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1 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br ÍNDICEÍNDICEÍNDICEÍNDICEÍNDICE CAPITULO 1 – CONCEITOS BÁSICOS ............................................................................................................................ 3 1.1 – ESTATÍSTICA ...................................................................................................................................... 3 1.2 – ESTATÍSTICA DESCRITIVA ................................................................................................................ 3 1.3 – ESTATÍSTICA INFERENCIAL ............................................................................................................. 3 1.4 – POPULAÇÃO OU UNIVERSO ........................................................................................................... 3 1.5 – CENSO .............................................................................................................................................. 3 1.6 – AMOSTRA ........................................................................................................................................... 3 1.7 – EXPERIMENTO ALEATÓRIO ............................................................................................................. 3 1.8 – EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO .................................................................................................. 3 CAPÍTULO 2 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ............................................................................................................. 3 2.1 – DADOS ESTATÍSTICOS ..................................................................................................................... 3 2.2 – DADOS BRUTOS ............................................................................................................................... 3 2.3 – ROL ................................................................................................................................................ 3 2.4 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA .................................................................................................... 3 2.5 – ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA .............................................................. 4 CAPITULO 3 – MEDIDAS DE POSIÇÃO ........................................................................................................................... 9 3.1 – INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 9 3.2 – MÉDIA ARITMÉTICA ( )X ................................................................................................................. 9 3.2.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS .......................................................... 9 3.2.2. DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA ARITMÉTICA ....................................................................... 9 3.2.3. PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA ........................................................................... 10 3.3 – MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS ............................................................................ 11 3.3.1. DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS ................................. 11 3.3.2. DADOS AGRUPADOS CONFORME UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS POR CLASSE .... 12 3.3.3. PROCESSO BREVE PARA CÁLCULO DA MÉDIA ARITMÉTICA ........................................... 13 CAPÍTULO 4 – MODA (Mo) ............................................................................................................................................ 15 4.1 – MODA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS ......................................................................................... 15 4.2 – MODA PARA DADOS AGRUPADOS ................................................................................................. 15 4.2.1. MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA. ............... 15 4.2.2. MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE ....................................................................................................................... 15 4.3 – DETERMINAÇÃO GRÁFICA DA MODA ............................................................................................. 17 4.4 – A MODA NA CURVA DE FREQÜÊNCIA. ........................................................................................... 17 CAPÍTULO 5 – MEDIANA (Md) ....................................................................................................................................... 18 5.1 – MEDIANA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS ................................................................................... 18 5.2 – MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS ............................................................................................ 19 5.2.1. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR VALOR .......................................................................................................................... 19 5.2.2. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE ....................................................................................................................... 20 5.3 – RELAÇÃO ENTRE A MÉDIA ARITMÉTICA, MEDIANA E MODA ......................................................... 21 2 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br CAPÍTULO 6 – SEPARATRIZES ..................................................................................................................................... 21 6.1 – QUARTIS ......................................................................................................................................... 21 6.2 – DECIS .............................................................................................................................................. 22 6.3 – PERCENTIS .................................................................................................................................... 23 CAPÍTULO 7 – OUTRAS MÉDIAS .................................................................................................................................. 24 7.1 – MÉDIA GEOMÉTRICA (G) ................................................................................................................. 24 7.1.1. MÉDIA GEOMÉTRICA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS ..................................................... 24 7.1.2. MÉDIA GEOMÉTRICA PARA DADOS AGRUPADOS ............................................................. 24 7.2 – MÉDIA HARMÔNICA (H) ................................................................................................................... 24 7.2.1. MÉDIA HARMÔNICA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS ....................................................... 24 7.2.2. MÉDIA HARMÔNICA PARA DADOS AGRUPADOS ............................................................... 24 CAPÍTULO 8 – MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE ............................................................................. 25 8.1 – DISPERSÃO OU VARIABILIDADE ................................................................................................... 25 8.2 – AMPLITUDE TOTAL ......................................................................................................................... 25 8.2.1. DADOS NÃO AGRUPADOS .................................................................................................. 25 8.2.2. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA. ......................... 25 8.2.3. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE .......... 25 8.3 – VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 8.3.1. PARA DADOS NÃO AGRUPADOS ........................................................................................ 26 8.3.2. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA...........................27 8.3.3. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE .......... 28 8.3.4. PROCESSO BREVE PARA CÁLCULOS DO DESVIO PADRÃO ........................................... 29 Capítulo 9 – TESTES DE ESTATÍSTICA .................................................................................................................... 31 Capítulo 10 – BATERIA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E COMENTADOS .................................................................. 44 10.1 – BATERIA 1 ........................................................................................................................................ 44 10.2 – BATERIA 2 ........................................................................................................................................ 45 10.3 – BATERIA 3 ........................................................................................................................................ 47 10.4 – BATERIA 4 ........................................................................................................................................ 50 3 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Capitulo 1 CONCEITOS BÁSICOS 1.1 — ESTATÍSTICA A estatística constitui uma parte da matemática aplicada que tem como finalidade obter conclusões sobre os verda- deiros parâmetros do universo, utilizando para isso a cole- ta, a organização, a descrição, a análise e a interpretação dos dados. 1.2 — ESTATÍSTICA DESCRITIVA É o ramo da estatística que se preocupa apenas em des- crever os dados observados da amostra, sem se preocu- par em fazer previsões sobre os parâmetros do universo. Na estatística descritiva temos a coleta, organização e descrição dos dados. 1.3 — ESTATÍSTICA INFERENCIAL A estatística inferencial ou estatística indutiva é a parte mais importante da estatística, pois é a inferência estatís- tica que permite a análise e a interpretação dos dados atra- vés de estimativas de parâmetros do universo. 1.4 — POPULAÇÃO OU UNIVERSO É qualquer conjunto de elementos ou indivíduos, com pelo menos uma característica comum ao objeto em estudo. Exemplo: A população de alturas dos candidatos ao concurso de AFRF/2000; A população de escolas de estatística no Brasil em 2000; A população de computadores em São Paulo. A população pode ser dita finita ou infinita conforme o nú- mero de elementos que possui. Por exemplo a população dos pesos dos candidatos ao concurso do ICMS/2002 é finita. Porém se cada aluno é sorteado e recolocado no conjunto para novo sorteio, teríamos a população de pesos infinita. Na prática consideramos como infinitas aquelas popula- ções com número de elementos muito grande. 1.5 — CENSO O censo é o processo que consiste no exame de todos os elementos da população. Na prática, a coleta de dados sobre a população requer: I — Disponibilidade de tempo III — Precisão dos dados coletados III — Recursos financeiros IV — Planejamento das etapas de coleta Portanto, são muitas as dificuldades para a realização de um censo, logo, nos geralmente utilizamos os processos de amostragem. 1.6 — AMOSTRA Amostra é qualquer subconjunto não vazio da população. Para a seleção da amostra devemos tomar cuidado para que a amostra seja representativa da população, conside- rando a aleatoriedade da seleção e o tamanho da amostra. 1.7 — EXPERIMENTO ALEATÓRIO Experimentos Aleatórios são aqueles que, repetidos nas mes- mas condições, produzem resultados possíveis e diferentes. Exemplo: O lançamento de uma moeda honesta várias vezes nas mesmas condições, produz cara ou coroa como resultado, que só pode ser conhecido após o lançamento. 1.8 — EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO Quando o resultado do experimento já está determinado antes de sua realização, portanto não interessa ao estudo da Estatística. Capítulo 2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 2.1 — DADOS ESTATÍSTICOS Dados estatísticos são todas as informações levantadas (coletadas) que servirão como base para o estudo e aná- lise estatística e que chamaremos de Dados. 2.2 — DADOS BRUTOS Dados Brutos são dados inicialmente coletados que ainda não foram organizados sistematicamente. 2.3 — ROL Rol é qualquer arranjo de dados brutos em ordem cres- cente ou decrescente. 2.4 — DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA A Distribuição de Freqüência é uma disposição de dados numéricos, de acordo com o tamanho ou magnitude dos mesmos. Neste tipo de série não variam local, tempo e o fato. A distribuição de freqüência pode ser apresentada por va- lor (único) ou por grupo de escalares (classes), discrimi- nando a freqüência dos mesmos. 4 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Exemplo: a) Distribuição de freqüência por valor: NOTAS DOS APROVADOS NO AFRF/2000-SP NOTAS FREQÜÊNCIAS 0 2 1 4 2 5 3 4 4 8 5 3 6 9 7 5 8 2 9 8 TOTAL 50 FONTE: ALUNO b) Distribuição de freqüência por classe: NOTAS DOS APROVADOS NO AFRF/2000-SP NOTAS FREQÜÊNCIAS 0 20 10 20 40 15 40 60 50 60 80 20 80 100 5 TOTAL 100 FONTE: ALUNO 2.5 - ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA A Tabela abaixo representa as notas de100 alunos apro- vados no concurso de AFTN/94 em São Paulo. NOTAS DOS ALUNOS APROVADOS NO CONCURSO AFTN/94-SP Descrevemos a seguir cada coluna: a) Classe de Freqüência As classes de freqüência são os intervalos em que a variável nota foi agrupada. Exemplo: 0 20 - representa as notas desde 0 até quase 20 b) Limites de uma Classe ( lllllI , LS ) Os limites de classe são os valores ínfimo e supremo da classe, sendo que o limite inferior ( lllllI ) o ínfimo da classe e limite superior ( LS ) o supremo da classe. Assim teremos: O limite inferior da 2ª classe é 20 O limite superior da 3ª classe é 60 c) Intervalo de classe (amplitude de classe) – h É a diferença entre o limite superior real da classe e o limite inferior real da classe. h = LS – lllllI Obs: Quando o limite inferior da classe coincide com o limite superior da classe anterior, ele é cha- mado de limite real. Caso contrário será cha- mado de limite aparente, e o limite real será a média aritmética entre eles. d) Amplitude Total ( AT ) É a diferença entre o maior valor e o menor valor da amostra. No exemplo acima: AT = 100 – 0 = 100. e) Ponto médio da classe É a média aritmética entre o limite inferior real e o limite superior real f) Freqüência absoluta simples ( fi ) Freqüência absoluta é o número de observações que ocorreram em determinada classe. No exemplo acima a Freqüência absoluta ou simples- mente Freqüência da 3ª classe é 50. Freq. Acumuladas NOTAS f Xi Fr Fr(%)Abaixo de A partir de 0 20 10 10 10 100 0,10 10% 20 40 15 30 25 90 0,15 15% 40 60 50 50 75 75 0,50 50% 60 80 20 70 95 25 0,20 20% 80 100 5 90 100 5 0,05 5% TOTAL 100 1,00 100% 2 X i = l I + L S título classes cabeçalho rodapé Obs.: E —––| I I |—–– E I |—––| I E ®®®®® Excluindo E –––– E I ®®®®® Incluindo 5 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br g) Freqüência Total ( N ) A Freqüência total é a soma de todas as freqüências absolutas. ∑ = = k 1i ifN k – nº de classes fi – Freqüência absoluta da i-ésima classe N – Freqüência total. h) Freqüências Acumuladas Freqüência Acumulada Crescente ( ou Freqüência acu- mulada “abaixo de”, ou Freqüência acumulada “até”) que representaremos por + AC F é a soma das freqüênci- as absolutas anteriores de uma determinada classe. Por exemplo, na tabela acima, a Freqüência acumula- da crescente da 3ª classe é a Freqüência acumulada abaixo de 60 que é 10 + 15 + 50 = 75. Como a classe é do tipo (40 60) poderíamos falar em Freqüência acumulada crescente como sendo a Fre- qüência acumulada até 60, que é: 10 + 15 + 50 = 75. Freqüência Acumulada Decrescente (ou Freqüência acu- mulada “a partir de”, ou Freqüência acumulada “acima de”) querepresentaríamos por − AC F é a soma das freqüências absolutas acima de determinado valor de classe. Assim, a Freqüência acumulada decrescente de 3ª clas- se é a Freqüência acumulada a partir de 40, que dá 75. Se a classe fosse do tipo (40 60) poderíamos falar em freqüência acumu-lada decrescente como sendo freqüência acumulada decrescente acima 40, seria: 50 + 20 + 5 = 75 i) Freqüência Relativa ( fr ) É a razão entre a Freqüência absoluta e a Freqüência total N if rf = ou ∑ = if if rf Portanto, a Freqüência relativa da 4ª classe é 0,20 100 20 = , podemos repre-sentar a Freqüência re- lativa em porcentagem que seria 20% e a somatória da freqüência absoluta igual a 1ou 100% NORMAS PARA APRESENTAÇÃO TABULAR DE DADOS A apresentação tabular é a apresentação dos dados (ou resultados) de determinado assunto de modo sintético a fim de se obter uma visão global do que vamos analisar. Exemplo: CANDIDATOS APROVADOS NO AFRF/2000 POR ESTA- DO DO BRASIL SÉRIES ESTATÍSTICAS Chamamos de série estatística ao quadro de distribuição de dados estatísticas em função da época, do local ou da espécie do fenômeno. Sendo assim teremos: a) série histórica, ou temporal, ou cronológica Aquela em que a variável é o tempo, permanecendo fixos o local e a espécie do fenômeno. Exemplo: EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS DE CARROS ENTRE 1997-2001 ANOS VALOR (US$ 1 MILHÃO) 1997 100 1999 200 1999 400 2000 500 2001 300 FONTE: BANCO DO BRASIL {onde Título Cabeçalho Rodapé → Corpo ESTADOS CANDIDATOS MARANHÃO 50 PIAUÍ 100 CEARÁ 120 R. G. DO NORTE 40 PARAÍBA 110 MINAS GERAIS 80 SÃO PAULO 200 RIO DE JANEIRO 250 R. G. DO SUL 50 TOTAL 1000 FONTE : CURSO PRÉ-FISCAL → 6 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br b) Série territorial, ou geográfica, ou de localização Aquela em que a variável é o local, permanecendo fi- xos o tempo e a espécie do fenômeno. Exemplo: EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS — 2000 PAÍSES DE DESTINO VALOR (US$ 1 MILHÃO) ESTADOS UNIDOS 200 CANADÁ 100 ALEMANHA 150 ITÁLIA 100 INGLATERRA 300 FONTE: BANCO DO BRASIL c) Série categórica, ou específica Aquela em que variam as espécies ou categórica do fenômeno mantendo-se fixos o tempo e o local. Exemplo: REBANHO BRASILEIRO ESPÉCIE QUANTIDADE (1.000 CABEÇAS) BOVINOS 5.000 SUÍNOS 9.000 OVINOS 2.000 CAPRINOS 1.000 FONTE: MINISTÉRIO DA ECONOMIA d) Série conjugada Chamamos de séries conjugadas aquelas onde são cru- zados 2 (dois) ou mais tipos de séries, podendo ter, assim, duas ou mais entradas. Exemplo: POPULAÇÃO DE CÃES BRASILEIROS (100 UNIDADES) UNID. DA FEDERAÇÃO ANOS 1998 1999 2000 2001 AMAZONAS 100 150 200 90 MARANHÃO 30 400 300 350 ----------------- ------ ----- ------ ------ ----------------- ------ ----- ------ ------ SÃO PAULO 195 ------ ------ ----------------- ------ ------ ------ ------ ----------------- ------ ------ ------ ------ ----------------- ------ ------ ------ ------ ------------------ ------ ------ ------ ------ FONTE: IBGE A tabela acima é chamada de dupla entrada, pois po- demos consultá-la no sentido horizontal ou no sentido vertical. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Primeiramente veremos a representação gráfica de uma distribuição de Freqüência. a) Histograma É a representação gráfica de uma distribuição de Fre- qüência através de retângulos justapostos de forma que a área de cada retângulo é proporcional à Freqüên- cia da classe que ele representa e as bases de cada retângulo iguais às amplitudes das classes que elas representam. Exemplo: Seja a distribuição de freqüência: CLASSES fi Xi FAC + FAC – 0 —— 5 10 2,5 10 130 5 —— 6 20 5,5 30 120 6 —— 7 40 6,5 70 100 7 —— 8 20 7,5 90 60 8 —— 9 10 8,5 100 40 9 —— 10 30 9,5 130 30 Total 130 Então teremos o histograma: b) Polígono de freqüência É o gráfico obtido quando se une os pontos médios das bases superiores dos retângulos de um histograma, através de segmentos de retas consecutivos Exemplo: O polígono de Freqüência no exemplo anterior seria: 0 5 6 7 8 9 10 classes 10 20 30 40 0 2,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 classes 10 20 30 40 7 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br obs: Para finalmente fechar o polígono de Freqüência devemos unir os pontos do polígono aos pontos mé- dios das classes anterior e posterior supostas, até atingir os limites e superfícies correspondentes. c) Ogivas Crescentes É o gráfico construído através da freqüência acumula- da crescente. . 0 5 6 7 8 9 10 classes 70 90 100 130 30 10 0 5 6 7 8 9 10 classes 60 100 130 30 120 40 c) Ogivas Decrescentes É o gráfico construído através da freqüência acumula- da decrescente. Obs.: Orgivas Crescentes e Decrescentes se cruzam na mediana. 8 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br GRÁFICOS DE SÉRIES ESTATÍSTICAS a) Gráfico de Barras (ou colunas) São gráficos que utilizam barras horizontais ou verticais para representar a magnitude dos dados estatísticos. Exemplo: Produção de carros 2000 - São Paulo Espécie Produção (mil) Caminhão 1.000 Fusca 10.000 Gol 4.000 BMW 1.000 1.000 10.000 4.000 1.000 Caminhão Fusca Gol BMW Obs.: Pode também ser feito na vertical. b) Gráficos Pictóricos São gráficos que utilizam figuras para representar a magnitude dos dados. c) Gráficos de Setores São gráficos que evidenciam uma parte do todo. Exemplo: Aprovados no INSS/2002 Estados Aprovados RJ 50 SP 500 MG 150 RS 200 CE 100 Fonte: ESAF Modo de Calcular: RJ 1.000 —– 360º 50 —— X X = 18º SP RS MGCE RJ Anotações: 9 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Capítulo 3 MEDIDAS DE POSIÇÃO 3.1 –INTRODUÇÃO As medidas de posição irão nos mostrar como estão con- centrados os nossos dados. Essas medidas dividem-se em medidas de tendência cen- tral, que se caracterizam pelo fato dos dados tenderem a se concentrar em valores centrais, e as medidas conheci- das como separatrizes. Sendo assim teremos: Inicialmente veremos as medidas de tendência central. 3.2 –MÉDIA ARITMÉTICA ( X ) Chamamos de média aritmética a razão entre a soma dos dados assumidos pela variável e o número de dados con- siderados. Sendo assim temos: n X X n 1i i∑ = = onde: X – média aritmética Xi – os valores observados da variável n – número de valores Obs: Anotação ∑ = n 1 i iX significa a soma de todos os valo- res Xis para i variando de 1 até n. Isto é, ∑ = n 1 i iX = X1 + X2 + X3 +...............+ Xn 3.2.1 – MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS No caso dos dados não estarem agrupados em uma distri- buição, teremos a fórmula semelhante à da definição. Exemplo 1: Sabendo que a produção de pães diária em uma padaria, durante uma semana foi, 105, 102, 108, 104, 106, 107 e 103 pães, temos a produção média da semana como: pães 105X 7 735 X 7 103107106104108102105 X = = ++++++ = Exemplo 2: O número de filhos de 5 funcionários de uma empresa é 1, 9, 2, 8 e 0 filhos, temos que a média de filhos, nesse escri- tório, é filhos 4X 5 20 X 5 08291 X = = ++++ = 3.2.2 — DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA ARITMÉTICA Chamamos de desvio em relação à média aritmética, ou sim- plesmente de desvio em relação à média, a diferença entre cada valor observado da variável e a sua média aritmética. Isto é, Sendo X1, X2, X3, ........, Xn, os dados observados da va- riável e X a respectiva média aritmética, E os desvios em relação a média como sendo: d1 = X1 – X d2 = X2 – X d3 = X3 – X ................. ................. dn = Xn – X Teremos; XXd ii −= Onde di é o desvio do i-ésimo dadoem relação à média aritmética. MEDIDAS DE POSIÇÃO Média Aritmética Mediana Moda Mediana quartis centis percentis Separatrizes Medidas de tendência Central 10 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Exemplo 3: Considerando, o exemplo 1, teremos: X1 = 105, X2= 102, X3 = 108, X4 = 104, X5 = 106, X6 = 107, X7 = 103 105X = Então: d1 = X1 – X = 105 –105 \ d1 = 0 d2 = X2 – X = 102 –105 \ d2 = –3 d3 = X3 – X = 108 –105 \ d3 = 3 d4 = X4 – X = 104 –105 \ d4 = –1 d5 = X5 – X = 106 –105 \ d5 = 1 d6 = X6 – X = 107 –105 \ d6 = 2 d7 = X7 – X = 103 –105 \ d7 = –2 Exemplo 4: Considerando o exemplo 2 , temos: X1 = 1, X2 = 9, X3 = 2, X4 = 8, X5 = 0 e X = 4 d1 = X1 – X \ d1 = 1 – 4 \ d1 = –3 d2 = X2 – X \ d2 = 9 – 4 \ d2 = 5 d3 = X3 – X \ d3 = 2 – 4 \ d3 = –2 d4 = X4 – X \ d4 = 8 – 4 \ d4 = 4 d5 = X5 – X \ d5 = 0 – 4 \ d5 = –4 3.2.3 – PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA Salientamos que este ponto é muito freqüente em provas de concursos públicos. 1ª. PROPRIEDADE A soma de todos os desvios em relação à média aritmética é sempre igual a zero. Isto é: ∑ = = n 1i i 0d OU ( )∑ = = n 1i 1 0X– X Exemplo 5: Considerando o exemplo 3, temos: d1 = 0 d2 = –3 d3 = 3 d4 = –1 d5 = 1 d6 = 2 d7 = –2 ∑ = = 7 1i i 0d Exemplo 6: Considerando o exemplo 4, temos: d1 = –3 d2 = 5 d3 = –2 d4 = 4 d5 = –4 ∑ = = 5 1i i 0d 2ª. PROPRIEDADE Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (K) a to- dos os valores de uma variável, a nova média aritmética se altera, fica aumentada (ou diminuida) da constante ( K ) Isto é: Se Yi = Xi ± K então Y = X ± K Exemplo 7: Suponha que o padeiro do exemplo 1 resolve aumentar a produção diária da sua padaria em mais 10 pães por dia. Assim, temos: X1 = 105, X2 = 102, X3 = 108, X4 = 104, X5 = 106, X6 = 107, X7 = 103 aumentando em 10 pães por dia, teríamos: Y1 = 115, Y2 = 112, Y3 = 118, Y4 = 114, Y5 = 116, Y6 = 117, Y7 = 113 Observe que Yi = Xi + 10, logo Y = X + 10 \\\\\ Y = 105 + 10 Y = 115 pães 11 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Exemplo 8: Suponhamos que cada funcionário do exemplo 2 tivesse mais 3 filhos, então: X1 = 1, X2 = 9, X3 = 2, X4 = 8, X5 = 0 Aumentando em mais 3 filhos, cada funcionário, teríamos Y1 = 4, Y2 = 12, Y3 = 5, Y4 = 11, Y5 = 3 Observe que Yi = Xi + 3 Logo Y = X + 3 \\\\\ Y = 4 + 3 \\\\\ Y = 7 filhos 3ª. PROPRIEDADE Multiplicando-se (ou dividindo-se) por uma constante ( K ), todos os valores de uma variável, a nova média aritmética se altera, fica multiplicada (ou dividida) pela constante. Isto é: Se Yi = K • Xi então XKY ⋅= Se K iX iY = então K X Y = ( K ¹ 0 ) Exemplo 9: Suponha que o padeiro gostaria de dobrar a produção diá- ria de pães, então teríamos: X1 = 105, X2 = 102, X3 = 108, X4 = 104, X5 = 106, X6 = 107, X7 = 103 dobrando a produção diária, teríamos: Y1 = 210, Y2 = 204, Y3 = 216, Y4 = 208, Y5 = 212, Y6 = 214, Y7 = 206 Observe que Yi = 2 • Xi Logo Y = 2 • X \\\\\ Y = 2 • 105 \ \ \ \ \ Y = 210 pães Exemplo 10: Suponhamos que os funcionários do exemplo 2 triplicas- sem o nº de filhos, daí, X1 = 1, X2 = 9, X3 = 2, X4 = 8, X5 = 0 Triplicando o nº de filhos, teríamos: Y1 = 3, Y2 = 27, Y3 = 6, Y4 = 24, Y5 = 0 Observe que: Yi = 3 • Xi Logo Y = 3 • X \ \ \ \ \ Y = 2 • 4 \ \ \ \ \ Y = 12 filhos 3.3 –MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS 3.3.1- CONSIDERE OS DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ABAIXO: VALORES (Xi) FREQÜÊNCIA ABSOLUTA (fi) X1 f1 X2 f2 X3 f3 . . . . . . . . Xk fk Total ∑ = K 1i if Então a média aritmética da distribuição acima terá a se- guinte fórmula: ∑ ∑ = = = K 1i i K 1i ii f fX X A partir desse ponto iremos suprimir os índices no sím- bolo de somatório para facilitar a notação, sendo assim, teremos: ∑ ∑ = i ii f fX X ou N fX X ii∑ = Exemplo 11: Consideremos a distribuição do número de filhos de uma determinada classe de alunos NÚMEROS DE FILHOS ( Xi ) ALUNOS ( fi ) 0 5 1 10 2 20 3 10 4 5 Total 50 12 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br 3.3.2 - CONSIDEREMOS AGORA OS DADOS AGRUPADOS ABAIXO CONFORME UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE Classes Freqüências aparentes ( fi ) l1 L1 f1 l2 L2 f2 l3 L3 f3 . . . . . . . . lk Lk fk Total ∑ if Então a média aritmética para a distribuição de freqüência em classe acima terá a seguinte fórmula: ∑ ∑ = i ii f fX X onde Xi — ponto médio da i-ésima classe. Exemplo 13: Considere as alturas de 50 indivíduos de uma empresa, conforme a distribuição abaixo: Alturas (cm) Indivíduos ( fi ) 150 160 5 160 170 10 170 180 20 180 190 10 190 200 5 Total 50 Então o método mais fácil é considerar duas colunas, dos pontos médios ( Xi ) e do produto do ponto médio pela freqüência absoluta ( Xi fi ), isto é, Classe fi Xi Xifi 150 160 5 155 775 160 170 10 165 1.650 170 180 20 175 3.500 180 190 10 185 1.850 190 200 5 195 975 Total 50 X 8.750 Então o método mais fácil de se calcular a média é fazer mais uma coluna Xi fi , isto é: Xi fi Xi fi 0 5 0 1 10 10 2 20 40 3 10 30 4 5 20 Total 50 100 Então, temos: filhos 2X 50 100 X f fX X logo 50,f e 100fX i ii iii =∴=∴ ⋅ = == ∑ ∑ ∑ ∑ Exemplo 12: Considere as notas de 100 alunos aprovados em concur- so público. NOTAS ( Xi ) ALUNOS ( fi ) 2 15 4 18 6 47 8 15 9 5 Total 100 Então vamos considerar mais uma coluna de Xifi Xi fi Xi fi 2 15 30 4 18 72 6 47 252 8 15 120 9 5 45 Total 100 549 Logo: 49,5X 100 549 X f fX X logo 100,f e 549fX i ii iii =∴=∴ ⋅ = == ∑ ∑ ∑ ∑ 13 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Temos, então: cm 175X 50 750.8 X f fX X logo 50,f e 750.8fX i ii iii =∴=∴ ⋅ = == ∑ ∑ ∑ ∑ Exemplo 14: Considere os salários de 100 funcionários de uma empre- sa, conforme a distribuição abaixo: Salários Mínimos ( S.M.) Funcionários ( fi ) 0 2 20 2 4 40 4 6 20 6 8 15 8 10 5 Total 100 Considerando então mais duas colunas, dos pontos médi- os (Xi ) e do produto do ponto médio pela freqüência abso- luta ( Xi fi ), temos: Classe (SM) fi Xi Xifi 0 2 20 1 20 2 4 40 3 120 4 6 20 5 100 6 8 15 7 105 8 10 5 9 45 Total 100 390 Temos, então: mínimos salários 3,9X 100 390 X f fX X logo 100,f e 390fX i ii iii = =∴ ⋅ = == ∑ ∑ ∑ ∑ 3.3.3 – PROCESSO BREVE PARA CÁLCULO DA MÉDIA ARITMÉTICA Como geralmente o cálculo da média aritmética em distri- buição de freqüência por classe é trabalhoso, inventaram um processo, que consiste em mudar a variável original X por outro Y, de modo que obedeça a seguinte relação: h XX Y 0ii − = Onde X0 é uma constante arbitrária escolhida convenien- temente entre os valores dos pontos médios, geralmente o da classe que possui a maior freqüência. Através da re- lação acima podemos chegar a seguinte fórmula: ( ) ∑ ∑ ⋅ += i ii 0 f hfY XX Exemplo 15: Vamos considerar o exemplo 13 Alturas (cm) Indivíduos ( fi ) Xi 150 160 5 155 160 170 10 165 170 180 20 175 180 190 10 185 190 200 5 195 Total 50 Observando a coluna de pontos médios (Xi), temos que o ponto médio da classe de maior freqüência é o valor 175, portanto X0= 175 e h = 10 (intervalo de classe). Logo os valores de Yi , serão: 2Y 10 175195 Y h XX Y 1Y 10 175185 Y h XX Y 0Y 10 175175 Y h XX Y 1Y 10 175165 Y h XX Y 2Y 10 175155 Y h XX Y 55 05 5 44 04 4 33 03 3 22 02 2 11 01 1 =∴ − =∴ − = =∴ − =∴ − = =∴ − =∴ − =−=∴ − =∴ − = −=∴ − =∴ − = Logo, vamos construir a tabela de cálculos Classes fi Xi Yi Yifi 150 160 5 155 –2 –10 160 170 10 165 –1 –10 170 180 20 175 0 0 180 190 10 185 1 10 190 200 5 195 2 10 Total 50 0 14 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Temos, então: ( ) cm 751X 50 0 175X f hfY XX 50f0fY175X i ii 0 iii0 = +=→ ⋅ += ==⋅= ∑ ∑ ∑∑ Exemplo 16: Consideremos o exemplo 14: Classe (SM) fi Xi 0 2 20 1 2 4 40 3 4 6 20 5 6 8 15 7 8 10 5 9 Total 100 X Analogamente teremos X0 = 3, h = 2 3Y 2 39 Y h XX Y 2Y 2 37 Y h XX Y 1Y 2 35 Y h XX Y 0Y 2 33 Y h XX Y 1Y 2 31 Y h XX Y 55 05 5 44 04 4 33 03 3 22 02 2 11 01 1 =∴ − =∴ − = =∴ − =∴ − = =∴ − =∴ − = =∴ − =∴ − = −=∴ − =∴ − = Construindo a tabela de cálculo temos: Classes (SM) fi Xi Yi Xifi 0 2 20 1 –1 –20 2 4 40 3 0 0 4 6 20 5 1 20 6 8 15 7 2 30 8 10 5 9 3 15 Total 100 45 ( ) ( ) mínimos salários 3,9X9,03X 100 90 3X 100 245 3X :Temos 100f ,45fY 2,h ,3X :Como f hfY XX iii0 i ii 0 =∴+= +=→ ⋅ += ==⋅== ⋅ += ∑∑ ∑ ∑ OBSERVAÇÕES IMPORTANTES SOBRE A MÉDIA ARITMÉTICA 1) A média sofre influência de valores extremos (peque- nos ou grandes) da distribuição. 2) Quanto à propriedade 1, observe que a soma dos des- vios em relação à média aritmética tem a seguinte no- tação: • SSSSSdi = 0 ou SSSSS (Xi – X ) = 0 para dados não agrupados. • SSSSSdifi = 0 ou SSSSS (Xi – X ) • fi = 0 para dados agrupados. 3) O processo breve pode ser usado no caso dos dados não estarem agrupados em uma distribuição de fre- qüência por classe, basta fazer h = 1. 4) A média aritmética representa o centro de massa dos dados. 5) A média aritmética, no caso de dados agrupados, é a média ponderada pelas freqüências absolutas. 15 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Capítulo 4 MODA (MO ) Chamamos de moda o valor ou atributo que ocorre com maior freqüência em uma distribuição. Por exemplo, a nota modal dos alunos de um concurso é a nota mais comum, isto é, a nota que a maioria dos alunos obtiveram. 4.1 - MODA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS Quando temos série de valores não agrupados, a moda é facilmente encontrada, pois pela definição, basta encon- trar o valor que mais se repete. Exemplo 17 4, 2, 6, 4, 3, 5, 7, 9, 4, 10, 8, 4, 3, 2, 4 Mo = 4. (unimodal) Exemplo 18 3, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 2, 5, 2. Neste caso são dois valores (2 e 3) que mais se repe- tem, e na mesma quantidade. Portanto, dizemos que a distribuição possui duas mo- das iguais a 2 e 3, e chamamos de bimodal. Exemplo 18.1 1, 2, 3, 0, 7, 3, 2, 5, 1, 9, 15 Mo = 1 Mo = 2 Mo = 3 (multimodal) Exemplo 18.2 2, 0, 1, 3, 4, 15, 7 Não existe Moda (amodal) 4.2 - MODA PARA DADOS AGRUPADOS 4.2.1 – MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA. Quando os dados estiverem agrupados em uma distribui- ção de freqüência de valores, para acharmos a moda bas- ta observar qual é o valor da variável que possui a maior freqüência. Exemplo 19 Vamos considerar a distribuição do exemplo 11. Número de filhos (Xi) Alunos ( fi ) 0 5 1 10 2 20 3 10 4 5 Observamos que o valor 2 filhos possui a maior freqüência (20), logo a moda é 2 filhos Exemplo 20 Vamos considerar a distribuição do exemplo 12. Notas (Xi) Alunos ( fi ) 2 15 4 18 6 47 8 15 9 5 Observamos que o valor da nota 6 possui a maior freqüên- cia (47), portanto a nota modal é 6. 4.2.2 — MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE Quando os dados estiverem agrupados em distribuição de freqüência por classe, a moda estará evidentemente na classe que possui a maior freqüência (classe modal). Se os dados forem agrupados em classe, perdemos o co- nhecimento dos dados e os respectivos cálculos da mé- dia, da moda e da mediana, nesse caso, fazemos uma estimativa entre os limites inferiores e superiores da clas- se da mesma. No caso da moda, existem 3 métodos de cálculo da moda: a) MODA BRUTA Chamaremos de moda bruta ao ponto médio da classe modal (classe que contém a maior freqüência). Sendo assim teremos uma fórmula para a moda bruta: 2 *L M0 + = * il onde: li* — limite inferior da classe modal L* — limite superior da classe modal Exemplo 21 Vamos considerar a distribuição do exemplo 13 Alturas (cm) Indivíduos (fi) 150 160 5 160 170 10 170 180 20 180 190 10 190 200 5 16 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Temos que a classe modal é a classe 170 180, logo li* = 170 e L* = 180 e a moda bruta será: cm 175M0 =∴ +=→ + = 2 180170 M 2 L** M 00 il Exemplo 22 Vamos considerar a distribuição do exemplo 14 Salários Mínimos (SM) Funcionários (fi) 0 2 20 2 4 40 4 6 20 6 8 15 8 10 5 logo, classe modal: 2 4 li* = 2 L* = 4 Moda bruta: mínimos salários 3M0 =∴ += 2 42 M0 b) MODA DE CZUBER Trata-se que uma estimativa, na classe modal, através de uma regra de três, que resulta na seguinte fórmula: [ ] [ ] [ ]postmaxantmax antmax 0 ffff *hff *M −+− ⋅− += il onde: li* – é o limite inferior da classe modal fmax – é a freqüência absoluta máxima (freqüência de classe modal) fant – é a freqüência absoluta anterior à classe modal fpost – é a freqüência posterior à classe modal h* – intervalo da classe modal Exemplo 23 Vamos considerar a distribuição do exemplo 13. Alturas (cm) Indivíduos (fi) 150 160 5 160 170 10 170 180 20 180 190 10 190 200 5 Então, temos: Classe modal: 170 180 li* = 170, h* = 180 –170 = 10 fmax = 20, fant = 10 fpos=10 logo: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] cm 175M0 =∴+=→+ ⋅+= −+− ⋅− += −+− ⋅− += 5170M 1010 1010 170M 10201020 101020 170M ffff *hff*M 00 0 postmaxantmax antmax 0 il Exemplo 24 Vamos considerar a distribuição do exemplo 14 Salários Mínimos (SM) Funcionários (fi) 0 2 20 2 4 40 4 6 20 6 8 15 8 10 5 Classe modal: 2 4 li*= 2 h* = 4 – 2 = 2 fmax = 40 fant = 20 fpost = 20 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] mínimos salários 3M0 = −+− ⋅− += −+− ⋅− += 20402040 22040 2M ffff *hff*M 0 postmaxantmax antmax 0 il 17 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br c) MODA DE KING A fórmula da moda de King é também uma estimativa na classe modal, mas não considera a freqüência absoluta da classe modal. postant post 0 ff *hf*M + ⋅ += il Exemplo 25 Considerando os dados do exemplo 13 temos: li*= 170 h* = 10 fant = 10 fpost = 10 cm 175M0 =∴+ ⋅+= + ⋅ += 1010 1010 170M ff *hf *M 0 postant post 0 il 4.3. DETERMINAÇÃO GRÁFICA DA MODA Podemos determinar graficamente a posição da moda no histograma da distribuição de freqüência absoluta, como veremos a seguir. a) MODA BRUTA freqüências li* L* classes Moda bruta (Mo) Para achar a moda bruta no histograma acima basta des- cer uma perpendicular, a partir do ponto médio do seg- mento AB, ao eixo horizontal das classes. b) MODA CZUBER freqüências Para achar a moda de Czuber no histograma acima, basta descer uma perpendicular, a partir da intersecção dos seg- mentos AD e CB, ao eixo horizontal das classes. c) MODA DE KING freqüências Para achar a moda de King no histograma acima, basta unir os pontos D’C’ e verificar a intersecção com o eixo horizontal, onde D’li* = DL* e L*C’= Cli* 4.4. A MODA NA CURVA DE FREQÜÊNCIA. Na curva de freqüência, a moda será o valor que corresponde, no eixo horizontal, ao ponto de freqüência máxima (vertical). ↑ BA A B C D L*li* Classes Moda de Czuber B L*li* Classes A D C D̀ C´ Moda de King f M o x UNIMODAL (UMA MODA) 18 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Capítulo 5 MEDIANA (MD) A mediana é outra medidade posição, que representa o valor que divide a distribuição em dois conjuntos com o mesmo número de elementos. 5.1. MEDIANA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS A definição é bem clara e fácil de ser interpretada no caso de dados não agrupados. Exemplo 26 Dado a série de valores 4, 12, 10, 3, 15, 5, 14, 8, 7 a mediana será fácil de ser identificada após encontrar- mos o Rol. Rol: 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15. Agora veremos qual é o valor central que divide a distribui- ção de forma que tenha o mesmo nº de elementos à es- querda e à direita desse valor. Logo a mediana é 8 (Md = 8), pois temos quatros valores abaixo de 8 e quatro valores acima de 8. Observe que no exemplo acima havia 9 valores, e nove é um número ímpar. Portanto, se o rol tem um número ímpar de dados a medi- ana será justamente o termo central. Se, porém, houvesse um número par de dados, a media- na, seria então valor entre os dois termos centrais, e por convenção adotamos a mediana como sendo a média arit- mética entre os dois termos centrais. Exemplo 27 Dada a série de valores 6, 4, 10, 5, 12, 3, 20, 7 Existem 8 dados, como o número de dados é par, existem dois termos centrais no Rol. Rol: 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 20 termos centrais Logo a mediana será: 6,5Md = += 2 76 Md MULTIMODAL M o1 M o2 M o3 x f ANTIMODAL ou AMODAL x ↑↑ f BIMODAL (DUAS MODAS) M 01 M 02 x -- - MdX = MdX = OBS.: 1. Em uma distribuição simétrica e unimodal a Média Arit- mética é igual a moda e igual a Mediana. 2. Em uma distribuição simétrica e bimodal apenas a Média Artimética e a Mediana são iguais. 3. Em uma distribuição simétrica e multimodal a Média Artimética e a Mediana são iguais e coincidem apenas como uma das modas. 19 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br RESUMINDO • Se a série possui n elementos teremos: a) Se n for ímpar, existe um termo central no rol e este termo central do rol será justamente a mediana, que será calculada como sendo o termo de ordem 2 1n + do rol. b) Se n for par, existem dos termos centrais no rol, e a mediana será a média aritmética entre esses termos centrais, que será calculado como sendo a média aritmética entre os termos de ordem 1 2 n e 2 n + Portanto no exemplo 26, temos n = 9 (ímpar), logo, a mediana será o 5º termo do rol ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1n , isto é, Md = 5º termo do rol = 8. No exemplo 27, termos n = 8 (par), logo a mediana será a média aritmética entre o 4º e 5º termo do rol º 1 2 n e º 2 n ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 5,6 2 76 Md =+= 5.2. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS 5.2.1. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR VALOR Vamos ver esta situação através de um exemplo. Exemplo 28 Nº DE APROVADOS EM UM CONCURSO, POR NOTAS NOTA APROVADOS 6 10 7 15 8 2 9 14 10 10 TOTAL 51 Seja N a freqüência total ∑= ifN , portanto N = 51 apro- vados, isto é, existem 51 dados, como 51 é ímpar existe um termo central, que é o termo de ordem ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1N 26 , no rol. Para ser fácil a identificação dele vamos construir a freqüência acumulada crescente. Nota freqüência freq. Acum. 6 10 10 7 15 25 8 2 27 9 14 41 10 10 51 TOTAL 51 X Observamos então, na coluna de freqüência acumulada, que o 26º elemento do rol é 8, logo Md = 8. Se a freqüência total (N) fosse par, procederíamos da se- guinte forma, Exemplo 29 Nº de aprovados em um concurso, por nota Nota Aprovados 6 10 7 15 8 1 9 14 10 10 TOTAL 50 Como a freqüência total (N) é 50, existem dois termos cen- trais (25º e 26º), logo construindo a freqüência acumulada teríamos. Nota freqüência freq. Acum. 6 10 10 7 15 25 8 1 26 9 14 40 10 10 50 TOTAL 50 X Logo, a mediana será a média aritmética entre os termos de ordem 7,5 = Md 2 8+7 = Md é, isto ,1 2 N 26º e 2 N 25º ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 20 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br 5.2.2. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE Quando temos os dados agrupados em uma distribuição de freqüência por classe, teremos que determinar qual será o ponto do intervalo de classe em que está compreendida a mediana. Logo, precisamos achar qual a classe que con- tém a mediana. Evidentemente a classe que contém a mediana será a que corresponde a freqüência acumulada imediatamente su- perior a ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 N . Tudo que foi dito acima está considerado na fórmula abaixo: *f *hF– 2 N *Md AC.ANT ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += il Onde: li*– é o limite inferior da classe que contém a mediana h* – o intervalo da classe que contém a mediana f* – a freqüência absoluta da classe que contém a mediana N – Freqüência total FAC ANT. – Freqüência acumulada crescente anterior à classe que contém a mediana. Exemplo 30 Considerando o exemplo 13 Altura (Cm) Indivíduo (fi) 150 160 5 160 170 10 170 180 20 180 190 10 190 200 5 TOTAL 50 Primeiramente precisamos fazer a freqüência acumulada crescente. Alturas (Cm) Ìndivíduo (fi) Freq. Acum. 150 160 5 5 160 170 10 15 170 180 20 35 180 190 10 45 190 200 5 50 TOTAL 50 X Daí, N = 50 \\\\\ 25 2 N = , então a classe que contém a mediana será a classe 170 180, logo, li* = 170 h* = 10 f* = 20 15F ANT.AC = [ ] cm 175Md =∴+= ⋅ +=→ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += ⋅ 5170Md 20 1015–25 170Md *f F– 2 N Md ANTAC* il Exemplo 31 Considerando os dados do exemplo 14 temos: Salários minímos (SM) Funcionários 0 |—––– 2 20 2 |—––– 4 40 4 |—––– 6 20 6 |—––– 8 15 8 |—––– 10 5 TOTAL 100 Primeiramente precisamos fazer a freqüência acumulada crescente Salários minímos (SM) Funcionários Freq. Acum. 0 |—––– 2 20 20 2 |—––– 4 40 60 4 |—––– 6 20 80 6 |—––– 8 15 95 8 |—––– 10 5 100 TOTAL 100 X Daí, N =100 50 2 N =∴ , e então a classe que contém a mediana será a classe 2 4, logo, li* = 2 h* = 2 f* = 40 20F ANT.AC = [ ] mínimos salários 3,5Md =∴+= ⋅ += ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += 40 60 2Md 40 2 20–50 2Md *f *hF– 2 N Md AC.ANT* il 21 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br 5.3. RELAÇÃO ENTRE A MÉDIA ARITMÉTICA, MEDIANA E MODA Quando a distribuição for unimodal, isto é, a moda for úni- ca teremos a seguinte situação. a) DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA MoMdX == Isto é, SE A DISTRIBUIÇÃO É SIMÉTRICA E UNIMODAL ENTÃO: MoMdX == b) DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA NEGATIVA MoMdX << Isto é, SE A DISTRIBUIÇÃO É ASSIMÉTRICA NEGATIVA E UNIMODAL ENTÃO: MoMdX << c) DISTRIBUIÇÃO É ASSIMÉTRICA POSITIVA XMdMo << Isto é, SE A DISTRIBUIÇÃO É ASSIMÉTRICA POSITIVA E UNIMODAL ENTÃO: XMdMo << Capítulo 6 SEPARATRIZES 6.1. QUARTIS (Q) Chamamos de quartis os valores que dividem a distribui- ção em quatro partes iguais. Logo, teremos três quartis: Primeiro quartil ( Q1 ) será o valor que terá 25% dos da- dos à sua esquerda e 75% dos dados à sua direita. Segundo quartil ( Q2 ) será o valor que terá 50% dos dados à sua esquerda e 50% dos dados à sua direita. Por- tanto o segundo quartil é a própria mediana. Terceiro quartil ( Q3 ) será o valor que terá 75% dos da- dos à sua esquerda e 25% dos dados à sua direita logo. Para calcular os quartil, basta, na fórmula da mediana, substituir o 2 N por 4 NK *f *hF– 4 KN Q AC.ANT K ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += *il onde K = 1, 2, 3, daí teremos: * * * * * * * i * i * i f hF– 4 3N Q f hF– 2 N Q f hF– 4 N Q AC.ANT 3 AC.ANT 2 AC.ANT 1 ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += l l l 25% 25% 25% 25% Q 1 Q 2 Q 3 22 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Exemplo 32 Considerando os dados do exemplo 14 Salários minímos (SM) Funcionários Freq. Acum. 0 2 20 20 2 4 40 60 4 6 20 80 6 8 15 95 8 10 5100 TOTAL 100 X Cálculo do primeiro quartil (Q1): .25 4 100 4 KN 1K ==∴= Logo, a classe que contém o primeiro quartil será a classe 2 4. daí, li* = 2 h* = 2 f* = 40 20F ANT.AC = [ ] 40 2 20–25 2Q f hF– 4 N Q 1 ANT.AC 1 ⋅ += ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += * * * il Q1 = 2 + 0,25 \ \ \ \ \ Q1 = 2,25 salários mínimos Cálculo do segundo quartil (Q2) 50 2 100 2 N 2K ==∴= Logo, a classe que contém o primeiro quartil será a classe 2 4. daí, li* = 2 h* = 2 f* = 40 20F ANT.AC = [ ] 40 2 20–50 2Q f hF– 2 N Q 2 ANT.AC 2 ⋅ += ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += * * * il Q2 = 2 + 1,5 \ \ \ \ \ Q2 = 3,5 salários mínimos Cálculo do terceiro quartil (Q3) 75 4 1003 4 KN 3K =×=∴= logo, a classe que contém o terceiro quartil será a classe 4 6. daí, li* = 4 h* = 2 f* = 20 20F ANT.AC = [ ] 20 30 4Q 20 260–75 4Q f hF– 4 N3 Q 3 3 ANT.AC 3 += ⋅ += ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += * * * il Q3 = 4 + 1,5 Q3 = 5,5 salários mínimos Obs.: A Mediana será sempre igual ao 2º quartil. 6.2. DECIS (D) Chamamos de decis os valores que dividem a distribuição em dez partes iguais. Logo, teremos nove decis: O primeiro decil ( D1 ) será o valor que terá 10% dos dados à sua esquerda e 90% dos dados à sua direita. O segundo decil ( D2 ) será o valor que terá 20% dos da- dos à sua esquerda e 80% dos dados à sua direita. O terceiro decil ( D3 ) será o valor que terá 30% dos dados à sua esquerda e 70% dos dados à sua direita e assim por diante até ... Nono decil ( D9 ) será o valor que terá 90% dos dados à sua esquerda e 10% dos dados à sua direita. obs: Note que o quinto decil ( D5 ), pela definição, coincide com a mediana. logo: *f *hF– 10 KN D AC.ANT K ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += *il Para calcular os decis basta substituir na fórmula da medi- ana o 2 N por 10 KN . 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 23 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Exemplo 33 Salários minímos (SM) Funcionários Freq. Acum. 0 2 20 20 2 4 40 60 4 6 20 80 6 8 15 95 8 10 5 100 TOTAL 100 X Calcular o nono decil ( D9 ) 90= 10 1009 = 10 KN 9K ×∴= Logo, a classe que contém o nono decil será a classe 6 8, daí: li* = 6 h* = 2 f* = 15 80F ANT.AC = [ ] 15 20 6D 15 2 80–90 6D f hF– 10 N9 D 99 ANT.AC 9 +=∴ ⋅ += ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += * * * il D9 = 6 + 1,33 \\\\\ D9 = 7,33 salários mínimos Obs.: A Mediana será sempre igual ao 5º decil. 6.3. PERCENTIS (P) Chamamos de percentis os valores que dividem a distri- buição em cem partes iguais. Logo, teremos noventa e nove percentis: O primeiro percentil (P1) será o valor que terá 1% dos da- dos à sua esquerda e 99% dos dados à sua direita. O segundo percentil (P2) será o valor que terá 2% dos da- dos à sua esquerda e 98% dos dados à sua direita. E assim por diante até o Nonagésimo nono percentil (P99) que será o valor que terá 99% dos dados à sua esquerda e 1% dos dados à sua direita. Obs: Note que o quinquagésimo percentil (P50), pela defi- nição, coincide com a mediana. Logo: Para calcular o percentil basta substituir na fórmula da mediana o 2 N por 100 KN *f hF– 100 KN P * AC.ANT K ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += *il Exemplo 34 Salários minímos (SM) Funcionários Freq. Acum. 0 2 20 20 2 4 40 60 4 6 20 80 6 8 15 95 8 10 5 100 TOTAL 100 X Vamos calcular, por exemplo, o qüinquagésimo quinto percentil ( P55 ) 55 100 10055 100 KN 55K =×=∴= Logo, a classe que contém o qüinquagésimo quinto percentil será a classe 2 4, daí: li* = 2 h* = 2 f* = 40 20F ANT.AC = [ ] 75,12P 40 70 2P 40 220–55 2P f hF– 100 N55 P 5555 55 .ANT.AC 55 +=∴+= ⋅ += ⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += * * * il P55= 3,75 salários mínimos 1% 1% 1% 1% 1% 1% P 1 P 2 P 3 P 4 P 8 P 99 Obs.: A Mediana será sempre igual 50º percentil. Portanto: MdPDQ 5052 === 24 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Capítulo 7 OUTRAS MÉDIAS 7.1. MÉDIA GEOMÉTRICA (G) 7.1.1. MÉDIA GEOMÉTRICA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS Sejam X1, X2, X3, ..., Xn dados não agrupados, então a média geométrica será n n321 XXXX G LL⋅⋅⋅= Exemplo 1 Calcular a média geométrica dos dados: 2, 8, 4, 16, 1. 4=G 2G 2 =G 22222 =G 116482 G 2 5 10 5 04231 5 ∴= ∴⋅⋅⋅⋅ ∴⋅⋅⋅⋅= Exemplo 2 Calcular a média geométrica de 2,6,8. 33 96 =G 862 G →⋅⋅= \ G = 4,5 Observe que é necessário o uso de máquina de calcular. 7.1.2. MÉDIA GEOMÉTRICA PARA DADOS AGRUPADOS N K21 K21 fff XXX G LL⋅⋅= Exemplo 3 Calcular a média geométrica Xi fi if i X 1 2 1 2 4 16 3 5 243 4 6 4.096 TOTAL 17 2,65G =∴= ⋅⋅⋅= 15925248 G 4096243161 G 17 17 7.2. MÉDIA HARMÔNICA (H) É o inverso da média aritmética dos inversos dos dados. 7.2.1. MÉDIA HARMÔNICA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS Sejam X1, X2, X3, ........., Xn, dados não agrupados. Então a média hamônica será: ∑ = = n 1i i X 1 n H Exemplo 4 Calcule a média harmônica dos dados: 2, 3, 4, 1. 1,92=H 25 124 H 12 12+3+4+6 4 =H 1 4 1 3 1 2 1 4 H ∴×= ∴ +++ = 7.2.2. MÉDIA HARMÔNICA PARA DADOS AGRUPADOS ∑ = = K 1i i i X f N H Exemplo 5 Xi fi iX 1 i i X f 1 2 1 2 2 4 0,5 2 3 6 0,33 2 4 5 0,25 1,25 TOTAL 17 7,25 2,34H =∴=→= ∑ 25,7 17 H X f N H i i Observação importante: XGH ≤≤ 25 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Capítulo 8 MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 8.1. DISPERSÃO OU VARIABILIDADE Já aprendemos que um conjunto de dados pode ser resu- mido a alguns parâmetros de posição, como: a média arit- mética, a mediana e a moda, que através de suas caracte- rísticas resumem informações importantes sobre todo o conjunto. Porém não é o bastante para as medidas de posições, representarem os dados, pois faltaria a idéia de concen- tração (grau de homogeneidade ou heterogeneidade) que existem entre os dados do conjunto. Por exemplo: X: 10, 10, 10, 10, 10 Y: 8, 9, 10, 11, 12 Z: 2, 3, 10, 15, 20 observamos que as médias X, Y e Z são X = 10 , Y = 10 , Z = 10 Notamos então, que apesar das três variáveis X, Y, Z terem a mesma média aritmética, o conjunto X é o mais homogê- neo, pois todos os valores são iguais a 10. Prosseguindo então, o conjunto Y é mais heterogêneo que o X, isto é, os dados do conjunto Y são mais dispersos (tem maior disper- são ou variabilidade) que os dados da variável X. Daí, temos que, a dispersão de Z é maior que a dispersão de Y, que é mais disperso que X. Outro exemplo característico é aquele em que dois indiví- duos saem para jantar e, um deles come um leitão inteiro e o outro não come nada. Em média os dois comeram a metade do leitão, cada um. Observe que nesse caso a média aritmética não caracteriza, sozinha a situação, pois a dispersão nesta situação é alta. Sendo assim os dois indivíduos morreriam, um de fome e outro de indigestão. Concluímos então que para caracterizar os dados precisa- mos simultaneamente das medidas de posição e das me- didas de dispersão que estudaremos a seguir. 8.2. AMPLITUDE TOTAL 8.2.1. DADOS NÃO AGRUPADOS Chamamos de amplitude total (AT) a diferença entre o maior e menor valor dos dados AT = XMAX – XMIN Exemplos: a) X: 10, 10, 10, 10, 10 AT = 10 - 10 AT = 0 (Dispersão nula) b) Y: 8, 9, 10, 11, 12 AT = 12 - 8 AT = 4 c) Z: 2, 3, 10, 15, 20 AT = 20 - 2 AT = 18 Observamos, então, que a maior dispersão é da variável Z (AT = 18), e a menor dispersão é da variável X (AT = 0). 8.2.2. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA.AT = XMax – XMin Exemplo: Xi fi 0 5 1 8 2 10 3 15 4 20 AT = 4 – 0 AT = 4 8.2.3. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE A amplitude total é a diferença entre o maior limite superior e o menor limite inferior. AT = LMAX– lMIN Exemplo: Classes Freq. 0 2 10 2 4 20 4 6 30 6 8 40 AT = 8 – 0 AT = 8 OBS: A amplitude total não é uma medida conveniente de dispersão, pois considera somente os valores extremos da distribuição. Portanto sua aplicação é limitada. 26 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br 8.3. VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO No tópico anterior vimos que a amplitude total sofre influ- ência apenas dos valores extremos, por isso procuramos uma medida de dispersão que considere todos os dados. A variância é uma medida de dispersão que considera o quadrado dos desvios em torno da média aritmética. Assim teremos: ( ) n X–X n 1i 2 i 2σ ∑ = = Isto é, A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios em torno da média aritmética. Obs: a) É fácil mostrar que: ( ) ∑∑ == = n 1i 22 i n 1i 2 i Xn–XX–X Portanto podemos escrever a variância como: 2 n 1i 2 2 X– n iX σ ∑ = = Fórmula prática b) Quando queremos estimar a variância através de uma amostra, consideramos como estimador não tendenci- oso da variância a estatística ( ) 1–n X–X S n 1i 2 1 2 ∑ = = É fácil observar que se a variância considera o quadrado dos desvios em torno da média, a sua unidade é o quadra- do da unidade original. Por isso, se criou a medida chamada de desvio padrão (σ), como sendo a raiz quadrada do desvio padrão. ( ) 2 n 1i 2 n 1=i 2 i X– n X n X–X σσ ∑∑ = == ou PROPRIEDADES a) Quando somamos (ou subtraímos) a todos os nossos dados uma constante (k), a variância não se altera, continua a mesma. b) Quando somamos (ou subtraímos) a todos os nossos dados uma constante (K), o desvio padrão não se alte- ra, continua o mesmo. c) Quando multiplicamos (ou dividimos) todos os nossos dados por uma constante (k), a nova variância se alte- ra, fica multiplicada (ou dividida) pelo quadrado da cons- tante. d) Quando multiplicamos (ou dividimos) todos os nossos dados por uma constante (K), o novo desvio padrão se altera, fica multiplicado (ou dividido) pelo valor absolu- to da constante. 8.3.1. PARA DADOS NÃO AGRUPADOS ( ) ( ) ( ) )(4 X– n X = ou (3) n X–X (2) X– n X ou (1) n X–X 2 n 1i 2 i n 1=i 2 i 2 n 1i 2 i 2 n 1i 2 i 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ σ =σ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =σ =σ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = σ σ PADRÃO DESVIO VARIÂNCIA 2 27 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Exemplo: Vamos aplicar as duas fórmulas para exemplificar. Seja a variável X: 0, 2, 4, 6, 8 Pela fórmula 1 X: 0, 2, 4, 6, 8 desvios: -4, -2, 0, 2, 4 desvio quadrado: 16, 4, 0, 4, 16 ( ) 82σ =∴= ++++== σ σ ∑ = 5 40 5 1640416 n X –X 2 n 1 i 2 i 2 Pela fórmula 2 Xi Xi 2 0 0 2 4 4 16 6 36 8 64 20 120 8σ2 =∴=σ =σ =σ === ∑ ∑ = 16–24 4– 5 120 X– n X 4 5 20 n X X 2 22 2 n 1i 2 i 2 1 Logo, vimos que a variância (σ2 ) é 8. Para calcular o desvio padrão basta saber que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, daí 2,83=σ 8 ∴=σ 8.3.2. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA VARIÂNCIA (σ2 ) ( ) 2 n 1i i 2 i 2 n 1i i 2 i 2 X– N fX N fX–X σ σ ∑ ∑ = = = ⋅ = ou Onde ∑= ifN (Freqüência Total) Exemplo: Xi fi 0 10 2 20 4 40 6 20 8 10 Total 100 Vamos calcular a variância usando as duas fórmulas, para exemplificar 1ª solução: – Primeiramente calculamos a média aritmética. Xi fi fiXi 0 10 0 2 20 40 4 40 160 6 20 120 8 10 80 Total 100 400 4X =∴== ∑ 100 400 N fX X ii ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ++++= → 4X 5 20 X 5 86420 X 28 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br 8.3.3. PARA DADOS AGRUPADOS EM UMA DIS- TRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSE VARIÂNCIA ( )σ2 ( ) 2 n 1i i 2 i 2 n 1i i 2 i 2 X– N fX N fX–X σ σ ∑ ∑ = = = ⋅ = ou onde: ∑= ifN — (Freqüência Total) Xi — ponto médio da i-ésima classe Exemplo: Considere as alturas de 50 alunos de uma turma, confor- me a distribuição abaixo: Alturas (cm) Alunos 150 160 5 160 170 10 170 180 20 180 190 10 190 200 5 Total 50 Para exemplificar vamos resolver pelas duas fórmulas. Primeiramente vamos calcular a média aritmética. Alturas Alunos Xi Xi fi 150 160 5 155 775 160 170 10 165 1650 170 180 20 175 3500 180 190 10 185 1850 190 200 5 195 975 Total 50 8750 cm 175X =∴== ∑ 50 8750 N fX X ii Prosseguimos, no cálculo dos desvios e seus quadrados Xi fi X–Xi ( )2i X–X ( ) i2i fX–X 0 10 –4 16 160 2 20 –2 4 80 4 40 0 0 0 6 20 2 4 80 8 10 4 16 160 Total 100 480 ( ) 4,8σ 2 =∴=σ→ ⋅ =σ ∑ = 100 480 N fX–X 2 n 1i i 2 i 2 2ª solução: Como já calculamos a média aritmética, temos: Xi if 2 iX i 2 i fX 0 10 0 0 2 20 4 80 4 40 16 640 6 20 36 720 8 10 64 640 Total 100 2080 ( ) 4,8σ 2 =∴=σ =σ→=σ ∑ = 16–8,20 4– 100 2080 X– N fX 2 222 n 1i i 2 i 2 Para o cálculo do desvio padrão temos: ( ) 2 n 1i i 2 i n 1i i 2 i X– N fX σ N fX–X σ ∑ ∑ = = = ⋅ = ou Para calcular o desvio padrão basta achar a raiz quadrada da variância 2,19σ =∴= 4,8σ 29 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br 1ª solução: Prosseguimos no cálculo dos desvios e seus quadrados. Altura (cm) Alunos Xi ( ) ( ) i 2 i 2 ii fX–XX–X X–X 150 160 5 155 –20 400 2000 160 170 10 165 –10 100 1000 170 180 20 175 0 0 0 180 190 10 185 10 100 1000 190 200 5 195 20 400 2000 Total 50 6000 ( ) cm 120σ 2 =∴==σ ∑ = 50 6000 N fX–X n 1i i 2 i 2 2ª solução: Altura (cm) Alunos Xi 2 iX i 2 i fX 150 160 5 155 24.025 120.125 160 170 10 165 27.225 272.250 170 180 20 175 30.625 612.500 180 190 10 185 34.225 342.250 190 200 5 195 38.025 190.125 Total 50 1.537.250 ( ) cm 120σ 2 =∴=σ =σ→=σ ∑ 625.30–745.30 175– 50 250.537.1 X– N fX 2 222i 2 i2 Para o cálculo do desvio padrão temos: ( ) 2 n 1i i 2 i n 11 i 2 i X– N fX σ N fX–X σ ∑ ∑ = = = ⋅ = ou Mas para calcular o desvio padrão basta achar a raiz qua- drada da variância. cm 10,95σ =∴=σ 120 8.3.4. PROCESSO BREVE PARA CÁLCULOS DO DESVIO PADRÃO Analogamente ao cálculo do processo breve para a média aritmética, mudamos a variáveis x por y tal que h X–X y oi = onde: Xo – é um valor arbitrário h – intervalo de classe No exemplo anterior teríamos: h = 10 Xo = 175cm Alturas (cm) Alunos Xi Yi 2 ii 2 iii YfYYf 150 160 5 155 –2 –10 4 20 160 170 10 165 –1 –10 1 10 170 180 20 175 0 0 0 0 180 190 10 185 1 10 1 10 190 200 5 195 2 10 4 20 Total 50 0 60 cm 10,95σ =∴=σ =σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =σ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =σ ∑∑ == 20,110 50 60 10 50 0 – 50 60 10 N Yf – N Yf h 2 2 n 1i ii n 1i 2 ii 30 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Anotações: 31 DISCIPLINA:ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br TESTE 1 Calcule a Média Aritmética dos números: 5, 9, 7, 1, 3. a) 5 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8 TESTE 2 Calcule a Média Aritmética dos números: 8, 2, 4, 6, 0. a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 TESTE 3 Calcule a Média Aritmética dos números: 17, 15, 1, 3, 7, 6, 8, 11, 13. a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 TESTE 4 Calcule a Média Geométrica dos números: 1, 3, 6, 72. a) 6 b) 5 c) 3 d) 7 e) 4 TESTE 5 Calcule a Média Geométrica dos números: 25, 1, 5, 125, 1, 1. a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 25 TESTE 6 Calcule a Média Geométrica dos números: 1, 9, 1, 3, 27, 9,3, 3, 1, 1. a) 9 b) 1 c) 3 d) 6 e) 8 TESTE 7 Calcule a Média Harmônica dos números: 2, 4, 6, 8. a) 3,84 b) 3,48 c) 4,83 d) 4,38 e) 8,43 TESTE 8 Calcule a Média Geométrica dos números: 2, 4, 6, 8. a) 4,42 b) 4,78 c) 5,00 d) 6,0 e) 5,52 TESTE 9 Calcule a Média Aritmética dos números: 2, 4, 6, 8. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 TESTE 10 Os intervalos de classe podem ser apresentados de várias maneiras. Dentre situações abaixo, a correta é: a) 2 — 6 compreende todos os valores entre 2 e 6, inclusive os extremos. b) 2 I—I 6 compreende todos os valores entre 2 e 6, exclusive os extremos. c) 2 I— 6 compreende todos os valores entre 2 e 6, exclusive o 2 e inclusive o 6. d) 2 —I 6 compreende todos os valores entre 2 e 6, inclusive o 2 e exclusive o 6. e) 2 — 6 compreende todos os valores entre 2 e 6, exclusive os extremos. CAPÍTULO 9 - TESTES DE ESTATÍSTICA 32 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br Considere a distribuição de freqüência transcrita a seguir para responder às questões 11 e 12. Peso Freqüência simples (kg) Absoluta 2 I— 4 9 4 I— 6 12 6 I— 8 6 8 I— 10 2 10 I— 12 1 TESTE 11 a) 65% das observações têm peso não inferior a 4 kg e inferior a 10 kg. b) Mais de 65% das observações têm peso maior ou igual a 4 kg. c) Menos de 20 observações têm peso igual ou superior a 4 kg. d) A soma dos pontos médios dos intervalos de classe é inferior ao tamanho da população. e) 8% das observações tem peso no intervalo de classe 8 I—— 10. TESTE 12 A Média Aritmética da distribuição é igual a: a) 5,27 kg b) 5,24kg c) 5,21 kg d) 5,19 kg e) 5,30 kg Considere a distribuição de freqüência transcrita a seguir para responder às questões 13 e 14. Diâmetro Freqüência simples (cm) Absoluta 4 I— 6 6 6 I— 8 8 8 I— 10 12 10 I— 12 10 12 I— 14 4 TESTE 13 a) A soma dos pontos médios dos intervalos de classe é inferior à soma das freqüências absolutas simples. b) 28% das observações estão no quarto intervalo de classe. c) Manos de 25 observações têm diâmetro abaixo de 10 cm. d) Mais de 85% das observações têm diâmetro não inferior a 6 cm. e) 75% das observações estão no intervalo 6 I—— 12. TESTE 14 A Média Aritmética da distribuição é igual a: a) 9,00 cm b) 8,80 cm c) 8,70 cm d) 8,90 cm e) 9,15 cm TESTE 15 Calcule a mediana : 4, 12, 10, 3, 15, 5, 14, 8, 7 TESTE 16 Calcule a mediana : 6, 4, 10, 5, 12, 3, 20, 7 TESTE 17 Calcule a mediana Nº DE APROVADOS EM UM CONCURSO, POR NOTAS NOTA APROVADOS 6 10 7 15 8 2 9 14 10 10 TOTAL 51 33 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br TESTE 18 Calcule a mediana Nº de aprovados em um concurso, por nota Nota Aprovados 6 10 7 15 8 1 9 14 10 10 TOTAL 50 TESTE 19 Calcule a mediana Altura (Cm) Indivíduo (fi) 150 |—– 160 5 160 |—– 170 10 170 |—– 180 20 180 |—– 190 10 190 |—– 200 5 TOTAL 50 TESTE 20 Calcule a mediana Salários minímos (SM) Funcionários 0 |—––– 2 20 2 |—––– 4 40 4 |—––– 6 20 6 |—––– 8 15 8 |—––– 10 5 TOTAL 100 TESTE 21 Calcule a média aritmética da distribuição abaixo: Xi freq. 10 5 11 8 12 10 13 6 Total 29 a) 11,58 b) 11,00 c) 12,58 d) 12,00 e) 12,99 TESTE 22 Seja a tabela abaixo: IDADE FREQ. ACUMULADA 1 10 2 15 3 25 4 40 5 50 Calcule a média aritmética: a) 3,75 b) 3,25 c) 3,00 d) 3,20 e) 2,80 TESTE 23 Calcule a média aritmética CLASSES FREQÜÊNCIA 0|—– 2 10 2|—– 4 20 4|—– 6 40 6|—– 8 20 8|—– 10 10 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) NRA TESTE 24 O depósito em caderneta da poupança no mês de março de 2002 de 600 clientes de um banco encontra- se na tabela abaixo: DEPÓSITO EM R$ 1.000,00 Nº DE CLIENTES 0 |—– 10 100 10 |—– 20 120 20 |—– 30 80 30 |—– 40 70 40 |—– 50 60 50 |—– 60 50 60 |—– 70 40 70 ou mais 80 A porcentagem dos que depositaram R$ 30.000,00 ou mais é: a) 50% b) 70% c) 60% d)30% e)80% 34 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br TESTE 25 Calcule a mediana da distribuição abaixo: Xi fi 2 15 4 10 6 40 8 10 10 20 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 TESTE 26 Calcule a mediana da distribuição abaixo: Xi fi 2 20 4 10 6 40 8 10 10 20 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 TESTE 27 Calcule a mediana da distribuição abaixo: CLASSE FREQÜÊNCIA 0|—– 2 10 2|—– 4 20 4|—– 6 30 6|—– 8 20 8|—– 10 10 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 TESTE 28 Calcule a mediana da distribuição abaixo: CLASSE FREQÜÊNCIA 0|—– 1 7 1|—– 2 9 2|—– 3 12 3|—– 4 16 4|—– 5 14 5|—– 6 15 6|—– 7 11 7|—– 8 8 8|—– 9 5 9|—– 10 3 Total 100 a) 4, 42 b) 3, 44 c) 4, 69 d) 3, 21 e) NRA TESTE 29 A fim de implementar um projeto de instalação de parques infantis em uma certa região de uma cidade, foi selecionada uma amostra de 50 quadras das 300 existentes na região. A distribuição da amostra é apresentada a seguir: Nº DE CASAS Nº DE QUADRAS 0|—– 20 7 20|—–40 20 40|—–60 11 60|—–80 7 80|—– 100 5 Total 50 A instalação dos parques deve ser iniciada pelas quadras mais populosas. Por limitação de verbas, decidiu-se beneficiar somente as 50% mais populosas. O número mínimo de casas que a quadra deverá ter para ser beneficiada com a instalação de um parque infantil é: a) 25 b) 30 c) 32 d) 35 e) 38 35 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br TESTE 30 A tabela abaixo representa os salários pagos a 200 funcionários de uma empresa. Nº de Salários Mínimos Nº de Funcionários 0 |¾ 2 80 2 |¾ 4 60 4 |¾ 6 20 6 |¾ 8 30 8 |¾ 10 10 Total 200 Calcule: a) O salário médio dos funcionários. b) O salário mediano dos funcionários c) A moda bruta d) A moda de czuber e) A moda de King TESTE 31 Seja a distribuição de estatura de 300 alunos de uma turma. Estaturas(cm) Alunos 130 |¾ 140 40 140 |¾ 150 60 150 |¾ 160 100 160 |¾ 170 60 170 |¾ 180 40 Total 300 Calcule: a) A moda bruta b) A moda de Czuber c) A moda de king TESTE 32 Seja a distribuição de estatura de 400 alunos de uma turma. Estaturas(cm) Alunos 140 |¾ 150 80 150 |¾ 160 60 160 |¾ 170 120 170 |¾ 180 80 180 |¾ 190 60 Total 400 Calcule: a) A moda bruta b) A moda de Czuber c) O primeiro quartil d) O segundo quartil e) O terceiro quartil TESTE 33 A tabela abaixo representa os salários pagos a 20 funcionários de uma empresa. Nº de Salários Mínimos Nº de Funcionários 0 |¾ 10 8 10 |¾ 20 6 20 |¾ 30 2 30 |¾ 40 3 40 |¾ 50 1 Total 20 Calcule: a) O primeiro quartil. b) O segundo quartil. c) O terceiro quartil. d) O quarto decil. e) O quinto decil. f) O nono decil. TESTE 34 Seja a distribuição de estatura de 300 alunos de uma turma.Estaturas(cm) Alunos 130 |¾ 140 40 140 |¾ 150 60 150 |¾ 160 100 160 |¾ 170 60 170 |¾ 180 40 Total 300 Calcule: a) O oitavo percentil. b) O 45º percentil. c) O 50º percentil. TESTE 35 Seja a distribuição de estatura de 400 alunos de uma turma. Estaturas(cm) Alunos 140 |¾ 150 80 150 |¾ 160 60 160 |¾ 170 120 170 |¾ 180 80 180 |¾ 190 60 Total 400 Calcule: a) A média aritmética. b) O desvio médio. c) A variância. d) O desvio padrão 36 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br TESTE 36 A tabela abaixo representa os salários pagos a 20 funcionários de uma empresa. Nº de Salários Mínimos Nº de Funcionários 0 |¾ 10 8 10 |¾ 20 6 20 |¾ 30 2 30 |¾ 40 3 40 |¾ 50 1 Total 20 Calcule: a) A média aritmética. b) O desvio médio. c) A variância. d) O desvio padrão. TESTE 37 Seja a distribuição de estatura de 40 alunos de uma turma. Estaturas(cm) Alunos 140 |¾ 150 8 150 |¾ 160 6 160 |¾ 170 12 170 |¾ 180 6 180 |¾ 190 8 Total 40 Calcule: a) A média aritmética b) A mediana c) A moda bruta d) A moda de Czuber e) O 2º quartil f) O 5º decil g) O 50º percentil h) A variância i) O desvio padrão TESTE 38 (AFRF-2003) As realizações anuais X i dos salários anuais de uma firma com N empregados produziram as estatísticas 00,300.14$RX N 1 X N 1i i =∑= = ( ) 00,200.1$RXX N 1 S 5,0N 1i 2 i =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∑ −= = Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo [R$ 12.500,00; R$ 16.100,00]. Assinale a opção correta. a) P é no máximo 1/2 b) P é no máximo 1/1,5 c) P é no mínimo 1/2 d) P é no máximo 1/2,25 e) P é no máximo 1/20 TESTE 39 (INSS- ESAF) Sejam X 1 ,X 2, X 3,........ X n observações de um atributo X. Sejam: ∑ = = n 1i iXX e 2 n 1i i 2 )XX( n 1 S ∑ = −= Assinale a opção correta: a) Pelo menos 95% das observações de X diferem de X em valor absoluto por menos que 2S. b) Pelo menos 99% das observações de X diferem de em valor absoluto por menos que 2S. c) Pelo menos 75% das observações de X diferem de em valor absoluto por menos que 2S. d) Pelo menos 80% das observações de X diferem de em valor absoluto por menos que 2S. e) Pelo menos 90% das observações de X diferem de em valor absoluto por menos que 2S. TESTE 40 (SUSEP-ESAF) Seja X uma variável aleatória com valor esperado µ e desvio padrão . Pode-se afirmar que: a) Pelo menos 75% das observações de X pertencerão ao intervalo . b) Pelo menos 80% das observações de X pertencerão ao intervalo [ ]σ+µσ−µ 2;2 . c) Pelo menos 90% das observações de X pertencerão ao intervalo [ ]σ+µσ−µ 2;2 . d) Pelo menos 95% das observações de X pertencerão ao intervalo [ ]σ+µσ−µ 2;2 . e) a) Apenas com o conhecimento de µ e não é possível fazer afirmação sobre o percentual de realizações de X que cairão no intervalo . X X X X 37 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br TESTE 41 (AFRF-2000-ESAF) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a receber, representadas generica-mente por X, foram determinadas a média amostral M =100 e o desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X. a) 3,0 % b) 9,3 % c) 17,0 % d) 17,3 % e) 10,0 % TESTE 42 (AFRF-2000-ESAF)Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ... , Xn com média aritmética M e variância S2, onde M = (X1 + ... + Xn )/ n e S2 = (1/ n) SSSSSiiiii ( Xi – M )2 Seja ? a proporção dessas mensurações que diferem de M, em valor absoluto, por pelo menos 2S. Assinale a opção correta. a) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar qqqqq exatamente, mas sabe-se que .25,0 θ≥ b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar qqqqq exatamente, na realidade tem-se qqqqq = 5% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar qqqqq exatamente, na realidade tem-se qqqqq = 95% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar qqqqq exatamente, na realidade tem-se qqqqq = 30% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. e) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar? qqqqq exatamente, na realidade tem-se qqqqq = 15% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn. TESTE 43 Seja a distribuição de estatura de 30 alunos de uma turma. Estaturas(cm) Alunos 10 |¾ 20 4 20 |¾ 30 6 30 |¾ 40 10 40 |¾ 50 6 50 |¾ 60 4 Total 30 Calcule: a) A variância b) O primeiro coeficiente de assimetria de Pearson. c) O segundo coeficiente de assimetria de Pearson d) O coeficiente de assimetria quartílico e) O coeficiente de assimetria percentílico TESTE 44 Seja a distribuição de estatura de 50 alunos de uma turma. Estaturas(cm) Alunos 0 |¾ 10 6 10 |¾ 20 4 20 |¾ 30 30 30 |¾ 40 6 40 |¾ 50 4 Total 50 Calcule: a) A variância b) O primeiro coeficiente de assimetria de Pearson. c) O segundo coeficiente de assimetria de Pearson d) O coeficiente de assimetria quartílico e) O coeficiente de assimetria percentílico TESTE 45 (TCU-93) Com base na tabela de freqüência acumulada de salários abaixo, assinale a opção incorreta. Salários Frequência em reais Acumulada abaixo de 50000 0 abaixo de 60000 25 abaixo de 70000 45 abaixo de 80000 65 abaixo de 90000 80 abaixo de 100000 90 abaixo de 110000 95 abaixo de 120000 100 a) Apenas 5 funcionários ganham salários iguais ou superiores a R$ 110.000,00. b) Um quarto dos funcionários ganham menos de R$ 60.000,00. c) 70% dos funcionários ganham mais de R$ 60.000,00 e menos de R$ 80.000,00. d) O nono decil é maior ou igual a R$ 100.000,00. e) Mais da metade dos funcionários ganham menos de R$ 80.000,00. 38 DISCIPLINA: ESTATÍSTICA PROFESSOR: JOSELIAS SANTOS DA SILVA - joselias@uol.com.br TESTE 46 Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 Os valores seguintes foram calculados para a amostra: åi Xi = 490 e å i Xi 2 – ( å i Xi ) 2 / 50 = 668 Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente (com aproximação de uma casa decimal) a) (9,0 14,0) b) (9,5 14,0) c) (9,0 13,6) d) (8,0 13,6) e) (8,0 15,0) TESTE 47 Considere os preços e quantidades dos bens durante o período de 2000 a 2002. Calcule: a) O índice de preços de Laspeyres com base em 2000. b) O índice de preços de Paasche com base em 2000. c) O índice de quantidade de Laspeyres com base em 2000. d) O índice de quantidade de Paasche com base em 2000. TESTE 48 Dadas as três séries de índices de preços abaixo, assinale a opção correta. Ano S1 S2 S3 1999 50 75 100 2000 75 100 150 2001 100 125 200 2002 150 175 300 a) As três séries mostram a mesma evolução de preços b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S3 c) A série S3 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S2 d) A série S1 mostra evolução de preços distinta das séries S2 e S3 e) As três séries não podem ser comparadas pois têm períodos-base distintos TESTE 49 O índice de inflação no mês de junho foi 10% e se manteve constante nesse nível em julho e agosto. Assinale a opção que mais se aproxima da desvalorização da moeda nesse período. a) 33% b) 30% c) 25% d) 20% e) 10% TESTE 50 A tabela abaixo dá os valores dos preços P ti e quantidades Q ti de quatro itens de consumo A, B, C e D nos tempos t 1 < t 2 . Os preços estão em reais e as quantidades em unidades apropriadas. Item P t1 P t2 Q t1 Q t2 A 10 15 5 4 B 9 11,5 5 4 C 4 5 3 2 D 5 6,5 3 2 Assinale a opção que dá o valor mais próximo do índice de preços de Paasche no tempo t
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