Cópia de lista 1 Cálculo 3

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1a Lista de Cálculo Diferencial e Integral III
2019 Prof. Marcelo
1) Calcule as integrais.
a)
∫
R
(3x− 2y + 1) dA
R = [0, 3]× [−2, 0]
b)
∫
R
(y2 − 4x) dA
R = [−1, 1]× [0, 3]
c)
∫
R
(xy + 3y2) dA
R = [−2, 4]× [0, 6]
d)
∫
R
(x− 2xy2) dA
R = [−3, 1]× [−2, 6]
e)
∫
R
xexy dA
R = [0, 1]2
f)
∫
R
(sen(x+ y) + sen(x) + sen(y)) dA
R = [0, π]2
2) Calcule as integrais.
a)
∫ ∫
R
x3y2 dxdy , R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2,−x ≤ y ≤ x}
b)
∫ ∫
R
2y
x2 + 1
dxdy , R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤
√
x}
c)
∫ ∫
R
e
x
y dxdy , R = {(x, y)|1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ y3}
d)
∫ ∫
R
(x+ y) dxdy , R é limitada por y =
√
x, y = x2
e)
∫ ∫
R
yex dxdy , R é a região triangular de vértices (0, 0), (2, 4), (6, 0).
3) Calcule o volume do conjunto dado.
a) S = {(x, y, z);x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1− x2}.
b) S = {(x, y, z); 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e x2 + y2 ≤ z ≤ 2}.
4) Calcule o volume do sólido limitado pela superf́ıcie z = 10− 1
4
x2− 1
9
y2, pelos planos x = 2, y = 2,
e pelos três planos coordenados.
5) Calcule o volume da região do espaço no primeiro octante compreendido entre os cilindros x2+y2 =
a2 e x2 + z2 = a2.
6) Calcule o volume do sólido limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x+ y = 1 e pela superf́ıcie
z = 1− y2.
7) Calcule:
a)
∫ ∫
B
(x2 + 2y)dxdy onde B é o ćırculo x2 + y2 ≤ 4.
b)
∫ ∫
B
ex
2+y2dxdy onde B = {(x, y); 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, −x ≤ y ≤ x, x ≥ 0}.
c)
∫ ∫
B
xdxdy onde B = {(x, y);x2 + y2 − x ≤ 0}.
8) a) Seja B a elipse
x2
a2
+
y2
b2
≤ 1, a > 0, b > 0
Verique que ∫ ∫
B
f(x, y)dxdy = ab
∫ 2π
0
∫ 1
0
rf(arcosθ, br sin θ)drdθ
b) Calcule a área limitada pela elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, a > 0, b > 0
9) Calcule o volume do conjunto dado:
a)x2 + y2 ≤ z ≤ 4 b)x2 + y2 ≤ 4, x2 + y2 + z2 ≤ 9 c)x2 + y2 ≤ z, x2 + y2 + z2 ≤ 2
10) Calcule o centro de massa.
a) B é o semićırculo de raio r e a densidade é proporcional a distância do ponto ao centro do ćırculo.
b) ρ(x, y) = y e B = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
c) B = {(x, y);x3 ≤ y ≤ x} e a densidade é constante igual a 1 .
d) B = {(x, y);x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ y} e a densidade é proporcional a distância do ponto ao eixo x .
11) Calcule a massa do cilindro x2 + y2 ≤ 4 e 0 ≤ z ≤ 2 sabendo que a densidade no ponto (x, y, z)
é o dobro da distância do ponto ao plano z = 0.
12) Calcule a massa do cone
√
x2 + y2 ≤ z ≤ 1 sendo a densidade no ponto (x, y, z) proporcional ao
quadrado da distância do ponto ao eixo z.
Respostas:
1. a)45, b)18, c)1404, d)1696/3, e)e− 2, f)4π.
2. a)256/21, b)ln(2)/2, c)e4/2− 2e, d)3/10, e)−9e2 + e6 − 4.
3. a) 512 , b)
4
3 .
4. 1028/27
5. 2a3/3
6. 5/12.
7. a) 4π, b) π4 (e
4 − e), c)π8 ,
8) b) πab
9) a)48π c)8
√
2−7
12 π
10) a) (xc, yc) = (0,
3r
2π ), b) (xc, yc) = (
1
2 ,
2
3), c) (xc, yc) = (0, 0), d) (xc, yc) = (0,
3π
32 ).
11) 16π.
12) 3) Kπ10 , com K a constante de proporcionalidade.