Exercicio FIXACAO de Algebra Linear

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Exercício de Álgebra Linear - Exercício de Fixação 1 - 
Tentativa 1 de 3 
 
 
1 - 
 
 
A - x = 1 e y = 4 
B - x = 1 e y = 1 
C - x = -1 e y = -4 
D - x = -1 e y = 1 
E - x = -1 e y = -1 
 
2 - Determine o ponto de interseção entre as retas x - 2y = 5 e 3x + 4y = 6. Assinale a 
alternativa correta: 
A - (1,1) 
B - (1,-3) 
C - (3,1) 
D - (-3,1) 
E - (3,-1) 
 
3 - Determine o subespaço no R3 gerado pelo vetor v = (2,4,1) . 
A - [v] = (y, -y, z) 
B - [v] = (z, -x, y) 
C - [v] = (y, 2y, -y) 
D - [v] = (2z, 4z, z) 
E - [v] = (2x, x, 4x) 
 
4 - A definição de Base de um espaço vetorial V implica no menor conjunto de vetores no 
espaço vetorial V, que representa completamente V. Podemos dizer que uma base de V é um 
conjunto de vetores tais que, qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear 
desses vetores, logo é gerado pelos vetores da base. Então, um conjunto de vetores A será 
uma base de V, se e somente se: 
A - O conjunto A for LI. 
B - O conjunto A gerar V. 
C - O conjunto A for LD e o conjunto A gerar V. 
D - O conjunto A for LI e o conjunto A gerar V. 
E - O conjunto A for LD. 
 
5 - Se a matriz A = (αij)10x10 onde αij = i - j e a matriz B = (αij)7x8 onde bij = i + j2. Sabe-se que a 
matriz C é dada por C = A + B. Assinale a alternativa que representa o elemento C65. 
A - 12 
B - 24 
C - 28 
D - 32 
E - 48 
 
 
6 - É toda matriz que possui o número de linhas diferentes do número de colunas. Estamos 
nos referindo a: 
A - Matriz coluna; 
B - Matriz Diagonal; 
C - Matriz linha; 
D - Matriz quadrada; 
E - Matriz retangular; 
 
7 - 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - RESPOSTA CERTA 
 
8 - Se a matriz A = (αij)2x2 onde αij = 2i + j, a soma da diagonal principal é: 
A - 12 
B - 15 
C - 3 
D - 6 
E – 9 
 
9 - Considere os vetores v1 = (5, 4, 2), v2 = (-5, -3, -2) e v3 = (0,1,0) pertencentes ao R3. Os 
escalares a e b, quando escrevemos v3 como combinação linear v1 e v2, vale: 
 
A - a = 0 e b = -1 
B - a = -1 e b = 0 
C - a = 0 e b = 1 
D - a = 1 e b = 0 
E - a = 1 e b = 1 
 
10 - 
 
A - C21 = 3 
B - C12 = 3 
C - C22 = 3 
D - C11 = -1 
 
 
Exercício de Álgebra Linear - Exercício de Fixação 1 - 
Tentativa 2 de 3 
 
 
1 - O cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem n pode ser resolvido por 
meio da: 
A - definição; 
B - Divisão; 
C - Multiplicação; 
D - Soma; 
E - Supervisão; 
 
2 - O estudo dos determinantes está associado às matrizes quadradas. Por meio dos métodos 
de resoluções com determinantes é possível, por exemplo, verificar se um sistema de 
equações possui ou não uma solução. A existência das matrizes inversas também é constatada 
através: 
A - das funções apresentadas; 
B - do cálculo das arestas; 
C - do cálculo dos determinantes; 
D - do cálculo dos números primos; 
E - do cálculo dos números reais; 
 
3 - 
A -0 
B - 1 
C - 2 
D - 3 
E - 4 
 
4 – Assinale a alternativa que corresponde ao valor do determinante da matriz dada: 
 
A - 100 
B - 1000 
C - 110 
D - 120 
E - 1200 
 
5 - Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não vazio de V. O 
subconjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à 
adição e à multiplicação por escalar definidas em V. 
(http://paginapessoal.utfpr.edu.br/sheilaro/geometria-analitica-e-algebra-
linear/EspaosVetoriais.pdf) 
Ou seja, é dito um subconjunto ou subespaço vetorial, se o conjunto atender as relações i. e ii. 
Considere S o subconjunto de R³ formado por todos os vetores da forma (x, y, 1), onde x e y 
são números reais quaisquer com as operações de multiplicação e adição usuais. Verifique se S 
é um subespaço de R³ assinale a opção correta: 
 
A - É um subespaço vetorial, pois atende as duas relações. 
B - Não é um subespaço, pois não atende apenas a primeira relação. 
C - Não é um subespaço, pois não atende apenas a segunda relação. 
D - Não é um subespaço, pois não atende as duas relações. 
E - É um subespaço vetorial, pois atende a primeira relação apenas. 
 
6 - Para conseguir definir um espaço vetorial é necessário satisfazer certas condições que são 
chamados de axiomas do espaço vetorial. Estes axiomas podem ser separados em axiomas da 
adição e da multiplicação. Desta forma, considere as afirmativas: 
 
A(s) afirmativa(s) correta(s) é(são): 
 
A - Apenas I 
B - Apenas II 
C - Apenas III 
D - Apenas I e IV 
E - Apenas II e III 
 
7 - É toda matriz que possui o número de linhas diferentes do número de colunas. Estamos nos 
referindo a: 
A - Matriz coluna; 
B - Matriz Diagonal; 
C - Matriz linha; 
D - Matriz quadrada; 
E - Matriz retangular; 
 
8 - Escrevendo um vetor v como uma combinação linear de uma base A, os escalares a1, a2, 
a3, ... an, são chamados de componentes da base. Considerando a base A = {(1,2),( 1,3)} do R2 
e o vetor v = (4,5), as componentes desta bases são: 
A - x = 7 e y = -3 
B - x = 3 e y = -3 
C - x = 3 e y = -7 
D - x = -7 e y = -7 
E - x = -7 e y = -3 
 
9 - Sabendo-se que o det A = -2, então é correto afirmar que: 
A - det At = -2 
B - det At = 0 
C - det At = -2 det A 
D - det At = 2 det A 
E - det At = 2 
 
10 - 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - RESPOSTA CERTA 
 
 
Exercício de Álgebra Linear - Exercício de Fixação 1 - 
Tentativa 3 de 3 
 
1 - Um espaço vetorial (sobre o conjunto dos Reais de escalares) é um conjunto equipado com 
as operações de soma de vetores e de multiplicação por escalar e que satisfazem as 
propriedades usuais dos espaços n-ésimos. A ideia é que vários conjuntos mais abstratos 
possuem a estrutura parecida com a dos espaços n-ésimos e esta abordagem permite que 
façamos uma análise sistemática de todos estes casos. De forma mais precisa, um espaço 
vetorial sobre o conjunto dos Reais é um conjunto V, cujos elementos são chamados vetores, 
equipado com duas operações: Multiplicação e Adição. Sendo que cada uma deve ser 
verificada em 4 axiomas. Os axiomas da multiplicação são os seguintes: 
 
Disponível em: 
(https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s5espax00e7os_vetoriais.html) Modificado 
, Acesso em: 24/04/2020. 
Observando os dados sobre espaço vetorial verifique a operações de multiplicação para o 
seguinte conjunto de pares ordenados do R², com: 
 
Com isso, assinale a alternativa correta: 
 
A - Apenas as propriedades a e b são atendidas 
B - Apenas as propriedades a, b, e c são atendidas 
C - Apenas as propriedades b, c e d são atendidas 
D - Apenas as propriedades a, c e d são atendidas 
E - Apenas as propriedades a, b e d são atendidas 
 
2 - 
 
A - 10 
B - 11 
C - 12 
D - 13 
E - 9 
 
3 - Ao tratar do assunto de base de um espaço vetorial, temos que ter em mente que Base é o 
menor conjunto de vetores no espaço vetorial V, que representa completamente V. Para se 
determinar tal conjunto, deve-se conseguir qualquer vetor de V que pode ser escrito como 
combinação linear desses. 
 
Desta forma, o conjunto B = { (3,3,1),(2,4,1 ), (9,9,3) } é uma base para o R3? 
 
A - Sim, pois o conjunto B é LI 
B - Sim, pois o conjunto B é LD 
C - Não, pois o conjunto B é LI 
D - Não, pois o conjunto B é LD 
 
E - Não, pois o conjunto B é LI e LD ao mesmo tempo 
4 - 
 
A - O valor de a = -2 e b = 0 
B - O valor de a = 0 e b = 2 
C - O valor de a = 1 e b = -2 
D - O valor de a = 2 e b = -1 
E - É impossível encontrar os valores de a e b 
 
5 - Determine o subespaço no R3 gerado pelo vetor v = (2,4,1) . 
 
A - [v] = (y, -y, z) 
B - [v] = (z, -x, y) 
C - [v] = (y, 2y, -y) 
D - [v] = (2z, 4z, z) 
E - [v] = (2x, x, 4x) 
 
6 - A matriz C é originada pelo produto da matriz A com a matriz B, C = A3x3 x B3x4. É correto 
afirmar que: 
A - A matriz C possui 3 linhas e 3 colunas. 
B - A matriz C possui 3 linhas e 4 colunas. 
C - A matriz C possui 4 linhas e 3 colunas. 
D - A matriz C possui 4 linhas e 4 colunas. 
E - Não é possívelefetuar a multiplicação entre as matrizes. 
 
7 – Considere o conjunto A = {(1,3), (3,7), (-3, -9)} pertencente ao R2. Pode-se afirmar que: 
 
A - O conjunto A forma uma base para o R2, pois é LD. 
B - O conjunto A forma uma base para o R2, pois é LI. 
C - O conjunto A não forma uma base para o R2, pois é LD. 
D - O conjunto A não forma uma base para o R2, pois é LI . 
E - O conjunto A forma uma base para o R2, pois é LI e LD . 
8 - Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não vazio de V. O 
subconjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à 
adição e à multiplicação por escalar definidas em V. 
(http://paginapessoal.utfpr.edu.br/sheilaro/geometria-analitica-e-algebra-
linear/EspaosVetoriais.pdf) 
Ou seja, é dito um subconjunto ou subespaço vetorial, se o conjunto atender as relações i. e ii. 
Considere S o subconjunto de R³ formado por todos os vetores da forma (x, y, 1), onde x e y 
são números reais quaisquer com as operações de multiplicação e adição usuais. Verifique se S 
é um subespaço de R³ assinale a opção correta: 
 
A - É um subespaço vetorial, pois atende as duas relações. 
B - Não é um subespaço, pois não atende apenas a primeira relação. 
C - Não é um subespaço, pois não atende apenas a segunda relação. 
D - Não é um subespaço, pois não atende as duas relações. 
E - É um subespaço vetorial, pois atende a primeira relação apenas. 
 
9 - 
 
A - C21 = 3 
B - C12 = 3 
C - C22 = 3 
D - C11 = -1 
E - C11 = 2 
 
10 -É uma tabela em forma retangular, composta por números reais, funções, polinômios, 
números complexos ou outros. Ela é, na maioria das vezes, representada por uma letra 
maiúscula. Seus elementos são dispostos em linhas e colunas, que são apresentados dentro de 
colchetes ou parênteses. Estamos nos referindo a: 
A - Matriz; 
B - Matriz-Mãe; 
C - Planilhas; 
D - Tabela; 
E - Tabela-Verdade; 
 
 
Exercício de Álgebra Linear - Exercício de Fixação 2 - 
Tentativa 1 de 3 
 
1 - Seja T:R2->R2 o operador linear dado por T(x,y)=(x+2y,3x+2y). Com base nesse operador, 
coloque V quando a alternativa for verdadeira e F quando falsa. 
I. A matriz de T com relação à base canônica do R2 é [1 2; 3 2]. 
II. O polinômio característico de T é p(a)=a^2-3a-4 
III. Os autovalores de T são a1=2 e a2=-4. 
Assinale a alternativa correta: 
A - V, V, V 
B - V, F, V 
C - V, V, F 
D - V, F, F 
E - F, V, V 
 
2 - Seja a transformação linear definida por T(-1,2)=(1,-1,3) e T(1,-1)=(3,2,-2). Marque a 
alternativa que compõe a transformação T(x,y). 
A - T(x,y)=(7x+4y,3x+y,-x+y) 
B - T(x,y)=(-2x-6y,3x+3y,-x+y) 
C - T(x,y)=(x,-y,-x) 
D - T(x,y)=(7x+3y,4x+2y,-3x+4y) 
E - T(x,y)=(4y,2x,2y) 
 
3 - Considere os vetores u=(1,2) e v=(2,3), além da transformação T(x,y)=(1,1) 
A - T(u)=T(v) 
B - T(u)=(1,2) e T(v)=(2,3) 
C - T(u) é diferente de T(v) 
D - T(u)=(2,3) e T(v)=(1,2) 
E - T(u)=T(v)+(1,1) 
 
4 - Dizemos que três vetores são a base de R3, quando geram qualquer vetor do espaço 
vetorial a partir de alguma combinação linear dos vetores da base. 
Seja os vetores u=(1,-1,-2), v=(2,1,1) e w=(k,0,3). 
Assinale a alternativa com o valor de k para que os vetores u, v e w formem uma base do R3. 
A - k != 8 
B - k != -7 
C - k != 5 
D - k != -9 
E - k != 6 
 
5 - Dizemos que u é combinação linear dos vetores v1, v2 e v3, quando existem coordenadas 
reais a1, a2 e a3 que satisfazem a equação: 
 
u = a1v1+a2v2+a3v3 
 
Considere os vetores u=(-4,10,5),v1=(1,1,-2), v2=(2,0,3), v3=(-1,2,3). Assinale a alternativa que 
descreve o vetor u como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3. 
A - u=v1-2v2+3v3 
B - u=2v1-v2+4v3 
C - u=-2v1+v2+4v3 
D - u=10v1-7v2+4v3 
E - u=2v1-v2-4v3 
 
6 - Seja T:R2->R2 uma transformação linear, definida por: 
T(x,y)=(x-2y,x). Determine a matriz de transformação, considerando a base canônica de R2. 
A - T=[0 -2; 0 1] 
B - T=[1 1; -2 1] 
C - T=[1 0; 1 1] 
D - T=[1 -2; 1 0] 
E - T=[1 -2; 2 5] 
 
7 - Considere os vetores do R3, u=(-1,2,3), v=(3,-4,5) e w=(8,1,2). Dado que dois vetores são 
ortogonais se o seu produto interno é zero, assinale a alternativa correta. 
A - Apenas os vetores u e v são ortogonais. 
B - Os três vetores são ortogonais. 
C - Apenas os vetores u e w são ortogonais. 
D - Os vetores u, v e w não são ortogonais entre si. 
E - Não existe produto interno entre esses vetores. 
 
8 - 
 
A - x - y + z + 2w = 0 
B - 2x - y + 4z + w = 0 
C - -2x + y - 2z + w = 0 
D - x - y + 2z - 2w = 0 
E - x + 2y + 3z - 2w = 0 
 
9 - Considere a transformação definida por 
T(x,y,z)=(1,2,x+y+z) 
Leia as afirmativas abaixo e marque a alternativa correta: 
 
Sendo assim, analise as sentenças a seguir e assinale V se a sentença for verdadeira e F se a 
sentença for falsa: 
 
• ( )T é uma transformação linear. 
• ( )O núcleo de T É N(T)={(0,0,0)} 
• ( )T(1,1,1)=(1,2,3) 
• ( ). 
• ( ). 
A sequência correta é: 
A - V, V, V 
B - F,F,V 
C - V, V, F 
D - V, F, F 
E - F, V, V 
 
10 - Assinale a alternativa que representa a dimensão do espaço vetorial S={(x,y,z) ∈ 
R3 / x+2y+3z=0}. 
A - dim = 0 
B - dim = 1 
C - dim = 2 
D - dim = 3 
E - dim = 4 
 
Exercício de Álgebra Linear - Exercício de Fixação 2 - 
Tentativa 2 de 3 
1 - Assinale a alternativa que representa a dimensão para o espaço vetorial V dado por S = 
{(x,y,z,w) ∈ R4 / w = 2x + y} 
A - dim S = 0 
B - dim S = 1 
C - dim S = 2 
D - dim S = 3 
E - Não possui dimensão. 
 
2 - Dentre os conjuntos de polinômios apresentados, assinale o conjunto LI (linearmente 
independente). 
A - {t2 - 4t + 2, t2 + 2, t - 4, t2 - 3t - 1} 
B - {t2 - 1,t2 + 2, t2 - 3} 
C - {-t2 + t - 1, t2 - t + 1,2 t2 - t - 3} 
D - {t2 + t + 3, - t2 + 2t, t + 3} 
E - {2t2 + 6t - 4, t2 - t - 1, t2 + 3t - 1} 
 
3 - Assinale a alternativa que representa a dimensão para o espaço vetorial V dado por S = 
{(x,y,z) ∈ R3 / y = 2x e z = -x} 
A - dim S = 0 
B - dim S = 1 
C - dim S = 2 
D - dim S = 3 
E - Não possui dimensão 
 
4 - Seja uma transformação linear dada por: 
T(x,y)=(x,y,x+y) 
Marque a alternativa verdadeira: 
A - Essa transformação leva vetores do plano a outros vetores do plano. 
B - Essa transformação leva vetores do plano a vetores do espaço tridimensional. 
C - Essa transformação leva vetores do espaço tridimensional ao espaço tridimensional. 
D - Essa transformação leva vetores do espaço tridimensional ao plano. 
E - Essa transformação leva vetores pertencentes a bissetriz dos quadrantes ímpares ao plano. 
 
5 - Seja a transformação linear definida por T(-1,2)=(1,-1,3) e T(1,-1)=(3,2,-2). Marque a 
alternativa que compõe a transformação T(x,y). 
A - T(x,y)=(7x+4y,3x+y,-x+y) 
B - T(x,y)=(-2x-6y,3x+3y,-x+y) 
C - T(x,y)=(x,-y,-x) 
D - T(x,y)=(7x+3y,4x+2y,-3x+4y) 
E - T(x,y)=(4y,2x,2y) 
 
6 - Considere os vetores v1=(-1,3), v2=(3,2) e v3=(7,1) em R2. Dada a transformação linear 
T(x+y,x-y), considere as seguintes assertivas e marque a alternativa correta. 
 
I. T(-1,3)=(2,-4) 
II. T(3,2)=(5,1) 
III. T(7,1)=(8,-6) 
 
Assinale a alternativa correta: 
A - I, apenas 
B - I e II, apenas 
C - I e III, apenas 
D - II, apenas 
E - II e III, apenas 
 
7 - Sendo W um subespaço de V, podemos afirmar que W mantém as mesmas operações de V: 
produto por escalar e soma; de forma que qualquer combinação linear entre qualquer 
elemento de W, ainda pertence a W. 
 
Seja o espaço vetorial V=R4 e W={(x,y,0,0) in R4, x,y in R} um subconjunto do espaço vetorial V. 
Assinale a sentença correta. 
A - W não é um subespaço de V porque não satifaz somente a propriedade da soma u+w in W. 
B - W não é um subespaço de V, porque não satisfaz somente a propriedade do produto 
escalar kv in W 
C - W não é subespaço de V, porque não satisfaz as duas propriedades: da soma u + v in W e 
do produto escalar kv in W. 
D - W é subespaço de V 
E - W não é subespaço, porque (x.y,0,0) !in R4 
 
 8 - Dizemos que um vetoré autovetor de A quando podemos escrever Av=kv para um 
autovalor k. 
 
Considere a matriz A=[-2 1; 12 -1]. Analise as alternativas e assinale aquela que apresenta um 
autovetor de A associado ao autovalor 2. 
A - [-1; 3] 
B - [1; 0] 
C - [7; 4] 
D - [3; 5] 
E - [1; 4] 
 
9 - Sendo o conjunto B={(2,-1,3),(-3,0,2),(2,13,3)}, marque a alternativa que apresenta T(B), 
dado T(x,y,z)=(x+y+z) 
A - T(B)={(4),(-1),(18)} 
B - T(B)={(-4),(1),(18)} 
C - T(B)={(5),(-5),(-18)} 
D - T(B)={(6),(5),(18)} 
E - T(B)={(4),(-1),(-18)} 
 
10 - 
 
A - 2 
B - 3 
C - 4 
D - 5 
E - 6 
 
Exercício de Álgebra Linear - Exercício de Fixação 2 - 
Tentativa 3 de 3 
1 - 
 
A - RESOSTA CERTA 
B - 
C - 
D - 
E - 
 
2 - 
 
A - x - y + z + 2w = 0 
B - 2x - y + 4z + w = 0 
C - -2x + y - 2z + w = 0 
D - x - y + 2z - 2w = 0 
E - x + 2y + 3z - 2w = 0 
 
3 - Assinale a alternativa que representa a dimensão para o espaço vetorial V dado por S = 
{(x,y,z) ∈ R3 / z = y} 
A - dim S = 0 
B - dim S = 1 
C - dim S = 2 
D - dim S = 3 
E - Não possui dimensão 
 
4 - Seja o espaço vetorial P2 (os polinômios de grau 2) e sejam p1 = t2 + 2t - 1, p2 = t2 + 1 e p3 = -
3t + 3. 
A - x - y - z = 0 
B - x - 2y + z = 0 
C - x + 2y - 2z = 0 
D - 3x - y + z = 0 
E - 2x + y - 3z = 0 
 
5 - Seja a transformação linear dada por: 
T(x,y)=(x+y,2x+2x). 
Marque a alternativa que apresenta o valor de T(2,3) 
A - T(2,3)=(2,3) 
B - T(2,3)=(3,2) 
C - T(2,3)=(1,1) 
D - T(2,3)=(2,10) 
E - T(2,3)=(5,10) 
 
6 - Seja T:R2->R2 o operador linear dado por T(x,y)=(x+2y,3x+2y). Com base nesse operador, 
coloque V quando a alternativa for verdadeira e F quando falsa. 
 
 
I. A matriz de T com relação à base canônica do R2 é [1 2; 3 2]. 
II. O polinômio característico de T é p(a)=a^2-3a-4 
III. Os autovalores de T são a1=2 e a2=-4. 
 
 
Assinale a alternativa correta: 
A - V, V, V 
B - V, F, V 
C - V, V, F 
D - V, F, F 
E - F, V, V 
 
7 - 
 
A - 2 
B - 3 
C - 4 
D - 5 
E – 6 
 
8 - Dentre os conjuntos de vetores apresentados, assinale o conjunto LI (linearmente 
independente). 
A - {(1,2,2),(3,1,3),(1,4,2),(-1,-1,3)} 
B - {(1,1,3),(-1,2,0),(0,3,1)} 
C - {(1,2,5),(1,1,3),(4,4,12)} 
D - {(-1,3,5),(2,0,7),(1,-3,-5)} 
E - {(1,5,2),(0,0,0),(2,-1,3)} 
 
9 - Seja uma transformação linear dada por: 
T(x,y)=(x,y,x+y) 
Marque a alternativa verdadeira: 
A - Essa transformação leva vetores do plano a outros vetores do plano. 
B - Essa transformação leva vetores do plano a vetores do espaço tridimensional. 
C - Essa transformação leva vetores do espaço tridimensional ao espaço tridimensional. 
D - Essa transformação leva vetores do espaço tridimensional ao plano. 
E - Essa transformação leva vetores pertencentes a bissetriz dos quadrantes ímpares ao plano. 
 
10 - Dizemos que três vetores são a base de R3, quando geram qualquer vetor do espaço 
vetorial a partir de alguma combinação linear dos vetores da base. 
Seja os vetores u=(1,-1,-2), v=(2,1,1) e w=(k,0,3). 
Assinale a alternativa com o valor de k para que os vetores u, v e w formem uma base do R3. 
A - k != 8 
B - k != -7 
C - k != 5 
D - k != -9 
E - k != 6 
 
Exercício de Álgebra Linear - Exercício de Fixação 3 - 
Tentativa 1 de 3 
1 - Considere as bases: 
 
Dados por: 
 
 
Assinale a alternativa que determina a matriz mudança de base de A para B. 
A - RESPOSTA CERTA 
B - 
C - 
D - 
E - 
2 - 
 
A - 
B - 
C - RESPOSTA CERTA 
D - 
E - 
 
3 - Dada a transformação linear T : R2 → R2, T(x,y) = (x+3y,x-y), assinale a alternativa que 
representa os autovetores. 
A - ν1 = (-1,-1) e ν2 = (-3,3) 
B - ν1 = (1,-1) e ν2 = (-3,1) 
C - ν1 = (-1,-3) e ν2 = (1,3) 
D -ν1 = (-1,-3) e ν2 = (-1,3) 
E - ν1 = (3,1) e ν2 = (-1,1) 
 
4 - 
 
A - Im(T) = {(α,b,c) ∈ R3 /α - b + c = 0} 
B - Im(T) = {(α,b,c) ∈ R3 /α + 2b + c = 0} 
C - Im(T) = {(α,b,c) ∈ R3 /α + b + c = 0} 
D - Im(T) = {(α,b,c) ∈ R3 /α - 2b - c = 0} 
E - Im(T) = {(α,b,c) ∈ R3 /α - 2b + c = 0} 
 
5 - 
 
A - A matriz Y é uma matriz inversa de W, portanto seu determinante é dado por detY = 5 
B - A matriz Y é uma matriz transposta de W, portanto seu determinante é dado por detY = -5 
C - utilizando a quinta propriedade dos determinantes, pode-se definir que o determinante da 
matriz Y é dado por det Y = 2 
D - Utilizando a quinta propriedade dos determinantes, pode-se definir que o determinante 
matriz Y é dado por detY = -2 
E - utilizando a sexta propriedade, pode-se definir que o determinante da matriz Y é dado 
por det Y = 2 
6 - Determine os autovetores de T : R2 → R2, T(x,y) = (x+y,x+4y) e assinale a alternativa correta. 
A - λ1 = 1 e λ2 = 3 
B - λ1 = 1 e λ2 = 2 
C - λ1 = 1 e λ2 = -2 
D - λ1 = -1 e λ2 = 3 
E - λ1 = 2 e λ2 = -3 
 
7 - O polinômio característico de uma matriz A é dado pela equação 
 
Ou seja, é a equação gerada por meio do determinante de uma subtração entre a matriz 
identidade multiplicada por um escalar e a matriz A. Com isso, é possível perceber que o 
polinômio característico é de grau n e pode ser escrito como 
 
Ainda é válido acrescentar que as raízes desta equação é conhecido como autovalores. 
Conhecendo a matriz A, determine os polinômio característico da matriz. 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - RESPOSTA CERTA 
 
8 - Assinale a alternativa que representa a dimensão do núcleo da transformação linear T : 
R3 → R2, T(x,y,z) = (2x - 3y + z, - x + 2y + z). 
A - dimker (T) = 0 
B - Não é possível determinar a dimensão do núcleo. 
C - dimker (T) = 1 
D - dimker (T) = 2 
E - dimker (T) = 3 
 
9 - Leia a seguinte passagem de texto: 
 
"Sabe-se que uma transformação linear T : V → W é inversível se, e somente se, T é injetiva e 
sobrejetiva." 
 
Avalie as afirmativas com relação as propriedades de um operador linear inverso e assinale a 
alternativa correta. 
 
I. Se o N (T ) ≠{0}, o operador linear T possui inversa. 
II. Se o N (T ) ={0}, o operador linear T possui inversa. 
III. T é inversível se, e somente se, det (T) = 0 . 
IV. T é inversível se, e somente se, det (T) ≠ 0 . 
 
Assinale a alternativa correta: 
A - Apenas a IV é verdadeira. 
B - Apenas a I e III, são verdadeiras. 
C - Apenas a I e IV, são verdadeiras. 
D - Apenas a II e III, são verdadeiras. 
E - Apenas a II e IV, são verdadeiras. 
 
10 - Assinale a alternativa que representa uma transformação T : R2 → R2 definida pelas 
seguintes leis: 
A - T (x,y) = (x + y - 2, x + 2y - 4) 
B - T (x,y) = (x + y, y - 1) 
C - T (x,y) = (2x + y, - y- 3) 
D - T (x,y) = (3x - y) 
E - T (x,y) = (y - y +5) 
 
 
Exercício de Álgebra Linear - Exercício de Fixação 3 - 
Tentativa 2 de 3 
 
1 - Uma transformação linear T: V→V é chamada de operador linear. Todas as propriedades das 
transformações lineares em geral valem para um operador linear. Para as matrizes quadradas 
existem propriedades particulares. 
 
Com relação aos operadores lineares invertíveis, avalie as afirmativas: 
 
A - Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
B - Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras. 
C - Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 
D - Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras 
E - As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras. 
 
2 - A diagonalização de matrizes tem o objetivo de “transformar” uma matriz não diagnal em 
uma matriz diagonal, ou seja, com elementos diferentes de zero apenas na diagonal principal. 
Este processo é dado por: “Dizemos que uma matriz A n×n, é diagonalizável, se existem matrizes 
P e D tais que , ou equivalentemente, , em que D é uma matriz diagonal.” 
Disponível em: https://regijs.github.io/gaal/sum61.html, acesso em: 25/04/2020. 
Vale acrescentar que P é a matriz formada pelos autovetores de A. Com isso, considere a matriz 
A e a matriz P abaixo: 
 
Encontre a matriz diagonal D da matriz dada A. 
A - RESPOSTA CERTA 
B - 
C - 
 
D - 
E - 
 
3 - 
A - {(1,2,3)} 
B - {(-1,2,-3)} 
C - {(2,3,1)}D - {(-2,3,1)} 
E - {(-3,2,1)} 
 
4 - Assinale a alternativa que representa uma transformação T : R3 → R3 definida pelas seguintes 
leis: 
A - T (x,y,z) = (x, x + y, x + y +z + 1) 
B - T (x,y,z) = (x - y + z, 2y, z) 
C - T (x,y,z) = (x, y, z + 2) 
D - T (x,y,z) = (x + 1, y, z) 
E - T (x,y,z) = (x + 2,y + 1,z - 1) 
 
5 - Assinale a alternativa que representa a dimensão do núcleo da transformação linear T : 
R3 → R2, T(x,y,z) = (x - y + 2z, - x + 2y + z). 
A - ker T = [(-5,-1,3)] 
B - ker T = [(5,3,1)] 
C - ker T = [(-5,-3,1)] 
D - ker T = [(5,-3,1)] 
E - ker T = [(5,-3,-1)] 
6 - 
 
A - RESPOSTA CERTA 
B - 
C - 
D- 
 E - 
 
7 - Seja o operador linear: 
 
Sabendo-se que admite inversa, assinale a alternativa que representa a inversa de T(x,y,z). 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - RESPOSTA CERTA 
 
 
8 - 
 
A - RESPOSTA CERTA 
B - 
C - 
D - 
 E - 
 
9 - Assinale V para verdadeiro e F para falso e em seguida assinale a alternava correta. 
( ) Todas as raízes da equação característica de uma matriz simétrica são números reais. 
( ) Os autovetores de uma matriz simétrica A com autovalores distintos são ortogonais. 
( ) Os autovetores da matriz P, neste caso em particular das matrizes simétricas, forma uma 
base ortogonal. 
A ordem correta é: 
A - F,F,V 
B - F,V,V 
C - V,F,F 
D - V,F,V 
E - V,V,V 
 
10 - Sejam os vetores u=(1,2,3), v=(0,1,1) e w=(0,0,1), tais que eles formam uma base do espaço 
vetorial R3. Sabendo que qualquer vetor do R3 pode ser formado a partir da combinação linear 
dos vetores da base, assinale a alternativa com as coordenadas do vetor (1,1,0) in R3 com 
relação à base formada pelos vetores u, v e w. 
A - [1;-1;-2] 
B - [2; 1; -2] 
C - [1;-2;2] 
D - [2;-4;-2] 
E - [2;-2;-2] 
Exercício de Álgebra Linear - Exercício de Fixação 3 - 
Tentativa 3 de 3 
1 - “A álgebra linear estuda os espaços vetoriais (ou espaços lineares), além de funções 
lineares que associam vetores entre dois espaços vetoriais. Espaços vetoriais são uma 
generalização do espaço cotidiano e de senso comum onde vivemos, tais como largura, altura 
e profundidade. Entender geometria analítica é um bom passo para estudar álgebra linear. 
O conceito de matriz e determinantes, básicos na álgebra linear, surgiu da necessidade de se 
resolver sistemas de equações lineares com coeficientes constantes. Assim, dadas as matrizes 
A e B de dimensões apropriadas, o determinante de seu produto é det (AB) = det (A) det (B).” 
disponível em: https://www.professoresdeplantao.com.br/blog/post/42/entenda-a-algebra-
linear-e-sua-aplicacao-no-dia-a-dia , acesso em: 28/04/2020. 
Como expresso no texto acima a álgebra linear utiliza muito o conceito de matrizes, com isso, 
utiliza também algumas de suas propriedades. Pensando nas propriedades de autovalores e 
autovetores, assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações Falsas. 
Assinale a sequência correta: 
 
 
 
Sendo assim, analise as sentenças a seguir e assinale V se a sentença for verdadeira e F se a 
sentença for falsa: 
 
 
• ( )Na diagonalização de matrizes é necessário obter uma matriz de autovetores. 
• ( )É possível fazer a diagonalização de qualquer matriz, desde que a mesma seja 
quadrada. 
• ( )Uma matriz A e a sua transposta possuem os mesmos autovalores. 
• ( )Um autovetor pode estar associado a mais de um autovalor. 
• ( )A duplicidade dos autovalores corresponde a ordem da matriz. 
 
 
A sequência correta é: 
A - F, V, F, F, V 
B - V, F, F, V, F 
C - V, F, V, F, F 
D - F, V, F, V, V 
E - V, V, F, V, F 
 
2 - Existem algumas aplicações práticas para os conteúdos estudados na disciplina de Álgebra 
Linear. Assinale a alternativa que representa uma aplicação para produto interno, norma e 
ortogonalidade: 
A - GPS 
B - Luz 
C - Chuveiro 
D - Receita de bolo 
E - Cozimento de alimentos 
 
3 - Determine os autovetores de T : R3 → R3, T(x,y,z) = (x,2x,-3y,5x+2y+2z) e assinale a 
alternativa correta. 
A - λ1 = -1, λ2 = 3 e λ3 = 2 
B - λ1 = 1, λ2 = 3 e λ3 = -2 
C - λ1 = 1, λ2 = -2 e λ3 = 2 
D - λ1 = 1, λ2 = 2 e λ3 = -3 
E - λ1 = 3, λ2 = 3 e λ3 = -2 
 
4 - 
 
A - 
B - RESPOSTA CERTA 
C - 
D - 
E - 
 
5 - 
 
A - RESPOSTA CERTA 
B - 
C - 
D - 
E - 
 
6 - Uma transformação linear T: V→V é chamada de operador linear. Todas as propriedades das 
transformações lineares em geral valem para um operador linear. Para as matrizes quadradas 
existem propriedades particulares. 
 
Com relação aos operadores lineares invertíveis, avalie as afirmativas: 
 
A - Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
B - Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras. 
C - Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 
D - Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras 
E - As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras. 
 
7 - Seja o operador linear: 
 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - RESPOSTA CERTA 
 
8 - 
A - {(1,2,3)} 
B - {(-1,2,-3)} 
C - {(2,3,1)} 
D - {(-2,3,1)} 
E - {(-3,2,1)} 
 
9 - Para encontrar autovetores primeiro é necessário encontrar os autovalores, pois os 
autovalores são associados aos autovetores, inclusive um único autovalor pode ter inúmeros 
autovetores. Assim: “Sendo A uma matriz de ordem n×n, definimos uma utovalor de A como um 
escalar λ∈C se existe um vetor v(n×1) não-nulo tal que Av=λv. Todo vetor v que satisfaz essa 
relação é denominado um autovetor de A correspondente ao autovalor λ.” Disponível em: 
https://sites.icmc.usp.br/marialuisa/cursos201002/autovalor_autovetor.pdf, acesso em: 
26/04/2020. Com isso, conhecendo a matriz A e sabendo que seus autovalores são 2 e -3, qual 
dos autovetores abaixo correspondem a matriz A dada e aos seus autovalores? 
 
A - 
B - 
C - 
D - RESPOSTA CERTA 
E - 
 
10 - Dada a transformação linear T : R2 → R2, T(x,y) = (x+3y,x-y), assinale a alternativa que 
representa os autovetores. 
A - ν1 = (-1,-1) e ν2 = (-3,3) 
B - ν1 = (1,-1) e ν2 = (-3,1) 
C - ν1 = (-1,-3) e ν2 = (1,3) 
D - ν1 = (-1,-3) e ν2 = (-1,3) 
E - ν1 = (3,1) e ν2 = (-1,1)