APOSTILA TEORIA DAS ESTRUTURAS 2

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UniversUnivers idade do idade do Sul de Santa Catarina – UNISSul de Santa Catarina – UNISULULCurso:EngenhariaCivilCurso:EngenhariaCivil
Teoria das Estruturas IITeoria das Estruturas II
(2º(2º SemestreSemestre // 2012)2012)
Professor:Professor: MarceloMarcelo CechinelCechinel
EE‐‐mail:mail: marcelo.cechinel@unisul.brmarcelo.cechinel@unisul.br
22
Conteúdo ProgramáticoConteúdo Programático
 CapítuloCapítulo II – – RevisãoRevisão (Grau(Grau dede Hiperstaticidade)Hiperstaticidade)
 CapítuloCapítulo IIII – – MétodoMétodo dasdas ForçasForças
 CapítuloCapítulo IIIIII – – MétodoMétodo dosdos DeslocamentosDeslocamentos
 CapítuloCapítulo IVIV – – ProcessoProcesso dede CrossCross
ObjetivoObjetivo
CapacitarCapacitar oo alunoaluno nana análiseanálise dede estruturasestruturas hiperestáticas,hiperestáticas, comcom ênfaseênfase nasnas estruturasestruturas
planas,planas, fornecendofornecendo subsídiossubsídios parapara aa determinaçãodeterminação dede esforçosesforços solicitantes,solicitantes, bembem comocomo
oo traçadotraçado dede diagramasdiagramas dede estado,estado, visandovisando aplicaçãoaplicação emem estruturasestruturas dede concretoconcreto
armado.armado.
MetodologiaMetodologia
 ApresentaçãoApresentação dodo conteúdoconteúdo divididodividido emem capítuloscapítulos atravésatravés dede aulasaulas expositivas;expositivas;
 IncentivoIncentivo àà pesquisapesquisa bibliográfica;bibliográfica;
 ProposiçãoProposição dede tarefastarefas ee soluçãosolução dede exercíciosexercícios propostospropostos pelopelo professor;professor;
 AcompanhamentoAcompanhamento pelopelo professorprofessor parapara esclarecimentoesclarecimento dede dúvidas;dúvidas;
Critérios de AvaliaçãoCritérios de Avaliação
AA avaliaçãoavaliação seráserá realizadarealizada dada formaforma queque segue:segue:
AvaliaçãoAvaliação 01:01: ProvaProva escrita,escrita, individual,individual, SEMSEM consulta.consulta.
Conteúdo:Conteúdo: CapítuloCapítulo IIII (Método(Método dasdas Forças)Forças)
AvaliaçãoAvaliação 02:02: TrabalhoTrabalho individualindividual e/oue/ou provaprova escrita,escrita, individual,individual, SEMSEM consulta.consulta.
Conteúdo:Conteúdo: CapítuloCapítulo IIIIII (Método(Método dosdos Deslocamentos)Deslocamentos)
AvaliaçãoAvaliação 03:03: ProvaProva escrita,escrita, individual,individual, SEMSEM consulta.consulta.
Conteúdo:Conteúdo: CapítuloCapítulo IVIV (Processo(Processo dede Cross)Cross)
AlémAlém dasdas trêstrês avaliaçõesavaliações citadas,citadas, cabecabe ressaltarressaltar queque aa presençapresença ee aa participaçãoparticipação
contarãocontarão comocomo parâmetroparâmetro nana avaliaçãoavaliação finalfinal dodo aluno.aluno.
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Conteúdo ProgramáticoConteúdo Programático
 CapítuloCapítulo II – – RevisãoRevisão (Grau(Grau dede Hiperstaticidade)Hiperstaticidade)
 CapítuloCapítulo IIII – – MétodoMétodo dasdas ForçasForças
 CapítuloCapítulo IIIIII – – MétodoMétodo dosdos DeslocamentosDeslocamentos
 CapítuloCapítulo IVIV – – ProcessoProcesso dede CrossCross
ObjetivoObjetivo
CapacitarCapacitar oo alunoaluno nana análiseanálise dede estruturasestruturas hiperestáticas,hiperestáticas, comcom ênfaseênfase nasnas estruturasestruturas
planas,planas, fornecendofornecendo subsídiossubsídios parapara aa determinaçãodeterminação dede esforçosesforços solicitantes,solicitantes, bembem comocomo
oo traçadotraçado dede diagramasdiagramas dede estado,estado, visandovisando aplicaçãoaplicação emem estruturasestruturas dede concretoconcreto
armado.armado.
MetodologiaMetodologia
 ApresentaçãoApresentação dodo conteúdoconteúdo divididodividido emem capítuloscapítulos atravésatravés dede aulasaulas expositivas;expositivas;
 IncentivoIncentivo àà pesquisapesquisa bibliográfica;bibliográfica;
 ProposiçãoProposição dede tarefastarefas ee soluçãosolução dede exercíciosexercícios propostospropostos pelopelo professor;professor;
 AcompanhamentoAcompanhamento pelopelo professorprofessor parapara esclarecimentoesclarecimento dede dúvidas;dúvidas;
Critérios de AvaliaçãoCritérios de Avaliação
AA avaliaçãoavaliação seráserá realizadarealizada dada formaforma queque segue:segue:
AvaliaçãoAvaliação 01:01: ProvaProva escrita,escrita, individual,individual, SEMSEM consulta.consulta.
Conteúdo:Conteúdo: CapítuloCapítulo IIII (Método(Método dasdas Forças)Forças)
AvaliaçãoAvaliação 02:02: TrabalhoTrabalho individualindividual e/oue/ou provaprova escrita,escrita, individual,individual, SEMSEM consulta.consulta.
Conteúdo:Conteúdo: CapítuloCapítulo IIIIII (Método(Método dosdos Deslocamentos)Deslocamentos)
AvaliaçãoAvaliação 03:03: ProvaProva escrita,escrita, individual,individual, SEMSEM consulta.consulta.
Conteúdo:Conteúdo: CapítuloCapítulo IVIV (Processo(Processo dede Cross)Cross)
AlémAlém dasdas trêstrês avaliaçõesavaliações citadas,citadas, cabecabe ressaltarressaltar queque aa presençapresença ee aa participaçãoparticipação
contarãocontarão comocomo parâmetroparâmetro nana avaliaçãoavaliação finalfinal dodo aluno.aluno.
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Capítulo I - RevisãoCapítulo I - Revisão
1.1.1.1. Vínculos:Vínculos:
SãoSão classificadosclassificados dede acordoacordo comcom oo númeronúmero dede movimentosmovimentos queque impedem.impedem.
 VínculoVínculo SimplesSimples ouou dede PrimeiraPrimeira Ordem:Ordem: impedemimpedem apenasapenas umum
movimento,movimento, normalmentenormalmente aa translação.translação.
 VínculoVínculo DuploDuplo ouou dede SegundaSegunda Ordem:Ordem: impedemimpedem doisdois movimentosmovimentos
permitindopermitindo geralmentegeralmente aa rotação.rotação.
 VínculoVínculo TríploTríplo ouou dede TerceiraTerceira Ordem:Ordem: impedemimpedem trêstrês movimentos,movimentos, aa
saber,saber, duasduas translaçõestranslações ee umauma rotação.rotação.
1.2.1.2. ClassificaçãoClassificação dasdas Estruturas:Estruturas:
EstruturaEstrutura HipostáticaHipostática:: EstruturasEstruturas cujoscujos movimentosmovimentos dede corpocorpo‐‐rígidorígido NÃONÃO
sãosão restringidosrestringidos ee NÃONÃO atingem,atingem, portanto,portanto, umauma
configuraçãoconfiguração dede equilíbrioequilíbrio estável,estável, ouou seja,seja, nãonão
possuipossui vínculosvínculos suficientessuficientes parapara garantirgarantir aa suasua totaltotal
estabilidade.estabilidade.
4
Estrutura Isostática: Estruturas com movimentos de corpo‐rígido
restringidos e o número de incógnitas a determinar é
igual ao número de equações de equilíbrio estável,
em outras palavras, estruturas com vínculos
estritamente necessários para garantir a sua total
estabilidade.
Estrutura Hiperestática: Estruturas com movimentos de corpo‐rígido
restringidos e número de incógnitas a determinar
maior que o número de equações de equilíbrio
estável, resumidamente, são estruturas que possuem
vínculos mais que necessários para garantir a sua
total imobilidade.
Obs.: cabe ressaltar  que na  prática a grande maioria das estruturas
classifica‐se como HIPERESTÁTICA ou ESTATICAMENTE INDETERMINADA.
1.3. Grau de Hiperestaticidade:
1.3.1. Grau de Hiperestaticidade Externo (ge):
Seja a estrutura abaixo:
B
Como pode ser visto, dispomos de 05 reações de apoio (03 do apoio do
engaste e 02 do apoio de segunda ordem) e apenas 03 equações universais da
estática no plano (ΣFx / ΣFy / ΣM) além de mais uma (momento fletor nulo em
5
A
B C
D
A
B C
D
“B”). Ou seja, 05 incógnitas e apenas 04 equações. A essa deficiência damos o
nome de GRAU DE HIPERESTATICIDADE EXTERNO. Desta forma podemos dizer
que o grau de hiperestaticidade externo é o número de equações
suplementares necessárias para o cálculo das reações de apoio da estrutura.
1.3.2. Grau de Hiperestaticidade Interno (gi):
Seja a estrutura abaixo:
Neste segundo caso apesar de as reações de apoio ser de imediata
obtenção (a partir das equações universais da estática), isso NÃO significa que a
estrutura esteja resolvida.
O simples conhecimento das reações não nos habilita a traçar seus
diagramas solicitantes devido ao fato de ser uma ESTRUTRA FECHADA e de, por
este motivo, não sabermostodas as forças a que está sujeita a estrutura. É
necessário, portanto, ABRIRMOS a estrutura.
Assim pode‐se definir GRAU de HIPERESTATICIDADE INTERNO da
estrutura como sendo o número de equações suplementares necessárias para
traçarmos os diagramas de esforços internos, o que no caso em questão é três.
6
( 1 ) ( 2 )
( 3 ) ( 4 )
1.3.3. Determinação do Grau de Hiperestaticidade Total (g):
        
onde:
r – nº de reações
e – nº de equações
nr – nº equações provenientes das rótulas e que é igual a (b ‐1)
b – nº de barras ligadas a rótulas.
  número de esforços internos necessários ao traçado dos
diagramas, conhecidas as reações.
1.3.4. Aplicações:
Classifique quanto à estaticidade e determine o grau de hiperestaticidade
total das estruturas que seguem:
7
( 5 ) ( 6 )
( 7 ) ( 8 )
( 9 ) ( 10 )
8
Capítulo II – Método das Forças
Formalmente, a resolução de estruturas hiperestáticas pelo Método das Forças
resolve o problema considerando os grupos de condições a serem atendidas
pelo modelo estrutural na seguinte ordem:
1° Condições de equilíbrio;
2° Condições sobre o comportamento dos materiais (leis constitutivas);
3° Condições de compatibilidade.
Na prática, entretanto, a metodologia utilizada pelo Método das Forças para
analisar uma estrutura hiperestática é:
• Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de
equilíbrio, mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura
original, para na superposição restabelecer as condições de compatibilidade.
Cada solução básica (chamada de caso básico) não satisfaz isoladamente todas
as condições de compatibilidade da estrutura original, as quais ficam
estabelecidas quando se efetuam a superposição de efeitos todos os casos
básicos.
A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral, uma
estrutura isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminação
de vínculos. Essa estrutura isostática é chamada Sistema Principal (SP). As forças
ou os momentos associados aos vínculos liberados são as incógnitas do
problema e são denominados hiperestáticos. Essa metodologia de solução de
uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças vai ser explicada
detalhadamente através da resolução de exemplos que serão apresentados a
seguir.
9
Exemplos de Aplicações
10
q= 2 kN/m
q=2 kN/m
         
        
         
        
X1 =1 kN
2 kN/m
s1
EXEMPLO I:
Calculando o grau de hiperestaticidade da estrutura obtemos:  1 → 1á
Desta forma se conclui que a estrutura apresenta 04 reações (incógnitas) – Rax,
RAy, MA e RBy – e apenas 03 equações (ΣFx=0 / ΣFy=0 / ΣM=0)
Pelo método das forças devemos então liberar um dos vínculos, para tal
adotaremos liberar o RBy.
X1:
X0:
Desta forma, pela superposição de efeitos, se obtêm a seguinte equação para o
problema:   .   0
Seção S1 (X0):
Σ  0 ∴   2  0
11
2 kN/m
s1
v
M +
+
10 kN
[D.E.C.]
-
-25 kN.m
[D.M.F.]
  2    0  10ΣM  0 ∴   2./2  0
  ²    0  25.
E = 210x109 [N/m²]
Seção da Viga (20x40)cm→     1,06710
Sabendo‐se que a derivada segunda do momento é análoga a derivada segunda
do deslocamento, tem‐se:
 "   ∴ "  "   ∴  3    3  ∴   12      1 12    
Aplicando as condições de contorno:
1º. x = L→ y’ = 0
  1 3   →     1 13     0 ∴   3
12
s1
X1
s1
v
M +
2º. x = L→ y = 0
  1 12  3   →     1 12  3    0 ∴   12  3
 4
Desta forma, a expressão final será:
  1 12  3   4 
Sabendo que ymax→ x=0
  1 4   4  54210101,06710  6,9710
Obs.: atentar  para as unidades na entrada dos dados
Seção S1 (X1):
Σ  0 ∴   1  0 ∴   1Σ  0 ∴   .   0 ∴   .    0.  5.
13
- 1 kN
[D.E.C.] +
5 kN.m
[D.M.F.]
Seguindo o mesmo procedimento do caso X0, obtêm‐se a seguinte expressão
final:
  1 6  2   3 
Sabendo que ymax→ x=0
  1 3    3  53210101,06710  1,86010
Seguindo no campo dos deslocamentos e sabendo que esse deslocamento no
ponto B deve ser nulo:
E = 210x109 [N/m²] = 210x106 [kN/m²]
Seção da Viga (20x40)cm→     1,06710
   .   0 ∴ 6,9710 1,8610  3,75
Como X1 refere‐se à reação de apoio no ponto B:
     3,75
Da mesma forma que o deslocamento é calculado pela soma ux0+ux1.X1, os
esforços internos e reações de apoio também são calculados:
14
+
10 kN
[D.E.C.]
-
-25 kN.m
[D.M.F.]
RAy=10 kN
   M
  =
   2
   5
   k
   N
 .  m
+
   M
  =
 -   5
   k
   N
 .  m
-
RAy=-1 kN
    . 
    . çã    . 
Resultados para X0:
Resultados para X1:
- 1 kN
[D.E.C.] +
5 kN.m
[D.M.F.]
15
+
-
+
-
[D.E.C.]
[D.M.F.]
6,25 kN
-3,75 kN
.  . . 
Em x = 0:   0 ∴ 1    .   0  1. 3,75  3,75
Em x = 5:   10 ∴  1    .   10  3,75. 1  6,25
.  . . 
Em x = 0:   0 ∴0    .   0 3,75.0  0
Em x = 5:   25. ∴  5.    .   25  3,75. 5  6,25.
  1,875  3,52.
  1,875  1,875.
16
25 kN.m
[D.M.F.] +
5 kN.m [D.M.F.]
-
xo
x1
+
5 kN.m [D.M.F.]
x1
+
5 kN.m [D.M.F.]
x1
25 kN.m
[D.M.F.] +
5 kN.m [D.M.F.]
-
xo
x1
O valor dos deslocamentos pode ser obtido também através de tabelas
elaboradas a partir da resolução destas integrais.
Da tabela obtêm‐se os valores de δij (deslocamento na direção i, provocado pelo
caso de carregamento x j:
δ10:
  .   . 25.5  156,25
δ11:   3.  53 . 5.5  41,67
  .   0 ∴ 156,25  . 41,67 ∴   3,75
17
Tabela I: Cargas virtuais utilizadas para calcular deslocamentos e rotações em
vínculos eliminados de estruturas hiperestáticas
18
Tabela II: Integração de diagramas de esforços
19
RAx
RBy RCyRAy
A B C
2 kN/m
[x0]
A B C
2 kN/m
X1=1 [kN]
[ 1]
A B C
EXEMPLO II:
Incognitas:
RAx , RAy, RBy, RCy – (4)
Número de Equações:
Σ  0 ∴ Σ  0 ∴ Σ  0 – (3)
Grau de Hiperestaticidade:            0  4  3  0  á
Optaremos por liberar o vínculo RBy.
Desta forma teremos:
+
20
RAx
RCyRAy
A C
2 kN/m
S1
+
 _ 
+
[D.E.C.]
[D.M.F.]
-10 kN
+10 kN
+25 kN.m
1º Caso de Carregamento [ X0 ]:
    . 2  2 
 .102 ∴     10
  . 8  2 
 .108  200.8  25.
Seção S1: Σ  0 ∴   2  10  0 ∴   2  10  2. 4  10  2  2. 0  10  10  2. 10  10  10
Σ  0 ∴   10 2.2  0 ∴   10    10. 4 4  24.  10. 0 0  0  10. 10  10  0
21
RAx
RAy
X1=1 kN
RCy
(a) (b)
X1=1 kN
(a) (b)
D.E.C. [kN]
D.M.F. [kN.m]
-0,4
+0,6
-2,4
2º Caso de Carregamento [ X0 ]:
  .  4.110 ∴   0,40  .  6.110 ∴   0,60
  ..  .  .  1. 6.410  2,4.
22
Pela tabela de integração de diagramas de esforços:
  3 . .. 1  .    103 . 25.2,4. 1  6.410  248  3 . .  103 . 2,4.2,4  19,20
  .   0 ∴ 248  . 19,20  0 ∴   12,92
Reações de Apoio:
    .  ∴   10 12,92.0,4  4,83    .  ∴   0 12,92. 1  12,92    .  ∴   10 12,92.0,6  2,25
Σ  4,8312,922,25  20⇔ Σ  2 .10 20
D.E.C.
    .   10 12,92. 0,40  4,83    .   2 12,92. 0,40  7,17    .   2 12,92. 0,60 5,75    .   10 12,92. 0,60  2,25
D.M.F.
    .   0. 12,92. 0  0,00    .   24. 12,92. 2,40  7,00.  0,00.
23
RAy=4,83 kN
RBy=12,92 kN
RCy=2,25 kN
2 kN/m
A
B
C
4,83 kN
5,75 kN
-7,17 kN
-2,25 kN
7,00 kN.m
24
A B C D
10 kN/m
A D
q=10 kN/m
[X0]
A D
[X1]
X1=1 kN
A D
[X2]
X2=1 kN
EXEMPLO III:
Incógnitas:
RAx , RAy, RBy, RCy e RDy – (5)
Número de Equações:
Σ  0 ∴ Σ  0 ∴ Σ  0 – (3)
Grau de Hiperestaticidade:            0  5  3  0  á
Neste exemplo liberaremos os vínculos RBy e RCy, assim:
25
A B C D
q=10 kN/m
RAX
RAy RDy
[X0]
A B C D
q=10 kN/m
RAX
RAy=60kN RDy=60kN
D.E.C. [kN]
D.M.F. [kN.m]
-60kN
60kN
180kN
S1
1º Caso de Carregamento [ X0 ]:
  0
    . 2  10
 .122 ∴     60
  . 8  10
 .128  1440.8  180.
26
q=10 kN/m
M
V
A D
RAX
RAy RDy
[X1]
X1=1 kN
Seção S1:
Σ  0 ∴   10  60  0 ∴   10  60  10. 0  60  60  10. 12  60  60
Σ  0 ∴   60 10.2  0 ∴   60  5  60. 0 5.0  0.  60. 4 5.4  160.  60. 7 5.7  175.  60. 12  5. 12  0.
2º Caso de Carregamento [ X1 ]:
  0
  .  1,00.8,0012 ∴   0,667
  .  1,00.4,0012 ∴   0,333
  ..  1,00.8,00.4,0012  32.²12  2,667.
27
D.E.C. [kN]
D.M.F. [kN.m]
0,333
-0,667
A D
RAy=-0,667 RDy=-0,333
[X1]
X1=1 kN
-2,667
A D
RAX
RAy RDy
[X2]
X2=1 kN
3º Caso de Carregamento [ X2 ]:
  0
  .  1,00.5,0012 ∴   0,417
  .  1,00.7,0012 ∴   0,583
  ..  1,00.7,00.5,0012  35.²12  2,917.
28
D.E.C. [kN]
D.M.F. [kN.m]
0,583
-0,417
A D
RAy=-0,417 RDy=-0,583
[X2]
X2=1 kN
-2,917
-2,667
180kN
-2,667-2,667
Pela tabela de integração de diagramas de esforços:
  3 ...1 .    123 . 180.2,667. 1 4.812  2.346,96
  6 ...2   .    126 . 2,667.2,667. 2 0  28,45
29
180kN
-2,917
-2,917-2,917
-2,667
-2,917
-2,667
-1,667
-2,667
-1,667
   M
   1
   M
   2
   M
   3    M
   4
-2,917
-1,667 -1,667
-2,917
  3 ...1 . ²   123 . 180.2,667. 1 7.512  2.610,72
  3 . .  123 . 2,917.2,917  34,03
(δ12)1 (δ12)2 (δ12)3
30
         3 . .  6 2.  .  2. 3 .  43 2,667.1,667 36 2,667. 2.1,6672,9171,667. 1,6672.2,917  53 1,667.2,917 5,928  14,588  8,104  28,62
  .   .   0  .   .   0
2.346,96.28,45. 28,62  02.610,72.28,62. 34,03  0
Desta forma obtêm‐se um sistema de equações de simples resolução (2
equações e 2 incógnitas).
Resolvendo‐se o sistema obtemos:   34,54   47,67
Cálculo das Reações de Apoio:
    .   .   60 34,54.0,667 47,67. 0,417  17,08    34,56    47,67
  60 34,54.0,333  47,67. 0,583  20,71
31
VX0 [kN]
-60kN
60kN
0,333
-0,667
0,583
-0,417
VX1 [kN]
VX2 [kN]
D.E.C. [kN]
17,08
11,38
29,29
-18,38
-20,71
Cálculo do Esforço Cortante:
D.E.C.
    .   . 
  60 34,54.0,667 47,67. 0,417  17,08  20 34,54.0,667 47,67. 0,417  22,92  20 34,54.0,333 47,67. 0,417  11,38  10  34,54. 0,333 47,67. 0,417  18,38  10 34,54. 0,333 47,67. 0,583  29,29  60 34,54. 0,333 47,67. 0,583  20,71
32
180kN-2,667
-2,917
   1
   6
   0
   k
   N
   1
   7
   5
   k
   N
-1,667
-1,667
MX0 [kN.m]
MX1 [kN.m]
MX2 [kN.m]
D.M.F. [kN.m]
M1
M2
-11,58
M3
Cálculo do Momento Fletor:
D.M.F.
    .   . 
    0,00  160 34,54.2,667 47,67. 1,667  11,58.  175 34,54.1,667 47,67. 2,917  21,63.  17,08  1,712  14,62.  11,58 11,38.1,1382  5,10.  21,63  29,29.2,9292  21,26.
33
A B C D
10 kN/m
X1=1 kN.m X2=1 kN.m
A B
X1
C
10 kN/m
X1
10 kN/m
C D
10 kN/m
B
A B
X1
C
X1
C DB
A B C C DB
X2 X2
[X0]
[X1]
[X2]
1 kN/m
R=q.L
2
R=q.L
2
R=-P
L
R=P
L
1 kN/m
R=-P
L
R=P
L
D.M.F. [kN.m]
D.E.C. [kN]
-q.L
2
q.L
2
-1
L
1
L
q.L²
8
-1 -1
EXEMPLO IV:
Outra maneira de resolver o anterior é liberando a continuidade da estrutura e
impondo momentos de engastamento unitário, conforme apresentado a seguir:
Desta forma:
Sabe‐se que:
34
A B
X1
C
10 kN/m
X1
10 kN/m
C D
10 kN/m
B
[X0]
+20
-20
+15
-15
+25
-25
+20
+11,25
+31,25
1º Caso de Carregamento [ X0 ]:
    . 2  10
 .42 ∴     20
  . 8  10
  . 48  20.
    . 2  10
 .32 ∴     15
  . 8  10
  . 38  11,25.
    . 2  10
 .52 ∴     25
  . 8  10
  . 58  31,25.
2º Caso de Carregamento [ X1 ]:
  1  14  0,25 ∴   1  0,25  1  13  0,33 ∴   1  0,33    0,00
35
A B
X1
C
X1
C DB
[X1]
-0,25
-0,33
-1 -1
A B C CB
X2 X2[X2]
-0,33
0,20
-1 -1
-1+20
+11,25
+31,25
-1
3º Caso de Carregamento [ X2 ]:
    0,00  1  13  0,33 ∴   1  13  0,33  1  15  0,20 ∴   1  1  0,20
Cálculo do
:
  3  3  0  43 .20.1 33 . 11,25.1 0  37,92
:
10
36
-1 -1
-1 -1
+20
+11,25
+31,25-1 -1
-1 -1
-1 -1
-1 -1
-1 -1
:
  0  3  3  33 .11,25.1 53 . 31,25.1  63,33
:
  3  3  0  43 .1.1 33 . 1. 1  2,33
:
  0  3  3  33 .1.1 53 . 1. 1  2,67
=
    0  6  0  36 .1.1  0,50
20
11
22
21 12:
37
Compatibilização das Rotações:
  .   .   0  .   .   0
37,92.2 ,33. 0,50  063,33.0 ,50. 2,67  0
Novamente um sistema de fácil resolução, que resulta em:
   11,63.   21,57
Observa‐se que ao invés de obtermos os valores das reações de apoio, neste
caso, obtemos os valores dos momentos fletores nos apoios.
Fazendo‐se o mesmo procedimento do Exemplo III têm‐se os esforços e as
reações de apoio.
    .   .     .   .     .   . 
E, desta forma, obtendo‐se os diagramas de esforços cortantes e de momento
fletores do exemplo anterior.
38
A B C D
10 kN/m
E
10 kN/m
20 kN/m
1 kN/m
R=q.L
2
R=q.L
2
R=P
L
R=-P
L
1 kN/m
R=P
L
R=-P
L
D.M.F. [kN.m]
D.E.C. [kN]
-q.L
2
q.L
2
1
L
-1
L
q.L²
8
1 1
A B C
10 kN/m10 kN/m
D E
10 kN/m
B
A B
X1
C
X1
D EB
[X0]
D
10 kN/m
C
D
X2
C
X2 X3 X3
A B C
10 kN/m10 kN/m
D E
10 kN/m
B
[X0]
D
20 kN/m
C
RAy=20 kN RBy=20 kN RCy=20 kNRBy=20 kN RCy=30 kN RDy=30 kN RDy=25 kN REy=25 kN
20 20
30
25
-20 -20
-30
-25
20 20 22,5
31,25
Mmax=q.L² =10.4²=20 kN.m
2 2
Mmax=q.L² =10.4²=20 kN.m
2 2
Mmax=q.L² =20.3²=22,5 kN.m
2 2 Mmax=q.L² =10.5²=31,25 kN.m
2 2
EXEMPLO V:
Dados os diagramas: g = 3
Resolução:
1º Caso de Carregamento [ X0 ]:
39
A B
X1
C
X1
D EB
[X1]
DC
1/4 -1/4
1/4
-1/4 1/4
-1/4
1 1
A B C D EB
X2
[X2]
DC
1/4 -1/4 -1/3 1/3
X2
1/4
-1/3
1 1
A B C D EB
X2
[X3]
DC
1/4 -1/4 -1/3 1/3
X2
-1/5
1/3
1 1
2º Caso de Carregamento [ X1 ]:
3º Caso de Carregamento [ X2 ]:
4º Caso de Carregamento [ X3 ]:
40
1 1
20 20 22,5
31,25

1 1

1 1
1 1

1 1
1 1

1 1
Cálculo de
  3  3  0  0  43 .20.1 43 . 20.1  0  0  53,33
  3  3  0  0  43 .1.1 43 . 1.1  0  0  2,67
  0 6 0 0  43 . 1.1  0  0  0  0,67
  0  0  0  0  0,00
:
41
1 1
20 20 22,5
31,25

 
1 1
1 1

1 1

1 1


  0  3  3  0  0  43 .20.1 33 . 22,5.1  0  49,17
  0  3  3  0  0  43 .1.1 33 . 1.1  0  2,33
  0 0 6  0  0  0  36 . 1.1  0  0,50
42

1 1
1 1

1 1
20 20 22,5
31,25
  0 0  3  3  0 0  33 .1.1 53 . 1.1  2,67
  0 0  3  3  0  0  33 .1.22,5 53 . 1.31,25  74,58
Resolução do Sistema:
  .   .   .   0  .   .   .   0  .   . .   0
53,33.2 ,67.0 ,67. 0,00  049,17.0 ,67.2 ,33. 0,50  074,58.0 ,00.0,50. 2,67  0
Substituindo temos:   0,67.  53,332,67  0,251.   19,97   0,50.  74,582,67  0,187.   27,93
49,17  0,251.  19,97. 0,67  2,33.  0,187.  27,93. 0,50  0   21,8252,0685  10,55.
43
A B
X1
C
X1
D EB
[X1]
DC
1/4 -1/4 -1/4 1/4
A B C
10 kN/m10 kN/m
D E
10 kN/m
B
[X0]
D
20 kN/m
C
RAy=20 kN RBy=20 kN RCy=20 kNRBy=20 kN RCy=30 kN RDy=30 kN RDy=25 kN REy=25 kN
A B C D EB
X2
[X2]
DC
1/4 -1/4 -1/3 1/3
X2
A B C D EB
X2
[X3]
DC
1/4 -1/4 -1/3 1/3
X2
Da mesma forma determinamos:
   17,33.   25,96.
Cálculo das Reações de Apoio:
    .   .   .    17,33. 10,55. 25,96.
  20 17,33.14  10,55.0  25,96.0  15,67  2020 17,33. 14  1410,55. 14  25,96. 0  46,03  20 30 17,33. 14 10,55. 14  1325,96. 13  43,17  3025 17,33.010,55.1325,96. 13  15  65,33  25  17,33. 0  10,55. 0 25,96. 153  19,81
44
20 20
25
-20 -20
-25
-30
1/4
-1/4
1/4
-1/3
-1/5
1/3
15,68
21,70
24,86
30,19
-24,33
-18,30
-35,14
-19,81
D.E.C . [kN]
Cálculo dos Esforços Cortantes:
    .   .   .    17,33. 10,55. 25,96.
Ponto A:   20  17,33.10,55. 0 25,96. 0  15,67
Ponto Besq:   20 17,33.10,55. 0 25,96. 0  24,33
Ponto Bdir:   20 17,33.10,55.25,96. 0  21,70
Ponto Cesq:   20 17,33.10,55.25,96. 0  18,30
Ponto Cdir:   30 17,33.0 10,55.25,96.  24,86
Ponto Desq:   30  17,33. 0 10,55.25,96.  35,14
Ponto Ddir:   25 17,33.0 10,55. 0 25,96.   30,19
Ponto E:   25  17,33. 0 10,55. 0 25,96.   19,81
45
20 20 22,5
31,25
1 1
1 1
1 1
-17,33
-10,55
-25,96
11,34
6,06
4,24
18,27
D.M.F. [kN.m]
Cálculo dos Momentos Fletores:
    .   .   .    17,33. 10,55. 25,96.
ã  20  17,33.12  10,55. 0 25,96. 0  11,34.ã  20 17,33. 1210,55.12  25,96.0  6,06.ã  22,5  17,33.0 10,55.12 25,96.12  4,24.ã  31,25  17,33.0 10,55. 0 25,96.12  18,27
46
20 kN/m
A
C
B
D
20 kN/m
X1=1
X2=1
A
C
B
D
EXEMPLO VI:
Grau de Hiperestaticidade: g = 2 (2x hiperestática)
Liberaremos os vínculos do apoio de segunda ordem
47
20 kN/m
A
C
B
D
RAx
RAy
MA
s3 s1
s2
[X0]
V
N M
1º Caso de Carregamento [ X0 ]:
Cálculo das Reações de Apoio:Σ  0 ∴   0Σ  0 ∴   20.6 ∴   120Σ  0 ∴  20.6. 62  0 ∴   360.
Seção S1:
Σ  0 ∴   0Σ  0 ∴   0Σ  0 ∴   0
48
V
N M
V
N
M
RAx=0
RAy=120 kN
MA=360 kN.m
-120 kN
120 kN
[D.E.N.] [D.E.C.]
-360 kN
[D.M.F.]
-360 kN
Seção S2:
Σ  0 ∴   0Σ  0 ∴   20.  0 ∴   20. 
x 0 ∴   0
x 6 ∴   120Σ  0 ∴   20. .   0 ∴  10.²
x 0 ∴   0
x 6 ∴   360.
Seção S3:
Σ  0 ∴   0Σ  0 ∴  120  0 ∴   120Σ  0 ∴  360  0 ∴   360.
Diagrama de Esforços [X0]:
49
A
C
B
D
RAx
RAy
MA
s3 s1
s2
X1=1
[X1]
V
N M
X1=1
2º Caso de Carregamento [ X1 ]:
Cálculo das Reações de Apoio:
Σ  0 ∴   1  0 ∴   1Σ  0 ∴   0 ∴   0Σ  0 ∴   0
Seção S1: Σ  0 ∴   1  0 ∴   1Σ  0 ∴   0Σ  0 ∴   1.   0 ∴   
x 0 ∴   0
x 3 ∴   3.
50
V
N M
X1=1
V
N
M
RAx=-1
RAy=0 kN
MA=0 kN.m
-120 kN
[D.E.N.] [D.E.C.]
1 kN
1 kN -1 kN
-360 kN
[D.M.F.]
3 kN.m 3 kN.m
3 kN.m
Seção S2:
Σ  0 ∴   1  0 ∴   1Σ  0 ∴   0Σ  0 ∴  1.3  0 ∴  3.
Seção S3:
Σ  0 ∴   1  0 ∴   1Σ  0 ∴   0  0 ∴   0Σ  0 ∴   1.   0 ∴   
x 0 ∴   0
x 3 ∴   3.
Diagrama de Esforços [X1]:
51
A
C
B
D
RAx
RAy
MA
s3 s1
s2
X2=1
[X2]
V
N M
X2=1
3º Caso de Carregamento [ X2 ]:
Cálculo das Reações de Apoio:
Σ  0 ∴   0Σ  0 ∴   1 ∴   1Σ  0 ∴   1.6  6.
Seção S1: Σ  0 ∴   0Σ  0 ∴  1  0 ∴   1Σ  0 ∴   0
52
V
N M
X2=1
V
N
M
RAx=0
RAy=-1 kN
MA=-6 kN.m
-120 kN
[D.E.N.] [D.E.C.]
1 kN
1 kN -1 kN
6 kN.m
[D.M.F.]
6 kN.m
Seção S2:
Σ  0 ∴   0  0 ∴   0Σ  0 ∴   1  0 ∴  1 Σ  0 ∴   0
Seção S3:
Σ  0 ∴   0Σ  0 ∴  1  0 ∴   1Σ  0 ∴   6  0 ∴   6.
Diagrama de Esforços [X1]:
53




Cálculo do δ:
  3 . .  . .  3 . .  33 .3.36.3.3 33 . 3.3  72
  0  3 . .  . .  0  63 . 6.6  3.6.6  180
  0  2 . .  2 . .  0  62 .3.6 32 . 3.6  81
δ12= δ21= 81
  2 .. 3 . .  0  32 .3.360 62 . 3.360  3.780
54

  0  4 . .  . .  0  64 . 6.360  3.6.360  9.720
Sistema de Equações:
  .   .   0  .   .   0
 3.780. 7 2. 81  09.720. 8 1. 180  0
Resolvendo‐se o sistema obtemos:   16,71   61,52
Cálculo das Reações de Apoio:
    .   .   120 16,71.0 61,52. 1  58,48  0 16,71. 1 61,52. 0  16,71  360 16,71.0 61,52. 6  9,12.    16,71    61,52  360 16,71. 3 61,52. 6  41,01.  0 16,71.3 61,52. 0  50,13.
55
BIBLIOGRAFIA
BEER, F.P. e JOHNSTON JR, E. R. (1989). Resistência dos materiais. 2a ed. São
Paulo: McGraw-Hill.
CAMPANARI, Flávio Antônio.(1985). Teoria das estruturas. v.1, 2, 3 e 4. Ed.
Guanabara Dois.
POPOV, Egor P. (1978). Introdução à mecânica dos sólidos. São Paulo: Edgard 
Blücher.
SUSSEKIND, José Carlos. (1994a). Curso de análise estrutural. v.2. 11a ed.São
Paulo:
Ed.Globo.
TIMOSHENKO, Stephen P. (1967). Resistência dos materiais. v.1. 3a ed. Rio de
Janeiro: Ao Livro Técnico.
LA ROVER, H.L. e DE MORAES, POLIANA DIAS. R. (2005). Apostila ECV 5220
–Análise Estrutural II. Santa Catarina: ECV/UFSC.
56
Capítulo III – Método dos Deslocamentos
O método dos deslocamentos, também conhecido como método da
rigidez, apesar de também ter aplicabilidade na resolução de estruturas
isostáticas é um método de análise estrutural bastante aplicado no caso
de estruturas grandes e complexas. Estas estruturas exigem a solução de
um grande número de equações, sendo necessária para a sua solução a
utilização de ferramentas computacionais.
Comparativamente, a formulação matemática do método dos
deslocamentos é muito semelhante à do método das forças, decorrendo
daí, quando da análise de problemas, qual dos dois se torna mais
vantajoso.
Em linhas gerais, podem‐se resumir os métodos das forças e dos
deslocamentos para aplicação a estruturas hiperestáticas como:
‐ Método das forças: A solução se dá pela determinação de seus esforços
para, a partir deles, obter as deformações, impondo como incógnitas os
esforços em vínculos.
‐ Método dos deslocamentos: A solução se dá pela determinação das
deformações sofridas pelos nós das diversas barras da estrutura para, a
partir desses valores, obterem os diagramas de esforços solicitantes da
estrutura. Estruturas hiperestáticas são resolvidas impondo como
incógnitas os deslocamentos emnós rígidos.
Ainda na seara das semelhanças e diferenças entre os dois métodos têm:
Método das Forças
Idéia básica:Determinar,dentrodoconjuntodesoluçõesemforçasquesatisfazemascondições de equilíbrio, qual asolução que faz com que ascondições de compatibilidadetambémsejamsatisfeitas.
Metodologia:Superporumasériedesoluçõesestaticamente determinadas
Método dos Deslocamentos
Idéia básica:Determinar,dentrodoconjuntodesoluções em deslocamentos quesatisfazem as condições decompatibilidade,qualasoluçãoquefaz com que as condições deequilíbriotambémsejamsatisfeitas.
Metodologia:Superporumasériedesoluçõescinematicamente determinadas
57
(isostáticas) que satisfazem ascondiçõesdeequilíbriodaestruturaparaobterumasoluçãofinalquetambémsatisfazascondiçõesdecompatibilidade.
Incógnitas:Hiperestáticos:forçasemomentosassociadosavínculosexcedentesàdeterminaçãoestáticadaestrutura.
Número de incógnitas:Éonúmerodeincógnitasexcedentesdas equações de equilíbrio,denominado  grau de
hiperestaticidade.
Estrutura auxiliar utilizada nas
 soluções básicas:Sistema Principal (SP): estruturaestaticamente determinada(isostática) obtida da estruturaoriginalpelaeliminaçãodosvínculosexcedentesassociadosaoshiperestáticos. Essa estruturaauxiliar viola condições decompatibilidade de estruturaoriginal.
Equações finais:Sãoequaçõesdecompatibilidadeexpressas em termos doshiperestáticos.Essas equações recompõem ascondições de compatibilidadevioladasnassoluçõesbásicas.
Termos de carga das equações
 finais:Deslocamentos e rotações nospontosdosvínculosliberadosnoSPdevidos à solicitação externa(carregamento).
(configurações deformadasconhecidas) que satisfazem ascondições de compatibilidade daestruturaparaobterumasoluçãofinal que também satisfaz ascondiçõesdeequilíbrio.
Incógnitas:Deslocabilidades:componentesdedeslocamentoserotaçõesnodaisque definem a configuraçãodeformadadaestrutura.
Número de incógnitas:Éonúmerodeincógnitasexcedentesdasequaçõesdecompatibilidade,denominado grau de hipergeometria.
Estrutura auxiliar  utilizada nas
 soluções básicas:Sistema Hipergeométrico (SH):estrutura cinematicamentedeterminada (estrutura comconfiguração deformada conhecida)obtidadaestruturaoriginalpelaadiçãodosvínculosnecessáriosparaimpedirasdeslocabilidades.Essaestruturaauxiliarviolacondiçõesdeequilíbriodaestruturaoriginal.
Equações finais:São equações de equilíbrioexpressas em termos dasdeslocabilidades. Essas equaçõesrecompõem as condições deequilíbrio violadas nas soluçõesbásicas.
Termos de carga das equações
 finais:Forçasemomentos(reações)nosvínculosadicionadosnoSHdevidosàsolicitaçãoexterna(carregamento)
58
1
11
21P2
12
22
P2
1)1
P1
2
2)1 2
Coeficientes das equações finais:Coeficientes de flexibilidade:deslocamentos e rotações nospontosdosvínculosliberadosnoSPdevidosahiperestáticoscomvaloresunitáriosatuandoisoladamente.
Coeficientes das equações finais:Coeficientesderigidez:forçasemomentosnosvínculosadicionadosnoSHparaimporconfiguraçõesdeformadas com deslocabilidadesisoladascomvaloresunitários.
Tal qual no método das forças, no método dos deslocamentos iremos nos valer
do Princípio da Superposição de Efeitos (White et al. 1976, West 1989, Felton &
Nelson 1996) para formalização dos métodos básicos da análise estrutural. Esse
princípio prescreve que a superposição dos campos de deslocamentos
provocados por vários sistemas de forças atuando isoladamente é igual ao
campo de deslocamentos provocado pelos mesmos sistemas de forças atuando
concomitantemente. Tal qual representação abaixo:
Para que se possa utilizar esse princípio é necessário que a estrutura tenha um
comportamento linear, comportamento este baseado em duas condições:
1ª Condição: que o material trabalhe no regime elástico‐linear.
2ª Condição: que seja válida a hipótese de pequenos deslocamentos (os
deslocamentos podem ser considerados pequenos quando as equações de
equilíbrio escritas para a geometria indeformada da estrutura fornecem
59
P
resultados praticamente iguais aos obtidos pelas mesmas equações de
equilíbrio escritas para a geometria deformada da estrutura)
Exceto em casos particulares, as estruturas civis têm deslocamentos pequenos
em comparação aos tamanhos característicos dos seus membros (comprimento
da barra ou altura da seção transversal, por exemplo).
Um contra‐exemplo, para o qual não é possível adotar a hipótese de pequenos
deslocamentos, é mostrado na figura abaixo.
Essa estrutura tem duas barras e três rótulas alinhadas, e o estado de equilíbrio
estável só pode ser alcançado para a estrutura na configuração deformada.
Cabos, que são estruturas muito flexíveis, é outro exemplo de estruturas cujo
equilíbrio é alcançado na geometria final, considerando os seus deslocamentos
sobrepostos à geometria inicial indeformada. Essas estruturas não serão
tratadas aqui, e serão classificadas como instáveis.
Para facilitar o entendimento do método seguiremos a mesma linha de
raciocínio apresentada por SÜSSEKIND (Curso de Análise Estrutural, vol.3), que
segue:
1. INCOGNITAS:
Contrário ao método das forças que considerava esforços simples (ou reações
de apoio) como incógnitas do problema, o método dos deslocamentos
determinará inicialmente as deformações sofridas pelos nós das diversas barras
da estrutura para, a partir desses valores, obterem os diagramas de esforços
solicitantes da estrutura. Desta forma, as incógnitas serão os ângulos de rotação
e os deslocamentos. Em seu cálculo serão desprezadas as deformações das
barras que compõem a estrutura devida a esforços normais, bem como as
devidas a esforços cortantes, não se constituindo este fato em nenhum erro
especial peculiar ao método.
Iniciaremos nosso estudo estabelecendo as deformações possíveis em uma
barra, a fim de determinarmos os esforços nela atuantes. Seja a barra AB
representada abaixo uma barra genérica de uma estrutura; devido aos esforços
60
que solicitam a barra, ela se deformará assumindo a posição A’B’, sendo essa
mudança de posição encarada como resultante das seguintes deformações,
independentes uma das outras:
Figura I – 1.2:
Translação da barra de δA: durante esta translação, a barra se mantém reta e
paralela à sua posição primitiva, de modo que não é despertado qualquer
esforço simples resta fase;
Figura I – 1.3:
Deslocamento linear de uma das extremidades da barra ao longo de uma
direção perpendicular a seu eixo, de valor ρBA (deslocamento ortogonal
recíproco dos nós B em relação ao nó A), sem rotação das extremidades da
barra. A barra se comporta como se fosse uma viga biengastada AB, cujo
engaste B sofreu recalque vertical igual a ρBA
Figura I – 1.4:
Rotação da extremidade A da barra de valor ϕA. A barra se comporta como viga
biengastada em que um dos engastes sofreu recalque angular de valor ϕA.
Figura I – 1.5:
Rotação da extremidade B da barra de valor ϕB. A barra se comporta como viga
biengastada em que um dos engastes sofreu recalque angular de valor ϕA.
61
Figura I – 1.6:
Deformação da barra, sem deslocamentos lineares nem rotações de
extremidade, devido ao carregamento externo aplicado. Nesta fase, a barra
funciona como uma viga biengastada submetida ao carregamento externo e que
pode ser determinado sem maiores dificuldades pelo método das forças.
Concluindo, basta conhecer os valores de ϕA, ϕB e ρBA para obtermos o
diagrama de momento fletores e, a partir dele, os demais diagramas solicitantes
para uma barra de uma estrutura,  já a translação δA da barra não introduz
qualquer esforço na mesma.
Observação Importante:  para estruturas espaciais é necessário conhecermos a
rotação e o deslocamento linear resultante de cada extremidade das barras que
compõem a estrutura. Esta rotação será dada  por  suas componentes ( ϕ X  , ϕY  ,
ϕ Z  ), e o deslocamento linear  por  suas componentes ( δ x  ,δy, δz), num total de 6
incógnitas  pornó da estrutura espacial, nos casos mais gerais. Para grelhas
 precisaremos conhecer  as rotações ( ϕ X  , ϕY  ) e o deslocamento linear  δz, num
total de 3 incógnitas por nó, nos casos gerais.
No caso da barra possuir uma das extremidades rotuladas (por exemplo “A”),
sua rotação nesta extremidade não será incógnita do problema, pois o diagrama
de momentos fletores final na barra AB será igual à soma daquele provocado
pelo deslocamento ortogonal recíproco ρBA, com o da rotação ϕB e com o do
carregamento externo, supostos aplicados numa viga apoiada AB (vide figura
abaixo).
62
Note que o método das deformações só pode existir devido à existência do
método das forças, que é aquele que fornece os diagramas para vigas
biengastadas (ou engastadas e rotuladas) devidos a ϕA, ϕB e ρBA... a partir dos
quais formularemos o método das deformações.
2. NÚMERO DE INCOGNITAS (Deslocabilidade interna e externa):
a. Deslocabilidade interna:
Seja a estrutura abaixo:
Já sabemos que as incógnitas do problema serão rotações e deslocamentos
lineares dos nós B e C, já que os engastes A e D não sofrem deformações.
No caso, entretanto, o nó C não apresenta deslocamentos lineares, pois, neste
caso, o apoio de 1º gênero impede a componente vertical, assim como o
engaste D a componente horizontal de deslocamento. Desta forma, a única
incógnita em C será sua rotação.
O nó B também não apresentará deslocamentos lineares, pois sua componente
vertical e horizontal será impedida, respectivamente, pelos engastes A e D, de
modo que a única incógnita, também no nó B, será a rotação.
Concluindo, teremos neste exemplo 2 incógnitas, número de nós rígidos (não
rotulados) da estrutura.
Portanto, dizemos que o número de deslocabilidades internas de uma estrutura
é igual ao número de rotações de nós que precisamos conhecer para poder
resolvê‐la. Então, o número de deslocabilidades internas (d i ) de uma estrutura,
é igual ao número de nós internos rígidos que ela possui (não incluídos os nós
extremos apoiados ou engastados, bem como, os rotulados).
6363
ObservaçãoObservação Importante:Importante:  para para estruturasestruturas espaciais,espaciais, oo númeronúmero dede
deslocabilidadesdeslocabilidades internasinternas éé igual igual aoao triplotriplo dodo númeronúmero dede nósnós internosinternos rígidosrígidos queque
aa estruturaestrutura possui. possui.
b.b. DeslocabilidadeDeslocabilidade externa:externa:
SejaSeja aa estruturaestrutura abaixo:abaixo:
ComoComo todostodos osos nósnós internosinternos sãosão rotulados,rotulados, nãonão necessitaremosnecessitaremos conhecerconhecer asas
rotaçõesrotações dasdas barrasbarras nestesnestes nós.nós. RestaResta‐‐nosnos analisaranalisar oo problemaproblema dosdos
deslocamentosdeslocamentos lineareslineares dosdos mesmosmesmos parapara conhecermosconhecermos oo númeronúmero dede incógnitasincógnitas
dodo problema.problema. IniciandoIniciando aa análiseanálise pelopelo nónó D,D, vemosvemos queque eleele nãonão teráterá
componentecomponente verticalvertical dede deslocamentodeslocamento (engaste(engaste emem A);A); nadanada impede,impede, porém,porém,
seuseu deslocamentodeslocamento horizontalhorizontal (primeira(primeira incógnitaincógnita dodo problema).problema). ParaPara indicarindicar aa
incógnita,incógnita, indicaremosindicaremos umum apoioapoio dede 1º1º gênerogênero emem DD (Figura(Figura II – – 4.2),4.2), mostrandomostrando
queque seriaseria necessárionecessário maismais umum vínculovínculo nana estruturaestrutura parapara queque oo nónó DD nãonão
deslocasse.deslocasse. DaDa mesmamesma formaforma queque ocorreocorre emem D,D, ocorreocorre nono nónó GG (segunda(segunda
incógnitaincógnita dodo problema).problema).
DestaDesta forma,forma, casocaso osos apoiosapoios ❶❶ ee ❷❷ exisexisssem,ssem, seriamseriam indeslocáveisindeslocáveis
linearmentelinearmente osos nósnós DD ee G,G, ee porpor conseqüênciaconseqüência osos nósnós EE ee F.F.
AA estruturaestrutura emem questãoquestão possuipossui então,então, doisdois deslocamentosdeslocamentos lineareslineares queque sãosão
impedidosimpedidos pelospelos apoiosapoios dodo 1º1º gênerogênero❶❶ ee❷❷,, ee dizemos,dizemos, então,então, queque elaela possuipossui
duasduas deslocabilidadesdeslocabilidades lineareslineares ouou externas.externas.
OuOu seja:seja: aa deslocabilidadedeslocabilidade externaexterna ((d d ee)) éé igualigual aoao númeronúmero dede apoiosapoios dodo 1º1º
gênerogênero queque precisamosprecisamos acrescentaracrescentar parapara queque todostodos osos nósnós sejamsejam linearmentelinearmente
indeslocáveis.indeslocáveis.
c.c. DeslocabilidadeDeslocabilidade Total:Total:
ÉÉ aa somasoma dasdas deslocabilidadesdeslocabilidades internasinternas ee externas:externas:       
6464
AplicaçãoAplicação II:: DetermineDetermine oo númeronúmero totaltotal dede deslocabilidadesdeslocabilidades parapara asas estruturasestruturas
planasplanas aa seguir.seguir.
6565
AplicaçãoAplicação IIII:: ObterObter oo númeronúmero totaltotal dede deslocabilidadesdeslocabilidades parapara asas grelhasgrelhas
(estruturas(estruturas planasplanas queque serãoserão solicitadassolicitadas perpendicularmenteperpendicularmente aa seuseu plano)plano)
abaixo:abaixo:
6666
CONVENÇÃOCONVENÇÃO DEDE SINAISSINAIS::
DesteDeste pontoponto emem diante,diante, estabeleceremosestabeleceremos umauma convençãoconvenção dede sinaissinais queque seráserá
adotadaadotada nesteneste métodométodo emem especial.especial. ConvençãoConvenção esta,esta, queque consisteconsiste emem chamarchamar
dede positivopositivo osos momentosmomentos ee rotaçõesrotações nosnos extremosextremos dasdas barrasbarras quandoquando osos
mesmosmesmos tiveremtiverem oo sentidosentido antianti‐‐horário,horário, alémalém dasdas demaisdemais convençõesconvenções abaixoabaixo..
AA convençãoconvenção dede sinaissinais parapara momentosmomentos fletoresfletores seráserá exploradaexplorada parapara descreverdescrever osos
diagramasdiagramas nosnos passospassos intermediáriosintermediários dodo método,método, conformeconforme seráserá visto.visto.
UmaUma dasdas utilidadesutilidades destadesta convençãoconvenção dede sinaissinais mostradamostrada acimaacima éé considerarconsiderar
informaçõesinformações sobresobre osos esforçosesforços queque atuamatuam emem umauma barra.barra. PorPor exemplo,exemplo,
considereconsidere aa vigaviga biengastadabiengastada abaixo:abaixo:
67
3. INTRODUZINDO OMÉTODO:
A base deste método consiste em determinarmos primeiramente os
deslocamentos e de forma indireta, a partir destes, os esforços.
Este método pode ser empregado tanto em estruturas ISOSTÁTICAS quanto em
estruturas HIPERESTÁTICAS; sua única limitação são as VIGAS BI‐ENGASTADAS.
No que se refere a estruturas reticuladas (barras ligadas por nós) o número de
incógnitas será igual ao número de deslocamentos nodais ou o número de graus
de liberdade (GL) de todos os nós da estrutura. Já para o caso de vigas, não
serão considerados deslocamentos axiais, portanto cada nó terá apenas 2GL,
que são: translação paralela a Y e rotação em torno de Z. No caso de existirem
forças horizontais aplicadas na viga, estas serão modeladas como pórticos
planos.
Em resumo, o método consiste em FIXAR a estrutura, introduzindo vínculos
fictícios, de forma a tornar a estrutura cinematicamente determinada, e através
das cargas aplicadas nas barras calcularem os esforços causados na estrutura
fixa (SP – Sistema Principal).
Na sequência são aplicados os deslocamentos nos nós e calculados os esforços
decorrentes destes na estrutura.
Através da superposição de efeitos calculam‐se os esforços totais que devem
estar em equilíbrio com as forças externas aplicadas nos nós, gerando um
sistema de equações de forças em torno dos nós da estrutura.
68
Obs.: em estruturas reticuladas, o único sistema principal  possível é obtido pela
 fixação de todos os nós, o que torna conveniente a utilização de  programas
computacionais.
4. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ‐ VIGAS:
a. Sistema de um GRAU DE LIBERDADE:
Seja a vigaengastada‐apoiada de rigidez EI abaixo:
A mesma apresenta apenas um grau de liberdade, a saber: rotação em B (em
geral, as vigas apresentam 2 graus de liberdade)
A temática do método baseia‐se em fixar a estrutura (limitar os deslocamentos,
inversamente ao que era feito no método das forças, onde, liberávamos os
vínculos e deixávamos a estrutura deslocar) e calculam‐se então os esforços de
ENGASTAMENTO PERFEITO, calculando para a estrutura fixa, o esforço
(momento) que surge na barra na direção de GL devido ao carregamento
externo. Como segue:
69
Posteriormente, aplica‐se o deslocamento B no nó e calculam‐se os esforços
correspondentes.
De forma elucidativa: como a estrutura NÃO é fixa em B e este em teoria
sofreria um deslocamento, impõem‐se este deslocamento no nó e calcula‐se o
esforço correspondente na barra. Este esforço será proporcional ao
deslocamento imposto, proporcionalidade esta dada pelo coeficiente da barra4 
Por fim, efetua‐se o equilíbrio das forças em torno de B. Por superposição de
efeitos calcula‐se o esforço total na extremidade da barra e iguala‐se à força
aplicada no nó.
12  4. .   0 ∴   4. . 12 ∴   48.
Nesta linha de raciocínio, podemos escrever a equação de equilíbrio das forças
da seguinte maneira:   .     
Onde: FEP é o esforço de engastamento perfeito;
S é o coeficiente de rigidez;
d é o deslocamento e
A a ação (força ou binário) aplicada no nó.
De forma a sistematizar o método, faremos a imposição de deslocamentos
unitários (assim como feito no método das forças) na direção dos GL. Desta
forma: para d1 = 1 teremos   4.   . Logo para d1 = B tem‐se  . .  ∴   .   . , onde S11 representa o esforço na
barra na direção 1 causado por um deslocamento unitário na direção 1.
Em linhas gerais, o grau de liberdade pode ser calculado pela seguinte equação
de equilíbrio de forças na direção 1:
70
  .   
De forma geral, para muitos graus de liberdade tem‐se:
  .   
Onde: { FEP } é o vetor de esforços de engastamento perfeito;
[ S ] é a matriz de rigidez da estrutura;
{ D } é o vetor de deslocamentos nodais e;
{ A } é o vetor de ações nodais.
Casa coeficiente Sij ( i  – efeito /  j  – causa), representa o esforço na barra na
direção ou GLi, causado por um deslocamento unitário na direção ou grau de
liberdade j.
Esforço de ESGASTAMENTO PERFEITO:
Os esforços de engastamento perfeito podem ser encontrados através do
Método das Forças.

  .²8  ∴     1
    3 . .²8 . 1  .³24
    3  1.1  3
    6 .1.1  6
71
.³8  3 .   6 .   0
.³8  6 .   3 .   0
Resolvendo o sistema obtemos:     .²
Desta forma, os momentos de engastamento perfeito da estrutura ficam assim
determinados:
Coeficientes de RIGIDEZ:
Também podem ser determinados pelo Método das Forças, impondo‐se
deslocamentos unitários nos graus de liberdade.
Sejam a estrutura engastada e apoiada estudada até agora, na qual se pretende
determinar o coeficiente S11 (grau de liberdade 1 causado pelo deslocamento
unitário imposto):

Através do Método das Forças (capítulo II), eliminam‐se os vínculos excedentes
obtendo‐se o seguinte SP:
72
  0 ∴    1  0
    3  1.1  3
    6 .1.1   6
.   .   .   .  ∴ .1  .   .   . .   .   .   .  ∴ . 0  .   .   . 
 3 .   6 .   6 .   3 .   0
   4.  ∴   2.
Desta forma o coeficiente de rigidez é   1  4  . O esforço na
extremidade da barra é igual à reação no engaste e observa‐se que na outra
extremidade ele equivale à metade 2  .
73
b. Sistema de dois GRAUS DE LIBERDADE:
Seja a figura abaixo com 2 graus de liberdade:
Pela superposição de efeitos, inicialmente fixa‐se a estrutura, aplica‐se as cargas
nas barras e determinam‐se os esforços de engastamento perfeito.
Posteriormente impomos o deslocamento unitário no grau de liberdade 1 (d1=1
e d2=0), determinando os esforços correspondentes (coeficientes de rigidez S11
em GL1 e S22 em GL2)
Pelas condições de equilíbrio, a soma dos esforços em um nó em certa direção
tem que ser igual à ação aplicada neste mesmo nó na mesma direção.
No GL1: FEP1 + S11.d1 + S12.d2 = A1 = M
No GL2: FEP2 + S21.d1 + S22.d2 = A2 = 0
O que resulta no seguinte sistema:
7474
ResolvendoResolvendo oo sistemasistema obtémobtém‐‐sese oo vetorvetor dede deslocamentosdeslocamentos {{ DD }:}:
[[ SS ]] .. {{ DD }} == {{ AA }} – – {{ FFEPEP }}
{{ DD }} == [[ SS ]]‐‐11 .. {{ AA – – FFEPEP }}
DestaDesta formaforma sese aa estruturaestrutura forfor isostáticaisostática ouou hiperestática,hiperestática, aa matrizmatriz [[ SS ]] poderápoderá
serser invertidainvertida sempre,sempre, logo,logo, dodo sistemasistema dede equaçõesequações obtémobtém‐‐sese {{ DD }.}. CasoCaso aa
estruturaestrutura sejaseja hipoestática,hipoestática, aa matrizmatriz [[ SS ]] seráserá singularsingular ((det[ det[  SS  ]=0 ]=0)) ee oo sistemasistema
NÃONÃO teráterá solução.solução.
VisandoVisando simplificarsimplificar aa resoluçãoresolução dodo métodométodo nono queque tangetange aa determinaçãodeterminação dosdos
momentosmomentos dede engastamentoengastamento perfeitos,perfeitos, serãoserão apresentadasapresentadas nana sequênciasequência asas
tabelastabelas algumasalgumas tabelastabelas bastantebastante úteis.úteis. AsAs queque sãosão parteparte integranteintegrante destadesta
apostilaapostila foramforam extraídasextraídas dada apostilaapostila TABELASTABELAS DEDE VIGAS:VIGAS: DeslocamentosDeslocamentos ee
MomentosMomentos dede EngastamentoEngastamento PerfeitoPerfeito dodo professorprofessor LibânioLibânio // UFSCar,UFSCar, porém,porém, asas
mesmasmesmas podempodem serser encontradasencontradas emem SUSSEKIND,SUSSEKIND, JoséJosé CarlosCarlos (Curso(Curso dede análiseanálise
estrutural,estrutural, volumevolume III),III), queque embasaembasa esteeste estudoestudo teóricoteórico dodo MétodoMétodo dosdos
Deslocamentos.Deslocamentos.
7575
7676
77
78
79
5. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS – TRELIÇAS:
a. Sistema com um GRAU DE LIBERDADE
Usaremos como exemplo uma barra de material homogêneo e seção
transversal constante, submetida a uma carga axial.
Imaginaremos a mesma como uma barra de treliça engastada em uma
extremidade e na outra uma carga de tração, conforme abaixo:
Fazendo analogia a mola elástica de rigidez k , deve‐se ter que a força P é
proporcional ao deslocamento u1, sendo esta proporcionalidade dada pela
rigidez axial da barra e desta forma temos a seguinte equação de equilíbrio:
Sabendo que a rigidez é o inverso da flexibilidade, e considerando conhecida a
rigidez, sendo esta obtida pelo PTV (Principio dos Trabalhos Virtuais = tabelas de
integração), temos:    
Para obtermos a solução da equação de equilíbrio temos:      
b. Sistema com dois GRAUS DE LIBERDADE
Para tanto analisaremos uma barra composta de duas hastes de comprimento e
seções desiguais.
80
Seguindo o raciocínio anteriormente adotado:
Teremos como constantes elásticas das molas:
Sendo a extremidade à esquerda fixa, teremos 2 graus de liberdade (u1 e u2).
Teremos então, o seguinte sistema de equações de equilíbrio:
Ou em sua forma matricial: [ S ] . { D } = { A }
A matriz de rigidez [ S ] pode ser obtida impondo‐se os deslocamentos u1 = 1 e
u2 = 0 obtendo‐se assim os coeficientes S11 = k1 + k2 e S21 = ‐k2.
81
Posteriormente impomos os deslocamentos como seguem: u1 = 0 e u2 = 1
obtendo‐se assim os coeficientes S12 = ‐k1 + k2 e S21 = k2.
Substituindo‐se os coeficientes Sij no sistema temos:
Para estruturas com muitas barras, ao invés de analisarmos de forma global,
dividimos a estrutura em elementos. As matrizes de rigidez de cada elemento
são calculadas isoladamente e, a partir delas, obtém‐se a matriz de rigidez da
estrutura, somando‐se os coeficientes correspondentes aosmesmos graus de
liberdade. Para n graus de liberdade, teremos um sistema de equações de
equilíbrio da estrutura n x n.
82
EXEMPLOS/APLICAÇÕES
Exemplo 01:
Seja a viga abaixo, cuja rigidez das barras é constante e igual a 72x10³ kN.m².
Determine o grau de liberdade. Calcule os deslocamentos pelo método da
rigidez.
Portanto a estrutura em questão possui 2 graus de liberdade (d1 e d2).
Dessa forma, para resolvermos o problema, primeiramente aplicamos as cargas
nas barras e encontramos os esforços de engastamento perfeito.
Pelas tabelas de momentos de engastamento perfeito temos:
83
Aplica‐se então d1 = 1 e conseqüentemente d2 = 0 e determinam‐se os esforços
correspondentes.
Aplica‐se após d2 = 1 e conseqüentemente d1 = 0 e determinam‐se os esforços
correspondentes.
Pela superposição de efeitos, defini‐se o seguinte sistema de equações:
No nó B (GL1):   .   .   
No nó C (GL2):   .   .   
84
Em sua forma matricial temos:
Substituindo os dados já determinados na forma matricial do problema tem‐se:
Que resulta em:
A partir dos deslocamentos d1 e d2 podem‐se encontrar os esforços nas barras
multiplicando‐se os coeficientes de rigidez de cada barra pelos deslocamentos
sofridos nas suas extremidades e somando‐se o resultado com os esforços de
engastamento perfeito nas extremidades das barras.
85
Exemplo 02:
Considere a viga abaixo. O valor da rigidez à flexão da mesma é EI = 1,2 x 104
kN.m². O valor da carga distribuída é de q = 12 kN/m. Determine o grau de
liberdade da mesma, calcule os deslocamentos e gere os diagramas DEC e DMF.
Como podemos verificar, as únicas deslocabilidades da estrutura são as
rotações em B e C.
Identificadas as deslocabilidades e o sistema hipergeométrico (SH) seguimos
com a superposição nos casos básicos.
Caso 0 – Carregamento Externo:
Fazendo as considerações dos momentos de engastamento perfeitos, temos:
86
  . 12  12.412 16.
  . 12  12.412 16.
  .²8  12.48  24. 16.  8.
  . 12  12.612 36.
  . 12  12.612 36.
  .²8  12.68  54.  36.  18.
  . 12  12.212 4.
  . 12  12.212 4.
  .²8  12.28  6. 4.  2.
(A)
(B)
Apresentamos o diagrama de duas formas. A primeira com a convenção usual
(lado da fibra da seção transversal que é tracionada), na segunda os valores dos
momentos são indicados nas extremidades das barras pela convenção de sinais
do método (anti‐horário positivo).
87
    16  36  20.    36 4  32.
Caso 1 – Deslocabilidade d1:
  2.  .   2.14 .1,2.10 6.000./
  4.  .   4.14 .1,210 12.000./
  4.  .   4.16 .1,2.10 8.000./
  2.  .   2.16 .1,2.10 4.000./    0
    12.000  8.000  20.000./  20.10./    4.000./  4. 10./
88
Caso 2 – Deslocabilidade d2:
    0
  2.  .   2.16 .1,2.10 4.000./
  4.  .   4.16 .1,210 8.000./
  4.  .   4.12 .1,2.10 24.000./
  2.  .   2.12 .1,2.10 12.000./
89
    4.000./  4.10./    8.000  24.000  32.000./  32.10./
Montando o sistema matricial, temos:
Resolvendo o sistema determinamos os seguintes deslocamentos:
O valor negativo de D1 indica que a rotação da seção no apoio interno da
esquerda se dá no sentido HORÁRIO e o valor positivo de D2 indica que a
rotação no outro nó interno tem o sentido anti‐horário.
Para determinação dos momentos fletores, temos:   .  .  ∴    1,25.10.  1,15.10. 
90
A determinação dos demais esforços e das reações seguirá sempre o mesmo
formato: conhece‐se a configuração deformada e daí  se tiram as demais
informações.
6. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS  – DIVISÃO EM ELEMENTOS (SISTEMA DE
COORDENADAS):
As estruturas reticuladas são divididas em elementos ligados entre si por nós,
aonde se supõem concentradas todas as forças de ligação. As ações e
deslocamentos são discretizados nos nós e a composição destes elementos para
constituir a estrutura resulta em um sistema de equações montado em forma
de matriz.
No caso deste método, as equações são equações de equilíbrio de forças em
torno dos nós. Uma estrutura com N nós, que em cada tem M graus de
liberdade (GL) resulta em um sistema NxM.
Considerações pertinentes:
Cada elemento é representado por uma linha reta, coincidente com o eixo da
barra, ligando 2 nós.
Uma extremidade livre, assim como uma vinculada a um apoio também é
considerada nó.
Deve‐se criar um nó fictício sempre que houver descontinuidade de tipo de
material ou seção da barra. Pode‐se inclusive, criar nó fictício sob cargas
concentradas.
91
Sistema de Coordenadas:
Em estruturas reticuladas utiliza‐se coordenadas cartesianas. Um sistema global
(X, Y, Z) para a estrutura e um local para os elementos (x, ,y, z ou XL , YL, ZL).
No sistema local, o eixo x coincide com o eixo LONGITUDINAL DA BARRA
passando pelo centroide da seção e o sentido positivo deste eixo é definido pela
incidência dos nós no elemento, conforme abaixo:
Grau de Liberdade:
Em relação ao sistema global, definem‐se os graus de cada nó: translação
paralela ao eixo X (UX); ao eixo Y (UY); ao eixo Z (UZ); rotação em torno do eixo
X (RX); do eixo Y (RY) e do eixo Z (RZ).
92
Exemplos de Estruturas Reticuladas:
Viga – 2 GL por nó – translação paralela a y e rotação em z;
Treliça Plana – 2 GL por nó – translação paralela a x e a y;
Treliça Espacial – 3 GL por nó – translação paralela a x, y e z;
93
Pórtico Plano – 3 GL por nó – translação paralela a x e y e rotação em torno de
z;
Grelha – 3 GL por nó – translação paralela a z e rotação em torno de x e y;
Pórtico Espacial – 6 GL por nó – translação paralela a x, y e z e rotação em torno
de x, y e z;
94
RESUMO DO MÉTODO PARA ESTRUTURAS RETICULADAS DIVIDIDAS EM
ELEMENTOS:
 Cada elemento é considerado isoladamente;
 Será calculada a matriz de rigidez do elemento não restringido, em
relação a todos os GL do elemento, inicialmente no sistema local [ SL ];
 Quando houver cargas aplicadas ao longo dos elementos ou barras, será
calculado o vetor de esforços de engastamento perfeito, inicialmente no
sistema local { FLEP };
 Através de uma transformação de coordenadas, encontra‐se a matriz de
rigidez do elemento no sistema global [ SG ] e o vetor de esforços de
engastamento perfeito também no sistema global { FGEP };
 Levando em conta e contribuição de todos os elementos será formada o
sistema de equações de equilíbrio para a estrutura não restringida, em
relação a todos os GL:∗ ∗.∗ ∗∗  Σ" ∗  Σ"
 Impõem‐se as condições de contorno, encontrando o sistema de
equações de equilíbrio da estrutura restringida:
   .   
 Resolve‐se o sistema e obtêm‐se o vetor de deslocamentos:
 A partir de { D } obtêm‐se as reações de apoio, encontra‐se o vetor de
deslocamentos nas extremidades de cada elemento, no sistema local { uL
}, e os esforços no elemento no sistema local:
95
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UM ELEMENTO NO SISTEMA LOCAL (ESTRUTURAS
RETICULADAS PLANAS):
Elemento de Viga:
Seja o elemento de viga com 2 GL abaixo. Cujo sistema local coincide com o
global.
O elemento ( i ), tem nó inicial J e final K, comprimento l e momento de inércia
I. O vetor de deslocamentos nodais é dado por:
E a matriz de rigidez por:
Para se obter os coeficientes da matriz de rigidez SLij, inicialmente fixam‐se as
extremidades do elemento e impõe‐se u1 = 1; em seguida u2 = 1.
96
Impõe‐se então o deslocamento unitário u3 = 1 e finalmente u4 = 1, com o
elemento fixo nas extremidades.
Desta forma, todos os coeficientes de rigidezjá podem ser calculados, inclusive
pelo método das forças.
Impondo u2 = 1, temos:
  4.  .  ∴    2.  . 
Pelas condições de equilíbrio temos que ∑MJ=0 e ∑Fy=0:
∑  0 ∴ .   2.  .  4.  .   0 ∴     6.  .. 1 6.  . 
∑  0 ∴     0 ∴   6.  .   6.  . 
De forma análoga, impomos u4 = 1:
  4.  .  ∴    2.  . 
Pelas condições de equilíbrio temos que ∑MJ=0 e ∑Fy=0:
∑  0 ∴ .   2.  .  4.  .   0 ∴     6.  .. 1 6.  . 
∑  0 ∴     0 ∴     6.  . 
Por equilíbrio definimos os demais coeficientes:
  6.  ∴    6.
97
∑  0 ∴   6.  6.     12∑  0 ∴     12.
  6.  ∴    6.
    6.  6.     12    12.
Desta forma a matriz de rigidez do elemento de viga (não restringido) no
sistema local é:
Esta matriz de rigidez é singular, não é inversível. É necessário restringir o
elemento para resolver o sistema de equações de equilíbrio. Não existe,
portanto, uma matriz de flexibilidade para elemento não restringido.
98
Elemento de Treliça:
Seja o elemento de barra de 2 GL formado pelos nós J e K. Em geral, o sistema
local não coincide com o sistema global; o vetor de deslocamentos nodais é { uL
}4x1 e a matriz de rigidez [ SL ]4x4.
O elemento tem comprimento l  e área da seção transversal A. Inicialmente,
fixa‐se o elemento a movimentos de translação, lembrando que as ligações são
articuladas (rotação não produzem esforços nos elementos).
Impõe‐se u1 = 1 e obtêm‐se:
  
Σ  0 ∴           0
Impõe‐se u2 = 1, movimento de corpo rígido e obtêm‐se: S12=S22=S32=S42=0
99
Impõe‐se u3 = 1 e obtêm‐se:
  
Σ  0 ∴           0
Impõe‐se u4 = 1, movimento de corpo rígido e obtêm‐se: S14=S24=S34=S44=0
A matriz de rigidez do elemento de treliça plana no sistema local pode ser então
escrita como:
Elemento de Pórtico Plano:
Seja o elemento de pórtico plano de 3 GL formado pelos nós J e K. O vetor
deslocamento nodal é { uL }6x1 e a matriz de rigidez [ SL ]6x6.
100
A matriz de rigidez do elemento de pórtico plano pode ser encontrada
superpondo‐se a matriz de rigidez do elemento de viga com a do de treliça
plana, uma vez que não há interação entre esforço axial e de flexão (pequenos
deslocamentos, estrutura linear).
GL 1 do elemento de viga GL 2 do elemento de pórtico plano
GL 2 do elemento de viga GL 3 do elemento de pórtico plano
GL 3 do elemento de viga GL 5 do elemento de pórtico plano
GL 4 do elemento de viga GL 6 do elemento de pórtico plano
GL 1 do elemento de treliça GL 1 do elemento de pórtico plano
GL 3 do elemento de treliça GL 4 do elemento de pórtico plano
Desta forma resultando:
101
De forma didática para facilitar o entendimento e aprendizado do método,
segue abaixo relacionada as matrizes de rigidez elementares
102
MATRIZ DE ROTAÇÃO – TRANSFORMAÇÃO DO SISTEMA DE COORDENADAS:
Seja por exemplo um elemento de pórtico plano, com eixo local XL formado com
um ângulo  em relação ao eixo global XG:
Decompondo‐se os deslocamentos uG1 e uG2 nos eixos xL e yL temos:
De onde, empregando conhecimentos de geometria analítica e com base nos
ângulos de Euler, se tira que: uL1 = uG1.cos + uG2.sen e
uL2 = uG1.sen + uG2.cos
Uma vez que a resultante dos vetores de translação    é a mesma.
Observa‐se também que uL3 = uG3 e uL6, pois a rotação do nó J assim como do nó
K é a mesma no plano (xL, yL ou xG, yG)
Na forma matricial temos:
103
De forma análoga para o nó K temos:
Escrevendo a relação entre o vetor de deslocamentos nodais do elemento no
sistema local, { uL }, e o vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema
global, { uG }, vem:
A matriz [ R ]6x6 é chamada de matriz de transformação de coordenadas do
sistema global para o sistema local ou matriz de rotação ( positivo do eixo
global para o local no sentido anti‐horário). Observa‐se que a matriz inversa
[ R ]‐1 pode ser obtida substituindo‐se  por ‐ (rotação inversa no sentido
horário do local para o global).
104
Uma vez que cos(‐)=cos e sen(‐)=‐sen, observa‐se que [ R ]‐1 = [ R ]T, ou seja,
a matriz [ R ] é uma matriz ortogonal. Portanto { uG } = [ R ]
‐1 { uL } = [ R ]
T{ uL }.
Para o elemento de treliça plana, tem‐se 2 GL no nó. Não se considera o GL de
rotação do nó, pois este não resulta em esforço na barra.
A matriz de transformação é:
MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO NO SISTEMA GLOBAL:
Seja por exemplo um elemento de pórtico plano. Supondo que não haja cargas
atuando ao longo do elemento, os esforços nas extremidades do elemento
dependem apenas dos deslocamentos nodais. As equações de equilíbrio no
sistema local e global se escrevem como segue:
105
Sendo { AL } e { AG } os vetores de esforços, [ SL ] e [ SG ] as matrizes de rigidez, {
uL } e { uG } os vetores de deslocamentos.
Já foi visto anteriormente que: { uL } = [ R ]. { uG }, analogamente:
Substituindo‐se temos:
Multiplicando por [ R ]T:
Substituindo em { AG }:
Comparando as equações obtém‐se a matriz de rigidez do elemento no sistema
global:
Apesar de esta expressão ter sido desenvolvida para o elemento de pórtico
plano, ela é genérica e, portanto, vale para todos os tipos de estrutura
reticulada.
VETOR DE ESFORÇOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO NO SISTEMA GLOBAL:
Para formar o vetor de esforços de engastamento perfeito devem‐se
transformar os esforços de engastamento perfeito de todos os elementos do
sistema local para o global. Desta forma:
106
SISTEMA DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA ESTRUTURA NÃO RESTRINGIDA:
Equações de equilíbrio de forças generalizadas em torno dos nós para estrutura
com apoios podem ser escritas: { A } = { FEP } + [ S ].[ D ], sendo:
{ A } as ações aplicadas nos nós;
{ FEP } os esforços nas extremidades dos elementos devido às cargas atuando
para a estrutura fixa (esforços de engastamento perfeito);
[ S ].[ D ] esforços devido aos deslocamentos nodais.
Essas mesmas equações podem ser reescritas para estruturas NÃO restringidas
(sem apoios): { A }* = { FEP }* + [ S ]*.[ D ]*
Ambos os sistemas de equações acima são considerados no sistema global de
todos os elementos, formulados em relação ao GL do elemento. A relação entre
os GLs do elemento e os GLs da estrutura será efetuada através da regra de
correspondência.
MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA:
A matriz de rigidez da estrutura não restringida [ S ]* é formada a partir das
matrizes de rigidez dos elementos no sistema global:
∗    ..    

 
Onde nelms é o número de elementos da estrutura.
A matriz [ S ]* é formada somando‐se a contribuição de todos os elementos, isto
é, os coeficientes S*ij, cujo primeiro índice “i” é o GL de um nó da estrutura, são
encontrados somando‐se os coeficientes das matrizes de rigidez [ SG ] dos
elementos que concorrem a este mesmo nó correspondentes ao mesmo GL”i”.
Deve‐se então identificar qual GL na extremidade do elemento que corresponde
a um GL de nó na estrutura.
107
Como exemplo, usaremos o pórtico plano abaixo:
Por exemplo, no nó “5” concorrem três elementos: (4), (5) e (6), cujos GL nas
extremidades (vetor deslocamento { uG }), no sistema global, estão
apresentados a seguir:
Para o elemento (6) o sistema local e o global coincidem, já para os elementos
(4) e (6), deve‐se transformar o vetor de deslocamentos do sistema local para o
global, como a seguir:
{ uL } = [ R ] . { uG }
{ uG } = [ R ]
T . { uL }
108
A direção generalizada, ou GL 14 da estrutura (D14, que é o segundo GL do nó 5),
correspondem as direções: 5 do elemento (4) / 2 do elemento (7) / 2 do
elemento (6).
A direção 15 (D15) corresponde às direções: 6 do elemento (4) / 3 do elemento
(7) e 3 do elemento(6).
O coeficiente S*14‐15 que exprime a influência de um deslocamento na direção
15 sobre o esforço na direção 14 (força vertical no nó 5), será a soma dos
coeficientes de influência das matrizes [ SG ] dos elementos (4), (6) e (7).
Para compreender fisicamente o significado desta expressão, multiplicam‐se
ambos os lados da mesma por D15:
Sendo que S*14,15 D15 (que é uma parcela de A14) representa a força na direção
14 devido a uma rotação no nó 5 (=D15), cuja magnitude é igual à soma das
forças nos elementos (4), (6) e (7) na direção correspondente à 14 (5, 2 e 2
respectivamente), devido a esta rotação do nó 5 nas extremidades dos mesmos.
109
Para S*14,15 contribuem três elementos que concorrem no nó 5,  já para o
coeficiente S*14,21 contribui apenas o elemento (7), pois S*14,21 exprime a força
na direção 14, causada por uma rotação unitária no GL 21 (existe um único
elemento que liga GL 14 ao GL 12).
Verifica‐se que S*14,10 é nulo, pois não há elemento ligando o nó 5 ao qual
pertence à direção 14 ( o que ocorrerá em vários outros coeficientes), o que
explica o fato dos coeficientes da matriz [ S ]* se agruparem em uma faixa em
torno da diagonal principal, os demais coeficientes fora desta faixa são nulos.
REGRA DE CORRESPONDÊNCIA:
Relaciona a numeração dos deslocamentos das extremidades dos elementos ({
uG }), com a numeração dos deslocamentos nodais da estrutura ({ D }). Em cada
elemento (i) os deslocamentos são numerados de 1 a 2 x NGL/nó
Na estrutura, os deslocamentos são numerados na ordem dos nós, sendo que,
em cada nó há NGL/nó, deslocamentos em ordem determinada pelos eixos do
sistema global.
Exemplo Teórico 1:
110
Tomando como exemplo o elemento 7 que liga o nó 5 ao 7 (J=5 / K=77), temos:
Exemplo Teórico 2: Elemento de Viga
Seja a viga abaixo cujo número de GL por nó é igual a dois (vigas).
111
Os coeficientes da matriz de rigidez da estrutura não restringida são formados a
partir dos coeficientes das matrizes de rgidez no sistema global de cada
elemento, usando‐se a regra da correspondência e somando‐se os coeficientes
que correspondem ao mesmo GL da estrutura nos nós onde concorrem os
elementos.
112
EXERCÍCIOS E APLICAÇÕES
1. Calcule a viga abaixo de rigidez EI = 72x10³ kN.m² pelo método dos
deslocamentos, levando em consideração a não restrição da mesma.
Primeiramente divide‐se a estrutura:
Fazendo a regra da correspondência:
Elemento
J
(1)
1
(2)
2
2J – 1 1 3 1
2J 2 4 2
2K – 1 3 5 3
2K 4 6 4
K 2 3
113
Matrizes de rigidez de cada elemento (sistema global coincide com local):
114
Vetores de esforços de engastamento perfeito:
115
SISTEMA DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA ESTRUTURA RESTRINGIDA:
Para considerar a estrutura como sendo restringida, devem‐se impor as
condições de contorno (deslocamentos nulos nas direções restringidas por
apoios)
O que equivale a eliminar as colunas de [ S* ] correspondentes aos GL
restringidos por apoios, e, consequentemente, como [ S* ] é simétrica, eliminar
também as linhas que correspondem aos CL restringidos. Ficando o sistema de
equações como segue:
Desta forma, seja a viga abaixo:
116
A mesmo possui 4 GL. As direções ou GL 1 e 2 são restringidas. Neste caso, os
esforços de engastamento perfeito do elemento são:
Para a estrutura não restringida tem‐se:
Fazendo‐se D1 = 0 e D2= 0 no sistema, obtém‐se:
Observa‐se que os coeficientes da coluna 1 e 2 de [ S ]* são multiplicados por
zero, portanto as colunas podem ser eliminadas.
Eliminando‐se também as linhas i e ii de [ S ]*, obtém‐se o sistema de equações
de equilíbrio para a estrutura restringida, em relação apenas às direções ou GL
livres (iii e iv)
117
Resolvendo o sistema:   . Inserindo D3 e D4 nas equações (i) e (ii)
obtém‐se as reações R1 e R2.
O sistema de equações pode ser escrito na forma ( D  deslocável; R 
restringida).
Da segunda linha { FEP }D + [ SDD ].{ D } = { A }, onde:
[ SDD ] é a matriz de rigidez da estrutura restringida [ S ];
{ FEP }D é o vetor de esforços de engastamento perfeito da estrutura restringida {
FEP };
Resolvendo o subsistema obtém‐se { D }.
Inserindo { D } na primeira linha do sistema  { R } = { FEP }R + [ SRD ] . { D },
obtém‐se as reações de apoio.
Nem sempre o sistema está assim arrumado, com direções restringidas no inicio
ou no final. Seja a viga bi‐apoiada abaixo:
{ FEP }* e [ S ]* não mudam em relação ao exemplo anterior, mudam as direções
restringidas:
118
Impõe as condições de contorno da estrutura, eliminando‐se as colunas 1 e 3 de
[ S ]* e por simetria as linhas 1 e 3 também (i e iii) no sistema de equações, o
que sobra é o sistema de equações da estrutura restringida:
Cuja solução fornece o vetor de deslocamentos nodais da estrutura:
Inserindo D2 e D4 nas linhas (i) e (iii) do sistema de equações, obtêm‐se as
reações de apoio R1 e R3.
119
APLICAÇÕES
Para fixar melhor o método segue uma série de exercícios resolvidos e
propostos.
Estruturas SEM deslocabilidades Externas:
Aplicação 01: Obter o diagrama de momento fletores e as reações de apoio
para a estrutura abaixo.
Dados: E = 2x106 t/m² / I = 0,024 m4
Sistema Principal:
Podemos verificar que a estrutura abaixo apresenta apenas deslocabilidades
internas (2), a saber: rotação em B e C. Desta forma, para representá‐las
colocaremos chapas rígidas nos nós citados.
120
Efeitos no sistema principal:
a. Carregamento Externo:
FEP1=+6 FEP2=+12
Para Barra 2:
Para Barra 3:
Desta forma obtemos as rotações indicadas no esquema acima:
FEP1=+6
FEP2= +18 ‐ 6 = +12
b. Rotação em S1:
Neste método não somos obrigados a impor rotações unitárias, podemos
trabalhar com a rigidez relativa da barras. De forma a simplificar os cálculos,
multiplicaremos a rigidez real por 4E/10³.
Assim, girando o nó 1, teremos:
S11=+7 S21=+1,5
121
Como sabemos, o coeficiente de transmissão neste caso vale +0,50
c. Rotação em S2:
Adotando o mesmo critério acima e girando o nó 2, teremos:
Para a barra 2:      24 8  3
Para a barra 3:      24 6  4
Para a barra 4:   3.  4.   3.24 4.6  3
Desta forma resulta em:
S21 = +1,5 S22 = +10
Cálculo das Incógnitas:
     .          . 
   7 1,51,5 10 .  612  167,75 .  10 1,51,5 7  .  612  0,621,11
Efeitos Finais:
Serão dados por E = E0  – 0,62.E1  – 1,11.E2, obtendo‐se os momentos finais nas
extremidades das barras indicadas, a partir dos quais, obteremos as reações de
apoio e o diagrama de momentos fletores pedidos.
Notar que a soma dos momentos em torno de cada nó deve ser zero, pois não
existe carga‐momento aplicada à estrutura (geralmente há apenas um valor
residual)
122
Obs.: Lembre que as rotações verdadeiras serão dadas por:
123
Aplicação 02: Obter o diagrama de momento fletores e as reações de apoio
para a estrutura abaixo.
Aplicação 03: Obter o diagrama de momento fletores para a viga de inércia
constante abaixo.
Estruturas COM deslocabilidades Externas:
Aplicação 04: Obter o diagrama de momento fletores para a estrutura abaixo
devido ao carregamento e ao recalque de apoio em D de 1 cm de cima para
baixo, associado a um recalque horizontal de mesmo valor da esquerda para a
direita ( EJ = 2x104t.m² )
124
Sistema Principal:
Note que a estrutura apresenta uma deslocabilidade interna (rotação em B),
porém, também apresenta uma externa (deslocamento horizontal em B ou C).
Desta forma, para se tornar indeslocável o sistema, devemos:
Efeitos no sistema principal:
a. Carregamento Externo:
Aplicando o carregamento externo temos o funcionamento da barra BC
como engastada e apoiada e desta forma, da tabela de engastamento
perfeito:  2.6²8 9
125
Devido a este funcionamento, aparecerão reações verticais em B e C que se
transmitirão aos apoios A e D, conforme a figura abaixo. Nenhuma reação
horizontal é despertada nesta fase.
b. Rotação em S1:
Aplicando uma rotação em S1 à chapa 1,