CALCULO NUMÉRICO

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CALCULO NUMÉRICO
	O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a:
		
	 
	1085
	
Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao domínio R associa o elemento y de valor igual a ax2+bx+cx (onde a e R*, b e c e R)
	 
	Função quadrática.
	Usando um método iterativo para buscar a raiz da equação f(x) = 0 são encontrados  os  valores: x1=  2,79    x2 = 2,75    x3= 2,74   x4 =  2,735   x5=2,734. Considerando que o critério de parada é obter um valor para a raiz  cujo erro absoluto  seja menor que  0,01, qual  o maior valor que pode  ser adotado para a raiz ?
		
	 
	 x4  
Suponha a função contínua, definida por f(x) = x3 -10 . Marque o intervalo em que  existe pelo menos uma raiz real da equação f(x) = 0.
	 
	[2,3] 
	
	Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
	 
	1.0800
Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson -  Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será:
	 
	1,143
	Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
		
	 
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como:
2x+3y-z = -7
x+y+z = 4
-x-2y+3z = 15
		
	 
	 2  3 -1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	
Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	 
	Função linear.
	A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
		
	 
	Erro relativo
	
	
	Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de Gauss. Este método pode ser resumido como:
		
	 
	Encontrar uma matriz equivalente escalonada
	
	Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
		
	 
	x = -2 ; y = 3
	
	Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
		
	
	
	 
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	Os valores de x1,x2 e x3 são:
		
	
	
	 
	-1, 3, 2
	
	
	
	O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como:
2x+3y-z = -7
x+y+z = 4
-x-2y+3z = 15
		
	 
	 2  3 -1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	
	Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
		
	
	
	
	
	 
	1 0 0 | *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
	
	
	
	
	
	
	Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2:
5x1 + 4x2 = 180
4x1 + 2x2 = 120
 
	 
	x1 = 20 ; x2 = 20
	
	
	
Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
		
	 
	apresenta uma única solução
	Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 utilizando o Método da Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das iterações diga o valor encontrado para x3.
	 
	0, 375
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro absoluto associado?
		
	 
	0,2 m2
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. Seja uma função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar que:
		
	 
	pode ter duas raízes
	
A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado:
	 
	De truncamento
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Deseja-se buscar a raiz de uma  equação f(x) =0 no intervalo [1,5]  .  Pelo método da bisseção  o intervalo a ser testado para a raiz  na 1ª iteração deve ser escolhido  como:
		
	 
	 [1,3]  se f(1). f(3) <  0 
	
	
	
	
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Analisando  a função y = 2x3 - 4 , usando o  teorema de Bolzano , a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ 0, 2 ] é :
 
	 
	tem nº ímpar de raízes pois  f(0) .f(2) < 0
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Usando um método iterativo para buscar a raiz da equação f(x) = 0 são encontrados  os  valores: x1=  2,79    x2 = 2,75    x3= 2,74   x4 =  2,735   x5=2,734. Considerando que o critério de parada é obter um valor para a raiz  cujo erro absoluto  seja menor que  0,01, qual  o maior valor que pode  ser adotado para a raiz ?
	
	
	
	 
	 x4             
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
		
	 
	Bisseção
	O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
		
	
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	 
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson -  Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será:
		
	
	2,443
	
	2,143
	
	3,243
	 
	1,143
	
	1,243
	
	
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
		
	 
	Método de Newton-Raphson
	
	Método de Pégasus
	
	Método do ponto fixo
	
	Método das secantes
	
	Método da bisseção
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos.
		
	
	não há diferença em relação às respostas encontradas.
	
	Os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema
	 
	o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
	
	no método direto o número de iterações é um fator limitante.
	
	o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não.
	 5a Questão
	
	
	
	
	Qual método procura  a aproximação para o valor da raiz usando a derivada da função?
 
		
	 
	Newton Raphson  
	
	Gauss Jordan        
	
	Bisseção      
	
	Ponto fixo      
	
	Gauss Jacobi
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
		
	 
	
	
	
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado parax1.
		
	
	-1
	
	1.75
	
	1
	
	-2
	 
	2
	Respondido em 16/04/2020 11:27:34
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, a quinta e sexta iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando como critério de parada o erro absoluto igual a 0,01, marque a afirmativa correta.
		
	
	O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
	É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01
	
	É verdade que f(0) = 1,254
	 
	O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	 
	Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada da equação f(x) = 0.
	Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de Gauss. Este método pode ser resumido como:
		
	 
	Encontrar uma matriz equivalente escalonada
	
	Determinar uma matriz equivalente com determinante nulo
	
	Determinar uma matriz equivalente singular
	
	Encontrar uma matriz equivalente com (n-1) linhas 'zeradas'.
	
	Determinar uma matriz equivalente não inversível
	Respondido em 16/04/2020 11:31:27
	
Explicação:
A partir do escalonamento de uma matriz, é possível resolver o sistema pelo método citado. Por exemplo, num sistema 3 x 3, "eliminar os coeficientes" de x e y  na terceira linha linha e de z na segunda linha. Assim, encontramos, diretamente o valor de z na terceira linha. Substituindo na segunda linha, encontramos y e, por fim, x.
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
		
	 
	x = 2 ; y = -3
	
	x = 9 ; y = 3
	 
	x = -2 ; y = 3
	
	x = - 2 ; y = -5
	
	x = 5 ; y = -7
	Respondido em 16/04/2020 11:33:05
	
Explicação:
Multiplicando toda  a primeira equação  por 3  resulta  : 9x  - 6y =  -36  ...
 Somada esta  à segunda  , elimina-se  o termo com y , resultando a equação  ;  14x  = -28  , donde x  = -2  .
 Substituindo x = - 2  na primeira resulta :  - 6  - 2y = -12   ...  -2y = -6   ... y = 3 
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
		
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	
	Nenhuma das Anteriores.
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	 
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	Respondido em 16/04/2020 11:35:52
	
Explicação:
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de equações lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não  é usado para cálculo de raiz de função. nem  para fazer  interpolação de dados .Então só a opção  correspondente está correta. 
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Os valores de x1,x2 e x3 são:
		
	
	-1,2, 3
	 
	-1, 3, 2
	
	2,-1,3
	
	1,-2,3
	
	1,2,-3
	Respondido em 16/04/2020 11:36:26
	
Explicação:
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como:
2x+3y-z = -7
x+y+z = 4
-x-2y+3z = 15
		
	
	 1  0   0  | -7
 0  1   0 | 4
 0  0   1 | 15
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
  1  2 3 | 15
	 
	 2  3 -1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	 2  1  1  | -7
 3  1  -2  | 4
-1  1   3 | 15
	Respondido em 16/04/2020 11:37:04
	
Explicação:
A quarta opção , identificada como correta,  é a única matriz cujos termos aij  correspondem exatamente aos coeficientes numéricos de cada  equação dada  .
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
		
	
	1 1 1 | *
0 1 1 | *
0 0 1 | *
	
	0 0 1 | *
0 0 1 | *
0 0 1 | *
	 
	1 0 0 | *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
	1 1 1 | *
1 1 1 | *
1 1 1 | *
	
	1 0 0 | *
1 1 0 | *
1 1 1 | *
	Respondido em 16/04/2020 11:37:33
	
Explicação:
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal  e o restante zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha,  o valor solução para cada variável lido na última coluna.
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2:
5x1 + 4x2 = 180
4x1 + 2x2 = 120
 
		
	
	x1 = -10 ; x2 = 10
	 
	x1 = 20 ; x2 = 20
	
	x1 = -20 ; x2 = 15
	
	x1 = 10 ; x2 = -10
	
	x1 = 18 ; x2 = 18
	Respondido em 16/04/2020 11:38:04
	
Explicação:
Multiplicando a segunda  por ( -2 ) e somando com a  primeira elimina-se o x2  e resulta :
-3x1 = -60   ..donde  x1 = 20 .
Substituindo x1 na primeira ( ou na segunda) calcula-se x2 :
5.20 + 4 x2  = 180  ...  4  x2  = 180 -100  = 80   ... x2  = 20. 
 
 
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
		
	 
	apresenta uma única solução
	
	apresenta ao menos uma solução
	
	nada pode ser afirmado.
	
	apresenta infinitas soluções
	
	não apresenta solução
	A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
		
	
	Um polinômio do quinto grau
	
	Um polinômio do sexto grau
	 
	Um polinômio do terceiro grau
	
	Um polinômio do décimo grau
	
	Um polinômio do quarto grau
	Respondido em 16/04/2020 11:41:17
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES:
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	Respondido em 16/04/2020 11:41:32
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
		
	 
	Erro relativo
	
	Erro absoluto
	
	Erro derivado
	
	Erro conceitual
	
	Erro fundamental
	Respondido em 16/04/2020 11:42:31
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre as quais podemos citar:
		
	
	o método de Raphson
	
	o método de Euller
	
	o método de Pégasus
	
	o método de Runge Kutta
	 
	o método de Lagrange
	Respondido em 16/04/2020 11:43:04
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA.
		
	
	Verificação de erros.
	 
	Interpolação polinomial.
	
	Integração.
	
	Determinação de raízes.
	
	Derivação.
	Respondido em 16/04/2020 11:43:48
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
		
	
	Há convergência para o valor -3.
	
	Há convergência para o valor2.
	
	Há convergência para o valor - 3475,46.
	 
	Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
	
	Há convergência para o valor -59,00.
	Respondido em 16/04/2020 11:45:48
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Numa situação experimental, um engenheiro sabe que o carregamento distribuído sobre uma viga é um arco de parábola dado pela equação w(x) = a.x2 + b.x, onde x é dado em metros e W(x) em kN/m. A viga tem comprimento l = 2 m e, nas extremidades, o carregamento é zero. Além disso, no ponto médio da viga W vale 2 kN/m. Encontre a função para W(x)
		
	
	W(x) = 2.x2 + 4x
 
	
	W(x) = x2 + 4x
	
	W(x) = -2.x2 + 2x
	
	W(x) = - x2 + 4x
	 
	W(x) = -2.x2 + 4x
	Respondido em 16/04/2020 11:46:59
	
Explicação:
W(x) = a.x2 + bx
Para x = 2, W = 0. Logo, 0 = 4a + 2b
Para x = 1, W = 2. Logo, 2 = a + b
Resolvendo o sistema, a = -2 e b = 4. Portanto, W(x) = -2.x2 + 4x
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Considere o gráfico de dispersão abaixo.
 
 
Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor se ajustam?
		
	
	Y = b + x. ln(2)
	
	Y = ax2 + bx + 2
	 
	Y = a.2-bx
	
	 Y = a.log(bx)
	
	Y = ax + 2
	Respondido em 16/04/2020 11:47:48
	
Explicação:
A função tem um comportamento decrescente e aspecto exponecial. Assim, a expressão deve ser do tipo y = b-kx, com b > 1 e k > 0