Método das Forças - Temperatura & Recalque nos Apoios

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Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 3: Método das Forças – Temperatura & Recalque 
nos apoios
Apresentação
Nesta aula veremos que a variação de temperatura (d ) e/ou os recalques de apoios (d ) provocam deformações e 
esforços internos em estruturas hiperestáticas. Usaremos o Método das Forças para resolver essa estrutura.
Em uma estrutura isostática as variações de temperatura e recalque só acarretam deformações da estrutura, sem gerar 
esforços internos; já nas hiperestáticas, as vinculações adicionais impediriam esse deslocamento livre, gerando esforços 
internos e reações diferentes de zero.
iT ir
Objetivos
• Resolver estruturas hiperestáticas devido a variações de temperaturas (d ) e/ou recalques de apoios (d ), usando o 
Método das Forças;
• Traçar os diagramas solicitantes devido a variações de temperaturas (d ) e/ou recalques de apoios (d ).
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Variação de temperatura & recalques de apoio
No caso de querermos resolver uma estrutura hiperestática para uma variação de temperatura e/ou para recalques de apoios, 
teremos tão somente que substituir (ou somar) os d (deformações, no estado zero – só carga) por d e/ou d .i0 iT ir
Temperatura
A variação de temperatura provoca deformação e esforços internos em estrutura hiperestática. As solicitações térmicas são de 
grande importância para o dimensionamento de uma estrutura.
Vejamos a seguir a fórmula para calcular a variação de temperatura: 
= E [ Ami + α tg Ani]δiT Jc α ΔTh
Onde:
E ➔ Módulo de elasticidade longitudinal do material;
J ➔c
Momento de inércia da seção transversal em relação a seu eixo neutro (uma inércia arbitrária, 
chamada inércia de comparação (que usualmente é arbritada à menor das inércias das barras));
a ➔ Módulo de elasticidade longitudinal do material;
h ➔ Altura da seção transversal;
Dt ➔
ti – te
ti = temperatura nas fibras internas,
te = temperatura nas fibras externas.
tg ➔
Variação de temperatura no centroide da seção transversal.
Tg = (te + ti) / 2
Ami ➔ Área do diagrama do momento fletor (DMF);
Ani ➔ Área do diagrama do esforço normal (DEN).
Recalques de apoios
A solicitação de recalque de apoio é semelhante à de variação de temperatura, cujo o apoio sofra um recalque conhecido, 
indicado na estrutura. Se quisermos calcular a estrutura, temos: 
= −E [ Ripi] = −E [ (Mpm + V pv + Hph)]δiT Jc ∑ Jc ∑
Onde:
E ➔ Módulo de elasticidade longitudinal do material;
J ➔c
Momento de inércia da seção transversal em relação a seu eixo neutro (uma inércia arbitrária, 
chamada inércia de comparação (que usualmente é arbritada à menor das inércias das barras));
r ➔ recalques;
Será explicado detalhadamente pelos exercícios resolvidos a seguir.
Exercícios resolvidos
Nestes exemplos a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J.
Exemplo 1 
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo, conforme mostra a Figura 1.
Dados:
• Seção da viga de 6m de comprimento (barra 1): 20cm x 50cm (b x h).
• Seção da viga de 8m de comprimento (barra 2): 40cm x 80cm (b x h).
E = 8 x 10 kN/m
a = 10 /°C
6 2
-5
 Figura 1 – Viga com temperatura externa de -16ºC e temperatura interna de 8ºC
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga
G = I – E – R
G = 5 – 3 – 0 = 2 ➔ estrutura duas vez hiperistática que desejamos resolver (X1 e X2).
Logo o sistema será:
e
e
d1t + d11 X1 + d12 X2 = 0
d2t + d21 X1 + d22 X2 = 0 
2º Passo: Sistema Principal (S.P.)
Escolher uma estrutura isostática. Colocar os nomes nas barras e nos apoios, para facilitar os cálculos e indicar X1 e X2, 
conforme a Figura 2.
 Figura 2 – Sistema Principal. Uma estrutura isostática com X1 e X2
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras
O comprimento elástico das barras:
= LL′ Jc
J
Onde:
L’ = comprimento elástico;
L = comprimento da barra;
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura;
J = menor momento de inércia de toda a estrutura;Altura da seção transversal;
Calculando o momento de inércia das barras:
J =viga barra1 bh /12 = 0,2 x 0,5 /12 = 0,002083m3 3 4
J =viga barra2 bh /12 = 0,4 x 0,8 /12 = 0,017067m3 3 4
Calculando o L’ das barras:
Barra 1 ➔ L’ = 6 x 0,002083/0,002083 = 6m1
Barra 2➔ L’ = 8 x 0,002083/0,017067 = 0,9764m2
4º Passo: Estado 1 (só X1)
Carga de 1 kN no X1 (no hiperestático), Figura 3.
 Figura 3 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1
5º Passo: Estado 2 (só X2)
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com a carga de 1kN no X2 (no hiperestático), 
Figura 4.
 Figura 4 – Diagrama de momento fletor (M2), com a carga de 1kN no X2
6º Passo: Calcular as E J d 
Fazemos a multiplicação dos momentos fletores, de cada barra, usando a Tabela de Kurt Beyer. 
c
Barra 1: L’ de 6m com triangulo (6kNm) x triângulo (6kNm).
= xδ11 M1 M1
L' M = x 6 x 6 x 6 = 7213 M̄̄̄̄
1
3
Barra 2: L’ de 0,9764m com trapézio (6kNm a 14kNm) x trapézio (6kNm a 14kNm).
x L' [ (2 x MA +MB) + (2 x MB + MA) ]16 MA
¯ ¯¯̄ ¯̄ MB¯ ¯¯̄ ¯̄
x 0, 9764[ (2 x 6 + 14) + (2 x 14 + 6) ] = 102, 8516 6̄̄̄ 14
¯ ¯¯̄
=δ11 174,85
d12 = d21 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 2: 
= = xδ12 δ21 M1 M2
Barra 1 = 0;
Barra 2: L’ de 0,9764m com trapézio (6kNm a 14kNm) x triângulo (8kNm).
= x L' x M x (MA + 2MB)16
= x 0, 9764 x 8 x (6 + 2 x 14) = 44, 2616
= = 44, 26δ12 δ12
d22
Multiplicar o momento fletor do Estado 2 com o momento fletor do Estado 2: 
= xδ22 M2 M2
Barra 1 = 0;
Barra 2: L’ de 0,9764m com triângulo (8kNm) x triângulo (8kNm).
L'M = x 0, 9764x8x8 = 20, 8313 M̄̄̄̄
1
3
= 20, 83δ22
δ1t
Temperatura para o estado 1.
= E [ Ami + a tg Ani]δ1T Jc aΔTh
Δt = 8 – (-16) = 24ºC
Am = 18m2 (barra1) + 80m2 (barra2)
[𝛼 𝑡𝑔 𝐴𝑛𝑖] = 0 → esse trecho é igual a 0, porque não tem esforço normal.
h = 0,5m
h = 0,8m
barra1
barra2
Barra 1:
= 8x x0, 002083 [ x18] = 143, 98δ1T 106 x2410
−5
0,5
Barra 2:
= 8x x0, 002083 [ x80] = 399, 94δ1T 106 x2410
−5
0,8
= 543, 92δ1T
d2t
Temperatura para o estado 2.
= E [ Ami + a tg Ani]δ1T Jc aΔTh
Δt = 8 – (-16) = 24ºC
Am = 0 m2 (barra1)+ 32m2 (barra2)
[𝛼 𝑡𝑔 𝐴𝑛𝑖] = 0 esse trecho é igual a 0, porque não tem esforço normal.
h barra1 = 0,5m
h barra2 = 0,8m
Barra 1= 0
Barra 2:
δ2T=8x106 x 0,002083 x 10-5 x 240,8 x 32=159,97
δ2T=159,97
7º Passo: Sistema
Montar o sistema para achar X1 e X2.
d1t + d11 X1 + d12 X2 = 0
d2t + d21 X1 + d22 X2 = 0
543,92 + 174,85 X1 + 44,26 X2 = 0
159,97 – 44,26 X1 + 20,83 X2 = 0 
Resolvendo:
X1 = -2,53kN
X2 = -2,31kN 
deu negativo, significa que o sentido de X1 e X2 está contrário (é para baixo).
Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos os valores de X1 e X2, conforme a Figura 5.
 Figura 5 – Estrutura original (hiperestática) com os valores de X1 e X2
Agora calculamos as reações de apoio (Figura 6 e Figura 7) e desenhamos os diagramas solicitantes. 
 Figura 6 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática)
 Figura 7 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática)
Exemplo 2 
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, conforme mostra a Figura 8. 
Dados:
Temperatura externa (Te) = 35ºC
Temperatura interna (Ti) = 10ºC
Seção da viga: 20cm x 40cm (b x h)
Seção dos pilares: 20cm x 30cm (b x h)
E = 3000MPa
a = 10 /°C-5 
 Figura 8 – Pórtico com temperatura externa de 35ºC e temperatura interna de 10ºC
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga:
Ge = I – E – R
Ge = 4 – 3 – 0 = 1 estrutura uma vez hiperistática, que desejamos resolver (X1).
Logo o sistema será:
d1t + d11 X1 = 0 
2º Passo: Sistema Principal (S.P.)
Escolher uma estrutura isostática. Colocar os nomes nas barras e nos apoios, para facilitar os cálculos e indicar X1, conforme a 
Figura 9.
 Figura 9 – Sistema Principal. Uma estrutura isostática com X1
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras
O comprimento elástico das barras: 
L' = L Jc
J
Onde:
L’ = comprimento elástico;
L = comprimentoda barra;
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura;
J =
J = menor momento de inércia de toda a estrutura;Altura da seção transversal;
Calculando o momento de inércia das barras:
PILAR bh /12 = 0,2 x 0,3 /12 = 0,00045m
3 3 4
J =VIGA bh /12 = 0,2 x 0,4 /12 = 0,001067m3 3 4
Calculando o L’ das barras:
Barra 1 ➔ L’ = 3 x 0,00045/0,00045 = 3m1
Barra 2 ➔ L’ = 6 x 0,00045/0,001067 = 2,53m2
Barra 3 ➔ L’ = 3 x 0,00045/0,00045 = 3m3
4º Passo: Estado 1 (só X1)
Carga de 1kN no X1 (no hiperestático), Figura 10 e Figura 11. 
 Figura 10 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1. 
A área do diagrama de momento fletor é de: (4,5m ; 18m ; 4,5m ).2 2 2
 Figura 11 – Diagrama de esforço normal (DEN), com a carga de 1kN no X1. 
A área do diagrama de esforço normal é de 6m2.
5º Passo: Calcular as E Jc d
Fazemos a multiplicação dos momentos fletores, de cada barra, usando a Tabela de Kurt Beyer. 
δ11
= xδ11 M1 N1
Barra 1: L’ de 3m com triângulo (3kNm) x triângulo (3kNm).
= xδ11 M1 N1
Barra 2: L’ de 2,53m com retângulo (3kNm) x retângulo (3kNm).
L'M = 2, 53x3x3 = 22, 77M̄̄̄̄
Barra 3: L’ de 3m com triângulo (3kNm) x triângulo (3kNm).
L'M = x3x3x3 = 913 M̄̄̄̄
1
3
= 40, 77δ11
d1t
Temperatura para o estado 1.
Δt = 10 – 35 = -25ºC
Tg = (te +ti) / 2 = (35 + 10) / 2 = 22,5ºC
h = 0,
h = 0,4m 
= E [ Ami+ a tg Ani]δ1T Jc aΔth
pilar
viga
= 3x [ x(−25) x ( + + )]+ x22, 5x(−6)δ1T 107 10−5 −180,4
−4,5
0,8
−4,5
0,3 10
−5
= 234, 90δ1T
6º Passo: Sistema
Montar o sistema para achar X1 e X2. 
d1t + d11 X1 = 0
234,90 + 40,77 X1 = 0
Resolvendo:
X1 = -5,76kN 
Se deu negativo, significa que o sentido de X1 está no sentido contrário (é para outro lado).
Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos o valor de X1, conforme a Figura 12.
 Figura 12 – Estrutura original (hiperestática) com o valor de X1
Após colocar o valor de X1, calculamos as reações de apoio e desenhamos os diagramas solicitantes:
 Figura 13 – Diagrama de Esforços Normais (DEN) na estrutura original (hiperestática)
 Figura 14 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática)  Figura 15 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática)
Saiba mais
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Atividade
1. Calcular pelo Método das Forças as estruturas abaixo e desenhar os diagramas de esforços internos. EI = 100000MPa. Te = 
25ºC e Ti = 10ºC. a = 10-5/ºC.
2. Recalque nos apoios A e B de rV = 2 cm (para baixo).
3. Recalque no apoio A rV = 3cm (para baixo).
Notas
4. Recalcular todas as estruturas vistas nesta aula com outro Sistema Principal (S.P.).
A Tabela de Kurt Beyer, na Figura 49.
 Figura 49 – Fonte: https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg
Notas