricial anteriormente escrita entrando com os
valores já determinados de D2.
	Método dos Deslocamentos
	Resolução
	
	
	F1 + k11D1 + k12D2 = 0
	A realização da sobreposição para todas as barras na forma matricial.
	Resolução
	
	Portanto
	Resolução