Comparação de esforços em lajes de reservatórios elevados através dos cálculos clássico e numérico

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ANAIS DO 60º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2018 – 60CBC2018 1 
Comparação de esforços em lajes de reservatórios elevados através 
dos cálculos clássico e numérico 
Comparison Of Strains On Elevated Reservoir Slabs Through Numerical And 
Classic Calculations 
 
Jéssica Sampaio Silva(1); Rodrigo Nascimento Barros (1); Ronaldson José De França Mendes Carneiro(2); 
Sandoval José Rodrigues Junior(2) 
 
1) Engenheiro Civil, Universidade Federal do Pará 
2) Professor Doutor,Universidade Federal do Pará, Instituto de Tecnologia, Faculdade de Engenharia Civil 
Rua augusto Correa, 01, CEP 66075-110, Belém-PA 
 
Resumo 
O presente trabalho foi realizado com o objetivo de comparar os resultados dos esforços em reservatórios 
elevados obtidos por meio do uso de tabelas elaboradas a partir das soluções simplificadas de equações 
diferenciais, como as propostas por Pinheiro, em 2007, e com o uso de programas de análise estrutural 
baseado no método dos elementos finitos, o SAP 2000 V14. Como os reservatórios são associações de 
placas e seu processo de cálculo é complexo, o uso de tabelas torna-se importante para simplificar esta 
tarefa, porém não representa muito bem o que ocorre na realidade, resultando em discrepância de valores. 
Ademais, há ainda a influência do cálculo em separado das placas e a posterior compatibilização dos 
resultados O uso do método numérico leva a um tratamento mais sofisticado e complexo na obtenção do 
comportamento e esforços da estrutura, que está mais próximo da realidade. Vários reservatórios foram 
calculados com os dois processos de cálculo, o numérico e o clássico. Na análise dos resultados, observa-
se que, em geral, os maiores momentos foram obtidos no modelo numérico, apresentando diferenças 
máximas entre os valores dos momentos mais significativos dos dois modelos, nas ligações parede-fundo e 
parede-parede, entre 4% a 9%. 
Palavra-Chave: reservatórios; lajes; modelo numérico; momento fletor 
 
Abstract 
This study aims to compare the strain results of elevated reservoirs obtained using tables prepared from the 
simplified solutions of differential equations, as proposed by Pinheiro in 2007, and with the use of structural 
analysis program based on the finite element method, the SAP 2000 V14. As the reservoirs are shells 
associations and its calculation process is complex, the use of tables becomes important to simplify this task, 
but cannot represent very well what happens in reality, resulting in discrepancy values. Furthermore, there is 
the influence of the separated calculation of the shells and subsequent compatibility of results. The use of 
numerical method with consideration of the integrated structure, leads to a more sophisticated and complex 
treatment in getting the behavior and structure strains, closer to reality. We calculated several reservoirs 
using the two methods of calculus, the numerical and the classic. In analyzing the results, we observe that, in 
general, the greatest moments belongs to the numerical model, with maximum differences between the 
values of the most significant moments of the two models, the wall-ground connections and wall-wall, 
between 4% and 9%. 
Keywords: reservoirs; slabs ; numerical model ; bending moment 
 
 
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1 Introdução 
 
O presente trabalho faz uma comparação entre os resultados de esforços, em 
reservatórios elevados, obtidos por meio das tabelas propostas por Pinheiro (2007), 
adaptadas de Bares (1981), e os apresentados pelo modelo em elementos finitos a partir 
do programa de analise estrutural SAP 2000 V14. 
O comparativo é proposto, pois, além do cálculo isolado das lajes que compõem o 
reservatório, para, em seguida, compatibiliza-las, as tabelas foram obtidas 
simplificadamente a partir da solução de equações diferenciais, logo é importante verificar 
se o processo clássico apresenta resultados compatíveis com relação aos obtidos em 
modelos computacionais sofisticados, pois analisa a estrutura integrada, ou seja, como 
um todo, conduzindo a resultados mais precisos e próximos do modelo real. 
 
2 Aspectos teóricos 
 
No modelo clássico, além dos coeficientes obtidos a partir da solução das equações 
diferenciais, expressos em tabelas, a ligação entre as lajes (tampa-parede, parede-parede 
e parede-fundo) é admitida simplesmente apoiada ou engastada, não levando em conta o 
provável engastamento parcial entre as mesmas. No modelo numérico as lajes são 
inseridas no programa e consideradas de forma contínua. 
 
2.1 Modelo clássico 
 
Segundo Modesto dos Santos (1984) apud vasconcelos (1998) o dimensionamento de 
reservatórios paralepipédicos, sobre apoios discretos, considera a tampa e o fundo como 
lajes submetidas a ações uniformemente distribuídas, enquanto as paredes são admitidas 
como placas (lajes) – sob ação do empuxo da água – e como chapas (vigas-parede) – 
sob ação do peso próprio e das reações das lajes de tampa e fundo. Nesta fase, 
dimensionam-se as paredes, admitidas como placas e chapas, separadamente, 
sobrepondo as armaduras encontradas. 
É importante conhecer o comportamento estrutural das ligações entre elementos do 
reservatório e, para isso, leva-se em conta a direção de rotação de cada elemento devido 
às ações aplicadas à estrutura, como é verificado na Figura 1. 
 
Figura 1 - Rotação de cada elemento do reservatório elevado cheio devido às cargas aplicadas 
.Vasconcelos (1998) 
 
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Segundo Rocha (1969) apud Vasconcelos (1998), considera-se a vinculação como 
articulada quando as ações produzem rotações no mesmo sentido, e como engaste 
quando as rotações forem em sentidos contrários. Logo, na vinculação geral para os 
reservatórios elevados considera a ligação entre a laje do fundo e as paredes como 
engaste, assim como a ligação entre paredes. Já a vinculação entre tampa e paredes é 
articulada, ou simplesmente apoiada. Estas vinculações estão ilustradas na Figura 2. 
 
 
Figura 2 - Vinculação das lajes de tampa (esquerda - em planta), paredes (meio - em corte) e fundo (direita - 
em planta) (Autor, 2018). 
 
O cálculo dos esforços em cada laje é realizado de forma isolada e baseado nos valores e 
fatores de multiplicação das tabelas propostas por Pinheiro (2007) e pela NBR 6118 
(ABNT, 2014), determinado em função da relação entre os vãos, vinculação e 
carregamento. A partir de cada tabela obtêm-se os momentos fletores nas direções X e Y, 
bem como os deslocamentos no centro da placa. 
Como o modelo estrutural considera as lajes isoladas, é necessária a compatibilização 
dos momentos fletores nas arestas para que haja a continuidade da estrutura. Esta 
compatibilização deve ser feita primeiramente para os momentos negativos e 
posteriormente para os positivos, uma vez que, com a uniformização dos momentos 
negativos, os positivos podem aumentar ou diminuir de acordo com a variação dos 
momentos negativos. Este processo é feito para que a estrutura passe a ser considerada 
como uma só, e não mais como lajes isoladas. 
 
2.2 Modelo numérico 
 
O Método dos Elementos Finitos (MEF) consiste em diferentes métodos numéricos que 
aproximam a solução de equações diferenciais ordinárias e equações diferenciais parciais 
por meio da subdivisão da geometria do problema em elementos menores chamados de 
elementos finitos, onde uma solução mais aferida e próxima da realidade pode ser obtida 
por interpolação de uma solução aproximada. Eloy (2010). 
. O método dos elementos finitos é uma ferramenta poderosa na análise estrutural, bi ou 
tridimensional. Neste trabalho, o uso do método é empregado na modelagem da estrutura 
do reservatório e verificação do seu comportamento quando sujeito às cargas atuantes. 
O cálculo numérico considera a modelagem no programa de análise estrutural por meio 
do método dos elementos finitos, o SAP 2000 V14. A modelagem foi realizada seguindo 
as mesmasdimensões de reservatórios estabelecidas para o cálculo clássico. Foram 
 
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usados elementos retangulares de 21cm por 21cm e 21cm por 22cm, de modo a se 
ajustar às dimensões das lajes do reservatório. 
Na discretização do reservatório foi utilizado o elemento finito “shell”, conhecido como 
elemento de casca. As áreas das lajes podem ser tanto com elementos de cascas (shell) 
ou com elementos de placa (plate), porém, utilizou-se os elementos de cascas, uma vez 
que os resultados dos modelos produzidos com elementos de placa não foram 
satisfatórios para a análise. As Figuras 3 e 4 ilustram os reservatórios e suas malhas de 
elementos finitos em dois modelos diferentes, a serem discutidos posteriormente. A 
menor largura está no eixo X, a maior largura está no eixo Y e a altura no eixo Z (eixos 
globais do programa). 
Para tornar este modelo mais próximo do admitido durante o cálculo clássico (tampa 
simplesmente apoiada sobre as paredes) foi necessário usar artifícios do programa de 
análise computacional para articular a tampa sobre as paredes, uma vez que as lajes, 
quando inseridas na estrutura, são admitidas como um elemento contínuo (lajes 
engastadas entre si). 
Foram usados dois métodos para articular a tampa. Os dois modelos utilizaram os 
mesmos carregamentos, materiais e características geométricas, para os seis tamanhos 
de reservatórios estudados. 
Para o modelo A utilizou-se a opção de modificadores de rigidez de área nos elementos 
ao longo das extremidades da tampa. Nesta opção, os modificadores de momento para 
m11 (eixo X) e m22 (eixo Y) são alterados do valor de um, condição com engastamento, 
para zero, condição com apoio simples. A Figura 3 ilustra este modelo. 
 
Figura 3 - Modelo A de vinculação da tampa (Autor, 2018). 
 
Para o modelo B utilizou-se a opção de restrição de nós. Para tal, a tampa precisou estar 
afastada do restante da estrutura em 2 cm. Com isso, aplicou-se uma restrição nos nós 
da extremidade da tampa e das paredes, que impede (vinculando apenas) as translações 
nos eixos X, Y e Z para os nós tampa-parede comuns. O modelo é ilustrado na Figura 4. 
 
 
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Figura 4 - Modelo B de vinculação da tampa (Autor, 2018). 
 
3 Descrição dos reservatórios e ações 
Os reservatórios deste estudo são retangulares e estão elevados. A menor dimensão em 
planta, na direção X, é 2m e a maior, direção Y, varia de 2m até 4m, mantendo as 
relações entre menor e maior dimensão de 1, 0.9, 0.8, 0.7, 0.6 e 0.5, de modo a 
possibilitar a comparação entre os resultados dos modelos clássico e numérico. Sua 
altura é fixa em 2m. No total são seis reservatórios elevados, o menor deles com 
dimensões de   2 2 2 m , e o maior deles com dimensões   2 4 2 m . Estas são as 
dimensões do interior do reservatório, ou seja, entre as faces internas dos elementos. As 
espessuras das lajes de fundo e parede foram pré-dimensionadas anteriormente ao 
cálculo dos esforços, admitida em 15 cm, enquanto a espessura da tampa foi de 10cm, 
consideradas para todos os reservatórios estudados. 
Para o reservatório elevado há apenas um carregamento crítico, que ocorre quando o 
mesmo está cheio d’água. Os valores de carregamento foram calculados e aplicados para 
cada elemento dos reservatórios elevados. 
A tampa conta com o seu peso próprio, calculado em 22,5kN m , e os carregamentos de 
carga variável e revestimento, ambos considerados de 21,0kN m . 
No fundo estão aplicadas as cargas do peso da água, 220kN m , e de revestimento, 
21,5kN m . Além destas cargas, está também o peso próprio, calculado em 23,75kN m . 
As paredes são consideradas de duas formas: como laje e como viga. O carregamento 
das paredes quando consideradas como lajes é apenas o empuxo da água, que atua de 
forma triangular e tem valor máximo na base, de 220kN m , e zero no topo, enquanto o 
carregamento das paredes consideradas como vigas conta apenas com o peso próprio de 
7,5kN m e o peso de revestimento de impermeabilização, de 3,0kN m , além das 
reações da tampa e do fundo devido aos carregamentos aplicados nestas lajes. 
 
3.1 Resultados do cálculo clássico 
 
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Os momentos calculados com as tabelas de Pinheiro (1993) são os momentos de apoio 
(de engastamento) e os momentos na faixa central da placa, ambos nas direções X e Y, 
logo os diagramas de momentos são construídos com base nos valores obtidos, com o 
tipo de carregamento e a vinculação de cada laje. Em cada tabela de Pinheiro é 
especificada a direção dos esforços resultantes. A Figura 5 descreve a forma destes 
diagramas nas direções X e Y para as lajes de tampa, fundo e paredes do reservatório 
elevado. Estas formas não dependem das dimensões das lajes. 
 
Figura 5 - Diagramas de momento fletores nas direções X e Y em cada laje do reservatório (Autor, 2018). 
 
As Tabelas Tabela 1, Tabela 2, Tabela 3 e Tabela 4 com os valores calculados para cada 
reservatório elevado, levando-se em conta os carregamentos descritos. 
Os resultados apresentados estão com os momentos compatibilizados, procedimento 
importante a ser realizado, como descrito anteriormente. A compatibilização dos 
momentos positivos nas paredes e no fundo foi feita para o ponto de momento máximo 
destes momentos positivos. 
 
Tabela 1 - Momentos fletores máximos na laje de tampa 
Dimensões Tampa 
X×Y×Z MTx MTy 
(m)  kN m  kN m 
2×2×2 0,84 0,84 
2×2,23×2 1,00 0,85 
2×2,5×2 1,15 0,84 
2×2,9×2 1,42 0,80 
2×3,4×2 1,74 0,71 
2×4×2 1,98 0,63 
 
Tabela 2 - Momentos Fletores máximos das paredes de maior vão 
Dimensões Parede de vão maior 
X×Y×Z XP MPx YP MPy 
(m)  kN m  kN m  kN m  kN m 
2×2×2 -2,45 1,02 -4,68 0,57 
 
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2×2,23×2 -2,54 1,08 -5,31 0,71 
2×2,5×2 -2,64 1,12 -5,84 0,91 
2×2,9×2 -2,72 1,06 -6,61 1,15 
2×3,4×2 -2,77 0,84 -7,24 1,43 
2×4×2 -2,78 0,90 -7,56 1,72 
 
Tabela 3 - Momentos Fletores máximos das paredes de menor vão 
Dimensões Parede de vão menor 
X×Y×Z XP MPx YP MPy 
(m)  kN m  kN m  kN m  kN m 
2×2×2 -2,45 1,02 -4,68 0,57 
2×2,23×2 -2,54 1,00 -4,93 0,51 
2×2,5×2 -2,64 0,98 -5,07 0,48 
2×2,9×2 -2,72 0,97 -5,17 0,46 
2×3,4×2 -2,77 0,95 -5,19 0,45 
2×4×2 -2,78 0,95 -5,19 0,45 
 
Tabela 4 - Momentos Fletores máximos da laje de fundo 
Dimensões Fundo 
X×Y×Z XF MFx YF MFy 
(m)  kN m  kN m  kN m  kN m 
2×2×2 -4,68 2,88 -4,68 2,88 
2×2,23×2 -5,31 3,41 -4,93 2,86 
2×2,5×2 -5,84 3,99 -5,07 2,78 
2×2,9×2 -6,61 4,59 -5,17 2,25 
2×3,4×2 -7,24 5,25 -5,19 2,02 
2×4×2 -7,56 5,54 -5,19 1,74 
 
3.2 Resultados do Cálculo Numérico 
No modelo numérico, as cargas de revestimento e de empuxo da água são aplicadas nas 
respectivas lajes de acordo com os valores descritos anteriormente. O peso próprio não é 
inserido como carregamento externo, uma vez que o mesmo é considerado 
automaticamente a partir da definição do material usado por meio de peso específico 
(peso por unidade de volume). Para este estudo foi considerado o concreto de 25 MPa. 
As Tabelas 5, 6, 7 e 8 apresentam os valores de momentos retirados do resultado da 
análise do modelo B pelo programa. Estes valores representam os momentos nos 
mesmos pontos das lajes dos momentos calculados pelo cálculo clássico. Os resultados 
do modelo B são os que mais condizem com os resultados do modelo clássico, uma vez 
que os momentos na tampa para este modelo estão mais compatíveis com os esforços 
calculados com o modelo clássico para a mesma laje, ou seja, apresentam uma diferença 
menor entre os resultados. Os resultados das paredes e do fundo entre os modelos 
 
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numéricos A e B, quando não são iguais, apresentam diferençamáxima de 1,86%, por 
esta razão, a escolha do modelo numérico B foi determinada pelos resultados da tampa. 
 
Tabela 5 - Momentos fletores máximos na tampa do modelo B 
Dimensões Tampa 
X×Y×Z MTx MTy 
(m)  kN m  kN m 
2×2×2 1,01 1,01 
2×2,23×2 1,17 1,03 
2×2,5×2 1,36 1,06 
2×2,9×2 1,60 1,06 
2×3,4×2 1,85 1,04 
2×4×2 2,07 1,00 
 
Tabela 6 - Momentos Fletores máximos nas paredes de maior vão do modelo B 
Dimensões Parede de vão maior 
X×Y×Z XP MPx YP MPy 
(m)  kN m  kN m  kN m  kN m 
2×2×2 -2,07 1,04 -4,93 1,09 
2×2,23×2 2,19 1,03 -5,54 1,26 
2×2,5×2 -2,18 1,01 -6,25 1,44 
2×2,9×2 -2,17 0,95 -6,97 1,60 
2×3,4×2 -2,13 0,84 -7,54 1,77 
2×4×2 -2,12 0,72 -7,90 1,86 
 
Tabela 7 - Momentos Fletores máximos nas paredes de menor vão do modelo B 
Dimensões Parede de vão menor 
X×Y×Z XP MPx YP MPy 
(m)  kN m  kN m  kN m  kN m 
2×2×2 -2,07 1,04 -4,93 1,09 
2×2,23×2 2,20 1,00 -5,15 1,06 
2×2,5×2 -2,22 0,98 -5,34 1,04 
2×2,9×2 -2,22 0,96 -5,31 1,03 
2×3,4×2 -2,21 0,95 -5,63 1,02 
2×4×2 -2,20 0,95 -5,73 1,02 
 
Tabela 8 - Momentos Fletores máximos do fundo do modelo B 
Dimensões Fundo 
X×Y×Z XF MFx YF MFy 
(m)  kN m  kN m  kN m  kN m 
2×2×2 -4,92 3,32 -4,91 3,32 
 
ANAIS DO 60º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2018 – 60CBC2018 9 
2×2,23×2 -5,54 3,83 -5,15 3,34 
2×2,5×2 -6,25 4,43 -5,33 3,35 
2×2,9×2 -6,96 5,62 -5,50 3,20 
2×3,4×2 -7,54 6,00 -5,62 2,95 
2×4×2 -7,90 6,00 -5,72 2,81 
 
Estes valores foram retirados diretamente do programa de análise computacional, de 
acordo os pontos de momentos calculados pelo cálculo clássico, estes pontos se 
localizam nas faixas centrais de cada lado. A Figura 6 ilustra as distribuições dos 
momentos no maior reservatório, dimensões de   2 4 2 m , nas direções x e y. 
 
 
Figura 6 - Momentos fletores (kN.m/m) no reservatório 2mx4mx2m. a) Vista em 3D com as distribuições dos 
momentos em X; b) Vista em 3D com as distribuições dos momentos em Y; c) Distribuição dos momentos 
em X no fundo; e) Distribuição dos momentos em Y no fundo. 
 
Vale ressaltar que para os apoios do segundo gênero, ocorre uma concentração de 
tensões, o que justifica a utilização dos momentos nas faixas centrais. 
 
3.3 Análise dos resultados 
 
A comparação entre os momentos obtidos nos dois modelos é feita pela relação entre os 
esforços do modelo clássico pelos esforços do modelo numérico. As Tabelas 9, 10, 11 e 
12 mostram esta relação. Convém destacar que para as relações com percentagens 
positivas, os esforços do modelo clássico são maiores do que os esforços do modelo 
 
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numérico, enquanto para as relações com percentagens negativas, os esforços do 
modelo clássico são menores que os do modelo numérico. 
 
Tabela 9 - Relação entre os esforços do modelo clássico e numérico na tampa 
Dimensões Tampa 
X×Y×Z MTx MTy 
(m)  %  % 
2×2×2 -16 -16 
2×2,23×2 -15 -17 
2×2,5×2 -16 -21 
2×2,9×2 -12 -25 
2×3,4×2 -6 -31 
2×4×2 -5 -37 
 
Tabela 10 - Relação entre os esforços do modelo clássico e numérico nas paredes de maior vão 
Dimensões Parede de vão maior 
X×Y×Z XP MPx YP MPy 
(m)  %  %  %  % 
2×2×2 13 -1 -5 -48 
2×2,23×2 16 5 -4 -44 
2×2,5×2 21 11 -7 -37 
2×2,9×2 25 11 -5 -28 
2×3,4×2 30 0 -4 -19 
2×4×2 31 25 -4 -7 
 
Tabela 11 - Relação entre os esforços do modelo clássico e numérico nas paredes de menor vão 
Dimensões Parede de vão menor 
X×Y×Z XP MPx YP MPy 
(m)  %  %  %  % 
2×2×2 13 -1 -5 -48 
2×2,23×2 16 0 -4 -52 
2×2,5×2 19 0 -5 -54 
2×2,9×2 23 1 -6 -56 
2×3,4×2 25 1 -8 -56 
2×4×2 26 0 -9 -56 
 
Tabela 12 - Relação entre os esforços do modelo clássico e numérico no fundo. 
Dimensões Fundo 
X×Y×Z XF MFx YF MFy 
(m)  %  %  %  % 
2×2×2 -5 -13 -5 -13 
 
ANAIS DO 60º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2018 – 60CBC2018 11 
2×2,23×2 -4 -11 -4 -14 
2×2,5×2 -7 -10 -5 -17 
2×2,9×2 -5 -9 -6 -21 
2×3,4×2 -4 -7 -8 -31 
2×4×2 -4 -8 -9 -38 
 
A menor relação entre os esforços é 0,44, o que significa que os resultados do modelo 
clássico, para esta relação, são 56% menores que os esforços do modelo numérico, 
entretanto convém avaliar os momentos principais, no caso, os momentos negativos na 
ligação parede-fundo e os momentos positivos do fundo. Na ligação parede-fundo os 
momentos negativos apresentam diferenças bem pequenas, na ordem de 4% a 9%. Para 
os momentos positivos do fundo a diferença entre os resultados do modelo clássico e 
numérico é maior, entre 7% e 13% para a direção X, e entre 13% e 38% para a direção Y. 
Porém, a diferença média entre os esforços dos modelos clássico e numérico é de 
apenas 16%, e cabe destacar que as maiores diferenças estão na direção menos 
solicitada. 
 
4 Considerações finais 
 
A diferença entre os resultados dos momentos calculados pelo método clássico e pelo 
método numérico não é muito significativa para os momentos mais importantes no 
dimensionamento, porém essas diferenças são significativas para os momentos menos 
importantes, como os da tampa (5%-37%) e os momentos positivos em Y nas paredes 
(7%-56%). Por mais que haja divergência significativa nas direções menos solicitadas, 
não há problema porque mesmo com essa diferença, em geral, a armadura mínima é 
suficiente para combater estes esforços. Algumas observações e comparações são 
importantes a serem feitas, são elas: 
a) Tampa: os coeficientes x e y do cálculo clássico aumentam à medida que os 
reservatórios vão aumentando, e o coeficiente x aumenta em uma maior 
proporção que o y . Observa-se que o MTy não segue na proporção do aumento 
d da relação entre os vãos, isso ocorre pois o coeficiente μy aumenta quando a 
relação entre os vãos da laje passa de 1,00 para 1,10, e diminuem para a próxima 
relação de lados (1,20), quando volta a aumentar. Os resultados do modelo 
numérico para o momento MTy aumentam para os três primeiros reservatórios e 
diminuem para os três últimos, porém, os valores se mantêm próximos, com 
poucas diferenças, e variam de 1,00kN m m a 1,06kN m m . A diferença 
percentual entre os dois modelos é significativa, e varia de 5% a 16%, para o MTx 
é de 16% a 37% no MTy , sendo a direção menos solicitada. Os momentos do 
modelo numérico são, em geral, maiores que os obtidos no modelo clássico. 
b) Paredes: no modelo clássico, o MPy da parede de vão maior não segue a 
tendência de aumentar à medida que os reservatórios ficam mais retangulares. 
Isso ocorre, pois, o coeficiente x da tabela de Pinheiro (1993) aumenta até certo 
 
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ponto, quando diminui bruscamente e voltam a aumentar, semelhante ao que 
ocorre com o y da tampa. Os resultados dos esforços XP no modelo numérico 
para as paredes, apresentam valores muito próximos, entre 2,12kN m m , e 
2,19kN m m , para as paredes de maior vão e entre 2,17kN m m e 
2,22kN m m para as paredes de menor vão. Estes valores aumentam até certo 
reservatório e depois diminuem, à medida que as dimensões no eixo Y aumentam. 
Os momentos importantes nas paredes, que influenciam o dimensionamento, são 
os das ligações com o fundo (momentos negativos). Estes momentos negativos no 
eixo Y apresentam pequenas diferenças. Para o YP da parede maior a diferença 
varia entre 4% e 7%, enquanto as diferenças para o YP da parede menor vão 
desde 4% a 9%. Observa-se que os momentos na direção X foram maiores no 
modelo clássico, enquanto na direção Y os resultados do modelo numérico 
superaram os obtidos no modelo clássico. 
c) Fundo: os momentos calculados com as tabelas seguem a tendência de aumentar 
ou diminuir a medida que a relação entre os vãos aumenta como o esperado. Os 
momentos positivos e negativos em ambos os eixos são importantes para o 
dimensionamento do reservatório. As diferençasentre os modelos para os 
momentos negativos em X e Y variam de 4% a 9%, enquanto as diferenças nos 
momentos positivos vão de 7% a 38%, uma diferença mais significativa. Em ambas 
direções os resultados do modelo numérico ficaram acima dos obtidos no modelo 
clássico. 
Conforme observado, as maiores diferenças ocorrem nas direções menos solicitadas. 
Para os momentos mais significativos, determinantes no dimensionamento, as diferenças 
variaram de 4% a 9%. Em geral, os maiores momentos foram obtidos no modelo 
numérico. Dessa forma, mesmo com pequenas diferenças, as tabelas usadas no cálculo 
clássico fornecem valores apropriados para o dimensionamento de lajes, e podem ser 
usadas para um fácil e rápido dimensionamento de reservatórios de pequenas 
dimensões, como apresentados no trabalho. Porém, em estruturas mais complexas e 
dimensões maiores é interessante a análise computacional como ferramenta para 
obtenção de valores mais refinados que podem ser comparados com os resultados de 
cálculos clássicos. 
 
 
 
 
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5 Referências 
 
ABNT, Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6118: Projeto de estrutura de 
concreto- procedimento. 2014. 
 
BARES, R. Tablas para el cálculo de placas y vigas pared. [S.l.]: Barcelona: GG, 1981. 
ELOY, Luiz. Métodos dos Elementos Finitos em Análise de Estruturas. [S.l.]: Elsevier 
Brasil, 2010. 
 
PINHEIRO, LIBÂNIO M. Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos: EESC-USP, 
1993. 
 
PINHEIRO, LIBÂNIO M. Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios. [S.l.]: São 
Carlos, 2007. 
 
VASCONCELOS, ZELMA LAMANERES. Critérios Para Projetos De Reservatórios 
Paralelepipédicos Elevados De Concreto Armado. 1998. Universidade de São Paulo, 
1998.