Slides de Aula Unidade I ESTATÍSTICA

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Unidade I
ESTATÍSTICA
Profa. Alessandra Teixeira
Estatística
 Interpretar processos em que há variabilidade.
 “Estatísticas” indica qualquer coleção de dados quantitativos, 
ou, ainda, ramo da matemática que trata da coleta, da análise, 
da interpretação e da apresentação de massa de dados 
numéricos.
 “Estatística” é um conjunto de métodos e processos 
quantitativos que serve para estudar e medir os fenômenos 
coletivos.
Áreas da estatística
 Estatística descritiva: descreve e analisa determinada 
população, utilizando métodos numéricos e gráficos, para se 
determinarem padrões, em um conjunto de dados e, assim, 
apresentar a informação.
 Estatística inferencial: conjunto de métodos para a tomada de 
decisões, nas situações em que há incerteza, variações ou 
outras generalizações acerca de um conjunto maior de dados.
Classificação dos dados
Dados
Qualitativos
Quantitativos
Discretos
Contínuos
Classificação dos dados
Estado Civil
Grau de 
Instrução
Nº filhos Salário (x. min)
Idade 
(anos-meses)
Casado Ensino Médio 2 19,40 32 10
Solteiro
Ensino 
Superior
*** 4,00 23 03
Solteiro
Ensino 
Fundamental
*** 10,53 25 08
Casado Ensino Médio 1 4,56 48 11
Solteiro
Ensino 
Fundamental
*** 16,22 31 05
Fonte: da autora
Elementos da estatística
 População.
 Amostra.
Formas iniciais de tratamento de dados 
A tabela mostra uma pesquisa sobre o número de filhos por 
funcionário de uma certa empresa:
 Dados brutos
 Rol
0 2 1 2 3 5 2 0 2 1
2 0 0 1 1 2 3 3 1 2
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3 5
Distribuição de frequências
 Organiza os dados de acordo com as ocorrências dos 
diferentes resultados observados.
 Apresentada em tabela ou gráfico.
 Tabela: apresenta de forma resumida um conjunto de dados.
 Tabelas de Frequência. 
 Tabelas de Frequência Relativas.
 Tabelas de Frequência Acumuladas.
Tabelas
Título
Coluna
Indicadora
Cabeçalho
Rodapé
Distribuição de frequências
Gráficos: são usados para visualizar facilmente a natureza da 
distribuição dos dados.
 Um gráfico é uma figura constituída a partir de uma tabela, 
pois é quase sempre possível locar um dado tabulado 
num gráfico.
 Colunas
 Barras
 Linhas
 Setores
 Dispersão
 Histograma
 Polígono de frequência
 Etc.
Gráfico em colunas
Fonte: https://emilioparme.wordpress.com/2012/08/15/utilizando-o-
google-charts-parte-2-multiplas-series-e-graficos-combinados/
Gráfico em barras
Fonte: https://www.tecmundo.com.br/excel/1745-saiba-qual-tipo-de-
grafico-representa-melhor-os-seus-dados-no-excel-2007.htm
Gráfico em linhas
Fonte: https://www.tecmundo.com.br/excel/1745-saiba-qual-tipo-de-grafico-
representa-melhor-os-seus-dados-no-excel-2007.htm
Gráfico em setores
 Total __________360º
 Parte___________ xº
Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=23097
Diagrama de dispersão
Fonte: 
http://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Diagrama_ou_gr%C3%A1fico_de_dispers%C3%A3o
Histograma
Fonte: da autora
0
2
4
6
8
10
12
148. 152. 156. 160. 164. 168. 172. 176.
Número de alunos
estatura
Estatura de 40 alunos
Polígono de frequência
0
2
4
6
8
10
12
148. 152. 156. 160. 164. 168. 172. 176.
Nú
me
ro
 de
 al
un
os
Estatura
Estatura de 40 alunos
Fonte: da autora
Interatividade
São dados os seguintes experimentos:
I. Lançar uma moeda cinco vezes e observar o número de caras.
II. Numa linha de produção, observar dez itens, tomados ao acaso, e 
verificar quantos estão defeituosos.
III. Verificar o tempo que internautas ficam em site de reportagem.
IV. Em uma realização de projeto, verificar a porcentagem do término 
do projeto após 6 meses.
Quais dos itens acima terão eventos classificados como variáveis 
aleatórias discretas?
a) I e II.
b) I e IV.
c) II e IV.
d) III.
e) I, II, III e IV.
Resposta
São dados os seguintes experimentos:
I. Lançar uma moeda cinco vezes e observar o número de caras.
II. Numa linha de produção, observar dez itens, tomados ao acaso, e 
verificar quantos estão defeituosos.
III. Verificar o tempo que internautas ficam em site de reportagem.
IV. Em uma realização de projeto, verificar a porcentagem do término 
do projeto após 6 meses.
Quais dos itens acima terão eventos classificados como variáveis 
aleatórias discretas?
a) I e II.
b) I e IV.
c) II e IV.
d) III.
e) I, II, III e IV.
Distribuição de Frequência – faixa etária de crianças
 Dificulta estabelecer em torno de qual valor tendem a se 
concentrar as idades das crianças, ou, ainda, as que se 
encontram acima ou abaixo de determinada idade.
Dados brutos:
6 10 9 14 7 4
8 11 12 5 9 13
9 10 8 6 7 14
11 6 12 11 15 13
12 11 4 10 7 13
10 9 8 12 13 7
Faixa etária de crianças
 Organizar os dados em rol
4 6 8 10 11 13
4 7 8 10 12 13
4 7 8 10 12 13
5 7 9 10 12 14
6 7 9 11 12 14
6 8 9 11 13 15
Faixa etária de crianças
Tabela de frequência
Idade Frequência
4 3
5 1
6 3
7 4
8 4
9 3
10 4
11 3
12 4
13 4
14 2
15 1
Idade Frequência
4  6 4
6 8 7
810 7
1012 7
1214 8
1416 3
Idade Frequência
4  6 4
6 8 7
810 7
1012 7
1214 8
1416 3
4 6 8 10 11 13
4 7 8 10 12 13
4 7 8 10 12 13
5 7 9 10 12 14
6 7 9 11 12 14
6 8 9 11 13 15
Faixa etária de crianças
Tabela de frequência
 Limites de classe (4  6)
 Amplitude de um intervalo 
de classe
 hi = Li – li
Faixa etária de crianças 
Ponto médio de uma classe
 Ponto médio de uma classe (xi)
Xi = (Ii + Li)/2 x1 = (4 + 6)/2 = 5.
Idade xi Frequência
4  6 5 4
6 8 7 7
810 9 7
1012 11 7
1214 13 8
1416 15 3
Idade xi Fi Fr Fa
4  6 5 4 (4/36)*100 = 11% 4
6 8 7 7 19% 11
810 9 7 19% 18
1012 11 7 19% 25
1214 13 8 22% 33
1416 15 3 8% 36
Total 36 98% ~ 100% 36
Faixa etária de crianças 
Frequências
Mais um exemplo – estatura
Construção da tabela de frequência 
Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às 
estaturas de 40 alunos, que compõem uma amostra dos alunos 
de uma faculdade, resultando a seguinte tabela de valores:
Tabela – Dados Brutos
Estaturas de 40 alunos da faculdade a
166 160 161 150 162 160 165 167 164 160
162 168 161 163 156 173 160 155 164 168
155 152 163 160 155 155 169 151 170 164
154 161 156 172 153 157 156 158 158 161
Estatura
Construção da tabela de frequência
Tabela – Rol
Estaturas de 40 alunos da faculdade a
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173
Rol
Decidir o número de classes da tabela de frequência.
 Regra de Sturges: i = 1 + 3,3*log n =
 i = 1 + 3,3*log 40 = 6,27
 Regra do Quadrado: = 6,32
40
Estatura
Construção da tabela de frequência
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173
 Determinar a amplitude de classe, dividindo a amplitude pelo 
número de classes. 
 Amplitude de variação: 173 – 150 = 23 cm.
 23 / 6 = 3,83 (arredondar o resultado para mais)
Classes Estatura Frequência
1 150  154 4
2 154  158 9
3 158  162 11
Estatura
Construção da tabela de frequência 
Estatura xi fi fr fa
150  154 152 4 0,10 ou 10% 4
154  158 156 9 0,225 ou 22,5% 13
158  162 160 11 0,275 ou 27,5% 24162 166 164 8 0,20 ou 20% 32
166  170 168 5 0,125 ou 12,5% 37
170  174 172 3 0,075 ou 7,5% 40
Total 40 1 ou 100% 40
Medidas de tendência central
 Como podemos descrever estes dados?
 Como podemos resumir estes dados?
 Média.
 Mediana.
 Moda.
0
2
4
6
8
10
12
148. 152. 156. 160. 164. 168. 172. 176.
Nú
me
ro
 de
 al
un
os
Estatura
Estatura de 40 alunos
Estatura Xi Fi
150  154 152 4
154  158 156 9
158  162 160 11
162 166 164 8
166  170 168 5
170  174 172 3
Total 40
Média
 É a soma dos valores de todas as observações dividida pelo 
número de observações envolvidas. 
 Vantagem: leva em conta todos os valores no seu cálculo.
Número de filhos – média 
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3 5
Nº de filhos fi
0 4
1 5
2 7
3 3
4 0
5 1
Total 20
Média ponderada
 Um aluno fez um teste (peso 1) e duas provas (peso 2), tirando 
8 no teste, 5 na primeira prova e 6 na segunda prova. 
 A sua média (ponderada) será: 
 Se o teste e a prova tivessem o mesmo peso (e não importa 
qual o valor do peso, importa apenas a relação entre os 
pesos), a média seria, aproximadamente, 6,33.
Interatividade
Em um levantamento realizado em maio, com os 134 
funcionários da empresa XK, em relação a variável expressa em 
unidades monetárias (u.m.), obteve-se a tabela abaixo. 
Determine a média.
a) 3 salários. 
b) 4 salários.
c) 5 salários.
d) 6 salários.
e) 7 salários.
Salário Nº de funcionários
3 32
5 34
7 40
9 28
d) 6 salários
Média
Salário Nº de funcionários Xifi
3 32 3x32 = 96
5 34 5x34 = 170
7 40 7x40 = 280
9 28 9x28 = 252
saláriosx 95,5
134
798
134
25228017096



Resposta
Mediana (Md)
 Divide uma série ordenada de dados em duas partes iguais. 
Ocupa a posição central. Não é afetada por valores extremos.
 A amostra pode ter número ímpar de elementos ou número 
par de elementos.
Calcular a posição da mediana com a fórmula a seguir: 
 Posição mediana = (n + 1)/2.
Mediana – nº ímpar de elementos
 Um conjunto de dados indica o salário de funcionários de uma 
empresa xi = {6, 9, 3, 5, 2, 9, 5, 5, 8, 7, 1, 7, 2}, em que n = 13. 
 Rol - {1, 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9}
 Posição mediana = (n+1)/2
 Posição mediana = (13+1)/2 = 7 (indica a posição)
 Então
 Md = 5
Mediana – nº par de elementos
 Exemplo: número de filhos
 Posição mediana = (20 + 1) / 2 = 10,5
Então:
 Md = (2 + 2)/2 = 2 filhos
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3 5
Moda (Mo)
 Um conjunto de dados ao dado que ocorre com maior 
frequência. A moda não é afetada por valores extremos. 
É utilizada para fins descritivos apenas, uma vez que é, dentre 
as medidas de tendência, a mais variável de amostra 
para amostra.
 Uma moda: unimodal.
 Duas modas: bimodal.
 Mais de duas modas: multimodal.
 Nenhuma moda: amodal.
Número de filhos – moda 
 Mo = 2 filhos (unimodal).
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3 5
Nº de 
filhos
fi
0 4
1 5
2 7
3 3
4 0
5 1
Total 20
Medidas de dispersão
 Medidas que mostram a dispersão dos dados em torno da 
tendência central.
 A variação se refere a 
quanto os valores 
podem diferir entre 
si e pode ser 
medida por 
números específicos.
 Os números 
relativamente próximos 
uns dos outros têm 
baixas medidas de 
variação, enquanto os valores mais dispersos têm maior 
medida de variação.
0
2
4
6
8
10
12
148. 152. 156. 160. 164. 168. 172. 176.
Nú
me
ro
 de
 al
un
os
Estatura
Estatura de 40 alunos
Medidas de dispersão
 Amplitude
Amplitude Total = Valor máximo – Valor mínimo
 Variância
 Desvio padrão
 Coeficiente de variação
100
x
s
CV
Amplitude – número de filhos
 Amplitude Total = Valor máximo – Valor mínimo
 Amplitude Total = 5 – 0 = 5
Nº de filhos fi
0 4
1 5
2 7
3 3
4 0
5 1
Total 20
Variância – número de filhos
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3 5
𝑠² =
 (𝑥𝑖 − 𝑥 )²
𝑛
 𝑥 = 1,65 
𝑠²
=
 0 − 1,65 2 + 0 − 1,65 2 + ⋯ + 3 − 1,65 2 + (5 − 1,65)²
20
 
𝑠² =
 −1,65 2 + −1,65 2 + ⋯ + 1,35² + 3,35²
20
 
𝑠² =
2,7225 + 2,7225 + ⋯ + 1,8225 + 11,2225
20
 
𝑠² =
30,55
20
 
𝑠² = 1,5275 𝑓𝑖𝑙ℎ𝑜𝑠² 
Número de filhos
Variância (s²)
Nº de filhos fi
0 4 (-1,65)² = 2,72 2,724 = 10,88
1 5 (-0,65)² = 0,42 0,425 = 2,10 
2 7 0,35² = 0,12 0,12  7 = 0,84 
3 3 1,35² = 1,82 1,82  3 = 5,46 
4 0 2,35² = 5,52 5,52  0 = 0 
5 1 3,35² = 11,22 11,22  1 = 11,22 
Total 20  = 30,50
𝑠² =
 (𝑥𝑖 − 𝑥 )² ∙ 𝑓𝑖
𝑛
 
𝑠² =
30,50
20
= 1,525 𝑓𝑖𝑙ℎ𝑜𝑠² 
(𝒙𝒊 − 𝒙 )² (𝒙𝒊 − 𝒙 )² ∙ 𝒇𝒊 
Número de filhos – desvio padrão (s)
𝑠² = 1,525 𝑓𝑖𝑙ℎ𝑜𝑠² 
𝑠 = 1,525 
𝑠 = 1,23 𝑓𝑖𝑙ℎ𝑜𝑠 
Interatividade
Dada a tabela do número de erros de impressão da primeira página de 
um jornal durante 50 dias, assinale a alternativa correta.
a) O tamanho da amostra é igual a 52. 
b) A média é igual a 10,5 erros.
c) O desvio padrão é igual a 17,3 erros.
d) O desvio padrão é igual a 4,2 erros.
e) A variância é igual a 4 erros².
Erros fi xi . fi (xi – x)² * fi
7 11 7 x 11 = 77 (7 – 12,7)² x 11 = 357,4
11 14 11 x 14 = 154 (11 – 12,7)² x 14 = 40,5
15 14 15 x 14 = 210 (15 – 12,7)² x 14 = 74,1
19 9 19 x 9 =171 (19 – 12.7)² x 9 = 357,2
48  = 612  = 829,2
Resposta
a) O tamanho da amostra é igual a 52. 
b) A média é igual a 10,5 erros.
c) O desvio padrão é igual a 17,3 erros.
d) O desvio padrão é igual a 4,2 erros.
e) A variância é igual a 4 erros².
Erros xi fi xi . fi (xi – x)² * fi
5  9 7 11 7 x 11 = 77 (7 – 12,7)² x 11 = 
357,4
9  13 11 14 11 x 14 = 154 (11 – 12,7)² x 14 = 
40,5
13  17 15 14 15 x 14 = 210 (15 – 12,7)² x 14 = 
74,1
17 21 19 9 19 x 9 =171 (19 – 12.7)² x 9 = 
357,2
Total 48  = 612  = 829,2
Coeficiente de variação (CV)
 O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a 
média. O resultado é multiplicado por 100, para que o 
coeficiente de variação seja dado
em porcentagem.
 O coeficiente de variação mede a dispersão em relação à 
média, comparando dois conjuntos de dados diferentes.
100
x
s
CV
Coeficiente de variação
 Idade
 Estatura
100
x
s
CV
100
65,1
23,1
CV %55,74CV
100
161
57,5
CV
%46,3CV
Exemplo
Considere uma população de 40 profissionais liberais que foram 
questionados sobre o número de revistas e/ou jornais que eles 
são assinantes. Obteve-se os seguintes dados:
2 0 4 3 1 2 3 0 2 1
3 1 2 4 4 0 3 2 1 3
2 1 3 0 2 3 2 1 2 3
4 1 2 2 1 3 3 0 2 0
Exemplo
 Rol
Nº de publicações Nº de profissionais
0 6
1 8
2 12
3 10
4 4
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
Exemplo – gráfico 
0
2
4
6
8
10
12
14
1 2 3 4 5
Nº
 de
 pr
of
iss
ion
ais
Nº de publicações
Nº de assinantes
0 1 2 3 4
Fonte: da autora
Exemplo – média e moda
 Média = 1,95 publicação
 Moda
 Mo = 2 publicações
Nº de publicações Nº de profissionais xi.fi
0 6 0x6 = 0
1 8 1x8 = 8
2 12 2x12 = 24
3 10 3x10 = 30
4 4 4x4 = 16
Total 40 (xifi) = 78
95,1
40
78
40
16302480


x
Exemplo – mediana
 Mediana
 Posição: (40 + 1)/2 = 20,5
Então:
 Md = (2 + 2)/2 = 2 publicações
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
Exemplo – amplitude 
 Amplitude Total = Valor máximo – Valor mínimo
 AmplitudeTotal = 4 – 0 = 4
Nº de publicações Nº de profissionais
0 6
1 8
2 12
3 10
4 4
Exemplo – variância 
 Sabendo que a média é 1,95 publicações
Nº de publicações Nº de profissionais (xi – x)².fi
0 6 (0 – 1,95)²  6 = 
22,82
1 8 (1 – 1,95)²  8 = 7,22
2 12 (2 – 1,95)²  12 = 
0,03
3 10 (3 – 1,95)²  10 = 
11,03
4 4 (4 – 1,95)²  4 = 
16,81
Total 40  = 57,91
 
²45,1
40
91,57
²
2
publicação
n
xx
s 


Exemplo – desvio padrão 
 Sabendo que a média é 1,95 publicações
Nº de publicações Nº de profissionais (xi – x)².fi
0 6 (0 – 1,95)²  6 = 22,82
1 8 (1 – 1,95)²  8 = 7,22
2 12 (2 – 1,95)²  12 = 0,03
3 10 (3 – 1,95)²  10 = 11,03
4 4 (4 – 1,95)²  4 = 16,81
Total 40  = 57,91
publicaçãos 20,145,1 
Exemplo – coeficiente de variação
 Um CV igual a 61,54% indica que a dispersão dos dados em 
relação à média é muito grande, ou seja, a dispersão relativa é 
alta.
%54,61100
95,1
2,1
CV
Interatividade
É dada uma tabela de uma amostra das notas 
dos alunos da disciplina de estatística.
I. A amostra tem 5 alunos.
II. A média da nota é igual a 3.
III. A moda da nota é igual a 6,5.
IV. A variância não pode ser usada como 
parâmetro para medir a variabilidade 
dos dados.
Assinale a alternativa com as afirmações incorretas.
a) I.
b) II. 
c) III e IV.
d) I, II e IV.
e) I, II, III e IV.
Nota Alunos
6,3 2
8,4 3
5,3 2
9,5 3
6,5 5
Resposta
d) I, II e IV (alternativas incorretas).
I. A amostra tem 5 alunos.
II. A média da nota é igual a 3.
III. A moda da nota é igual a 6,5.
IV. A variância não pode ser usada como parâmetro 
para medir a variabilidade dos dados.
Nota Alunos xifi
6,3 2 12,6
8,4 3 25,2
5,3 2 10,6
9,5 3 28,5
6,5 5 32,5
Total 15 109,4
3,7
15
4,109
x
ATÉ A PRÓXIMA!