Transformação de Fonte

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lucas coelho dos santos da silva
transformação de fonte
 
Curitiba/PR
2017
lucas coelho dos santos da silva
lucas coelho dos santos da silva
transformação de fonte
teoremas de thévenin, norton e máxima transferência de potência
Trabalho dissertativo individual apresentado ao Centro Universitário Autônomo do Brasil - UniBrasil, para o 2°Semestre do Curso de Engenharia Elétrica na disciplina de Circuitos Elétricos.
Orientador: Prof. Eduardo Torres da Rocha. 
Curitiba/PR
2017
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INTRODUÇÃO
Este trabalho segue a norma de apresentação e formatação de trabalhos acadêmicos NBR – 14724/2011.
A transformação de fonte é o processo de simplificar um circuito, transformando fontes de tensão em fontes de corrente, e vice-versa. Este método é usado para simplificar circuitos complexos. A transformação de fonte é uma aplicação do teorema de Thévenin e do teorema de Norton.
TRANSFORMAÇÃO DE FONTE PARA FONTES INDEPENDENTES
Considere-se o circuito mostrado na Figura 1; o objetivo é encontrar a corrente i no resistor 5 Ω. Aqui, a análise de malhas não pode ser aplicada prontamente porque o circuito tem um ramo em que há uma fonte de corrente. Então se precisa eliminar essa fonte de corrente do circuito. Contanto, fazendo isso, se precisa tomar cuidado para que a corrente e a tensão no circuito permaneçam inalteradas.
Figura 1 – Circuito para transformação de fontes.
Fonte: (ALLABOUTCIRCUITS). 
Lembrando-se da Lei de Ohm, que diz que .
Passo 1: transformação de fonte de corrente para fonte de tensão
Considerando-se a Figura 1, pode-se ver que a fonte de corrente de 1 A tem em paralelo um resistor de 10 Ω. Agora essa combinação é substituída por uma fonte de tensão, V = 1 A x 10 Ω = 10 V, e um resistor em série de 10 Ω. Pode-se ver como isso fica na Figura 2. Percebe-se que o terminal da fonte de tensão fica à esquerda, isso porque a flecha da fonte de corrente estava apontada para a esquerda. Esses dois circuitos (Figura 1 e Figura 2) são considerados equivalentes: a corrente de 1 A que entra no nó X vindo do nó Y não mudou.
Figura 2 – Passo 1.
Fonte: (ALLABOUTCIRCUITS). 
Este processo é chamado de transformação de fonte. Foi transformada uma fonte de corrente paralela com um resistor em uma fonte de tensão equivalente em série com um resistor.
Passo 2: transformação de fonte de tensão para fonte de corrente
O circuito mostrado na Figura 2 ainda pode ser simplificado, pois nele há um resistor de 10 Ω em série com um resistor de 5 Ω. Esses resistores podem ser substituídos por um resistor equivalente de 15 Ω (= 10 Ω + 5 Ω). O circuito simplificado é visto na Figura 3.a.
Agora pode-se facilmente aplicar análise de malhas para resolver o circuito. Contanto, há também um jeito gráfico mais fácil de se conseguir isso: aplicar a transformação de fonte novamente.
Anteriormente se foi transformada uma fonte de corrente paralela com um resistor, mas a transformação de fonte pode ser aplicada em uma fonte de tensão em série com um resistor. Se tem dois arranjos, como indicado na Figura 3.b. Este circuito é equivalente ao mostrado na Figura 3.a.
Figura 3 – Transformação de fonte.
Fonte: (ALLABOUTCIRCUITS). 
Aqui se aplica a transformação de fonte de tensão para fonte de corrente, que é bastante similar à transformação de fonte de corrente para fonte de tensão. O processo envolve substituir a fonte de tensão V em série com um resistor R por um circuito equivalente que tem uma fonte de corrente em paralelo com um resistor R. A fonte de corrente é colocada de um jeito que a seta aponte em direção do terminal positivo da fonte de tensão substituída (Figura 4).
Então, para o ramo a esquerda, se tem uma fonte de corrente em paralelo com um resistor de 5 Ω.
Similarmente, para o ramo da direita, se tem em paralelo com um resistor de 15 Ω. O circuito resultante é mostrado na Figura 4.
O circuito na Figura 4 tem duas fontes de correntes apontando na mesma direção, por isso elas podem ser substituídas por uma única fonte de corrente cujo valor é igual à soma delas, ou seja, .
Figura 4 – Circuito resultante.
Fonte: (ALLABOUTCIRCUITS).
Há três resistores no circuito da Figura 4: dois resistores de 5 Ω e um resistor de 15 Ω, todos em paralelo. Se pode substituir todos os três resistores por um resistor equivalente, mas o objetivo é achar a corrente que passa pelo resistor de 5 Ω, então se combina apenas os outros dois.
 
Feito essas mudanças, se tem o circuito mostrado na Figura 5.
Figura 5 – Combinando-se resistores.
Fonte: (ALLABOUTCIRCUITS).
Passo 3: transformação de fonte de corrente para fonte de tensão (novamente)
Agora, aplicando-se a transformação de fonte de corrente para fonte de tensão novamente para a combinação indicada na Figura 5.
Aqui, a fonte de tensão terá o valor , com o terminal positivo no lado do nó X, em série com um resistor de .
O resultado é mostrado na Figura 6.
Figura 6 – Resultado.
Fonte: (ALLABOUTCIRCUITS).
Para a figura 6 pode-se aplicar a Lei das Tensões de Kirchhoff para obter a corrente no resistor de 5 Ω:
 
 
 
 
TRANSFORMAÇÃO DE FONTE PARA FONTES DEPENDENTES
A transformação de fonte é aplicável até para circuitos com fontes dependentes. Considere-se o circuito da Figura 7.a.
Figura 7 – Circuito com fonte dependente.
Fonte: (ALLABOUTCIRCUITS).
Passo 1: transformação de fonte de corrente para fonte de tensão.
Aplica-se a transformação de fonte de corrente para fonte de tensão para os elementos do circuito na Figura 7.b.
Para a parte de cima, se tem V = 3 x 1 = 3 V, com o terminal positivo para baixo, em série com um resistor de 1 Ω. Similarmente, para a parte de baixo se tem V = 3 x 2 = 6 V, para baixo, em série com um resistor de 2 Ω. Isso resulta no circuito mostrado na Figura 8.a.
Figura 8 – Transformação de fonte.
Fonte: (ALLABOUTCIRCUITS).
O circuito pode ser ainda mais reduzido: a malha de cima tem um resistor de 1 Ω em série com um resistor de 2 Ω, formando um resistor equivalente de 3 Ω, e a malha de baixo tem um resistor de 2 Ω em série com um resistor de 3 Ω, que pode ser substituído por um resistor de 5 Ω. Os resultados são mostrados na Figura 8.b.
Passo 2: transformação de fonte de tensão para fonte de corrente.
Na Figura 8.b pode-se ver que se necessita aplicar a transformação de fonte de tensão para fonte de corrente três vezes (uma para cada combinação de fonte com resistor).
Caso 1: Para a fonte de tensão de 3 V em série com um resistor de 3 Ω.
 em paralelo com um resistor de 3 Ω.
Caso 2: Para a fonte de tensão dependente 5i1 em série com um resistor de 5 Ω.
 em paralelo com um resistor de 5 Ω.
Caso 3: Para a fonte de tensão de 6 V em série com um resistor de 5 Ω.
 em paralelo com um resistor de 5 Ω.
Esses passos resultam no circuito mostrado na Figura 9.
Figura 9 – Circuito resultante.
Fonte: (ALLABOUTCIRCUITS).
Na Figura 9, as duas fontes de corrente independentes estão apontando para direções opostas e então podem ser substituídas por uma única fonte de corrente cujo valor é dado por , apontada para a direita.
Depois pode-se expressar o valor da fonte de corrente dependente como .
Precisa-se encontrar a corrente circulando pelo resistor de 5 Ω (o do meio). Então se deixa como está e se troca os outros dois (o de 3 Ω e 5 Ω em cima e embaixo) por um resistor equivalente: .
O circuito pode ser mostrado como na Figura 10.
Figura 10 – Circuito resultante.
Fonte: (ALLABOUTCIRCUITS).
Passo 3: transformação de fonte de corrente para fonte de tensão (novamente).
Finalmente, se pode transformar a fonte de corrente dependente em uma fonte de tensão dependente com o valor:
 
Isto será em série com um resistor de e terá seu terminal positivo apontado para a direita.
Figura 11 – Fonte de corrente dependente para fonte de tensão dependente.
Fonte: (ALLABOUTCIRCUITS).
Agora pode-se usar a Lei das Tensões de Kirchhoff para calcular i1:
 
 
 
 
 
TRANSFORMAÇÃO DE FONTE PARA CIRCUITOS COM INDUTORES E CAPACITORES
A transformaçãode fontes também é aplicável para circuitos que tem indutores e capacitores.
Considere-se o circuito mostrado na Figura 12.a.
Figura 12 – Circuito com indutor e capacitor.
Fonte: (ALLABOUTCIRCUITS).
Considerando ω como 50 rad/s, então:
A impedância do capacitor de 2 mF é = -j/ ω C = -j / (50 x 2 x 10-3) = 
-j / (100 x 10-3) = -10j.
A impedância no indutor de 40 mH é = j ω L = j x 50 x 40 x 10-3 = 2j.
Agora, considera-se que se necessita encontrar a tensão no indutor de 40 mH.
Quando se observa o circuito, é evidente que este processo se tornará mais fácil se a fonte de corrente de 2 A em paralelo com a impedância de -10j for convertida em uma fonte de tensão. Este processo resulta V = 2 x (-10j) = -20j, em série com uma impedância de -10j.
O circuito resultante é mostrado na Figura 13.
Figura 13 – Circuito resultante.
Fonte: (ALLABOUTCIRCUITS).
Agora, aplicando a Lei de Tensões de Kirchhoff para determinar a corrente no circuito.
5 – 2jI + 10jI – 20j = 0
(10j – 2j) I = 20j – 5
8jI = 20j -5 
 
Então, a tensão no indutor VL será:
5 - VL + 10jI – 20j = 0
5 - VL + (10j) x (2,5 + 0,625j) – 20j = 0
5 + (-6,25 + 25j) – 20j = VL
VL = (-1,25 + 5j) V
 
CONCLUSÃO
A transformação de fonte pode ser usada para simplificar circuitos e facilitar a análise de malhas.
Fontes de tensões dependentes podem ser transformadas assim como fontes independentes.
A transformação de fonte pode até ser usada para analisar circuitos em que hajam capacitores e indutores. 
REFERÊNCIAS
ALEXANDRECEZAR. Transformação de Fontes. Disponível em: <http://alexandrecezar.vl1.net2.com.br/aula7ce.pdf>. Acesso em: 29/05/2017.
ALLABOUTCIRCUITS. Analyzing Circuits via Source Transformation. Disponível em: < https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/source-transformation/ >. Acesso em: 29/05/2017.
ELECTRONICSHUB. Source Transformation. Disponível em: <http://www.electronicshub.org/source-transformation/>. Acesso em: 29/05/2017.
ELETRONICAPFONTES. Transformação de fonte. Disponível em: <http://files.eletronicapfontes.webnode.com/200000016-a8132a90cb/Nilsson%20-%20Analise%20CC%20-%20thevenin%20(parte%202).pdf>. Acesso em: 29/05/2017.
UFRGS. Transformação de Fonte. Disponível em: <http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_04/transfon.htm>. Acesso em: 29/05/2017.