Física Aplicada Cruzeiro do sul

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Física Aplicada
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga
Revisão Textual:
Prof.ª Dr.ª Selma Aparecida Cesarin
Colisões de Partículas e Cinemática 
de Movimentos Circulares e Rotacionais
• Colisões de Partículas – Conservação do Momento Linear;
• Estudo das Colisões;
• Colisões em 2-D;
• Centro de Massa;
• Movimento de um Sistema de Partículas;
• Cinemática de Movimentos Circulares e Rotacionais;
• Cinemática dos Movimentos Circulares em Coordenadas Polares;
• Movimento Circular Uniforme (MCU);
• Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV);
• Aceleração Centrípeta.
• Estudar a Dinâmica das Colisões e suas aplicações na produção de jogos digitais, 
principalmente, na colisão de objetos; 
• Estudar a Cinemática de Movimentos Circulares e Rotacionais, tendo em vista a 
construção dos movimentos de manejo de armas virtuais e produção de rotação de 
objetos extensos.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO
Colisões de Partículas e Cinemática
de Movimentos Circulares e Rotacionais
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão 
sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Colisões de Partículas e Cinemática 
de Movimentos Circulares e Rotacionais
Colisões de Partículas - 
Conservação do Momento Linear
Estudamos a conservação da energia mecânica e como ela é útil na resolução 
de problemas. Os princípios de conservação (alguns os chamam de “Teoremas de 
conservação”) são os principais pontos de apoio para a construção da Física. 
Figura 1
Temos vários princípios de conservação: a conservação do momento linear, a 
conservação do momento angular, a conservação da carga elétrica, a conservação 
da energia, a conservação da massa e assim por diante. Podemos afirmar que isso 
não para por aí. 
Nesta Unidade de estudo, veremos um dos princípios de conservação bastante 
utilizado em problemas envolvendo colisões, que é a conservação do momento 
linear. Ele tem validade na escala desde a escala de partículas subatômicas até a 
escala galáctica.
Em Jogos Digitais, veremos a utilização do momento linear ao cair uma bola no 
chão (Futebol, Basquete e qualquer outro), em jogos do tipo “Bilhar”, em colisões 
de carros e outros objetos de Jogos.
O momento linear 
p já foi definido na Unidade anterior, ao explanarmos a 2 a Lei 
de Newton. 
Recordando, sua definição é:
 p mv= . (1)
Sua unidade de medida é p kg m s� � �= / ou, também, N s⋅ , porém, menos co-
mum, pois esta última não está escrita em termos de grandezas fundamentais.
8
9
Como o momento linear 
p é um vetor, ele pode ser escrito em termos de suas 
componentes cartesianas como:
p mv k x y zk k= , = , , . (2)
O momento linear é, algumas vezes, chamado de quantidade de movimento, 
porque seu conceito oferece uma definição quantitativa entre algo leve e algo pe-
sado em movimento.
Apresentamos a Segunda Lei de Newton na forma em que a força resultante 
aplicada a um corpo de massa m é igual à taxa de variação do momento linear 
em relação ao tempo:
 
F dp
dtres
= . (3)
Sabemos que, se a força resultante é nula (1 a Lei de Newton), a taxa de 
variação do momento é nula e, portanto, o momento linear não varia, per-
manece constante. 
Logo, o momento linear num Sistema com ausência de forças externas é man-
tido constante, isto é, é conservado. Tal Sistema sem forças externas resultantes 
é dito Sistema isolado de forças externas ou, simplesmente, Sistema isolado. 
Assim, nesse caso, somente as forças internas atuam de forma relevante.
Conservação de momento para um Sistema de duas partículas
Sejam duas partículas interagindo mutuamente formando um Sistema isolado, a 
partícula 1 possui momento 
 p m v
1 1 1
= e a partícula 2 possui momento 
 p m v
2 2 2
= . 
Usando a 3 a Lei de Newton, a força que a partícula 1 recebe da partícula 2, 
F
21
, é igual e oposta àquela que a partícula 2 recebe da 1, 

F
12
.
Figura 2 – Conservação do momento de duas partículas
9
UNIDADE Colisões de Partículas e Cinemática 
de Movimentos Circulares e Rotacionais
Pela 3 a Lei, podemos escrever:
 
F F
21 12
= − (4)
ou
  
F F
21 12
= 0 .+ (5)
Mas, pela 2 a Lei de Newton, podemos escrever:
dp
dt
dp
dt
d
dt
p p
 
  
1 2
1 2
= = 0 .� �� � (6)
O momento resultante (ou momento total) é: 
  p p pres = 1 2+ (7)
e é constante no tempo, pois sua taxa de variação temporal é nula, isto é, não 
há variação, há conservação.
Dessa forma, podemos dizer que o momento total inicial deve ser igual ao mo-
mento total final durante o intervalo de tempo infinitesimal de interação dt :
   p p p p
inicial final1 2 1 2
= .�� � �� � (8)
Isso pode ser estendido para um número n de partículas e decomposto para 
cada eixo. Logo, a conservação do momento, válida para um Sistema isolado de 
forças externas (isto é, só há interações internas), pode ser escrita na forma:
k
n
jk inicial
k
n
jk final
p p j x y z
=1 =1
= , = , , .� �� � � � (9)
Exemplos de momento linear e teorema de conservação do momento
1. Uma massa de 3.0 kg possui sua velocidade dada pelo vetor 
  v i j= 3 4− em m/s. 
Pede-se:
a) Determine as componentes x e y do momento;
b) Determine o módulo e a direção desse momento linear. 
Respostas
a) O vetor momento linear é definido por:
   p p i p j mvx y= = .+ (10)
Introduzindo os valores numéricos, o momento é:
      p p i p j i j i jx y= = 3.0 3 4 = 9.0 12.0 ,� � �� � � (11)
de maneira que px = 9.0 kg ⋅m/s e py = 12.0− kg ⋅m/s são as componentes 
do momento.
10
11
b) O módulo do momento linear é dado por:
p p px y= = 9.0 12.0 =15.0
2 2 2 2� � �� � �kg m/s . (12)
Sua direção é definida pelo ângulo θ que o vetor 
p faz com a horizontal.
Como px é positivo e py é negativo, a direção será dada por um valor de θ 
negativo, a saber:
� = =
9.0
12.0
36.9 .
1 1� ��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �tan tan
p
p
y
x
o (13)
2. Uma criança de massa 40.0 kg, parada num lago congelado, lança uma bola 
de neve de 0.5 kg para o leste, com velocidade de 5.0 m/s. Se desprezarmos o 
atrito entre a criança e o gelo, encontre a velocidade de recuo da criança.
Resposta
Usando a conservação do momento linear, o momento antes do lançamento, 
que é zero, deve ser igual ao momento após o lançamento da bolade neve:
m v m vB B C C− = 0 , (14)
de maneira que a velocidade de recuo da criança é:
v m
m
vC B
C
B= (15)
=
0.5
40.0
5.0 = 6.25 10
2�
�
�
�
�
�� �
�
m/s (16)
ou 6.25 cm/s. 
Podemos notar que, devido à massa da criança ser muito maior do que a massa 
da bola de neve (80 vezes maior), sua velocidade de recuo é muito inferior à velo-
cidade de lançamento da bola de neve.
3. Dois blocos de massas M e 3M são colocados sobre uma superfície horizon-
tal sem atrito ligada por uma mola e os blocos são ligados comprimindo-se a mola 
e os prendendo. A corda que os unia arrebenta e o bloco de massa 3M move-se 
para a direita, com velocidade 2.0 m/s.
Considerando isso:
a) Qual é a velocidade do bloco de massa M ?
b) Determine a energia potencial elástica da mola se M = 0.350 kg. 
11
UNIDADE Colisões de Partículas e Cinemática 
de Movimentos Circulares e Rotacionais
Figura 3 − a) Sistemas com duas massas presas a uma mola 
e uma corda; b) O sistema após arrebentar a corda e soltar mola
Respostas
a) Pela conservação do momento linear, o momento antes era nulo. Logo, o 
momento após o rompimento da corda também deve ser nulo:
Mv MV−3 = 0 , (17)
Então,
v V= 3 = 3 2.0 = 6.0× m/s. (18)
b) Para M = 0.350 kg, a energia potencial elástica da mola deve ser igual a 
energia mecânica total E K KM M= 3+ :
U E Mv MVe = =
1
2
1
2
3
2 2+ (19)
=
1
2
0.350 6.0 3 2.0 = 8.4
2 2� � � �� �� � J . (20)
Estudo das Colisões
Vamos utilizar o princípio da conservação do momento linear para estudar as 
colisões entre duas partículas. 
Mas, podemos nos perguntar: O que são colisões?
Colisões entre duas partículas são eventos em que as duas partículas se juntam 
por um breve intervalo de tempo, longo o suficiente para interagir entre si e trocar 
momentos por intermédio da ação de forças impulsivas, isto é, de forças que fazem 
variar o momento. 
12
13
A ação é mútua entre as partículas que participam da colisão e as forças são 
supostas muito mais intensas do que as forças externas que atuam no Sistema.
A colisão, diga-se de passagem, não necessita, necessariamente, que ocorra 
contato entre as partes, basta que ocorra troca de momentos entre as partículas 
que estão colidindo.
No momento em que duas partículas colidem, vamos denotá-las por 1 e 2, 
de massas m1 e m2 , as forças impulsivas podem variar com o tempo de muitas 
formas complicadas. 
Vamos supor que a força 

F
21
, que é a força que a partícula 2 faz sobre a par-
tícula 1, sem a atuação de forças externas, seja igual a apresentada na Figura 4.
Figura 4 − 3 a Lei de Newton em colisões Uma força 

F
21
 
atua sobre a partícula 1 e esta responde sobre a 
partícula 2 com uma força igual e oposta.
A partícula 1 responde com uma força igual e oposta sobre a partícula 2 e, pela 
3 a Lei de Newton, a variação do momento que a partícula 1 sofre é igual e oposta 
a da partícula 2:
� �
 p p
1 2
= � (21)
ou
� �
  p p
1 2
= 0 .� (22)
Em decorrência do momento total ser 
  p p pT = 1 2+ , inferimos que a variação do 
momento do Sistema durante a colisão é zero e o momento total é constante, já 
que não há forças externas atuando durante a colisão e somente há forças internas, 
que não provocam a variação do momento total.
Assim, podemos afirmar que o momento total do Sistema imediatamente antes 
da colisão é igual ao momento total imediatamente após a colisão.
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UNIDADE Colisões de Partículas e Cinemática 
de Movimentos Circulares e Rotacionais
Colisões elásticas e inelásticas em 1-D
A conservação ou não da energia cinética do SISTEMA após a colisão é o crité-
rio adotado para classificar as colisões em elásticas e inelásticas.
Assim, uma colisão elástica é aquela em que a energia cinética total é conserva-
da e na colisão inelástica há a liberação de parte da energia cinética, transformada 
em calor, para o meio ambiente. 
Colisões elásticas, na escala macroscópica, é sempre uma aproximação (pode 
ser uma boa aproximação, mas ainda assim é uma aproximação). 
Um exemplo de colisão elástica ocorre no jogo de bilhar, na colisões entre bo-
las. Contudo, faz barulho durante a colisão e o som é uma forma de dissipação da 
energia cinética para o ambiente. 
As colisões inelásticas ocorrem, por exemplo, em colisões de automóveis, em 
que os carros ficam amassados. Uma das ações de segurança atual dos automóveis 
comuns é a utilização de chapas metálicas bastante flexíveis a fim de absorver me-
lhor o impacto. 
Sempre que houver absorção de movimento, haverá dispersão de energia ciné-
tica para o meio ambiente, na forma de calor. 
Há um tipo de colisão chamada de perfeitamente elástica e outro tipo conhe-
cida por perfeitamente inelástica. 
Tudo considerado perfeito tem a característica de alguma grandeza ser mantida 
100%: na colisão perfeitamente elástica não há perda da energia cinética e o 
momento total é completamente conservado após o choque, e na colisão per-
feitamente inelástica há uma perda de 100% de sua energia cinética relativa, a 
energia cinética do movimento de um corpo em relação ao outro. 
Assim, as partículas se juntam ao colidir e não se movimentam mais relativa-
mente entre si, porém, mesmo “grudadas”, elas ainda podem se movimentar como 
se formassem um único bloco com velocidade v .
Sendo assim, nas colisões elásticas, podemos escrever as equações de conser-
vação do momento linear e as equações de conservação da energia cinética, antes 
e depois do choque frontal (1-D):
m v m v m v m v
antes depois1 1 2 2 1 1 2 2
=�� � �� � (23)
e
1
2
1
2
=
1
2
1
2
.
1 1
2
2 2
2
1 1
2
2 2
2m v m v m v m v
antes depois
��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� (24)
14
15
Colisões em 2-D
O momento de um Sistema de duas partículas é constante para um Sistema 
isolado. A consequência é que o momento em cada um dos eixos x, y (e até z, 
em 3-D) é também conservado; porém, para sairmos das colisões em 1-D, que são 
colisões frontais, sem passarmos direto para a generalização em 3-D, podemos 
estudar as colisões em 2-D, porque há vários jogos interessantes com colisões no 
plano. Por exemplo, o Jogo de Bilhar e o Jogo de bolinhas de gude com boxes são 
Jogos com colisões bidimensionais.
Figura 5
Em colisões em 2-D, precisamos de duas equações para expressarmos a conser-
vação do momento linear:
m v m v m v m v k x y
k inicial k final1 1 2 2 1 1 2 2
= , = , .�� � �� � (25)
Notemos que, como há dois valores para k ( x e y ), há duas equações compac-
tamente escritas com apenas uma equação.
Consideremos, então, o problema em que a bola 1 possui velocidade 
v i1 no 
início e a bola 2 está parada.
Ao final, como a colisão não é frontal, cada uma se movimenta com nova velo-
cidade, formando ângulos com a linha de tiro inicial.
Figura 6 − Duas bolas de bilhar antes da colisão (uma parada e a outra 
em movimento) e depois da colisão (as duas em movimento)
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UNIDADE Colisões de Partículas e Cinemática 
de Movimentos Circulares e Rotacionais
Vamos escrever as equações das Leis de conservação para o eixo x e para o 
eixo y :
m v m v m vi f f1 1 1 1 2 2= ,cos cos� �� (26)
0 = .
1 1 2 2
m v m vf fsin sin� �� (27)
Agora, temos um problema: são sete incógnitas ( v v vi f f1 1 2, , , , ,� � m1 e m2 ) e 
apenas duas equações independentes. É necessário saber mais parâmetros para 
que possamos resolver o problema.
Então, se soubermos que a colisão é elástica (no caso do Jogo de Bilhar, em boa 
aproximação, podemos garantir que sim), podemos usar a conservação da energia:
1
2
=
1
2
1
2
.
1 1
2
1 1
2
2 2
2m v m v m vi f f+ (28)
Em caso de a colisão ser inelástica (em outro problema), não podemos usar a 
conservação da energia cinética.
Eliminamos mais uma incógnita, o que dá um total de 7 3 = 4− incógnitas. Sa-
bendo que o Jogo é de Bilhar, as massas são iguais e podemos eliminá-las. São 
apenas duas incógnitas restantes, o que nos obriga a conhecer uma das veloci-
dades, por exemplo, a velocidade v i1 , para a completa resolução do problema. 
É possível perceberque não dá para resolver um problema desse tipo somente com 
a aplicação das Leis de conservação.
Exemplos de colisões em 2-D
1. Um carro de 1500 kg, que está se deslocando para leste com velocidade de 
25m/s, colide com uma van de 2500kg em um cruzamento. A van estava trafegan-
do para o norte com uma velocidade de 20m/s. 
Determine o módulo e a direção da velocidade dos destroços após a colisão, 
assumindo que os veículos sofreram uma colisão perfeitamente inelástica.
Figura 7− Colisão inelástica de um carro que colide 
perpendicularmente com uma van
16
17
Resposta
Antes do choque, os veículos possuíam os momentos:
   p m v i icarroi carro carroi= =1500 25 = 37500× em unidades kg ⋅m/s e
  
P M V jvani van vani= = 2500 20× = 50000 ,

j também em unidades kg ⋅m/s .
O momento de cada um após o choque é:
   p m v v i jcarro f carro carro f= =1500 cos sin� ��� �
e
   
P M V v i jvan f van van f= = 2500 .cos sin� ��� �
Assim, usando a conservação do momento para o eixo x, temos:
37500 = 1500 2500 = 4000 .�� �v vcos cos� � (29)
Agora, fazendo o mesmo para o eixo y, chegamos a:
50000 = 1500 2500 = 4000 .�� �v vsin sin� � (30)
Vamos dividir a equação 30� � pela equação 29 ,� � para eliminarmos v e obtermos a 
direção θ :
50000
37500
=
4000
4000
v
v
sin
cos
�
�
�
1.33 = .tanθ
(31)
Logo, se tan tan� �=1.33 = 1.33 53.1 ,1� � � �� o que é a direção que os destro-
ços dos dois carros seguirão após a colisão. 
O valor da velocidade v poderá ser obtido de qualquer uma das duas equações
29� � e 30 .� � 
Usaremos a equação 30 :� � 
50000 = 4000 1.33
1v sin tan� � �� � �
v = 15.6 m/s .
(32)
17
UNIDADE Colisões de Partículas e Cinemática 
de Movimentos Circulares e Rotacionais
2. Seja um jogo de bilhar em que se deseja encaçapar uma bola 2 na caçapa do 
canto. Se o ângulo da caçapa é 35 o , em qual ângulo θ a bola 1 deve ser batida? 
Suponha que não exista atrito ou movimento de rotação e que a colisão 
seja elástica.
Figura 8 − Bola 1 bate na bola 2 que sai com ângulo de 35 o
Resposta
Vamos utilizar a conservação da energia cinética, considerando que a bola 2 
estava inicialmente parada:
K K Ki f f1 1 2= .+ (33)
Escrevendo explicitamente as grandezas participantes e considerando a massa 
das bolas iguais, temos:
1
2
=
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2mv mv mvi f f+ (34)
ou eliminando as massas e o fator 1/2:
v v vi f f1
2
1
2
2
2
= .+ (35)
A expressão é a do Teorema de Pitágoras, em que 
v i1 é a hipotenusa de um 
triângulo retângulo. Sabemos que, num triângulo retângulo, a hipotenusa não pos-
sui nenhum de seus dois vértices igual a 90 o , de forma que um deles deve ser θ e 
ou outro 35 o . 
Mas como o outro vértice deve possuir ângulo reto, então 90 35 =180o o o� �� (a 
soma de todos os ângulos internos de um triângulo plano dever ser igual ao valor 
de um ângulo raso). Logo, � � 35 = 90o o e θ = 55 .o
Chegamos a uma das propriedades exploradas por jogadores: sempre que 
uma das bolas estiver parada e lançarmos a outra de resvalo e sem rotação, a 
soma dos ângulos de saída (ângulos de espalhamento) das duas bolas será 90 o , 
um ângulo reto. 
18
19
Centro de Massa
O centro de massa de um objeto extenso, como é o caso de um martelo, é um 
ponto que, ao arremessarmos o martelo para o alto girando, ele irá ter a trajetória 
mais simples de todas. Essa trajetória, no caso do arremesso do martelo num cam-
po gravitacional, será uma parábola. Assim, podemos concluir que um objeto em 
rotação irá girar em torno de um eixo passando pelo seu centro de massa.
Figura 9
A aplicação de uma força numa haste com duas massas diferentes presas em 
suas extremidades causa rotação no Sistema, caso ela não seja aplicada exatamen-
te no centro de massa. 
Observe a figura 10.
Um Sistema mecânico pode ser composto 
de várias partículas de massas diferentes ou 
de um objeto extenso feito um martelo. 
Ambos os Sistemas possuem partículas que 
se movimentam em relação ao centro de mas-
sa do Sistema; porém, costumamos classificar 
um Sistema composto de um número finito 
de partículas como um Sistema discreto de 
muitas partículas ou de muitos corpos e no 
caso de um objeto extenso, como é o caso do 
martelo. Trata-se de um Sistema contínuo 
de massa total M.
O centro de massa de um Sistema move-se 
como se toda a massa do Sistema estivesse 
concentrada nele. Assim, a 2 a Lei de New-
ton pode ser escrita para n forças externas 
aplicadas ao Sistema, como se elas atuassem 
num único objeto de massa M localizado no 
centro de massa:
Figura 10 − Três situações em que duas 
massas diferentes são ligadas por uma 
haste rígida. Observemos que quando 
forças são aplicadas próximas às massas, 
a haste tende a girar, mas quando 
aplicadas exatamente no centro de massa 
(CM), não causa rotação
19
UNIDADE Colisões de Partículas e Cinemática 
de Movimentos Circulares e Rotacionais
k
n
ext CMF M a
=1
= .∑
 
(36)
Esse movimento não irá depender se o Sistema está girando ou vibrando, pois 
o movimento do centro de massa é independente desses tipos de movimento. 
Logo, como o centro de massa não sofre rotação, ele é facilmente identificado em 
composições fotográficas estroboscópicas de algum objeto extenso em rotação 
como sendo o ponto que não gira em torno de outro ponto. Consequentemente, 
do conjunto de todos os pontos do objeto extenso, ele é o que possui o movimento 
de trajetória mais simples.
A localização do centro de massa é definida como uma média ponderada entre as 
localizações de suas partículas, cujos respectivos pesos estatísticos são suas massas. 
Para um Sistema de duas partículas, também conhecido como par de partículas, 
sua localização feita pelo vetor 

R é dada por:
  
R m r m r
m m
= .
1 1 2 2
1 2
+
+
(37)
A vantagem de utilizar vetores de posição é que eles já são objetos de 
dois ou três componentes, que são facilmente incorporados em Linguagem 
de Programação. 
No entanto, caso queiramos simplificar a execução de algum problema en-
volvendo a determinação da localização da posição do centro de massa, pode-
mos fazer o cálculo por componentes:
x m x m x
m mCM
= ,1 1 2 2
1 2
+
+
(38)
y m y m y
m mCM
= .
1 1 2 2
1 2
+
+
(39)
Podemos estender facilmente o cálculo do centro de massa para um Sistema de 
n partículas em 3-D:
x
m x
m
CM
k
n
k k
k
n
k
= .
=1
=1
∑
∑
(40)
Para as coordenadas yCM e zCM basta que troquemos x y z↔ ↔ . Assim, 

R 
pode ser escrito como:
   
R x i y j z kCM CM CM= + + (41)
e
   r xi y j zk= .+ + (42)
20
21
Também é possível escrever:


R
m r
M
k
k k
= ,
∑
(43)
com M m
k k
=∑ sendo a massa total do Sistema.
Em Sistemas contínuos, o cálculo é semelhante, pois o somatório ∑ é substi-
tuído por um sinal de integração ∫. 
Mais uma vez, não temos intenção de entrar no assunto do Cálculo Integral, 
mas, apenas para ver como é a estrutura da equação, nós a apresentaremos:


R
rdm
M
= ∫ (44)
Figura 11
O centro de massa de qualquer objeto extenso 
simétrico reside sobre o eixo de simetria e sobre 
qualquer plano de simetria. Assim, o centro de mas-
sa de um quadrado está em seu centro, o centro de 
massa de uma esfera está no centro dela e o centro 
de massa de um bastão está no meio do bastão.
Como fazer a determinação do centro de massa 
quando o objeto não é simétrico? 
Basta segurarmos o objeto em dois pontos diferen-
tes e traçarmos a vertical que passa em cada um dos 
pontos. O cruzamento estará no centro de massa.
Existe um conceito chamado de centro de gra-
vidade, que seria o ponto em que estaria concen-
trado todo o peso do objeto, M g. Se g é constan-
te em todas as partes do objeto, então o centro de 
gravidade localiza-se no mesmo ponto que o centro 
de massa.
Figura 12 − Determinação experimental 
do centro de massa. O cruzamento 
de AB com CD é o CM
21
UNIDADE Colisões de Partículas e Cinemática 
de Movimentos Circulares e Rotacionais
Exemplos de determinação do centro de massa
1. Um Sistemaconsiste de três partículas localizadas, conforme a figura 13, 
a seguir.
Figura 13 − Localização das massas e seus valores para a determinação do CM
Dados: m m
1 2
= =1.0 kg e m
3
= 2.0 kg.
Determine o centro de massa do Sistema.
Resposta
Vamos determinar usando a decomposição cartesiana:
x m x m x m x
m m mCM
=
1 1 2 2 3 3
1 2 3
+ +
+ +
=
1.0 1 1.0 2 2.0 0
1.0 1.0 2.0
= 0.75
� � � � �
� �
m.
(45)
Para a coordenada y :
y m y m y m y
m m mCM
=
1 1 2 2 3 3
1 2 3
+ +
+ +
=
1.0 0 1.0 0 2.0 2
1.0 1.0 2.0
=1.0
� � � � �
� �
m.
(46)
22
23
Claro que faremos zCM = 0, de forma que:
  
R i j= 0.75 1.0 .+ (47)
2. Mostre que o centro de massa de um bastão homogêneo de densidade linear λ, 
de massa M e de comprimento L está na metade do bastão.
Resposta
Este é um problema que exige o cálculo de uma integral e a faremos para de-
monstrar a utilização de uma única regra de integração, qual seja:
a
b N
N
a
b
N Nx dx x
N N
a b�
�
� �
� �
�� �=
1
=
1
1
.
1
1 1 (48)
A densidade linear é a razão entre a massa e o comprimento de um objeto com-
prido e de largura desprezível. 
Logo: λ = M
L
 e a coordenada xCM é:
x
M
xdmCM
M
=
1
.
0∫ (49)
Mas, o elemento de massa dm dx= ,λ de forma que:
x
M
x dx
M
x
M
L
L
L L
CM
L
L
=
1
=
2
=
2
=
1
2
=
2
.
0
2
0
2 2
� �
� �
(50)
3. Supondo que o bastão não fosse uniforme, mas que tivesse densidade linear 
λ = ,ax qual seria o novo centro de massa?
Resposta
Procedendo da mesma forma, poderemos chegar a:
x
M
x dx
M
xaxdx a
M
x dxCM
L L L
=
1
=
1
=
0 0 0
2� � ��
=
3
=
3
.
3
0
3a
M
x a
M
L
L
(51)
A massa total do bastão é:
M dm axdx a x a L
L
L
= = =
2
=
2
.
0
2
0
2
∫ ∫ (52)
Logo:
a M
L
=
2
.
2
(53)
23
UNIDADE Colisões de Partículas e Cinemática 
de Movimentos Circulares e Rotacionais
Assim, substituindo em xCM , temos:
x a
M
L M
L M
L LCM =
3
=
2
3
=
2
3
.
3
2
3
(54)
Movimento de um Sistema de Partículas
Vamos iniciar com a expressão do centro de massa de um Sistema de 
n partículas:
 R
m
m r
k
k k=
1
.∑ (55)
A taxa de variação da posição do centro de massa em relação ao tempo é 
a velocidade do centro de massa 
vCM :
 v
M
m vCM
k
k k=
1
,∑ (56)
de forma que, rearranjando a expressão, temos:
   P Mv p pCM CM
k
k total= = = .∑ (57)
Logo, o momento total do Sistema é igual à massa total M multiplicada pela 
velocidade do centro de massa 
vCM .
Em adição, a taxa de variação do momento linear do centro de massa do 
Sistema é:
d
dt
P M a m a FCM CM
k
k k
k
k
   
= = = ,∑ ∑ (58)
em que 

Fk é a força resultante aplicada a k-ésima partícula. 
Tais forças podem ser de origem externa ou de origem interna ao Sistema. 
A 3 a Lei de Newton dará conta de um cancelamento que ocorrerá somente entre 
as forças internas, de forma que somente fará com que haja aceleração do centro 
de massa e variação de seu momento linear o somatório de todas as forças de 
origem externa. 
Assim, podemos escrever:
∑

 
F Ma dP
dt
dp
dtext CM
CM total
= = = . (59)
Consequentemente, a força externa resultante atua no Sistema como um todo, 
de forma a acelerar o centro de massa com toda a massa do Sistema concentrada 
nesse ponto e como se o Sistema inteiro se comportasse como uma única partícula.
24
25
Por fim, no caso da 1 a Lei de Newton, se a força externa resultante é zero, pode-
mos concluir que a aceleração do centro de massa é nula, 
 aCM = 0 e o momento linear 
do centro de massa, que é igual ao momento linear total do Sistema, é constante, de 
forma que o Sistema como um todo se deslocará com velocidade constante. 
Dessa forma, o momento total de um Sistema de partículas é conservado sempre 
que o somatório de todas as forças externas for nulo, isto é, sempre que o Sistema for 
isolado de forças externas.
Em um Sistema isolado de apenas duas partículas, digamos A e B, em virtude de 
não ocorrer variações na velocidade do centro de massa, o momento linear total é uma 
quantidade nula e, assim, teremos:
m v m vA A B B+ = 0 . (60)
Esse é o caso, por exemplo, de um as-
tronauta flutuando no espaço que, sem 
querer, lança uma ferramenta pesada. 
Ambos se afastarão mutuamente do cen-
tro de massa, pois, somente assim, man-
terão o centro de massa parado ou em 
velocidade constante. O mais leve sempre 
terá velocidade maior e o mais pesado, 
para compensar, será o mais lento. Figura 14
Figura 15 - Explosão de míssil lançado por um submarino. 
Podemos notar que o centro de massa dos fragmentos da 
explosão continua a mesma trajetória parabólica do míssil
25
UNIDADE Colisões de Partículas e Cinemática 
de Movimentos Circulares e Rotacionais
Cinemática de Movimentos 
Circulares e Rotacionais
A Cinemática de Ponto Material ou Cinemática de Partículas não foca seu inte-
resse em objetos com extensão e, assim sendo, não se preocupa com rotações de 
corpos em torno de eixos ou, de forma mais simples, de movimentos circulares de 
pontos em torno de outro ponto. 
Figura 16
Qualquer movimento curvilíneo, mesmo sem rotações, possui um centro de 
curvatura e pode, sob certas condições, ser decomposto, aproximadamente, em 
pequenos arcos de circunferência. 
Consequentemente, antes de qualquer estudo das rotações de corpos em torno 
de eixos de rotação é preciso estudar a cinemática de movimentos circulares. Den-
tre os principais, estão os análogos ou similares ao MRU e MRUV, quais sejam: o 
Movimento Circular e Uniforme (MCU) e o Movimento Circular Uniformemente 
Variado (MCUV).
Cinemática dos Movimentos 
Circulares em Coordenadas Polares
O que são Coordenadas Polares?
Quando observamos um movimento, podemos utilizar inúmeros Sistemas de 
coordenadas, de preferência, os que buscam explorar a simetria do Sistema.
26
27
Mas, o que vem a ser a “simetria do Sistema”?
Quando observamos um Sistema, ele pode parecer o mesmo após executar um 
determinado tipo de movimento. Por exemplo, se uma esfera estiver parada e a 
girarmos em torno de um eixo passando pelo seu centro, caso a esfera não tenha 
quaisquer marcas que possam ser observadas de forma a que percebamos se ela 
girou (caso de uma esfera perfeitamente homogênea), dificilmente conseguiremos 
saber se realmente a esfera girou ou ficou parada. 
Isso é simetria! 
Outro exemplo: um quadrado que tenha um eixo de rotação passando pelo seu 
centro, se não tiver marcas, todas as vezes que giramos o quadrado de um ângulo 
de 90 o , não conseguimos saber se ele girou ou não. 
Assim, há várias formas de simetria em Física e em Sistemas físicos e temos de 
explorar essa simetria com a utilização do Sistema de coordenadas adequado para 
tratar o problema. Caso isso não seja feito, certamente, as equações que descre-
vem o movimento serão mais complexas e trarão dificuldades matemáticas.
Um Sistema de referência inadequado pode, por exemplo, deixar um jogo lento 
ou até travá-lo, de forma que a escolha de um Sistema adequado faz parte dos cri-
térios para o bom desempenho de um jogo e de sua jogabilidade.
Uma rotação, que é um giro de um corpo em torno de eixo de rotação, neces-
sita de um Sistema de referência de duas dimensões, isto é, bidimensional ou 2-D, 
no mínimo, para poder descrevê-la. 
Vamos imaginar, primeiramente, que iremos observar apenas um ponto A de 
um corpo em rotação. 
Assim, vamos seguir o diagrama que mostra um ponto sobre uma circunferência 
e a apresentação de suas coordenadas.
Figura 17 − Ponto sobre uma circunferência de raio r 
e ângulo θ do raio vetor com a horizontal
27
UNIDADE Colisões de Partículas e Cinemática 
de Movimentos Circulares e Rotacionais
A localização do ponto A pode ser dada pelas coordenadas cartesianas (ou re-
tangulares) em que o ponto está em um dos vértices do retângulo em que o vértice 
diagonalmente oposto encontra-se na origem O do Sistema de coordenadas.
Obviamente, a descrição dos pontos de uma circunferência não é feita da ma-
neira mais simples, com a utilização de coordenadas retangulares, pois a circunfe-rência e o retângulo são figuras muito diferentes. 
A utilização do Sistema de coordenadas polares é mais adequado, pois esse 
Sistema respeita a simetria da circunferência. Na figura 17, as coordenadas polares 
são representadas pelo raio r e pelo ângulo θ . Logo, o ponto A pode ser repre-
sentado por x y,� � no Sistema cartesiano ou por r,�� � no Sistema polar.
Podemos notar, no entanto, que a coordenada θ , por se tratar de um ângulo, 
não possui dimensão (unidade de medida) de comprimento, tais como as coorde-
nadas x y, e r. 
Um ângulo, definido em radianos, é dado pela medida da corda AB dividida 
pelo raio r :
� = .
m AB
r
� �

(61)
Logo, a divisão de duas medidas de comprimento resulta em uma quantidade 
adimensional. Dessa forma, o ângulo θ possui uma diferença entre sua unidade 
de medida (que, na verdade, ele não tem, já que ele é adimensional) em relação às 
coordenadas r x, e y (que são medidas em unidades de comprimento, a saber, 
em metros, centímetros, milímetros etc.) e ele possui a característica de aparecer 
sempre acompanhado de funções trigonométricas.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, é fácil ver que há uma relação entre as coor-
denadas cartesianas x y,� � do ponto A e a coordenada polar r :
r x y2 2 2= + (62)
ou
r x y= .2 2+ (63)
Assim, dados x e y , é possível obter r.
Da mesma forma para a coordenada θ , temos:
tan tan� �= = ,1
y
x
y
x
� �
�
�
�
�
�
� (64)
em que tanθ é a função tangente do ângulo θ e � �
�
�
�
�
�
1tan
y
x
 é a função inversa 
da tangente. 
28
29
Essa função inversa existe em qualquer calculadora científica ou em qualquer 
computador. É possível calcular pela Internet, também; basta que tenhamos o re-
sultado do número, que é a divisão de y por x.
Analogamente, usando as definições de seno e de cosseno de um ângulo, tam-
bém é muito fácil verificar que:
x r= ,cosθ (65)
y r= .sinθ (66)
O seno de θ é aqui designado por sinθ , que é a notação internacional 
em inglês.
Apenas para que tenhamos uma ideia de como o Sistema de coordenadas fa-
cilita a descrição de certos tipos de movimento explorando a simetria desse movi-
mento, vamos tentar desenhar uma circunferência de raio r = 4 usando o Sistema 
de coordenadas cartesianas. 
Primeiramente, vamos isolar y na eq. 62� � :
y x= 4 .2 2� � (67)
A raiz quadrada com o sinal + na frente representa a metade superior da circun-
ferência e com o sinal − na frente representa a metade inferior. 
E como seria a equação da mesma circunferência em coordenadas polares?
A resposta é simples: r = 4, que é extremamente mais fácil de representar do 
que duas semicircunferências unidas dadas por duas funções. Daí, basta escrever as 
equações em coordenadas polares e talvez até o processador de seu console venha 
a lhe agradecer pelo alívio. 
Pedimos perdão pela brincadeira, mas é mais uma forma de chamar a atenção 
para a utilização de um Sistema de Coordenadas adequado para cada problema, 
procurando obter a diminuição de atividade computacional.
Exemplo de transformação de Coordenadas 
Cartesianas em Coordenadas Polares
As Coordenadas Cartesianas de um ponto A são x y, = 2,5 4 .� � � �m, m Determi-
ne as coordenadas polares do ponto A.
Resposta
As coordenadas polares são designadas por r, .�� � O raio r é dado por:
r x y= = 2.5 4 4,722 2 2 2� � � � � m. (68)
29
UNIDADE Colisões de Partículas e Cinemática 
de Movimentos Circulares e Rotacionais
O ângulo θ é definido pela relação envolvendo sua tangente:
tanθ = = 4
2.5
=1.6
y
x
. (69)
Conhecemos a tangente do ângulo θ , mas, para descobrir o próprio ângulo, 
precisamos utilizar uma calculadora, apertar a tecla SHIFT ou 2nd function e a 
tecla TAN em seguida, acionando, dessa forma, a função inversa da tangente, co-
mumente designada por �1 ,tan � de forma a obter:
� = 1.6 58 .1� � � �tan o (70)
Logo, as coordenadas polares do ponto A são r o, = 4,72 58 .�� � � �m,
Movimento Circular Uniforme (MCU)
Para fazermos a descrição do Movimento Circular Uniforme (MCU), é necessá-
ria a introdução de uma nova grandeza física, a velocidade angular, denotada co-
mumente por ω (letra grega ômega). 
A velocidade angular pode ser descrita como a taxa de variação do ângulo�� 
com que o raio vetor que liga a origem de um referencial ao ponto P descreve, em 
sentido anti-horário (positivo) ou horário (negativo), em relação ao tempo t (Figura 18). 
É importante salientar que o ângulo deve ser escrito em radianos, conforme a 
eq. 61 .� � O movimento circular uniforme tem uma estreita conexão com as oscila-
ções, pois a projeção da sombra do ponto P, seja no eixo horizontal ou no eixo 
vertical, movimenta-se num movimento de vai e vem de maneira igual ao movi-
mento de uma mola.
Figura 18 – Elemento de arco � �s r= � e a velocidade tangencial
30
31
O ponto P descreve um elemento de arco de circunferência de comprimento 
∆s, com uma velocidade tangencial constante (em módulo) v. 
Pela definição de ângulo em radianos, o ângulo descrito �� é dado pela razão 
entre o elemento de arco ∆s e o raio r, de forma que, isolando ∆s, temos:
� �s r= .� (71)
A velocidade tangencial v (aquela que aponta sempre tangente à trajetória do 
ponto P na circunferência), é definida, em módulo, como a taxa de variação do 
arco descrito∆s em relação ao intervalo de tempo∆t :
v s
t
= .
∆
∆
(72)
O elemento de arco∆s pode ser substituído nesta última equação, resultando:
v r
t t
r= = .�
�
�
�
� �
(73)
A velocidade angularω é, conforme sua definição, dada por:
�
�
= ,
�
�t
(74)
de forma que a velocidade tangencial v pode ser escrita de forma mais interessante:
v r= .ω (75)
Tratando o movimento circular como se fosse um movimento retilíneo e unifor-
me para pequenos deslocamentos �s s s=
0
� , poderíamos escrever:
s s vt= .
0
+ (76)
Agora, substituindo cada comprimento de arco s por rθ , temos:
r r rt� � �= .
0
� (77)
É possível dividir a equação por r, pois ele é diferente de zero (não existe circunfe-
rência de raio nulo), recaindo-se na equação do Movimento Circular Uniforme (MCU):
� � �= .
0
� t (78)
Comparando-se a equação 76� � à equação 78 ,� � vemos que elas possuem a 
mesma estrutura, de forma que basta fazermos a substituição das grandezas linea-
res pelas angulares, isto é, s �� e v �� para passarmos da equação de movi-
mento de um ponto que translada no espaço para a equação de movimento de um 
ponto que gira no espaço. 
Veremos que ocorre o mesmo para o MRUV e o MCUV a seguir.
31
UNIDADE Colisões de Partículas e Cinemática 
de Movimentos Circulares e Rotacionais
Movimento Circular Uniformemente 
Variado (MCUV)
Da mesma forma que a aceleração linear média am é a taxa de variação da 
velocidade v em relação ao tempo t, isto é:
a v
tm
= ,
∆
∆
(79)
introduziremos o conceito de aceleração angular média αm (é preciso tomar 
cuidado, pois esta é a letra alfa do alfabeto grego; não é um a ):
�
�
m t
= ,
�
�
(80)
em que 
�� � � � �= = .
0final inicial� � (81)
Claramente, isso irá valer para a situação em que a velocidade angular ω não 
é constante. 
Consideraremos a situação em que a aceleração angular média é constante, 
α αm const= = . No caso em que o percurso do elemento de arco �s s s= 0� é dado 
por uma aproximação de um MRUV, então:
s s v t at= 1
2
.
0 0
2+ + (82)
Substituindo os elementos de arco em função das quantidades angulares, pode-
mos escrever novamente a equação anterior:
� � �r r rt w
t
rt= 1
2
.
0
2� �
�
�
(83)
Mais uma vez, vamos dividir a equação por r > 0 e usar a eq. 80� � , recaindo na 
equação para o Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV):
� � � �=
1
2
.
0
2� �t t (84)
Mais uma vez, podemos fazer a mera substituição de grandezas: s v� �� �, e 
a ��.
Para um movimento com aceleração angular constante, α = .,const podemos 
escrever uma equação para ela em termos da velocidade angular média: 
�
� �
m =
2
0
�
(85)
ou
�
� �
m t=
2
,0
��
�
�
�
�
� (86)
em que ω0 é a velocidade angular em t = 0.32
33
Aceleração Centrípeta
O Movimento Circular Uniforme (MCU) ocorre com velocidade angular constan-
te ω ou, equivalentemente, com velocidade tangencial constante v. 
Se a velocidade tangencial é constante, a aceleração tangencial é nula. No en-
tanto, não existe aceleração no Sistema?
A resposta é sim, existe. 
Em qualquer curvatura, em uma trajetória, haverá sempre uma aceleração apon-
tando para o centro de curvatura: é a aceleração centrípeta. 
Temos de pensar que o vetor velocidade tangencial 
v é constante em módulo 
(isto é, em valor numérico), mas não é constante em direção e sentido.
Assim, a aceleração vetorial média 
am é definida como:


a v
tm
= .
∆
∆
(87)
Podemos notar, na figura 19, que a variação vetorial da velocidade tangencial 
∆
v aponta para o centro da curvatura situado no ponto O.
Figura 19 – Variação vetorial da velocidade tangencial 
v.
Como os três ângulos dos vértices dos dois triângulos são iguais, os triângulos 
são semelhantes. Assim, por esse critério de semelhança, podemos estabelecer a 
razão de semelhança entre os dois triângulos válido para as medidas de seus lados:
∆ ∆r
r
v
v
= . (88)
Nessa última expressão, não fizemos distinção entre as velocidades inicial 
vi e 
final 
v f porque elas são iguais em módulo (lembre-se de que a velocidade tangen-
cial possui valor constante v ).
Isolando ∆v, temos:
33
UNIDADE Colisões de Partículas e Cinemática 
de Movimentos Circulares e Rotacionais
∆ ∆v v
r
r= . (89)
Assim, a aceleração vetorial, em módulo, também é constante, da mesma forma 
que o módulo da velocidade tangencial v. 
Ela é dada por:
a v
t
v
r
r
t
= = .
∆
∆
∆
∆
(90)
A velocidade é v r
t
= ∆
∆
 e, finalmente, obtemos a expressão para a aceleração 
centrípeta acp (dirigida ao centro de curvatura):
a v
rcp
= .
2
(91)
Exemplos de aceleração centrípeta
1. Uma bola presa a um fio de comprimento L = 0.5m oscila em um arco de 
circunferência na posição vertical sob a influência da força gravitacional. No ins-
tante em que o fio faz um ângulo de θ = 20o com a vertical, a velocidade da bola é 
de 1.5m/s. 
Dado: g = 9.8 m/s 2.
a) Determine o módulo da componente radial da aceleração nesse exato instante.
Resposta
Figura 20 – aceleração radial e tangencial durante várias etapas do movimento
A aceleração radial é a aceleração centrípeta:
a v
rr
= =
1.5
0.5
= 4.5 .
2
2
2
� �
m/s (92)
34
35
b) Qual é o módulo da aceleração tangencial em θ = 20 ?o
Resposta
A aceleração tangencial é dada por:
a gt
o
= = 9.8 20 3.4 .
2sin sin� � m/s (93)
c) Determine o módulo e a direção da aceleração total em θ = 20 .o
Figura 21 – Esquema de forças 
e de ângulos do pêndulo
Resposta
A aceleração total é dada pela soma vetorial:
  a a ar t= .+ (94)
Em θ = 20 ,o temos:
a a ar t= = 4.5 3.4 5.6 .
2 2 2 2 2� � � m/s (95)
A direção é dada pelo ângulo φ, dado por:
� = =
3.4
4.5
37 .
1 1� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �tan tan
a
ar
t o (96)
35
UNIDADE Colisões de Partículas e Cinemática 
de Movimentos Circulares e Rotacionais
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Mecânica – Aula 17 – Leis de Newton
Univesp. Prof. Dr. Gil da Costa Marques.
https://youtu.be/N3yJFmc7k3I
Práticas para o Ensino de Física I – Aula 8 – Colisões
Univesp. Prof. Dr. Gil da Costa Marques.
https://youtu.be/AXztP7QjWFg
Física I – Aula 22 – Colisões
Univesp. Prof. Dr. Gil da Costa Marques.
https://youtu.be/-1mAB8uhTK8
Física I – Aula 25 – Energia Mecânica
Univesp. Prof. Dr. Gil da Costa Marques.
https://youtu.be/vIf8ivrZMLk
Cursos Unicamp – Física Geral I – Aulas 15 e 16 – Sistemas de Partículas – Parte 2
Prof. Dr. Luiz Marco Brescansin.
https://youtu.be/LRCtrRXrfsM
https://youtu.be/sATEFy8PtiY
Impulse, Torque, & Angular Momentum for a System of Particles MIT OpenCourseWare
https://youtu.be/NHedXxUO-Bg
Imp 005 Colisões – Coeficiente de Restituição, Velocidade Relativa
Para quem quiser ampliar o material (bolinhas de ping pong (coeficiente de restituição 
e perseguições de carros).
https://youtu.be/4cnhbdHTeXI
36
37
Referências
BOURG, D. M. Physics For Game Developers. Beijing: O’reilly, 2002.
CHAVES JUNIOR, José Fernandes. Ferramenta de desenvolvimento: engine. 
São Paulo: Erica, 2015. (E-Book)
DUNN FLETCHER; PARBERRY, I. 3d Math Primer For Graphics And Game 
Development. Texas: Wordware Publishing, 2002.
EBERLY, D. H. 3d Game Engine Design: A Practical Approach To Real-Time 
Computer Graphics. Estados Unidos: Morgan Kaufmann Publishers Inc., 2001.
EBERLY, D. H. Game Physics. Amsterdam: Elsevier, 2004.
HALLIDAY, David. Fundamentos de física: mecânica. 10.ed. São Paulo: LTC, 
2016. (E-Book) v.1. 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica: Mecânica. 4.ed. São Paulo: 
Blucher, 2012. v.1
RAMTAL, Dev.; DOBRE, Adrian. Physics for JavaScript Games, Animation, 
and Simulations: with HTML5 Canvas. Editora: Apress, 2014.
37