Algebra_Linear (Curso)

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Curso de Álgebra Linear
Professor Msc. Luiz Gomes da Cunha
Um dos problemas mais importantes na matemática é a
resolução de sistemas de equações lineares. Para conhecimento
mais de 75% de todos os problemas matemáticos encontrados
em aplicações científicas e industriais envolvem a resolução de
um sistema linear em alguma etapa. Utilizando os métodos da
matemática moderna muitas vezes é possível reduzir um
complicado problema a um único sistema de equações lineares.
Os sistemas de equações lineares aparecem em áreas como
administração, economia, sociologia, ecologia, demografia,
genética, eletrônica, engenharia e física. Assim, começamos esse
estudo com um breve estudo sobre as matrizes que são à base
dos sistemas de equações lineares.
Introdução
• Uma matriz do tipo m x n é uma tabela de
números dispostos em m linhas e n colunas.
Um exemplo muito conhecido de matriz é o
famoso volante da Mega-Sena.
Matriz
Colunas (n), neste caso 
do volante 10 colunas
Linhas (m), neste caso 
do volante 18 linhas
• As linhas de uma matriz são numeradas de 
cima para baixo, e as colunas da esquerda 
para a direita. Veja:
Matriz – Volante da Mega-Sena
Chamamos de matriz a um conjunto de números reais, ou a
um conjunto de números complexos, dispostos em linhas e
colunas, numa certa ordem e colocados entre colchetes ou
parênteses. Assim, uma matriz real, ou complexa que vamos
denotar por A=(aij)mxn com m linhas e n colunas é
representada da seguinte forma:
Definição
• As matrizes são muito utilizadas na computação
para representarmos translação, rotação, escala
de objetos em computação gráfica, para resolver
sistemas de equações, etc.
• Os sinais ﴾ ﴿ e [ ] são usados como “
molduras ” das matrizes; as letras maiúsculas são
usadas para dar nomes às matrizes; e as letras
minúsculas correspondentes representam seus
elementos. Exemplos:
Aplicações e Representação
• Exemplos:
Representação de Matrizes
Matriz Quadrada
Matriz Retangular
• O símbolo aij representa o elemento da
matriz A, que se encontra na linha i e na
coluna j. Vejamos como é fácil:
Como Referenciar e Localizar
?
• Generalizando, uma matriz A do tipo mxn, pode ser 
representada por:
Generalização de Uma Matriz
Tipos de matrizes
Diagonal (Principal e Secundária)
Diagonal Principal
aij, quando i = j
Diagonal Secundária
Quando i+j = n + 1
• Uma matriz quadrada A=(aij)nxn é uma matriz
diagonal, se todos os elementos que não
pertencem à diagonal principal são iguais a
zero, isto é, aij=0 se i ≠ j.
Matriz Diagonal
Matriz Diagonal
Assim, a forma geral de uma matriz diagonal é dada por:
Matriz Diagonal
• Uma matriz A do tipo mxn é nula quando
todos os seus elementos são iguais a
zero.
Matriz Nula, Matriz Identidade ou Unidade
• É toda matriz diagonal, em que os elementos
da diagonal principal são todos iguais a 1. A
matriz identidade de ordem n é indicada por
In.
• Uma matriz quadrada A= (aij)nxn, é
denominada simétrica se, e somente se,
aij = aji .
Matriz Simétrica
• A matriz oposta de A, indicamos por –A, é
aquela em que o elemento que está na linha i
e na coluna j, é o oposto do elemento que
está na linha i e na coluna j de A.
Matriz Oposta
• Igualdade de Matrizes
Dizemos que duas matrizes A e B, ambas
do mesmo tipo mxn, são iguais (A=B), se
os elementos que ocupam a mesma
posição são iguais.
Operações com Matrizes
• Adição de matrizes
Dadas duas matrizes A e B, ambas do tipo mxn, a
soma de A com B, resulta na matriz C, do tipo
mxn. Nessa nova matriz, o elemento que se
encontra na linha i e na coluna j, é a soma dos
elementos de A e B que se encontram na linha i e
na coluna j ou seja:
Adição de Matrizes
Adição de Matrizes
• Subtração de matrizes
Dadas duas matrizes A e B, do tipo mxn,
subtrair B de A, é o mesmo que somar a
matriz A com a oposta da matriz B.
Subtração de Matrizes
Seja p um número real e A uma matriz do
tipo mxn. O produto do número p pela
matriz A é a matriz B, formada pelos
elementos de A multiplicados por p.
Multiplicação de um Escalar (Número)
por uma Matriz
Multiplicação de um Escalar (Número)
por uma Matriz
Consideremos uma matriz A do tipo mxn e
B uma matriz do tipo nxp. O produto da
matriz A pela matriz B, é a matriz C do tipo
mxp. Na matriz C os elementos são os
produtos das linha de A pelas colunas de B,
isto é:
Multiplicação de matrizes
Multiplicação de matrizes
Observações:
• A multiplicação de matrizes não é 
comutativa, Isto é, em geral A.B ≠ B . A
• A matriz C = A . B tem o número de 
linhas de A e o número de colunas de B.
A mxn . B nxp = C mxp
• O produto da matriz A pela matriz B, só é 
possível quando o número de colunas de 
A é igual ao número de linhas de B.
Multiplicação de Matrizes
Multiplicação de Matrizes
Multiplicação de Matrizes
Multiplicação de Matrizes
Dada uma matriz A do tipo mxn, a matriz
transposta de A, que indicaremos por At
ou A’, é a matriz do tipo nxm, cujas colunas
são as linhas de A na ordem dada.
Matriz Transposta
Matriz Transposta
Matriz Triangular Superior e Inferior
Matriz Anti-Simétrica
Matriz Normal Real
Dadas as matrizes A e B, quadradas de
ordem n,se A.B=B.A=In, então A é a matriz
inversa de B e B é a matriz inversa de A.
Matriz inversa
Matriz Inversa
Algumas propriedades das matrizes inversas
Teorema
Existem basicamente dois tipos de operações elementares:
•Operações elementares sobre as linhas, que vamos indicar
por ℎ;
•Operações elementares sobre as colunas que vamos indicar
por x.
Operações Elementares
Operações Elementares
Aplicação das Operações Elementares
Aplicação das Operações Elementares
Matriz Triangular Superior e Inferior 
(Simultaneamente)
Matriz Linha ou Coluna Equivalente e 
Matrizes Equivalentes
Matriz Linha ou Coluna Equivalente e 
Matrizes Equivalentes
Exemplo
Exemplo
Cálculo da Matriz Inversa pelo Método de Gauss 
(escalonamento)
Teorema: Uma matriz An é inversível se e somente se A é linha
equivalente a In e, nesse caso, toda sequência de operações
elementares que transforma A em In também transforma In em
A-1. Se posicionarmos as matrizes A e I lado a lado, de modo a
formar uma matriz completa [A I] então as operações
elementares nessa matriz produzem operações idênticas em A e
I, por esse teorema ou existem operações elementares que
transformam A em In e In em A
-1 ou, A não é inversível.
Um algoritmo para determinar A-1
Um algoritmo para determinar A-1
Um algoritmo para determinar A-1
Matriz Inversa
Nem toda matriz quadrada tem inversa. Se existir a matriz inversa de A, dizemos
que a matriz A é inversível ou regular ou não singular. Caso contrário, dizemos
que a matriz A é singular.
Quando é que uma matriz A tem inversa?
Uma matriz A de ordem n (n linhas e n colunas) tem inversa quando seu
determinante é diferente de zero ou também quando seu posto é n, ou seja, quando
o posto desta matriz coincide com sua ordem.
Determinante
Determinante
Entenderemos por determinante, como sendo um número ou
uma função, associado a uma matriz quadrada, calculado
de acordo com regras específicas .
É importante observar, que só as matrizes quadradas possuem
determinante .
Regra para o cálculo de um determinante de 1ª e 2ª ordens:
Determinante
Determinante
Exemplo: 
Sabemos que senx.senx + cosx.cosx = sen2x + cos2x = 1 (Relação
Fundamental da Trigonometria) . Portanto, o determinante da matriz
dada é igual à unidade.
Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem (Regra de SARRUS).
SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic
SARRUS (1798 - 1861), foi professor na universidade francesa de
Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de
1833.
http://www.algosobre.com.br/images/stories/matematica/mat_det_09.gif
http://www.algosobre.com.br/images/stories/matematica/mat_det_09.gif
Regra de SARRUS
Regra de SARRUS
Cálculo de Determinantes
Cálculo de Determinantes
Cofator
Cofator
Expansão de Cofatores
Exemplo
Matriz deCofatores
Determine se possível a inversa da matriz A, ao
lado.
Exercício
P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes.
P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) =
det( At ).
P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é
nulo. Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA.
P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele
muda de sinal.
P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é
nulo.
P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um
número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
Propriedades - Determinantes
P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta
com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer.
P8) determinante da matriz inversa : det( A-1) = 1/det(A) .
Se A-1 é a matriz inversa de A , então A . A-1 = A-1 . A = In , onde In é a matriz
identidade de ordem n . Nestas condições , podemos afirmar que
det(A.A-1) = det(In) e portanto igual a 1.
Logo , podemos também escrever det(A) . det(A-1) = 1;
logo , concluímos que: det(A-1) = 1 / det(A).
Notas:
1) se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A-1. Dizemos então que a matriz A é 
SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL .
2) se det A ≠ 0 , então a matriz inversa A-1 existe e é única . Dizemos então que a 
matriz A é INVERSÍVEL . 
Propriedades - Determinantes
P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal
de uma matriz quadrada de ordem n , forem nulos (matriz triangular), o
determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k  IR então det(k.A) = kn . det A
Propriedades - Determinantes
Exemplos:
Propriedades - Determinantes
Exemplos:
Basicamente temos três procedimentos para calcular a inversa
de uma matriz. São os seguintes:
1º Aplicando a definição e resolvendo os sistemas de
equações correspondentes. Este método é muito
trabalhoso quando a ordem da matriz é superior a 2.
2º Pelo método de Gauss.
3º Por determinantes e cofatores.
Cálculo da Inversa de uma Matriz
• Chama-se equação linear toda equação do
tipo:
a1. x1 + a2. x2 + a3.x3 + ... + an. xn = b
• Nesta equação, os números reais a1 , a2 , a3 , ...
an, são os coeficientes; b é o termo
independente e x1, x2, x3,... xn, são as
incógnitas da equação.
Equação Linear
• Numa equação linear, os expoentes de todas 
incógnitas são sempre unitários.
• Exemplos:
1. x + y + z = 9
2. 4x-3y+5z=31
• Uma equação linear não apresenta termo 
misto.
1. x + 4y + 7xz = 3
Equação Linear
• Dizemos que a sequência ordenada ou n-upla de
números reais (α1 , α2 , ... αn ) é solução da
equação a1.x1+a2.x2+a3.x3+...+an.xn = b se, e
somente se, a expressão a1.α1 + a2.α2 +a3.α3
+...an.αn =b for verdadeira.
• Exemplo:
Solução de uma equação linear
• Consideremos a equação linear x-5y+2z=2.
Para resolvê-la escolhemos um termo
qualquer, cujo coeficiente seja diferente de
zero, por exemplo x, e isolamos este termo no
primeiro membro:
x = 2+5y-2z
• Em seguida, atribuímos valores reais
arbitrários a y e z. Efetuando as operações,
encontramos o valor de x correspondente.
Como resolver uma equação linear
Para y-0 e z-0 →x=2+5.0-2.0 →x=2, obtendo a
solução (2,0,0);
Para y=1 e z=0 →x=2+5.1-2.0 → x=7, obtendo a 
solução (7,1,0);
Para y=2 e z=3 →x=2+5.2-2.3 →x=6, obtendo a
solução (6,2,3). E assim por diante.
Como resolver uma equação linear
Pode acontecer que todos os coeficientes das incógnitas
sejam iguais a zero e o termo independente diferente
de zero:
0x+0y+0z+0w = 10
Neste caso, não existe solução para a equação, pois para
qualquer quádrupla obtemos 0=10, que é uma sentença
falsa.
Finalmente, temos o caso em que todos os coeficientes
das incógnitas e o termo independente são iguais a zero:
0x+0y+0z=0 
Neste caso, qualquer tripla é solução da equação.
Como resolver uma equação linear
• Um sistema linear é um conjunto de m
equações lineares nas n incógnitas
x1,x2,x3,...xn:
a11.x1 + a12.x2 + a13.x3 + ...+a1n.xn = b1
a21.x1 + a22.x2 + a23.x3 + ...+a2n.xn = b2
a31.x1 + a32.x2 + a33.x3 + ...+a3n.xn = b3
.............................................
am1.x1 + am2.x2 + am3.x3+… + amn.xn = bm
Definição de sistema linear
Neste sistema, os coeficientes aij e os termos
independentes bi são números reais.
Uma ênupla (α1,α2,α3,...,αn) de números reais é a
solução de um sistema linear de m equações e n
incógnitas, se ela verificar todas as equações do
sistema. O conjunto, cujos elementos são todas as
soluções do sistema, é chamado de conjunto
solução ou solução geral do sistema.
Sistema Linear
Por exemplo, a tripla (1,2,3) é solução do sistema:
Sistema Linear
Quanto ao número de soluções, um sistema
pode ser:
Possível: quando tem pelo menos uma solução,
ou seja, quando o conjunto solução S é não
vazio.
Impossível: quando não tem solução, ou seja,
quando o conjunto solução S é vazio.
Classificação de Um Sistema Linear
Sendo possível, o sistema pode ser:
Determinado: quando existe uma única solução,
ou seja,quando o conjunto solução é unitário S ≠ Ф.
Indeterminado: quando existem infinitas
soluções, ou seja, quando o conjunto solução é
Infinito S é infinito.
Impossível: S = Ф.
Classificação de Um Sistema Linear
Representações de um sistema linear
Sistema escrito de forma matricial
Matriz completa do sistema
Denominamos essa matriz de “Matriz ampliada do sistema”. Cada linha desta matriz é
simplesmente uma representação abreviada da equação correspondente no sistema.
ou
Exemplos
• Método da equação matricial
Resolução de Sistemas Lineares
Resolução de Sistemas Lineares
Resolução de Sistemas Lineares
• Método da Regra de Cramer
Resolução de Sistemas Lineares
Resolução de Sistemas Lineares
Resolução de um sistema (Gauss)
Resolução de um sistema (Gauss)
Se, no sistema S, tivermos 1 = 2 = ... = n = 0, o
sistema é dito homogêneo. A n-upla (0,0,...,0) é
solução de S neste caso e por isso todo sistema
homogêneo é possível ou compatível), essa
solução é dita trivial.
Sistema Homogêneo
Sistemas Equivalentes (~)
Discussão e Resolução de um sistema linear
Discussão e Resolução de um sistema linear
Exemplo
Exemplo
2º Exemplo
• Espaços Vetoriais (Constituem os objetos de estudo da 
Álgebra Linear);
• Muitas grandezas são completamente determinadas
apenas por um número. Exemplos desse tipo são as
medidas de tempo, área, massa, temperatura e
pressão. Estas são chamadas grandezas escalares.
• Contudo, algumas grandezas não são escalares, por
exemplo, as grandezas físicas como velocidade, força,
deslocamento e impulso, para serem completamente
identificadas, precisam, além da magnitude (ou
intensidade), da direção e do sentido.
• Estas grandezas são chamadas grandezas vetoriais ou
simplesmente vetores.
Espaços Vetoriais e Transformações Lineares
Definição e exemplos de Espaços Vetoriais
Definição e exemplos de Espaços Vetoriais
Definição e exemplos de Espaços Vetoriais
Definição e exemplos de Espaços Vetoriais
Espaços Vetoriais
Espaços Vetoriais - Definição
Espaços Vetoriais - Definição
Mostre que o conjunto V, abaixo é um espaço 
vetorial sobre ℝ.
Exemplo
Mostre que o conjunto V, abaixo é um espaço 
vetorial sobre ℝ.
Exemplo
Mostre que o conjunto V, abaixo é um espaço 
vetorial sobre ℝ.
Exemplo
Mostre que o conjunto V, abaixo é um espaço 
vetorial sobre ℝ.
Exemplo
Mostre que o conjunto V, abaixo é um espaço 
vetorial sobre ℝ.
Exemplo
Mostre que o conjunto V, abaixo é um espaço 
vetorial sobre ℝ.
Exemplo
• Geometricamente, vetores são representados
por segmentos de retas orientadas
(segmentos de retas com um sentido de
percurso) no plano e no espaço.
• A ponta da seta do segmento orientado é
chamada ponto final ou extremidade e o
outro ponto extremo é chamado de ponto
inicial ou origem do segmento orientado, por
exemplo:Vetores
• Definimos as componentes de um vetor V no
plano, como sendo as coordenadas ( vx, vy) do
ponto final de V que tem ponto inicial na
origem.
• Representamos um vetor da seguinte forma:
• V = ( vx, vy)
Sistema de coordenadas cartesianas no plano
• Definimos as componentes de um vetor A no
espaço, como sendo as coordenadas ( Ax, Ay,
Az) do ponto final de A que tem ponto inicial
na origem.
Sistema de coordenadas cartesianas no espaço
• Em termos das componentes, podemos
realizar facilmente as operações: soma de
vetores e multiplicação de escalar por vetor.
• A multiplicação de um escalar α por um vetor
V = (v1,v2) é dada por αV = (αv1, αv2)
Soma e Produto de um Escalar por um Vetor
Propriedades
A adição de vetores satisfaz as seguintes propriedades (sejam
u, v e h vetores quaisquer):
A1) u + v = v + u;
A2) u + (v + h) = (u + v) + h;
A3) u + 0 = u, onde 0 = (0,0) é o vetor nulo.
Sejam k1 e k2 são números reais quaisquer, verificamos para a
multiplicação de um vetor por um número as seguintes
propriedades:
M1) k1 (u + v) = k1 u + k1 v;
M2) (k1 + k2) u = k1 u + k2 u;
M3) k1 (k2 u) = (k1 k2) u;
M4) 1 . U = u e 0 . u = 0 (o primeiro zero nº real, o segundo
vetor nulo)
Espaços Vetoriais (Exemplos)
Exemplo1: O conjunto dos vetores no espaço. 
Exemplo2: No lugar de ternas de números reais consideremos como vetores n-uplas de 
números reais. 
V = Rn = {(x1, x2, ..., xn); xi  IR}
Espaços Vetoriais (Exemplos)
Exemplo3: V = M(m,n), o conjunto das matrizes reais m x n com a soma e produto por 
escalar usuais. 
Exemplo4: V = Pn o conjunto dos polinômios com coeficientes reais, de grau menor ou
igual a n (incluindo o zero). As operações são soma de polinômios e multiplicação
destes por números reais.
Espaços Vetoriais (Exemplos)
Exemplo5: Nos exemplos anteriores trabalhamos com espaços vetoriais reais, neste
exemplo apresentamos um espaço vetorial complexo. Seja V o conjunto das matrizes
2x2, cujos elementos são números complexos. As operações são adição de matrizes e
multiplicação destas por números complexos.
Observação: Os espaços vetoriais complexos são mais utilizados em sistemas de
equações diferenciais, sendo assim os espaços vetoriais que estudaremos serão reais
caso contrário será mencionado o uso de um espaço vetorial complexo.
• Um espaço vetorial é um conjunto não-vazio V de
elementos, chamados vetores, sobre os quais
estão definidas duas operações, chamadas soma
e multiplicação por escalar (número real), que
satisfazem alguns axiomas.
• Um axioma ou postulado é
uma sentença ou proposição que não é provada
ou demonstrada e é considerada como óbvia ou
como um consenso inicial necessário para a
construção ou aceitação de uma teoria. Por essa
razão, é aceito como verdade e serve como ponto
inicial para dedução e inferências de outras
verdades (dependentes de teoria).
Espaço Vetorial
Espaço Vetorial
Atenção:
Espaço Vetorial
Espaço Vetorial
Exercício
Exercício
Definição (combinação linear):
v é combinação linear de v1, v2, . . . , vp se pode 
ser expresso como
v = 1v1 + 2v2 + · · · +  pvp = 
onde i ’s são escalares.
Exs:
Combinação Linear (C.L.)
Primeiras Propriedades de um Espaço Vetorial
Primeiras Propriedades de um Espaço Vetorial
Primeiras Propriedades de um Espaço Vetorial
1) (2, 1, 7) é c.l. de (1, 2, 3), (4, 5, 6) e (7, 8, 7)?
Exercícios
Sub-Espaços Vetoriais
Sub-Espaços Vetoriais
Sub-Espaços Vetoriais
Sub-Espaços Vetoriais
Seja w = {(x,y)  IR2; x = 0}, será que w é um sub-
espaço de IR2?
Resolução:
i) 0  w, 0 = (0,0)  w;
ii) (0,y) ; (0,z)  w ⇒ (0,y) + (0,z) = (0, y + z)  w;
iii)K  IR, (0,y)  w = k (0,y) = (0,ky).
A interseção de dois sub-espaços é um sub-espaço?
i) 0  s1, 0  s2 ⇒ 0  s1 ∩ s2
ii) x, y  s1 ∩ s2 ⇒ x + y  s1 ∩ s2
x  s1, y  s1 ⇒ x + y  s1
x  s2, y  s2 ⇒ x + y  s2
iii) K  IR, x  s1 ∩ s2 ⇒ kx  s1 ∩ s2
x  s1 ⇒ kx  s1
x  s2 ⇒ kx  s2
Interseção (Sub-espaços Vetoriais)
x + y  s1 ∩ s2
kx  s1 ∩ s2
Seja x1, x2, ..., xn vetores de um espaço vetorial V. 
Seja k1, k2, ..., kn escalares, isto é, elementos de 
K (corpo). A expressão k1x1 + k2x2 + ... + knxn, é 
denominada de combinação linear, podemos 
denotar uma combinação linear como: 
Combinação Linear


n
i
ii xk
1
Escreva o vetor (3,1) como uma combinação
linear dos vetores (2,3) e (1,2).
(3,1) = k1 (2,3) + k2 (1,2)
.
.
.
5 (2,3) -7 (1,2) = (10, 15) + (-7, -14) = (3,1)
Combinação Linear
O conjunto de todas as combinações lineares é um
sub-espaço.
Sugestão: Indique por L(S) o conjunto de todas as
combinações lineares dos vetores de S.
i) 0  L(S), 0 = 0x1 + 0x2 + ... + 0 xn
ii) x, y  L(S), x = k1x1 + k2x2 + ... + knxn
y = k´1x1 + k´2x2 + ... + k´nxn
x + y = (k1+k´1)x1 + (k2 + k´2)x2 + ... + (kn + k´n)xn
iii)   K, x  S ⇒  x  S
Observação: L(S) espaço gerado por S. O espaço
gerado será representado por [S] os vetores x1, x2,
..., xn são denominados “geradores”.
Proposição
Soma de Sub-espaços
A soma de dois sub-espaços é um sub-espaço.
Demonstração: Sejam U e W sub-espaços de V
então:
i) Se U é um sub-espaço então 0  U. E por ser
por hipótese W sub-espaço 0  W,
consequentemente 0  V, pois 0 = 0 ( U) + 0
( W);
ii) x, y  U  x + y  U
x´, y´  W  x´ + y´  W
x, y  V  x( U) + y( W)  V
Proposição
´)´()(
__________________
´
´
yxyxyx
yyy
xxx



iii) k  K, X  V, então kX  V
X  V  X = u + w, onde u  U e w  W
k X = k (u + w) = ku + kw
Logo k X  V.
Proposição
ku  U
kw  W
Considerando V um espaço vetorial sobre um corpo
K (K → o corpo dos escalares), temos os seguintes
teoremas:
oPara qualquer escalar k ϵ K e 0 ϵ V , k0=0
oPara 0 ϵ K e qualquer vetor u ϵ V, 0u=0
oSe ku=0, para k ϵ K e u ϵ V, então k=0 ou u=0
oPara qualquer k ϵ K e qualquer u ϵ V, (-k)u=k(-u)=-
ku
Teoremas básicos de um espaço vetorial
Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo K e
v1,v2,..., V.
Qualquer vetor V da forma a1v1+a2v2+...+, onde i ϵ K é
chamado uma combinação linear de v1,v2,....
O conjunto de todas essas combinações lineares,
denotado por < v1,v2,..., > ou ger(v1,v2,...,) é chamado
espaço gerado por v1,v2,...,.
Os vetores são combinações lineares de i,j e k. Cada
vetor V=(a,b,c) em , pode ser escrito como uma
combinação linear dos vetores da base canônica
i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1), pois
V=(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=ai+bj+ck
Combinações Lineares
Seja V um espaço vetorial sobre K (corpo). Sejam
v1, v2, ..., vn vetores de V e a1, a2, ..., an escalares
de K
Diremos que os vetores v1, v2, ..., vn são L.I. se e
somente se a1v1, a2v2, ..., anvn = 0 implica que
a1, a2, ..., an = 0 (ai  K). Caso contrário os
vetores são L.D. (Linearmente dependentes).
Isso significa fizer que a1v1, a2v2, ..., anvn = 0 para
algum ai  0.
Dependência e Independência Linear
Ex1: {(1,0), (0,1)} são L.I.
a(1,0) + b(0,1) = 0
(a,0) + (0,b) = 0
(a,b) = (0,0) ⇒ a = b = 0
Ex2: {(1,2), (2,4)} são L.I.?
Exemplos
Se um vetor é múltiplo de outro então eles são L.D. e
reciprocamente.
Dem: Sejam u e v vetores onde u = k v ⇒ u – kv = 0.
au + bv = 0, como eles são L.D. então a ou b é diferente
de zero. Dizemos que seja a  0 então existe 1/a tal
que:
Proposição
   
kvuentãok
a
b
o
v
a
b
uv
a
b
u
a
bv
a
au
a


,log
00.
111
{(1,2,3), (1,0,4), (0,0,0)} são L.D.?
Exercício
Exercício
Exercício
• Dada uma sequência que possua o vetor zero 
esses vetores serão L.D.
• Se v1, v2, ..., vn são L.I.. Prove que existe uma 
única maneira de escrever u como comb. 
Linear dos v´s.
Teorema
Definição (conjunto gerado)
Definição (conjunto gerado)
Exemplos
Conjunto Gerado
Conjunto Gerado
Dar um sistema de geradores para cada um dos
seguintes sub-espaço do IR3
a) U = {(x,y,z), x – 2y = 0};
b) V = {(x,y,z), x + z = 0 e x – 2y = 0};
Exercício
       
 .)1,0,0(),0,1,2(
)1,0,0()0,1,2(,0,00,,2,,2zy,x,
2yx0 2y -x
:Resolução
0} 2y – x z),y,{(x, U
égeradoespaçooLogo
zyzyyzyy 


Se S1e S2 são subconjuntos finitos e não vazios
de V, se S1  S2, se S1 é L.D. então S2 também é
L.D.
Teorema
 
 
000......
},,...,,,...,,{
10,0...
..,...,,
12211
1212
2211
211






tmnnn
tmnn
inn
n
vvovvavava
vvvvvvSTome
niaondevavava
hipóteseporDLéquevvvSSeja
Se S1 e S2 são subconjuntos finitos e não vazios
de V, se S1  S2, se S1 é L.I. então S2 também é
L.I. este é uma contraposição do teorema
anterior, similar demonstração.
Teorema
Teorema
   
Sdesudoslinearcombéw
entãoDLéuuuSeILéuuuSSe nn
´.
..,...,,´..,...,, 2121 
Dem.:
 
nn
nn
nn
nn
nnn
uuuw
wuuu
vem
b
pormosmultiplicadonde
b
bSe
falsoéqueoDLseriauauaua
entãobfossesepoisbqueconcluimosdaqui
bwuauaua
ressãoaFormamos
aaauauaua









...
0...
1
*,
1
,0
...,0...
,0,0
0...
exp
0...0...(*)
2211
2211
2211
2211
212211
Def.: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo
K. Seja S um subconjunto de V diremos que S é
uma base de V se e somente se
i) Os vetores de S são L.I.
ii) S gera V.
Base e Dimensão
Verifique se os vetores (1,0) e (0,1) formam uma 
base para o IR2.
i) x (1,0) + y (0,1) = 0
(x,0) + (0,y) = 0
(x+0,0+y)=0
(x,y)=(0,0) ⇒ x = y = 0
ii) (a,b)  IR2
(a,b) = a(1,0) + b(0,1) = (a,0)+(0,b) = 0
(1,0),(0,1) é uma base para o IR2, onde
Exemplo
)1,0(
)0,1(


j
î

Verifique se os vetores (1,0,0) e (0,1,0) formam uma
base para o IR3.
i) x(1,0,0) + y(0,1,0) = 0
(x,0,0) + (0,y,0) = 0
(x,y,0) = (0,0,0) ⇒ x = 0 = y, logo são L.I.
ii) (a,b,c)  IR3
(a,b,c,) = x(1,0,0) + y(0,1,0)
(a,b,c) = (x,0,0) + (0,y,0)
(ab,c) = (x,y,0) ⇒ a=x,b=y,c=0(não gera)
Exemplo
Verifique se os vetores (1,1) e (0,2) formam uma
base para o IR3.
.
.
.
(1,1) e (0,2)
Exemplo
Seja V um espaço vetorial finitamente gerado.
Então duas bases quaisquer de V tem o mesmo
número de vetores.
Def.: Denominamos de dimensão o número de
vetores da base.
Teorema da Invariância
Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Se
{u1, u2, u3, ..., ur}  V é um subconjunto L.I. com r vetores e r < n
então, existem n-r vetores ur+1, ..., un  V de maneira que
B = {u1,...,ur, ur+1, ...,un}
Observação: B é a parte dos vetores que faltam para completar o
espaço vetorial.
Teorema do Complemento
Seja V um espaço vetorial de u e w subespaços de
V, então
Teorema da Dimensão
vuvuvu dimdim)dim()dim( 
Dar uma base e a dimensão do subespaço W de IRu
onde W = {(x,y,z,t) IRu; x-y=y e x – 3y+t=0}.
Exemplo
Sendo W e U sub-espaços do IRn de dim 3, que
dimensões pode ter W+U se (1,2,1,0) , (-1,1,0,1),
(1,5,2,1) é um sistema de quadrados de W ∩ U?
dim U = 3, dim W = 3; dim (W + U)=? Sabendo
que:
Exercício
6)dim()dim(
33)dim()dim(
dimdim)dim()dim(



uwuw
uwuw
uwuwuw
Exercício
    2dim,1130;0121
0000
1130
0121
1130
1130
0121
1251
1011
0121



































Exercício
426)dim(
6)dim(2
2)dim(
33)dim()dim(
dimdim)dim()dim(





vw
uw
uw
uwuw
uwuwuw
No espaço vetorial IR3 consideremos os seguintes
sub-espaços: U = {(x,y,z)  IR3; x = 0} e V
={(1,2,0),(3,1,2)} determinar uma base e a dimensão
dos sub-espaços U, V, U+V e UV.
Exercício
Dem: Seja B = {u1,u2,u3,...un} uma base de UV
com são vetores de U e V, e são L.I. então pelo
teorema do complemento é possível com eles
formar uma base para U e uma base para V. Seja
B2 = {u1,u2,u3,...ur, v1, v2, ..., vs} uma base para U
e B2 = {u1,u2,u3,...ur, w1, w2, ..., wt}, considere os
vetores B3 = {u1,u2,u3,...ur, v1, v2, ..., vs, w1, w2, ...,
wt}, vamos provar que B3 é uma base para U + V.
Teorema da Dimensão
Seja w  U + V, então w = u + v, onde u U e v  V
temos que:
w = u + v = 1u1+ 2u2+...+ rur+1v1+ 2v2+...+ svs+
´1u1+ ´2u2+...+ ´rur+ ´1w1+ ´2w2+...+ ´twt
dim(UV)=r
dim(U+V)=r+s+t
______________
dim(UV) + dim(U+V) = 2r + s + t
dim U = r + s; dim V = r + t
dim U + dim V = 2r + s + t
Teorema da Dimensão
vuvuvu dimdim)dim()dim( 
Determine as coordenadas do vetor u=(2, 1, 4) o
em relação às bases:
a) Canônicas
b) B={(1, 1, 1);(1, 0, 1);(1, 0, -1)} 
Exercícios
Determine as coordenadas do vetor W =(2,1,0)
em relação á base B(v1,v2,v3) onde
v1 =(1,1,0), v2 = (0,1,1) e v3 = (1,0,1)
Exercícios
Exercícios
Transformação Linear
Sejam V e W espaços vetoriais sobre IR seja T uma aplicação 
(Transformação) de V em W. Dizemos que T é uma transformação 
linear de V em W se e somente se:
i) x, y  V; T(x+y) = T(x) + T(y)
ii) a  IR, x  V; T(ax) = a T(x)
Exemplo 1: Seja 0 : u ⇾ V uma aplicação assim definida
0(u) = 0, ⩝ u  U, mostre que 0 é uma transformação linear.
Resolução:
i) 0(x+y) = 0 = 0 + 0 = 0(x) + 0(y)
ii) 0(a) = 0 = a . 0 = a . 0(x)
Transformação Linear
Exemplo 2: Seja I : u ⇾ U uma aplicação assim definida
I(u) = u, ⩝ u  U, mostre que I é uma transformação linear.
Resolução:
i) I(x+y) = x + y = I(x) + I(y)
ii) I(ax) = ax = a I(x)
Transformação Linear
Exemplo 3: Mostre que a função F : IR ⇾ IR definida como F(x)
= ax +b, não é uma função linear.
I) F(x+y) = a(x+y) + b = ax + ay + b = (ax+b) + ay, logo a F(x) não
é uma função linear.
Transformação Linear
Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo IR.
Denominamos de núcleo de uma transformação linear T : V ⇾
W ao conjunto de todos os v  V tais que T(v) = 0, isto é
Ker (T) = {v  V; T(v) = 0}
Exercício: Seja F : IR2 ⇾ IR2 o operador linear definido por 
F(x,y) = (x,0), determine o núcleo de F.
Ker (F) = {(x,y); F(x,y) = 0}
F(x,y) = 0, logo (x,0) = 0 então (x,0) = (0,0), x = 0, o núcleo é o 
eixo dos y. 
Núcleo e imagem de uma 
Transformação Linear
1) Mostre que a função F : IR ⇾ IR definida como F(x) = ax é 
uma transformação linear.
2) Seja F : IR2 ⇾ IR3 a transformação linear dada por F(x,y) = 
(0,x+y,0) determine o kernel de F.
Exercícios Propostos
O núcleo de uma transformação linear é um
sub-espaço
Dem:
i) 0S
ii)x,y S → x+y S
iii)  K, x S → x S
Proposição
O núcleo de uma transformação linear é um
sub-espaço
Dem:
i) 0Ker(T); T(0) = 0, 0Ker(T)
ii)x  Ker(T), y  Ker(T); T(x)=0, T(y) = 0
T(x+y) = T(x) + T(y) = 0 + 0 = 0, x+y  Ker(T)
iii)  K, x  Ker(T)
T(x) =  T(x) =  . 0 = 0, x  Ker(T)
Proposição
Seja T uma transformação linear de V em W, isto
é, T: V ⇾ W
V e W são espaços vetoriais sobre um corpo K,
denominamos imagem de uma transformação
linear T ao conjunto:
Imagem
 )(,;)Im( vTwVvWwT 
Seja V um espaço vetorial sobre IR. Dado a  IR
denominamos de homotetia determinada pelo
escalar  a aplicação
Ha: V  V tal que
Ha(u) = au u  IR. Mostre que Ha é um
operador linear.
Proposição
Mostre que Ha é um operador linear.
i) Ha(u+v) = a(u+v) = au + av = Ha(u) + Ha(v)
ii) Ha(u) = a (u)= (a) u= (au) = Ha(u)
Demonstração
Transformação Linear
Transformação Linear
Injetora
Sobrejetora
bijetora
T: VW
Def.: Uma Transformação Linear T: VW é injetora quanto
x ≠ y  T(x) ≠ T(y)
ou
T(x) = T(y)  x = y
Def.: Uma Transformação Linear T: VW é sobrejetora quanto
w  W,  v  V; w = T(v);
Def.: Uma Transformação Linear T: VW é bijetora quanto
possui as duas características anteriores.
Transformação Linear
Se u e v são espaços vetoriais de dimensão
finitas sobre IR, T: U  V uma trans. Linear
então são equivalentes as seguintes afirmações:
1) T é sobrejetora
2) T é bijetora
3) T é injetora
4) T é trans. Base de U em base de V
Proposição
Dem.: 1)  2)  3)  4)  1)
Vamos demonstrar 1)  2), de acordo com 1) T é 
sobrejetora então como T é sobrejetora Im(T) = V, 
baseado a difinição de aponta que dim U = dim Ker(t) 
+ dim Im(T), mas U e V tem dimensões finitas, 
suponhamos n então:
dim U = n e dim V = n, logo aplicando a formula 
teremos: 
n = dim Ker(T) + n  dim Ker(T) = 0
Sendo Ker(T) = {0} então a aplicação é injetora. E 
sendo T sobrejetora e Injetora então T é bijetora.
Demonstração
Uma aplicaçãolinear T: U  V é injetora se e
somente se Ker(T) = {0}.
Exercício Proposto
Seja F: IR3 ⇾ IR2 definida por F(x,y,z)=(x+y,2x-y+z) 
essa transformação é injetora?
F(x,y,z)=0, (x+y,2x-y+z) = (0,0)
F: IR3 ⇾ IR3 , F(x,y,z) = (x+y,2x-y,y)
Exercícios Resolvidos

























130
011
03
0
02
022
02
)2(0
zy
yx
zyx
yx
zyx
yx
Sejam U e V espaços vetoriais sobre IR. Uma
transformação linear T: U ⇾ V é um isomorfismo se
e somente se a transformação linear for bijetora.
Observação: Se o conjunto U for igual ao conjunto
V, denominamos de automorfismo.
Isomorfismo e Automorfismo
Mostre que a transformação linear F: IR2 ⇾ P(IR),
definida por F(x,y) = x + (x+y)t é um isomorfismo.
Isomorfismo e Automorfismo
 
 
      
)()(´),́(),(
´)´(´)(
´)´(´
´,́´,́,)(
´,́
,




FFyxFyxF
tyxxtyxx
tyyxxxx
yyxxFyxyxFF
yx
yx






Mostre que a transformação linear F: IR2 ⇾ P(IR),
definida por F(x,y) = x + (x+y)t é um isomorfismo.
Isomorfismo e Automorfismo
    
   
   )(),(
,,)(



FyxFtyxx
tyxxtyxx
yxFyxFF



Mostre que a transformação linear F: IR2 ⇾ P(IR),
definida por F(x,y) = x + (x+y)t é um isomorfismo.
Isomorfismo e Automorfismo
 
    00,0)(
00
0
00)(
0),(
0)(
:






FKer
yyx
x
ttyxx
yxF
FKer
Injetora
Mostre que a transformação linear F: IR2 ⇾ P(IR),
definida por F(x,y) = x + (x+y)t é um isomorfismo.
Isomorfismo e Automorfismo
),(
)(
:
aba
aby
bya
byx
xa
tyxxbta
Bijetora






Exemplo:
Sejam F(x,y,z) = (x,x+y) e G(x,y,z) = (x,x-2y), duas
transformações lineares do IR3 em IR2, calcule
(F+G)(x,y,z).
Resolução:
(F+G)(u)
(F+G)(x,y,z) = F(x,y,z) + G(x,y,z) = (x,x+y)+(x,x-2y) =
(2x,2x-y).
Conjunto de Transformações Lineares 
(Exemplo)
Sejam U e V espaços vetoriais sobre um corpo IR.
Sejam F e G transformações lineares de U em V
indicaremos por L(U,V) ao conjunto de todos as
transformações lineares de U em V.
Definindo-se a soma de duas transformações
lineares F e G assim teremos:
(F+G)(u) = F(u) + G(u)
Conjunto de Transformações Lineares
A soma de duas transformações lineares é uma
transformação linear.
Demonstração: Sejam F e G  L(U,V), temos (F+G)
(u+v).
(F+G)(u+v) = F(u+v) + G(u+v)=
=F(u) + F(v) + G(u) + G(v) =
=F(u) + G(u) + F(v) + G(v) =
(F+G)(u) + (F+G)(v)
T(u) + T(v)
Consequência da Definição
(F+G)(u) = F(u)+G(u) = F(u) + G(u) = (F(u) +
G(u)) = (F+G)(u).
Consequência da Definição