Pesquisa de Vibrações Mecânicas

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9° Período de Engenharia Mecânica 
Vibrações Mecânicas 
Prof. Marcelo Gomes 
 
Aluno: Jônatas Tavares de Abreu 
 
 
 
 
 
 
 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS 
Decremento Linear e Amortecimento por Hesterese 
 
 
 
 
 
 
 
20 de Abril de 2020 
 
 
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Vibrações Mecânicas – Decremento Linear e Amortecimento 
por Hesterese 
 
1. Amortecimento Seco ou Coulombiano: 
 
Em muitos sistemas mecânicos são usados amortecedores Coulomb ou 
de atrito seco em razão de sua simplicidade mecânica e conveniência. Além 
disso, sempre que os componentes de uma estrutura vibratória deslizam um em 
relação ao outro, o amortecimento por atrito aparece. O amortecimento 
Coulomb surge quando corpos deslizam sobre superfícies secas. A Lei de 
Coulomb do atrito seco afirma que, quando dois corpos estão em contato, a 
força requerida para produzir deslizamento é proporcional à força normal que 
age no plano de contato. A sim, a força de atrito F dada por: 
F = µN = µW = µmg (1.01) 
Onde N é a força normal, igual ao peso da massa (W = mg) e e o coeficiente 
de deslizamento ou atrito cinético. O valor do coeficiente de atrito (µ ) depende 
dos materiais em contato e da condição das superfícies em contato. Por exemplo, 
µ = 0,1 para metal sobre metal (com lubrificação). 0,3 para metal sobre metal 
(sem lubrificação) e aproximadamente 1.0 para borracha sobre metal. A força de 
atrito age na direção oposta à da velocidade. O amortecimento Coulomb às 
vezes é denominado amortecimento constante (ou decremento linear), uma vez 
que a força de amortecimento é independente do deslocamento e da 
velocidade, ela depende somente da força normal N entre as superfícies 
deslizantes. 
 
 
 
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1.1. Equação do Movimento: 
 
Considere um sistema com um grau de liberdade com atrito seco como 
mostrado na figura 1(a). Uma vez que a força de atrito varia com a direção da 
velocidade, precisamos considerar dois casos, como indicados nas Figuras 1 (b) 
e (c). 
 
Figura 1 – Sistema massa-mola com amortecimento Coulomb 
Caso 1: Quando x é positivo e dx/dt é positiva ou quando x é negativo, e dx/dt 
é positivo (isto é, para o meio-ciclo durante o qual a massa se movimenta da 
esquerda para a direita), a equação de movimento pode ser obtida pela segunda 
lei de Newton (figura 1(b)). 
M�̈� = - kx - µN ou m�̈� + kx = - µN (1.11) 
Esta é uma equação diferencial não-homogênea de segunda ordem. A 
solução pode ser verificada substituindo a Equação (1.3) na Equação (1.2): 
x(t) = 𝐴1𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 − 
µ𝑁
𝑘
 (1.12) 
onde 𝜔𝑛 = √𝑘/𝑚 é a frequência de vibração e 𝐴1 e 𝐴2 são constantes cujos 
valores dependem das condições iniciais desse meio-ciclo. 
 
 
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Caso 2: Quando x é positivo e dx/dt é negativo ou quando x é negativo e dx/dt 
é negativo (isto é, para o meio-ciclo durante o qual a massa se movimenta da 
direita para a esquerda), a equação de movimento pode ser derivada pela Figura 
1sem como: 
- kx + µN = m�̈� ou m�̈�+ kx = µN (1.13) 
A solução da Equação (1.13) é dada por: 
x(t) = A3cos ωnt + A4sem ωn + 
µN
k
 (1.14) 
onde 𝐴3 e 𝐴4 são constantes e determinadas pelas condições iniciais desse meio-
ciclo. O termo µN/k que aparece nas Equações (1.12) e (1.14) é uma constante 
que representa o deslocamento virtual da mola sob a força µN, se ela fosse 
aplicada como uma força estática. As equações (1.12) e (1.14) indicam que em 
cada meio-ciclo o movimento é harmônico, e aposição de equilíbrio muda de 
µN/k para –(µN/k ) a cada meio-ciclo, como mostrado na Figura 2. 
 
 
Figura 2 – Movimento da massa com amortecimento Coulomb 
 
 
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As equações (1.11) e (1.13) podem ser expressas como uma única 
equação (usando N = mg): 
m�̈� + µm g sgn (𝑥)̇ + kx = 0 (1.15) 
onde sgn (y) é denominada função signum cujo valor é definido como 1 para y 
> 0, -1 para y > 0, e 0 para y = 0. Podemos ver que a Equação (1.6) é uma 
equação diferencial não linear para a qual não existe uma solução analítica 
simples. Métodos numéricos podem ser usados para resolver a equação (1.15) 
convenientemente. Todavia, a Equação (1.14) pode ser dividida analiticamente 
se dividirmos o eixo do tempo em segmentos separados por �̇� = 0(isto é, 
intervalos de tempo com direções de movimento diferentes). Para determinar a 
solução usando esse procedimento, admite-se que as condições iniciais sejam: 
x ( t = 0 ) = x0 
ẋ ( t = 0 ) = 0 (1.16) 
Isto é, o sistema começa com velocidade zero e deslocamento 𝒙𝟎 em t = 
0. Visto que x = 𝒙𝟎, o movimento começa da direita para a esquerda. Vamos 
denotar por 𝒙𝟎, 𝒙𝟏, 𝒙𝟐,..., as amplitudes do movimento em meios-ciclos 
sucessivos. Pelas equações (1.14) e (1.16), podemos avaliar as constantes 𝑨𝟑 e 𝑨𝟒 
: 
A3 = x0 − 
µN
k
, A4 = 0 
Assim, a Equação (1.14) torna-se: 
x(t) = (x0 − 
µN
k
) cos ωnt + 
µN
k
 (1.16) 
Essa solução é valida apenas para metade do ciclo, isto é, para 0 ≥ t ≤ 
π/ωn, a massa estará em sua posição extrema esquerda e seu deslocamento em 
relação à posição de equilíbrio pode ser determinado pela Equação (1.16): 
 
 
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− 𝑥1 = 𝑥 (𝑡 − 
𝜋
𝜔𝑛
) = (𝑥0 − 
µ𝑁
𝑘
) co s 𝜋 + 
µ𝑁
𝑘
= 
= − (𝑥0 − 
2µ𝑁
𝑘
) 
Uma vez que o movimento com um deslocamento de x = x0 e, em um 
meio-ciclo, o valor de x tornou-se – [𝑥0- (2µN/k)], a redução em magnitude de x 
no tempo π/𝜔𝑛 é 2µN/k. 
No segundo meio-ciclo, a massa movimenta-se da esquerda para a direita. 
As condições iniciais para esse meio-ciclo são: 
x ( t = 0 ) = valor de x em t = 
π
ωn
 
= − (x0 − 
2µN
k
) 
e, 
�̇� ( t = 0 ) = valor de ẋ em t = 
π
ωn
 
= {𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 − 𝜔𝑛 (𝑥0 − 
µ𝑁
𝑘
) sen𝑡 𝑒𝑚 𝑡 = 
𝜋
𝜔𝑛
} = 
Assim, as constantes na Equação (1.12) tornam-se: 
= − A1 = − x0 + 
3µN
k
, A2 = 0 
de modo, que a Equação (1.12) pode ser escrita como: 
x(t) = (x0 − 
3µN
k
) cos ωnt − 
µN
k
 (1.17) 
Essa equação é valida somente para o segundo meio-ciclo, isto é, para 
π/𝜔𝑛≤ t ≥ 2 π/𝜔𝑛. No final, desse meio-ciclo, o valor de x( t ) é 
− 𝑥2 = 𝑥 (𝑡 − 
𝜋
𝜔𝑛
) na Equação (1.17) = x0 − 
4µN
k
 
ẋ (t − 
𝜋
𝜔𝑛
) na Equação (1.17) = 0 
 
 
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Estas se tornam as condições iniciais para o terceiro meio-ciclo, e o 
procedimento pode ser continuado até o movimento parar. O movimento para 
quando 𝑥𝑛 ≤ µN/k, visto que, então, a força restauradora exercida pela mola (kx) 
será menor que a força de atrito µN. Assim, o número de meios-ciclos ( r ) que 
transcorrem antes de o movimento cessar é dado por: 
 𝑥0 − 𝑟
2µ𝑁
𝑘
 ≤ 
µ𝑁
𝑘
 
Isto é, 
𝑟 ≥ {
𝑥0− 
µ𝑁
𝑘
 
2µ𝑁
𝑘
} (1.18) 
Observe as seguintes características de um sistema com amortecimento 
Coulomb: 
1. A equação de movimento é não linear com amortecimento Coulomb, ao 
passo que é linear com amortecimento viscoso; 
2. A frequência natural do sistema permanece inalterada com a adição de 
amortecimento Coulomb, ao passo que é reduzida com a adição de 
amortecimento viscoso; 
3. O movimento é periódico com amortecimento Coulomb, ao passo que pode 
ser não-periódico em um sistema viscosamente amortecido (superamortecido); 
4. O sistema entra em repouso após algum tempo com amortecimento 
Coulomb, ao passo que, teoricamente, o movimento continua para sempre 
(talvez com uma amplitude infinitesimalmente pequena) com amortecimento 
viscoso e por histerese; 
5. A amplitudeé reduzida linearmente com amortecimento Coulomb, ao passo 
que a redução é exponencial com amortecimento viscoso; 
 
 
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6. Em cada ciclo sucessivo a amplitude do movimento é reduzida pela 
quantidade 4µN/k , de modo que as amplitudes no final de quaisquer dois ciclos 
consecutivos estão relacionadas: 
𝑥𝑚 = 𝑥𝑚−1 −
4µ𝑁
𝑘
 (1.19) 
Como a amplitude é reduzida por uma quantidade 4µN/k em um ciclo 
(isto é, no tempo 2π/𝜔𝑛), a inclinação das retas do envelope (representada por 
linhas tracejadas) na Figura 2 é: 
− (
4µ𝑁
𝑘
) / ( 
2𝜋
µ𝑛
) = − ( 
2µ𝑁𝜔𝑛
𝜋𝑘
) 
A posição final da massa normalmente é afastada em relação à posição de 
equilíbrio (x = 0) e representa um deslocamento permanente no qual a força de 
atrito é travada. Leves batidinhas farão a massa chegar à sua posição de 
equilíbrio. 
 
2. Vibração livre com amortecimento por histerese: 
 
Considere o conjunto mola-amortecedor viscoso mostrado na Figura 3 (a). 
Para esse sistema, a força F necessária para causar um deslocamento x( t ) é dada 
por: 
F = kx + cẋ (2.01) 
Para um movimento harmônico de frequência ω e amplitude e amplitude 
X, 
x(t) = X sem ωt (2.02) 
As equações (2.01) e (2.02) dão: 
F(t) = kX sem ωt + cX ω cos ωt 
 
 
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= kx ± cω √𝑋2 − (𝑋 𝑠𝑒𝑛 ωt)² 
= kx ± cω √𝑋2 − 𝑥² (2.03) 
Quando construímos um gráfico de F em relação a x, a Equação (2.03) 
representa um laço fechado, como mostrado na Figura 3. A área do laço denota 
a energia dissipada pelo amortecedor em um ciclo de movimento e é dada por 
∆W = ∮ 𝐹𝑑𝑥 
 = ∫ (𝑘𝑋 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝑐𝑋𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡)(𝜔𝑋 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡)𝑑𝑡
2𝜋/𝜔
0
 
 = πωcX² (2.04) 
 
Figura 3 – Sistema mola-amortecedor viscoso 
 
Ao amortecimento causado pelo atrito entre os planos internos que 
escorregam ou deslizam à medida que o material se deforma é denominado 
amortecimento por histerese (ou amortecimento sólido, ou estrutural). Tal 
amortecimento gera um laço de histerese que se formará na curva tensão-
deformação ou força-deslocamento (ver figura 4 (a)). A perda de energia em um 
ciclo de carregamento é igual a área envolvida pelo laço de histerese. A 
similaridade entre as figuras (3 (b)) e (4 (a))pode ser usada para definir uma 
 
 
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constante de amortecimento por histerese. Constatou-se experimentalmente 
que a perda de energia por ciclo devido ao atrito interno independe da 
frequência, mas é aproximadamente proporcional ao quadrado da amplitude. 
Para conseguir obter esse comportamento, considera-se que o coeficiente de 
amortecimento c é inversamente proporcional à frequência como: 
C= 
ℎ
𝜔
 (2.05) 
Onde h é denominada a constante de amortecimento por histerese. As 
equações (2.04) e (2.05) dão 
∆W = πhX² (2.06) 
 
2.1 Rigidez Complexa: Na figura 3(a), a mola e o amortecedor estão ligados em 
paralelo e, para um movimento harmônico geral, x = X𝑒𝑖𝜔𝑡 , a força é dada por: 
F = kX𝑒𝑖𝜔𝑡 + cω 𝑖X𝑒𝑖𝜔𝑡 = (k + 𝑖ωc)x (2.10) 
 
 
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Figura 4 – Laço de histerese 
De maneira semelhante, se uma mola e um amortecedor por histerese 
forem ligados em paralelo, a relação força-deslocamento pode ser expressa 
como: 
F = (k + 𝑖h)x (2.11) 
Onde, 
k + 𝑖h = k(1 − 𝑖
ℎ
𝑘
) = k(1 + 𝑖β ) (2.12) 
é denominada a rigidez complexa do sistema e β = h/k é uma constante que 
indica uma medida adimensional de amortecimento. 
 
2.2. Resposta do Sistema: Em termos de β, a perda de energia por ciclo pode ser 
expressa como: 
 
 
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∆W = πkβX² (2.13) 
Sob o amortecimento por histerese, o movimento pode ser considerado 
como aproximadamente harmônico (visto que ∆W é pequeno), e a diminuição 
na amplitude por ciclo pode ser determinada usando equilíbrio de energia. Por 
exemplo, as energias nos pontos P e Q (separadas por metade de um ciclo) na 
Figura 5 estão relacionadas como: 
𝑘𝑥𝑗
2
2
− 
𝜋𝑘𝛽𝑥𝑗
2
4
− 
𝜋𝑘𝛽𝑥𝑗+0,5
2
4
−
𝑘𝑥𝑗:0,5
2
2
 
Ou 
𝑥𝑗
𝑥𝑖+0,5
= √
2+𝜋𝛽
2−𝜋𝛽
 (2.14) 
De maneira análoga, as energias nos pontos Q e R dão: 
𝑥𝑗+0,5
𝑥𝑖+1
= √
2+𝜋𝛽
2−𝜋𝛽
 (2.15) 
A multiplicação das equações (2.14) e (2.15) dá: 
𝑥𝑗
𝑥𝑗+1
= 
2+𝜋𝛽
2−𝜋𝛽
= 
2−𝜋𝛽+2𝜋𝛽
2−𝜋𝛽
≃ 1 + πβ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (2.16) 
 
Figura 5 – Resposta de um sistema amortecido por histerese 
Evidências empíricas mostram que a energia dissipada em um ciclo do 
movimento devido ao amortecimento histerético é independente da frequência, 
 
 
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mas proporcional ao quadrado da amplitude. A resposta livre de um sistema com 
amortecimento histerético é similar a de um sistema com amortecimento viscoso. 
Um coeficiente de amortecimento histerético adimensional h é determinado do 
decremento logarítmico δ: 
δ = ln (
𝑥𝑗
𝑥𝑗+1
) ≃ ln(1 + 𝜋𝛽) ≃ 𝜋𝛽 (2.17) 
Já que consideramos que o movimento seja aproximadamente 
harmônico, a frequência correspondente é definida por: 
ω = √
𝑘
𝑚
 (2.18) 
O fator de amortecimento viscoso equivalente pode ser determinado 
igualando-o à relação para o decremento logarítmico δ. 
δ ≃ 2πξ𝑒𝑞 ≃ 𝜋β =
𝜋ℎ
𝑘
 
ξ𝑒𝑞 = 
𝛽
2
=
ℎ
2𝑘
 (2.19) 
Assim, a constante de amortecimento equivalente 𝑐𝑒𝑞 é dada por: 
𝑐𝑒𝑞 = 𝑐𝑐 . 𝜉𝑒𝑞 = 2√𝑚𝑘.
𝛽
2
 = 𝛽√𝑚𝑘 =
𝛽𝑘
𝜔
=
ℎ
𝜔
 (2.20) 
 
Referências Bibliográficas: 
 
[1] RAO, Singiresu S. Vibrações Mecânicas. Prentice Hall, 4.° edition, 2008. 
[2] SILVA, Samuel. Vibrações Mecânicas. 2009. 150 f. Notas de Aulas 2.°Versão. 
– Centro de Engenharias e Ciências Exatas, Universidade Estadual do Oeste 
Paraná, 2009.