Tabela de siglas de concreto

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P U C R S 
 
 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO S UL 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
CONCRETO ARMADO II 
 
FLEXÃO SIMPLES 
 
(OUTRA APRESENTAÇÃO) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Almir Schäffer 
 
 
 
PORTO ALEGRE 
 
AGOSTO DE 2011 
 
 
 
 1 
FLEXÃO SIMPLES 
 
1- Notações principais 
 
Ac = área da seção de concreto 
As = área da seção de aço (armadura tracionada) 
 
Es = módulo de elasticidade do aço 
 
M = momento fletor 
Md = momento solicitante de cálculo 
Mcd = momento resistente de cálculo (da seção de concreto) 
Msd = momento resistente de cálculo (da seção de aço) 
 
fck = resistência característica do concreto 
fcd = resistência de cálculo do concreto 
fyk = resistência característica ao escoamento do aço 
fyd = resistência de cálculo do aço 
 
bw = largura da viga 
h = altura total da viga 
d = altura útil 
x = distância da LN até a borda comprimida da seção de concreto 
y = altura da zona comprimida de concreto 
z = braço de alavanca do par interno 
 
γc = coeficiente de minoração da resistência do concreto 
γs = coeficiente de minoração da resistência do aço 
γf = coeficiente de ponderação das cargas 
 
εR = encurtamento de ruptura do concreto 
εs = alongamento do aço 
εL = alongamento plástico limite do aço 
εyd = alongamento do aço no início do escoamento 
 2 
 
2- Diagrama tensão-deformação do concreto 
 
 O diagrama tensão-deformação (de cálculo) do concreto, de acordo com a 
norma (NBR 6118, item 8.2.10.1) é o diagrama parábola-retângulo da figura seguinte 
0,85.fcd
0,002 0,0035 ε
σcd
r.y
r.x
AC B
B'C'
0 c
 
FIGURA 1 
 
onde 
 
c
fck
fcd
γ
= (1) 
 
 Para simplificar, a norma (NBR 6118, item 17.2.2, e) permite substituir este 
diagrama parábola-retângulo (OAB) por um diagrama retangular de tensões 
(C’CBB’) (Fig. 1) de extensão 
 x.8,0y = (2) 
 
 3 
3- Diagrama tensão-deformação do aço 
 
 O diagrama tensão-deformação (de cálculo) do aço, de acordo com a norma 
(NBR 6118, item 8.3.6) é o diagrama da figura seguinte 
ε
fyd
σsd
εyd
A B
O
σ = Es.εsd s
s
 
FIGURA 2 
 
onde 
 
s
fyk
fyd
γ
= (3) 
e 
 
Es
fyd
yd =ε (4) 
 
 O módulo de elasticidade do aço é fixado pela norma (NBR 6118, item 8.3.5) 
em 
 MPa000210Es = (5) 
 
 A tensão de cálculo no aço, de acordo com o diagrama anterior, pode ser 
calculada como segue: 
 Se 
 yds ε<ε (6) 
então 
 s.Essd ε=σ (7) 
senão 
 fydsd =σ (8) 
 
 4 
4- Estado limite último de ruptura (ELU de ruptura) 
 
 O estado limite último de ruptura é atingido quando o encurtamento da fibra 
mais comprimida de concreto atingir o encurtamento de ruptura do concreto (εR) ou 
quando o alongamento da barra mais tracionada de aço atingir o alongamento 
plástico limite do aço (εL). 
 
 O encurtamento de ruptura (convencional) do concreto, na solicitação de 
flexão, é fixado pela norma (NBR 6118, item 17.2.2, g) em 
 0035,0R =ε (9) 
e o alongamento plástico limite (convencional) do aço, em 
 010,0L =ε (10) 
 
5- Alongamento do aço 
 
 O alongamento do aço (εs), em função da profundidade (x) da LN na seção 
e em função do encurtamento de ruptura do concreto (εR), pode ser obtido como 
segue: 
LN
x
d
As
S' S
εcεR
ε
εs
εyd L
d-x
 
FIGURA 3 
 
 Da semelhança dos triângulos (Fig. 3) obtém-se 
 
 
x
R
xd
s ε=
−
ε
 (11) 
 5 
donde 
 R.
x
xd
s ε−=ε (12) 
 
6- Valor mínimo x 
 
 Para que o ELU de ruptura não seja ultrapassado é necessário que 
 
 Ls ε≤ε (13) 
 
 Substituindo nesta condição εs dado pela equação (12) e isolando x, resulta 
 
 d.
LR
R
x
ε+ε
ε≥ (14) 
 
 Portanto, o valor mínimo de x, para atender a condição (13) é: 
 
 d.
LR
R
minx
ε+ε
ε= (15) 
 
 Substituindo os valores de εR e εL dados pelas equações (9) e (10) na 
equação anterior resulta ainda: 
 
 d.26,0minx = (16) 
 
 O valor mínimo de y, conforme a equação (2), é dado por: 
 
 minx.8,0miny = (17) 
 
 6 
 
7- Valor máximo de x 
 
 Para aproveitar integralmente a resistência do aço ao escoamento, isto é, 
para que a tensão no aço (σsd) atinja a tensão de escoamento (fyd), é necessário 
que 
 
 yds ε≥ε (18) 
 
 Esta é também a condição de que a viga seja sub-armada, isto é, a condição 
de que a ruptura da viga ocorra por escoamento do aço (ruptura dúctil) e não por 
esmagamento do concreto (ruptura frágil). 
 
 Substituindo nesta condição εs dado pela equação (12) e isolando x, resulta 
 
 d.
ydR
R
x
ε+ε
ε≤ (19) 
 
 Portanto, o valor máximo de x, para atender a condição (18) é: 
 
 d.
ydR
R
maxx
ε+ε
ε= (20) 
 
 O valor máximo de y, conforme a equação (2), é dado por: 
 
 maxx.8,0maxy = (21) 
 
 7 
8- Condições de equilíbrio e condições de segurança 
 
 As condições de equilíbrio na seção transversal de uma viga exigem que os 
esforços resistentes (R) sejam iguais aos esforços solicitantes (S), isto é, que: 
 
 SR = (22) 
 
 A segurança é introduzida no cálculo verificando as condições de equilíbrio 
dadas pela equação (22) com os esforços resistentes diminuídos (=esforços 
resistentes de cálculo) e os esforços solicitantes aumentados (=esforços solicitantes 
de cálculo). 
 
 Para diminuir os esforços resistentes eles são calculados com as 
resistências dos materiais (concreto e aço) diminuídas. Para diminuir as resistências 
elas são divididas pelos coeficientes de minoração das resistências (γc e γs). 
 
 Para aumentar os esforços solicitantes eles são calculados com as cargas 
(F) que atuam sobre a viga aumentadas. Para aumentar as cargas elas são 
multiplicadas pelos coeficientes de majoração das cargas (γf). 
 
 A segurança à ruptura, na seção transversal de uma viga, é considerada 
satisfatória (NBR 6118, item 12.5.2) quando os esforços resistentes de cálculo (Rd), 
calculados no ELU de ruptura, são iguais ou superiores aos esforços solicitantes de 
cálculo (Sd), isto é, quando: 
 
 SdRd ≥ (23) 
 
 O máximo de economia de materiais se obtém explorando a condição (23) 
ao máximo, isto é, quando: 
 
 SdRd = (24) 
 
 
 
 8 
9- Distribuição das tensões na seção 
 
 Seja uma viga de seção retangular solicitada por flexão (Fig. 4). 
bw
h
LN
z
0,85.fcd
Rcd
Md
Rsd
x
d
y
a
As
fyd
S' S
εcεR
ε
εs
εyd L
 
FIGURA 4 
 
 Para aproveitar ao máximo a resistência do concreto à compressão, 
admite-se que o encurtamento da fibra mais comprimida de concreto seja igual ao 
encurtamento de ruptura do concreto (εR), de modo que as tensões de compressão 
no concreto possam ser consideradas uniformemente distribuídas sobre o retângulo 
de lados bw e y, com intensidade 0,85.fcd. 
 
 Para aproveitar ao máximo a resistência do aço à tração, admite-se também 
que o alongamento da armadura de tração seja igual ou superior ao alongamento 
correspondente ao início do escoamento do aço (εyd), de modo que as tensões na 
armadura de tração tenham intensidade fyd. 
 
 A distância (z) entre as resultantes das tensões no concreto e no aço é dada 
por (Fig. 4) 
 
 
2
y
dz −= (25) 
 
 
 9 
10- Forças e momentos resistentes 
 
 Resultante das tensões de compressão no concreto (Fig. 4): 
 
 fcd.85,0.y.bwRcd = (26) 
 
 Resultante das tensões de tração no aço (fig. 4): 
 
 fyd.AsRsd = (27) 
 
 Momento das tensões no concreto, em relação ao centro de gravidade da 
armadura de tração (Fig. 4): 
 
 z.RcdMcd = 
 
 Substituindo nesta equação Rcd e z por seus valores dados pelas equações 
(26) e (25), resulta 
 
 




 −=
2
y
d.fcd.85,0.y.bwMcd (28) 
 
 Momento das tensões no aço, em relação ao centro de gravidade da zona 
comprimida da seção de concreto (Fig. 4): 
 
 z.RsdMsd = 
 
 Substituindo nesta equação Rsd por seu valor dado pela equação (27), 
resulta 
 
 z.fyd.AsMsd = (29) 
 
 10
11- Par interno 
 
 A condição de equilíbrio a translação na direção normal à seção exige que a 
resultante das tensões normais que atuamna seção (=Rcd-Rsd) seja igual à força 
normal solicitante (Nd=0). Portanto (Fig. 4) 
 
 0RsdRcd =− 
donde 
 RsdRcd = (30) 
 
 De acordo com esta equação as forças Rcd e Rsd (na solicitação de flexão 
simples) são iguais e opostas, isto é, formam um par de forças. Este par de forças é 
conhecido como par interno e a distância (z) entre as forças do par é chamada de 
braço de alavanca do par interno. 
 
12- Cálculo da armadura 
 
 Nos problemas de dimensionamento de uma viga à flexão intervém várias 
variáveis, como fcd, fyd, bw, h, a, x, As... 
 
 Estas variáveis precisam satisfazer duas condições de equilíbrio, o que 
significa que duas das variáveis devem ser escolhidas para satisfazer tais condições 
e as demais podem ter seus valores arbitrados livremente. 
 
 É usual escolher para variáveis dependentes y e As. 
 
 A condição de equilíbrio à rotação exige que o momento do par interno seja 
igual ao momento solicitante (Md). Como o momento do par interno independe do 
pólo escolhe-se para pólo o centro de gravidade da armadura de tração. Logo 
 
 MdMcd = 
 
 Substituindo nesta equação Mcd por sua expressão dada pela equação (28), 
resulta 
 11
 Md
2
y
d.fcd.85,0.y.bw =




 − (31) 
 
 Resolvendo esta equação encontra-se y. Para maiores detalhes do cálculo 
de y com a equação (31) ver o anexo A. 
 
 Conhecido y pode-se calcular z com a equação (25). 
 
 Para calcular a área de aço pode-se desenvolver a equação de equilíbrio à 
translação (equação (30)), substituindo na mesma Rcd e Rsd por suas expressões 
dadas pelas equações (26) e (27) e isolando As. 
 
 A solução preferida, no entanto, obtém-se com outra equação de equilíbrio à 
rotação, como se mostra a seguir. 
 
 Tomando como pólo para o par das forças internas o centro de gravidade da 
zona comprimida da seção de concreto, resulta: 
 
 MdMsd = 
 
 Substituindo nesta equação Msd por sua expressão dada pela equação (29), 
resulta 
 
 Mdz.fyd.As = 
donde: 
 
fyd.z
Md
As = (32) 
 
 Esta equação permite calcular As. 
 
 12
13- Momento de cálculo limite (Mcd,lim) 
 
 O momento máximo que a seção de concreto resiste como sub-armada, isto 
é, com a armadura de tração entrando em escoamento antes da ruptura, obtém-se 
calculando o momento Mcd dado pela equação (28) com a LN na posição limite 
ymax dada pela equação (21). Procedendo assim obtém-se: 
 
 




 −=
2
maxy
d.fcd.85,0.maxy.bwlim,Mcd (33) 
 
14- Taxas de armadura 
 
 A taxa geométrica de armadura (ρ) é a relação entre a área da seção da 
armadura e a área da seção do concreto que a envolve, isto é: 
 
 
Ac
As=ρ (34) 
 
 A taxa mecânica de armadura (ω) é a relação entre a resistência de cálculo 
da armadura e a resistência de cálculo do concreto que a envolve, isto é: 
 
 
fcd.Ac
fyd.As
Ncd
Nsd ==ω (35) 
 
 Dividindo membro a membro a equação (34) pela (35) e isolando ρ, 
obtém-se 
 
fyd
fcd
.ω=ρ (36) 
 
que é a relação existente entre as duas taxas de armadura. 
 
 13
15- Armadura de tração mínima 
 
 A taxa geométrica da armadura de tração de uma viga não pode ser menor 
que a mínima dada pela expressão (NBR 6118, item 17.3.5.2.1): 
 
 





ω=ρ
fyd
fcd
.min;0015,0Maiormin (37) 
 
 Para vigas de seção retangular (NBR 6118, tabela 17.3), 
 
 035,0min =ω (38) 
 
 A área mínima de seção de armadura é dada por: 
 
 Ac.minmin,As ρ= (39) 
 
 
 
 14
 Anexo A 
 
 Para calcular y a partir da equação (31), transcrita a seguir, 
 Md
2
y
d.fcd.85,0.y.bw =




 − (31) 
pode-se proceder como segue: 
 
a) passando bw.0,85.fcd para o segundo membro, resulta 
 
fcd.85,0.bw
Md
2
y
d.y =




 − 
 
b) dividindo ambos os membros por 2d , resulta 
 
fcd.85,0.d.bw
Md
d.2
y
1.
d
y
2
=




 − 
donde 
 0
fcd.85,0.d.bw
Md
d
y
d
y
.
2
1
2
2
=+




−




 
 
d) calculando 





d
y
 com a fórmula de Báskara, resulta 
 
cd
2
w
d
f.85,0.d.b
M
.211
d
y −−=




 
donde 
 d.
f.85,0.d.b
M
.211y
cd
2
w
d








−−= (40) 
 
 Para que este valor de y seja a solução do problema, isto é, para que sejam 
atendidas as condições (13) e (18), é necessário que: 
 maxyyminy ≤≤ (41)