aula física 1 0704

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Física 1 
07/04/2020 
Profa Lilian 
Cespri 
Uso das derivadas para: 
 
Suponha que um carro move-se com 
velocidade constante e igual a 60 𝑘𝑚/ℎ. 
Se no instante 𝑡 = 0𝑠 ele estava no marco 
zero da estrada, a função que fornece a 
posição em um instante 𝑡 > 0 é dada por 
𝑠(𝑡) = 60𝑡. 
Movimento retilíneo 
Espaço, velocidade e aceleração 
Espaço (𝑠) 
Em casos gerais, a posição do móvel é 
dada por: 
𝒔 𝒕 = 𝒔𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +
𝟏
𝟐
 𝒂𝒕𝟐 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0 
equação do espaço para o movimento 
uniformemente variado 
Movimento retilíneo 
Velocidade instantânea 
E a velocidade é a primeira derivada da 
função do espaço: 
𝑠 𝑡 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
 𝑎𝑡2 
𝒗 𝒕 = 𝒔′ 𝒕 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕 
equação da velocidade para o movimento 
uniformemente variado 
Movimento retilíneo 
Aceleração 
A aceleração se encontra calculando a 
segunda derivada da função do espaço: 
𝑠 𝑡 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
 𝑎𝑡2 
𝑣 𝑡 = 𝑠′ 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 
𝒂 𝒕 = 𝒗′ 𝒕 = 𝒔′′(𝒕) 
Movimento retilíneo 
Se a posição do carro é dada por 
𝑠 𝑡 = 𝑡3 , qual é a velocidade do carro no 
instante 𝑡 = 2 ? 
 
Posição do carro: 𝑠 𝑡 = 𝑡3 
Velocidade: 𝑣 𝑡 = 𝑠’ 𝑡 = 3𝑡2 
Velocidade t=2 : 𝑣 2 = 3.22 
 𝑣 2 = 3.4 
 𝑣 2 = 12 m/s 
Problema 1 
Se a posição de uma partícula é dada por 
𝑠(𝑡) = 4 − 12𝑡 + 3𝑡2 ( t está em segundos e 
s em metros), qual é a velocidade da 
partícula em 𝑡 = 1 𝑠? O movimento nesse 
instante é no sentido positivo ou negativo 
de s? 
Posição : 𝑠 𝑡 = 4 − 12𝑡 + 3𝑡2 
Velocidade: 𝑣 𝑡 = 𝑠’ 𝑡 = −12 + 6𝑡 
Velocidade t=1 : 𝑣 1 = −12 + 6.1 
 𝑣 1 = −6𝑚/𝑠 
O movimento é no sentido negativo 
Problema 2 
A posição de uma partícula se move ao 
longo do eixo x é dada em centímetros por 
𝑠(𝑡) = 9,75 + 1,5 𝑡3, onde t está em 
segundos. Calcule a velocidade média 
durante o intervalo de tempo de 𝑡 = 2𝑠 a 
𝑡 = 3𝑠. Calcule a velocidade instantânea 
em 𝑡 = 2𝑠. Calcule a velocidade 
instantânea em 𝑡 = 3𝑠. Calcule a 
velocidade instantânea em 𝑡 = 2,5𝑠. 
Calcule a velocidade instantânea quando 
a partícula está na metade da distância 
entre suas posições em 𝑡 = 2𝑠 e 𝑡 = 3𝑠. 
Problema 3 
Calcule a velocidade média durante o 
intervalo de tempo de 𝑡 = 2𝑠 a 𝑡 = 3𝑠. 
Posição: 𝑠 𝑡 = 9,75 + 1,5 𝑡3 
Velocidade média = 
∆𝑆
∆𝑡
=
𝑠−𝑠0
𝑡−𝑡0
 
 
𝑠 2 = 9,75 + 1,5.23 = 21,75 𝑐𝑚 
𝑠 3 = 9,75 + 1,5.33 = 50,25 𝑐𝑚 
𝑉𝑚 =
50,25 − 21,75
3 − 2
 
𝑉𝑚 = 28, 5𝑐𝑚/𝑠 
 
 
Problema 3 
Calcule a velocidade instantânea em 𝑡 = 2𝑠. 
Posição: 𝑠 𝑡 = 9,75 + 1,5 𝑡3 
Velocidade instantânea: 𝑣 𝑡 = 𝑠′ 𝑡 
𝑣 𝑡 = 4,5𝑡2 
𝑣 2 = 4,5.22 
𝑣 2 = 18𝑐𝑚/𝑠 
 
 
Problema 3 
Calcule a velocidade instantânea em 𝑡 = 3𝑠. 
Posição: 𝑠 𝑡 = 9,75 + 1,5 𝑡3 
Velocidade instantânea: 𝑣 𝑡 = 𝑠′ 𝑡 
𝑣 𝑡 = 4,5𝑡2 
𝑣 3 = 4,5.32 
𝑣 3 = 40,5𝑐𝑚/𝑠 
 
 
Problema 3 
Calcule a velocidade instantânea em 𝑡 = 2,5𝑠. 
Posição: 𝑠 𝑡 = 9,75 + 1,5 𝑡3 
Velocidade instantânea: 𝑣 𝑡 = 𝑠′ 𝑡 
𝑣 𝑡 = 4,5𝑡2 
𝑣 2,5 = 4,5.2,52 
𝑣 2,5 = 28,1𝑐𝑚/𝑠 
 
 
Problema 3 
Calcule a velocidade instantânea quando 
a partícula está na metade da distância 
entre suas posições em 𝑡 = 2𝑠 e 𝑡 = 3𝑠. 
Metade das posições em t=2s e t=3s: 
𝑋𝑚 =
𝑥2 + 𝑥3
2
 
𝑋𝑚 =
21,75 + 50,25
2
 
𝑋𝑚 = 36 𝑐𝑚 
Descobrir o tempo em que a partícula está 
na posição 36 cm 
𝑠 𝑡 = 9,75 + 1,5 𝑡3 
 
 
Problema 3 
𝑠 𝑡 = 9,75 + 1,5 𝑡3 
36 = 9,75 + 1,5 𝑡3 
36 − 9,75 = 1,5 𝑡3 
26,25 = 1,5 𝑡3 
1,2 𝑡3 = 26,25 
𝑡3 =
26,25
1,5
 
𝑡3 = 17,5 
𝑡 = 17,5
3
 
𝑡 = 2,59𝑠 
 
 
 
Problema 3 continuação 
Temos que a partícula está na posição 36 cm 
no tempo 2,59𝑠. 
Para encontrar a velocidade da partícula 
neste instante: 
𝑣 𝑡 = 4,5𝑡2 
𝑣 𝑡 = 4,5 . 2,592 
𝑣(𝑡) = 4,5 . 6,7081 
𝑣 𝑡 = 30,18 𝑐𝑚/𝑠 
E se perguntasse a aceleração? Quanto seria 
a aceleração neste instante? 
𝑎 𝑡 = 𝑣′(𝑡) = 4,5. 2 . 𝑡 
𝑎 𝑡 = 9. 𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3 continuação 
𝑎 𝑡 = 9. 𝑡 
Para t= 2,29s: 
 
𝑎 𝑡 = 9 . 2,29 
𝑎 𝑡 = 20,61 𝑐𝑚/𝑠2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3 continuação 
A função do espaço de uma partícula é 
dada por 𝑠(𝑡) = 8 + 0,6 𝑡3, (usando S.I.). 
Calcule a velocidade média durante o 
intervalo de tempo de 𝑡 = 2𝑠 a 𝑡 = 5𝑠. Calcule 
a velocidade instantânea em 𝑡 = 2𝑠. Calcule 
a velocidade instantânea em 𝑡 = 5𝑠. Calcule 
a velocidade instantânea em 𝑡 = 3,5𝑠. 
Calcule a velocidade instantânea quando a 
partícula está na metade da distância entre 
suas posições em 𝑡 = 2𝑠 e 𝑡 = 5𝑠. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1 
Um móvel tem a função horária dada por 
𝑆(𝑡) = 𝑡3 − 6𝑡2 + 9𝑡 + 1. (use S.I.) 
a) Encontre as funções das velocidades e 
aceleração. 
b) Calcule v(2) e a(3). 
c) Quais os instantes de tempo em que a 
velocidade é nula? 
d) Qual o instante de tempo em que a 
aceleração é nula? 
e) Qual instante de tempo em que a 
aceleração é igual a 2𝑚/𝑠2 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2 
Em 𝑡 = 0𝑠, um corpo inicia um movimento 
retilíneo. Sua posição no instante 𝑡 é 
𝑠(𝑡) = 16𝑡 − 𝑡2 
a) Calcule a velocidade média no intervalo 
de tempo de [2,4] 
b) Calcule a velocidade em 𝑡 = 2𝑠. 
c) Calcule a aceleração em 𝑡 = 1𝑠. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3 
Respostas: 
 
A função do espaço de uma partícula é 
dada por 𝑠(𝑡) = 8 + 0,6 𝑡3, (usando S.I.). 
Calcule a velocidade média durante o 
intervalo de tempo de 𝑡 = 2𝑠 a 𝑡 = 5𝑠. Calcule 
a velocidade instantânea em 𝑡 = 2𝑠. Calcule 
a velocidade instantânea em 𝑡 = 5𝑠. Calcule 
a velocidade instantânea em 𝑡 = 3,5𝑠. 
Calcule a velocidade instantânea quando a 
partícula está na metade da distância entre 
suas posições em 𝑡 = 2𝑠 e 𝑡 = 5𝑠. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1 
A função do espaço de uma partícula é dada 
por 𝑠(𝑡) = 8 + 0,6 𝑡3, (usando S.I.). Calcule a 
velocidade média durante o intervalo de tempo 
de 𝑡 = 2𝑠 a 𝑡 = 5𝑠. 
Posição: 𝑠 𝑡 = 8 + 0,6 𝑡3 
Velocidade média = 
∆𝑆
∆𝑡
=
𝑠−𝑠0
𝑡−𝑡0
 
 
𝑠 2 = 8 + 0,6.23 = 12,8 𝑐𝑚 
𝑠 3 = 8 + 0,6.53 = 83 𝑐𝑚 
𝑉𝑚 =
83 − 12,8
5 − 2
 
𝑉𝑚 =
70,2
3
 
𝑉𝑚 = 23,4𝑚/𝑠 
Exercício 1 
Exercício 1 
Calcule a velocidade instantânea em 𝑡 = 2𝑠. 
Posição: 𝑠 𝑡 = 8 + 0,6 𝑡3 
Velocidade instantânea: 𝑣(𝑡) = 𝑠’(𝑡) = 1,8𝑡2 
𝑣(2) = 1,8 . (2)2 
𝑣 2 = 1,8 . 4 
𝑣 2 = 7,2𝑚/𝑠 
Calcule a velocidade instantânea em 𝑡 = 5𝑠. 
Velocidade instantânea: 𝑣(𝑡) = 𝑠’(𝑡) = 1,8𝑡2 
𝑣(5) = 1,8 . (5)2 
𝑣 5 = 1,8 . 25 
𝑣 5 = 45𝑚/𝑠 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1 
Calcule a velocidade instantânea em 𝑡 = 3,5𝑠. 
Velocidade instantânea: 𝑣(𝑡) = 𝑠’(𝑡) = 1,8𝑡2 
𝑣(3,5) = 1,8 . (3,5)2 
𝑣 3,5 = 1,8 . 12,25 
𝑣 3,5 = 22,05𝑚/𝑠 
Calcule a velocidade instantânea quando a 
partícula está na metade da distância entre 
suas posições em 𝑡 = 2𝑠 e 𝑡 = 5𝑠. 
Quando a partícula está entre a metade da 
distância entre t=2s e t=5s: 
𝑋𝑚 =
𝑥2 + 𝑥5
2
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1 
𝑋𝑚 =
𝑥2 + 𝑥5
2
 
𝑋𝑚 =
12,8 + 83
2
 
𝑋𝑚 =
95,8
2
 
𝑋𝑚 = 47,9𝑚 
Agora para encontrar o tempo em que a 
partícula estava na posição 47,9m: 
𝑠 𝑡 = 8 + 0,6𝑡3 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1 
Agora para encontrar o tempo em que a 
partícula estava na posição 47,9m: 
𝑠 𝑡 = 8 + 0,6𝑡3 
47,9 = 8 + 0,6𝑡3 
47,9 − 8 = 0,6𝑡3 
39,9 = 0,6𝑡3 
0,6𝑡3 = 39,9 
𝑡3 =
39,9
0,6
 
𝑡3 = 66,5 
𝑡 = 66,5
3
 
𝑡 = 4,05𝑠 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1 
𝑡 = 4,05𝑠 
Encontrado o tempo que a partícula estava 
na espaço 47,9 m, agora vamos encontrar a 
velocidade neste instante: 
𝑣 𝑡 = 1,8𝑡2 
𝑣 4,05 = 1,8 . 4,05 2 
𝑣 4,05 = 29,52𝑚/𝑠 
Esta é a velocidade da partícula no tempo 
𝑡 = 4,05𝑠 
 
 
 
 
 
 
Um móvel tem a função horária dada por 
𝑆(𝑡) = 𝑡3 − 6𝑡2 + 9𝑡 + 1. (use S.I.)a) Encontre as funções das velocidades e 
aceleração. 
Velocidade: v t = 𝑠’ 𝑡 = 3𝑡2 − 12𝑡 + 9 
Aceleração: 𝑎(𝑡) = 𝑣’(𝑡) = 𝑠’’(𝑡) = 6𝑡 − 12 
 
b) Calcule v(2) e a(3). 
v t = 3𝑡2 − 12𝑡 + 9 
v 2 = 3 . 22 − 12.2 + 9 
v t = 3 . 4 − 24 + 9 
𝑣 2 = −3𝑚/𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2 
b) Calcule v(2) e a(3). 
v t = 3𝑡2 − 12𝑡 + 9 
v 2 = 3 . 22 − 12.2 + 9 
v 2 = 3 . 4 − 24 + 9 
𝑣 2 = −3𝑚/𝑠 
 
𝑎(𝑡) = 6𝑡 − 12 
𝑎 3 = 6.3 − 12 
𝑎(3) = 6𝑚/𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2 
Exercício 2 
c) Quais os instantes de tempo em que a 
velocidade é nula? 
Instante quando a velocidade é igual a zero 
v t = 3𝑡2 − 12𝑡 + 9 
0 = 3𝑡2 − 12𝑡 + 9 
Usar báskara para encontrar o valor do tempo: 
𝑡 =
−(−12) ± (−12)2−4.3.9
2.3
 
𝑡 =
+12 ± 144 − 108
6
 
𝑡 =
+12 ± 36
6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2 
𝑡 =
+12 ± 36
6
 
𝑡1 =
+12 + 6
6
= 3𝑠 
 
𝑡2 =
+12 − 6
6
= 1𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2 
d) Qual o instante de tempo em que a 
aceleração é nula? 
𝑎 t = 6𝑡 − 12 
0 = 6𝑡 − 12𝑡 
−6𝑡 = −12 
6𝑡 = 12 
𝑡 =
12
6
 
𝑡 = 2𝑚/𝑠2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2 
e) Qual instante de tempo em que a 
aceleração é igual a 2𝑚/𝑠2 ? 
𝑎 t = 6𝑡 − 12 
2 = 6𝑡 − 12 
2 + 12 = 6𝑡 
14 = 6𝑡 
6𝑡 = 14 
𝑡 =
14
6
 
𝑡 = 2,33𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em 𝑡 = 0𝑠, um corpo inicia um movimento 
retilíneo. Sua posição no instante 𝑡 é 
𝑠(𝑡) = 16𝑡 − 𝑡2 
a) Calcule a velocidade média no intervalo 
de tempo de [2,4] 
𝑉𝑚 =
∆𝑠
∆𝑡
=
𝑠4 − 𝑠2
𝑡4 − 𝑡2
 
𝑠 4 = 16.4 − 42 = 48 
𝑠 2 = 16.2 − 22 = 28 
𝑉𝑚 =
∆𝑠
∆𝑡
=
48 − 28
4 − 2
=
20
2
= 10𝑚/𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3 
Em 𝑡 = 0𝑠, um corpo inicia um movimento 
retilíneo. Sua posição no instante 𝑡 é 
𝑠(𝑡) = 16𝑡 − 𝑡2 
a) Calcule a velocidade média no intervalo 
de tempo de [2,4] 
b) Calcule a velocidade em 𝑡 = 2𝑠. 
𝑣 𝑡 = 16 − 2𝑡 
𝑣 2 = 16 − 2.2 
𝑣 2 = 16 − 4 
𝑣 2 = 12𝑚/𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3 
Em 𝑡 = 0𝑠, um corpo inicia um movimento 
retilíneo. Sua posição no instante 𝑡 é 
𝑠(𝑡) = 16𝑡 − 𝑡2 
a) Calcule a velocidade média no intervalo 
de tempo de [2,4] 
b) Calcule a velocidade em 𝑡 = 2𝑠. 
c) Calcule a aceleração em 𝑡 = 1𝑠. 
𝑎 𝑡 = −2 
No tempo = 1s a aceleração é igual a -2𝑚/𝑠2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3