Cap 24 - Potencial eletrico

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Capítulo 24:
Potencial Elétrico
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/1aab9134/simulador.html
 Energia Potencial Elétrica
 Potencial Elétrico
 Superfícies Equipotenciais
 Cálculo do Potencial a Partir do Campo
 Potencial Produzido por uma Carga Pontual
 Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais
 Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico
 Potencial Produzido por uma Distribuição de Cargas Contínuas
 Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial
 Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais
 Potencial de um Condutor Carregado
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
 Força Elétrica é Conservativa, portanto é possível associar à
Força Elétrica uma Energia Potencial Elétrica.
 Uma Força é dita conservativa quando o trabalho realizado por
ela não depende da trajetória.
  0sdF

Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Na Mecânica, nós definimos que a variação na energia potencial, ΔU, está
associada a um trabalho realizado (Força gravitacional) sobre a partícula que
desloca d da posição i até f.
  sdFWUUU if

Como o trabalho de uma força conservativa não
depende da trajetória, podemos escolher a
trajetória que facilite os cálculos e leve aos
mesmos pontos iniciais e finais.
Por conveniência, usamos como configuração
de referencia um sistema de partículas
carregadas, a configuração na qual a distância
entre as partículas é infinita e definimos que a
energia potencial de referencia é zero.
Nesse caso,
 WU f
EqF


0iU
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Exemplo (Campo Independente da Posição)
1. Elétrons estão sendo constantemente arrancados das moléculas de ar da
atmosfera por partículas de raios cósmicos provenientes do espaço sideral. Uma
vez liberados, esses elétrons estão sujeitos a uma força eletrostática F associada a
um campo elétrico E produzido na atmosfera por partículas carregadas já
existentes na Terra. Perto da superfície terrestre, este campo elétrico tem um
módulo de 150 N/C e aponta para o centra da Terra. Qual a variação de energia
potencial elétrica de um elétron livre na atmosfera da Terra quando a força
eletrostática faz com que se mova verticalmente para cima de uma distância d =
520 m? (-1,2 x 10-14 J)
 
d
qEdssdFWU
0

dEqU


Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Potencial elétrico é definido como a energia potencial elétrica por 
unidade de carga associada a uma carga de prova q0 neste ponto. O 
potencial é uma propriedade do campo elétrico existente em uma região 
do espaço.
• V é uma grandeza escalar, função de ponto.
• Unidade de Potencial Elétrico no SI é Volt (V = J/C)
0q
U
V 
00 q
W
q
U
V 

Diferença de potencial (ΔV = voltagem):
Podemos associar uma energia à carga elementar e à diferença de potencial da 
seguinte forma:
1 eV (eletron-volt) = e (1V) = 1,6 x 10-19 J.
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
A
B
Cálculo do potencial a partir do campo Elétrico.

f
i
if sdEVV

.
Se Vi = 0, i está no infinito, temos o potencial V em 
qualquer ponto f em relação ao potencial no 
infinito, tomado como sendo zero :

f
i
sdEV

.

f
i
sdEqWU

.0
Para uma partícula de carga q0 que está inicialmente no infinito:
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Exemplo 2:
(a) A figura mostra dois pontos i e f na
presença de um campo elétrico uniforme E.
Os pontos estão sobre a mesma linha de
campo elétrico (que não aparece na figura),
separados por uma distância d. Determine a
diferença de potencial Vf – Vi deslocando uma
carga de prova q0 do ponto i ao ponto f ao
longo da trajetória indicada, que é paralela à
direção do campo. (b) Determine a diferença
de potencial deslocando a carga de prova
positiva q0 ao longo da trajetória icf na figura.
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Potencial Produzido por uma Carga Pontual.
r
q
V
04
1


Gráfico gerado em computador do potencial 
elétrico V(r) produzido por uma carga 
positiva situada na origem do plano xy.
Calculamos o potencial 
deslocando uma carga 
de prova q0 do ponto P 
ao infinito (Vf = V∞ = 0).
Partícula de carga q positiva → potencial elétrico positivo. 
Partícula de carga q negativa → potencial elétrico negativo.



i
if sdEVV

i
f
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Potencial Produzido por uma Carga Pontual.
r
q
V
04
1


n cargas pontuais (V∞ = 0).
Também pode ser usada pra calcular o potencial elétrico 
fora ou na superfície de uma distribuição de cargas com 
simetria esférica desde que (V∞ = 0). Neste caso q é a 
carga total da esfera e r a distância que separa o centro da 
esfera ao ponto que se deseja determinar o potencial. 
Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais.



n
i i
i
n
i
i
r
q
VV
101 4
1

Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Exemplo 3:
Considerando V = 0 no infinito, qual o valor do potencial elétrico no ponto P,
situado no centro do quadrado de cargas pontuais que aparece na figura
abaixo? A distância d = 1,3 m e as cargas são:
q1 = +12 nC
q2 = -24 nC
q3 = +31 nC
q4 = +17 nC



n
i i
i
n
i
i
r
q
VV
101 4
1
 (R: V = 352 V)
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Exercício:
24.9) O campo elétrico em uma certa região do espaço tem componentes Ey = Ez
= 0 e Ex = 4x N/C. O ponto A está sobre o eixo y em y = 3 m e o ponto B está
sobre o eixo x em x = 4 m. a) Qual é a diferença de potencial VB – VA? b) Qual o
trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma carga de 2 nC na condição
acima citada?
(a) -32V; b) 64 nJ)
24.17) Na figura abaixo, partículas de carga q1 = +5e e q2 = -15e são mantidas
fixas , separadas por uma distância d = 24 cm. Tomando V = 0 no infinito,
determine o valor de x, a) positivo e b) negativo, no qual o potencial elétrico
sobre o eixo x é nulo. (a) x = 6cm; b) x = - 12 cm).
x não poderá ser maior que d, pois q2 gera um
potencial negativo que sempre será maior que
o potencial de q1 nesta região!
x positivo será menor que d!
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Exercício:
24.18) A figura abaixo mostra um arranjo de partículas carregadas mantidas fixas, com a
= 39 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1 = 3,4 pC e q2 = 6 pC. Com
V=0 no infinito, qual é o potencial elétrico no centro do retângulo? (2,21 V)
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico.
Dipolo Elétrico
2
0
cos
4
1
r
p
V



Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Momento Dipolar Induzido.
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Potencial Produzido por distribuição contínua de cargas.
 r
dq
V
04
1

Distribuição contínua de 
cargas
Potencial Produzido por Linha de cargas. (Sugerido pelo Livro)
 







 

d
dLL
V
2122
0
ln
4

  2/1220 04
1
dx
dx
V
L

 


  LdxxV 02/122
0
|)(ln
4



Consultando uma 
tabela de Integrais
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
 r
dq
V
04
1

Potencial Produzido por Linha de cargas. (Resolução Justificada!)
 






 







dd
d
d
V sec
4cos
cos
4
1
0
2
0
θ
dr cos cos
dr 
dxdq 
rsenx  








cos
sen
dx


d
d
dx
2cos
 


d
d
dq
2cos

Multiplicando por:  tgsec
 

 





d
tg
tg
V
)(sec
)(sec
sec
4 0
 tgu  sec
 dtgdu )(secsec 
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Potencial Produzido por Linha de cargas. (Resolução Justificada!)
θ
Substituindo as variáveis em θ:
 

 





d
tg
tg
V
)(sec
)(sec
sec
4 0
 tgu  sec
 dtgdu )(secsec 
 u
du
V
04

)ln(sec
4
ln
4 00





tguV 
d
xd
d
r 22
cos
1sec




d
x
tg 
L
d
x
d
dx
V
0
22
0
ln
4 























d
L
d
dL
V
22
0
ln
4

Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Potencial Produzido por um Disco carregado.
 zRzV  22
02

    



RR
zr
rdr
zr
rdr
V
0
2/122
0
2/122
0 0
2
2
4
1



 h
dq
V
04
1

Mudança de Variável:
rdrdu
zru
2
22


 RzruduuV 0
2/122
0
2/1
0
2/1
0
|
2222
 







h
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Exercício:
24.24) Na figura abaixo, uma barra de plástico com uma carga uniformemente
distribuída Q = -25,6 pC tem a forma de um arco de circunferência R = 3,71 cm e um
ângulo central de 120°. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no ponto P, o
centro da curvatura da barra? (-6.20 V)
24.26) Uma esfera gaussiana de 4 cm de raio
envolve uma esfera de 1,0 cm de raio que contém
uma distribuição uniforme de cargas. As duas
esferas são concêntricas e o fluxo através da
superfície da esfera gaussiana é 5,6 x 104 N.m2/C.
Qual é o potencial elétrico a 12 cm do centro das
esferas? (3.71*104 V)
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
24.27) Na figura abaixo, determine o potencial elétrico produzido na origem por
um arco de circunferência de carga Q1 = 7,21 pC e duas partículas de carga Q2 =
4Q1 e Q3 = -2Q1. O centro do arco está na origem, o raio é R = 2m e o ângulo
indicado é θ = 20°. (V = 32,4 mV)
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Superfícies Equipontenciais
Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície 
potencial. 
Linhas de campo elétrico e superfícies equipotenciais são mutuamente perpendiculares.
O trabalho realizado quando uma partícula se desloca em uma mesma superfície
equipotencial é zero.
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
O Campo Elétrico a partir do Potencial
Para coordenadas
cartesianas:
Para campo elétrico
é uniforme:
VE 

x
V
Ex



y
V
Ey



z
V
Ez



s
s
V
E ˆ




Onde s é perpendicular às
superfícies equipotenciais
A componente do campo elétrico em qualquer direção do espaço é o negativo da 
taxa de variação do potencial elétrico com a distância nesta direção.
k
z
j
y
i
x
ˆˆˆ























 k
z
V
j
y
V
i
x
V
VE ˆˆˆ

Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Exemplo 5:
O potencial elétrico em um ponto sobre o eixo central de um disco uniformemente 
carregado é :
A partir dessa equação, determine o campo elétrico em qualquer ponto sobre o 
eixo central do disco.
24.39) Qual o módulo do campo elétrico no ponto (3î - 2j + 4k) m se o potencial é 
dado por V = 2xyz2? (150,1 V/m)
 zRzV  22
02

Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais
A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas é igual ao
trabalho que deve ser executado por um agente externo para montar o sistema,
começando com as cargas a uma distância infinita umas das outras.
r
qq
U 21
04
1

 Energia potencial elétrica de 
um par de cargas
0 UU i
cefif WUUUU 
Wce = trabalho realizado pelo campo.
i
∞
f
F

sd

Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Potencial de um condutor carregado.
Em um condutor o potencial elétrico é constante!
i. Interior: Vi = Vf = potencial na superfície!
R
q
VV fi
04
1

0E
ii. Exterior (casca esférica condutora):
2
04
1
r
q
E


r
q
V
04
1


VE 

Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Potencial de um condutor carregado.
Cap. 24: Potencial 
Elétrico
Lista de Exercícios 8ª Edição
3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 18, 21, 24, 25, 27, 28, 31, 37, 39, 41, 45, 53, 55, 59, 67, 77 
Referências
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física:
Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. v3.
TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2.
SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física:
Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v3.
Lista de Exercícios 10ª Edição
1, 5, 9, 7, 11, 17, 19, 16, 21, 24, 23, 29, 30, 27, 39, 37, 43, 51, 49, 59, 57, 67, 69