Capacitores: elementos básicos e associações

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Física Teórica e Experimental III
Capacitância
Prof. Tarcilene Heleno
Capacitores
Um capacitor é constituído de dois condutores (placas)
isolados entre si e do ambiente. Um capacitor está carregado , as
cargas dos condutores têm o mesmo valor absoluto q e sinais
opostos.
A finalidade básica de um capacitor é promover num
circuito, ou seja, armazenas cargas elétricas.
Por meio do armazenamento de cargas, consequentemente
de energia, o capacitor é capaz de gerar determinados efeitos
sobre um circuito.
Elementos básicos do capacitor
A estrutura de um capacitor é basicamente formada por dois
condutores, isolados entre si e do ambiente.
Quando um capacitor está carregado, as cargas dos condutores, ou
placas, têm o mesmo valor absoluto q e sinais opostos.
Um capacitor de placas planas e paralelas, feito de duas placas
de áreas A separadas por uma distância d.
As cargas da superfície interna das placas têm o mesmo valor
absoluto q e sinais opostos.
Capacitor de placas paralelas
Como são feitas de um material
condutor, as placas são superfícies
equipotenciais: todos os pontos da
placa de um capacitor estão no
mesmo potencial elétrico.
Além disso, existe uma
diferença de potencial entre as placas.
Capacitor de placas paralelas
Como mostram as linhas de campo, o campo elétrico produzido
pelas placas carregadas é uniforme na região central entre as placas.
Nas bordas das placas o campo não é uniforme.
A carga q e a diferença de potencial V de um capacitor são proporcionais :
𝑞 = 𝐶𝑉
A constante de proporcionalidade é chamada de capacitância do
capacitor.
A unidade no SI de capacitância é Coulomb/Volt, também
denominada Faraday.
1 F= 𝐶/𝑉
Capacitor de placas paralelas
Carga de um capacitor
O circuito formado por uma bateria, uma chave S e as placas a e b
de um capacitor.
Diagrama esquemático no qual os elementos do são
representados por símbolos
Exemplos 
1) O capacitor possui uma capacitância de 25μF e está inicialmente
descarregado. A bateria produz uma diferença de potencial de 120V.
Quando a chave S é fechada, qual é a carga total que passa por ela?
𝑞 = 𝐶𝑉
𝑞 = 25 × 10−6 × 120
𝑞 = 3000 × 10−6 = 3 × 10−3 C = 3mC
Cálculo do campo elétrico e potencial
Suponha que as placas do capacitor estão
carregadas com uma carga q. O campo elétrico
entre as placas em função da carga, através da Lei de
Gauss é:
𝜖0ׯ𝐸 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑞𝑖𝑛𝑡  𝜖0𝐸𝐴 = 𝑞
A partir do campo elétrico, determina-se a diferença de potencial
V entre as placas:
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = −න
𝑖
𝑓
𝐸 ∙ 𝑑𝑠 ⇒ 𝑉+𝑞 − 𝑉−𝑞 = −න
−𝑞
+𝑞
𝐸 ∙ 𝑑𝑠
𝑉+𝑞 − 0 = 0׬−
𝑑
−𝐸 𝑑𝑠 𝑉+𝑞 = 𝐸𝑑
Cálculo da Capacitância 
Capacitor de placas paralelas
Calculamos q e a diferença de potencial
entre as placas:
O valor da capacitância depende apenas dos
parâmetros geométricos do capacitor.
𝜖0EA = q
Calcula-se a capacitância:
𝑞 = 𝐶𝑉
V=Ed
𝐶 =
𝑞
𝑉
Capacitor cilíndrico
Cálculo da Capacitância 
𝑞 = 𝜖0EA = 𝜖0E(2π𝑟𝐿)
E =
𝑞
𝜖0(2π𝑟𝐿)
𝑉 = −න
𝑖
𝑓
𝐸 ∙ 𝑑𝑠 = න
𝑏
𝑎 𝑞
𝜖0(2π𝑟𝐿)
𝑑𝑟
𝑉 = −
𝑞
𝜖0(2π𝐿)
න
𝑏
𝑎 𝑑𝑟
𝑟
𝑉 =
𝑞
𝜖0(2π𝐿)
ln( Τ𝑏 𝑎)
𝑞 = 𝐶𝑉
Substituindo o valor de V na equação da capacitância:
Capacitor esférico
Cálculo da Capacitância 
𝑞 = 𝜖0EA = 𝜖0E(4π𝑟
2)
E =
𝑞
4π𝜖0𝑟
2
𝑉 = −න
𝑖
𝑓
𝐸 ∙ 𝑑𝑠 = න
𝑏
𝑎 𝑑𝑟
𝑟2
𝑉 = −
𝑞
4π𝜖0
න
𝑏
𝑎 𝑑𝑟
𝑟2 𝑉 =
𝑞
4π𝜖0
𝑏 − 𝑎
𝑎𝑏
Substituindo o valor de V na equação da capacitância:
𝑞 = 𝐶𝑉
Esfera isolada: Podemos atribuir a uma única esfera de raio R de material
condutor supondo que a placa que falta é uma casca esférica condutora
de raio infinito.
Cálculo da Capacitância 
𝐶 = 4𝜋𝜖0
𝑎𝑏
𝑏 − 𝑎
= 4𝜋𝜖0
𝑎
1 − 𝑎/𝑏
Fazendo a= R e b = infinito
Capacitores em paralelo 
Capacitores em paralelo possuem
mesma diferença de potencial entre as
placas.
𝑉 = 𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉3 +⋯
Na associação em paralelo, a carga do
capacitor equivalente corresponde à
somadas carga individuais dos
capacitores
𝑞 = 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3 +⋯
Capacitores em paralelo 
𝑉 = 𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉3
𝑞 = 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3
𝑞2 = 𝐶2 𝑉𝑞1 = 𝐶1 𝑉
𝑞3 = 𝐶3 𝑉
𝑞 = 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3 = (𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3)V
𝑞
𝑉
= (𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3)
𝐶𝑒𝑞 =
𝑞
𝑉
𝐶𝑒𝑞 =෍
𝑗=1
𝑛
𝐶𝑗
Associação em série
Capacitores em série
Capacitores em série possuem mesma
carga em suas placas.
𝑞 = 𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞3 = ⋯
Na associação em série, a diferença de
potencial do capacitor equivalente
corresponde à soma das diferenças
individuais dos capacitores.
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 +⋯
Capacitores em série
𝑞 = 𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞3
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3
𝑉1 =
𝑞
𝐶1
𝑉2 =
𝑞
𝐶2
𝑉3 =
𝑞
𝐶3
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = 𝑞
1
𝐶1
+
1
𝐶2
+
1
𝐶3
𝑉 = 𝑞
1
𝐶1
+
1
𝐶2
+
1
𝐶3
1
𝐶𝑒𝑞
=
1
𝐶1
+
1
𝐶2
+
1
𝐶3 𝑉
𝑞
=
1
𝐶𝑒𝑞
𝐶𝑒𝑞 =
𝑞
𝑉
1
𝐶𝑒𝑞
=෍
𝑗=1
𝑛
1
𝐶𝑗
2) Determine a capacitância equivalente do circuito. Seja :
Exemplos 
𝐶1 = 10𝜇𝐹 𝐶2 = 5𝜇𝐹
𝐶3 = 4𝜇𝐹
1) Determinar a capacitância de C1 e C2 em 
paralelo
𝐶1,2 = 𝐶1 + 𝐶2 = 10 + 5 = 15μ𝐹
1) Determinar a capacitância de C1,2 e C3 em série
1
𝐶𝑒𝑞
=
1
𝐶1,2
+
1
𝐶3
=
𝐶1,2 + 𝐶3
𝐶1,2𝐶3
1
𝐶𝑒𝑞
=
1
15
+
1
4
= 0,31
𝐶𝑒𝑞 = 3,16𝜇𝐹𝐶𝑒𝑞 =
𝐶1,2𝐶3
𝐶1,2 +𝐶3
3) Determine a capacitância equivalente do circuito. Seja :
Exemplos 
𝐶1 = 10𝜇𝐹 𝐶2 = 5𝜇𝐹
𝐶3 = 4𝜇𝐹
𝐶1,2 =
𝐶1𝐶2
𝐶1 +𝐶2
=
10 ∗ 5
15
= 3,33μ𝐹
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1,2 + 𝐶3 = 3,33 + 4 = 7,33μ𝐹
1) Determinar a capacitância de C1 e C2 em série
1) Determinar a capacitância equivalente de C1,2 e 
C3 em paralelo
Energia armazenada em um campo elétrico
Suponha que, em um dado instante, uma carga q’ tenha sido transferida de
uma placa para outra . A ddp V’ entre as placas é q’/C.
Se uma carga adicional dq’ é transferida, o trabalho adicional necessário é:
𝑊 =
𝑞2
2𝐶
Esse trabalho é armazenado na forma de energia potencial U do capacitor:
𝑈 =
𝑞2
2𝐶
=
𝐶𝑉2
2
𝑑𝑊=V′ dq′ 𝑑𝑊=
𝑞′
𝐶
dq′
න𝑑𝑤=
1
𝐶
න
0
𝑞
q′dq′
Energia armazenada em um campo elétrico
Trabalho e energia potencial
𝑞 = 𝑞1 = 𝑞2 𝐸1 = 𝐸2
𝑞 = 𝜖0 𝐸 𝐴 𝐶1 < 𝐶2
𝑈1 > 𝑈2
 A energia potencial armazenada em
um capacitor carregado está associada
ao campo elétrico existente entre as
placas.
Energia armazenada em um campo elétrico
A todo campo elétrico, entre as placas de um capacitor, ou em
qualquer outro lugar, está associada uma energia. No vácuo, a densidade
de energia u (energia potencial por unidade de volume) associada as um
campo elétrico de módulo E é dada por:
𝑢 =
𝜖0𝐸
2
2
𝑢 =
𝑈
𝑉
=
𝑈
𝐴𝑑
=
𝐶𝑉2
2𝐴𝑑
=
𝜖0𝐴𝑉
2
𝑑2𝐴𝑑
=
𝜖0𝑉
2
2𝑑2
Exemplo
4) Uma esfera condutora isolada de raio 6,85 cm possui uma carga
de q=1,25 nC. a) Qual a energia potencial armazenada no campo elétrico
desse condutor carregado? b)Qual a densidade de energia na superfície da
esfera?
𝑢 =
𝜖0𝐸
2
2𝑈 =
𝑞2
2𝐶
=
𝐶𝑉2
2
𝐶 = 4𝜋𝜖0 R = 4π × 8,85 × 10
−12 × 6,85 × 10−2
𝐶 = 761 × 10−14F
𝑈 =
𝑞2
2𝐶
=
(1,25 × 10−9)2
2 × 761 × 10−14
𝑈 = 1,03 × 10−7𝐽 = 103𝑛𝐽
𝐸 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑟2
𝑢 =
𝑞2
2 × (16𝜋2)𝑟4𝜀0
𝑢 =
(1,25 × 10−9)2
2 × (16𝜋2) 6,85 × 10−2 4 × 8,85 × 10−12
𝑢 = 25,4𝜇𝐽/𝑚3
Capacitor com dielétrico
Quando introduzimos um material dielétrico entre as placas de um
capacitor, sua capacitância é multiplicada pela constante dielétrica.
A constante dielétrica (k) é uma propriedade característica do
material dielétrico.
𝑪 =
𝒌 𝝐𝟎 𝑨
𝒅
Capacitor com dielétrico
Se a diferença de potencial entre as placas de um capacitor é mantida
por uma bateria B, o efeito de dielétrico é aumentar a carga das placas.
Capacitor com dielétrico
Se a carga das placas é mantida, o efeito do dielétrico é reduzir a
diferença de potencial entre as placas.
Capacitor com dielétrico
O módulo do campo elétrico de uma placa pontual no interior de um
dielétrico:
𝐸 =
1
4𝜋𝑘𝜖0
𝑞
𝑟2
O módulo do campo elétrico próximo à superfície de uma placa
condutora carregada no interior de um dielétrico:
𝐸 =
𝜎
𝑘𝜖0
Capacitor com dielétricoO módulo do campo elétrico de uma placa pontual no interior de um
dielétrico:
𝐸 =
1
4𝜋𝑘𝜖0
𝑞
𝑟2
O módulo do campo elétrico próximo à superfície de uma placa
condutora carregada no interior de um dielétrico:
𝐸 =
𝜎
𝑘𝜖0
Capacitor com dielétrico
1) Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio 8.2 cm e
separação 1,3 mm. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual será a carga das placas
se a ddp aplicada for de 120 V? (Resp. 144pF, b) 17,3nC)
Exercícios 
2) Quantos capacitores de 1 µF devem ser ligados em paralelo para
acumularem uma carga de 1 C com um potencial de 110 V através dos
capacitores? (Resp. 9091)
Exercícios 
3) Dado um capacitor de 7,4 pF, cheio de ar, pedimos convertê-lo num
capacitor que armazene 7,4 µJ com uma diferença de potencial máxima de
652 V. Qual dos dielétricos listados na Tabela poderia ser usado para
preencher a lacuna de ar do capacitor?
Exercícios 
4) Uma capacitância C1 = 6 µF e ligada em série com uma capacitância C2
= 4 µF e uma diferença de potencial de 200 V e aplicada através do par. (a)
Calcule a capacitância equivalente. (b) Qual é a carga em cada capacitor?
(c) Qual a diferença de potencial através de cada capacitor?
Exercícios