Leis de Kirchoff

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Corrente eléctrica
No caso de um sistema em que as cargas estão em movimento, este fluxo de 
carga designa-se por corrente eléctrica e define-se a intensidade de 
corrente como a quantidade de carga (∆Q) que atravessa uma superfície no 
intervalo de tempo (∆t) 
t
QI
∆
∆
=
Se a taxa à qual a carga flui através da superfície varia no tempo, então define-
se a corrente instantânea como
dt
dQ
t
QI
t
=
∆
∆
=
→∆ 0
lim
Até ao momento apenas consideramos 
sistemas em que as cargas estão em 
repouso (sistemas em equilíbrio).
A unidade de corrente é o Ampere (A)
s
CA
1
11 =
Corrente eléctrica (Cont.)
Num condutor eléctrico a corrente é devida ao movimento de electrões. Noutros 
meios, por exemplo gases e soluções aquosas, a corrente eléctrica deve-se ao 
movimento de cargas positivas e negativas. 
Convencionou-se atribuir à corrente o mesmo sentido do fluxo de cargas 
positivas no sistema. Isto significa que num condutor o sentido convencionado 
da corrente é oposto ao do fluxo de electrões.
Na ausência de campo os electrões do metal 
movem-se aleatoriamente, sendo a sua velocidade 
média nula. Quando é aplicado um campo os 
electrões são acelerados, dissipando no entanto a 
energia adquirida em colisões com os átomos do 
metal. Como resultado os electrões adquirem uma 
velocidade média vd (velocidade de deriva) com 
sentido oposto ao do campo.
Corrente eléctrica (Cont.)
tqnAvQ d∆=∆
Seja n a densidade volúmica de portadores de carga 
num condutor de secção recta A, cada um com carga 
q e velocidade vd. 
No intervalo de tempo ∆t, todas as partículas do volume Avd∆t passam através 
da secção A. O nº de portadores neste volume é N=nAvd∆t e a carga total que 
atravessa é
A intensidade de corrente no condutor
nvAqnAv
t
QI dd ˆ.
rρ==
∆
∆
=
onde ρ é densidade volúmica de carga no condutor e o vector unitário 
perpendicular à superfície A. 
n̂
No caso geral, a corrente através de uma superfície S é
Corrente eléctrica (Cont.)
SdJSdvI
SS
d
rrrr
⋅=⋅= ∫∫∫∫ ρ
onde
dvJ
rr ρ= S
dS
é a densidade de corrente.
Exemplo: Calcular a densidade de corrente e velocidade média dos electrões 
num fio de cobre de 1.63 mm de diâmetro que transporta uma corrente de 1A.
2
2 . 48
1 −=== cmA
rA
IJ
π
A densidade volúmica do cobre é 8.46x1022 átomos/cm3, logo 
 C/m 13500106.11046.8 31922 ⇒=××= −ρ scm
Jvd /106.3
3−×==
ρ
Lei de Ohm
Se num material o transporte de carga entre dois pontos 
A e B é devido à acção do campo eléctrico, então existe 
uma diferença de potencial ∆V entre os pontos A e B. 
A resistência R entre os pontos A e B é 
[Ω]
I
VR ∆=
Para alguns materiais (ex: metais) a resistência não 
depende da corrente. Nestes materiais a diferença 
de potencial é proporcional à corrente (lei de Ohm) 
designam-se por isso de materiais ohmicos. 
Os materiais que não obedecem à lei de Ohm, designam-se 
por materiais não ohmicos.
Lei de Ohm (Cont.)
A lei de Ohm traduz a proporcionalidade entre a densidade de corrente e o 
campo eléctrico
EJ
rr
σ=
com σ a condutividade do condutor. Combinando com a definição de temosJ
r
e
d
E
v
E
J ρµ
ρ
σ ===
onde a razão µe=vd/E é uma medida da resposta dos portadores ao campo 
eléctrico e designa-se por mobilidade eléctrica. 
Num material ohmico a densidade de portadores e a mobilidade não dependem 
do campo eléctrico aplicado.
Resistência eléctrica
Se L é o comprimento do condutor e A a sua secção então 
 e ⇒∆==
L
VEEAI σ A
L
A
LR ρ
σ
== 
onde neste caso ρ é a resistividade do material, que é função da temperatura
( )[ ]20)º20(1)º20( −+= TCC αρρ
onde α é o coeficiente de temperatura do material.
Material ρ(20ºC) [nΩ.m] α (20ºC) [ºC-1]
cobre 17 0.0039
Prata 16 0.0038
Carbono 35000 -0.0005
Silicio 6.4x1011 -0.075
quartzo 75x1025 -
Resistência eléctrica (Cont.)
Num metal quando a temperatura aumenta, a 
vibração dos átomos da rede iónica é mais brusca o 
que dificulta o movimento dos electrões, diminuindo a 
mobilidade electrónica e aumentando a resistividade. 
Nos semicondutores quando a temperatura 
aumenta, o nº de portadores aumenta rapidamente 
diminuindo resistividade. A partir de determinada 
temperatura o nº de portadores não aumenta mais, 
aumentando a resistividade tal como nos metais.
Nos supercondutores a resistividade cai 
bruscamente a partir de uma certa temperatura 
critica. Nestes materiais uma vez estabelecida uma 
corrente ela permanece sem estar aplicada 
nenhuma diferença de potencial.
R
R
Energia eléctrica.
IA corrente aponta no sentido dos potenciais 
decrescentes. Assim no intervalo de tempo ∆t entra 
através de A uma carga 
tIQ ∆=∆
com uma energia UA=VA∆Q. A mesma quantidade de carga sai através de B, 
mas com energia UB=VB∆Q. A variação de energia é
Como VB<VA os portadores de carga perdem energia ao percorrer o condutor, a
qual é dissipada sob a forma de calor (Efeito de Joule). 
A potência eléctrica define-se como a energia dissipada por unidade de tempo
R
VIRIV
t
UP
2
2.. ∆==∆=
∆
∆
=
tIVUUU AB ∆∆=−=∆ ..
Energia eléctrica (Cont.)
Exemplo: Uma lâmpada funcionando a 220V tem uma 
potência nominal de 100W. Determinar a corrente na 
lâmpada, a sua resistência e custo diário para a manter 
acesa sabendo que o custo da electricidade é €0.1 kWh.
A
V
PI 454.0==
Usando a lei de Ohm a resistência é
Ω== 144
I
VR
A energia gasta 
kWhhkWtPU 4.2)24)(1.0(. ==∆=∆
e o custo (2.4 kWh)x(€0.1/kWh)=€0.24.
Circuitos eléctricos de corrente contínua
Num circuito eléctrico de corrente contínua a corrente no circuito tem 
sempre o mesmo sentido em qualquer instante de tempo.
Uma fonte de força electromotriz (fem) é um dispositivo (ex: pilha química 
ou bateria, gerador) que aumenta a energia potencial das cargas que circulam 
num circuito, de modo a manter constante a corrente eléctrica. A fem é o 
trabalho realizado por unidade de carga, exprimindo-se em Volt.
Uma bateria ideal é uma fonte de fem que mantém 
uma diferença de potencial (ddp) constante aos seus 
terminais, igual à fem, independentemente da corrente 
fornecida.
Numa bateria real a ddp constante aos seus terminais 
não igual à fem, diminuindo com o aumento da corrente 
fornecida como se houvesse uma pequena resistência 
no interior da bateria (resistência interna).
Associações de resistências e condensadores
Associação em série
A carga que passa em a é mesma que passa em c, logo corrente nas duas 
resistências é igual. 
IRIRVVV bacbca 21 +=+=
21 RRI
V
R CAeq +==
21 C
Q
C
QVVV bacbca +=+=
21
111
CCQ
V
C
CA
eq
+==
A carga nos dois condensadores 
é igual. 
Associações de resistências e condensadores
Associação em paralelo
Como não há acumulação de carga 
num condutor, a carga que chega a a é 
igual à soma da carga que passa por 
R1 e R2, logo
21 III += 2211 IRIRV ==
21
111
RRV
I
R baeq
+==
A carga total armazenada é a soma da 
carga nos dois condensadores. 
21 QQQ +=
21 CCV
QCeq +==
Leis de Kirchhoff
i) Lei dos nós. 
Em qualquer ponto de um circuito não há 
acumulação de carga (lei da conservação da 
carga), pelo que a carga que entra por unidade de 
tempo deve ser igual à carga que sai. 
No pontos de um circuito onde a corrente se 
divide (nós), a soma das correntes que chega ao 
nó é igual à soma das correntes que saem do nó.
ii) Lei das malhas
321 III +=
É uma consequência da conservação de 
energia. Ao deslocar uma carga de teste q num 
percurso fechado num circuito, a variação de 
energia potencial da carga é nula.
A soma algébrica das variações de potencial ao 
longo de uma malha fechada é nula.
0=+++ dacdbcab VVVV
02211 =⋅−−⋅−+ IRIR εε
2
22
2
11 IRIIRI ⋅+⋅+⋅=⋅ εε
Leis de Kirchhoff (Cont.)
Exemplo: Calcular as correntes I1, I2, I3.
• Aplicar a lei dos nós a N-1 nós, onde N é o número 
total de nós do circuito. Deste modo ficam 
definidas todas as correntes (incógnitas) do 
circuito.
• Usar a lei das malhas para obter tantas equações 
quantas as incógnitas.
Usando a lei dos nós temos
213 III +=
02610 31 =⋅−⋅− II
0461014 21 =⋅−⋅+−−II
No circuito temos 3 malhas (abcda befcb aefda), bastando duas equações 
para determinar as correntes.
abcda
befcb
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−=
=
AI
AI
AI
1
3
2
3
1
2
Circuitos RC
Nos circuitos estudados as correntes mantêm-se constantes no tempo, 
dizendo-se que os circuitos estão em estado estacionário. Nos circuitos 
contendo condensadores, as correntes podem variar no tempo.
Circuito RC com uma fonte de fem
Supondo que para t=0 o condensador não tem carga, 
quando o interruptor é fechado estabelece-se uma 
corrente no circuito, sendo transferida uma carga q para 
o condensador. Aplicando a lei das malhas
0. =−−
C
qIRε
Para t=0 a corrente é I=ε/R. Derivando em ordem ao 
tempo a equação anterior 
RC
t
e
R
I
C
I
dt
dIR
−
=⇒=+
ε 0.
Circuito RC (Cont.)
A carga armazenada no condensador é
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
−
RC
t
eCtq 1)( ε
O produto τ=RC tem unidades de tempo, designando-
se por constante de tempo do circuito. Quanto maior a 
constante de tempo, mais lento é o processo de carga 
do condensador
2
2
2
1
2
1 εC
C
QU C ==
A energia armazenada no condensador é
2
0
22
2
1 εε CdtRICUUW RCfem =+=+= ∫
∞
A energia armazenada fornecida pela fonte é
Circuitos RC (Cont.)
Descarga de um condensador
Supondo que para t=0 o condensador tem uma 
carga Q0, quando o interruptor é fechado 
estabelece-se uma corrente no circuito, sendo o 
condensador descarregado. Aplicando a lei das 
malhas
0. =−
C
qIR
RC
t
eQq
C
q
dt
dqR
−
=⇒= 0(t) .
( ) RCtRCt eIe
RC
Q
dt
dqtI
−−
==−= 0
0
q(t) e I no circuito decrescem exponencialmente a uma taxa 
caracterizada pela constante de tempo τ = RC.
Instrumentos de medida eléctricos
• O Amperímetro → aparelho que mede corrente eléctrica. 
A+ -
No caso ideal, um amperímetro deve ter resistência nula, de modo a não alterar a 
corrente a ser medida. Deve se ligado em série com a corrente a medir.
• O Voltímetro → dispositivo que mede diferenças de potencial entre dois pontos do 
circuito.
V
Um voltímetro ideal tem resistência infinita, de modo que não haja passagem de 
corrente através dele.
Fenómenos eléctricos em células
oligossacarídeos
colesterol
proteínas
oligossacarídeos
colesterol
proteínas
Singer e 
Nicholson
oligossacarídeos
colesterol
proteínas
oligossacarídeos
colesterol
proteínas
Singer e 
Nicholson
Vimos anteriormente que a membrana celular 
podia ser vista como um condensador de placas 
paralelas, sendo os líquidos intracelular e 
extracelular as placas condutoras e a 
membrana o dieléctrico. 
Devido ao facto da concentração de iões ser diferente nos líquidos intra e 
extracelular e da membrana apenas ser permeável a alguns tipos de iões, a 
célula apresenta diferentes densidades de carga eléctrica nas superfícies 
exterior e interior da membrana celular.
A distribuição não homogénea de carga eléctrica nas superfícies interior e 
exterior da membrana resulta numa diferença de potencial através da 
membrana, que na ausência de influências externas sobre a célula permanece 
constante designando-se por isso de potencial de repouso da membrana. O 
seu valor característico depende do tipo de célula, variando entre -55 mV e -100 
mV nas fibras nervosas e -30 mV a -55 mV nos músculos lisos.
A manutenção das distribuições carga eléctrica diferentes nas superfícies 
exterior e interior da célula corresponde a 20% do consumo total de energia 
metabólica de um ser vivo em repouso (taxa metabólica basal).
Fenómenos eléctricos em células (Cont.)
A corrente eléctrica numa solução iónica tem duas componentes:
• Uma que consiste no movimento ordenado dos portadores de carga (iões) 
por acção do campo eléctrico, e que é diferente para cada tipo de ião
iiiii
E
i qnEJ µσσ
2 onde ==
rr
• Outra devido à difusão dos portadores de carga 
quando a sua densidade não é homogénea (1ª Lei de 
Fick).
n1 > n2
x
nDq
tA
QuantidadeJ ii
D
i ∂
∂
−=
∆⋅
=
r
0<
∂
∂
x
n
onde Di é o coeficiente de difusão da espécie iónica i que está relacionado com 
a mobilidade pela relação de Einstein
Boltzmann de constante a é onde B
B
i
i kTk
D
µ
=
Fenómenos eléctricos em células (Cont.)
Como as concentrações iónicas são muito diferentes nos fluidos extra e intra 
celular, a agitação térmica dos iões dá origem a uma corrente de difusão iónica 
(JnD) que tende a uniformizar a concentração de cada espécie iónica.
Devido às diferentes permeabilidades da membrana às várias espécies, surge 
um campo eléctrico E no seu interior. A densidade de corrente total, Ji, devida 
à espécie i, é dada pela equação de NERNST-PLANCK
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−=+=
dx
dVnq
dx
dnTkqJJJ iiBii
D
i
E
ii µ
rrr
As correntes eléctricas devidas ao movimento dos iões através de
membranas dependem assim dos gradientes de energia potencial eléctrica 
que forçam os iões através delas e ainda da permeabilidade das membranas 
para os mesmos iões.
Fenómenos eléctricos em células (Cont.)
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
-
-
-
- -
Cp(1)
CI(1)
Ci(2)
Cp(2)
Г(2)
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
-
-
-
- -
Cp(1)
CI(2)
Cp(2)
CA(2)
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
-
-
-
- -
Cp(1)
CI(1)
Ci(2)
Cp(2)
Г(2)
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
-
-
-
- -
Cp(1)
CI(2)
Cp(2)
CA(2)
Modelo de Donnan
1. Membrana que seja permeável aos iões P+
mas impermeável aos iões I-.
2. Os iões P+ vão difundir-se no sentido do 
interior para o exterior se a concentração CP(2) 
> CP(1).
3. Esta difusão vai produzir uma acumulação de carga eléctrica: positiva (+) na 
superfície externa e negativa (-) na superfície interna na membrana.
4. Assim à medida que os iões P+ se difundem do interior para o exterior (2 1)
vai ser criado um campo eléctrico, E, que aumenta em intensidade até atingir 
um valor suficiente para impedir a difusão.
5. Em equilíbrio a corrente iónica através da membrana JP=0, a que corresponde 
um potencial, VPN , através da membrana (Potencial de NERNST)
N
P
P
P
i
iiBii VC
C
q
kT))-V( V(
dx
dVnq
dx
dnTkq =−=⇒=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−
)1(
)2(
ln12 0µ
Fenómenos eléctricos em células (Cont.)
1. Os potenciais de Nernst para os iões de potássio e cloro estão próximo dos 
valores observados de V0.
2. O potencial de Nernst para o sódio é muito diferente de V0, apesar da 
membrana ser permeável ao Na+.