Aula 3 - Funções

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Funções
Prof. Ricardo P. Mesquita
Sumário
 Resolução de exercícios
 Fatoração
 Módulo de um número Real
 Propriedades de Potência
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Funções de uma Variável Real
 Entendemos por uma função f uma terna 
(A, B, a ↦ b) 
 em que A e B são dois conjuntos e a ↦ b, uma regra que 
nos permite associar a cada elemento a de A um único b
de B. 
 O conjunto A é o domínio de f e indica-se por Df , assim A
= Df .
 O conjunto B é o contradomínio de f. 
 O único b de B associado ao elemento a de A é indicado 
por f(a). 
 diremos que f(a) é o valor que f assume em a ou que f(a) é o 
valor que f associa a a. 
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Funções de uma Variável Real
 Uma função f de domínio A e contradomínio B é 
usualmente indicada por f : A ↦ B
 Seja f : A ↦ B uma função. O conjunto 
Gf = {(x, f (x)) | x ∈ A} 
 denomina-se gráfico de f; assim, o gráfico de f é um 
subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados 
(x, y) de números reais.
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Exemplos
 Seja y = f(x), f(x) = x3. Tem-se: 
a. Df = ℝ. 
b. O valor que f assume em x é f(x) = x3. Esta função associa a 
cada real x o número real f(x) = x3.
c. f(−1) = (−1)3 = −1; f(0) = 03 = 0; f(1) = 13 = 1. 
d. Gráfico de f: Gf = {(x, y) | y = x
3, x ∈ ℝ}.
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Exemplos
 Seja f a função dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥
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Exemplos
 Considere a função g dada por 𝑦 =
1
𝑥
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Exercício
 Dada a função f(x) = −x2 + 2x, simplifique:
 Solução...
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Operações com Funções
 (f + g)(x) = f(x) + g(x)
 (f· g)(x) = f(x)· g(x) 

𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 (kf)(x) = kf(x)
 Sejam f e g duas funções tais que Imf ⊂ Dg. A função dada 
por y = g(f(x)), x ∈ Df, denomina-se função composta de g
e f. É usual a notação g º f para indicar a composta de g e 
f.
(g º f) (x) = g(f(x)), x ∈ Df. 
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Exercício
 Sejam f e g dadas por f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 + 3x.
Determine g º f e f º g. 
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Função Constante
 Uma função y = f(x), x ∈ A, dada por f(x) = k, k constante, 
denomina-se função constante. 
 Exemplo:
 f(x) = 2 é uma função constante. Note:
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Função Constante
 Seja 𝑓 𝑥 = ቊ
1, se 𝑥 ≥ 0
−1, se 𝑥 < 0
 Observe que (0, 1) pertence ao gráfico de f, mas (0, −1) não. 
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Função Linear
 Uma função f : ℝ ↦ ℝ dada por f(x) = ax, a constante, 
denomina-se função linear; seu gráfico é a reta que passa 
pelos pontos (0, 0) e (1, a):
 Se a = 0, o gráfico de f coincide com o eixo x. 
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Exercícios
 Esboce os gráficos das seguintes funções:
a. f(x) = 2x. 
b. g(x) = −2x. 
c. h(x) = 2 | x |. 
Soluções:
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Exemplo
 Esboce o gráfico de f(x) = | x − 1 | + 2. 
Solução: 
 Primeiro eliminemos o módulo
 Agora, vamos desenhar, pontilhadas, as retas y = x + 1 e y = −x + 3 e, 
em seguida, marcar, com traço firme, a parte que interessa de cada 
uma:
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Função Polinomial
 Uma função f : ℝ ↦ ℝ dada por 
f(x) = a0x
n + a1x
n − 1 + … + an − 1x + an
em que a0 ≠ 0, a1, a2, …, an são números reais fixos, 
denomina-se função polinomial de grau n (n ∈ ℕ). 
Exemplo: f(x) = x2 − 4 é uma função polinomial de grau 2.
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Função Polinomial
 Exemplo: g(x) = (x − 1)3 é uma função polinomial do grau 
3; seu gráfico é obtido do gráfico de y = x3, transladando-
o uma unidade para a direita.
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Função Racional
 Uma função racional f é uma função dada por 
𝑓 𝑥 =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
em que p e q são duas funções polinomiais.
 O domínio de f é o conjunto {x ∈ ℝ | q(x) ≠ 0}.
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Função Racional
 Exemplo: 𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥
é uma função racional definida para 
todo x ≠ 0.
 Como 𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥
= 1 +
1
𝑥
segue que o gráfico de f é obtido
do gráfico de 𝑦 =
1
𝑥
transladando-o uma unidade para cima:
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Funções Trigonométricas
 Seno e Cosseno
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Funções Trigonométricas
 Propriedades:
1. sen 0 = 0 
2. cos 0 = 1 
3. Quaisquer que sejam os reais a e b sen (a + b) = sen a cos b
+ sen b cos a
4. Quaisquer que sejam os reais a e b cos (a − b) = cos a cos b
– sen a sen b
5. 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡 = 1
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Funções Trigonométricas
 Seja f uma função definida em ℝ. 
 Dizemos que f é uma função par se, para todo x, f(−x) = f(x).
 Dizemos, por outro lado, que f é uma função ímpar se, para 
todo x, f(−x) = −f(x).
 sen é uma função ímpar
 cos é uma função par
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Funções Trigonométricas
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Exercícios
1. Mostre que, para todo x, 
cos 2x = cos2 x − sen2 x e sen 2x = 2 sen x cos x.
2. Mostre que, para todo x,
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Exercícios
3. Sejam a e b reais quaisquer. Verifique que
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As Funções Tangente, Cotangente, Secante 
e Cossecante
 Função tangente: tan 𝑥 =
sen 𝑥
cos 𝑥
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As Funções Tangente, Cotangente, Secante 
e Cossecante
 Função cotangente: cotan 𝑥 =
cos 𝑥
sen 𝑥
 Função secante: sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
 Função cossecante: csec 𝑥 =
1
sen 𝑥
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Vamos Praticar!
 Resolvam a lista de exercícios propostos 2, no AVA
 Preparem a segunda série de exercícios da APS!!
 “APS-L2”
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Dúvidas?