Propriedades de Potências e Logaritmos

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Propriedades de Potências
Leia o resumo sobre potências a seguir e resolva os exercícios: 
Definição de potência: Seja um número real a e um número natural n, com n > 1, chamamos de potência de base a e expoente n o número an, isto é, o produto de n fatores iguais a “a”. Exemplos: a² = a.a, a³ = a.a.a, a5 = a.a.a.a.a.
Potência com expoente negativo: Seja a um número real diferente de zero e n um número natural, chamamos de potência de base a e expoente -n o número a-n, que é o número inverso multiplicativo de n, . Exemplo: 
Expoente igual a 1: a¹ = a
Expoente igual a zero: a0 = 1, se a0
Base 1: 1n = 1, qualquer n inteiro.
Se a < 0 e n é um número natural então an > 0 se n é par e então an < 0 se né impar. (-3)4=81 e (-5)3 = - 125
Produto de potências de mesma base: Ao multiplicar duas ou mais potências de mesma base, devemos proceder da seguinte forma: conservar a base e somar os expoentes. Exemplo 34.35.36 = 34+5+6=315.
Divisão de potências de mesma base: Ao dividirmos potências não-nulas de mesma base, devemos proceder da seguinte forma: conservar a base e subtrair os expoentes: 85/83=85-3=82.
Produto de potências de mesmo expoente: Ao multiplicar duas ou mais potências de mesmo expoente, devemos proceder da seguinte forma: conservar o expoente e multiplicar as basestes. Exemplo 34.54.24 = (3.5.2)4=304.
Divisão de potências de mesma base: Ao dividirmos potências não-nulas de mesmo expoente, devemos proceder da seguinte forma: conservar o expoente e dividir as bases: 87/27=(8/2)7=47.
Potência de potência: Neste caso, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes. (25)3=25.3=215.
Potência de um produto: Devemos distribuir o expoente aos fatores do produto: (2.4)5=25.45.
Divisão de potências de mesmo expoente: Conserva o expoente e divide-se as bases. 243/33=(24/3)3=83.
Definição de Potência facionária: Seja a um número real positivo e n um número inteiro então . Exemplo: .
1. Calcule:
a. 0,25 . 0,23 . 0,2-5= 0,23
b. 3-4.4-4=12-4
c. 813/4.812=8111/4 2+3/4= 8/4+3/4=11/4
d. 428 / 68=78
e. 25 . 35 . 63=65. 63=68
2. Resolva:
a. 
 
b. 
	
c. 
 
Leia o resumo sobre logaritmos a seguir e resolva os exercícios: 
Os logaritmos, criados por John Napier e Jobst Burgi, e posteriormente adaptados por Henry Briggs, possuem a seguinte lei de formação: = x, em que: a > 0 e a1= base do logaritmo, b >0 = logaritmando ou antilogaritmo e x = logaritmo.
O logaritmo de um número b, em uma base a, é o expoente x que se deve aplicar à base a para obter o número b. Dessa forma: ↔b=ax. Exemplos: , 
Propriedades dos logaritmos
1. O logaritmo do número 1, em qualquer base sempre, será igual a 0: =0.
2. O logaritmo de qualquer número a, na própria base a, será igual a 1: =1.
3. O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base: . Exemplo 
4. O logaritmo do produto é a soma dos logaritmos: Exemplo 
5. O logaritmo da divisão é a diferença dos logaritmos: Exemplo 
6. O logaritmo da potência é o produto do expoente pelo logaritmo da base: 
7. Bases especiais, a base decimal Exemplo 
8. Mudança de base: . Exemplo: 
Resolva os exercícios de 13 a 17 da lista distribuída em sala:
13. Calcule:
a) b) = -3 c) d) = 3
14. Calcule o valor de x:
a) b) c) d) e) 
15. Calcule:
a) b) c) d) e) =4.52=100 
Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule .
16. 
Sendo logx 2 = a , logx 3 = b calcule .
4
2
27
81
=
-
x
125
log
5
1
27
8
log
3
2
3
8
log
=
x
2
16
1
log
=
x
5
log
2
=
x
x
=
27
log
9
x
=
32
log
2
1
3
2
2
log
-
7
log
7
7
log
5
5
3
log
7
log
2
2
2
+
5
log
2
2
2
2
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
c
b
a
2
.
log
3
12
log
x
8
1
2
3
=
+
x
25
5
1
3
=
+
x