Freios e Embreagens

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS 
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA 
DEPARTAMENTO DE PROJETO MECÂNICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA 
 
 
 
 
 
FREIOS e EMBRAGENS POR ATRITO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Prof.Dr. Auteliano Antunes dos Santos Junior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta apostila é parte integrante das notas de aulas da disciplina Elementos de Máquinas II, do curso de 
graduação da FEM/UNICAMP. Trata-se de um resumo para que os alunos possuam um material de 
consulta com as informações mínimas necessárias para o entendimento dos conceitos e da teoria 
exposta em aula. Como tal, não prescinde da consulta a outras fontes, particularmente se o leitor 
desejar se aprofundar em algum dos assuntos abordados. Essa apostila contém no mínimo todas as 
informações apresentadas nos principais livros de Elementos de Máquinas adotados na FEM-Unicamp. 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Desde os primórdios da civilização o homem tem se defrontado com necessidades que o levam 
ao desenvolvimento de soluções práticas. As maiores descobertas trouxeram novas necessidades e a 
busca do conforto e segurança continua e continuará por muito tempo. 
 Com a descoberta da roda o homem conseguiu vencer uma de suas maiores limitações: o 
transporte de um peso bem maior que o seu. No entanto havia um problema: enquanto um objeto 
arrastado parava quase que imediatamente após a força de arraste ter cessado, isso não acontecia com 
uma roda. Como, então, pará-la? 
 Os freios surgiram a partir da necessidade de parar algo que se deslocava ou impedir que algo 
se deslocasse. São um caso específico de uma classe de elementos de máquinas chamada de 
acoplamentos por atrito. Os primeiros freios eram do tipo cunha e serviam apenas para impedir que um 
movimento se iniciasse. Os freios com alavanca (Figura 1) vieram como uma evolução surpreendente, 
pois permitiam ao condutor realizar um esforço de frenagem grande quando comparado com a pequena 
força que empregava para acionar os freios. No entanto, este tipo de freio só se tornou importante a 
partir do momento que o homem construiu veículos com tração alternativa: ele não mais arrastava ou 
puxava as cargas, outros animais o faziam. 
 
Figura 1 - Freios de Alavanca 
 Projetos novos surgiram e apareceram soluções práticas para um menor esforço do condutor ou 
um melhor controle do processo de acoplamento. Novos tipos de acoplamentos surgiram: magnéticos, 
eletromagnéticos, por corrente parasita, hidráulicos e outros. Entretanto, o principal tipo de 
acoplamento empregado ainda é o por atrito. Esse tipo atua quando dois materiais a velocidades 
diferentes se atritam, fazendo com que aquele que tiver condição de manter a velocidade influa sobre a 
velocidade do outro. Caso a velocidade de um dos materiais seja nula, o acoplamento é chamado de 
freio; caso nenhum dos dois tenha velocidade nula, o acoplamento é chamado de embreagem. Freios e 
embreagens, por questão de espaço, são normalmente acoplados a eixos rotativos, atuando no sentido 
de alterar velocidades angulares e não lineares. 
O uso de freios e embreagens por atrito para o acoplamento de eixos em velocidades diferentes 
deve-se principalmente ao fato de que o eixo que está sendo acionado, ou seja, tendo sua velocidade 
alterada, acopla-se gradualmente ao eixo que o está acionando. Acoplamentos rígidos não poderiam ser 
utilizados, já que a variação instantânea da velocidade implicaria numa aceleração infinita. A mudança 
repentina de velocidades significaria um choque de elevada magnitude, amortecido apenas pela rigidez 
dos componentes, o que fatalmente levaria a falha por sobrecarga em algum dos elementos acoplados. 
Se o esforço a ser transmitido for muito grande, a aderência entre as superfícies limitará a 
transmissão, fazendo com que as superfícies escorregem e o esforço não passe pelo acoplamento. Esse 
é o princípio que norteia o uso de acoplamentos de atrito como limitadores de torque. Na realidade, 
também haverá escorregamento enquando as velocidades forem diferentes, e o esforço máximo que 
pode ser transmitido depende do coeficiente de atrito dinâmico entre os materiais em contato. Quando 
os eixos se acoplam, obviamente com a mesma velocidade, o coeficiente de atrito estático passa a ser o 
fator que limita o esforço a ser transmitido. Detalhes sobre o coeficiente de atrito nas páginas 
seguintes. 
2. Tipos de Acoplamentos por Atrito 
Os principais tipos de acoplamentos por atrito são chamados de embreagens e freios. As 
primeira se dividem basicamente em embreagens à disco e cônicas, enquanto que os últimos se dividem 
em freios à tambor e à disco, com diversas construções derivadas. Cada um desses tipos de 
acoplamentos é discutido a seguir. 
2.1. Embreagens à disco para uso com Transmissões Mecânicas 
Transmissões mecânicas são utilizadas entre a fonte de potência, o motor, e a carga, que é onde 
a energia gerada está sendo consumida. Nos casos mais simples, são redutores de velocidade de um 
estágio, que servem também para aumentar o torque disponível no motor, permitindo o uso de motores 
menores para o acionamento da carga. Nos casos mais complexos, as transmissões não têm apenas uma 
relação fixa de transmissão: possuem diversas combinações possíveis que permitem que a velocidade 
seja aumentada ou reduzida, dependendo da saída desejada. Algumas transmissões permitem que a 
alteração da relação de transmissão seja feita de forma gradual, como nas CVTs, discutidas em aula; 
outras não permitem a variação gradual. 
O tipo mais comum de transmissão é por engrenagens, utilizada principalmente em veículos 
automotivos. Nesse tipo de transmissão, o torque do motor é transmitido até a saída da transmissão por 
um conjunto de pares de engrenagens conjugadas. Para que a relação de transmissão seja alterada, é 
necessário que um par ou mais do conjunto seja desacoplado e que outro par, ou pares, sejam 
acoplados. Como as engrenagens são rígidas, sistemas mecânicos complexos fazem com que as 
velocidades tangenciais das engrenagens que serão acopladas se aproximem. Ainda assim, os dentes 
sofreriam todo o choque causado pelo subto acoplamento da carga ao motor numa nova relação de 
transmissão, a menos que essas velocidades fossem absolutamente iguais. Para evitar esse choque, o 
motor é desacoplado da linha de transmissão no instante da alteração da relação de transmissão 
(mudança de marcha) com o uso de uma embreagem. Como o veículo possui inércia maior do que o 
motor, a sua velocidade será relativamente estável durante o curto período da troca de marchas e o eixo 
de acionamento da transmissão (entrada) pode ser levado até uma velocidade compatível com a do 
veículo. Nesse instante, o eixo de entrada da transmissão estará acoplado por engrenagens ao eixo de 
saída; o eixo do motor poderá estar em rotação diferente. Com o alívio da embreagem pelo condutor do 
veículo, a embreagem serve de acoplamento entre o motor e a transmissão: se as rotações forem 
diferentes, os elementos de atrito da embreagem deslizarão até que estas sejam iguais. 
A figura 2 mostra um tipo simples de embreagem automotiva. Este tipo trabalha a seco, ou seja, 
os discos não estão embebidos em óleo, o que serviria para resfiamento do conjunto. A embreagem 
mostrada está na posição acionada. Nessa posição, o volante, preso ao eixo do motor, está transmitindo 
o torque através de parafusos à placa de pressão. As molas, normalmente de 6 a 10, pressionam essa 
placa contra o disco, que também se apóia no volante do lado oposto. O disco é identificado na figura 
pelas laterais que atritam com os elementos citados, chamadas de planos de fricção. O conjunto 
volante-eixo do motor funciona como um cubo, no qualé colocado um rolamento para apoiar o eixo de 
saída da embreagem, que vai para a transmissão. Assim, ambos os eixos permanecem alinhados e 
podem trabalhar em rotações diferentes quando a embreagem não está transmitindo torque. 
Utilizar a expressão “embreagem acionada” poderia dar margem a uma interpretação errada do 
que ocorre. Quando o condutor aciona a embreagem, os eixos se desacoplam e a embreagem poderia 
ser considerada como que na posição não acionada. Assim, é necessário definir o que se deseja dizer: 
quando for dito que a embreagem está acionada fica convencionado que o condutor acionou a alavanca 
de embreagem e os eixos deixaram de estar acoplados. Na figura 2, quando o condutor aciona o pedal 
da embreagem,um cabo aciona a alavanca mostrada com o nome “aliviar”, que desloca o cubo 
mostrado ao longo do eixo. Esse movimento move a alavanca de alívio comprimindo as molas contra a 
a cobertura externa da embreagem, fazendo com que a placa de pressão se afaste do disco e a 
embreagem seja desacoplada. 
 
Figura 2 – Esquema simplificado de Embreagem Automotiva 
Atualmente, o tipo mais comum de embreagem automotiva não utiliza molas helicoidais, mas 
um tipo especial de mola prato, chamada vulgarmente de chapéu chinês. A figura 3 mostra esse tipo de 
elemento, à esquerda. Mostra também, a direita, um disco de embreagem comum. As molas centrais 
são para amortecer os choques torsionais. 
 
Figura 3 – Mola prato e disco de embreagem automotiva 
Um tipo de embreagem também empregada em veículos automotivos, em especial em 
caminhões de pequeno porte e caminhonetes, é a de múltiplos discos. Também empregada em 
máquinas agrícolas e outros dispositivos mecânicos, esse tipo de embreagem faz uso de um número 
maior de discos para transmitir torque elevados. Como vantagem, ocupa um espaço radial muito menor 
do que as embreagens convencionais à seco; como desvantagem, ocupam um espaço axial muito maior. 
Como a dimensão radial é menor, é mais difícil trocar o calor gerado durante o acoplamento, e os 
discos precisam ser embebidos em óleo para resfriamento. Isso reduz significativamente o coeficiente 
de atrito entre as superfícies, mas implica em utilizar uma força normal entre os discos maior para 
transmitir um torque adequado. O menor coeficiente de atrito diminui o desgaste por disco, mas a 
maior força normal torna a aumenta-lo. Como o desgaste é proporcional ao trabalho realizado e este é 
dividido entre os discos, embreagens desse tipo duram mais até a reposição dos discos. Esse tipo de 
embreagem também é utilizada como freio. 
2.2. Embreagens Cônicas 
Embreagens cônicas são utilizadas quando se deseja grande amplificação da força de aplicação 
sem que haja limitação axial para deslocamento. O princípio básico é o da cunha: quando a parte 
chamada cone desloca-se para a esquerda da figura, pela ação da força da mola, surge uma pressão nas 
superfícies de contato, que aumenta conforme o deslocamento axial aumenta. Esse esforço gerado 
depende da força da mola e do ângulo do cone ( � ). Para desacoplar a embreagem, basta mover o cone 
para a direita. 
 A grande vantagem desse tipo de embreagem é permitir um grande esforço normal nas 
superfícies em contato sem um apreciável esforço de engate. A desvantagem é o movimento axial, nem 
sempre possível na maioria dos dispositivos. Embreagens cônicas também são empregadas como freios. 
 
 
Figura 4 – Esquema básico de um Embreagem Cônica 
2.3. Freios à Disco 
Um freio à disco é basicamente uma embreagem à seco na qual um dos elementos trabalha em 
rotação nula. Assim, o disco, que normalmente é o elemento ligado ao eixo girante, é acoplado a um 
eixo com velocidade nula através de uma pinça. Essa está presa à estrutura do veículo ou dispositivo. A 
pinça pode ter acionamento pneumético, como em veículos ferroviários e alguns freios de caminhões e 
ônibus; hidráulico, como na maioria dos veículos comerciais de pequeno porte, ou outro (elétrico, 
magnético, por esforço centrífugo, ...). 
 Devido ao grande torque a ser transmitido, normalmente até duas ou três vezes maior do que o 
do motor, os discos necessitam de grande área de resfriamento. Por isso, apenas parte de sua superfície 
é utilizada como superfície de atrito a cada instante. As pastilhas de freio, que fazem a função da placa 
de pressão e do volante nas embreagens, ocupam uma pequena parcela da área total do disco. Para 
facilitar a reposição, o material de atrito fica nas pastilhas e não nos discos, que são normalmente 
metálicos (ferro fundido, aço, alumínio, ...). Os discos podem ser sólidos, para menores potências de 
frenagem, ou ventilados. Esses últimos podem ser ventilados por aletas internas ou por furos na 
superfície de atrito, como em motocicletas. Os furos também têm a função de retirar o material 
desgastado da região de contato entre a pastilha e o disco. A figura 5 mostra um sistema com disco 
sólido, à esquerda, e outro com um disco ventilado, à direita. No sistema da esquerda, o freio tem 
provavelmente dois cilindros de acionamento de cada lado, permitindo uma melhor distribuição de 
pressão sobre a pastilha. No freio da esquerda é mostrada a entrada de óleo sob pressão que alimenta o 
cilindro da pinça; também é mostrada a saída do óleo para retirada de bolhas de ar, sob a mesma 
designação de “entrada de óleo”. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 –Freios à Disco Sólido (à esquerda) e Ventilhado (à direita) 
2.4. Freios à Tambor com Sapatas Externas 
A figura 6 mostra o tipo mais comum de freio de tambor de sapatas externas. É utilizado em 
maquinas de elevação, tais como pontes rolantes, elevadores, gruas, etc... Normalmente é composto de 
duas sapatas simetricamente dispostas em torno de um tambor, que é ligado a carga a ser freiada. No 
caso da figura 6, o tambor provavelmente está ligado a um outro tambor para enrolamento de cabos de 
aço de um elevador. No sistema mostrado, o acionamento é eletromagnético, mas também pode ser 
pneumático e, mais raramente, hidráulico ou manual. Quando o freio é acionado, o conjunto de 
alavancas atua no sentido de aplicar pressão entre as sapatas, que contém o material de atrito 
substituível, e o tambor. 
O tambor de freios mostrado serve também para dissipar o calor gerado na interface com as 
sapatas. Um freio semelhante a esse é empregado em veículos ferroviários. No caso desses veículos, a 
sapata é pivotada em torno de um pino que a liga ao sistema de alavancas. A figura 7 mostra uma 
sapata colocada sobre a roda, à esquerda, e o esquema pneumático de aplicação dos freios ferroviários, 
à direita. Apenas um cilindro é utilizado para cada vagão em veículos de carga. Para locomotivas e 
alguns tipos de carros de passageiros, cada roda tem seu próprio cilindro de acionamento. Veículos 
ferroviários dissipam o calor através das rodas, que o transfere por convecção em sua superfície ou por 
condução no contato com o trilho. O aquecimento nas rodas é a causa de diversos problemas 
encontrados em ferrovias de carga, tratados em fontes específicas. 
Figura 6 –Freios à Tambor de Sapatas Externas para Máquinas de Elevação 
2.5. Freios à Tambor com Sapatas Internas 
O freio de tambor de sapatas internas é utilizado normalmente como freio trazeiro de veículos 
de passeio ou como freio de caminhões e ônibus. Consiste também de duas ou mais sapatas que são 
aplicadas contra um tambor de freios, mas na face interna deste. Para tambores cilíndricos sólidos, 
como o mostrado na figura 6, fica difícil imaginar como as sapatas poderiam ser aplicadas na face 
interna, mas se considerarmos o tambor como um anel ou um cilindro vazado as sapatas podem ser 
colocadas no interior ou sobre a superfície externa, causando o mesmo efeito de frenagem.Figura 7 – Sapata e Esquema de Freios à Tambor de Sapatas Externas para Veículos 
Ferroviários 
A figura 8 mostra um esquema simplificado deste tipo de freio. Nele são mostrados o cilindro 
de freio, que recebe a pressão hidráulica do sistema de acionamento; os pistões do cilindro, que se 
movem aplicando a sapata sobre o tambor; as sapatas, que consistem no suporte metálico (contra-
sapata) e na lona de freio; o tambor, que é a parte que gira do conjunto e é solidário à roda em veículos; 
o cabo, que serve para aplicar o freio manualmente através da alavanca do freio; e o ajustador de folga, 
que move a lona para mais perto do tambor conforme esta vai sendo desgastada, diminuindo o curso até 
a frenagem. No tipo de freio mostrado, a força gerada no cilindro hidráulico move a parte superior das 
sapatas, que estão ancoradas no ajustador de folga. Com essa restrição, as sapatas não se movem 
lateralmente, mas giram em torno do ponto de ancoragem. Fica evidente que o apoio da sapata sobre o 
tambor se dá principalmente na parte superior desta, fazendo com que a pressão de contato seja maior 
nessa região. 
 
Figura 8 –Esquema de Freios à Tambor de Sapatas Internas para Veículos Automotivos 
 
A figura 9 mostra um tambor de freio típico com o ajustador de folga e uma sapata mostrados 
em detalhe. Conforme a sapata é desgastada, a alavanca do ajustador de folga se move. A alavanca está 
apoiada em uma catraca que gira quando a primeira se move. Com o movimento da catraca a rosca de 
um parafuso espaçador também gira, distanciando o ponto de ancoragem das sapatas e fazendo com 
que estas fiquem mais próximas do tambor. Essa proximidade controlada é importante para que o 
tempo de resposta do sistema seja reduzido. 
3. O Atrito 
 Toda vez que um corpo se movimenta, ou está na iminência de movimentar-se, pode ser 
observado um fenômeno que é básico para existência e sobrevivência dos seres vivos: o atrito. Eu não 
conseguiria escrever os rascunhos desta apostila e você não poderia segurar o papel que está lendo. 
Nem mesmo poderia andar ou correr. 
 
 
Figura 9 –Freios à Tambor de Sapatas Internas com Detalhe do Ajustador e da Sapata 
 
 Trágico? Não: irreal! O atrito existe e suas manifestações tão naturais, como o andar, podem 
levar-nos a esquecê-lo, mas sua correta utilização em todas as áreas de projeto que envolvem 
movimento é fundamental. 
 Os estudiosos do assunto dividem o atrito em dois tipos básicos: estático e dinâmico. Definem 
também um parâmetro adimensional denominado coeficiente de atrito (estático ou dinâmico) para 
representar seu efeito. Este parâmetro é uma medida da resistência ao movimento de um corpo em 
contato com outro corpo quando ambos se movem em velocidades diferentes. Estudos demonstram que 
 
o coeficiente de atrito estático entre dois materiais é maior que o dinâmico em condições equivalentes. 
Ambos dependem das características dos materiais e de fatores tais como acabamento, rugosidade, 
lubrificação, limpeza, contaminação, etc. O coeficiente de atrito dinâmico também pode variar com a 
diferença de velocidade entre as superfícies, mas esta é uma característica geralmente desconsiderada 
nos materiais normalmente utilizados em freios, já que o este alcança um valor estável a partir de 
baixas velocidades. 
A figura 10 mostra o comportamento real de um material de atrito que foi ensaiado em uma 
frenagem a partir de 128 km/h, no Lafer - Unicamp. Conforme a velocidade diminuía, aumentava o 
coeficiente de atrito, conforme esperado. Em baixas velocidades este coeficiente atingiu um valor cerca 
de 50% maior que na velocidade máxima. Trata-se de um comportamento atípico, mas serve para 
mostrar o que pode ocorrer em freios com materiais de atrito sem a qualidade desejada. 
 
Figura 10 –Variação do Coeficiente de Atrito em Função da Velocidade – Lafer/Unicamp 
Duas outras variáveis são importantes no estudo do coeficiente de atrito de materiais de freios e 
embreagens: a pressão específica e a temperatura. Estudos realizados por pesquisadores da Unicamp 
em sistemas de freio ferroviários e automobilísticos mostram que quanto maior a pressão específica, ou 
seja, a força de aplicação sobre a área do material de atrito, menor o coeficiente de atrito. Os mesmos 
estudos demonstraram que a temperatura também influencia no sentido de reduzir o coeficiente de 
atrito e isso ocorre de duas formas: simplesmente atuando sobre a propriedade ou modificando a 
estrutura do material para que esta fique mais dura e lisa (“fade” ou vitrificação). A segunda forma, 
bem mais significativa, é a principal responsável por caminhões e ônibus perderem os freios em 
descidas longas. 
 Para o projeto de sistemas de freios, é usual considerar o atrito dinâmico que, por ser menor 
que o estático, permite o dimensionamente em favor da segurança. 
 
 
4. Dimensionamento dos Acoplamentos por Atrito 
O dimensionamento do sistemas de freios ou embreagens requer o conhecimento do tipo do 
acionamento (mecânico/elétrico/pneumático, manual/automático, ...), do tipo do acoplamento 
(tambor/disco), da estrutura de apoio e das características básicas do dispositivo ou veículo onde será 
utilizado. Cada uma desse tópicos requer um estudo aprofundado, mas somente o dimensionamento do 
acoplamento em si (freio/embreagem) será tratado nessa apostila. O dimensionamento do acionamento 
pode ser visto em disciplinas da área de eletricidade ou mecânica dos fluídos; da estrutura de apoio é 
tratado em Resistência dos Materiais e em Elementos de Máquinas; o do dispositivo completo será 
abordado em Projeto de Sistemas Mecânicos. 
4.1. Conceitos básicos 
A figura 11 mostra um esquema de um acoplamento por atrito. Embora seja melhor aplicado ao 
dimensionamento de acoplamentos por discos, alguns conceitos importantes para todos os tipos de 
acoplamentos podem ser apresentados com esse tipo de arranjo. 
 
Figura 11 – Esquema simplificado de Acoplamento por Atrito com deslocamento axial 
Na figura podem ser vistos o raio interno do material de fricção ri , o raio externo ro , e um 
elemento na forma de anel com espessura radial dr. Quando a parte da direita do acoplamento se move 
para a esquerda, o disco movido entra em contato com o material de atrito (ou fricção) do disco do 
motor. Em função do esforço aplicado, surge uma pressão entre as superfícies e o acoplamento começa 
transmitir torque. Dois modelos são utilizados no dimensionamento do acoplamento: pressão 
uniformemente distribuída e desgaste uniforme. 
 
 
4.1.1. Modelagem por Pressão Constante 
Nesse modelo, como o nome já diz, é suposto que a pressão entre em qualquer ponto da 
superfície de contato é a mesma. Esse modelo serve para quanto as superfícies são paralelas, o que 
normalmente ocorre quando o acoplamento é novo, ou seja, pouco desgastado. 
Segundo esse modelo, o elemento de espessura dr mostrado na figura suporta uma pressão p 
quando a força de aplicação (contato) sobre ele é dF. A pressão p é a mesma para qualquer ponto da 
superfície de contato e a força dF pode ser calculada por: 
[1] 
 
A força total utilizada no acoplamento pode ser calculada somando-se a contribuição de cada 
elemento, conforme: 
[2] 
 
Da mesma forma, a contribuição de torque de cada elementos é dada por: 
[3] 
 
A contribuição total dos elementos para o torque é dada por: 
[4] 
 
Quando consideramos mais de uma superfície de atrito, o torque disponível no acoplamento 
deve ser calculado multiplicando-se o torque da equação 4 pelo número de superfícies em contato N. 
Incluindo esse valor e substituindo o resultado da força obtido na equação 2 na equação 4, o torque 
pode ser calculado por: 
[5] 
 
4.1.2. Modelagem por Desgaste Uniforme 
O mesmo tipo de análisepode ser feita considerando o desgaste uniforme em toda a superfície 
de contato. Esse é o caso de acoplamentos usados e é o que melhor se aplica na previsão do que 
acontece na prática. Na realidade, como o desgaste é proporcional ao trabalho de atrito executado e 
esse é proporcional à força de atrito e à distância circunferencial percorrida, o desgaste acaba sendo 
pdrdF )2( ��
)(2 220
0
i
r
r
rrpprdrF
i
�
��
� ��
pfrrdrdT )2( ��
)(
3
22 330
20
i
r
r
rrpffdrprT
i 	
 � ��
N
rr
rrFfT
i
i
)(3
)(2
22
0
33
0
�
função dessa distância. Como a distância percorrida é função do raio, o desgaste na região mais externa 
é maior do que na região mais interna, se a pressâo for a mesma. Assim, um acoplamento novo começa 
a ser desgastado na superfície logo que se acopla pela primeira vez, alterando a distribuição de pressão 
superficial. Conforme o desgaste aumenta, um disco apóia no outro de maneira diferente, desgastando 
mais em algumas regiões. O formato da superfícies no contato tenderá àquele que permitirá o desgaste 
uniforme e o modelo que o representa será válido. É importante destacar que ambos os modelos são 
válidos, e existem momentos em que nenhum é valido, mas o por desgaste uniforme representa melhor 
o que acontece porque os materiais de atrito trabalham muito pouco tempo com pressão constante. 
O desgaste é proporcional ao trabalho de atrito, que pode ser calculado pelo produto da força 
de atrito pela distância percorrida. Como primeira variável é proporcional à pressão superficial 
enquanto que a segunda é proporcional à posição radial, o desgaste é proporcional ao produto da 
pressão p e do raio r. Assim, esse produto pode ser substituído na equação 3 pelo produto dessas 
variáveis em qualquer ponto. Como o produto é contante, a pressão é máxima (pmax) quando o raio é 
mínimo (ri) e a equação 3 fica: 
[6] 
 
Da mesma forma, a equação para o torque fica: 
[7] 
 
Com a substituição do valor de pressão máxima da equação 6 na equação para o cálculo do 
torque, incluindo o número de superfícies em contato, obtem-se: 
[8] 
 
A equação 8 mostra uma interessante característica da modelagem por desgaste uniforme, que é 
permitir o cálculo do torque a ser transmitido pelo produto entre a força total de atrito e o raio médio da 
superfície de atrito. 
4.2. Embreagens e Freios à disco 
Para embreagens e freios a disco, a aplicação das equações 1 a 8 é direta. Alguns cuidados 
devem ser tomados quando da utilização com freios a disco devido à largura das pastilhas. Essas não 
atritam contra o freio como um todo, mas as equações continuam válidas, em especial a 5 e a 8. Em 
freios a disco automobilísticos, o número de superfícies em contato é sempre 2; em embreagens de 
)(..22 0maxmax
0
ii
r
r
i rrprdrrpF
i �
�� � ��
)(2 220maxmax
0
ii
r
r
i rrfrpfrdrrpT
i �
�� � ��
NrrFfT ����fffi flffi
2
10
múltiplos discos, pode haver confusão entre o número de discos e o número de superfícies em contato. 
O número que deve ser utilizado é sempre o de superfícies em contato. A figura 12 mostra um esquema 
de embreagens de múltiplos discos. 
 
Figura 12 – Esquema simplificado de Embreagem de Múltiplos Discos 
O valor do coeficiente de atrito muda dependendo do material utilizado e das condições 
ambientais e de trabalho, conforme já discutido. Em especial o valor do coeficiente de atrito para 
acoplamentos como o mostrado na figura 12, que são embebidos em óleo, é muito menor do que o 
mostrado na figura 10. Este último é o valor obtido no ensaio de sapatas de freio, que trabalham sem 
lubrificação. As tabelas 1 e 2 mostram a faixa de variação dos valores do coeficiente de atrito nas 
condições seca e úmida, para fins de projeto. 
4.3. Freios de Tambor de Sapatas Externas 
Os freios de tambor de sapatas externas podem ser modelados de duas formas: por 
carregamento concentrado ou por carregamento distribuído. A primeira é utilizada quando as sapatas 
são pequenas, ou seja, são aplicadas apenas em uma pequena parte da superfície do tambor, 
normalmente com ângulos de abrangência ou abraçamento menores que 45O. Para sapatas maiores, é 
necessário considerar a distribuição da pressão ao longo da área de contato, o que é feito com o modelo 
distribuído. 
 
 
Tabela 1 – Coeficiente de Atrito contra Aço ou Ferro Fundido para Materiais a seco 
Material Coeficiente de Atrito 
Dinâmico 
Pressão Máxima 
(MPa) 
Temperatura 
Máxima (oC) 
Moldado 0,25-0,45 1030-2070 204-260 
Trançado 0,25-0,45 345-690 204-260 
Sinterizado 0,15-0,45 1030-2070 232-677 
Madeira 0,20-0,30 345-690 93 
Ferrofundido ou Aço 
Endurecido 
0,15-0,25 690-1720 260 
 
Tabela 2 – Coeficiente de Atrito contra Aço ou Ferro Fundido para Materiais embebidos em 
Óleo 
Material Coeficiente de Atrito Dinâmico 
Moldado 0,06-0,09 
Trançado 0,08-0,10 
Sinterizado 0,05-0,08 
Madeira 0,12-0,16 
Papel 0,10-0,14 
Ferro Fundido ou Aço 0,15-0,25 
Polímeros Médio 0,11 
 
4.3.1. Modelo com Esforços Concentrados 
A figura 13 mostra um esquema de aplicação de forças para o caso de esforços concentrados. A 
força F é aplicada à uma distância c do ponto de ancoragem; a dimensão da sapata é tal que a o braço 
de alavanca da força de atrito f.F é a; a distância de aplicação da força na sapata N até o ponto de 
ancoragem é b, que não deve ser confundidos com o número de superfícies de atrito nem com a largura 
da sapata, muitas vezes simbolizadas pelas mesmas letras. A figura mostra também o diagrama de 
corpo livre do conjunto da alavanca e do tambor. O equilíbrio dos momentos em torno do ponto de 
ancoragem A permite relacionar a força de aplicação à força normal e ao valor do coeficiente de atrito: 
[9] 
 
0.... � ! NbaNfcF
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 – Esquema simplificado de Freios de Tambor de Sapata Externa com Carga 
Concentrada 
Isolando a força normal, tem-se: 
 
[10] 
 
O Torque pode ser calculado por: 
[11] 
 
Substituindo a força normal, o torque fica: 
[12] 
 
A equação 12 mostra que o torque pode tender ao infinito quando o termo f.a tende a b. Nesse 
caso, por menor que seja a força de aplicação, o torque seria grande o suficiente para travar o conjunto. 
No limite, não seria necessária força alguma para aplicar o freio. A equação mostra também que o 
termo f.a auxilia na aplicação do freio, mesmo quando o seu valor é menor do que b. Isso também pode 
ser observado pelo sinal do termo de atrito na equação 9, que é o mesmo que o da força de aplicação. 
Quando o termo de atrito auxilia na aplicação dizemos que a sapata é energizada ou auto-energizada, 
).(
.
afb
cFN "#
rNfT ..$
).(
...
afb
crFfT %&
um termo terrível para traduzir a palavra em inglês, mas que serve para o propósito a que se destina. 
Quando o denominador da equação 12 é menor ou igual a zero, dizemos que a sapata está bloqueada. 
Essa é uma condição indesejável para sistemas de freios normais, pois indica que o sistema esta 
freiando mesmo sem ter sido acionado. Sistemas de freio de segurança podem fazer uso dessa 
característica. 
A equação 13 define a condição de auto-energização: 
[13] 
 
Caso a rotação do tambor apresentado na figura 13 seja invertida, o termo de atrito terá o sinal 
também invertido e a auto-energização não ocorrerá. Nesse caso, chamamos a sapata de não 
energizada, embora já tenha sido chamada desenergizada, um termo que dói ainda mais nos ouvidos de 
quem ouve. 
Para que ocorra o auto-travamento ou auto-bloqueio, é necessário que: 
[14] 
 
A condição de auto-bloqueio não é atingida facilmente. Como exemplo, caso o valor do 
coeficientede atrito f seja 0,3, é necessário que o valor de a seja maior ou igual a 3,3.b. A simples 
observação na figura 13 mostra que isso implicaria numa sapata de espessura significativa ou num 
deslocamento significativo do ponto de ancoragem. 
4.3.2. Modelo com Esforços Distribuídos 
O modelo com esforços distribuídos pressupõe que a sapata é suficientemente grande para que 
a variação de pressão na superfície de contato seja significativa. O problema consiste em determinar 
qual a forma de variação dessa pressão. A figura 14 mostra uma sapata sendo aplicada sobre um tambor 
de freios. Para simplificar a visualização do problema é suposto que o tambor caminha em direção à 
sapata conforme esta se desgasta, girando em torno do ponto de ancoragem O2 . O correto é o 
contrário, mas o efeito final é o mesmo. 
O desgaste normal à superfície de conta ' n, mostrado na figura, pode ser relacionado as demais 
variáveis geométricas por: 
[15] 
 
b
c
rFf
afb
crFfT ...).(
... (
%
&
afbafb .0. )*)+
).(.sen..sen.'
2
2
22 AO
BOAOAOAAn ,
-
,
-. ///
 
Figura 14 – Esquema Geométrico simplificado de Freios de Tambor de Sapata Externa com 
Carga Distribuída mostrando o Desgaste e sua relação com a Geometria do Problema 
O ponto A é um ponto qualquer da superfície de contato, que se move para A’ quando o 
desgaste ocorre. A ligação entre este ponto e o centro de ancoragem define um ângulo 0 que identifica 
a posição do ponto A. Este ângulo não é fácil de ser obtido, mas está relacionado a outras variáveis 
geométricas que o são. Uma delas é a distância ao ponto de ancoragem O2A e sua projeção 
perpendicular O2B. A equação 15 inclui essa relação. A distância O2B também pode ser obtida por: 
[16] 
 
A equação anterior relaciona a distância O2B ao ângulo 1 . Substituindo a equação 16 na 
equação 15, o desgaste pode ser dado por: 
[17] 
 
Essa equação relaciona o desgaste à distância entre o centro do tambor e a posição de 
ancoragem e ao seno do ângulo 1 , que define a posição do ponto A. Como o desgaste é proporcional 
ao trabalho de atrito e esse proporcional à pressão, conclui-se que a pressão p é diretamente 
proporcional ao seno do ângulo 1 , o que resolve o problema da distribuição de pressão. Assim: 
[18] 
 
Caso o angulo 1 seja maior do que 90o, o que é geralmente o caso com sapatas longas, o seno 
máximo será 1, e a equação 18 se reduzirá a: 
[19] 
)(.)180(. 32322 22 senOOsenOOBO o 343
5
6
7
senOOn ..328
max
max
)( 9
9
sen
senpp :
9senmaxpp :
A figura a seguir mostra novamente a mesma sapata sobre o tambor, mas agora com os esforços 
atuantes no ponto A. 
 
Figura 15 – Esquema de Forças simplificado para Freios de Tambor de Sapata Externa 
Conforme mostra a figura, quando o tambor gira no sentido anti-horário aparece uma força de 
atrito que tende a girar a sapata na mesma direção que a força de acionamento F, para o ponto em 
questão. A força normal, causada pela pressão no contato, tende a girar a alavanca no sentido oposto. 
Os braços de alavanca de cada uma das forças estão mostrados na figura. É importante notar que a 
variável d, para essa figura, refere-se à distância O2O3, e não ao diâmetro do tambor. Já a variável r é o 
raio do tambor. 
O momento total causado pelas somatória das forças de atrito em cada ponto, Mf, pode ser 
calculado como a integral do produto entre a força de atrito e a distância perpendicular (braço de 
alavanca). Assim: 
[20] 
 
A força normal em cada ponto dN pode ser calculada como o produto da pressão e a área 
infinitesimal de contato, ou seja: 
[21] 
 
Substituindo a equação 19 na equação 21, e esta na equação 20, tem-se: 
; <
=
2
1
)cos.(.
>
> ?
drdNfM f
bdrpdN )...( @A
[22] 
 
 
Resolvendo a integral da equação 22, o resultado para o momento de atrito é> 
[23] 
 
Da mesma forma, o momento total causado pela contribuição da força normal em cada ponto 
pode ser dado por: 
[24] 
 
Resolvendo a integral, o momento resultante é: 
[25] 
 
Da mesma forma que na equação 9 para sapatas curtas, o equilíbrio de forças na sapata mostra 
que: 
[26] 
É importante notar que os sinais dos momentos Mf e Mn na equação dependem do efeito de 
cada um deles. Se o momento ajuda na aplicação da força de acionamento F, o sinal é positivo; se não, 
negativo. Assim, o sinal de Mn será sempre negativo, não importa o sentido de rotação. Já o sinal de Mf 
será negativo se a rotação for no sentido oposto ao mostrado na figura 15. Se o sinal de Mf for positivo, 
a sapata será dita energizada ou auto-energizada. Se o valor de Mf for igual ou maior que o de Mn 
quando a sapata for energizada, haverá o auto-bloqueio. Para evitar que isso ocorra e, ao mesmo tempo, 
aproveitar o efeito da auto-energização para a aplicação do freio, é usual dimensionar os freios 
igualando os dois momentos para um coeficiente de atrito de 25 a 50% acima do valor real. 
O torque causado pela frenagem pode ser calculado pela somatória do produto da força de 
atrito pelo raio do tambor em cada ponto. Assim: 
[27] 
 
 
B
B
B
B C
C
C
C
ddrbpddNM n .)(sen
sen....
sen..
2
1
2
1 max
2
max
DD EE
?
?
??
?
>
>
>
>
ddrrbpfdrdNfM f .)(sen
)cos..(sen....)cos.(.
2
1
2
1 max
max
FF
<
=
<
=
)].2cos().2[cos(
4
)cos.(cos.[)(sen
...
1221
max
max GGGG
G H
I
H
J
d
r
rbpfM f
).2sen().2sen().(2.[).(sen4
...
2112
max
max KKKK
K L
MM
N
drbpM n
0. OPQ fn MMcF
)cos.(cos)(sen
...
.)(sen
sen....
.. 211
max
2
max
max
2
max
2
1
2
1 RR
R
R
R
R
S
S
S
S T
UU
V
U WW
rbpfdrbpfTdNrfT
4.4. Freios de Tambor de Sapatas Internas 
As mesmas equações válidas para freios de tambor de sapatas internas são válidas para freios 
de sapatas internas, dado que seja usado o sistema de coordenadas mostrado na figura 16. Também é 
válida a regra de sinal descrita para a equação de equilíbrio 26, que depende da direção de rotação e do 
seu efeito sobre a força de atrito. A diferença básica entre o sistema da figura 17 e os demais de sapatas 
externas é que o acionamento desse sistema em veículos automotivos é por um cilindro hidráulico, 
enquanto que para sapatas externas o controle é por ar comprimido, circuito elétrico ou magnético, 
dentre outros. 
 
Figura 16 – Esquema de Forças simplificado para Freios de Tambor de Sapata Interna 
Em caminhões e ônibus, o sistema de acionamento por ar comprimido exige que o as sapatas 
seja acionada por um came. O dimensionamento é um pouco diferente, já que a força de aplicação não 
é igual nas duas sapatas. O que é igual é o deslocamento da posição de aplicação, no came. Assim, o 
efeito de auto-energização não é tão pronunciado como em freios com comando hidráulico, já que a 
força F necessária para causar a aplicação dos freios é menor do lado energizado, compensando o 
efeito da energização. A figura 17 mostra um sistema com controle pneumático. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 – Esquema para Freios de Tambor de Sapata Interna com Controle Pneumático 
4.5. Embreagens Cônicas 
Na figura 4 foi apresentada a embreagem cônica e sua dimensão mais caracterísctica, o ângulo 
do cone. A figura 18 repete a figura 4 com a projeção de seu cone do lado direito. Usando o mesmo 
procedimento para desenvolvimento das equações que foi usado para as embreagens de discos, é 
possível determinar uma área de contato, com espessura lateral dr, mas com espessura real dr/sen X . 
Essa é, na realidade, a única diferença na modelagem entre as duas embreagens. Observando as 
equações 1 e 3, nota-seque a contribuição de cada elemento pode ser obtida simplesmente dividindo o 
valor obtido naquelas equações por sen X . Como o valor do ângulo e do seno são constantes, o resultado 
da integração mostrado nas equações 2, 4, 5,6,7 e 8 continua valendo, desde que dividido pelo seno do 
ângulo do cone. 
 
 
Figura 18 – Esquema Geométrico simplificado para Embreagens Cônicas 
Como exemplo, o valor do torque para a modelagem por pressão constante para embreagens 
cônicas é dado por: 
[28] 
 
O valor do número de superfícies em contato é sempre unitário, devido a dificuldade 
tecnológica de construir embregens cônicas múltiplas num mesmo conjunto. 
4.6. Freios de Cinta 
Um tipo especial de freio, não tratado anteriormente, é o freio de cinta, utilizado 
principalmente em máquinas de levantamento. Consiste basicamente em uma correia plana enrolada em 
torno de um tambor, e que impede o movimento desse quando acionada. A figura 19 mostra o freio. 
Nela pode ser observada a alavanca de aplicação de freios, o pino de ancoragem da correia ou cinta, as 
distância entre os pontos de aplicação das forças (braços de alavanca) e a força de aplicação F, além 
Ysen).(3
)(2
22
0
33
0
i
i
rr
rrFfT Z
Z
[
das forças P1 e P2, que são as forças nas extremidades da correia. Para o sentido de rotação mostrado, a 
figura mostra que P1 é maior do que P2, e que a diferença é a força de atrito transmitida na interface 
correia-tambor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19 – Freio de Cinta (à esquerda) e Equilíbrio de um Segmento da Cinta (à direita) 
A figura 19 mostra ainda um segmento da correia em equilíbrio. A força normal dN pode ser 
aproximadamente obtida como função da carga transmitida no elemento por: 
[29] 
 
O aumento de carga dP na cinta também está relacionado a força normal por: 
[30] 
Substituindo [29] em [30], tem-se: 
[31] 
 
Integrando a expressão [31] entre os ângulos inicial (0) e final ( \ ) da correia, tem-se: 
[32] 
 
A equação mostra que, como f e \ são maiores do que zero, o valor de P1 será sempre maior do 
que o de P2. Assim, a carga máxima ocorrerá na posição 1. Em cada segmento, a força normal também 
pode ser dada pela pressão e pela área de contato no seguimento, ou seja: 
[33] 
G
G
dPdPdN .)
2
..(2 JJ
]
drbpdN ...O
dNfdP .^
__
df
P
dPdPfdP ... `a`
b
b c
f
P
P
e
P
Pdf
P
dP d
e
d ff
2
1
0
.
1
2
Quando a carga P é máxima, pela equação 31, a força normal dN também é máxima. Pela 
equação 33, como b e r são constantes, a pressão p também será máxima, permitindo o 
dimensionamento nessa região. Assim: 
[34] 
 
O efeito da força de aplicação F pode ser amplificado pelo deslocamento do ponto de 
pivotamento. A figura 20 mostra o arranjo que leva a essa amplificação. Para esse arranjo, é válida a 
equação de equilíbrio 35. Quanto maior for s, menor será a força necessária para acionar o mecanismo, 
desde que o seguimento de cinta aliviado não seja maior do que o solicitado pela alavanca. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19 – Freio de Cinta (à esquerda) e Equilíbrio de um Segmento da Cinta (à direita) 
 
[35] 
 
5. Conclusões 
Esta apostila procurou apresentar suscintamente os conceitos básicos para o projeto de 
dispositivos para acoplamentos de atrito. Não foi objetivo desta apostila discutir os sistemas de 
acionamento, embora o autor acredite ser importante acrescentar esse tópico em revisões posteriores. A 
idéia foi ir um pouco além do que é apresentado nos livros de Elementos de Máquinas visando 
contribuir para publicações futuras. Como tal, o autor crê que seu objetivo foi alcançado. 
 
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