Método das Forças para Análise de Estruturas

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Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 2: Método das Forças
Apresentação
A partir desta aula começaremos a sedimentar e ampliar os conceitos da estática das estruturas, analisando sistemas 
hiperestáticos por meio dos métodos clássicos (forças e deslocamentos), para introduzir o estudo de análise matricial de 
estruturas.
Nesta aula apresentaremos o Método das Forças (um dos clássicos) utilizado para análise de estruturas hiperestáticas.
Objetivos
• Reconhecer um dos métodos clássicos para análise de estruturas hiperestáticas, o Método das Forças. 
• Calcular uma estrutura hiperestática aplicando o Método das Forças;
• Estabelecer os diagramas solicitantes de uma estrutura hiperestática, usando o Método das Forças.
Teoria das estruturas I – Relembrando alguns conceitos básicos
Antes de mais nada, vamos relembrar...
Estruturas hiperestáticas são aquelas em que o número de reações de apoio é superior ao de equações da estática 
, portanto, essas equações somente são insuficientes para a determinação das 
reações de apoio.
( X = 0; Y = 0 e M = 0)
A determinação das reações de apoio que atuam nessas 
estruturas são, geralmente, calculadas pelo Método das 
Forças ou pelo Método dos Deslocamentos:
• No Método das Forças, as variáveis são os esforços;
• No método dos deslocamentos, as deformações.
O grau de hiperestaticidade de uma estrutura é determinado pelo número de reações de apoio excedentes àquelas necessárias 
para o seu equilíbrio.
Relembrando, como calcular o grau de hiperestaticidade, a fim de descobrir se a estrutura é restringida? Usando umas das 
fórmulas existentes na literatura. A fórmula a seguir, foi tirada do autor Sussekind (s/d):
G = G + G
G = I – E – R
G = 3 x N
Onde:
e i
e
i
G ➔ grau hiperestático das estrututas;
G ➔ grau hiperestático externo;
G ➔ grau hiperestático interno;
I ➔ o número de reações de apoio (incógnita) da estrutura;
E ➔ as equações fundamentais da estática 
R ➔ as rótulas existentes na estrutura, ou seja, o número de momentos liberados;
3 ➔ o número de esforços liberados (V, H e M ) no corte;
N ➔ o número de cortes.
e
i
( Fx = 0; Fy = 0; M = 0)∑ ∑ ∑
⇩
Observação:
G = 0 ➔ estruturas isostáticas;
G > 0 ➔ estruturas hiperestáticas;
G < 0 ➔ estruturas hipostáticas (sem 
equilíbrio).
Método das forças
A metodologia utilizada pelo Método das Forças (também conhecido como Método da Flexibilidade e Método dos Esforços) para 
analisar uma estrutura hiperestática, é:
1
Usar uma estrutura auxiliar isostática 
(não haverá nenhuma alteração do 
ponto de vista estático, se mantemos os 
mesmos vínculos), chamada de Sistema 
Principal, que é obtida da estrutura 
original (hiperestática) pela eliminação 
de vínculos;
2
Somar uma série de soluções básicas 
(chamadas de estados) que satisfazem 
às condições de equilíbrio.
Essa eliminação de vínculos pode ser impedimentos de apoio ou vínculos de continuidade interna, e os deslocamentos e as 
rotações são sempre calculados nas direções dos vínculos eliminados.
A Figura 1 demostra a passagem do pórtico I (hiperestático) para o pórtico II (isostático), observa-se que não houve nenhuma 
alteração no ponto de vista estático. Rompeu-se a quantidade de vínculos (os engastes) que se transformou em apoio de 1º e 2º 
gêneros, introduzindo no local os esforços X1, X2 e X3.
 Figura 1 – Pórtico I (hiperestático) e pórtico II (isostático, chamado de Sistema Principal)
Nenhuma alteração ocorreu ao adotar a estrutura isostática (pórtico II), foram aplicados os esforços quanto ao grau de 
hiperestaticidade. Assim, a determinação de X1, X2 e X3 implicará na resolução da estrutura.
Quando rompido um vínculo é aplicado um esforço. No sistema principal serão liberadas deformações que não existem e assim a 
solução exige que os deslocamentos provocados pelos hiperestáticos sejam nulos.
No caso acima, temos:
• Rotação para X2 e X3;
• Translação para X1.
Com uma equação para cada descolamento nulo, o problema será resolver o sistema nxn.
Será utilizado o princípio da superposição dos efeitos, separando o carregamento externo e os hiperestáticos.
O primeiro índice é o local e o segundo a causa:
➔ translação de 
X1;
➔ rotação de X2;
δ10 + δ11 X1 + δ12 X2 + δ13 X3 = 0
δ20 + δ21 X1 + δ22 X2 + δ23 X3 = 0
➔ rotação de X3.δ30 + δ31 X1 + δ32 X2 + δ33 X3 = 0
A solução do sistema fornece o valor de Xi.
Na hora de escolher um sistema principal isostático há infinitos, e o mais lógico é procurar um sistema que forneça diagramas de 
momento fletores mais simples possíveis.
Essa metodologia de solução de uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças será 
explicada detalhadamente pelos exercícios a seguir.
Nos exemplos a seguir, a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J.
Exercício 1
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo, conforme mostra a Figura 
2.
Dados:
Seção da viga: 40 cm x 80 cm (b x h);
E = 1 x 10 kN/m .8 2
 Figura 2 – Viga com carregamento distribuído de 30 kN/m
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga
G = I – E – Re
G = 3 – 2 – 0 = 1 ➔ estrutura hiperistática que desejamos resolver 
(X1).
e
Logo o sistema será:
δ10 + δ11 X1 = 0
2º Passo: Sistema Principal (S.P.)
Rompemos uma quantidade de vínculos tal (no caso, 1) que transformasse a estrutura hiperestática em isostática. Para preservar 
a compatibilidade estática, introduzimos os esforços (no caso, X1, X2, X3,...) existentes nos vínculos rompidos, que continuam 
sendo as incógnitas do problema, e cuja determinação implicará na resolução da estrutura.
Arbitramos um valor qualquer para cada um dos hiperestáticos (X1, X2, X3,...), por simplicidade, arbitramos valores unitários (=1).
Para esse exemplo temos três modelos de sistema principal (estrutura isostática), como pode ser visto na Figura 3.
Lembrando que na hora de escolher um sistema principal o mais lógico é procurar um 
sistema isostático que forneça diagramas de momento fletores mais simples possíveis.
 Figura 3 – Exemplos de três tipos de sistema principal (isostático).
Para o nosso exercício vamos adotar o primeiro exemplo, colocando x no balanço direito, conforme a Figura 4.
 Figura 4 – Esse será o nosso Sistema Principal.
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras
Para usar a Tabela de Kurt Beyer (estruturas compostas por barras retas com inércia constante) devemos calcular o comprimento 
elástico das barras. A deformação devido ao trabalho à flexão vale:δ
δ = ∫ dxMM̄̄̄̄
EJ
Sendo J uma inércia arbitrária, chamada de inércia de comparação (usualmente é arbitrada igual à menor das inércias das 
barras), temos:
c
E δ =∑( ∫ MM)dxJc JcJbarra ∫barra
Chamamos de comprimento elástico (L’) da barra i, que é o comprimento fictício de uma barra de inércia J , que nos dá a mesma 
deformação da barra de comprimento Li e inércia J . Usamos a fórmula indicada por Sussekind (s/d) para calcular L’:
c
i
L' = L Jc
J
Onde:
L’ = comprimento elástico;
L = comprimento da barra;
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura;
J = momento de inércia da barra que está estudando.
Calcula-se o momento de inércia das barras.
As barras possuem as mesmas seções, logo elas têm as mesmas inércias.
J = bh /12 = 0,0170667m
Calcula-se o comprimento elástico (L’) de cada barra:
3 4
Barra 1 ➔ L’ = 3*0,0170667/0,0170667 = 3m
Barra 2 ➔ L’ = 5*0,0170667/0,0170667 = 5m
4º Passo: Estado 0 (só carga)
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor (M0) com as cargas externas.
5º Passo: Estado 1 (só X1)
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor (M1) com a carga de 1kN no X1 (no hiperestático).
6º Passo: Calculando dos E J
Faz-se a multiplicação dos dois momentos fletores, de cada barra. Usamos a Tabela de Kurt Beyer e vemos a equação da 
multiplicação dos dois momentos.
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 0:
c δ
δ10
E = xJc δ10 M1 M0
Barra 1: L’ de 3m com par. 2ºgrau (-375 kNm) x triângulo (5kNm).
Olhando a tabela, temos:
Triângulo com triângulo e ql /8 com triângulo.
Na segunda coluna com a segunda linha encontraremos a primeira equação, e na segunda coluna com a quinta.
Encontraremos a segunda equação, logo temos:
2
L'MM + L'Mm13
1
3 M̄̄̄
Onde:
L’ = 3 m (comprimento da barra 1)
M = -375 kNm (momento fletor da parábola 2º grau)
M = 5 kNm (momento fletor do triangulo)
M = 33,75 kNm (momento fletor do ql /8)
Substituindo os valores, temos:
2
x 3 x (−375) x 5 + x 3 x 5 x 33, 75 = − 1706, 2513
1
3
2: L’ de 5m com par. 2º grau (-375 kNm) x triângulo (5kNm).
Olhando a tabela, temos:
Parábola do 2º grau com triângulo.
Na segunda coluna com a oitava linha encontraremos a equação:
L'M14 M̄̄̄
Onde:
L’ = 5m (comprimento da barra 2);
M = -375kNm (momento fletor da parábola 2º grau);
M = 5kNm (momento fletor do triângulo).
Substituindo os valores, temos:
x 5 x (−375) x 5 = − 2343, 7514
E = −4050Jc δ10
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 1:
δ11
E = xJc δ11 M1 M1
Como existe essa figura na tabela, não precisamos fazer por barras. Usamos direto (barra 1 + barra 2).
Ao olharmos a tabela, encontramos na última coluna com a última linha a equação:
L'M13 M̄̄̄
Onde:
L’ = 8m (comprimento de toda a viga);
M = 5kNm (momento fletor do triângulo);
M = 5kNm (momento fletor do triângulo).
Substituindo os valores, temos:
x 8 x 5 x 5 = 66, 6713
7º Passo: Sistema
Montar o sistema para acha r X1.
Se deu positivo, significa que o sentido de X1 está correto, para cima.
Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos o valor que achamos em X1 (60,75 kN), conforme mostra a Figura 5.
δ10 + δ11 X1 = 0
−4050 + 66, 67 X1 = 0
X1 = 60, 75kN
 Figura 5 – Viga com o valor de X1
Calculamos as reações de apoio e desenhamos os diagramas solicitantes (diagramas finais), conforme a Figura 6.
 Figura 6 – Reação de apoio após achar X1
 Figura 7 – Diagrama de esforços cortantes
 Figura 8 – Diagrama de momento fletor
Exercício 2
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, conforme mostra a 
Figura 9.
Dados:
Valores de inércia: Nos pilares J = 1 e na viga J = 2.
E = 1 x 108 kN/m2
 Figura 9 – Pórtico com carregamento distribuído de 20kN/m
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga
G = I – E – R => G = 5 – 3 – 0 = 2 ➔ estrutura duas vezes hiperistática, desejamos resolver (X1 e X2). Logo, nosso sistema será:
2º Passo: Sistema Principal (S.P.)
e e
δ10 + δ11 X1 + δ12 X2 = 0
δ20 + δ21 X1 + δ22 X2 = 0
Escolher uma estrutura isostática. Indicar X1 e X2, conforme a Figura 10.
 Figura 10 – Sistema Principal. Uma estrutura isostática com X1 e X2
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras
O comprimento elástico das barras:
L' = L Jc
J
Onde:
L’ = comprimento elástico;
L = comprimento da barra;
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura;
J = momento de inércia da barra em estudo.
4º Passo: Estado 0 (só carga)
Cargas externas, conforme pode ser visto na Figura 11.
 Figura 11 – Diagrama de momento fletor (M0), com o Sistema Principal
5º Passo: Estado 1 (só X1)
Carga de 1kN no X1 (no hiperestático), Figura 12.
 Figura 12 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1
6º Passo: Estado 2 (só X2)
Carga de 1kN no X2 (no hiperestático), Figura 13.
 Figura 13 – Diagrama de momento fletor (M2), com a carga de 1kN no X2
7º Passo: Calcular as E J :
Usamos a Tabela de Kurt Beyer.
c δ
δ10
= xδ10 M1 M0
Barra 1: L’ de 3 m com retângulo (-360 kNm) x retângulo (6kNm).
L'MM = 3 X 6 X (−360) = − 6480
Barra 2: L’ de 3 m com par. 2º grau (-360 kNm) x triângulo (6kNm).
L'M = X 3 X 6 X(−360) = − 162014 M̄̄̄
1
4
Barra 3 = 0
= −8100δ10
δ11
= xδ11 M1 M1
Barra 1: L’ de 3 m com retângulo (6kNm) x retângulo (6kNm).
L'MM = 3 x 6 x 6 = 180
Barra 2: L’ de 3 m com triângulo (6kNm) x triângulo (6kNm).
L'M = x 3 x 6 x 6 = 3613 M̄̄̄
1
3
= 144δ11
δ12 = δ21
= = xδ12 δ21 M1 M2
Barra 1: L’ de 3 m com triângulo (-3kNm) x retângulo (6kNm).
L'M = x 3 x (−3) x 6 = − 2712 M̄̄̄
1
2
Barra 2: L’ de 3 m com triângulo (6kNm) x retângulo (-3kNm).
L'M = x 3 x (−3) x 6 = − 2712 M̄̄̄
1
2
Barra 3 = 0
= = −54δ12 δ21
= 2700δ20
Barra 1: L’ de 3m com triângulo (-3kNm) x triângulo (-3kNm).
L'M = x 3 x(−3) x(−3) = 913 M̄̄̄
1
3
Barra 2: L’ de 3m com retângulo (-3kNm) x retângulo (-3kNm).
L'M = 3 x(−3) x(−3) = 27M̄̄̄
Barra 3: L’ de 3m com triângulo (3kNm) x triângulo (3kNm).
L'M = x 3 x 3 x 3 = 913 M̄̄̄
1
3
= 45δ22
8º Passo: Sistema
Montar o sistema para achar X1 e X2.
-8100 + 144 X1 - 54 X2 = 0
2700 - 54 X1 + 45 X2 = 0
Resolvendo:
X1 = 60,36kN
X2 = 13,64kN
Se deu positivo, significa que o sentido de X1 e X2 estão corretos.
δ10 + δ11 X1 + δ12 X2 = 0
δ20 + δ21 X1 + δ22 X2 = 0
Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos os valores de X1 e X2, conforme a Figura 
14.
 Figura 14 – Estrutura original (hiperestática) com os valores de X1 e 
X2
Agora calculamos as reações de apoio (Figura 15) e desenhamos os diagramas solicitantes.
 Figura 15 – Estrutura original (hiperestática) com as reações de 
apoios
Diagrama solicitantes:
 Figura 16 – Diagrama de Esforços Normais (DEN) na estrutura original 
(hiperestática)
 Figura 17 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original 
(hiperestática)
 Figura 18 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática)
Saiba Mais
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Atividade
1. Calcular pelo Método das Forças as estruturas hiperestáticas abaixo. Desenhar os diagramas de esforços internos. EI = 
100000MPa.
2. Recalcular todas as estruturas vistas nesta aula com outro Sistema Principal (S.P.).
Notas