AP1X_2020_1_gabarito Pré Cálculo Engenharia

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Gabarito da AP 1 Pré-Cálculo para Engenharia - 2020/1
AP1 – PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA –GABARITO – 2020/1
Questão 1 [2,0 pontos]
Considere a equação
√
2x + 1 = |x| − 1.
a) [1,0 ponto] Determine para quais valores de x a expressão
√
2x + 1 está bem definida. Con-
sidere também o membro direito para determinar os valores admisśıveis de x na equação,
observando que a raiz quadrada é maior ou igual a zero.
b) [1,0 ponto] Resolva a equação.
Solução:
a) Como a raiz é maior ou igual a zero, então temos que |x|−1 ≥ 0. Dáı, x ≥ 1 ou x ≤ −1. Por
outro lado, devemos ter 2x + 1 ≥ 0. Assim, x ≥ −1/2. Ou seja, então x ≥ 1, considerando-se
a interseção dos conjuntos acima.
b) Elevando ambos os membros ao quadrado, teremos
2x + 1 = (|x| − 1)2 = |x|2 − 2|x|+ 1 = x2 − 2|x|+ 1.
Temos, portanto, dois casos:
• (i) x ≥ 0: assim, |x| = x e a equação fica 2x + 1 = x2 − 2x + 1. Ou seja, x2 − 4x = 0,
cujas ráızes são 0 e 4. Pelo item (a), apenas 4 seria admisśıvel.
• (ii) x ≤ 0: não seria posśıvel pois, pelo item (a), x ≥ 1.
Logo, a única solução é x = 4.
Questão 2 [3,0 pontos]
Considere a expressão E(x) =
(3x + 2)
(x− 1)(x + 1)
. Faça o que se pede:
(a) [0,5 ponto] Encontre os valores de x tais que E(x) = 0.
Solução:
Note que E(x) = 0, se e somente se, 3x + 2 = 0.
Assim, x = −2
3
.
(b) [1,5 pontos] Complete a tabela abaixo com o estudo do sinal de cada expressão escrita na
tabela. Observe que o estudo do sinal já foi feito para a expressão 3x + 2.
x < −1 −1 < x < −2
3
−2
3
< x < 1 x > 1
3x + 2 −−−− −−−−−− + + + + + +
x− 1 −−− −−− −−−−− + + +
x + 1 −−− + + + + + ++ + + +
E(x) = (2x+1)
(x−1)(x−2) −−− + + + −−−−− + + +
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(c) [1,0 ponto] Encontre os valores de x tais que E(x) < 0.
Solução:
Pelo o estudo do sinal feito no item (b), temos que:
E(x) < 0 para x ∈ (−∞,−1) ∪
(
−2
3
, 1
)
.
Questão 3 [2,0 pontos] Numa concorrência pública para a construção de uma rua,
apresentam-se as empresas A e B. A empresa A cobra 20 reais por metro de pavimentação, 15
reais por poste de iluminação, mais uma taxa fixa mensal de 200 reais para manutenção. Por
sua vez, a empresa B cobra 18 reais por metro de pavimentação, 12 reais por poste e a taxa
mensal para manutenção de 300 reais. Se a rua tiver 500 metros de comprimento e um poste
a cada 10 metros, a partir de quantos meses a empresa A será mais vantajosa?
Solução:
Note que em 500 metros de rua, haverá 500/10 = 50 postes. Assim, a empresa A receberá
(500 · 20 + 15 · 50) + 200x = 10750 + 200x do governo, onde x é o número de meses. A empresa
B receberá pela construção e manutenção, por sua vez, (500 ·18+12 ·50)+300x = 9600+300x.
A empresa A será mais vantajosa do que a empresa B se
10750 + 200x < 9600 + 300x,
ou seja, 100x > 1150. Dáı, x > 11, 5. Assim, a partir de 11 meses e meio, a empresa A será
mais vantajosa.
Questão 4 [1,5 ponto] Considere a parábola cuja equação canônica é dada por:
y − 3 = (x + 1)2. Determine a equação da reta que passe pelo vértice da parábola e pelo
ponto de interseção da parábola com o eixo Oy.
Solução:
Da equação y − 3 = (x + 1)2, conclúımos que o vértice da parábola é o ponto V = (−1, 3).
Para determinar os pontos de interseção dessa parábola com o eixo Oy, fazemos x = 0 na
equação y − 3 = (x + 1)2, obtemos y = 4.
Logo, o ponto A = (0, 4) é o ponto de interseção dessa parábola com o eixo Oy.
Assim, queremos determinar a equação da reta que passa pelos pontos (−1, 3) e (0, 4).
O coeficiente angular da reta que passe pelo vértice da parábola e pelo ponto de interseção
da parábola com o eixo Oy. é: m =
4−3
0−(−1) = 1
Logo, y − 4 = 1x. Portanto, y = x + 4 é a equação da reta .
Questão 5 [1,5 ponto] As retas r e s são perpendiculares e interceptam-se no ponto (2, 4).
A reta s passa pelo ponto (0, 5). Determine a equação da reta r.
Solução:
Primeiramente vamos determinar a equação da reta s.
Sabendo que as retas r e s se intersectam no ponto (2, 4), temos que este ponto pertence as
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retas r e s.
Por outro lado, a reta s passa pelo ponto (0, 5).
Assim, a reta s passa pelos pontos (2, 4) e (0, 5).
Logo, a equação da reta s é dada por:
y − 5 =
(
5−4
0−2
)
(x− 0).
Portanto, y = −1
2
x + 5 é a equação da reta s.
Como as retas r e s são perpendiculares, temos que o coeficiente angular da reta r é dado por:
mr = − 1− 1
2
= 2.
Logo, a equação da reta r que passa por (2, 4) e tem coeficiente angular 2 é dada por:
y − 4 = 2 · (x− 2).
Portanto, y = 2x é a equação da reta r.
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