Aula 6 - Medidas de Dispersão

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 Prof.: Joni Fusinato
 joni.fusinato@ifsc.edu.br
 jfusinato@gmail.com
Medidas de Dispersão
Dispersão Estatística
21.22
• As medidas de posição (média, mediana, moda) descrevem
características dos valores numéricos de um conjunto de
observações em torno de um “ponto de equilíbrio” dos dados.
• Nenhuma delas informa sobre o grau de variação ou dispersão
dos valores observados em relação a média.
• Em um grupo de dados os valores numéricos não são
necessariamente semelhantes e apresentam desvios em relação
a tendência central, usualmente, a média aritmética.
• As medidas de dispersão quantificam a variação dos dados em
relação a média e qual o seu grau de representatividade.
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Exemplo: Duas linhas de produção fabricam as mesmas peças cujo
comprimento deve ser de 75 cm. Fazendo medições periódicas
verifica-se que as linhas estão produzindo peças com medidas
próximas desse valor. As peças produzidas por ambas as linhas estão
adequadas?
• Está evidente que as peças produzidas pela 1ª linha de produção são
melhores que a 2ª linha pois a dispersão das medidas em torno da
média é menor.
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Amplitude (R - range)
• Diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados.
• Ignora como os dados estão distribuídos.
• Amplitude = Xi máximo – Xi mínimo
• Exemplo: Consideremos o conjunto de dados ordenado:
60, 65, 67, 68, 69 70, 72, 77
Como o valor máximo do conjunto é 77 e o valor mínimo é 60,
temos que a amplitude é:
R = 77 - 60 = 17
Desvio médio simples
 Mede o afastamento dos dados em relação à média. 
 Representa a média das distâncias entre cada elemento da 
amostra e seu valor médio. 
 Calculo o desvio médio (Dm):
21.23
• Medida de dispersão estatística que indica "o quão longe" em
geral os valores se encontram do valor esperado (média).
• Símbolos:
• σ – variância populacional
• s – variância amostral
Variância
 Variância populacional: usada quando for possível observar todos os dados 
que compõem o universo que desejamos analisar.
 Variância da Amostra: aplica-se a uma série que se trata de uma amostra de 
um conjunto muito maior. Portanto a variância da amostra refere-se a parcela de 
dados retirados de um grande universo da qual desejamos obter informações 
e/ou conhecimento.
Média aritmética dos quadrados dos desvios.
Populacional Amostral
Variância
Variância (Var, σ2, s2)
• Vantagens
• Maior sensibilidade ao grau de desvio na distribuição.
• Importante na inferência estatística.
• Trabalha com valores absolutos.
• Desvantagens:
• Uso restrito na estatística descritiva pois não é expressa 
nas mesmas unidades dos dados originais.
• Apresenta unidade de medida igual ao quadrado da 
unidade de medida dos dados originais.
Desvio padrão (dp, σ, s)
21.25
 Desvio padrão populacional (representado pela letra grega σ) é 
uma medida de dispersão em torno da média populacional de 
uma variável aleatória.
 Desvio padrão amostral (representado pela letra s) indica uma 
medida de dispersão dos dados em torno da média amostral.
 Um baixo desvio padrão indica que os pontos dos dados tendem a 
estar próximos da média ou do valor esperado.
 Um alto desvio padrão indica que os pontos dos dados estão 
espalhados por uma ampla gama de valores.
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 Usado em diferentes áreas como: Biologia, Saúde, Finanças, Física
e pesquisas em geral.
 Em geral, apenas os efeitos de dois desvios padrão distantes do
esperado são considerados estatisticamente significativos.
Bolsa de Valores - Análise gráfica: Desvio Padrão
 O desvio padrão é uma medida de volatilidade, e geralmente está na 
composição de outros indicadores (como as Bandas de Bollinger). 
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Cálculo do Desvio Padrão
Populacional Amostral
Desempenho escolar entre dois estudantes
Alexandre Camila
Português
Matemática
Física
Química
Biologia
7,0
10,0
6,0
4,0
7,5
6,0
7,0
8,0
7,0 7,0Média
8,0 6,5
Observe as notas escolares do Alexandre e da Camila. Qual dos
dois obteve notas mais estáveis em relação à média?
Cálculo da variância das notas do Alexandre
Alexandre Nota Nota - Média Quadrado
Português
Matemática
Física
Química
Biologia
7,0
10,0
6,0
4,0
0
3
-1
-3
7,0
Soma = 0
Média
0
8,0 1
9
1
1
9
4
Variância
Média dos 
quadrados
Camila Nota Nota - Média Quadrado
Português
Matemática
Física
Química
Biologia
7,5
6,0
7,0
8,0
0,5
-1
0
1
7,0
Soma = 0
Média
0,25
6,5 -0,5
1
0,25
0
1
0,5
Variância
Média dos 
quadrados
Cálculo da variância das notas da Camila
Cálculo do Desvio Padrão das notas do Alexandre e da Camila
Exemplo: Uma indústria produz 5.000 esferas de aço por minuto. Foram
coletadas 100 esferas para verificação. Determinar a média e o desvio
padrão da distribuição dos diâmetros das esferas coletadas.
21.28
 (em mm) Quantidade (fi)
1,1 12
1,2 27
1,3 35
1,4 20
1,5 6
Total 100
Variância e desvio padrão para dados agrupados
Quando os valores estão agrupados
sem intervalos de classe, utiliza-se
para a variância a média aritmética
ponderada dos quadrados dos
desvios.
Var
Cálculo da média aritmética ponderada da distribuição:
Para determinar o desvio padrão, vamos construir uma tabela, a seguir:
21.28
 (em mm) Esferas (fi) (xi – x) (xi – x)2 fi ∙ (xi – x)2
1,1 12 –0,181 0,032761 0,393132
1,2 27 –0,081 0,006561 0,177147
1,3 35 0,019 0,000361 0,012635
1,4 20 0,119 0,014161 0,283220
1,5 6 0,219 0,047961 0,287766
∑f i = 100 ∑[f i ∙ (xi – x)2 ]= 1,1539
Cálculo da variância:
Cálculo do desvio padrão:
O diâmetro médio das esferas é 1,281 mm e o desvio padrão é de 
± 0,107 mm. ( = 1,282  0,107) mm.
21.28
Fabricação de Granalha: 
https://www.youtube.com/watch?v=wSe05KLxK8U
Variância e desvio padrão para dados agrupados
Exemplo: A tabela relaciona o tempo de auditoria para verificar 50
balanços contábeis. Calcule o tempo médio para se realizar essa atividade
e o Desvio Padrão.
Tempo (min) Balanços (fi) 
10 ├ 20 3
20├ 30 5
30├ 40 10
40├ 50 12
50├ 60 20
.
21.30
Exercício resolvido
Variância e desvio padrão para dados agrupados
Quando os valores estão agrupados em
intervalos de classe, para se obter a
variância e o desvio padrão, calcula-se
os pontos médios de cada intervalo e,
em seguida, fazemos:
Xi = Ponto Médio da classe
Var 
Determina-se o ponto médio de cada intervalo e calcula-se a média.
Tempo de 
auditoria
Número de 
balanços (fi)
PMi (PMi – x) (PMi – x)2 fi ∙ (PMi – x)2
10 ├ 20 3 15 –28,2 795,24 2.385,72
20├ 30 5 25 –18,2 331,24 1.656,2
30├ 40 10 35 –8,2 67,24 672,4
40├ 50 12 45 1,8 3,24 38,88
50├ 60 20 55 11,8 139,24 2.784,8
∑f i = 50 ∑[f i ∙ (PMi – x)2 ] = 7.538
Com os dados da tabela encontra-se a variância e o desvio padrão.
Em média o tempo para análise de cada balanço é de
43,2  12,3 min.
Var 150,76 12,3    
1) O número de acidentes em um trecho de uma rodovia foi computado
mês a mês durante o 1o semestre de 2017. Veja os dados obtidos: 20; 14;
15; 20; 27 e 30. Calcule a média de acidentes a cada mês e seu
respectivo desvio padrão.
21.29
Ocorreram em média 21  5,8 acidentes
s 34 5,83 
Atividades
2) Uma empresa de turismo registrou o número de viagens
intermunicipais mensais realizadas por clientes de um programa
de fidelidade:
Viagens Mensais Número de Clientes
10 120
15 400
20 150
a) Calcule o desvio padrão;
b) Que informação temos quanto ao número de viagens realizadas 
pelos clientes dessa empresa? 
a)  = 3,17 ≃ 3 viagens
b) Os clientes do programa de fidelidade entrevistados realizam em 
média 15 ± 3 viagens intermunicipais mensalmente.
3) Calcule a média, a variância e o desvio padrão de cadasequência 
dada.
a) 7, 5 , 6, 6, 4, 6, 8, 6, 9 e 3.
b) 7, 5, 11, 8, 3, 6, 2, 1, 9 e 8
c) 64, 49, 54, 64, 97, 66, 76, 44, 71 e 89
d) 70,72, 71, 55, 60, 62, 46, 77, 86 e 71.
Quais das amostras apresentam maior estabilidade?
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Coeficiente de Variação (CV) ou desvio-padrão relativo
• Mede a dispersão em termos relativos a seu valor médio.
• Quanto menor for o valor do coeficiente de variação, mais
homogêneos serão os dados, ou seja, menor será a dispersão em
torno da média. De uma forma geral, se o CV:
For menor ou igual a 15% → baixa dispersão: dados homogêneos
For entre 15 e 30% → média dispersão
For maior que 30% → alta dispersão: dados heterogêneos.
• Usado em campos como engenharia e física quando se fazem
estudos de garantia de qualidade e avaliações de repetitividade e
reprodutibilidade.
28
Coeficiente de Variação (CV) ou desvio-padrão relativo
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Exemplo: Desempenho Escolar
Conclusão: em relação a média, as notas do Alexandre são,
aproximadamente, três vezes mais dispersas que as notas da
Camila.
Alexandre Camila
Média 7,0 7,0
Desvio Padrão 2 0,71
C.V 28,57% 10,14%
30
https://www.youtube.com/watch?v=_RDtRmb8G4Y
Como calcular média e desvio padrão com a calculadora 
Casio FX-82MS