Teoremas de Millman, da Substituição, e da Reciprocidade

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lucas coelho dos santos da silva
teoremas de millman, da substituição, e da reciprocidade
 
Curitiba/PR
2017
lucas coelho dos santos da silva
lucas coelho dos santos da silva
teoremas de millman, da substituição, e da reciprocidade
teoremas de thévenin, norton e máxima transferência de potência
Trabalho dissertativo individual apresentado ao Centro Universitário Autônomo do Brasil - UniBrasil, para o 2°Semestre do Curso de Engenharia Elétrica na disciplina de Circuitos Elétricos.
Orientador: Prof. Eduardo Torres da Rocha. 
Curitiba/PR
2017
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INTRODUÇÃO
Este trabalho segue a norma de apresentação e formatação de trabalhos acadêmicos NBR – 14724/2011.
Este trabalho irá apresentar e discutir os teoremas de Millman, da substituição, e da reciprocidade.
O teorema de Millman apresenta um método usado para reduzir um número qualquer de fontes de tensão em paralelo a apenas uma. Este teorema constitui um caso especial da aplicação do teorema de Thévenin.
O teorema da substituição pode ser utilizado para encontrar a solução de problemas que envolvem circuitos com duas ou mais fontes que não estejam em série nem em paralelo. Esse teorema afirma que a tensão medida em um ponto do circuito pode substituir o circuito até o ponto de medida por uma fonte de tensão de mesmo potencial da medição.
O teorema da reciprocidade afirma que para um circuito com apenas uma fonte de tensão, a corrente medida em um ponto será a mesma se for trocada a posição da fonte de tensão pelo ponto de medição. Este teorema é usado em circuitos lineares bilaterais que consistem de componentes bilaterais.
TEOREMA DE MILLMAN
O teorema de Millman afirma que a tensão num nó de um circuito é a razão entre a soma das correntes que entram no nó e a soma das condutâncias a ele ligadas.
Este teorema é um caso particular do teorema de Thévenin e utiliza-se para reduzir a complexidade de um circuito transformando um conjunto de N fontes de tensão em paralelo numa única fonte de tensão Vn com resistência interna Rn (em corrente contínua).
Este método é apresentado frequentemente na análise de circuitos com bi polos ativos de uma estrutura como mostra a Figura 1.
Figura 1 – Circuito equivalente pelo teorema de Millman.
Fonte: (ISPS). 
O circuito da Figura 1 pode ser interpretado como uma ligação paralela de três fontes onde a terceira f.e.m tem o valor zero. 
A determinação de Req não apresenta dificuldade pois,
Req =R1//R2//R3
Então:
 
Ou
 
 
Onde m é o número de ramos do bi polo.
Resolvendo para: 
 
 
Em ambos esquemas Uab é a mesma, ou em uma forma geral:
 
A análise de circuitos complexos pode ser simplificada se vários ramos paralelos contendo fontes de tensão e resistências forem substituídas por um único ramo equivalente. 
A tensão comum nos terminais de uma fonte ligados em paralelo sobre uma resistência é:
 
Onde é a soma das correntes de curto-circuito de cada ramo e é a resistência paralela efetiva de todos os ramos incluindo a carga.
Figura 2 – Circuito com fonte ligado em paralelo.
Fonte: (ISPS). 
Figura 3 – Circuito Equivalente.
Fonte: (ISPS). 
Exemplifica-se a Figura 2 para a Figura 3, inspecionando a Figura 3 pode-se escrever:
 
 
Figura 4 – Um caso particular de par de nós.
Fonte: (ISPS).
No caso da Figura 4 as correntes podem ser calculadas pelo método de par de nos. Neste processo, se parte da tensão entre esses nós, calculando a partir dela as correntes. Pelo método da análise de nós é mais fácil determinar as correntes, determinando a tensão entre os terminais:
 
 
 
 
 
 = 
Onde 
 
É a potência dissipada e 
É a potência fornecida.
TEOREMA DA SUBSTITUIÇÃO
O teorema da substituição afirma que sabendo a tensão ou corrente de qualquer ramo de um circuito, esse ramo pode ser substituído por uma combinação de vários elementos que vão gerar a mesma tensão e mesma corrente através desse ramo. Em outras palavras, o teorema da substituição diz que para uma equivalência de ramos, a tensão e a corrente devem ser a mesma.
Pode-se simplesmente dizer o teorema da substituição é a substituição de um elemento por outro elemento equivalente.
Figura 5 – Exemplo de circuito.
Fonte: (CIRCUITGLOBE).
Na Figura 5 há varias resistências conectadas em paralela à fonte de tensão. A corrente I está circulando através do circuito, que é dividido em I1 passando através de R1 e a corrente I2 através de R2. V1, V2 e V3 são as quedas de tensão em R1, R2, e R3 respectivamente. 
Substituindo R3 pela fonte de tensão V3 como mostrado na Figura 6:
Figura 6 – Substituindo R3 por V3.
Fonte: (CIRCUITGLOBE).
Na Figura 7, R3 é substituído pela corrente circulando por esse elemento, I1.
Figura 7 – Substituindo R3 por I1.
Fonte: (CIRCUITGLOBE).
Em ambos os casos, se o elemento é substituído por uma fonte de tensão ou uma fonte de corrente, então a condição inicial do circuito não é alterada. Isso significa que a tensão na resistência e a corrente circulando na resistência não é alterada mesmo se forem substituídos por outras fontes.
Passos para resolver um circuito usando o teorema da substituição
1. Primeiro se deve obter a tensão e corrente circulando através do ramo que são dados por Vxy e Ixy mostrados na Figura 8.a.
Figura 8 – Exemplo.
Fonte: (CIRCUITGLOBE).
2. O ramo pode ser substituído por uma fonte de tensão independente como mostrado na Figura 8.b.
3. Similarmente o ramo pode ser substituído por uma fonte de corrente independente como mostrado na Figura 9.
Figura 9 – Substituindo por fonte de corrente.
Fonte: (CIRCUITGLOBE).
4. Então se pode ver que a queda de tensão e a corrente circulando pelo circuito na Figura 8.a será a mesma se substituída por qualquer fonte de tensão independente ou fonte de corrente mostrados na Figura 8.b e na Figura 9.
TEOREMA DA RECIPROCIDADE
A posição da fonte de tensão e da fonte de corrente podem ser trocadas sem mudança na corrente. Contanto, a polaridade da fonte de tensão deve ser idêntica com a direção da corrente do ramo em cada posição.
O teorema da reciprocidade é explicado pelo circuito mostrado na Figura 10.
Figura 10 – Teorema da reciprocidade.
Fonte: (CIRCUITGLOBE).
As resistências R1, R2, e R3 são conectadas no circuito acima com uma fonte de tensão e uma fonte de corrente. A fonte de tensão e a fonte de corrente são trocadas para resolver o circuito com a ajuda do teorema da reciprocidade.
A limitação deste teorema é que é aplicável apenas para circuitos com apenas uma fonte e não pode ser aplicado em um circuito com várias fontes. O circuito onde o teorema é aplicado deve ser linear e consistir de resistores, indutores, capacitores e circuitos acoplados. O circuito não pode ter nenhum elemento que varie o tempo.
Passos para resolver um circuito usando o teorema da reciprocidade
1. Primeiro, escolher os ramos nos quais a reciprocidade será estabelecida.
2. A corrente no ramo é obtida usando qualquer método de análise de circuitos convencional.
3. A fonte de tensão é trocada no ramo que é escolhido.
4. A corrente no ramo onde a fonte de tensão estava antes é calculada.
5. Agora, se pode ver que a corrente obtida na conexão anterior, no passo 2, e a corrente que é calculada quando a fonte é trocada, no passo 4, são idênticas. 
 
CONCLUSÃO
O teorema de Millman constitui um caso particular do teorema de Thévenin, aplicado para reduzir diversas fontes de tensão em paralelo, em apenas uma. Porém, se for mais conveniente para o circuito a calcular, pode-se transformar em uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência. A sua aplicação é larga nos bi polos ativos. No caso de sua aplicação em corrente alternada, deve-se prestar especial atenção na determinação da impedância equivalente, uma vez que se recorre à números complexos.
O teorema da substituição é limitado e só pode ser usado para resolver circuitos contendo duas ou mais fontes que não estão em série ou em paralelo. Não é muito usado por ter pouca relevância prática para análise de circuitos.
O teoremada reciprocidade pode ser aplicado para resolver vários circuitos de corrente alternada e corrente contínua facilmente e eficientemente.
REFERÊNCIAS
ALEXANDRECEZAR. Outros Teoremas. Disponível em: <http://alexandrecezar.vl1.net2.com.br/aula10ce.pdf >. Acesso em: 28/05/2017.
ALLABOUTCIRCUITS. Millman’s Theorem. Disponível em: <https://www.allaboutcircuits.com/textbook/direct-current/chpt-10/millmans-theorem>. Acesso em: 28/05/2017.
CIRCUITGLOBE. Reciprocity Theorem. Disponível em: <http://circuitglobe.com/what-is-reciprocity-theorem.html >. Acesso em: 28/05/2017.
CIRCUITGLOBE. Substitution Theorem. Disponível em: <http://circuitglobe.com/what-is-substitution-theorem.html>. Acesso em: 28/05/2017.
CORRADIJUNIOR. Teorema de circuitos. Disponível em: <http://www.corradi.junior.nom.br/teoremas_exer_resolvido.pdf>. Acesso em: 28/05/2017.
ELECTRICAL4U. Substitution Theorem. Disponível em: <https://www.electrical4u.com/substitution-theorem/>. Acesso em: 28/05/2017.
ELECTRONICSPANI. Reciprocity Theorem. Disponível em: <https://electronicspani.com/reciprocity-theorem/>. Acesso em: 28/05/2017.
FIS. Teoremas de circuitos lineares. Disponível em: <http://www.fis.uc.pt/data/20052006/apontamentos/apnt_058_8.pdf>. Acesso em: 28/05/2017.
UFRGS. Teorema de Millman. Disponível em: <http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_06/millman.htm>. Acesso em: 28/05/2017.