Aula 02 23-08 - Marcel

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CÁLCULO I
Equipe de Professores do Projeto Newton
Aula no 02: Funções.
Objetivos da Aula
• De�nir função e conhecer os seus elementos;
• Reconhecer o grá�co de uma função;
• Listar as principais funções e seus grá�cos.
1 Funções
Consideremos A e B dois conjuntos. Uma função f é uma lei que associa a cada elemento x ∈ A um
único elemento y ∈ B. O conjunto A é chamado domínio da função f , às vezes denotado também por
Df , e o conjunto B é chamado contradomínio da função f . Costuma-se representar uma função pela
seguinte notação:
f : A→ B
Para a�rmarmos que a um determinado x ∈ A está associado certo y ∈ B através da função f ,
costumamos utilizar a notação:
y = f(x)
e dizemos que este y é a imagem de x por f . De�nimos também o seguinte subconjunto do contradomínio,
chamado conjunto imagem da função f
Imf = {y ∈ B| y = f(x), x ∈ A}.
Isto é, o conjunto imagem de f é o conjunto de todas as imagens de pontos do domínio por f .
Uma forma de representarmos uma função é por meio do diagrama de �echas, como ilustrado a seguir
Figura 1: Representação de uma função por um diagrama de �echas
Observe que a cada elemento do domínio está associado um (e apenas um) elemento do contradomínio.
Por exemplo, seja A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e considere que
f(1) = 2
f(2) = 3
f(3) = 4
f(4) = 5
f(5) = 6
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Note que Imf = {2, 3, 4, 5, 6}. A representação dessa função pelo diagrama de �echas é feita da seguinte
forma:
Figura 2: Exemplo de uma função representada por um diagrama de �echas
Outra forma de representar uma função é através de seus valores numéricos. Por exemplo, considere a
seguinte tabela:
Dia Valor da Compra
02 2, 8942
03 2, 9260
04 2, 9787
05 3, 0100
06 3, 0550
09 3, 1285
Embora não tenhamos uma regra explícita, a tabela acima é função do conjunto
D = {02, 03, 04, 05, 06, 09}
em R, uma vez que para cada dia t ∈ D, existe um único valor correspondente de V (t) = Valor doa Compra
no dia t.
Em muitas situações não existe uma regra explícita que estabeleça a correspondência entre os elementos
do domínio e contradomínio, sendo isto feito por meio de tabela de valores. Usando técnicas apropriadas é
possível encontrar uma expressão para uma função que aproxime os valores dados na tabela.
Contudo, tanto o diagrama de �echas quanto a tabela de valores não são e�cientes para representar
uma função cujo domínio é um conjunto in�nito. Por isso, a representação grá�ca de uma função é a
melhor forma de visualizá-la e entender o seu comportamento. E, para entendermos melhor esse tipo de
representação, segue a de�nição de grá�co de uma função:
De�nição 1. Seja f : A→ B uma função. O grá�co de f , denotado por Gf , é o seguinte subconjunto do
produto cartesiano A×B:
Gf = {(x, f(x)) ∈ A×B|x ∈ A}
O grá�co de uma função f nos dá uma imagem útil sobre o comportamento da função pois, uma vez
que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) pertencente ao grá�co, é da forma y = f(x), podemos ler o
valor f(x) como sendo a "altura"do ponto no grá�co acima de x.
Figura 3: Entendendo f(x) como uma altura do ponto x no grá�co de f .
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Observe que cada ponto do grá�co equivale a uma �echa associando a um elemento do domínio um
elemento do contradomínio, como na �gura abaixo:
Figura 4: Grá�co e Diagrama de Flechas
Note que a representação do grá�co da função como este equivale a representar "in�nitas �echas"de
forma sintética. Essa talvez seja a característica mais genial da representação grá�ca de uma função.
O grá�co também nos permite visualizar o domínio e a imagem da função f sobre o eixo y.
Figura 5: Determinando a imagem e o domínio de um função através do seu grá�co.
Assim como no diagrama de �echas, podemos determinar se uma curva desenhada no plano cartesiano
xy é o grá�co de uma função ou não. Para isso, utilizamos o teste da reta vertical, descrito abaixo:
Uma curva no plano xy é o grá�co de uma função de x se, e somente se, nenhuma
reta vertical cortar a curva mais de uma vez.
Como exemplo, temos que o grá�co abaixo é de uma função. Note que toda reta vertical (paralela ao
eixo y) intersecta a curva em exatamente um ponto.
Figura 6: Teste da Reta Vertical: Exemplo de curva que é grá�co de uma função
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A seguinte curva não é grá�co de uma função, pois pelo menos uma reta vertical intersecta mais de um
ponto da curva.
Figura 7: Teste da Reta Vertical: Exemplo de curva que não é grá�co de uma função.
1.1 Restrições no domínio
Quando não especi�cado, o domínio de uma função é o maior subconjunto A ⊂ R tal que a função
esteja de�nida. Contudo, para determinar esse maior subconjunto é necessário fazer algumas considerações,
pois podem haver restrições sobre o domínio de uma função. Por exemplo,
Exemplo 1. Considere a função dada por f(x) =
1
x2 − 1
. Determine o seu domínio.
Devemos determinar o maior subconjunto dos números reais, onde a função f esteja de�nida. Para isso,
note que a função é dada por um quociente de funções. Com isso, note que a função no denominador não
pode ser 0, pois não existe divisão por 0. Logo, os pontos onde a função não está de�nida são os valores
que zeram a função x2 − 1. Dessa forma, fazemos
x2 − 1 6= 0⇒ x2 6= 1⇒ x 6= 1 e x 6= −1
Logo, o domínio de f é o conjunto A = {x ∈ R|x 6= −1 e x 6= 1} �
Exemplo 2. Seja g(x) =
4
√
x2 − 2x. Determine o conjunto domínio de g.
Para isso, devemos notar que nenhum radical de índice par admite radicando negativo. Logo, o domínio
de g devem ser os números reais tais que x2 − 2x ≥ 0. Logo,
x2 − 2x ≥ 0⇒ x(x− 2) ≥ 0
Estudando o sinal desse produto de polinômios, obtemos que
Figura 8: Estudo do Sinal de x(x− 2).
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Logo, o domínio de g é o conjunto
A = {x ∈ R|x ≤ 0 ou x ≥ 2} = (−∞, 0] ∪ [2,+∞)
�
Exemplo 3. Determine o domínio da função h(x) =
2x− 4√
x3 − 8
.
Note que no denominador, agora temos uma função raiz quadrada, logo, os valores reais que anulam ou
que tornam a função x3 − 8 negativa não podem estar no domínio de h. Desse modo, calculamos
x3 − 8 > 0⇒ x3 > 8⇒ x > 3
√
8⇒ x > 2
Assim, o domínio de h é o conjunto Dh = {x ∈ R|x > 2}. �
2 Funções Elementares
Existem vários tipos de funções que podem modelar problemas e situações do cotidiano. Apresentaremos,
a seguir, algumas funções elementares e que serão muito utilizadas ao longo deste curso.
2.1 Funções Polinomiais
De�nição 2 (Função Polinomial). Uma função f cuja regra é dada por:
f(x) = anx
n + an−1x
n−1 + an−2x
n−2 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0
onde n é um número inteiro não negativo e an, an−1, an−2, ..., a2, a1, a0 são números reais (ou constantes)
chamados de coe�cientes do polinômio, é chamada polinomial. O número inteiro n é chamado grau do
polinômio.
Dependendo do grau do polinômio, temos algumas classes de funções polinomiais que são muito co-
nhecidas e que já foram amplamente discutidas no ensino médio. A seguir, mostraremos algumas dessas
funções e seus respectivos grá�cos.
Exemplo 4 (Função Polinomial do 1o Grau ou Função A�m). A função polinomial do 1o grau (ou simples-
mente função do 1o grau) é toda função que associa a cada número real x o valor numérico do polinômio
ax + b, com a 6= 0. Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coe�ciente angular e
coe�ciente linear. Simbolicamente:
f : R → R
x 7→ ax+ b
O grá�co da funçãof(x) = ax+ b é uma reta não paralela aos eixos coordenados. A depender do valor
de a, a função f pode ser dita crescente (para a > 0) ou decrescente (para a < 0). Observe, a seguir, o
grá�co da função do 1o grau:
Figura 9: Grá�cos da Função A�m. À esquerda, temos o grá�co de uma função crescente e à direita,
o grá�co de uma função decrescente.
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Exemplo 5 (Função Polinomial do 2o Grau ou Função Quadrática). A função do 2o grau é de�nida por:
f : R → R
x 7→ ax2 + bx+ c,
com a 6=0. O grá�co desta função é uma parábola, com eixo de simetria paralelo ao eixo y. Se o
coe�ciente de x2 for positivo (a > 0), a parábola tem concavidade voltada para cima, enquanto que, se o
coe�ciente de x2 for negativo (a < 0), a parábola tem concavidade voltada para baixo.
Observe, a seguir o grá�co da função do 2o grau:
Figura 10: Grá�cos da Função Quadrática. À esquerda, temos o grá�co de uma função quadrática
com a > 0. À direita, o grá�co de uma função quadrática com a < 0.
Na função quadrática, a interseção do grá�co com o eixo de simetria é um ponto chamado vértice. Este
ponto pode ser considerado máximo (quando a parábola tem concavidade voltada para baixo) ou mínimo
(quando a parábola tem concavidade voltada para cima).
Exemplo 6 (Função Polinomial do 3o Grau ou Função Cúbica). A função do 3o grau é de�nida por:
f : R → R
x 7→ ax3 + bx2 + cx+ d,
com a 6= 0.
O grá�co de uma função cúbica será apresentado a seguir.
Figura 11: Grá�co de uma função polinomial do 3o grau.
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2.2 Funções Racionais
De�nição 3 (Função Racional). Uma função racional f é a razão de dois polinômios:
f(x) =
P (x)
Q(x)
,
em que P e Q são polinômios. O domínio consiste em todos os valores de x tais que Q(x) 6= 0.
Exemplo 7. A função f(x) =
x− 1
x+ 1
é uma função racional, cujo domínio R− {−1}. Observe o grá�co:
Figura 12: Grá�co da Função f(x) =
x− 1
x+ 1
�
Exemplo 8. A função f(x) =
(x2 + 3x− 4)(x2 − 9)
(x2 + x− 12)(x+ 3)
é racional e seu domínio é R−{−4,−3, 3}. Observe
o grá�co:
Figura 13: Grá�co da Função f(x) =
(x2 + 3x− 4)(x2 − 9)
(x2 + x− 12)(x+ 3)
�
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2.3 Função Potência
De�nição 4 (Função Potência). Uma função da forma
f(x) = xα,
onde α é uma constante, é chamada função potência. Observe que, se α = 1, 2, 3, ..., a função potência é
uma função polinomial. Se α = 1/n, com n positivo, dizemos que a função é do tipo raiz.
Exemplo 9. A função f(x) =
√
x é uma função raiz, onde α = 1/2. Observe o grá�co:
Figura 14: Grá�co da Função f(x) =
√
x
Observe que essa função só está de�nida para x ≥ 0.
�
Exemplo 10. A função f(x) =
1
x
é uma função potência. Seu grá�co é um tipo de curva denominada
hipérbole.
Figura 15: Grá�co da Função f(x) =
1
x
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Observação 1. Uma função f é dita algébrica se puder ser construída por meio de operações algébricas
(soma, multiplicação, divisão e extração de raízes) envolvendo a função identidade e funções constantes.
As funções não algébricas são chamadas de transcendentes. Como exemplo destas funções, podemos citar
as funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, que serão descritas nas próximas aulas.
2.4 Funções De�nidas por Partes
As funções de�nidas por expressões algébricas distintas em diferentes partes de seus domínios são cha-
madas funções de�nidas por partes. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 11. Seja a função de�nida por:
f(x) =
{
x2, se, x ≥ −1
1− x, se, x < −1
O domínio desta função é R e como imagem, o intervalo [0,+∞). Gra�camente:
Figura 16: Grá�co de f(x).
�
O próximo importante exemplo pode ser visto como uma função de�nida por partes: é a função modular.
Exemplo 12 (Função Modular). Seja:
f(x) = |x| =
{
x, se, x ≥ 0
−x, se, x < 0
O grá�co da função modular é:
Figura 17: Grá�co de f(x) = |x|.
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Observe que o domínio da função modular é o conjunto R e a imagem desta função é o conjunto R+.
�
Exemplo 13 (Função Heaviside). A Função Heaviside, muito utilizada na eletricidade para representar
chaves que ligam e desligam, é de�nida por:
H(t) =
{
0, se, t < 0
1, se, t ≥ 0
Note que o domínio desta função é R e a imagem é o conjunto {0, 1}, formado apenas de dois elementos.
Representamos gra�camente esta função a seguir.
Figura 18: Grá�co de H(t).
�
Exemplo 14 (Função Maior Inteiro ou Função Escada). A função maior inteiro denotada entre colchetes e
de�nida por:
f(x) = [x], ∀x ∈ R
representa o maior inteiro que é menor que ou igual a x. Atribuindo alguns valores para x, ela tem como
imagem números inteiros. Por exemplo: [0, 8] = 0, [1, 5] = 1, [−1, 75] = −2, [−0, 4] = −1, [π] = 3, etc.
Gra�camente, temos:
Figura 19: Grá�co da Função Maior Inteiro.
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Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 1.1, 1.2 e 1.6 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das seções 1.1 e 1.2 do livro texto.
Dica importante
Utilize algum software matemático, como por exemplo o Geogebra, para plotar grá�cos de funções e
veri�car os conceitos geométricos apresentados nessa aula, como o teste da reta vertical.
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