Exercícios de Cálculo I

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INSTITUTO FEDERAL CATARINENSE
Professora: Soyara Carolina Biazotto
Disciplina: Cálculo I
LISTA DE EXERCÍCIOS 4
1. Descrever anaĺıtica e geometricamente uma função y = f(x) tal que lim
x→3
f(x) não existe e
lim
x→6
f(x) existe.
2. Definir uma função y = g(x) tal que lim
x→2
g(x) = 4, mas g(x) não é definida em x = 2.
3. Definir e fazer o gráfico de uma função y = h(x) tal que limx→0+ h(x) = 1 e limx→0− h(x) = 2.
4. Mostrar que existe o limite de f(x) = 4x− 5 em x = 3 e é igual a 7.
5. Determinar um número δ para o � dado tal que |f(x)− L| < � sempre que 0 < |x− a| < δ.
Dar exemplos de outros dois números positivos δ, que satisfazem a implicação dada.
a) lim
x→−1
(−3x+ 7) = 10 � = 0, 5
b) lim
x→−2
x2 − 4
x+ 2
= −4 � = 0, 1
6. Calcular os limites usando as propriedades.
a) lim
x→−1
[(x+ 4)3(x+ 2)−1] b) lim
x→2
x+ 4
3x− 1
c) lim
x→2
t2 − 5t+ 6
t− 2
d) lim
x→4
3
√
2x+ 3
e) lim
x→
√
2
2x2 − x
3x
f) lim
x→2
x2 + x− 6
x− 2
g) lim
x→4
x2 − 4x
x2 − 3x− 4
h) lim
x→9
9− t
3−
√
t
i) lim
x→0
√
1 + h− 1
h
j) lim
x→2
x4 − 16
x− 2
7. Seja f(x) =
{
x− 1, x ≤ 3
3x− 7, x > 3
Calcule:
a) lim
x→3+
f(x) b) lim
x→3−
f(x) c) lim
x→3
f(x)
d) lim
x→5+
f(x) e) lim
x→5−
f(x) f) lim
x→5
f(x)
Esboçar o gráfico de f .
8. Seja h(x) =
{
x2 − 2x+ 1, x 6= 3
7, x = 3
Calcule lim
x→3
h(x). Esboce o gráfico de f .
9. Seja f(x) = |x− 4|. Calcule, se posśıvel, os limites:
a) lim
x→4+
f(x) b) lim
x→4+
f(x) lim
x→4+
f(x)
1
10. Determine anaĺıtica e geometricamente, uma função f tal que:
a) lim
x→−4+
f(x) = 5 e lim
x→−4−
f(x) = 1.
b) lim
x→1+
f(x) existe e lim
x→1−
f(x) não existe.
c) lim
x→2
f(x) não existe.
11. Para cada uma das seguintes funções ache lim
x→2
f(x)− f(2)
x− 2
.
a) f(x) = 3x2 b) f(x) = 1
x
, x 6= 0 c) f(x) = 2/3x2
d) f(x) = 3x2 + 5x− 1 e) f(x) = 1
x+1
, x 6= −1 f) f(x) = x3
12. Calcule os limites a seguir.
a) lim
x→−1
x3 + 1
x2 − 1
b) lim
t→−2
t3 + 4t2 + 4t
(t+ 2)(t− 3)
c) lim
x→2
x2 + 3x− 10
3x2 − 5x− 2
d) lim
x→5/2
2t2 − 3t− 5
2t− 5
e) lim
x→−1
x2 + 6x+ 5
x2 − 3x− 4
f) lim
x→−1
x2 − 1
x2 + 3x+ 2
g) lim
x→0
√
25 + 3t− 5
t
h) lim
h→1
√
h− 1
h− 1
i) lim
x→0
√
1 + x− 1
−x
j) lim
x→1
3
√
x− 1
4
√
x− 1
k) lim
x→4
3−
√
5 + x
1−
√
5− x
l) lim
x→0
√
1 + x−
√
1− x
x
GABARITO
5) a) δ = 0,5
3
; b) δ = 0, 1.
6)
a) 27 b) -1 c) 6
5
d) 3
√
11 e) 1 f) 5 g) 0 h) 6 i) 1
7) 2; 2; 2; 8; 8; 8
8) 4.
9) 0; 0; 0.
11) 12; -1/4; -1/6; 17; -1/9; 12
12)
−3/2 0 1 7/2 −4/5 -2
3/10 1/2 −1/2 4/3 −1/3 1.
2