ATIVIDADE 2 CALCULO - HISTORIA DO CALCULO E SUAS APLICACOES

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 CÁLCULO APLICADO - UMA VARIÁVEL 
 
ATIVIDADE 02 
 
 
 
Levantamento da Financiadora de Estudos e Projetos FINEP
 
 
 
 
 
 
 
Participantes: 
Diego Soares – 21133697 
Bruno Oliveira – 21434388
Diego Soares – 21133697
Gyovanna Araújo – 21228028
Gustavo Yoshitake – 20950406
 
 
 
 
 Prof. KATIA ALESSANDRA GONCALVES DE SOUSA
 Abril/2020
Introdução 
 
A matéria de cálculo vem sendo construída ao longo dos anos, se tornando cada vez mais importante no desenvolvimento lógico e na construção das mais diversas tecnologias na engenharia.
Ao decorrer do tempo, foi-se utilizando técnicas de cálculo para desvendar fenomenos fisicos, fenomenos quimicos, facilitando à busca pelo conhecimento e pela inovação, se tornando uma ferramenta extremamente importante para toda e qualquer outra matéria lógica.
Objetivo
 	Esse documento tem como objetivo reunir as principais informações históricas e atuais sobre uma das matérias mais importantes para os cursos de ciências exatas.
Para efeito de processos de avaliação, esse documento também visa atender os critérios especificados na atividade A2 referente a disciplina e sintetizar os conhecimentos adquiridos através da proposta dessa atividade acadêmica.
HISTÓRIA DO CALCULO
Antiguidade
Arquimedes, o maior matemático da antiguidade, já apresentava ideias relacionadas ao Cálculo dois séculos antes de Cristo. Na Antiguidade, foram introduzidas algumas ideias do cálculo integral, embora não tenha havido um desenvolvimento dessas ideias de forma rigorosa e sistemática. A função básica do cálculo integral, a de calcular volumes e áreas, pode ser mostrada no Papiro Egípcio de Moscou (1850 A.C.), o qual um egípcio trabalhou o volume de um frustum piramidal. O cálculo integral também pode ser utilizado para rastreamento e gravação de movimento do sol, da lua e dos planetas. Os antigos astrônomos babilônios (1800-1600 a.C.) empregaram métodos geométricos que iniciam o desenvolvimento do cálculo para prever as posições dos corpos celestes.   Eudoxus, usou o método da exaustão  para calcular áreas e volumes. Arquimedes levou essa ideia além, inventando a heurística, que se aproxima do cálculo integral. O método da exaustão foi redescoberto na China por Liu Hui no século III, que o usou para encontrar a área do círculo. O método também foi usado por Zu Chongzhi século V, para achar o volume de uma esfera.
Idade Média
Na Idade Média, o matemático indiano Aryabhata usou a noção infinitesimal  expressando-a em um problema de astronomia na forma de uma equação diferencial básica. Essa equação levou Bhāskara II no século XII a desenvolver uma derivada prematura representando uma mudança minima, e ele desenvolveu também o que seria uma forma primitiva do "Teorema de Rolle".
No século XII, o matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi descobriu a derivada de polinômios cúbicos, um resultado importante no cálculo diferencial. No século XIV, Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros matemáticos-astrônomos da Escola Kerala de Astronomia e Matemática, descreveu casos especiais da Série de Taylor, que no texto são tratadas como Yuktibhasa.
Idade Moderna
Sir Isaac Newton aplicou o cálculo às suas leis do movimento e a outros conceitos matemáticos-físicos.
Na Idade Moderna, descobertas independentes no cálculo foram feitas no início do século XVII no Japão por matemáticos como Seki Kowa, que expandiu o método de exaustão. Na Europa, a segunda metade do século XVII foi uma época de grandes inovações. O Cálculo abriu novas oportunidades na física-matemática de resolver problemas muito antigos que até então não haviam sido solucionados. Muitos matemáticos contribuíram para essas descobertas, notavelmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory proveu um caso especial do segundo teorema fundamental do cálculo em 1668.
Coube a Gottfried Wilhelm Leibniz e a Isaac Newton compreender essas ideias e juntá-las em um corpo teórico que viria a constituir o cálculo. À ambos é atribuída a simultânea e independente invenção do cálculo. Leibnitz foi originalmente acusado de roubar os trabalhos não publicados de Isaac Newton, hoje, porém, é considerado o inventor do cálculo, juntamente com Newton. Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje, a notação de Leibniz. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo. Quando Newton e Leibniz publicaram seus resultados, houve uma grande controvérsia de qual matemático (e portanto que país: Inglaterra ou Alemanha) merecia o crédito. Newton derivou seus resultados primeiro, mas Leibniz publicou primeiro. Esta controvérsia dividiu os matemáticos ingleses dos matemáticos alemães por muitos anos. 
Um exame cuidadoso dos escritos de Leibniz e Newton mostra que ambos chegaram a seus resultados independentemente, com Leibniz iniciando com integrais e Newton com diferenciação(derivadas). Nos dias de hoje tem-se que Newton e Leibniz descobriram o cálculo de forma independente. Leibniz, porém, foi quem deu o nome cálculo à nova disciplina, Newton a chamara de "A ciência dos fluxos".
Desde o tempo de Leibniz e Newton, muitos matemáticos contribuíram para o contínuo desenvolvimento do cálculo.
Idade contemporânea
No século XIX, o cálculo foi abordado de uma forma muito mais rigorosa. Foi também durante este período que ideias do cálculo foram generalizadas ao espaço  e ao plano complexo. Lebesgue mais tarde generalizou a noção de integral. Sobressaíram matemáticos como Cauchy, Riemann, Weierstrass e Maria Gaetana Agnesi. Esta foi autora da primeira obra que uniu as ideias de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz; escreveu também um dos primeiros livros sobre cálculo diferencial e integral . 
O cálculo sempre se mostrou como uma das técnicas mais poderosas da matemática, sendo estudada pelos mais variados filósofos dos séculos passados. Porém foi no Século XVII que o Cálculo começou a dar seus primeiros passos. Ainda hoje é possível encontrar muitas controvérsias a respeito do descobrimento do Cálculo Diferencial e Integral. Porém, para que este trabalho não prolongue por anos e anos de histórias acerca de diversas discussões, o foco ficará na maior delas, na que ficou conhecida como A Guerra do Cálculo. Para que entendamos o contexto é necessário voltar um pouco no tempo, mais precisamente para os anos mais criativos de Isaac Newton (1642-1726), que iniciaram-se em 1665, quando o mesmo era um jovem estudante da Universidade de Cambridge. Newton, recluso em sua propriedade rural, passou dois anos realizando experiências e refletindo sobre as leis da física que regiam o mundo, e foi neste exato período que, entre tantas outras descobertas, Newton descobriu o Cálculo e o chamou de “Método de fluxos e fluentes” porém, após tantas realizações, ele tomou a decisão de guardar seus conhecimentos para si, e nada publicara a respeito durante anos, apenas alguns textos privados foram divulgados entre seus amigos. Gottfried Leibnz (1646-1716) firmou seus estudos no Cálculo dez anos após os trabalhos de Isaac, quando estava na França, e durante dez anos pôde aperfeiçoar seus trabalhos. Suas descobertas eram detalhadas e possuíam uma linguagem específica cheia de novos símbolos, linguagens e representações gráficas. Ao contrário de Newton, Leibnz publicou todo o seu sistema de cálculo em dois trabalhos datados de 1684 e 1686. Com isso, Leibnz reivindicou seus direitos intitulando-se como o inventor do Cálculo, o que fez com que ficasse reconhecido, por anos, como o maior matemático vivo. Newton acreditava que Leibnz, ao fazer uma visita à Londres em 1673, havia estudado um de seus trabalhos, e que o mesmo o teria influenciado em suas descobertas, o que foi suficiente para que Leibnz fosse chamado de ladrão. Isaac, como era o homem muito influente e importante no cenário acadêmico, contratou várias pessoas para publicar artigos denegrindo a imagem deseu rival, porém Gottfried não iria deixar as ofensas sem respostas. E, assim, uma guerra começou. 10 Foram anos de trocas de ofensas, tanto em segredo quanto abertamente, ambos conseguiram convencer colegas pensadores a juntar-se nessa disputa, e, por muito tempo, a Europa se viu dividida entre Newton e Leibnz. Para se ter uma ideia da dimensão do ocorrido, com tantos artigos publicados, cada vez mais fervorosos, diante da raiva que aumentava a cada ofensa lida, o Guerra do Cálculo chegou ao mais alto escalão do governo Europeu, ao Rei da Inglaterra. Após adoecer e ficar em sua cama por, aproximadamente, quatro meses, Gottfried Leibnz faleceu em novembro de 1716 na Alemanha, sua terra natal. Mesmo com sua morte, Isaac Newton continuou a publicar artigos em sua defesa, e conseguiu o respeito e a certeza de todos de que havia descoberto o Cálculo antes de Leibnz. Após sua morte, em 1727, toda a Inglaterra acreditava na veracidade de seus documentos e atribuíam a ele a descoberta. O fato é que Isaac Newton havia descoberto o Cálculo dez anos antes que Gottfried Leibnz, porém Leibnz desenvolveu seus cálculos mais do que Newton, utilizou de uma linguagem específica, para que todos pudessem compreender e utilizar, o que é feito até os dias atuais. Esta guerra apenas mostrou o quão humano dois magníficos matemáticos, um britânico e um alemão, poderiam ser. Uma disputa de apropriação intelectual, alicerçada no orgulho e ambição de cada um. Mas o mais importante perpetua-se até os dias atuais, o conhecimento deixado por ambos.
TEORIA DO CÁLCULO DIFERENCIAL
O cálculo diferencial se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas e a acumulação de quantidades. É também a análise da definição, propriedade e aplicações da derivada ou deslocamento de um gráfico. O processo de encontrar a derivada é chamado "diferenciação". A utilização de símbolos algébricos no estudo do cálculo contribuiu para o desenvolvimento da Derivada. Tendo Newton desenvolvido seus cálculos através de seus estudos sobre Fluidos, Leibniz pensava em derivada como grandeza. 
A derivada de uma função 𝑓 em um número 𝑎, denotada por:
𝑓′(𝑎), é 𝑓′(𝑎)=limℎ⇾0𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
 h
Se o limite existir.
Tratando a derivada como uma forma geométrica, temos que a derivada da função 𝑓 em 𝑥0, é a inclinação da reta 𝑟, tangente ao gráfico de 𝑓 em 𝑃0. Ou melhor, uma reta tangente à função 𝑓, em (𝑎,𝑓(𝑎)),é a reta que passa em (𝑎,𝑓(𝑎)),cuja inclinação é igual a derivada de 𝑓 em 𝑎,ou 𝑓′(𝑎).
Uma função é dita diferenciável em 𝑎, se 𝑓′(𝑎) existir. O que é válido dizer, que 𝑓 é diferenciável no intervalo aberto (𝑎,𝑏), se for diferenciável em cada valor desse intervalo. 
Para estudarmos as regras de derivação, vamos considerar que a derivada de uma função 𝑓, em 𝑥, é representada por 𝑓′ ou 𝑑𝑓/𝑑𝑥.
Derivada de uma constante: A função constante 𝑓(𝑥)=𝑐 possui o gráfico como sendo uma reta paralela ao eixo 𝑥, com 𝑦=𝑐. Sendo assim, a taxa de inclinação é zero. De onde concluímos que 𝑑/𝑑𝑥(𝑐)=0
Derivada de uma potência: Sendo 𝑛 um número inteiro positivo e 𝑓(𝑥)=𝑥𝑛, temos: 𝑓′(𝑥)=𝑛.𝑥𝑛−1
De onde podemos concluir que a derivada da função 𝑥é igual a 1, pois;
𝑓′(𝑥)= 1.𝑥1−1 => 𝑓′(𝑥)= 1
Derivada de um produto: Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções diferenciáveis, a derivada do produto 𝑓.𝑔 será expressa por; 
𝑑/𝑑𝑥 [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]= 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
Derivada de um quociente: Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções diferenciáveis, e 𝑔(𝑥)≠0, a derivada do quociente 𝑓𝑔 será expressa por;
𝑑𝑑𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]=𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
 [𝑔(𝑥)]²
Regra da cadeia: É utilizada para o cálculo da derivada de uma função composta. Imaginemos a composição 𝑓°𝑔, para calcularmos a sua derivada é necessário que ambas sejam diferenciáveis, e suas derivadas sejam conhecidas, para que assim, apliquemos, de fato, a Regra da Cadeia, que nada mais é que:
𝑑𝑦/𝑑𝑥= 𝑑𝑦/𝑑𝑢∙𝑑𝑢/𝑑𝑥
O CÁLCULO INTEGRAL: ALGUNS FATOS HISTÓRICOS
Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão.
A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas.
Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas - regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa seqüência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão.
Nesse contexto, uma das questões mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola.
Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base.
Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido.
Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número p.
Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da superfície cônica, a área da região limitada por uma elipse, o volume de um parabolóide de revolução e o volume de um hiperbolóide de revolução. Em seus cálculos, Arquimedes encontrava somas com um número infinito de parcelas. O argumento utilizado era a dupla reductio ad absurdum para "escapar" da situação incômoda. Basicamente, se não podia ser nem maior, nem menor, tinha que ser igual.
A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou De quadratura parabolae onde utilizou o mesmo método grego para resolver problemas de cálculo de áreas desse tipo.
Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica. O método de Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas - método este que, na prática, apresentava muita imprecisão. Analogamente, para calcular volumes de sólidos, pensava na soma de fatias planas. Desse modo, calculou os volumes de muitos sólidos formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para o cálculo de cada um desses volumes, Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume desejado.
Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida, Geometria indivisibilibus continuorum nova, Cavalieri desenvolveu a ideia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisíveis".Ele mostrou, usando os seus métodos, o que hoje em dia escrevemos: .
Todo o processo geométrico desenvolvido por Cavalieri foi então aritmetizado por Wallis. Em 1655, em seu trabalho Arithmetica infinitorum, Wallis desenvolveu princípios de indução e interpolação que o levaram a encontrar diversos resultados importantes, entre eles, a antecipação de parte do trabalho de Euler dobre a função gamma.
Fermat desenvolveu uma técnica para achar a área sob cada uma das, então chamadas, "parábolas maiores": curvas do tipo , onde  é constante e n=2,3,4, etc. Empregou então uma série geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas do tipo , onde  e n=-2,-3,-4,etc. Por volta de 1640, a fórmula geral da integral das parábolas maiores era conhecida por Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros.
O problema do movimento estava sendo estudado desde a época de Galileo. Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com velocidades variadas. A derivada da distância era a velocidade e a operação inversa, partindo da velocidade, levava à distância. A partir desse problema envolvendo movimento, a idéia de operação inversa da derivada desenvolveu-se naturalmente e a idéia de que a integral e a derivada eram processos inversos era familiar a Barrow. Embora Barrow nunca tenha enunciado formalmente o Teorema Fundamental do Cálculo, estava trabalhando em direção a esse resultado; foi Newton, entretanto, quem, continuando na mesma direção, formulou o teorema.
Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo sobre o estudo do movimento dos corpos e desenvolveu o Cálculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz. Ele desenvolveu os métodos das fluxions - derivação - e fluents - integração - e utilizou-os na construção da mecânica clássica. Para Newton, a integração consistia em achar fluents para um dado fluxion considerando, desta maneira, a integração como inversa da derivação. Com efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, por exemplo, era a aceleração e a integral da aceleração era a velocidade.
Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em questão, por exemplo, a integral de y era representada por `y.
Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo - um 's' longo - para representar summa . Segundo ele, "represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas... e portanto eu represento em meu cálculo a área da figura por ".
Ambos desenvolveram o Cálculo Integral separadamente, entretanto Newton via o Cálculo como geométrico, enquanto Leibniz o via mais como analítico.
Leibiniz acreditava que a notação era de fundamental importância e, de fato, a sua notação foi mais eficaz do que a de Newton e acabou por se consolidar, sendo utilizada até os dias de hoje, mantendo exatamente a mesma forma. Newton escrevia para si próprio e não foi feliz em encontrar uma notação consistente.
Os trabalhos de Leibniz sobre o Cálculo Integral foram publicados em 1684 e em 1686 sob o nome Calculus Summatorius . O nome Cálculo Integral foi criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmão mais velho Jacques Bernoulli em 1690.
Principalmente como conseqüência do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton, as integrais foram simplesmente vistas como derivadas "reversas". Na mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções racionais, que é chamado método das frações parciais. Essas idéias foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais.
Após o estabelecimento do Cálculo, Euler daria continuidade ao estudo de funções - ainda prematuro na época - juntamente com Cauchy, Gauss e Riemann. Foi Euler, entretanto, quem reuniu todo o conhecimento até então desenvolvido e criou os fundamentos da Análise.
Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo.
A importância e aplicações do cálculo na história da engenharia
 Desde os primórdios, a utilidade da matemática vem crescendo e se adaptando a evolução humana junto a ela o próprio cálculo. O cálculo é uma linguagem usada pelos engenheiros , cientistas e economistas, para impactar no seu dia a dia, de forma direta, e surgiu como uma poderosa ferramenta da matemática, sendo que sua construção se tornou possível devido à contribuição de pessoas brilhantes como Leibniz, René Descartes, Isaac Newton, dentre outros. 
Os estudos massivos sobre o cálculo começaram na idade média em descobertas independentes que ocorreram no Japão e na Europa. Na área da física-matemática John Walliis e Isaac Barrow, foram responsáveis por contribuírem rapidamente para solucionar problemas antigos que estavam sem solução, dentre outros matemáticos que ajudaram na construção do hoje conhecido como cálculo diferencial e integral. Contudo a construção do cálculo em si coube a Leibniz e a Isaac Newton que juntou essas idéias em um corpo teórico. 
 Ressalta-se que o cálculo divide-se em dois, um relacionado às derivadas e outro relacionado às integrais, denominados respectivamente cálculo diferencial e cálculo integral. O surgimento do Cálculo Diferencial e Integral - CDI na engenharia está intimamente ligado às tangentes, sendo Isaac Newton (1960) a primeira pessoa a formular de maneira explicita as idéias de derivada e limite, baseando-se nos métodos de localizar as retas tangentes de seus mestres: Pierre Fermat e Isaac Barrow, assim surgindo o cálculo de Newton.
 O cálculo é algumas vezes descrito como o estudo de curvas, superfícies e sólidos. O desenvolvimento da geometria destes objetos floresceu seguindo a invenção da geometria analítica, a qual é, essencialmente, o casamento da geometria com a álgebra, e cada uma melhora a outra.
A matéria de cálculo como qualquer outra, correlaciona muitos assuntos e estes foram separados em grupos para assim facilitar o entendimento dos alunos de engenharia e melhorar a comunicação e solução de problemas entre os engenheiros.
Desta maneira o primeiro assunto a ser apresentado ao estudante são os limites. A matemática dos limites é o microscópio que amplia uma curva. Desta forma o aluno de engenharia, estudante de cálculo, firma o conceito de limites como controle dos erros em processos e ainda é capaz de, por si mesmo, desenvolver as demais definições. E essa compreensão dos estudantes sobre haver uma estrutura matemática de controle de erros em certos processos e procedimentos, também ocorre, posteriormente, na regra geral de derivação, na soma de Riemann, em cálculos de volumes e de centro de massa, e o que vem facilitar o aprendizado dos vários métodos de aproximação sucessivas em Cálculo Numérico e nas demais aplicações do Cálculo às engenharias. 
Diferente da Geometria Euclidiana cuja o lado é de 20 cm, por exemplo, em Cálculo, o lado tende a 20 cm. O primeiro é um discurso do tipo ontológico: as afirmações são sobre o que “é”, sobre o ser. O segundo é um discurso do tipo epistemológico: isto é, visa o que se “depreende do ser” e “o que é possível dizer dele”, com o instrumental lingüístico disponível (é que ele, o “objeto”: “tende a ser”, “tende a ter”). A certeza do que é neste discurso se esvai, mas mantém-se, a partir de um controle de erros, uma coesão e objetividade do discurso. 
A apresentação do conceito de limite finito de função quando "x" tende também a um valor finito, não se utiliza o usual gráfico cartesiano para enfatizar o aspecto mais pragmático do uso da teoria dos limites, procurando dar ênfase a questão do controle de erros sem limitar o engenheiro a uma visão Euclidiana típica que se encerraria em três dimensões. Com isso é possível uma visualização de retomada as mesmas considerações acercade "controle de erros" em limites de funções a várias variáveis reais. 
Utilizando limites, como exemplo principal, para uma compreensão maior das aplicações do cálculo na engenharia, conclui-se que a expressão "haver limites" significa na engenharia "haver controle de erros em processos". A partir disto todo aprendizado de cálculo, são mecanismos matemáticos de controle de erros em processos. Assim, quando a matéria de cálculo é apresentada aos estudantes, deve-se enfatizar o caráter pragmático do aprendizado pelo controle de erros nos projetos a serem realizados.
 Pode-se dizer, que o cálculo e suas vertentes são a principal base linguística representacional da Ciência moderna. Esta é direcionada a controlar erros acerca de vários objetos, diversas variáveis envolvidas nos diversos fenômenos, que são estudados pelas engenharias. Ou ainda, nas ciências, seja pela lógica (controle de compatibilidade de enunciados), seja pelo cálculo (controle de erros em processos), a idéia de controle (e não somente de previsão) é essencial para a maioria das ciências, sendo que, para as engenharias um de seus pressupostos é a existência e/ou possibilidade de construção de sistemas de controle. Além disso pode-se enfatizar também a importância do entendimento da matéria de cálculo, o mercado de trabalho é efêmero, suas necessidades vêm e vão ao sabor das tecnologia e dos setores econômicos dominantes do momento, o engenheiro deve saber; deve saber organizar as idéias, equacionar problemas; escolher os conhecimentos científicos que se aplicam que precisa ser resolvido. Este tipo de capacidade só se obtém com o domínio das ciências exatas, enfatizando as matérias de Cálculo, Álgebra, Física dentre outras. O cálculo é fundamental na formação dos engenheiros, seja qual for o seu ramo. É usada na construção de edifícios, estradas, túneis, metrôs, barragens, portos, aeroportos, fábricas, desenvolvimento de maquinas entre outros. Ou seja o cálculo está envolvido em tudo fora e dentro da engenharia “[...] desde o seu micro-ondas, telefone celular, TV, e carro até os remédios que você toma, os mecanismos da economia, e a sua segurança nacional. Neste exato momento, algo ao seu alcance ou à sua vista foi impactado pelo cálculo.” (RYAN, 2011, p. 10)."
Conclusão
 
Nesse trabalho entendemos a origem do curso de calculo aplicado, e calculo diferencial integral, cursos essenciais para a engenharia e demais àreas das ciencias exatas. Observamos que o curso de calculo foi se aprimorando durante o tempo, inclusive causando algumas intrigas na história da ciência. 
Com esse trabalho entendemos que o curso de calculo é a base, sendo assim extremamente necessário e aplicável nos dias atuais, seja para facilitar as fórmulas físicas, e fórmulas geométricas, até a interpretação de gráficos e análises matematicas, fisicas, e estatisticas.