Método da Deformação para Estruturas Hiperestáticas

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Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 4: Método do Deslocamento (Método da 
Deformação)
Apresentação
Na segunda e terceira aula, vimos como calcular uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças. Outra maneira de 
calcular uma estrutura hiperestática é pelo Método da Deformação (método do deslocamento).
No método das forças, as incógnitas do problema hiperestático eram esforços simples (reação de apoio e/ou rótulas 
colocadas) que quando determinados, permitiam o conhecimento imediato dos diagramas de esforços solicitantes para a 
estrutura em estudo (SUSSEKIND, s./d.).
Pelo Método da Deformação a resolução da estrutura hiperestática será abordada inversamente, isto é, determinando-se 
primeiro as deformações sofridas pelos nós das diversas barras da estrutura para, a partir desses valores, obter os 
diagramas de esforços solicitantes da estrutura.
Objetivos
• Compreender um dos métodos clássicos para análise de estruturas hiperestáticas, o Método das Deformações;
• Calcular uma estrutura hiperestática com o método das deformações;
• Traçar os diagramas solicitantes de uma estrutura hiperestática, usando o método das deformações.
Método das Deformações (método do deslocamento ou método 
da rigidez)
 Fórmula matemática em notebook (Fonte: Shutterstock)
Por ser amplamente utilizado em programações automáticas, é o mais importante de análise de estruturas. Nele as incógnitas 
são os ângulos de rotação e os deslocamentos lineares sofridos pelos nós das diversas barras.
Em seu cálculo, serão desprezadas as deformações das barras que compõem a estrutura devido a esforços normais e também a 
esforços cortantes, não se constituindo em nenhum erro especial peculiar ao método pois, também no estudo do Método das 
Forças, foi usual desprezar essas deformações (a não ser no caso de peças trabalhando basicamente ao esforço normal: barras 
de treliças, escoras, tirantes, arcos, pilares esbeltos, peças protendidas em geral etc.) quando do cálculo dos (SUSSEKIND, 
s./d.).
Número de incógnitas – deslocabilidade interna e externa
Deslocabilidade interna (di) ∎ placa
O número de deslocabilidades internas de uma estrutura é igual ao número de nós internos rígidos que ela possui. Não se coloca 
placa no fim da estrutura (lá, o momento fletor é 0).
Vejamos o cálculo do número de deslocabilidades internas no pórtico abaixo (Figura 1).
 Figura 1 – Pórtico com 2 placas (duas deslocabilidade internas).
Cálculo do número de deslocabilidaddes internas no pórtico:
Nó A➔ não precisa de placa, pois o engaste não sofre deformação;
Nó B➔ precisa de placa, para saber a rotação em B;
Nó C➔ não precisa de placa, pois há uma rótula em C (não há deslocabilidade interna a considerar);
Nó D➔ precisa de placa, para saber a rotação em D;
Nó E➔ não precisa de placa (nó extremo), esse trecho de E até F é isostático;
Logo, di = 2
Conclui-se que o número de incógnitas do pórtico é igual a 2, números de 
nós internos (não rotulados) da estrutura. Dizemos que o número de 
deslocabilidades internas de uma estrutura é igual ao número de rotações de 
nós que precisamos conhecer para poder resolvê-la.
Saiba mais
Fique atento aos seguintes fatos:
• Nas estruturas espaciais existem componentes de rotação em torno de 3 eixos ortogonais, logo, o 
número de deslocabilidades internas é igual ao triplo de nós rígidos que a estrutura possui;
• No caso de grelhas, existem componentes de rotação em torno dos 2 eixos que contém a grelha, logo, 
o número de deslocabilidades internas é igual ao dobro do número de nós internos rígidos.
Deslocabilidade Externa (de) ▲ (apoio de 1º gênero)
Cálculo do número de deslocabilidades externa e interna no pórtico abaixo (Figura 2).
 Figura 2 – Pórtico com 3 placas e 3 apoios adicionais.
Cálculo do número de deslocabilidades internas e externa no pórtico:
Nó A➔ não precisa de placa, pois o engaste não sofre 
deformação;
Nó B➔ não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º 
gênero não há deslocabilidade interna. Há um 
deslocamento horizontal em B;
Nó C➔ não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º 
gênero não há deslocabilidade interna. Não precisa de 
apoio adicional, não há deslocamento linear em C;
Nó D➔ precisa de placa, para saber a rotação em D. 
Precisa de apoio adicional, há deslocamento linear (na 
horizontal) em D;
Nó E➔ precisa de placa, para saber a rotação em E. Não 
precisa de apoio adicional, pois há um apoio adicional 
em D;
Nó F➔ não precisa de placa, pois há uma rótula em F 
(não há deslocabilidade interna a considerar para saber 
a rotação em F). Não precisa de apoio adicional, pois há 
um apoio adicional em D;
Nó G➔ precisa de placa, para saber a rotação em G. 
Precisa de apoio adicional, há deslocamento linear 
(inclinado) em G;
⇩
Logo, 
di = 3
de = 3 
Conclui-se que o número de incógnitas do pórtico é igual a 6, números de 
nós internos (não rotulados) da estrutura = 3 e números de nós externos 
(deslocamento linear) da estrutura = 3.
Número total de Deslocabilidades (d)
Como as incógnitas do problema são as rotações rígidas da estrutura (di) e os deslocamentos lineares independentes de seus 
nós (de), dizemos que o número total de deslocabilidade (d) de uma estrutura é a soma de (di + de).
É importante estar atento aos seguintes itens:
Estrutura indeslocáveis ➔ de = 0
Estrutura deslocáveis ➔ de ≠ 0
O número de incógnitas do sistema será d.
Vamos ver agora como obter o número total de deslocabilidades para as estruturas planas abaixo:
A)
Resposta: d = 4
B)
Resposta: d = 2
C)
Resposta: d = 1
D)
Resposta: d = 3
E)
Resposta: d = 3
Grandezas fundamentais
 Estudante de física (Fonte: Shutterstock)
Para a determinação dos diagramas de momento fletores atuantes numa barra de uma estrutura hiperestática, precisamos 
conhecer, além do diagrama de momento fletores que teria z barra se fosse biengastada ou engastada e rotulada para 
carregamento externo atuante, e facilmente tabelável para os carregamentos usuais da prática (Tabela 1)
<galeria/aula4/anexo/doc2.pdf> (SUSSEKIND, s./d.).
Rigidez de uma barra
Denominamos rigidez de um nó ao valor do momento que, aplicado nesse nó, supostamente livre para girar, provoca uma rotação 
unitária do mesmo.
a) Barra biengastada:
Seja a barra biengastada AB cuja rigidez está no nó A. Trata-se de determinar o Momento MA que deve ser aplicado em A para 
produzir a rotação φ = 1
Supondo a barra com inércia constante J e módulo de elasticidade E, a obtenção do diagrama de momentos fletores pode ser 
feita pelo processo de Mohr. Temos:
= e =MA 4 E Jl ME
2 E J
l
Onde:
E = módulo de elasticidade;
J = momento de inércia;
L = comprimento da barra
Resumindo:
• para uma barra biengastada, de inércia constante, temos rigidez em um nó: K = 4EJ/l ou
• trabalhando com rigidez relativa para uma barra biengastada, de inércia e módulo de elasticidade (E) constantes, podemos 
usar a fórmula reduzida de rigidez em um nó: K = 60/l. Onde é J/J (momento de inércia da barra / menor momento de 
inércia de toda a estrutura).
α α c
a) Convenção de sinais que serão adotados no método das deformações:
Consiste em chamar de positivos aos momentos, e de rotação aos extremos das barras quando os momentos tiverem o sentido 
anti-horário.
Atenção
Não existe nenhuma relação entre esta convenção de sinais e a convenção às vezes adotada na estática, 
chamar de positivos aos momentos fletores que tracionam suas fibras inferiores e de negativos em caso 
contrário.
Esse método será explicado detalhadamente pelos exercícios a seguir.
Exercícios resolvidos
Veja agora alguns exemplos de exercícios importantes.
Aqui (nos exemplos) a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J.
Exemplo 1
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo, conforme mostra a Figura 3.
Dados:
J = 0,01 m (para o trecho AD)
J = 0,006 m (para o trecho DE)
E = 2,1 x 107 kN/m
4
4
2
 Figura 3 – Viga hiperestática.
1º Passo: Sistema Principal (S.P.):No sistema principal, temos que calcular o número total de deslocabilidades (di + de) para a estrutura hiperestática. Colocar 
nomes nas barras, nomes nos apoios e numerar as placas e os apoios adicionais.
Temos que excluir o balanço e redesenhar a viga hiperestática sem o balanço e com as cargas de 50 kN e (50 x 3 = 150) KNm de 
momento fletor (Figura 4).
 Figura 4 – Sistema principal para calcular a viga hiperestática pelo método da 
deformação.
Colocar placa e apoio adicional:
d = 0 (apoio adicional)
d = 1 (placa)
d = d + d = 1
Logo o sistema será:
e
i
e i
β10 + β11 Δ1 = 0
2º Passo: Estado 0 (só carga):
Barra 1: apoio e engaste
Cálculo do momento fletor em D, usando a tabela de momento de engastamento perfeito (tabela 1).
Terceira coluna:
Carga momento de 150 kNm.
= − ( − 1) = = = 75 kNmMD M2
3a2
l2
M
2
150
2
Carga pontual de 100 kN
= − (l+ a) = − (8 + 3) = −128, 91 kNmMD Pab2l2
100x3x5
2x82
Carga pontual de 50 kN ➔
= − (l+ a) = − (8 + 0) = 0 kNmMD Pab2l2
50x0x8
2x82
= − 53, 91 kNmMD
Barra 2: engaste e apoio
Cálculo do momento fletor em D. Usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1).
Segunda coluna:
Carga distribuída de 20 kN/m
= + = = 90 kNmMD
ql2
8
20 x 62
8
Somando os momentos fletores da placa 1 ➔ β = − 53, 91 + 90 = 36, 09 kNm10
3º Passo: Estado 1 (rotação da placa 1 => Δ1):
Rotacionando a placa 1, trabalha-se com as barras 1 e 2.
Barra 1: apoio e engaste
= = = 78750 kNmKD 3EJl
3x2,1x x 0,01107
8
Barra 2: engaste e apoio
= = = 63000 kNmKD 3EJl
3x2,1x x 0,06107
6
Somando-se os momentos fletores da placa 1 ➔ = 78750 + 63000 = 141750 kNmβ11
4º Passo: Sistema
5º Passo: Superposição
β10 + β11 Δ1 = 0
36, 09 + 141750 Δ1 = 0
Δ1 = − 2, 546x10−4
M = M0 + M1 Δ1
= − 53, 91 + 78750 x(−2, 546x )) = − 73, 96 kNmMD1 10−4
= 90 + 63000 x(−2, 546x ) = 73, 96 kNmMD2 10−4
= −50 x 3 = −150kNmMD1
 Figura 5 – Viga com os valores de momentos fletores.
Calculando as reações de apoios da viga, tem-se:
 Figura 6 – Viga com as reações de apoios.
 Figura 7 – Viga com diagrama de esforços cortante (kN).
 Figura 8 – Viga com diagrama de momentos fletores (kNm).
Saiba mais
Acesse Exercícios resolvidos (exemplos) <galeria/aula4/anexo/doc3.pdf> para dar continuidade aos seus 
estudos sobre o assunto e ampliar seu conhecimento.
Atividade
1. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI = 
0,0001 kNm . ➔ (E = 1x10 kN/m x J = 1 mm )2 8 2 4
2. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI = 
0,0001 kNm . ➔ (E = 1x10 kN/m x J = 1 mm )2 8 2 4
3. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI = 
0,0001 kNm . ➔ (E = 1x10 kN/m x J = 1 mm )2 8 2 4
4. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI = 
0,0001 kNm . ➔ (E = 1x10 kN/m x J = 1 mm )2 8 2 4
5. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI = 
0,0001 kNm . ➔ (E = 1x10 kN/m x J = 1 mm )2 8 2 4
6. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI = 
0,0001 kNm . ➔ (E = 1x10 kN/m x J = 1 mm )2 8 2 4
Notas
Notas